Exercices de mathématiques

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1 Universié Paris Didero Année MI2 Semaine du 3 mars au 4 avril feuille n 6 Exercices de mahémaiques Exercice Déerminer lesquels des ensembles E, E 2, E 3 e E 4 son des sous-espaces vecoriels de R 3. Calculer leurs dimensions. E = {x, y, z R 3 ; x + y z = x + y + z = 0}. E 2 = {x, y, z R 3 ; x 2 z 2 = 0}. E 3 = {x, y, z R 3 ; e x e y = 0}. E 4 = {x, y, z R 3 ; zx 2 + y 2 = 0}. Exercice 2 Parmi les ensembles suivans reconnaîre ceux qui son des sous-espaces vecoriels. E = { x, y, z R 3 ; x + y + a = 0, e x + 3az = 0 } E 2 = {f FR, R; f = 0}, E 3 = {f FR, R; f0 = } E 4 = {P R n [X]; P = 3}, E 5 = { x, y R 2 ; x + αy + 0 }. Exercice 3 Dans R 4 on considère l ensemble E des veceurs x, x 2, x 3, x 4 vérifian x + x 2 + x 3 + x 4 = 0. L ensemble E es-il un sous espace vecoriel de R 4? Si oui, en donner une base. Exercice 4 Soien les veceurs e =, 2, 3, 4, e 2 =, 2, 3, 4 de R 4. Peu-on déerminer x e y pour que x,, y, Vec{e, e 2 }? pour que x,,, y Vec{e, e 2 }? Exercice 5 Soien E e F les sous-espaces vecoriels de R 3 engendrés respecivemen par les veceurs { 3, } e { 7, 0 }. Monrer que E e F son égaux Exercice 6 Soien E un espace vecoriel, F e G deux sous-espaces vecoriels de E. On di que F e G son supplémenaires dans E lorsque F G = {0} e E = F + G. On noe E = F G. 0. Soien e = 0, e 2 =, e 3 = 0, e 4 = 0 0 e e 5 = des veceurs de R 4. Posons F = Vec {e, e 2 }, G = Vec {e 3, e 4 }, G = Vec {e 3, e 4, e 5 }. Monrer que E = F G e E F G. 2. Supposons que E es de dimension finie n, que dim F = p e E = F G. a Calculer dim G. b Monrer que ou élémen x de E se décompose d une manière unique en une somme x = y + z avec y F e z G. c Soien F = {f,, f k } une famille libre de F e G = {g,, g l } une famille libre de G. Monrer que la famille F G es libre.

2 d Soi ϕ une applicaion linéaire de E dans R q, q N. Consruire deux applicaions linéaires ψ e ψ de E dans R q elles que : y F : ψ y = 0, z G : ψz = 0 e x E : ϕx = ψx + ψ x. Exercice 7 Soien F e G deux sous-espaces vecoriels de R n, on défini l applicaion f : F G R n par fx, x 2 = x + x 2.. Monrer que f es linéaire. 2. Déerminer le noyau e l image de f. Exercice 8 E e E 2 éan deux sous-espaces vecoriels de dimensions finies d un espace vecoriel E, on défini l applicaion f : E E 2 E par fx, x 2 = x + x 2.. Monrer que f es linéaire. 2. Déerminer le noyau e l image de f. 3. Appliquer le héorème du rang. Exercice 9 Soi E = R n [X] l espace vecoriel des polynômes de degré n, e f : E E définie par : fp = P + XP. Monrer que f LE, donner une base de Im f e de Kerf. Exercice 0 Soien v, 2, 3, 4, v 2 2, 2, 2, 6, v 3 0, 2, 4, 4, v 4, 0,, 2, v 5 2, 3, 0, dans R 4. Soien F = V ec{ v, v 2, v 3 } e G = V ec{ v 4, v 5 }. Déerminer une base des sous-espaces F G, F, G e F + G. Exercice On considère dans R 4, F = lin{a, b, c} e G = lin{d, e}, avec a =, 2, 3, 4, b = 2, 2, 2, 6, c = 0, 2, 4, 4, d =, 0,, 2 e e = 2, 3, 0,. Déerminer des bases des sous-espaces F G, F, G, F + G. Exercice 2 Dans R 3, les veceurs suivans formen-ils une base? Sinon décrire le sous-espace qu ils engendren.. v =,,, v 2 = 3, 0,, v 3 =,,. 2. v =, 2, 3, v 2 = 3, 0,, v 3 =, 8, v =, 2, 3, v 2 =, 0,, v 3 =, 0,. Exercice 3 Déerminer pour quelles valeurs de R les veceurs formen une base de R 3. Exercice 4 Soi Σ le sysème d équaions linéaires : x + 3y + 2z = 0 x + y + z + = 0 x = 0 0,, 0 Monrer que l ensemble des soluions de Σ forme un sous-espace vecoriel F de R 4. Déerminer la dimension e une base de F. 2

