1 Division euclidienne

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1 Ax Marselle Unversté Géométre & Polynômes Cours : Arthmétque Dans ce cours, nous admettons la constructon et les proprétées essentelles des nombres enters, de l adton et de la multplcaton. 1 Dvson eucldenne Proposton 1. Pour tout n, k Z, l exste d unques q, r N tels que n = qk + r avec 0 r < k. Démonstraton. Commençons par montrer l exstence dans le cas n > 0. On consdère la sute arthmétque (a s ) s N de rason k et de terme ntal 0. Cette sute converge vers + et débute en 0 < n, l exste donc un rang q N tel que a q = q k n et a q+1 = ( q + 1) k > n. On pose q = sgne(k) q et r = n qk. On a alors ben n = qk + r, r = n q k n n = 0 et r = n q k < n (n k ) = k. On suppose mantenant n < 0. On travalle alors avec la même sute mas on consdère mantenant un rang q N tel que a q = ( q 1) k < n et a q+1 = q k n. Comme précédemment on pose q = sgne(k) q et r = n qk. On a toujours n = qk + r et, cette fos encore, r = n q k 0 et r = n q k > n n k = k. Pour montrer l uncté, on suppose que l on a n = qk + r = q k + r avec 0 r, r < k. Mas alors r r = (q q)k = q q k est sot nul sot plus grand que k. Or, par l encadrement de r et r, on sat que k < r r < k. On en dédut que r r = 0, c est-à-dre que r = r et de fat qk = n r = n r = q k, d où q = q. Défnton 2. Avec les notatons de la proposton précédente, on appelle q quotent et r reste de la dvson eucldenne de n par k. Défnton 3. On dt qu un enter k Z dvse un enter n Z s le reste de la dvson eucldenne de n par k est nul. On dt alors également que n est dvsble par k, que k est un dvseur de n, ou encore que n est un multple de k. On note cela k n. Remarques 4. Par uncté du reste de la dvson eucldenne, un enter non nul k dvse un autre enter nul n s et seulement s l exste q Z tel que n = qk. Les enters 1 et 1 dvsent tous les enters non nuls. Proposton 5. Pour tout n Z, les dvseurs de n sont, en valeur absolue, majorés par n. Démonstraton. S k est un dvseur de n, alors l exste q Z tel que kq = n, mas alors k = n q n. Défnton 6. On dt que deux enters n 1, n 2 Z sont premers entre eux s 1 et 1 sont les deux seuls dvseurs communs à n 1 et n 2. Théorème 7 (théorème de Bézout). Deux enters n 1, n 2 Z sont premers entre eux s et ss l exste a 1, a 2 Z tels que a 1 n 1 + a 2 n 2 = 1. Démonstraton. Sot n 1, n 2 Z deux enters premers entre eux. Qutte à échanger n 1 et n 2, on peut supposer que n 1 > n 2. Montrons l exstence de tels a 1 et a 2 par récurrence généralsée sur n 2 N.. Le résultat est vra pour n 2 = ±1 : on peut prendre a 1 = 1 et a 2 = n 2 (n 1 + 1).

2 2 DÉCOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS 2. On suppose le résultat vra jusqu au rang n N et on suppose que n 2 = n + 1. On fat la dsvson eucldenne n 1 = qn 2 + r de n 1 par n 2. On remarque alors que le reste r est non nul : autrement n 2 = n serat un dvseur commun à n 1 et n 2. r n : r étant le reste de la dvson eucldenne de n 1 apr n 2, on a r < n 2 = n + 1. r et n 2 sont premers entre eux : tout dvseur commun à r et n 2 est auss un dvseur de n 1 = qn 2 + r. Les enters n 1 et n 2 étant premers entre eux, les seuls dvseurs communs à r et n 2 sont donc 1 et 1. Par hypothèse de récurrence, on peut donc trouver b 1, b 2 Z tels que b 1 n 2 + b 2 r = 1. Mas alors b 1 n 2 + b 2 (n 1 qn 2 ) = 1 et en posant a 1 = b 2 et a 2 = b 1 qb 2, on obtent ben a 1 n 1 + a 2 n 2 = 1.. D après le prncpe de rasonnement par récurrence généralsée, la proprété est donc vrae pour toute valeur de n 2 N et donc pour tout n 2 Z. Récproquement, s l on a a 1 n 1 + a 2 n 2 = 1 pour certans a 1, a 2 Z, alors tout dvseur commun à n 1 et n 2 sera également un dvseur de 1. Les seuls possbltés seront donc 1 et 1. Remarque 8. La démonstraton du théorème de Bézout donne uns startége récursve pour construre explctement une relaton de Bézout entre n 1 et n 2. Exemple 9. Pour donner une relaton de Bézout entre n 1 = 1783 et n 2 = 243, on commence par dvser eucldennement 1783 par 243 : 1783 = = On cherche ensute une relaton de Bézout entre 243 et le reste 82 (avec l dée de remplacer plus tard 82 par la combnason lnéare de 1783 et 243 c-dessus). Pour cela, on dvse eucldennement 243 par 82 : Pus récursvement, on calcule : 243 = = = = = = On a ans obtenu 1, exprmé en foncton de 79 et 3. On remplace 3 d après l égalté précédente. On obtent : 1 = ( ) = = Pus en remontant un à un les calculs, on obtent : 1 = ( ) = = ( ) = Décomposton en facteurs premers Défnton 10. On dt p N est premer s l possède exactement 4 dvseurs, à savor 1, 1, p et p. Remarque 11. Les enters 1 et 1 ne sont pas premers car ls ne posèdent que deux dvseurs. Lemme 12 (lemme de Gauss). S a, b Z sont premers entre eux et a bc avec c Z, alors a c. Démonstraton. D après le théorème de Bézout, l exste p, q Z tels que ap+bq = 1. Mas donc c = acp+bcq. Or a dvse bc, l exste donc r Z tel que bc = ra. Cela donne donc c = acp + ra = (cp + r)a et donc a dvse c. Corollare 13. Sot a, b Z. S p est premer et s p ab, alors p a ou p b.

