Mathématiques. Correction de la Serie d'exercices n 1. Thème: Nombres complexes. Dhaouadi Nejib. Novembre Page : 1

Transcription

1 Correcton de la sere d'exercces n --- ScExp Mathématques Correcton de la Sere d'exercces n Thème: Nombres complexes Professeur : Dhaouad Nejb Dhaouad Nejb Novembre Page :

2 Correcton de la sere d'exercces n --- ScExp Correcton de l exercce n a ( ) ² = + + = ²( ) b c = + ( + )( ) + = = ² = = = e ² = e ² = = =, arg(²) = [ ] arg() = [ ] arg() = [ ] 8 Sur [ ; [ , on aurat sot = e, sot 8 = e = e Le sgne de la parte réelle et de la parte magnare de donné dans l énoncé nous donne 7 8 = = e Correcton de l exercce n Sot on développe brutalement en utlsant le bnôme de Newton, sot on calcule d abord 6 ( + ) = + + =, ce qu donne ( + ) = () = 8 Une autre possblté état de mettre + sous forme trgonométrque : a Comme 6 ( + ) = 8, on a développer et trouver + b D une manère générale l équaton l autre racne + = e d où ( ) + = 8 donc = ( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) = De la même manère on peut écrre ( + ) = ( + ) (on peut smplfer et trouver ) Correcton de l exercce n 5x 5x e + e cos 5x =, ( + ) = e = 8e = 8 ( + ) est une soluton On peut = u a les deux solutons = u et = u, sot c 6 donc 5x 5x e + e 0x 0x cos ²5x = = (e + + e ) ( + ) est une soluton de (E ), e sn x = x x 0x 0x x 7x x x 7x x e e cos ²5x sn x = (e + + e ) = (e e + e e + e e ) 8 (e x e x e 7x e 7x e x e x ) = x x 7x 7x x x e e e e e e = ( + ) = (sn x sn 7x + sn x) x e x Dhaouad Nejb Novembre Page :

3 Correcton de la sere d'exercces n --- ScExp Correcton de l exercce n a = = e = e =, = 8e = 8 Comme on tourne à chaque fos de 60, tous les exposants multples de ramèneront sur l axe réel (un coup postf, un coup négatf) ; tous les multples de + (comme,, 7, ) seront sur la drote ssue de O et passant par, enfn tous les multples de + seront sur la drote ssue de O passant par est un multple de 6 (x), on a = e = k, et = e = ( ) b + 8 = 0 a comme racne évdente ; on factorse + : donne en développant et dentfant les coeffcents : + 8 = ( + )(a + b + c) ce qu + 8 = ( + )( + ) Les autres racnes sont alors : = +, = Pour résoudre ( ) + 8 = 0 on reprend l équaton précédente avec le changement d nconnue Z =, ce qu donne les solutons en Z ; on revent en arrère pour les solutons en Z + Z = = Z + = = Z d où les tros solutons : 0 = ( ) =, = ( + ) = et = ( ) = Correcton de l exercce n 5 = + = = = + + = + = = = = + A = + = + = e A e 6 e e 6 B e 5 6 et B = + = + = e = = = donc module et argument 6 Le trangle ABO est socèle en O pusque A B On dot avor AC = OB = et ( ) B A OA, OB = arg = 6, sot ( ) ( )( ) C A = B Z O C = A + B = + + = + + L are du trangle ABC est : Dhaouad Nejb Novembre Page :

4 Correcton de la sere d'exercces n --- ScExp AB OC = B A C O = = ( ) + ( + ) + ( )( ), sot 6 cm = = Correcton de l exercce n 6 Parte A a = 5 + 5, b = + et c = 8 Ω ( 5 ) ; Ω A = = 5, Ω B = + 5 = + = = 5 et Ω C = 8 5 = = 5 donc A, B et C sont des ponts du cercle Γ On vérfe par exemple que D est sur BC, sot que BD est colnéare à BC : 8 u 7 = = 0 et que OD est orthogonal à BC : 0 = = 7 0 Parte B ' = On peut écrre 0 0 uu ' OM ' 0 u = = = OM, ce qu montre que les ponts O, M et M OM sont algnés a M a pour affxe = + y donc + = + y + y = ( + ) b ' + ' = + = + = = ; on a donc 5( ' + ' ) = = = ' ' c Il est clar que M est sur (OM) pusque O, M et M sont algnés Il reste à montrer que M est sur Γ, sot que ' 5 = 5 ( ' 5)( ' 5) = 5 ( ' 5)( ' 5) = 5 ' ' 5( ' + ') + 5 = 5 ' ' = 5( ' + ') Correcton de l exercce n 7 Une équaton ultra-classque qu donne les racnes = = e + = = = = = = + = = e et e e Déjà fat Les ponts en queston forment un trangle équlatéral avec le pont d affxe sur le cercle trgo Dhaouad Nejb Novembre Page :

