Équations différentielles et systèmes dynamiques. Jean-Christophe yoccoz, membre de l institut (Académie des sciences), professeur

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1 Équatons dfférentelles et systèmes dynamques Jean-Chrstophe yoccoz, membre de l nsttut (Académe des scences), professeur enseignement Cours : Quelques aspects de la théore des systèmes dynamques quaspérodques a 0. Un système dynamque, c est un espace des phases, dont les ponts correspondent aux états possbles du système consdéré, mun d une lo d évoluton qu décrt la varaton à court terme de l état du système. Le but de la théore est de comprendre l évoluton à long terme du système. Pour certans systèmes dynamques, le temps est une varable contnue : la lo d évoluton est alors le plus souvent donnée par une équaton dfférentelle (ou une équaton aux dérvées partelles s l espace des phases est un espace fonctonnel). Pour d autres systèmes dynamques, le temps est une varable dscrète : la lo d évoluton est dans ce cas spécfée par une transformaton de l espace des phases dans lu-même dont l s agt d étuder les tératons successves. Deux systèmes à temps dscret très smples, qu admettent tous deux pour espace de phases le cercle ) = R/Z, sont des modèles paradgmatques pour des classes de comportements dynamques très dfférents. Dans le premer exemple, la lo d évoluton, dépendant d un paramètre a Î ) est spécfée par la rotaton R a : x x + a du cercle. C est le prototype de dynamque quaspérodque. La dstance entre deux orbtes reste constante au cours du temps. Dans le deuxème exemple, la transformaton qu défnt la lo d évoluton est le doublement d angles T : x 2x. C est le prototype de dynamque hyperbolque. La dstance entre deux orbtes ntalement proches est doublée à chaque tératon (tant qu elle reste nféreure au damètre du cercle). Ce phénomène de sensblté aux condtons ntales est quelquefos auss qualfé d effet papllon. a. Les cours sont dsponbles en vdéo sur le ste Internet du Collège de France : [NdÉ].

2 94 JEAN-CHRISTOPHE YOCCOZ Le cours cette année état consacré aux systèmes dynamques quaspérodques. On s attachera dans le cours de l année prochane à certans aspects de la théore hyperbolque. Le cours état dvsé en quatre partes : on a d abord analysé des systèmes qu sont les modèles de dynamque quaspérodque : les translatons et les flots lnéares sur les tores ; une deuxème parte a été consacrée à la dynamque des germes de dfféomorphsmes holomorphes d une varable complexe au vosnage d un pont fxe ; on s est ensute ntéressé à la dynamque des dfféomorphsmes du cercle ; dans la parte la plus mportante du cours, on a présenté quelques résultats centraux de la théore KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) portant sur l exstence de tores nvarants quaspérodques pour les systèmes dynamques hamltonens (le cadre naturel pour les équatons de la mécanque).. Notons ) d le tore de dmenson d. Pour a Î ) d (ou R d ), notons R a la translaton x x + a. Pour a Î R d le groupe à un paramètre (R ta ) tîr est le flot du champ de vecteurs constant Xα := α. x On a commencé par rappeler comment détermner l adhérence d une orbte de la rotaton R a. Par homogénété, l sufft de consdérer l adhérence G(a) de l orbte de 0. C est un sous-groupe fermé de ) d dont on note G 0 (a) la composante neutre. Le quotent G(a)/G 0 (a) est cyclque fn. Le sous-groupe fermé connexe G 0 (a) est détermné par son espace tangent à l orgne V(G 0 (a)). Celu-c est le sous-espace ratonnel de R d annulateur de V * (a) := {k Î Q d ½å k a Î Q}. En partculer, la rotaton R a est mnmale s et seulement s les nombres, a,..., a d sont ratonnellement ndépendants. L adhérence de l orbte de 0 pour le flot du champ constant X a est un sousgroupe fermé connexe G(a) de ) d. Son