Intégration sur un intervalle quelconque

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1 TD - corrigés Inégraion sur un inervalle quelconque. Jusifier, pour ou réel >, la convergence de l inégrale J) d Énoncés. Soi α un réel sricemen posiif. Pour quelles valeurs de α, l inégrale généralisée α d es- + ) elle convergene?. On défini la suie u n ) n N par : n N, u n n + ) d. Soi >. a) Monrer, par une inégraion par paries, que e ) J) e b) En déduire un équivalen simple de J) lorsque end vers +.. a) Vérifier que pour ou réel >, J) d + J) b) Prouver que J es de classe C sur R + e calculer J ). a) Prouver que n N, u n + u n+ n c) En déduire les variaions de J sur R +. Préciser la limie de J en zéro. - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr b) Calculer u en remarquan que pour ou réel, c) En déduire u e u. + ) +. a) Monrer que la suie u n ) es décroissane. b) Éablir que pour ou enier n, n u n n c) En déduire un équivalen simple de u n lorsque n end vers +. Corrigés. Soi α un réel sricemen posiif. La foncion f : α es coninue e posiive sur [,+ [. + ) Le problème se pose donc en + seulemen. Or l inégrale de Riemann > c es-à-dire α >. f ) Donc l inégrale généralisée. a) Soi n N, n fié. + ) α α+ d converge si, e seulemen si, α + α+ u n + u n+ n + ) d + + ) n + ) + n+ d + ) α d es convergene ssi α > + ) n+ + ) d par linéarié page

2 TD - corrigés - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr [ lim + n n + n+ + ) ) d lim + ] n n + n Ainsi n N, b) Soi un réel supérieur à. + ) d [ )] + ln ln + ) d lim n+ ) n + u n + u n+ n ) d [ln ln + )] [ + ln + )] + ln + ) Donc ln. u ln n+ d c) En uilisan.a) avec n puis n, on obien : u + u d où u ln. u + u / d où u / ln) ln) /.. a) Soi n N. Par linéarié, ) u n u n+ n + ) + ) n+ d + ) n+ d + ) Or la foncion n+ es coninue, inégrable e posiive + ) sur l inervalle [, + [. ) Par conséquen n+ d ce qui revien à dire que + ) u n u n+. La suie u n ) es donc décroissane. b) Soi n un enier, n. Puisque la suie u n ) es décroissane, u n+ u n u n d où u n + u n+ u n u n + u n Or, d après l égalié obenue en.a), u n + u n+ n e u n + u n n. On en dédui que : n u n n c) Pour ou enier n, n u n n n n Or lim n + n lim n n + n. Donc, d après le héorème «des gendarmes», ce qui revien à dire que u n n + ) J) d n lim n u n n +. Soi > donné. La foncion ϕ : e es définie, coninue e posiive sur [,+ [. Par ailleurs ϕ) + ). Il s ensui que l inégrale généralisée d converge. En revanche ϕ) e l inégrale d diverge. A foriori, on ) ne peu pas prendre < e J es définie uniquemen sur l inervalle ouver ], + [.. Soi >. a) On obien par une inégraion par paries sur un segmen [, y] [,+ [ : y d ] y [ e y e d D où, en passan à la limie lorsque y +, J) d e + d Or De plus [,+ [, e d e e donc J) e y y y d page

3 TD - corrigés d où Ainsi Finalemen d e d d e ) J) e d puis J) e e b) En uilisan l encadremen précéden e le héorème des gendarmes, De plus en fian d abord un réel ], ], nous avons [, ] e e d où d e d e ln Or on a vu que J) d + J) Donc pour ou réel ], ], J) e ln + J) De plus lim e ln + J) +. Ainsi lim J) lim + J) ) e e ce qui signifie que J) + ). a) On se fie un réel >. En disinguan les cas < < e, on obien par la relaion de Chasles : - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr ϕ)d ϕ)d + ϕ) d ce qui revien à dire que J) d + J) b) La foncion ϕ éan coninue sur l inervalle R + qui conien, la foncion d es l unique primiive sur R + de la foncion ϕ, primiive qui s annule en. Auremen di, la foncion dérivée ϕ e s annule en. Donc la foncion J es dérivable sur R + e J ϕ. d es dérivable sur R +, de Comme la foncion ϕ es infinimen dérivable sur R +, la foncion J es de classe C sur R + e >, J ) e c) >, J ) <. Donc la foncion J es sricemen décroissane sur l inervalle R +. page

