EXERCICES SUR LES COMPLEXES SOLUTIONS

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1 50 a ommence par réalser la fgure et vous pourre rapdement affrmer que est l'mage de par la rotaton de centre et d angle d où e ( ) = ce qu donne fnalement ( ) J = + e = + + ( ) = + + = 5 Le centre I du 5 carré est le mleu de la dagonale [ ] ; l a donc pour affxe I = = b est l'mage de par la rotaton de centre et d angle ( ) d où e ( ) =, = + e = + 4 ( 4) = = 5 + Le centre J du carré est le mleu de la dagonale [ ] ; l a donc pour affxe 5 J = = L'affxe du mleu K du segment [] est K = = = KI = I K = = = + = + = = KJ = J K = + = = + = + = = !!"!!" J K ( KI ; KJ) = arg arg arg arg = arg ( ) 7 = 7 = = 7 I K!!"!!" ( KI ; KJ) = + k ( k Z ) Le trangle KIJ est donc rectangle K socèle en K et ndrect I 5 Parte ( ) = = = = = = = = + = + = + = = ( + ) = + = + e système admet donc pour unque soluton le couple ( + ; + ) Remarque que (pur hasard!) ces nombres sont les affxes des ponts et de la queston 54

2 ( ) = + = 4 = donc ( ) = ( ) + = 4 = donc e 6 e e 6 ' 5 5 = + = cos + sn = e = + = cos + sn = e = = = donc = et arg = + k ( k Z ) 6 e n en tre ausstôt = = d où = Le trangle est socèle en!!!"!!!"!!!"!!!" (;) = arg = arg = + k ( k Z ) d où (;) = + k ( k Z ) Il sufft de détermner le pont tel que sot un parallélogramme car légalté = en fat un losange (deux côtés consécutfs de même longueur)!!!"!!!"!!!" est un parallélogramme = + (règle du parallélogramme) est un parallélogramme!!!" =!!!!"!!!" =!!!!" +!!!" = + = est un parallélogramme = + ( + ) est un losange donc l are du trangle est égale à celle du trangle (socèle) donc $ are() = are() = sn = sn == = 6 L are du trangle est donc égale à unté d are, c'est-à-dre à 4 4 = 6 cm Parte L écrture de f est celle de la rotaton de centre et d angle ' e e e e e ' = e = e e = e = e 6 = = = = = est l mage de = ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) = ( + ) + = ( + ) e donc ' ( ) ( ) ( ) = e = e + e = + 6 e = + 6 e L'are du trangle ''' est égale à celle de (f est une sométre) c'est-à-dre 6 cm 4 ' ' 55

3 5 a b c a = = = = = b a n en tre ausstôt : c a = = = d où = donc est socèle en et b a!!!"!!!" c a ( ; ) = arg = arg ( ) = + k ( k Z ) donc est rectangle en b a!!!"!!!" ; = + k ( k Z ) a L angle de la rotaton r est ( ) La rotaton r a pour écrture complexe ' = e ( ), c'est-à-dre ' a ( a) a donc pour affxe : d = a ( c a) = ( + ) = + = b n sat déjà que et ont pour mages respectves et donc le cercle Γ de damètre [] a pour mage le cercle Γ' de damètre [] b+ c a Le centre de Γ est le mleu K de [], qu a pour affxe k = = Le rayon de Γ est K = c k = = θ après le cours, le cercle Γ a pour équaton paramétrque k = e, ce qu veut dre que, pour tout pont M de Γ, l exste un réel θ appartenant à [ 0; [ tel que = + e θ et "!!!" comme dans l énoncé fgure «M dstnct de», on élmne l angle ( u ;K) = θ b a ( a) ( ) c ' = = + e = + e θ θ θ ( e )( e + ) θ θ θ θ θ ' c + e e e e + + e = = = = θ θ c + e e θ e θ θ e e θ θ ' c e + e cosθ = = c θ e e θ, ce qu est donc un réel (que nous désgnerons par λ) ' c!!!!"!!!!" L égalté =λ donne ' c=λ( c), c'est-à-dre M ' =λm (pusque λ est réel) c vecteurs colnéares donc les ponts, M et M ' sont algnés d n trace la perpendculare en à (M) pour avor le pont d ntersecton M' avec Γ' M Γ' M' K Γ 56

