Détermination des champs électriques et magnétiques. statiques par la méthode de séparation de variables

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1 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables Chapitre III Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables La méthoe e séparatio e variables joue u rôle importat as la solutio es problèmes au limites e prospectio électrique et magétique. Cette méthoe peut-être appliquée as le cas où les foctios e séparatio sot cofoues avec les cooroées e surface 'u quelcoque système orthogoal e cooroées. Ue étape importate as la réalisatio e la séparatio es variables est e trouver les solutios partielles (particulières) e l'équatio e Laplace. III. Système e cooroées sphériques Das le système e cooroées sphériques, la positio 'u poit est caractérisée par les cooroées r,ϕ, Ψ (fig I.7): l r l rθ l r si θ Ψ Aisi, les coefficiets métriques h, h r, h 3 r si ϕ, ce qui permet 'écrire l équatio (I.67) sous la forme: U U ² U r si r ² r r r ² siθ θ θ ² U r ² si θ ψ ² (III.) Solutio e l équatio e Laplace pour ue foctio potetielle à symétrique aiale Das le cas 'ue symétrie aiale l'équatio (III.) pre la forme: U r² r r si θ θ U si θ θ (III.) La méthoe e Fourier e séparatio e variables permet e éuire ue solutio particulière e l'équatio e Laplace: U ( r, θ ) f ( r ) f ( θ ) (III.3) E substituat l'égalité (III.3) as l'équatio (III.) et après trasformatio, o obtiet: 4

2 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables f f r ² si θ f r r f si θ θ θ Les eu parties e cette équatio peuvet être égales à ue même costate k, ce qui couit à eu équatios ifféretielles: f f si θ r f r ² k ; r (III.4) f si θ k θ θ (III.5) Les solutios particulières e l'équatio (III.4) sot les foctios f r et f r coitio que: ()k à (III.6) La solutio géérale e (III.4) est ue combiaiso liéaire e ces eu solutios liéaires iépeates: où a et b foctio e. f ( r ) a r b / r, (III.7) sot es coefficiets iépeats es cooroées, mais qui peuvet être E substituat l'epressio (III.6) as l'équatio (III.5), pour la étermiatio e la foctio f, o obtiet l'équatio e Legere: f θ f si θ θ θ si ( ) (III.8) qui peut être présetée sous forme: f ( c o s ² θ ) ( ) f ( c o s θ ) ( c o s θ ) Il est plus facile 'utiliser le chagemet e variable cos θ qui varie sur l'itervalle [-, ] lorsque θ écroît e π à : f ( ²) ( ) f (III.9) Si l o cherche la solutio e l'équatio e Legere (III.9) sous forme 'ue série ifiie: p f a, i 4 i i

3 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables alors pour - u ombre o etier, les eu solutios serot es séries ifiie sur [-,]. Si est u ombre etier, l ue es séries se trasforme e polyôme sur [-,]. La foctio e Legere e euième orre est ue solutio pour etier. Afi 'obteir l'epressio e ce polyôme, soit la foctio: Sa érivée est: u / et la foctio elle même satisfait l'équatio: Le calcul e sa érivée par rapport à oe: u (²-) (² ), ( ²)( u / ) u (III.) ² u ( ² ) ( ) u u (III.) ² Après le calcul e la première ifféretielle, o obtiet: ² u ( ²) ( ² u ( ), Après le calcul e la secoe ifféretielle, o a: ) u ² ² u ² u ( ² ) (. ) ² ² ² ² u [ ( ) (. )] ² Le calcul e la -ieme ifféretielle oe: c est à ire; ² u u ( ²) ( ) ² u [ ( ) ( 4) K ( )], ² u u u ( ²) ( ). (III.) ² La comparaiso es formules (III.) et (III.9) motre que u / est u polyôme u -ième egré qui satisfait l'équatio e Legere. Afi 'obteir cette érivée sur les limites e l itervalle [-, ], réalisos les trasformatios suivates: 43