4 Énoncés Déerminans 45 Les deu quesions suivanes son indépendanes.. Pour z C, on pose M z z M C). z Pour quelles valeurs de z la marice M es-elle inversible?. Soi N M R) une marice carrée d ordre à coefficiens réels elle que N I. Que vau den)? Corrigés 45. Calculons le déerminan de M. dem) C C C C C C z z z ) Donc M es inversible ssi dem) c es-à-dire z. Puisque N I, den ) de I ). Or den ) den) e de I ) ) dei ). TD - corrigés z z D où den). Ainsi le réel den) es soluion dans R de l équaion. 4 Final. a c c On pose A c a b M R). Calculer sous forme facorisée le déerminan c b a de la marice A. Ainsi den) - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr a c c 4 dea) c a b C C C a c par linéarié a c c a b a a b) c a c b a c b a b c b L L +L a c a c a b) c a + b a b) c a + b a b) a c c b c b c a + b a b)aa + b) cc) a b)a + ab c ) page 4

5 Énoncés Séries numériques 7 Les cinq quesions son indépendanes. Combien vau la somme suivane : k k! k?. Soi u n une série à ermes réels posiifs. Quelle condiion es suffisane pour garanir la convergence de cee série? a) u n n b) u n n c) u n n d) e u n n. Pour laquelle des séries suivanes sai-on facilemen calculer la somme? a) n b) nn + ) c) n + d) ) n n + 4. Pour laquelle des séries suivanes, la règle de D Alember perme-elle de jusifier la convergence? a) n lnn) b) n n c) sin n n! d) n 7 Final. La série alernée ) k es semi-convergene. k + On appelle «rese d ordre n» de la série ) k, le nombre réel k + R n kn+ ) k k + TD - corrigés L objecif de ce eercice es d obenir un équivalen de R n, rese d une série alernée convergene.. Démonrer que, pour ou enier naurel n, R n )n+ n + kn+ ) k k + ) k +. Jusifier que, pour ou enier naurel n, ) k k + ) k + n + )n + 5) kn+. Déerminer un équivalen simple de R n lorsque n end vers +. - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr 5. Soi a R +. Donner une condiion nécessaire e suffisane sur a pour que la série de erme général sinhn) a n soi convergene. 7 On noe E l ensemble des suies réelles u n ) n N elles que la série de erme général n u n converge.. Monrer que la suie w n ) n N définie par w n apparien à E. n. Monrer que, si u e v son deu suies de E, alors la série de erme général n u n v n es absolumen convergene.. En déduire que E es un R-espace vecoriel. page 5

6 TD - corrigés - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr Corrigés 7. k! k k k! avec. On reconnaî la série eponenielle e on sai que k! k e e k. Pour que la série à ermes réels posiifs u n soi convergene, il suffi que n N, u n n car la série de Riemann n converge. Il suffi donc que n N, u n n. k N, kk + ) n apparaî comme une somme «éléscopique» don on sai calculer facilemen la limie lorsque n end vers k kk + ) +. k + ) k kk + ) k k La règle de D Alember perme de jusifier la convergence de la série n n. 5. Soi a R +. Pour ou enier naurel n, sinhn) en e n sinhn) e a n. e n sinhn) e n Donc sinhn) e n + a n n + a n e/a)n Or les séries sinhn) a n e e ) n son de même naure a e la série géomérique e ) n e converge ssi <. a a Ainsi la série de erme général sinhn) a n es convergene si, e seulemen e si, < c es-à-dire a > e. a 7. On a n w n n, e la série de Riemann es convergene, n ce qui prouve que w n ) apparien à E.. Par idenié remarquable, on a : u n v n ) d où u n + v n u n v n Donc u n v n u n + v n e on en dédui aisémen que la série de erme général n u n v n es convergene.. E es une parie non vide de l espace vecoriel R N des suies réelles. Soi u e v deu suies de E e λ un réel. On a : n u n + λv n ) n u n + λ n v n + λn u n v n On ermine avec la quesion précédene. Conclusion : E es un R-espace vecoriel. 7. Soi n un enier naurel fié. ) R n )n+ n + R n + R n )n+ n + kp ) kn+ kn+ ) k k + + ) k+ kn+ k + ) k k + ) k + kn+ kn+ ) k k + + ) k k + pn+ kn+. Posons k N, u k k + k + k + )k + ) ) p p + ) k k + Alors la suie u k ) k N es posiive, décroissane e de limie nulle en +. D après le crière spécial des séries alernées, on peu majorer le rese d ordre n de la série ) k u k : n N, ce qui revien à dire que n N, ) k. Il es clair que On dédui de. que kn+ kn+ kn+ ) k u k u n+ k + k + ) n + )n + 5) o n + ) n + ) n + )n + 5) ) k k + ) ) k + o n + ) n + page