espace tangent en 0 est l annulateur de V && (a) := {k Î Q d ½å k a = 0}. Le flot de X a est mnmal s et seulement s a,..., a d sont ratonnellement ndépendants. Les translatons mnmales de ) d sont unquement ergodques. Toute orbte d une telle translaton est donc équdstrbuée sur le tore suvant la mesure de Lebesgue. C est auss le cas pour les flots assocés à des champs constants mnmaux. Sot a Î ) d. L équaton aux dfférences assocée à la translaton R a est (*) y - R a y = f et oue un rôle central dans toute la théore. Il s agt de comprendre la relaton entre la régularté de la donnée f, celle de la soluton recherchée y et les proprétés arthmétques de a. Pour que l équaton admette une soluton, l est nécessare que f sot de moyenne nulle. S d autre part l équaton admet une soluton, alors elle en admet une qu sot de moyenne nulle. Lorsque la translaton R a n est pas mnmale, l équaton ne possède en général pas de soluton même au nveau des séres de Fourer formelles. Lorsque la translaton R a est mnmale, l équaton possède une unque soluton formelle de moyenne nulle. La convergence et la régularté de la somme de cette soluton

3 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET SYSTÈMES DYNAMIQUES 95 dépendent des proprétés dophantennes de a. Pour t " 0, g > 0, on note DC(g, t) l ensemble des a Î ) d qu vérfent d τ < k, α> γ k, k d, k. T a Z 0 Dans la formule précédente, x T désgne la dstance du nombre réel x au plus proche enter. On pose auss DC(t) := È g>0 DC(g,t), DC := È t³0 DC(t). L ensemble DC(0) est de mesure de Lebesgue nulle, mas DC(t) est de mesure plene dès que t > 0. Lorsque d =, l appartenance à DC(t) est faclement caractérsée en termes du développement en fracton contnue de a : en notant (q n ) la sute des dénomnateurs des rédutes de a, le nombre a appartent à DC(t) s et seulement s l exste C > 0 tel qu on at qn Cq + + # n t pour tout n " 0. Le résultat prncpal, en dfférentablté fne, sur l équaton aux dfférences est le suvant. Soent r > d, t " 0 des nombres tels que s := r - d - t sot postf et ne sot pas enter. Sot g > 0 et a Î DC(g, t). Pour toute foncton f de classe C r et de moyenne nulle sur ) d, la soluton formelle y de moyenne nulle de (&) est une foncton de classe C s sur ) d, qu vérfe ψ # Cγ - φ, où la constante C ne dépend que de r et t. C s 2. On s est ensute ntéressé à la dynamque d un germe de dfféomorphsme holomorphe F(z) = lz + O(z 2 ) au vosnage du pont fxe 0. Le cas du domane de Poncaré ½l½ ¹ est élémentare : s par exemple ½l½ <, le pont fxe est attractf et le germe F est analytquement lnéarsable. Lorsque ½l½ = (domane de Segel), on dt que le pont fxe 0 est ndfférent et on dstngue deux cas, ratonnel ou rratonnel, suvant que l est ou non une racne de l unté. On a dscuté brèvement le cas ratonnel. Notons q l ordre (exact) du multplcateur l. Le germe F est analytquement lnéarsable s et seulement s l est lu auss d ordre q. Dans le cas contrare, l exste un enter r " tel que F s écrve, après un changement de coordonnée appropré, F(w) = lw( + w rq + O(w rq+ )). Les régons {Â(z -rq ) < -A}, A sont envoyées dans elles-mêmes par F et sont appelées pétales attractfs. Les régons {Â(z -rq ) > -A}, A, sont appelées pétales répulsfs. On a ensute explqué la classfcaton analytque de tels germes suvant Écalle-Voronn. Le pont fxe ndfférent d un germe F est topologquement stable (en temps postf) s, pour tout vosnage U de 0, l exste un vosnage V de 0 tel que, pour tout n " 0, le germe téré F n sot défn sur V et vérfe F n (V) Ì U. Il s avère que cette proprété est équvalente à la lnéarsablté analytque du germe F. On a ensute plus longuement dscuté le cas ndfférent rratonnel. Après avor ntrodut les dfférentes formulatons de la condton de Bruno, on a présenté le théorème de Segel-Bruno et sa récproque. Sot a un nombre réel rratonnel, et sot l := exp(2pa). S a est un nombre de Bruno, tout germe F(z) = lz + O(z 2 ) est analytquement lnéarsable. Inversement, s a n est pas un nombre de Bruno, le polynôme quadratque P l (z) = lz + z 2 n est pas analytquement lnéarsable. Quand un germe est analytquement lnéarsable, on appelle dsque de Segel le plus grand domane sur lequel sa dynamque sot conuguée à une rotaton. Le C r