4 5 Γ Γ Ω Γ a = = = = = = cos + sn = e b e ( ) = tradut le fat que est l mage de par la rotaton de centre et d angle Le trangle est donc équlatéral drect c Le trangle étant équlatéral, le centre du cercle crconscrt à ce trangle est auss le centre de gravté (sobarycentre) Il a donc pour affxe : = = 0 est donc le pont + + Le rayon du cercle crconscrt est = a Posons = x+ y ( ) Re ( ) ( ) + + = 0 x ( ) + ( y 0) = L'ensemble Γ des ponts M d'affxe qu vérfent ( ) + + = 0 ( ) + = 0 4x+ x + y = 0 ( x+ ) 4+ y = = 0 est donc le cercle de centre Ω d'affxe et de rayon b Montre que les coordonnées de et vérfent l équaton précédente ou que Ω = Ω = Par exemple, ( x + ) 4 + y = ( + ) 4+ = 4+ = 0 ou Ω = = + + = + = + = 4 = Ω 4 a est le centre de la rotaton ; l est donc nvarant (ou fxe) Pusque est équlatéral drect, l mage de est onstrure l mage de revent à construre un trangle équlatéral drect n trace donc les cercles de centre et de rayon et de centre et de rayon es cercles ont deux ponts d ntersecton : et L écrture complexe de r est : ' e ( ) = Par sute, = + e = = ( ) ( ) ( ) = = + 57

5 b Le centre Ω de Γ a pour mage le pont Ω d affxe : + e Ω = = ( ) ( ) ( ) Ω = + + = 0 est donc le pont Les rotatons étant des sométres, l mage du cercle Γ a même rayon que Γ, c'est-à-dre L'mage du cercle Γ par la rotaton r est donc le cercle de centre et de rayon 5 a ans la rotaton r, le centre Ω de Γ dot avor pour mage le centre de Γ donc : 0 = a ( ) + b, ce qu donne b= a b Le pont r() a pour affxe : a + b = a + a = 4a n en dédut que () r = 4a = 4a = 4 = 4 Le pont r() appartent donc au cercle de centre et de rayon 4, cercle que nous désgnerons par Γ ( ) = = + = + = 4 + = 6 = 4, ce qu prouve que appartent ben au cercle Γ 54 Premère parte + 6= = 0 donc est soluton de l équaton (E) Pour tout nombre complexe, ( )( a + b + c) = a + b + c a b c ( )( a + b + c) = a + b a + c b c e polynôme est égal à + 6 s et seulement s (E) ( )( ) = 0 ( = 0 ou = 0) ( ) ( ) a= a= b a = b= 4 c b= 0 c= 8 c = 6 6= 6 L équaton = 0 a pour dscrmnant = = 6 = 6 e nombre étant strctement négatf, l équaton = 0 a deux solutons complexes : = = + et L équaton (E) a donc tros solutons :, + et Sous forme exponentelle : = e 0 + = ( ) + = 4+ 4 = 8 = d où + = + = cos + sn = e 4 4 e même, = = cos + sn = e 4 4 euxème parte!!!"!!!" est un parallélogramme = = = 4 4!!!"!!!" est un parallélogramme = + = Le pont a donc pour affxe : =

6 a La rotaton de centre et d angle 4 a a pour écrture complexe : ' = e ( ), ce qu équvaut à ' = ( ) + Le pont E, mage de par cette rotaton, a donc pour affxe : E = ( ) + = ( + 4 ) + = 6 La rotaton de centre et d angle a pour écrture complexe : ' = e ( ), ce qu équvaut à ' = ( ) + Le pont F, mage de par cette rotaton, a donc pour affxe : = ( ) + = ( ) + = 4 + = F F E ( + ) = = = = = F = = = F b E E d où F = E et le trangle EF est socèle en!!!"!!!" F (E;F) = arg = arg() = + k ( k Z ) Le trangle EF est rectangle en E F I E 5 I est le mleu de l hypoténuse du trangle rectangle socèle EF donc les trangles EI et IF sont rectangles et socèles en I Par sute, dans la rotaton de centre I et d angle, E a pour mage et a pour mage F Enfn, cette rotaton a pour écrture complexe ' e ( ) = L mage de par cette rotaton a donc pour affxe : ( ) ( ) I I e I + = + = + = est donc le pont et l mage du trangle E est donc le trangle F I 59

