Ind: On pourra supposer que limu n = l et calculer u n+1. Ind: On pourra exploiter les relations reliant u et v. n n. 1 + n 2.

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1 PCSI Exercices Chapitre 4: Suites umériques Elémets de correctio e lige Limite d'ue suite réelle Soit u ue suite à termes réels strictemet positifs telle que (u + /u ) coverge vers l a) Motrer que si l < alors u coverge vers b) Motrer que si l> alors u diverge vers + c) Motrer que si l=, o e peut rie déduire Théorème de Cesaro: Etat doé ue suite (u ), o défiit (v ) e preat pour v la moyee arithmétique des u + + u premiers termes de u, soit *, v = = u = a) Das cette questio, o suppose que u coverge vers Motrer que: ε>, N *, Que peut o e déduire pour v? v N ε u = + b) Motrer que le résultat précédet reste vrai lorsque u coverge vers l * c) Ce résultat est-il valable lorsque l=+? d) Motrer que l'o peut trouver u exemple où u est divergete et v covergete Applicatio: Détermier lim ( + ) = + 3 Détermier les limites des suites suivates a) u = et, u + = + u b) x > et, x + =x +x ² c) *, S = d) *, S = ² = + 3 = ² 4 Suites extraites a) O pose, u = cos( ) Motrer que u 'admet pas de limite 3 b) O cosidère ue suite u telle que (u ), (u + ) et (u 3 ) coverget, motrer que u coverge 5 O s'itéresse aux suites de termes gééraux u =cos() et v =si() a) Motrer que si u coverge ou v coverge alors u et v coverget Id: O pourra supposer que limu = l et calculer u + b) Motrer par l'absurde que ces deux suites sot divergetes Id: O pourra exploiter les relatios reliat u et v 6 Somme de logueur variable Pour et p das *, o pose S = + + =,p p p p ( + ) ( + ) = + Etudier la covergece de la suite (S,p ) e foctio des valeurs de p das * NVéro-LMB-fev

2 Suites adjacetes Moyee arithmético-géométrique Soit a et b deux réels tels que <a<b Leur moyee arithmétique est a + b et leur moyee géométrique ab a) Motrer que a < ab < a + b < b b) O défiit les suites (a ) et (b ) par a = a N,a = a b + Motrer que ces suites sot adjacetes, Leur limite commue est la moyee arithmético-géométrique et a et de b e est u irratioel O cosidère la suite u défiit par, u =! a) O pose, v = u +, motrer que u et v sot adjacetes! b) Justifier que u coverge, o admet que sa limite est e Motrer que e \ = 3 O cosidère ue suite u décroissate et de limite ulle Motrer que la suite s de terme gééral s = ( ) Id: s'ispirer d'u exercice résolu du cours 4 O cosidère les suites u et v défiies par et u est covergete = u v u o > et v > et, u = (u + v ) et v = + + u + v Motrer que ces deux suites sot covergetes vers ue limite l à détermier Id: O pourra s'itéresser à w =u v b = b N,b+ = a PCSI + b 3 Suites équivaletes 3 Pour chacue des suites suivates doer u équivalet simple puis la limite évetuelle ( ) u = v =! +! +! w = si ta c = avec fixé das N 3 Cas d'ue suite implicite * 3 3 d = + z 4 4 ( + ) ch = e Doer u équivalet simple de u uique solutio de x + x - = das [,] avec * 33 Recherche d'u équivalet Soit la suite u défiie par récurrece de la maière suivate: u = et, u = + u a) Démotrer que, u + b) Détermier u lim + puis u équivalet de u NVéro-LMB-fev