7 TD - corrigés On obien alors d après. : R n )n+ n + + Finalemen R n n + ) kn+ ) n+ n + ) n + + o ) n+ n + ) n + ) n+ n + ) k k + ) k + ) n + ) n+ Puis R n n + ) 4 n - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr page 7

8 TD 4 - corrigés Diagonalisaion de marices Énoncés 94 un suje calculaoire... On considère la marice carrée d ordre suivane : A. Sans calcul, jusifier que A es diagonalisable e non inversible. Donner le rang de A.. Calculer les rois valeurs propres de A e déerminer les sous-espaces propres associés.. En déduire une marice diagonale D de M R) don les coefficiens diagonau son dans l ordre croissan, e une marice inversible P de M R), don les coefficiens de la première ligne son ous égau à, elles que A PDP. 4. Calculer P. 5. Monrer qu il eise une marice diagonale de M R), don les coefficiens diagonau son dans l ordre croissan, elle que D, e déerminer.. On noe R P P. Vérifier que R A e calculer R. a) Sans calculer le polynôme caracérisique de A, donner la décomposiion de A en foncion de la marice P e d une marice diagonale que l on epliciera. b) En déduire les valeurs propres de A en foncion de j e des réels a, b e c. 5. a) Monrer que oues les valeurs propres de A son réelles si, e seulemen si, b c. b) Donner une condiion nécessaire e suffisane poran sur a, b e c pour que A soi diagonalisable dans M R). Corrigés 94. En an que marice symérique à coefficiens réels, A es diagonalisable dans M R) e comme elle a deu colonnes ideniques, elle n es pas inversible. Le rang de A es la dimension du sous-espace vecoriel de M, R) engendré par les colonnes de A. Ce sous-espace es Vec - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr 95 Médian 4. Soien a, b e c rois nombres réels. On noe I, J e A les marices suivanes : a b c I J A c a b b c a. Eprimer A comme combinaison linéaire des marices I, J e J.. Résoudre dans C l équaion z. On noera j la soluion complee don la parie imaginaire es sricemen posiive.. Déerminer les valeurs propres de J. Jusifier que la marice J es diagonalisable dans M C). 4. On noe P la marice de passage de la base canonique de M, C) vers une base de veceurs propres de J. Cee famille éan libre veceurs non proporionnels), le rang de A es égal à.. Calculons le polynôme caracérisique de la marice A sous forme facorisée. χ A X) dea X I ) C C C C C X)C X X X X X X X) X) X En développan ce déerminan par rappor à la deuième ligne, on obien : page 8

9 TD 4 - corrigés - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr χ A X) ) X X X X )X ) )[ X X )X ) XX )] X [ X )X ) X )] X [ X )X ) X )] XX )[ X ) ] XX )X 4) La marice A adme valeurs propres deu à deu disinces :, e 4. Déerminons les sous-espaces propres de A. Posons U y. z i) U E A) AU O, { + y + z On choisi U z L L L ii) U E A) AU U y + z + z + y + z On choisi U + y + z + y + z + y + z { y z alors E A) VecU ) es de dimension. + y + z + y + z y + y + z z z y iii) U E 4 A) AU 4U + y + z y + z + y z { y z alors E A) VecU ) es de dimension. + y + z 4 + y + z 4y + y + z 4z + y L L + L y L L + L y + z On choisi U alors E 4 A) VecU ) es de dimension.. A PDP avec D don les coefficiens diagonau son 4 dans l ordre croissan e P es la marice de passage de la base canonique de M, R) vers la base de veceurs propres U,U,U ). P première ligne formée de ) 4. Par la méhode de Gauss : L L + L / / L L L / / / L L / / / L L + L / / / / / / / / / e donc / / Conclusion : P / / / / / / L L L / L L / 5. L unicié n éan pas demandée, pour monrer l eisence de, il suffi de la donner e vérifier qu elle convien : Soi. Elle vérifie bien les rois conraines : marice diagonale, coefficiens diagonau dans l odre croissan e carré de égal à D.. On pose R P P. On a alors R P P )P P ) P P PDP A page 9