4 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables ( ² ) [. ( ² ) ]; ( ² ) [ ( ). ² ² ( ² ). ( ² ) ]; ( ² ) [ ( )( ). ( ² ) 3 ( ). ² ( ) ( ² ) ]. La -ième ifféretielle oe: (² )! (² )Q, où Q est u polyôme e egré iférieur à (-) Aisi, les valeurs e u / composet sur les limites e l itervalle cosiéré! ( ) et!. E ormalisat u par rapport à sa valeur au poit, o obtiet le polyôme: P ( ) ( ² ) (III.3)! Ce polyôme satisfait l'équatio (III.9) et il est égal sur les limites e l'itervalle à: P ( ) ; P ( ) ( ) (III.4) De la formule (III.3), o a: P ( ) ; P ( ) ; P ( ),5 (3 ² ) (III.5) Les graphes es polyômes e Legere sot motrés par la figure (III.). Fig III. Sur la base es foctios (III.3), (III.7), e posat ƒ P (cosθ), o trouve la solutio particulière e l'équatio e Laplace (III.): U ( r, θ ) a r P ( c o s θ ) b r P ( c o s θ ) ( ) ; 44

5 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables La somme e toutes les solutios particulières oe: U(r, θ) a r P (cos θ) b P (cos θ) r (III.6) Calcul e la foctio /R par le polyôme e Legere La istace iverse etre u poit fie (r', θ,) situé sur l'ae z et le poit (r, ϕ) est eprimée par: (III.7) R r ' ² r ² r ' r c o s θ E raiso u caractère harmoique e la foctio /R, celle ci oit être représetée sous forme e la première ou la secoe série (III.6); oc: R a r P (cos θ ), r < r '; (III.8) b P ( cos θ ), r > r '. r Afi e étermier les coefficiets a et b, o pose θ et o tiet compte e la première égalité (III.4) : R a r, r < r ', (III.9) b, r > r '. r L epressio (III.7) pour θ peut être représetée sous forme 'ue progressio géométrique: R r ' r r ' r r, r < r '; r ' r ', r > r '. r Les égalités (II.9) et (II.) coverget si a /r' ; b r'. Doc, écompositio pour la istace iverse a la forme: (III.) la R r r r' r r' P r P (cos θ ), (cos θ ), r r'; r r'. (III.) 45

6 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables III. Système e cooroées cyliriques L équatio e Laplace (I.67) e cooroées cyliriques est: U ²U ²U ² U r r r r (III.) r² ψ² z² Fig II. La solutio particulière e cette équatio est cherchée sous forme: U f ( r ) f ( ψ ) f ( z ) (III.3) 3 O ivise esuite l'équatio (III.) par f f f 3 /r² : ² ² ² 3 r f f r f r f r r f ψ ² f 3 z ² (²f /f²)/f et ²f 3 / z² /f 3 e épeet pas es cooroées, 'où: ² f ² f f f z ξ (III.4) 3 v² ; ², ψ ² 3 ² (III.5) Où v et ξsot les paramètres e séparatio. Si o trasforme l'égalité (III.5) e (III.4) et e pose v ξ r, o obtiet e la foctio f l équatio e Bessel: ² f f ² f, v ² v v v ² ot la solutio est f pour le paramètre. (III.6) Sur la base es formules (III.3), (III.5) et (III.6), les solutios particulières e l'équatio e Laplace sot: 46