7 !!!" est = 4 elle du vecteur!!!" est = + = 4 es deux vecteurs ont la même affxe Ils sont donc égaux et la fgure est un parallélogramme a Un réel a est soluton de () s et seulement s : a ( + ) a = 0, ce qu équvaut à a a 6+ (9 a) = 0 Un complexe n a qu une écrture algébrque, a a 6= 0 0= 0 a = 9 a = 0 a = Pusqu l y a exactement une soluton, () a donc ben une soluton réelle : Un nombre magnare pur b (b R) est soluton de () s et seulement s : ( b) ( + ) b = 0 b b+ b = 0 ( b + b+ 4) + (4 b) = 0 b + b+ 4= 0 0= 0 () b (+ ) b = 0 b= 4 4 b = 0 b = 4 Il y a exactement une soluton : 4, () a donc ben une soluton magnare pure : 4 b ( )( + ) = = (+ ) b L affxe du vecteur ( 4 )( + ) = = (+ ) c ésgnons par (E) l équaton ( ( + ) 6 + 9)( ( + ) ) = 0 ( ) (E) ( + ) = 0 ou ( + ) = 0 ( ) ( ) ( ) (E) ( )( + ) = 0 ou ( 4)( + ) = 0 (E) = 0 ou + = 0 ou 4 = 0 ou + = 0 (E) = ou = + ou = 4ou = L équaton (E) a quatre solutons :, 4, + et d 0 = 0 = = + ( ) = 0 = = cos sn = e Pusque 0 = cos + sn 4 4, n n n n 0 = cos + sn 4 4 M n appartent à la drote d équaton y = x (c est la premère bssectrce, c'est-à-dre la bssectrce des premer et trosème quadrants) s et seulement s : n = + k n=+ 4k n= + 4k n= 4k 4 4 Les enters cherchés sont donc les enters de la forme 4k avec k enter, c'est-à-dre (pour k = ), 7 (pour k = ), etc (sute arthmétque de premer terme et de rason 4) a x' + ' y = ( x+ ) y (+ )( x+ ) y 6+ 9= x + xy y x y x+ y 6+ 9 x' + y' = x y x+ y 6+ ( xy y x+ 9) x' = x y x+ y 6 Un nombre complexe n ayant qu une écrture algébrque, y' = xy y x+ 9 b f (M) appartent à l axe des ordonnées s et seulement s x' + y ' est magnare pur, c'est-àdre s et seulement s x' = 0 x y x+ y 6= 0 60

8 56 ' = ( + ) + = ( + )( + ) + = + + = F() = = ( + ) + = d où = = = = = a Un pont Ω d'affxe ω est confondu avec son mage s et seulement s : ω=ω ' (+ ) ω+ =ω ω= ω= ω= ω= Il exste donc exactement un pont nvarant : le pont Ω d affxe ω = ' (+ ) ( ) ω = = = = = ω MM ' ' = = = d où MM' = MΩ MΩ ω!!!!"!!!!!" ' ( MΩ, MM') = arg = arg( ) = modulo ω es deux proprétés montrent que M ' est l mage de Ω dans la rotaton de centre M et d angle (quart de tour ndrect de centre M) Il sufft de tracer le cercle de centre M passant par Ω et la perpendculare en M à (ΩM) pour obtenr M ' b { } a + = ( + ) = = M = L'ensemble (Γ) des ponts du plan dont l'affxe vérfe + = est donc le cercle de centre et de rayon = = + + = + =, ce qu prouve que (Γ) est le cercle de centre passant par b ' + = ( + ) + + = ( + ) + 4 = ( + ) + = ( + ) + = ( + ) + + S M appartent à (Γ), alors + = donc ' ( ) = tradut le fat que 'M ' =, c'est-à-dre que M ' appartent au cercle de centre ' et de rayon (donc passant par ) ( ) Γ Ω M ' ' M Γ' 6

9 I + J 57 a L'affxe de K est K = = + ' = ( + ') ' ' = ' = ' = I + I' = = = = = b ( ) J' K' I J = = = = J J est sa propre mage + K = = = = + K + (M donc 0) c Le mleu de [I'J'] a pour affxe I' J' = = +, qu n est pas l affxe 0 0 de K' donc T ne conserve pas les mleux ' ( ) ( ) 0 ( 0 ou ) = = + = = = = Il y a donc deux ponts nvarants par T : et J M ' = T ( M) ' = ( + ') ' ( + ') = 0 ' = 4 4 M ' = T ( M) ' + = ' = Sot M un pont du cercle () : M =, c'est-à-dre = ' = donc ' = d où ' =, appartent donc au cercle de centre et de rayon 4 M ' = Le pont M ' 4 Récproque smlare en partant d un pont quelconque du cercle de centre et de rayon 4 L'mage par T du cercle () est donc le cercle de centre et de rayon 4 6