10 TD 4 - corrigés P P / / / / / / / / / / / / / / 4 / / 5/ / / / Ainsi R / / / / / 5/ 95. J. a b c D où A c a b a + b + c. b c a D après la quesion précédene, les valeurs propres de J son, j e j. J es une marice carrée d ordre qui adme valeurs propres deu à deu disinces. Donc la marice J es diagonalisable dans M C). 4. a) Comme J es diagonalisable dans M C), elle es semblable à une marice diagonale don les coefficiens diagonau son les valeurs propres de J. Auremen di, il eise une marice inversible P GL C) elle que J PDP avec D j. j D où J PDP )PDP ) PDP P)DP PD P avec D j j j 4 j Or on rappelle que A a I + b J + c J. - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr Donc A a I + b J + c J. Les soluions de l équaion z son les racines cubiques de l unié, à savoir ω k e i kπ où k, Donc z z ou z e i π ou z e i 4π z ou z + i ou z i j éan la soluion complee don la parie imaginaire es sricemen posiive, on a j + i ei π e j e i 4π i j. On sai que la somme des racines n-ièmes de l unié es oujours égale à pour ou enier n ). Donc + j + j.. On calcule le polynôme caracérisique de la marice J par la règle de Sarrus : X χ J X) dej X I ) X X X) ++ X Les valeurs propres de J son les racines complees) du polynôme caracérisique χ J X), c es-à-dire les soluions de l équaion z. Par conséquen A a P I P + b PDP + c PD P PaI )P + PbD)P + PcD )P P ai )P + bd)p + cd )P ) P ai + bd + cd ) P }{{} a + b + c On pose ai +bd+cd a + b j + c j. a + b j + c j Alors A P P. b) Les marices A e éan semblables, elles admeen le même polynôme caracérisique e les mêmes valeurs propres. Les valeurs propres de la marice A son donc a + b + c, a + b j + c j e a + b j + c j 5. a) a + b + c es déjà un nombre réel. Les valeurs propres de A son réelles ssi a + b j + c j e a + b j + c j son réels ssi les paries imaginaires des complees b j + c j e b j + c j son nulles page

11 TD 4 - corrigés ) ) ssi b + c b + c ssi b c b) Démonrons que A soi diagonalisable dans M R) si, e seulemen si, b c On suppose que b c. a b b Alors la marice A b a b es symérique, à coefficiens b b a réels. Elle es donc diagonalisable dans M R). Réciproquemen, on suppose que A es diagonalisable dans M R). Alors son polynôme caracérisique χ A X) R [X] es scindé produi de polynômes de degré ). Or comme A es à coefficiens réels, son polynôme caracérisique es le même dans M R) que dans M C). Donc les racines de χ A X) C [X] son oues réelles. Ainsi les valeurs propres de A son oues réelles. Finalemen, d après la quesion précédene 5.a), b c - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr page