7 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables U ± f ( ξ r )si ( ψ ) e f ( ξ r )cos ( ψ ) e ξ z ; ± ξ z. (III.7) Foctio e Bessel Soit f y et v. L équatio e Bessel (III.6) eviet: ² y y ² ( ² ² ) y. (III.8) ² ot la solutio est cherchée à l aie e la série: y j s j aj, (III.9) e posat a. Après avoir remplacé la formule (III.9) as l'équatio (III.8) o obtiet: j [( j s)² (² ²)]a j s j qui reste satisfaisate. Celui-ci est possible si:, (III.3) a [( j s )² ²] a, j,, K (III.3) j j Sachat que a - a -..., pour j et, o obtiet pour a et a : a ( s ² ²) ; a [( s)² ²]. (III.3) Etat oé que a, il suit e l équatio (III.3) que s±; toutefois e la secoe équatio, o a a. Aisi, tous les coefficiets impairs e la série sot uls. Pour s >, la formule e récurrece pre la forme: a j a j [j( j)], (III.33) c est à ire; a a a a ( ) ²( ) a a ²( ).4( 4) ( )( )! ; 4 4 ; (III.34) a a a ( ) ( ).! 6( 6) ( 3)( )( ).3! L 6 ; 4 5 Doc, pour u ombre etier et positif, la solutio e l équatio ifféretielle (III.8) est sous forme e la série: 47

8 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables ( ).! ( ) ( ).! ( 3)( ) ( ).3! y a (III.35) Afi e étermier la solutio, le coefficiet costat est choisi égal à : ( ) a Γ, (III.36) où Γ ( v ) est la foctio gamma, ot la courbe Γ ( ) est illustrée par figure (III.3). Fig III. 3 La foctio gamma est eprimée par la formule e récurrece : ( ) ( )( ) ( ) ( ) Γ m m m... Γ, m, 3... (III.37) Si avec u ombre etier, o a l égalité : ( )! puisque Γ ( ) Γ ( ). Γ (III.38) Aisi la solutio e (III.35), avec l aie e l égalité (III.37) se trasforme e foctio e Bessel e première espèce et orre v : J m ² 4 () m! ( m ). (III.39) m Γ par eemple, si J ( ² / 4) (! ) ² ( ² / 4) ( 3! ) ² 3 ² / 4 ²... (III.4) (!)² 48

9 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables La série (III.39) coverge. E remplaçat v par v as l équatio (III.8), o obtiet ue autre solutio J. Les eu solutios J et J sot liéairemet iépeates sauf as le cas qua v est u ombre etier. Par ailleurs, o a : La relatio J ( ) ( ) J ( ). (III.4) cos ( π ) J ( ) J ( ) N. (III.4) si ( π ) est la foctio e Bessel e euième espèce, appelée aussi la foctio e Neuma. Les foctios J ( ) et ( ) N sot liéairemet iépeates v. Si (etier) ; o a ue iétermiatio e (III.4). Afi e l élimier il faut calculer es érivées u umérateur et u éomiateur N π si J π ( π ) J cos( π )( J / ) π cos( π ) ( ) J π J / (III.43) Il faut étermier aussi les érivées es foctios : ( / ) ( / ) l ; l, (III.44) et la érivée e la foctio iverse gamma : ' Γ ψ ( ) Γ m Γ Γ ( η) ( η), (III.45) où Ψ Γ / Γ est la foctio ψ égale à la érivée e la foctio l Γ ; η m. Pour u argumet etier et positif, o a Γ ( η) ( η )! et v Γ v ψ ( η) ( η )! (III.46) alors que ; 49

10 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables () ; ( ) k,,3,... ψ γ ψ η γ η (III.47) k où γ, la costate Euler Les foctios Γ et ψ au poits etrêmes p,-,-, sot étermiées par les relatios : Γ ( η ) p ( ) p!( η p ) ; ψ ( η ) η. p La érivée (III.45) à ces poits a oc l epressio ψ ( η) η ( ) η!, η,,,... v Γ Γη (III.48) E remplaçat les epressios e J () et J () as la foctio (III.43) et e utilisat les relatios (III.44), o obtiet : N ( ) l J π m ( ) π m [ ( ) ( )] ( ² / 4 ψ m ψ m ) m!( m)! ( m) m m!! 4 m π (III.49) E particulier, ( ² / 4) ( ) ² / 4 ² / 4 ² N ( ) L γ J ( ) π π (!)² (!)² (3!)² (III.5) Des formules (III.39), (III.4), (III.49) et (III.5) pour les très petites valeurs e l argumet, o a : J( ) ; J( ),,, (III.5)! ( )! N( ) L ; N,, (III.5) π π Afi e représeter la foctio e Bessel as l itervalle es graes valeurs u moule e l argumet, posos y u / as l équatio (III.8) : 5