4 96 JEAN-CHRISTOPHE YOCCOZ rayon conforme de ce dsque est une mesure de sa talle. Buff et Chértat ont montré que, lorsque a est un nombre de Bruno, le rayon conforme du dsque de Segel du polynôme quadratque P l (z) est, à une constante multplcatve unverselle près, plus pett que celu de n mporte quel germe (normalsé par exemple par une condton d unvalence sur le dsque unté). Pour a Î (0,), on note G(a) := {a - } la transformaton de Gauss qu engendre le développement en fracton contnue. On pose a n :=G n n (a) et βn = 0 αn. Lorsque a est rratonnel, on défnt n n 0 Φ( α): = β log α (, 0 + ]. On convent que F(a) = + lorsque a est ratonnel. La foncton de Bruno F(a) est fne s et seulement s a est un nombre de Bruno. C est une foncton Z-pérodque qu appartent à l espace BMO()). Plus précsément, la transformée de Hlbert de F est une foncton bornée. La foncton F est défne de façon purement arthmétque. Il est ntéressant de la comparer à une autre foncton remarquable, défne de façon purement analytque. Consdérons le polynôme quadratque P l dans le cas attractf ½l½ <. Notons h l (z) = z + O(z 2 ) l applcaton lnéarsante vérfant h l (lz) = P l o h l (z). La foncton holomorphe h l possède sur son cercle de convergence un unque pont snguler Ũ(l), dont l mage est le pont crtque de P l. La foncton l U(l) := l - Ũ(l) est holomorphe et bornée dans le dsque {½l½ < } et ne s y annule pas. Son module a une lmte radale en tout pont l * = exp 2pa du bord. Cette lmte est non nulle s et seulement s a est un nombre de Bruno, et elle est alors égale au rayon de convergence de l applcaton h l* lnéarsant P l*. Buff et Chértat ont montré que la foncton a F(a) + log½u(l * )½se prolonge en une foncton contnue sur le cercle ) = R/Z. Il est conecturé que la foncton obtenue est hölderenne d exposant /2. Cela mplquerat que l argument de U est borné. Des expérences numérques suggèrent que la parte réelle de U est en fat postve dans le dsque {½l½ < }. On gnore en quels ponts l * = exp 2pa du cercle unté l argument de U a une lmte radale. Une conecture naturelle, lorsque a est un nombre de Bruno, est que cette lmte exste s et seulement s le pont crtque de P l* se trouve sur le bord du dsque de Segel. Deux résultats de Herman sont pertnents à cet égard. D une part, l construt des nombres de Bruno pour lesquels le pont crtque de P l* n appartent pas au bord du dsque de Segel. D autre part, l montre que le pont crtque de P l* appartent au bord du dsque de Segel lorsque le nombre de rotaton a vérfe la condton arthmétque H évoquée c-dessous. 3. On a ensute présenté les grandes lgnes de l étude dynamque des dfféomorphsmes du cercle. Après avor défn le nombre de rotaton et explqué la relaton avec la présence d orbtes pérodques, on a décrt les résultats classques de Denoy relant la régularté d un dfféomorphsme sans orbte pérodque et l exstence d ntervalles errants. Les théorèmes de conugason dfférentable établssent une corrélaton entre la régularté d un dfféomorphsme du cercle (sans orbte pérodque), les proprétés dophantennes de son nombre de rotaton et la régularté de l applcaton lnéarsante dont l exstence est garante par le théorème de Denoy. Certans énoncés exgent n