10 58 Parte a = = e =, rayon du cercle (), donc le pont appartent à ce cercle b e = = e donc (F ; ) = arg = + k ( k Z ) F F Pour placer le pont, l sufft de tracer le cercle de centre F et de rayon F qu coupe () en deux ponts : l un est et l autre son symétrque par rapport à l axe des abscsses, d affxe e a e = (déjà vu) et b n en dédut que ( ) E = + + e = + + = + 9 E = + = + = e = E =, c'est-à-dre E = d où E =, vecteurs colnéares, donc les ponts, et E sont algnés Pour placer le pont E, on trace la dem-drote [) et le cercle de centre et de rayon Parte arg = arg = M ; M ' + k ( k Z ) M M ; M ' = k ( k Z ) ' M ' ( ), M et M ' algnés ( ) ', M et M ' algnés arg = k ( k Z ) ', M et M ' algnés est un réel r, ' + = =, M et M ' algnés est un réel E F 6

11 I + L affxe du mleu K de [I] est K = = = K = K = + + = + = + = + = = = or le rayon du cercle () est KI = I K = + = donc appartent au cercle () 59 4 = 4 = 4 8 = a d + = d = d K = K = (rayon du cercle ) arg d + = arg( d K ) = ( u ; K) = ( KI ; K) = + k ( k Z ) b d + = e = cos + sn = + = + donc d = a c = + 4 ( + a) = ( a)( + ) a a = a= + a+ a a a = a= + a + ( a) a 4 4 = a + a 4 a = + = + a = a 4 4 8a= a a = Il exste exactement un réel a vérfant l'égalté + a = + ; c est le nombre a x m x + x + x x Z = = = = = x (nombre magnare pur car x est réel) m+ + x + + x+ x x m m ( M ; IM) = arg = arg = arg( x) = + k ( k Z ) m ( ) m+ Le trangle IM est donc rectangle en M et, de ce fat, M appartent au cercle de damètre [I] 4 est, en quelque sorte, la récproque de la queston précédente Sot N un pont, dfférent de, du cercle () et n son affxe Il faut envsager deux cas : + 0 ou ben N = I, alors n = = 0 ou ben N I, alors ( N ; I N) = + k ( k Z ) pusque N appartent au cercle de damètre [I] n a donc magnare pur Il exste donc un réel non nul y tel que n n + n + y = y n = y( n+ ) n = yn+ y n( y) = + y n = n + y K I 64

12 60 L'équaton = a pour dscrmnant ( ) = = 64 Pusque ce nombre est strctement négatf, l équaton = 0 a deux solutons complexes conjuguées : = = et 4 4 a ( ) ( ) = = 4 4 = = = 64 = 8 = b = a = a = 8 = b a = = 8 = 8 = = donc le trangle est équlatéral La rotaton de centre et d angle a pour écrture complexe : ' = e L mage de par cette rotaton a donc pour affxe : d c ( ) G = e = + + = + + = 4 a Le barycentre G des ponts pondérés ( ; ), ( ; ) et ( ; ) a pour affxe : 0+ d + b g = = = b 5 a c = b= b et = g d = = G oncluson : = G donc G est un parallélogramme c g = = = a g c g + = = + a g c g = + = cos + sn = e a g G c g = = + = donc G = G et le G a g trangle G est socèle en G c g (G,G) = arg = + k ( k Z ) n sat déjà que G est socèle en G joute a g à cela le fat que l angle au sommet mesure et vous obtene un trangle équlatéral 65