3 Exercice 5 Soien v =, 0, 0,, v 2 = 2,, 0,, v 3 =,,,, v 4 = 7, 2, 0, e v 5 = 2, 3,, 0. Donner une base du sous-espace vecoriel F =< v, v 2, v 3, v 4, v 5 >. Déerminer un supplémenaire de G dans F dans R 4. Exercice 6 Déerminer pour quelles valeurs de R les polynômes X 2 + /2, X, X formen une base de R 2 [X]. 2 Exercice 7 On considère, dans R 4, les veceurs : e = 2 3, e 2 =, e 3 =, e 4 = , e 5 = Soien E l espace vecoriel engendré par e, e 2, e 3 e F celui engendré par e 4, e 5. Calculer les dimensions respecives de E, F, E F, E + F. 3

4 Universié Paris Didero Année MI2 Semaine du 3 mars au 4 avril feuille n 6 Exercices de mahémaiques Correcion. E es un sous-espace vecoriel de R 3. En effe : a E. b Soien x y z e x y z deux élémens de E. On a donc x+y z = x+y+z = 0 e x + y z = x + y + z = 0. Donc x + x + y + y z + z = x + x + y + y + z + z = 0 e x y z + x y z = x + x y + y z + z apparien à E. c Soien λ R e x y z E. Alors la relaion x + y z = x + y + z = 0 implique que λx+λy λz = λx+λy+λz = 0 donc que λ x y z = λx λy λz apparien à E. Posons F = {x, y, z R 3 ; x+y+z = 0}. F es un plan passan par l origine donc F es un sous-espace vecoriel de R 3. On a les inclusions srices : {0} E e E F R 3. Par la première on obien 0 < dim E, par la seconde dim F < 3 puis dim E < 2 c es à dire dim E =. 2. E 2 = {x, y, z R 3 ; x 2 z 2 = 0} c es à dire E 2 = {x, y, z R 3 ; x = z ou x = z}. Donc 0 e 0 appariennen à E mais = n apparien pas à E qui n es en conséquence pas un sous-espace vecoriel de R / E 3 donc E 3 n es pas un sous-espace vecoriel de R Les veceurs 0 0 e 0 0 appariennen à E 4 mais leur somme = 0 ne lui apparien pas donc E4 n es pas un sous-espace vecoriel de R 3. Correcion 2 E : non si a 0 car alors 0 / E ; oui, si a = 0 car alors E es l inersecion des sous-espaces vecoriels {x, y, z R 3 ; x + y = 0} e {x, y, z R 3 ; x = 0}. E 2 es un sous-espace vecoriel de FR, R. E 3 : non, car la foncion nulle n apparien pas à E 3. E 4 : non car le polynôme nul n apparien pas à E 4. E 5 : non, en fai E 5 n es même pas un sous-groupe de R 2, + car 2, 0 E 5 mais 2, 0 = 2, 0 / E 5. Correcion 5 Pour que deux ensembles X e Y soien égaux, il fau e il suffi que X Y e Y X.Dans le cas des espaces vecoriels de dimension finie, la siuaion es un peu plus simple : pour que E = F il fau e il suffi que F E e dim E = dim F. Appliquons ce 2 crière : E es engendré par deux veceurs donc dim E 2. Les deux veceurs 3, 2 son linéairemen indépendans donc dim E 2 c es à dire dim E = 2. Un raisonnemen

5 3 2 idenique monre dim F = 2. Enfin, les égaliés 7 = 2 3 e monren que F E c es à dire E = F = 7 Correcion 7 E es engendré par rois veceurs e F es engendré par deux veceurs. Donc dim E 3 e dim F 2. Clairemen e 4 e e 5 ne son pas liés donc dim F 2 c es à 2 dire dim F = 2. Enfin, de 2 = 0. La famille {e, e 2, e 3 } es donc libre, soi 3 dim E 3 i.e. dim E = 3. E F F donc dim E F 2. De plus : dim E + F = dim E + dim F dim E F. Comme E + F R 5, on a dim E + F 5 d où on ire l inégalié dim E F. Donc soi dim E F = soi dim E F = 2. Supposons que dim E F soi égale à 2. Comme E F F on aurai dans ce cas E F = F. En pariculier il exiserai α, β, γ R els que e 4 = αe + βe 2 + γe 3. On vérifie aisémen que ce n es pas le cas, donc que dim E F n es pas égale à 2. On peu donc conclure : dim E F = puis dim E + F = 4. 2