5 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET SYSTÈMES DYNAMIQUES 97 de plus que le dfféomorphsme appartenne à un vosnage appropré de la rotaton correspondante. On a llustré la varété des méthodes dsponbles par deux résultats. Une méthode perturbatve d analyse fonctonnelle est mse en œuvre dans la démonstraton, suvant Herman, du résultat suvant. Soent t Î [0,), a Î DC(t), et sot r un enter au mons égal à 3. Tout dfféomorphsme f appartenant à un vosnage appropré de la rotaton R a dans la C r+3 -topologe s écrt de façon essentellement unque sous la forme (&) f = R t - h - R a - h -, où t est vosn de 0 et h est un dfféomorphsme de classe C r vosn de l dentté. L ntroducton de la dérvée schwarzenne Sf : = D2 log DF 2 ( Dlog Df ) 2 est l outl décsf qu permet de résoudre (&). Cette équaton se transforme en effet en (&&) Sh - R a - Sh = Sf - h(dh) 2. Les proprétés de l équaton aux dfférences (avec t < ) permettent alors d applquer le théorème du pont fxe pour résoudre (&&) et donc démontrer le résultat annoncé. On a ensute présenté la méthode de renormalsaton, dans le contexte du problème de lnéarsaton analytque des dfféomorphsmes analytques du cercle. Étant donné un dfféomorphsme du cercle sans orbte pérodque f, on note (q n ) la sute des dénomnateurs des rédutes du nombre de rotaton a de f, et on consdère les applcatons de premer retour de f sur des ntervalles I n- d extrémtés x f q 0, n - ( x 0 ). On recolle les extrémtés de I n- suvant f q n- pour obtenr une varété lsse dfféomorphe au cercle. L applcaton de premer retour coïncde alors avec l téré f q n de f. Cec permet de contrôler des morceaux de traectores de plus en plus longs. Sot f un dfféomorphsme analytque du cercle, holomorphe et nectf dans la bande B R :={z Î C/Z, ½Áz½ < R}. Pour que f sot analytquement conugué à une rotaton, l sufft qu l exste r > 0 tel que, pour tout n ³ 0, f n sot défn dans la bande B r et vérfe f n (B r ) Ì B R. Un premer résultat obtenu par la méthode de renormalsaton est le suvant. Il exste une constante unverselle r 0 telle que, pour tout nombre de Bruno a, pour tout R> Φ( α) + r 2π 0, un dfféomorphsme analytque de nombre de rotaton a qu est holomorphe et nectf dans B R est analytquement conugué à R a. La preuve de ce résultat repose sur l observaton suvante. Posons R : = R l : log α, où r est une constante unverselle approprée. Consdérons le quadrlatère curvlgne U dont le bord est formé des segments [-R *, R * ], [R *, f(r * )], [-R *, f(-r * )], et de la courbe f([-r *, R * ]). En recollant les bords vertcaux de U par f, on obtent un domane annulare qu on unformse par une bande B R. L applcaton de premer retour de F dans U Ì C/Z se tradut en une r applcaton holomorphe et nectve F dans une bande BR B R, à valeurs dans B R. On peut montrer qu l exste une constante unverselle r 2 telle que R aα ( R Φ( α) r2 2π + ). 2π En térant cette procédure, on obtent le résultat annoncé par un argument de descente nfne.

6 98 JEAN-CHRISTOPHE YOCCOZ Une deuxème forme du théorème local de conugason, qu se dédut asément de la précédente, s énonce comme sut. Sot a un nombre de Bruno, et sot r > 0. Il exste e = e (a, r) tel que tout dfféomorphsme analytque f qu a pour nombre de rotaton a et satsfat ½f(z) - z - a½ < e dans la bande B r est analytquement conugué à R a. Lorsque a n est pas un nombre de Bruno, on peut au contrare construre une sute de dfféomorphsmes analytques f n de nombre de rotaton a qu ne sont pas analytquement conugués à R a et qu converge vers R a dans le sens suvant : l exste une sute r n tendant vers +, une sute e n tendant vers 0 telles qu on at ½ f n (z) - z - a½ < e n dans B rn. L analyse du processus de renormalsaton, pour des dfféomorphsmes analytques qu ne sont pas supposés être vosns de rotatons, condut à une nouvelle condton arthmétque. Sot a un nombre de Bruno. On pose a n := G n (a). Sot f un dfféomorphsme analytque du cercle de nombre de rotaton a. On