12 TD 5 - corrigés Suies e séries de foncions Énoncés Final 7. ) ep. Pour n N n, on défini la foncion f n sur [, + [ par f n ) + Déerminer en appliquan le héorème de convergence dominée, lim n + f n )d n b) On pose n N ), [, ], u n ) n n. En uilisan le crière spécial des séries alernées, monrer que la série de foncions u n converge uniformémen sur [, ]. c) Monrer enfin que la foncion f adme une limie finie à droie en. Corrigés. Pour n N, on défini la foncion f n sur [, + [ par - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr e. On pose pour ou enier naurel n non nul, I n + n 4 d a) Jusifier la convergence de l inégrale généralisée I n. b) À l aide du changemen de variable n, monrer que I n n f n )d c) En déduire la naure de la série I n. 7 Final.. Déerminer les réels pour lesquels la série numérique n n es convergene.. On défini la foncion f sur ], [ en posan ], [, f ) n n n a) Monrer que la foncion f es croissane sur l inervalle [, [. b) Soi un réel quelconque de l inervalle [, [. Prouver que f ). En déduire lim f ).. a) Démonrer que n ) ], [, )f ) n n n f n ) ) ep n + Chaque foncion f n es coninue sur [, + [. Soi R +, fié. lim e lim n + n e e D où, par composiion lim ep ) n + n e lim f n) n + + La foncion f : + es coninue sur [, + [. n Soi n N e R +. Alors ep n ) Donc n N, [, + [, f n ) + la foncion dominane f : es posiive e inégrable sur + [, [. En effe : f )d + d [arcan π ] arcan arcan) + ) Le héorème de convergence dominée perme de conclure que les foncions f n son inégrables sur [, + [ e que lim n + f n )d f )d + d π e. On pose pour ou enier naurel n non nul, I n + n 4 d page

13 TD 5 - corrigés a) Soi n N, n fié. e La foncion g n : + n 4 es coninue e posiive sur [, + [. Première méhode avec le crière de comparaison. + n 4 < + n 4 < e + n 4 e Donc R +, < g n ) e. Or l inégrale généralisée es convergene car A lim A + e d lim A + e A + Ainsi, par comparaison, l inégrale généralisée aussi. e d Donc, d après le crière d équivalence, les séries I n e π n son de même naure. Or la série π es de même naure que la série de Riemann n qui es convergene car >). n Par conséquen la série In es convergene. g n )d converge 7. Soi un réel non nul fié. On pose n N, a n n n. Alors pour ou enier n, Deuième méhode avec le crière de Riemann. g n ) + n 4 e + ) n 4 e. a n+ a a n+ n + n + n a n n n + n + n + ) - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr D où lim + g n ). >), l inégrale généralisée I n Donc, d après le crière de Riemann g n )d es convergene. b) Soi A un réel posiif. On procède au changemen de variable affine A n e, dans l inégrale définie + n 4 d. Alors n e d d. D où n ) A e n A ep + n ) d n + n d n En faisan endre A vers +, on obien l égalié ) e + n ) d ep n n + d Ainsi I n n f n )d n A ) ep n + d Le crière de D Alember assure que si > alors la série a n diverge si < alors la série a n converge. De plus pour ou, la série numérique n n diverge grossièremen. E enfin, la série n n converge pour. Finalemen la série n n es convergene si, e seulemen si, < <.. On désigne par f la foncion somme de la série de foncions a n n, f éan définie sur l inervalle ouver ], [. a) Soi a e b deu réels els que a < b <. Alors k, n, a k b k n n D où k a k k b k k k Donc, en passan à la limie lorsque n +, ce qui revien à dire que f a) f b). Ainsi la foncion f es décroissane sur [, [. Soi n N k k a k k b k k c) I n es une série à ermes posiifs. lim n + On rappelle que f n )d π. On en dédui que I π n n + ) n. b) Soi [, [. n N, n n n d où n n n n. n page

14 TD 5 - corrigés - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr On reconnaî la série géomérique n de rayon de convergence e don la somme es : n n. ) Or n n. Par conséquen f ) n n. On vien de prouver que [, [, f ) Or lim +. Donc, par comparaison, lim f ) +... a) Soi un réel fié el que < <. Puisque les séries numériques n n e n n son oues les deu convergenes, on peu écrire : n n n ) n n n n n n ) n n n n n n n n n+ par chg d indice n n n n n+ car n n n n n n n n n n n n n n ) } {{ } f ) n ) Ainsi ], [, )f ) n n n b) Soi un réel fié el que. n n N ) ) ) n n n + n, u n ) n n n n + n n Or la suie es posiive, décroissane e converge n + n )n N vers. Donc, d après le crière spécial des séries alernées, en posan R n ) kn+ Ainsi [, ], u n ), on obien R n ) u n+ ) kn+ u k ) n n + + n n avec n n + ). En conséquence la série de foncions u n converge uniformémen sur [, ]. c) En appelan S la foncion somme de la série de foncions u n, on peu dire que S es coninue sur le segmen [, ]. + n u n ) Or d après.a), ], [, f ) avec par coninuié de S en : e lim ) ) + Finalemen S) lim S) S ) ) + S ) lim f ) ) + n n ) n + n n n ) n n. n + n n + n page 4