3 3 PGCD & PPCM 3 Démonstraton. S p ne dvse pas a alors, parm les 4 dvseurs de p, seuls 1 et 1 dvsent également a. Les enters a et p sont premers entre eux et d après le lemme de Gauss, p dvse b. Corollare 14. Sot (a ) 1,s une sute fne d enters non nuls. S p est premer et s p ( s ) a, alors l exste 1, s tel que p a. Théorème 15. Sot n N \ {1}, alors l exste un unque enter k N ; une unque sute strctement crossante de k nombres premers postfs p 1 < p 2 < < p k ; une unque sute de k enters strctement postfs α 1, α 2,, α k ; tels que n = p α. Démonstraton. Montrons d abord l exstence d une telle décomposton par l absurde. On suppose donc qu l exste des enters n en possédant pas et note n 0 le plus pett d entre eux. Il ne peut pas être premer car l serat alors à lu-même une décomposton en facteurs premers. Il exste donc k llbracket2, n 0 1 qu dvse n 0 et donc, k llbracket2, n 0 1 tel que n 0 = kk. Par mnmalté de n 0, k et k admettent des décompostons en facteurs premers, mas alors n 0 auss, à savor le produt des décompostons de k et de k. Cela contredt notre hypothèse de départ et donc tout nombre enter admet une décomposton en facteurs premers. Montrons mantenant qu une telle décomposton est unque. Là encore, on va rasonner par l absurde et suposer qu l exste des enters plus grand que 1 possédant pluseurs décompostons en facteurs premers. On note n 0 le plus pett d entre eux. On a alors n 0 = p α q β avec k, l N, p 1 < < p k et = q 1 < < q l des nombres premers et α, β j N pour tous ndces. Qutte à échanger les deux rôles, on peut supposer p 1 q 1. Clarement p 1 n 0 = q β donc d après le second corollare du lemme de Gauss, l exste 0 1, l tel que p 1 q 0. Or 1 < p 1 q 1 < q pour tout 2, l. La seule possblté est donc 0 = 1 et p 1 = q 1. Mas alors n0 p 1 = p α1 1 1 p α = q β1 1 1 q β. Or, n0 P 1 est un enter strctement comprs entre 1 =2 =2 et n 0. Par mnmalté de n 0, l ne possède qu une unque décomposton en facteurs premers. On a donc k = l, α 1 1 = β 1 1 et pour tout 2, l, p = q et α = β. Mas alors les deux écrtures de n 0 sont nécessarement dentques, ce qu contredt notre hypothèse de départ. De tels décompostons sont donc toujours unques. 3 Pgcd & Ppcm Lemme 16. Pour tout n Z, l n exste qu un nombre fn de dvseurs de n. L enter 1 en est toujours un. Démonstraton. C est une conséquence drecte de la proposton 5. Défnton 17. Pour tout n, m Z, on appelle plus grand dvseur commun, noté ppcm(n, m) ou n m le plus grand enter qu sot smultanément un dvseur de n et un dvseur de m. Remarque 18. Dre que deux enters n, m Z sont premers entre eux, cela revent à dre que n m = 1. Lemme 19. Pour tout n, m Z, l enter nm est toujours un multple commun à n et à m.