peut montrer que la sute f n de dfféomorphsmes analytques dédute de f par le processus de renormalsaton possède les proprétés suvantes : le dfféomorphsme f n est holomorphe et nectf dans une bande B rn ; le nombre de rotaton de f n est a n ; la sute (r n ) tend vers + ; dans le cas, consdéré c-dessus, où on a r n - log α- n (, on aura 2π r n+ n r aα ( n log α n c); 2π lorsqu on a au contrare + r # π log α + c, on obtent n 2 n r n+ " c * exp 2pr n. Les négaltés précédentes explquent la défnton suvante. Pour a Î (0, ), r > 0, on pose a ( r a + ) r a R a (): r = log pour a log expr pour r# loga On défnt ensute R n (a) par R 0 (a) = 0 et Rn+ ( a): = R a ( R n n( a)). On dt qu un nombre de Bruno a vérfe la condton H s, pour tout m " 0, l exste k " 0 tel que R k (a m ) " F (a m+k ). Le théorème global de conugason analytque prend alors la forme suvante : tout dfféomorphsme analytque dont le nombre de rotaton a vérfe la condton H est analytquement conugué à R a. Inversement, s a ne vérfe pas la condton H, l exste des dfféomorphsmes analytques de nombre de rotaton a qu ne sont pas analytquement conugués à R a. L ensemble des nombres a vérfant la condton H content strctement DC, et est strctement contenu dans l ensemble des nombres de Bruno. 4. La dernère parte du cours état consacrée aux tores nvarants lagrangens de la dynamque hamltonenne. On a commencé par rappeler les concepts à la base de la géométre symplectque : varétés symplectques, symplectomorphsmes, sous-varétés sotropes et lagrangennes,

7 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET SYSTÈMES DYNAMIQUES 99 théorèmes de Darboux et de Wensten, champs de vecteurs hamltonens, varables acton-angles et complète ntégrablté... Du pont de vue dynamque, l est naturel de porter un ntérêt partculer aux tores lagrangens quaspérodques nvarants par un champ de vecteurs hamltonen X H. On appelle ans un tore lagrangen X H -nvarant sur lequel X H nduse, dans des coordonnées approprées, un champ de vecteur constant. On dra que le tore est a-quaspérodque s le champ ndut est Xα := α. q À un champ de vecteurs constant Xα := α sur le tore ) n, on assoce l équaton lnéare q Xα ψ: = α ψ = φ. q C est le pendant en temps contnu de l équaton aux dfférences consdérée plus haut. La famlle pertnente de condtons dophantennes, paramétrée par g > 0, t " 0, est mantenant HDC( γτ, ): = { α R n, < k, α> aγ k n, k Z n, k 0}. τ On pose auss HDC(t) = È g>0 HDC(g, t), HDC = È t " 0 HDC(t). Un premer résultat où apparaît l mportance de cette condton arthmétque est le suvant. S a appartent à HDC, tout champ de vecteurs assez proche, dans la C -topologe, du champ constant X a s écrt, de façon essentellement unque, sous la forme X = X t + h * X a, avec t Î R n vosn de 0 et un dfféomorphsme h de ) n vosn de l dentté. Sot T un tore lagrangen a-quaspérodque nvarant par un champ de vecteurs hamltonen X H. Un symplectomorphsme appropré permet de se ramener au cas où la varété ambante est le fbré cotangent ) n R n, mun de la forme symplectque standard, T est la secton nulle ) n {0}, et H a pour développement lmté le long de T = ( ) Hqp (, ) c a p b ( qpp ) O p., La torson de T est la matrce symétrque B := ) n b (q) dq. Lorsque a est dophanten, on peut, pour tout N > 0, chosr le symplectomorphsme de façon que H se présente sous forme normale de Brkhoff Hqp (, ) = c + a p + B pj+ O( p ). 0 J 2# J# N 3 N+ Au vosnage de T, le hamltonen H se présente ans comme perturbaton d un hamltonen complètement ntégrable. Dans sa forme la plus smple, le théorème KAM, annoncé par Kolmogorov en 954, démontré par Arnold et Moser au début des années 60, garantt la persstence d un tore lagrangen a-quaspérodque nvarant dont le vecteur de fréquence est dophanten et la matrce de torson est non dégénérée.