11 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables ²u ² ² / 4 u ² Pour, la foctio u oit satisfaire l équatio approimative : ot la solutio est : ²u / ² u, (III.53) u y() c cos c si Aisi, pour les graes valeurs e, l équatio e Bessel satisfait la foctio : cos y c c si. O peut étermier les costates c et c et obteir l epressio asymptotique pour eu solutios liéaires iépeates avec (etier) : π π J( ) cos, ; (III.54) π 4 π π N( ) si,. (III.55) π 4 La figure (III.4) oe les foctios e Bessel e première et seco espèces et orre etier. Les foctios e Bessel J et N peuvet être itrouites as la relatio (III.7) et o peut écrire la solutio particulière e l équatio e Laplace sous forme e : U ξz ξz [ cj ( ξr) N ( ξr) ]( ae be )( p si ψ g cos ψ), (III.56) où a, b, c,, g, p sot les costates itégratio. Si U et l agle ψ sot iépeats, c'est-à-ire as le cas ue symétrie aiale u champ, et o a : ξz ξz [ ( ξ ) ( ξ ) ] ( ) U cj r N r a e be (III.57) Foctio e Bessel moifiée U autre type e solutio particulière e l équatio e Laplace peut être éuit si l o pose le paramètre e séparatio ξ i ξ. Doc, les solutios e l équatio (III.64) pour f 3 sot es foctios sius et cosius e l argumet ξ. Après avoir remplacé l égalité (III.64) as l équatio e Laplace (III.63), o a : z 5

12 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables ² f f ² f, v ² v v v ² (III.58) où v ζr Par coséquet, les solutios particulières e l équatio e Laplace ot la forme : U ( ξ ) ( ψ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ψ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ψ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ψ ) ( ξ ) f r si si z ; f r si cos z ; f r cos si z ; f r si cos z. (III.59) Fig III.4 Si l o utilise f y; v, l équatio (III.58) s écrit sous forme : ² y ² ² ( ² ) y y (III.6) Si l o remplace par i, o obtiet l équatio e Bessel (III.8). Par coséquet, la foctio Jv ( i ) est l ue es solutios e l équatio (III.39).Aisi au lieu e Jv ( i ) o utilise ; I ( ) i J ( i), (III.6) qui s appelle la foctio e Bessel moifiée e première espèce. Des formules (III39) et (III.6) il s e suit que : 5

13 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables m ( ) ( ² / 4 ) I (III.6) m! Γ ( m ) m Si E gééral v, o obtiet : I ( ² / 4 ) ² ( ² / 4 ) 3 ( ) ² / 4... (III.63) (!)² (!)² (3!)² K () π I () I () si (vπ) qui s appelle la foctio e Bessel e euième espèce. Si v (etier), o : K ( ) I () I () () (III.64) Des formules (III.6) et (III.64) et e utilisat les relatios (III.44)-(III.48), o obtiet : m ( ) m ( / 4) ( )! m K ( ) ( ) l I ( ) m m! [ ψ ( m ) ψ ( m )] (III.65) 4 m E particulier, pour m!( m)!. ² / 4 (² / 4)² K () [l ( / ) γ ]I () ()! ()²! 3 (² / 4) 3 (3!)²... (III.66) Pour les petites valeurs e l argumet es foctios e Bessel moifiées, o obtiet es formules (III.6), (III.63), (III.65) et (III.66) ce qui suit : I () ; I () / (!),, ; (III.67) K () l ; K () ( ),,. Pour les graes valeurs e, l équatio (III.6) e posat y u l équatio approimative : (III.68), couit à 53