15 TD - corrigés Produi scalaire. Monrer que le produi de deu élémens de E es une foncion inégrable sur I. Énoncés 7 Final 5.. Soi ϕ l applicaion qui au couple f, g) E associe le réel : ϕf, g) Monrer que ϕ es un produi scalaire sur E que l on noera par la suie. f )g) d. On muni R de sa srucure euclidienne canonique. Soi B e, e, e ) la base canonique de R. On désigne par F le sous-espace vecoriel de R engendré par les veceurs u,,) e v,,).. Consruire une base orhonormale ε, ε ) de F. Compléer cee base en une base orhonormale direce B de R.. Soi p la projecion orhogonale sur F. a) Déerminer la marice A de p dans la base canonique B. b) Calculer la disance du veceur e au sous-espace F. Parie B Soi α un nombre réel sricemen posiif. : inégalié de Cauchy Schwarz. Jusifier la convergence e donner la valeur de l inégrale généralisée e α d.. Démonrer que pour oue foncion f E, f )e α d α ) / f ) d 8 Soi E R [X]. On défini sur E E l applicaion ϕ : P,Q) P )Q ) + P)Q) + P)Q) Parie C : orhonormalisaion On considère les foncions f : e f : e. Jusifier que f e f son des élémens de E. - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr. Vérifier que E, ϕ) es un espace euclidien.. On pose F VecX + ). Déerminer F.. Par le procédé de Gram-Schmid, obenir une base orhonormée de E. 4. Déerminer G lorsque G R [X] puis la disance de X à G. 9 Final 7. Dans ou l eercice, I désigne l inervalle fermé [, + [. On noe E le R espace vecoriel consiué des foncions f : I R coninues sur I elles que f es inégrable sur I, c es-à-dire elles que l inégrale généralisée f ) d converge. Parie A : un produi scalaire sur E. Consruire une base orhonormale B ε, ε ) du sous-espace vecoriel F Vecf, f ) de E.. On adme que k N, e k d k Calculer les deu réels a e b minimisan l inégrale a b e ) d 4. Déerminer la marice A M R), dans la base canonique de R, de la projecion orhogonale sur le plan P d équaion y + z.. Diagonaliser cee marice A.. Prouver que pour ous réels a e b, ab a + b ). page 5

16 TD - corrigés Corrigés 7 Soi B e, e, e ) la base canonique de R. On pose u,,), v,,) e F Vecu, v). On désigne par p F la projecion orhogonale sur F. On sai que R F F d où R, p) + p F ). Donc p id R p F puis en passan au marices dans la base canonique B, A I Ma B p F ). On applique le procédé d orhonormalisaion de Gram-Schmid. On pose g u,,) e g v v g g g v u v u,,). Alors g, g ) es une base orhogonale de F. En prenan ε g g,,) e ε g g,,), on obien ε, ε ) comme base orhonormale du plan vecoriel F. Posons ε ε ε g g. Alors ε a pour coordonnées dans la base B, Donc ε,,) e la famille B ε, ε, ε ) es une base orhonormale direce de R. Or R, p F ) ε ε g g où g,,). p F e ) g Donc p F e ) g p F e ) g Ainsi A I ème méhode uilisan les formules de changemen de base. Posons A Ma B p). Puisque pε ) ε, pε ) ε e pε ) R, A - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr. Soi p la projecion orhogonale sur F. a) ère méhode uilisan une base orhonormale de F. On sai d après le cours hm8 - ch4) que R, p) ε ε + ε ε g g + g g pe ) g g,, D où pe ) g,, ) pe ) g + g,, ),, ) 5,, ) ) +,, ),, 5 ) 5/ / / Ainsi A Ma B p) / / / 5 / / 5/ 5 ème méhode uilisan la droie vecorielle F Vecε ). On sai que A P A P où P désigne la marice de passage de la base canonique B vers la base B. / / / P / / / / / Comme B e B son des bases orhonormales de R, la marice P es orhogonale : P O R) e P P. Ainsi A P A P A P A P P A ) P P 5 5 page