8 00 JEAN-CHRISTOPHE YOCCOZ On a présenté le théorème d nverson locale de Hamlton, dont la preuve repose sur le schéma tératf de Nash-Moser. Le cadre conceptuel est celu des bons espaces de Fréchet, de la dfférentablté au sens de Gâteaux, et des bonnes applcatons. Une dfférence mportante avec le théorème d nverson locale usuel est qu l faut pouvor nverser la dfférentelle sur tout un vosnage du pont consdéré. Le théorème de conugason rectfée est une verson du théorème KAM qu ne requert pas d hypothèse sur la torson. Sot a un vecteur de fréquence dophanten. Un hamltonen K, défn au vosnage de ) n {0}, préserve ce tore et y ndut le champ constant X a s et seulement s K s écrt (&) Kqp (, ) = c+ ap+ O( p ). Sot K 0 un tel hamltonen. Le théorème de conugason rectfée affrme que tout hamltonen H proche de K 0 s écrt de façon essentellement unque sous la forme H K-G b p, = + où K est un hamltonen vérfant (&), G est un symplectomorphsme exact proche de l dentté, et b est un vecteur de R n proche de 0. La démonstraton du théorème est une applcaton assez drecte du théorème d nverson locale de Hamlton. Dans les applcatons du théorème de conugason rectfée, l eneu est d annuler le vecteur de rectfcaton b. Pour obtenr la verson standard du théorème KAM, on applque le théorème de conugason rectfée au hamltonen translaté H P (q, p) = H(q, p + P). On observe que l applcaton P b(h P ) est un dfféomorphsme quand l hypothèse de non-dégénérescence de la torson est satsfate. On obtent donc une unque valeur P * annulant b(h P ), et on conclut à l exstence d un tore lagrangen a-quaspérodque cohomologue à {p = P * } pour le champ hamltonen X H. Il est évdemment souhatable en général de pouvor conclure à l exstence de tores nvarants lagrangens pour des famlles de vecteurs de fréquence satsfasant une même condton dophantenne HDC(g, t), et de comprendre l applcaton qu assoce à un vecteur de fréquence dophanten le tore correspondant. Le contexte pertnent est c la dfférentablté au sens de Whtney. Pöschel a montré le résultat suvant. Sot H 0 = H 0 (p) un hamltonen complètement ntégrable sur ) n U, dont la matrce hessenne est partout non dégénérée. Soent g > 0, t " 0 et L une parte compacte de ÑH 0 (U) contenue dans HDC(g, t). S H est un hamltonen suffsamment vosn de H 0, le champ X H possède, pour tout a Î L, un unque tore lagrangen a-quaspérodque et celu-c dépend de façon C au sens de Whtney de a. Une conséquence mportante, antcpée par Arnold, est que les tores nvarants lagrangens de X H occupent une proporton postve de l espace des phases. Un outl mportant pour la preuve du théorème de Pöschel est une verson à paramètres du théorème d nverson locale de Hamlton. Celle-c permet de démontrer une autre verson du théorème KAM, le théorème de conugason condtonnelle. Le pont de départ est le même que celu du théorème de conugason rectfée. Le théorème de conugason condtonnelle fournt, au vosnage du hamltonen ntal K 0, une applcaton lsse H a(h) ayant la proprété suvante : lorsque a = a(h) appartent à HDC(g, t), H s écrt sous la forme H = K - G, 2

9 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET SYSTÈMES DYNAMIQUES 0 avec K vérfant (&) ; le champ X H possède alors un tore lagrangen exact a-quaspérodque. De plus, K et G dépendent de façon C au sens de Whtney du hamltonen H. Consdérons à nouveau le hamltonen translaté H P (q, p) := H(q, p + P). Sous les hypothèses de non dégénérescence du théorème de Pöschel, l applcaton P a(h P ) est un dfféomorphsme et l exste donc un ensemble de mesure postve de valeurs de P telles que a(h P ) appartenne à HDC(g, t) (à condton d avor chos g assez pett). Le théorème de conugason condtonnelle met en évdence l mportance du problème suvant : étant donné une applcaton lsse a défne sur un ouvert U de R m, à valeurs dans R n, peut-on garantr que l ensemble des t Î U tels que a(t) Î HDC(g, t) sot de mesure postve s g est assez pett et t est assez grand? Il faut au mnmum évter que l mage de a sot contenue dans un hyperplan ratonnel de R n! Consdérons d abord le cas où m = et U est un ntervalle borné I. On dt que la courbe a est (a,b)-non-planare en t Î I s la matrce A(t) dont les colonnes sont a(t), Da(t),..., D n- a(t) est nversble et vérfe A(t) # b, "A - (t)" # a -. Pyartl a montré le résultat suvant. Sot