14 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables u() y() c e c e, c est-à-ire ; y() c e c e. O peut étermier les costates c et c et obteir la représetatio asymptotique : l () e π ; K () π e,. (III.69) Les graphes es foctios e Bessel moifiée sot représetés par (fig. III.5) E se basat sur la formule (III.59), la solutio particulière e l équatio e Laplace est eprimée par : [ ai ( ξr) bk ( ξr) ] [ ccos( ξz) si ( ξz) ] ( psi ψ g cos ψ) U (III.7) Das le cas ue symétrie aiale u champ U et le paramètre, o a : [ ai ( ξr) bk ( ξr) ] [ ccos( ξz) si ( z) ] U ξ (III.7) Fig III.5 Relatio etre les foctios e Bessel e ifférets orres. Les relatios etre les foctios e Bessel e ifférets orres et leurs érivées sot : J J J ; I' I I ; K K K ; (III.7) ( ) J ' J J ; I ' I I ; K K K ; (III.73) J' (III.74) J; N' N; I' I; K' K 54

15 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables ( J ) ( J ; ( K ) I ) K ; I (III.75) ( J) J ; ( I) I ; ( K) K (III.76) La épeace étermiée etre eu solutios e l équatio e Bessel permet alors écrire : J N J N / ; K I K I /, (III.77) Calcul e /R par la foctio e Bessel Soit la istace R e l origie es cooroées ou etre u poit fie sur l ae z et u poit e cooroées r, ψ, z. La foctio harmoique /R, épeat seulemet e r et z oit être ue superpositio es solutios (III.57) avec le paramètre ξ variable e à. E teat compte e la écroissace e /R avec l augmetatio e r et z, o peut avoir : ( r² z² ) a ( ξ ) J a ( ξ ) J ( ξr) e ( ξr) e ξz ξz ξ, ξ, z z (III.78) puisque cette foctio est limitée pour r et z. O pose r et e teat compte e la première formule (III.5). Alors les eu epressios (III.78) coverget lorsqu o pose ξ t / z vers l égalité : qui est coservée pour a. Par coséquet : t a e t z z ( r ² z² ) e e ξz ξz J J ( ξr) ξ, ( ξr) ξ, z. z. (III.79) 55

16 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables O peut aussi calculer la istace iverse e utilisat les solutios particulières e l équatio e Laplace (III.7) e utilisat la superpositio es solutio par rapport à z, qui imiuet qua r : ( ) r ² z ² bk ( ξr) cos ( ξz) ξ (III.8) Si l o pose b cost et après itégratio par parties, o obtiet : b K( ξr) si ( ξ z) K ( ξr) r si ( ξ z) ξ (III.8) z ( r² z² ) Selo les formules asymptotiques (III.68), (III.69), seule l epressio itégrale as l égalité (III.7) reste respectée. O peut avoir, aisi : b r K ( ξ r) si ( ξ z ) ξ z ( r ² z² ) Cette epressio se trasforme pour r e : ( ξ ) b si z ξ z z (III.8) ξ De plus, selo la euième formule (III.68), la foctio K ( ξr) /( ξr) qua r. La coitio (III.8) est respectée pour b / π. E la remplaçat as la formule (III.8), o obtiet : ξ ξ ξ π K ( r) cos ( z) (III.83) ( r² z² ) L epressio géérale e /R etre le poit ( r ', ψ ', z' ) et ( r, ψ, z) est oée par les formules : R ξ z z ' δ e J ( ξ r ) ξ cos ( ψ ψ ') ; (III.84) δ K ( ξr) I ( ξr ') cos [ ξ ( z z ') ξ cos ( ψ ψ '), r r ' R π (III.85) où δ et δ pour. Das le cas où r < r o remplace r par r '. 56

17 Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables Bibliographie - Coulomb J, Jobert G. Traité e géophysique itere. Masso et Cie, Paris Laau L. Lifchitz.E. Théorie es champs. Mir, Moscou Smirov V. Cours e mathématiques supérieures, T. Mir, Moscou