13 6 L mage de a pour affxe : = 0 est donc le pont (l est fxe) L mage de a pour affxe : + = + + = + L mage de a pour affxe : ( ) ( ) ( ) Les ponts, et sont algnés sur l axe ( ;v ) et ' sont sur l axe ( ;u ) + = = 9 et leurs mages, ' et ' ne le sont pas car mas pas ' L applcaton f ne conserve donc pas l'algnement f( M) = M ' = + = + = 0 ( ) ( )( ) ( ) f( M) = M + = 0 = 0 = 0 ou = ou = f possède donc ponts nvarants, d affxes 0, et a Pour tout de, b n a ' = + = ( ) (dentté remarquable) = re α donc ( α ' ( ) re ) r e α = = = d où M ' = ' = r' = r = = M ( u, M') = arg( ' ) =α ' = α= arg = ( u, M) + k ( k Z ) c S M Γ, alors centre et de rayon ( ) M =, M M ( ) r' = r et α= ' α+ k ( k Z ) ' = = = donc M ' appartent au cercle Γ' de 4 4 S M ]), alors ( u ; M) = ( u ;) = + k ( k Z ) pusque les vecteurs et 4 M sont colnéares et de même sens 9 ( u, M') = ( u, M) = ( u,) = + k ( k Z ) 4 omme 9 = +, ( u, M') = + k ( k Z ) M ' appartent donc à la dem-drote ouverte ' d orgne et fasant avec le dem-axe des d = = = + = cos + sn abscsses postves un angle de 4 n a vu, au début de la queston d que = donc Γ donc son mage ' appartent à Γ' (queston c) autre part, appartent à la dem-drote donc son mage ' appartent à la dem-drote ' comme on vent de le démontrer ' ' ' Γ Γ ' 66

14 6 L'équaton = a pour dscrmnant ( ) ' = 4 4= 6= 4 e nombre étant strctement négatf, l'équaton : + 4= 0 a deux solutons complexes conjuguées : = = + (c est a) et (c est b) ( ) a = + = 4 = donc a= + = cos + sn = e 6 et b= a= e a La rotaton r a pour écrture complexe a ' = e donc ' a pour affxe : a' = e a= e e = e = e = b L homothéte h a pour écrture complexe ' = donc ' a pour affxe : 5 ' ( ) b = b= = + ou e = e e = e sous forme exponentelle cc = c = = R ' ( c )( c+ ) = ( c )( c ( )) = ( c )( c ) = ( c )( c ) = c = ' = R c c c c = + + c c c c = + + c+ c c c ' R + + = + = + = = 4 b cc = ( c )( c + ) d où cc = cc + c c + 4, c c = 4, c c= = = e même, c c = cc d où cc + c + c + c + + c + = cc ( c+ c) + ( c c) + 9 = 0, ( c c) ( c+ c) = 6, c+ c= = = 4 c Par addton de c c= et c+ c=, 4 c = + d où c = R = c = + = + = 7 7 d où R = = = =, ( c c) + + 9= 0, 67

15 4 6 ( ) f( M) M ' + + 4= + 4= = = = Posons = x+ y, avec x et y réels + = + x 4 x y x x y+ 4= x + y ( x+ y) f( M) = M y = y ( x; y) (;0) ( x; y) (;0) x x = x= x= 4 0 ou 4 f( M) = M y = 0 y= 0 ( x; y) (;0) ( x; y) (;0) Il y a donc deux ponts nvarants par f : les ponts d affxes et ' a pour affxe = = = = = + + ' = + = = ' est donc le mleu du segment [] a Pour tout complexe, ( )( ' ) = ( ) = ( ) = 6 b M M ' = ' = ( )( ' ) = 6 = 6 6 ( u, M') = arg ( ' ) = arg = arg(6) arg( ) = 0 ( u,m ) + k ( k Z ) c Les affxes de M et M sont conjuguées donc M et M sont symétrques par rapport à l axe ( ;u ) auquel appartent donc M = M Par sute, MM' = M M' = 6 Pour la même rason ( u,m) = ( u,m ) donc ( u,m') = ( u,m ) = ( u,m) d = = + e = e = donc ' = = ' appartent donc au cercle de centre et de rayon (,) arg( ) 6 u arg e = = = + k ( k Z ) donc ( u,') = + k ( k Z ) 6 6 ' appartent donc à la dem-drote ouverte d orgne et parallèle à () '