t > n(n - 2). S la courbe a est (a, b)-nonplanare en tout pont de I, la mesure de Lebesgue de l ensemble des t Î I tels que a(t) Ï HDC(g, t) est au plus égale à b C( τ)( + a I ) ( ) /( n ) Dans le cas général m ³, on dt que a est (a, b)-fablement non-dégénéré en t Î U s l exste un germe n : (R, 0) (U, t) tel que a - n sot (a, b)-non-planare en 0. Lorsque cec a leu en tout pont de U, le théorème de Pyartl permet encore de contrôler, va le théorème de Fubn, la mesure de l ensemble des t Î U tels que a(t) Ï HDC(g, t). Les résultats précédents permettent d obtenr un ensemble de mesure postve de tores lagrangens dophantens en remplaçant l hypothèse classque de nondégénérescence de la torson par une hypothèse de non-dégénérescence fable. On a termné le cours en présentant un plan de preuve du théorème de «stablté du système solare». Arnold en a donné une preuve ncomplète dans les années 960. Herman a présenté un plan de preuve dans une sére d exposés dans les années 990, que Feoz a ms en oeuvre de façon précse au début des années On consdère le problème planétare à ( + n) corps de la mécanque céleste. Dans les coordonnées hélocentrques, on écrt le hamltonen sous la forme H = H Kep + eh per, où e est le pett paramètre représentant le rapport entre la masse des planètes et la masse du solel ; H Kep est le hamltonen Kepleren correspondant à l attracton mutuelle du solel et de chacune des planètes ; H per est le hamltonen perturbatf correspondant à l attracton mutuelle des planètes. On s ntéresse à des solutons proches d orbtes crculares horzontales drectes de rayons an 0 < $ < a 0. Le théorème de stablté du système solare affrme que, pour tout chox de masses m 0, em,..., em n et de rayons an 0 < $ < a 0, l exste, s e est assez pett, au vosnage du tore de dmenson n formé par ces orbtes γ a.

10 02 JEAN-CHRISTOPHE YOCCOZ crculares, un ensemble de grande mesure de Lebesgue relatve formé de tores nvarants quaspérodques sotropes de dmenson 3n -. Les coordonnées de Poncaré (l, L, x, h, p, q ) ##n sont partculèrement ben adaptées à H K ep, dont les solutons sont une famlle de n ellpses keplerennes, dans la régon de l espace des phases consdérée. Les coordonnées (p, q ) décrvent la poston dans l espace du plan de l ellpse (presque horzontal). Les coordonnées (h, x ) décrvent la poston de l ellpse (presque crculare) dans son plan. La coordonnée L est assocée à la talle de l ellpse et la coordonnée l à la poston de la planète sur l ellpse. La forme symplectque prend la forme standard ω= dλ dλ + dξ dη + dp dq. Le hamltonen H Kep ne dépend que des coordonnées L, les fréquences assocées H n Kep = vérfant la trosème lo de Kepler. Le hamltonen H Λ Kep est donc complètement ntégrable, mas avec de multples degrés de dégénérescence! Le vecteur de fréquence appartent à un sous-espace ratonnel de dmenson n. Le hamltonen séculare H (L, x, h, p, q) est la valeur moyenne de H per par rapport aux varables rapdes l. C est une foncton pare des varables z := p + q, r := x + h, où les varables L ouent le rôle de paramètres. L orgne z = r = 0, qu correspond aux orbtes crculares horzontales, est un équlbre pour H. D après Lagrange et Laplace, l exste une transformaton orthogonale et symplectque r telle que 4. H -ρ(, ξ η, p, q) = σ ( ξ2+ η2) + ζ ( p2+ q2) + R Les nombres s,..., s n, z,..., z n sont les fréquences du système séculare H. Le vecteur de fréquence planare (n,..., n n, s,..., s n ) dépend de façon fablement non-dégénérée des rayons ( a 0, $, a 0 n ). On peut après une réducton prélmnare applquer le théorème de conugason condtonnelle. Par contre, le vecteur de fréquence spatal (n,..., n n, s,..., s n, z,..., z n ) est contenu dans le sous-espace ratonnel d équaton ζ = 0, σ + ζ = 0. n La réducton du moment cnétque permet cependant de dmnuer de 2 le nombre de degrés de lberté. Le vecteur de fréquence spatal devent alors fablement nondégénéré, ce qu permet de conclure. publications MarM S., Moussa P. et yoccoz J.-C., «Lnearzaton of generalzed nterval exchange maps», Annals of Mathematcs. Second Seres, vol. 76, n o 3, 202, , DOI : /annals avla A., Matheus C. et yoccoz J.-C., «SL(2, R)-nvarant probablty measures on the modul spaces of translaton surfaces are regular», Geometrc and Functonal Analyss, vol. 23, n o 6, 203, , DOI : 0.007/s