3 Problèmes Chapitre 4: Suites umériques élémets de correctio e lige PCSI Itégrales de Wallis et formule de Stirlig O appelle itégrale de Wallis le réel I = si tdt où Partie : Propriétés de la suite (I ) ) a) Calculer I et I, puis justifier que, I = cos tdt b) Démotrer que, <I + I, puis que I coverge vers l, l ) Das cette questio, o cherche à démotrer que l= a) Soit α ]; [, démotrer que, I αsi α + -α b) Démotrer, à l'aide de la défiitio que l = + 3 ) a) E utilisat la formule d'itégratio par parties, démotrer que, I + = I + b) E déduire que I + I 4 ) a) Utiliser la questio précédete pour démotrer les égalités suivates: (p)! p N,I = p p (p!)² p (p)!² p N,I = ère formule de Wallis p+ (p + )! 5 ) Motrer que p + 4 p 4 (p!) lim p(p)!² = ème formule de Wallis Partie : Recherche d'u équivalet de la suite (I ), o pose S =(+)I I + 6 ) a) Calculer S + e foctio de S, e déduire l'expressio de S pour tout b) Détermier u équivalet de la suite (I ²) c) E déduire que I Partie 3: Formule de Stirlig: O cherche à établir le résultat suivat:! 7 ) Das cette questio o motre que! à u équivalet de la forme λ avec λ O utilisera les suites défiies sur *! e : u = v l u w l( e u ) = = a) Démotrer que *, v + -v = ( + )l( + ) b) E déduire que v + -v ² c) Démotrer que *, w + -w = + v v + ( + ), puis que w + -w ² NVéro-LMB-fev

4 d) Justifier que v et w sot adjacetes à partir d'ue certai rag et e déduire que u est covergete vers ue limite réelle otée λ> e) Justifier que! λ 8 ) Utiliser la deuxième formule de Wallis et le résultat précédet pour établir la formule de Stirlig PCSI Autre exemple de suites défiie par ue itégrale Le but de cet exercice est d'étudier la limite de S = t Pour tout etier aturel, o ote I = dt + t = ( ) + a) A l'aide d'u ecadremet, motrer que la suite I est covergete et préciser sa limite b) Démotrer que, I = + R où limr = ( + ) + c) E déduire u équivalet de I d) Motrer que, S = dt = + + t ( ) I + e) E déduire que S coverge vers ue limite l f) Doer u équivalet simple de l-s 3 Suite implicite Soit *, o défiit f sur par f (x) = x+-e x a) Motrer que *, f (x)= admet ue uique solutio x sur ]- ;] b) Calculer f (x + ), puis justifier que la suite x est mootoe c) Justifier que x est covergete et préciser sa limite l d) Détermier u équivalet de x - l, puis u développemet asymptotique de x à la précisio (/²) 4 Suite complexe O défiit la suite (z ) par z * et, z + = (z + z ) i a) O pose z = r e θ où θ ]-,] Ecrire des relatios de récurrece pour les suites réelle (r ) et (θ ), puis leurs expressios e foctio de r, θ et b) Démotrer que la suite (r ) coverge Id: si(a)=doc cos(a)= c) Quelle est la ature de la suite (z ) NVéro-LMB-fev

5 Archives PCSI Itégrales de Wallis Pour tout etier aturel, o pose w = cos tdt a) Calculer w et w b) Démotrer que pour tout, (+)w + =(+)w c) E déduire que, pour tout : ()! w = (!)² + et w + = (!)² ( + )! d) Justifier que, w >, puis étudier le ses de variatio de w e) E déduire que:, w w puis que w + ~w f) Calculer le produit w w +, e déduire u équivalet de w g) Démotrer que w ~ Formule de Wallis Itégrale foctio de ses bores x arcta( t) Exercice 6: O doe F:x-> dt x t a) Doer l'esemble de défiitio de F et étudier sa parité b) Motrer que F est de classe C sur so esemble de défiitio et détermier F' c) Motrer que, pour tout réel x>, l(arcta(x) F(x) l()arcta(x) d) Motrer que F peut se prologer par cotiuité sur et que ce prologemet, toujours oté F, est C sur e) Détermier les limites de F e + et e - f) Tracer le graphe de F NVéro-LMB-fev