16 64 a 4 4 f( b) = ( b) 0( b) + 8( b) 90b+ 6 = b + 0b 8b 90b+ 6 4 Re ( f( b) ) = b 8b + 6 et ( ) Im f ( b) = 0b 90b 4 4 b 8b = b b + = b 8b + 6 = 0 f( b) = 0 0b 90b= 0 bb ( 9) = 0 b= 0oub= oub= 0 ne vérfe pas la premère équaton ; en revanche et la vérfent pusque = = 0 L équaton f () = 0 admet deux nombres magnares purs comme soluton : et 4 b Pour tout complexe, ( )( ) ( ) + 9 +α +β = +α + β α + 9β α= ( ) ( 9)( ) β + = α= f = + +α +β 9α= 90 β= 9 9β= 6 Pour tout nombre complexe, f () = ( + 9)( 0 + 9) c f( ) = 0 ( + 9)( 0+ 9) = 0 f( ) = 0 ( + 9= 0 ou 0+ 9= 0) + 9= 0 = 9 ( = ou = ) L équaton 0+ 9 = 0 a pour dscrmnant = ( 0) 4 9 = 00 6 = 6 e nombre étant strctement négatf, l équaton 0+ 9 = 0 a deux solutons complexes conjuguées : = = 5+ et 5 L ensemble des solutons de l équaton f () = 0 est donc { ; ; 5 + ; 5 } e sont, comme par hasard, les affxes a, b, c et d de la queston suvante b L sobarycentre G des ponts,,, a pour affxe : a+ b+ c+ d g = = = c Par théorème, pour tout pont M du plan, M + M + M + M = 4MG donc 5 M + M + M + M = 0 4MG = 0 4 MG = 0 MG = L ensemble E des ponts M de P tels que : M + M + M + M = 0 est donc le cercle de centre G d affxe 5 et de rayon 5, donc passant par E G 69

17 65 a ( )( ) ( )( ) ( ) b + = + = = ( ) ( ) = = 0 f( M) = M ' = = n utlse alors la factorsaton fourne par le a ( + )( ) = 0 f( M) = M ( = + ou = + ) Il y a donc deux ponts nvarants par f : et d affxes respectves : = + = + = cos + sn 4 4 et = + = + = cos + sn 4 4 M a Pour tout dfférent de, ' = = = M Pour tout dfférent de et de, arg( ') = arg = arg() + arg = + ( M, M) + k ( k ) Z M b ' = = M = M L ensemble (E) des ponts M d affxe tels que ' = M est donc la médatrce du segment [] c arg( ') = + k ( k Z) ( M, M) = 0 + k ( k Z ), ce qu sgnfe que les ponts, et M sont algnés et M à l extéreur du segment [] L ensemble (F) des ponts M d affxe tels que arg( ') = (mod ) est donc la drote () prvée du segment [] + a Pour tout complexe dfférent de, ' = = = donc ' = = d où ' = b Sot M un pont du cercle de centre et de rayon n a donc = = M = d où M ' = ' = =, ce qu prouve que le pont M ' d affxe ' appartent au cercle de centre et de rayon F E F 70

18 4 66 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = = = 0 P = = = 0 Le polynôme P() est donc factorsable par et par + or ( )( ) Pour tout, ( )( ) + = +, ce qu permet de factorser par a + b + c = a + b + ( c + a) + b + c a = b = 6 a = P( ) = ( + )( a + b + c) c + a = 4 b = 6 d où b= 8 c= c = 6 ( )( ) P( ) = + 6+ E Ω P ( ) 0 ( )( 6 ) 0 ( 0 ou 6 0) + = 0 = ( = ou = ) = + + = + = + = L équaton 6+ = 0 a pour dscrmnant = ( 6) 4 = 6 84= 48 e nombre étant strctement négatf, l équaton 6+ = 0 a deux solutons complexes conjuguées : = = + et L ensemble des solutons de l équaton f () = 0 est donc { ; ;+ ; } Une premère remarque : les ponts et ont des affxes conjuguées donc ls sont symétrques par rapport à l axe ( ;u ) et l en va de même pour les ponts et Le centre du cercle crconscrt (s l en exste un) appartendra donc à cet axe euxème remarque : l semble que l angle sot drot Un bref calcul pour s en assurer : = = = = = donc ( ) ( ; ) = arg = arg = + k ( k Z ) le tour est joué Le pont appartent donc au cercle de damètre [], ans que à cause de la symétre déjà sgnalée Le centre du cercle crconscrt à est le mleu Ω de [], d affxe Ω = 4 Le symétrque E de par rapport à a pour affxe E = = = = = = E = = cos sn e + = E e E ( ) = donc est l mage de E par la rotaton de centre et d angle qu prouve que le trangle E est équlatéral ndrect, ce 7