4 4 Z / NZ 4 Défnton 20. Pour tout n, m Z, on appelle plus pett multple commun, noté pgcd(n, m) ou n m le plus pett enter postf qu sot smultanément un multple de n et de m. Proposton 21. Sot n = p α et m = p β deux enters strctement postfs décomposées sur un même jeu de facteurs premers p 1,, p k (certans α ou β peuvent donc être nuls). Alors n m = et n m = p max(α,β) Démonstraton. On a - n = - p mn(α,β) p α mn(α,β) p max(α,β) = n - m = p max(α,β) α - p max(α,β) p mn(α,β) p β mn(α,β) = m p max(α,β) β. p mn(α,β) Les canddats pour n m et n m sont donc ben, respectvement, des dvseurs et des multples de n et de m. Récproquement, s p premer apparat dans la décomposton en facteurs premers de n m avec une pussance γ 1, alors p γ (n m). Or n (n m) et m (n m), donc p γ n et p γ m. Cela sgnfe que γ est plus pett que la pussance de p dans, d une part, la décomposton de n et, d autre part, celle de m. Au fnal, γ est plus pett que le plus pett de ces deux nombres. En fasant ce rasonnement pour tous les nombres premers, on obtent que n m p mn(α,β), ce qu permet de conclure concernant n m. Pour n m, on commence, pour tout nombre premer p, par noter δ p la pussance de p dans la décomposton de n m. Pour tout 1, k, p α (n m) et p β (n m) car, d une part, pα n et n (n m) et d autre part, p β m et m (n m). Or pα et p β sont premers avec tous les nombres premers dfférents de p. D après le lemme de Gauss, on a donc p α p δp en dédut que n m p max(α,β) et p β pδp. Autrement dt, α, β γ p ou encore γ p max(α, β ). On, ce qu permet de conclure. Corollare 22. Pour tout n, m N, on a (n m) (n m) = nm. 4 Z / nz Sot n 2 un enter. Défnton 23. On dt que deux enters p, q Z sont congrus modulo n s les restes des dvsons eucldennes de p et q par n sont les même. On note alors p q [n]. Proposton 24. Sot p Z. Alors. tout q Z est congru à p modulo n s et ss n (p q).. l exste un unque q 1, n 1 tel que p q [n]. Démonstraton. On note p = kn + r et q = k n + r les dvsons eucldennes de p et q par n. S p q [n], alors r = r et q p = (k k )n est un multple de n. Récproquement, s q p = sn avec s Z, alors q = p + sn = (k + s)n + r. Par uncté de la dvson eucldenne, on a r = r. La dvson eucldenne donne ben un unque élément dans 0, n 1 congru à p modulo n.

5 4 Z / NZ 5 Défnton 25. Pour tout p Z, on note p n l unque enter comprs entre 0 et n 1 congru à p modulo n. Lorsqu l n y a pas d ambguté sur la valeur de n typquement dans tout ce qu sut on omettra le n dans la notaton, c est-à-dre que l on notera p pour p n. Proposton 26. Un enter p Z est dvsble par n s et ss p = 0. Défnton 27. On appelle Z / nz l ensemble 0, n 1 mun des opératons + n : Z / nz Z / nz Z / nz et. n : Z / nz Z / nz Z / nz défnes, pour tous a, b Z / nz par a + n b := a + b et a. n b := ab où l addton et la multplcaton dans les membres de drotes sont celles de Z. Exemple 28. On défnt Z / 5Z comme les enters {0, 1, 2, 3, 4} muns des opératons et Proposton 29. Sot p 1, p 2, q 1, q 2 Z tels que p 1 q 1 [n] et p 2 q 2 [n]. Alors p 1 + p 2 q 1 + q 2 [n] et p 1 p 2 q 1 q 2 [n]. Démonstraton. Pusque p 1 q 1 [n] et p 2 q 2 [n], l exste k 1, k 2 Z tels que p 1 q 1 = k 1 n et p 2 q 2 = k 2 n. On a alors (p 1 +p 2 ) (q 1 +q 2 ) = (p 1 q 1 )+(p 2 q 2 ) = (k 1 +k 2 )n et p 1 p 2 q 1 q 2 = (p 1 q 1 )p 2 +q 1 (p 2 q 2 ) = (k 1 p 2 + q 1 k 2 )n. Corollare 30. Pour tout p, q Z, on a p + q = p + n q et pq = p. n q. Démonstraton. On a clarement p p et q q, et donc p + q p + q et p.q p.q. Corollare 31. Toutes les règles de calculs dans Z sont valables dans Z / nz. Démonstraton. Pour un calcul fasant ntervenr des éléments a 1,, a k de Z / nz, on chost des enters p 1,, p k tels que a = p pour tout 1, k. On écrt les dfférentes étapes du calcul dans Z avec les p 1,, p k, et on passe tout à la barre du modulo n. D après la proposton 30, la barre se scndera successvement à chaque addton et à chaque multplcaton au-dessus des deux termes de l opératon pour, au fnal, venr coffer chacun des p et les retransformer en a. Remarque 32. Combné avec la proposton 26, cela permet de résoudre rapdement certans problème de dvsblté. Exemple 33. Pour montrer que, pour tout n N, 7 dvse 3 2n+1 +2 n+2, on peut constater que 3 2n+1 +2 n+2 = 3.(3 2 ) n + 2 n.2 2 = 3.9 n n 3.2 n + ( 3).2 n 0 [7]. Remarque 34. Pour n N fxé, les racnes n èmes fonctonnent avec la multplcaton comme les éléments de Z / nz avec l addton. En effet φ: {z C z n = 1} Z / nz e 2kπ n k est une applcaton bjectve ben défne qu vérfe φ(z 1 z 2 ) = φ(z 1 ) + n φ(z 2 ) pour tout z 1, z 2 {z C z n = 1}.