5 Correcton de la sere d'exercces n --- ScExp Correcton de l exercce n 8 + = 0 : les racnes sont = + et =, dont le module est et l argument / et / Pour les carrés on a = e = + et = e = a Comme on pouvat s y attendre (enfn, des fos c est dfférent ) les résultats du se retrouvent comme affxes des ponts du On fat la fgure : C A - O B D ABCD est un trapèe socèle (les drotes (AB) et (CD) sont vertcales donc parallèles ; les ponts A et B étant conjugués sont symétrques par rapport à (Ox), même chose pour C et D b Avec les arguments c est mmédat, snon on utlse les vecteurs : par ex OC = + = ( ) = OB La symétre par rapport à l axe réel montre que les dagonales se coupent en O c AD = = et AC = + = + On peut fare le produt scalare : ADAC = = 9 9 = 0 C est bon Dhaouad Nejb Novembre Page : 5

6 Correcton de la sere d'exercces n --- ScExp Correcton de l exercce n = 0 : ou = a a = = 8 = 8e = 6 6 = 6 = (8) d où = = + 6 et b = + b = + = 8 + = 8e b Il est mmédat que OA = OB = 8 ; AB = b a = + + = 8 = 8 OAB est équlatéral d = e ( + ) = e + = e e = e = a G : barycentre de (O ; ), (D ; +), (B ; +) exste car la somme des coeffcents n est pas nulle Son affxe est G = ( O + D + B) = d + b = + + = b Il faut évdemment utlser les formes trgo 6 c C, D et G sont algnés : CD u a pour affxe d c = ( + ) = + et DG a pour affxe u g d = + 6 = + = (d c) donc DG = CD d Appelons K le mleu de [BD], alors G est le barycentre de (O ; ), (K ; ) d où OG = OK OG = OK, donc K est le mleu de [OG] Mêmes mleux donc + parallélogramme Dhaouad Nejb Novembre Page : 6

7 Correcton de la sere d'exercces n --- ScExp Correcton de l exercce n 0 a y soluton de l équaton P() = 0, sot P( y ) = 0, sot ( ) ( ) ( ) ( ) y y + 7 y 7 = 0 y + y + y + y + 7y 7 = 0 Cec donne le système y + y = = y y 7y 7 0 y = 0 qu ne convent pas dans la seconde lgne et y = qu convent b P() ( )( a b ) ( )( 7 ) = + + = + + ; la premère lgne donne comme solutons c P() = 0 : = 0, = 96 = 95 = 5 59 d où les racnes =, =, = b ABCN parallélogramme s AB = NC N = A B + C = = + A C c Calculer Z = = = = = = = e = D B A C On a donc Z = m agnare donc les drotes (AC) et (BD) sont perpendculares ; comme D B ABCD est un parallélogramme, c est un losange Correcton de l exercce n ( )( ) P( ) = 9 6 ( ) = 0, ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = ( + )( + ) P = = 0 P = + + a + b = + a + a + b + a + b donc a = 6 et b =, sot P 6 6 = = = 6 + 6, = = +, = = et + : ( ) P() = 0 a pour racnes et ans que Comme A et B d un côté, C et D de l autre sont symétrques par rapport à l axe ( ( O, u r ), les trangles ABC et ABD ont mêmes cercles crconscrts, ls appartennent donc au même cercle E, le symétrque de D par rapport à O a pour affxe D = + ( + )( ) C B = = = = = e E B Le trangle BEC est donc équlatéral Correcton de l exercce n + ( + )( + ) b = = = = B appartent au cercle (C) s et seulement s BK = IK =,5 : Dhaouad Nejb Novembre Page : 7

8 Correcton de la sere d'exercces n --- ScExp BK( K B) avec K B = b = + = d où k B = = + = + = donc BK = =,5 et B appartent au cercle (C) a KD(d + ), d + = KD =, 5 car D appartent au cercle (C), uur arg(d + ) = (u ; KD) = (KI ; KD) = + k b On en dédut que d e (cos sn ) ( ) + = = + = + = + donc d = + = + c + a = + ( + a) = ( a)( + ) + 8a = + a + a a + a = + 8a = + a + ( a) a = a = 8a + x m x x x Z x + + = = = = = x, Z = x et arg(z) = + k m + + x + + x + x x m u or arg(z) = arg( ) = (AM ; IM) donc le trangle AIM est rectangle en M, ce qu sgnfe que le m + pont M appartent au cercle (C) + y n n n = n( y) = + y n ny = + y y( + n) = n y = = y n + n + car n pusque N est dfférent de A Vérfons que y est réel [s n = (N = I) alors on prend y = 0] : n n arg y = arg( ) = arg( ) + arg( ) = + k ' + + k '' = k donc y est réel n + n + Dhaouad Nejb Novembre Page : 8