19 67 a Le nombre complexe de module et dont un argument est a pour écrture algébrque a = 4 + = = + 4 = = = 4 = = + L'équaton = 4 a pour unque soluton le nombre + b ( ) b Le symétrque de par rapport à a pour affxe : Γ = I = K c = = = = = I = = et arg = arg() = + k ( k Z ) d = sgnfe = donc = est donc un parallélogramme e plus, = = donc = Le parallélogramme a deux côtés consécutfs de même longueur est donc un losange Enfn, ( ; ) = arg = + k ( k Z ) Le losange a un angle drot est donc un carré a est un parallélogramme et I est le mleu de la dagonale [] donc le centre du parallélogramme, donc l sobarycentre de,, et Par théorème, pour tout pont M du plan, M + M + M + M = ( ) MI = 4MI b K + K + K + K = 4KI = IK = I étant le mleu de [], I est l mage de dans l homothéte de centre et de rapport L égalté IK = montre que K est l mage de dans cette homothéte, donc le mleu de [] (reconnasse la drote des mleux dans le trangle ) Pour ceux qu n ament pas les transformatons, on peut envsager une démonstraton vectorelle : K I IK = + = + = ( + ) = c M+ M+ M+ M = 4MI = M+ M+ M+ M = 4MI= IM = IM = IK L'ensemble Γ des ponts M du plan tels que M + M + M + M = est donc le cercle de centre I et passant par K (c est le cercle nscrt dans le carré ) 7

20 68 L'mage ' du pont par f a pour affxe : c ( ) + c' = = = = = = (forme algébrque) c c' = + = + = = donc, sous forme trgonométrque : c' = cos sn = = d d 4 = d + 5 = d( + ) d = d ' = = + d + d d d L'affxe d du pont ayant pour mage par f le pont ' d'affxe d ' = est donc : 5 5( ) d = = = a pp ' = + ' + = ( + )( ' + ) = ( + ) + = ( + ) = pp ' = ( ) + = 5 b S le pont M appartent au cercle (Γ) de centre et de rayon, alors M =, a =, + =, p =, 5 5 p ' = p =, 5 ' + =, M ' appartent donc au cercle (Γ') de centre et de rayon b 4 a ( ) ' c =, M ' = arg( ω ) = arg = arg = M ; M + k ( k Z ) + a + b ' = = = = ω c ' réel non nul ω réel non nul ω magnare non nul arg( ω ) = + k ( k Z ) ' réel non nul ( M ; M) = + k ( k Z ) ( Mangle drot) L'ensemble (F ) des ponts M d'affxe telle que ' sot un réel non nul est donc le cercle de damètre [] prvé de et d = d a = + + = = donc Γ appartent au cercle (Γ) et pusque d ' =, nombre réel non nul, appartent F à (F ) noter que le pont ' permet de smplfer la constructon du cercle Γ' dont le ' rayon est complqué 5 ' Γ' 7

21 69 ( x y) ( ) f( ) = = = = x+ y x y x+ y ( x) + y x+ y+ ( x x+ y + y) x + y x x+ y + y f( ) = = + ( x) + y ( x) + y ( x) + y y x x y x y y xy y x x xy + + = 0 + ( + ) = 0 f( ) R = 0 4 x x+ y + y x x y y x y ( x) + y ( x) + y 0 ( x) + y 0 5 x + ( y ( ) ) = f( ) R 4 ( x; y) (;0) Reconnasse c une équaton de cercle et remarque (quel hasard!) que le pont de coordonnées ( ; 0) en fat justement parte L'ensemble des ponts M d'affxe tels que f () sot réel est donc le cercle de centre de coordonnées ; et de rayon 5, prvé du pont d affxe a ( ) = = = f( ) = L égalté = étant fausse, l équaton n a aucune soluton donc n'a pas d'antécédent par f '( ) = ' ' = Pour ', ' = f( ) ' = ' ' = ' ' = ( ' ) = ' = f( ) ' ' Vérfe rapdement que ' ne peut pas être égal à donc une soluton : ' = ' b M ' ' ' M' ' ' ' M' = = = = = c S le pont M décrt le cercle de centre et de rayon prvé du pont, M = donc M ' = donc ' ' M ' M = M M ' appartent donc à la médatrce du segment [] d S M est un pont de l'axe réel, dfférent de et de, alors : ' est un réel dfférent de 0 et de ' ' arg = 0 + k ( k Z ) ' ( M'; M' ) = 0 + k ( k Z ) les ponts, et M ' sont algnés M ' appartent à la drote () 74