17 TD - corrigés Cee méhode n es envisageable qui si l on dispose d un logiciel de calcul mariciel. b) La disance du veceur e au sous-espace F es : de, F) e pe ),, ),,) 8. Monrons que ϕ es un produi scalaire sur E. Soien P, Q e R rois polynômes de E. Soi λ R ϕλp + R,Q) λp + R) )Q ) + λp + R))Q) + λp + R))Q) λp ) + R ))Q ) + λp) + R))Q) + λp) + R))Q) λ P )Q ) + P)Q) + P)Q) ) + R )Q ) + R)Q) + R)Q) λϕp,q) + ϕr,q) ϕq, P) ϕp, Q). Donc l applicaion ϕ es symérique e bilinéaire. ϕp, P) P ) + P) + P) es un réel posiif en an que somme de rois réels posiifs. ϕ es donc posiive. les doubles barres usuelles. Commençons par calculer + + ; puis X X X X X + + ) X les polynômes e X éaien donc déjà orhogonau) ; on enchaîne avec X + + ; ensuie on calcule X X X X X X ++)X + + ) X ; enfin, on normalise ce dernier polynôme : X En conclusion, la famille ; X; X ) ) es une base orhonormale de E pour le produi scalaire ϕ. 4. G es de dimension, engendré par e X. On a déjà fai le calcul pour l orhogonal de G à la quesion précédene : ) G R [X] Vec, X) Vec, X - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr Si ϕp, P) alors P ) P) P), donc P éan un polynôme de degré au plus, il es nul car un polynôme de degré inférieur ou égal à, ayan rois racines disinces, es nécessairemen nul. ϕ es donc définie posiive. Enfin E es R espace vecoriel de dimension finie égale à e muni d un produi scalaire ϕ. E es un espace euclidien.. Soi P E. Le plus simple ici es de poser P ax +bx + c e de résoudre l équaion P F ϕp, X + ). Or ϕp, X + ) P ) ) + ) + P) + ) + P) + ) P ) + P) + P) a b + c + c + a + b + c 4a + 5c. Les polynômes soluions son donc de la forme ax + bx 4 5 a bx + a X 4 5 ). Auremen di, F Vec X, X 4 ). 5 Sans surprise, ce espace es de dimension puisqu il es le supplémenaire d une droie vecorielle dans R [X] qui es de dimension. Donc G es la droie engendrée par X. Le projeé orhogonal de X sur G a aussi éé calculé à la quesion précédene : p G X ) X X X + X La disance recherchée es donc dx,g) X p G X ) X. On par comme oujours de la base canonique B, X, X ). Pour plus de simplicié, on noera P Q ϕp,q) e la norme associée à ϕ avec page 7

18 TD - corrigés 9 I [,+ [. On noe E le R espace vecoriel consiué des foncions f : I R coninues sur I elles que l inégrale Parie A f ) d converge. : un produi scalaire sur E. Soi a, b) R. On a a b ) d où a + b a b. Or a a e a b ab. Ainsi ab a + b ).. Soi f, g) E. Alors f e g son coninues sur I. Donc la foncion f g es égalemen coninue sur I. D après l inégalié précédene, on a I, f ) g) f ) + g) ). Or les foncions f e g son coninues e inégrables sur I. Comme la foncion f ) + g) ) es posiive, coninue e inégrable sur I, la foncion produi f g es inégrable sur I. Ainsi le produi de deu élémens de E es inégrable sur I Soi α un nombre réel sricemen posiif.. Soi un réel posiif. [ e α d α e α Or Donc ] α lim + e α car α <. lim + Ainsi l inégrale généralisée e α d α. e α ) e α d ) α α e α d es convergene e. Soi f une foncion quelconque de E. On considère la foncion g : e α. Alors la foncion g es coninue sur I e d après la quesion précédene, l inégrale généralisée g) d es convergene. Donc g E. I - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr. Soi f, g e h rois foncions de E. Soi λ R. Eisence. Le réel ϕf, g) es bien défini car on a vu que la foncion f g éai inégrable sur I. Linéarié par rappor à la première variable. ϕλ f + g, h) λ f + g)) h)d λ f ) h) + g) h)) d I I λ f ) h)d + g) h) d par linéarié de l inégrale. I I Ainsi ϕλ f + g, h) λϕf, h) + ϕg, h) Symérie. ϕg, f ) g) f )d f ) g)d ϕf, g). I Posiivié. Par définiion de E, la foncion f es coninue, posiive e inégrable sur I. Donc par posiivié de l inégrale, f ) d. Ainsi ϕf, f ). I Définie posiivié. On suppose que ϕf, f ). Alors f ) d. Or la foncion f ) es coninue e posiive sur l inervalle I [,+ [. Donc d après le héorème de posiivié srice, I, f ) Ainsi f E. Finalemen ϕ défini bien un produi scalaire sur E Parie B I : inégalié de Cauchy Schwarz I D après l inégalié de Cauchy-Schwarz, f g f g ) / Avec f f f f ) d / / e g g) d) e d) α α Ainsi f )e α d Parie C f )e α d α : orhonormalisaion On considère les foncions f : e f : e ) / f ) d. Les foncions f e f son coninues sur I. De plus, on a vu à la première quesion de la parie B, que l inégrale généralisée + e α d e α ) d éai convergene pour ou réel α >. En pariculier pour α e α. Donc f e f son des élémens de E.. La famille f, f ) es libre. Donc F Vecf, f ) es un sous-espace vecoriel de dimension de E. On applique l algorihme d orhonormalisaion de Gram-Schmid. On consrui d abord une base orhogonale g, g ) de F en posan g f page 8

19 TD - corrigés e Or f f g f f g g g g f f f f f f e d e f f e d Donc g f f. Il rese à normaliser ces deu veceurs g e g. On sai déjà que g g g f f De plus g e 4 d 4 e e ) d e d e 4 4 e + 49 e 4 ) d e d On cherche donc à eprimer h p F g) comme combinaison linéaire de f e f. Première méhode uilisan une base orhonormale B ε, ε ) de F. p F g) g ε ε + g ε ε avec g ε e g ε D où p F g) d e 4 )d 4 ε ε e d 4 e d 4 e d 4 f ) f 4f ) f f + 4 f Ainsi p F g) f f D où g - Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr On pose enfin ε g g g e g g g g Ainsi ε : e ε : e 4. Monrons d abord que g E. Comme g es coninue sur I, on monre que g es de carré inégrable sur I. Pour ou réel >, g) 4 e e ) Or par croissance comparée, puis lim + e + d où lim + e ) + lim + g). Le crière de Riemann perme de conclure que l inégrale généralisée g) d converge. La quesion posée revien à minimiser g h lorsque h décri le sousespace F. On sai, d après le héorème de projecion orhogonale, que ce minimum es aein en un unique poin h de F, qui es le projeé orhogonal de g sur F. Deuième méhode uilisan une caracérisaion du projeé orhogonal d un veceur. Soi h un élémen de F. Alors a, b) R ; h a f + b f. { { h p F g) g h) F g h) f g h f g h) f g h f { { h f g f a f f + b f f g f h f g f a f f + b f f g f Or on a vu que f f, f f e g f e d 4, g f a + b 4 Donc h p F g) a + b 4 9 { { a 4b b L L L e d, f f 4 { a + 4b a + 9b 4 a b e d 9 min a,b) R a b e ) d dg, F) g p F g) page 9

20 TD - corrigés 4. Le veceur n,,) es normal au plan P, ce qui revien à dire que la droie P es dirigée par n. Comme R es de dimension finie, nous avons : R P P. D où id R p P + p P n n u n Or on sai que u R, p P u) u n n n n On en dédui que u n u R, p P u) u n n Noons B e, e, e ) la base canonique de R. n p P e ) e n 5/, /, /) p P e ) e ) n /, 5/, /) p P e ) e n /, /, /) Ainsi A Ma B p P ) Auomne 8 hp ://andre.urbergue.free.fr. On choisi une base quelconque du plan P : ε,ε ) avec par eemple ε,,) e ε,,). Alors la famille ε,ε, n ) es une base de R dans la laquelle la marice de la projecion orhogonale p P es : D page