22 70 a L'équaton + = 0 a pour dscrmnant = ( ) 4 = 4 e nombre étant strctement négatf, l équaton + = 0 a deux solutons complexes conjuguées : b + 4 = + et + = + = donc + = + = cos + sn 4 4 arg( + ) = + k ( k Z ) 4 omme est le conjugué de +, = et arg( ) = + k ( k Z ) 4 (+ + ) (+ + ) + = 0 (+ + = + ou + + = ) (+ + ) (+ + ) + = 0 ( = ou = 4) (+ + ) (+ + ) + = 0 ( = ou = 4) (+ + ) (+ + ) + = 0 ( = ou = 4) L équaton (+ + ) (+ + ) + = 0 a donc deux solutons : + et 4 + a = + donc = = et = = b c I I = = + = + = ( ) + = 5 I I = = = = ( ) + ( ) = 5 I = I = = = ( ) + ( ) = 5 Les ponts, et appartennent donc au cercle () de centre I d'affxe et de rayon 5 d = = = = = donc I ( I ; I) = arg = arg = arg() = + k ( k Z ) Le trangle I est I donc rectangle en I donc ( ) ( ) e E = I f ( ) E = = = 4 E I = e = 4 = g n peut évdemment fare le calcul = = = = donc ( ; ) = arg = arg() = + k ( k Z ) Les drotes () et () sont donc perpendculares ependant, l est plus smple de montrer que est colnéare à v et est colnéare à u d où l orthogonalté I d où 75

23 7 M ' Ω M a L mage de par f a pour affxe : ( + ) 4 = ( + )( + ) 4 = = 4 + ; c est le pont L mage de par f a pour affxe : + 4 = + 4 = 4 4 = 8 ; c est le pont b ( ) ( ) f( M) = M ( + ) 4 = = 4 + = 4 + = f admet donc un unque pont fxe Ω, d affxe ω= a Pour tout complexe, on a : ' = ( + ) 4 = 4 = + 4 = + = ω b ' = (ω ) MM ' ' = = = MΩ ω et ( ) ( ) ( ) ' ( MΩ, MM') = arg = arg = + k ( k Z ) ω c Pour construre M ' on trace la perpendculare en M à la drote (ΩM) et on reporte deux fos la longueur ΩM (vor fgure) 76

24 f() = = = + + = ( ) ( ) ( )( ) f() = + = ( ) = = = = Il exste un seul pont tel que f() =, le pont d affxe + ( ) = = = = donc ( ) = = e ( ), ce qu + prouve que est l mage de dans la rotaton de centre et d angle Le trangle est donc rectangle socèle Pour tout M dstnct de et de : M '= ' = M = = + Z M ( u, M') = arg( ') = arg = arg() + arg = + ( M, M) + (modulo ) 4 a M M ' Γ M ' = = M = M L ensemble E des ponts M tels que l mage M M ' sot stuée sur le cercle (Γ) de centre et de rayon est donc la médatrce de [] b M ' R ( ' = 0 ou ' R *) M ' R = ou ( u, M') = 0 + k ( k ) ( Z ) M ' R M = ou + ( M, M) = 0 + k ( k Z ) M ' R M = ou ( M, M) = + k ( k Z ) autrement dt, M drot L ensemble F des ponts M tels que l affxe de M ' sot réelle est donc le cercle de damètre [] prvé de 5 a a pour affxe : ( ) = e = = + b L mage de par f a pour affxe : + = = + = Pusque cette affxe est réelle, appartent à l ensemble F et F E 77

25 7 s est un magnare pur,, alors l exste un réel y tel que y y y+ y+ y+ ' = = = = = = + y+ y+ y+ y+ y+ ( ) ( ) ( ) y + Pusque y est réel, est réel donc ' est magnare pur y + = y ( ) = + = M ' = M ' = = = ou = + Il y a donc deux ponts nvarants par f : les ponts d affxes et ' + = = = donc ' + = + = + = + + S M appartent au cercle de centre et de rayon, M = c'est-à-dre =, + =, ' = =, c'est-à-dre que le pont M ' reste sur le cercle dont le centre a + pour affxe et pour rayon 4 a ( ) + = + donc ( ) ( )( ) 5 + = + = + = b M' est le symétrque de M par rapport à s, et seulement s, ' = = + = 0 ( + + )( + ) = ' = = = 0 ou + = 0 ' = ( = ou = ) Il y a donc deux ponts répondant à la queston, d affxes et ( ) + + ( ) M ' = = = = = = M donc M ' = = M = M L'ensemble E des ponts M, tels que le module de ' sot M égal à est donc la médatrce du segment [] E 78