Caractérisation expérimentale de la réponse d'une corde vibrante sollicitée par un plectre

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1 Caractérisatio expérimetale de la répose d'ue corde vibrate sollicitée par u plectre Q. LECLERE a, J.-L. LE CARROU b, P.-A. ROIRON c a. LVA INSA Lyo 25 bis av. L. Capelle F Villeurbae, Frace, b. LAM - Istitut Jea Le Rod d'alembert, UMR CNRS 7190, UPMC Uiv Paris 06, 11 rue de Lourmel Paris, Frace c. P.-A. Roiro, Artisa Luthier, 37, rue Sébastie Gryphe Lyo, Frace Résumé : L'objectif du papier est de préseter la coceptio, la calibratio et l'exploitatio d u bac de mesures de la vibratio d'ue corde de guitare excitée par u plectre. So origialité réside e la possibilité d obteir la vibratio de la corde e u grad ombre de poits et selo les deux plas de polarisatio, permettat de détermier à chaque istat la déformée de la corde das l'espace. Ces doées expérimetales permettet de valider la coceptio d'u ouveau type de mache de guitare, dit à déformatio utile ciblée, permettat d'optimiser la déformée statique du mache sous tesio. Mots clefs : corde vibrate, plectre, facture istrumetale 1.1 Objectifs de l étude, état de l art Das la famille des istrumets de musique à cordes, certais comme la guitare ou le violo, pour citer les plus cous, sot équipés d'u mache. Ce mache, sur lequel o pose les doigts ou u accessoire pour faire varier la hauteur de la ote jouée, subit la tesio des cordes. Le mache se déforme sous cette tesio qui est u chargemet de flexio-compressio déviée. Plus particulièremet, l'avèemet des guitares à cordes e acier au XXe siècle, où la logueur du mache dépassat hors corps, sa fiesse et la tesio de ce type de cordes géèret des déformatios o égligeables, a forcé les facteurs d'istrumets à trouver des solutios pour limiter cette déformatio. Celle-ci peut être faible (guitare classique : quelques 1/10èmes de mm) ou importate (guitare basse électrique : jusqu'à 20mm). Le cotrôle de la déformatio du mache est u des moyes de gérer la hauteur des cordes par rapport au mache. Cette hauteur de cordes iflue à la fois sur le cofort de jeu, la justesse et la soorité produite ; ue hauteur de corde miimale, das la mesure où elle permet éamois à la corde de vibrer sas gêe, maximise le cofort et la justesse, ce qui améliore les performaces et la jouabilité de l'istrumet, tout e respectat la soorité. La maîtrise de cette déformatio permet doc face à des paramètres variables, d'adapter le réglage de l'istrumet aux exigeces (choix de cordes, d'accord, d'ergoomie du mache) et aux particularités du jeu du musicie (force d'attaque, techiques utilisées). E caractérisat l'eveloppe vibratoire des cordes, il est possible d'optimiser la déformée du mache d'u istrumet de maière à ce que la hauteur de cordes soit réduite au strict écessaire, et aisi améliorer les performaces et le cofort de l'istrumet [11]. L'utilisatio de la corde vibrate comme système oscillat d'istrumet de musique est probablemet ée de os acêtres charmés par le so produit par la corde de leur arc au lacer des flèches. C'est doc u élémet essetiel de la productio soore qui a légitimemet suscité beaucoup d'itérêt. Les premières études scietifiques remotet au VIe siècle avat J-C avec l'école pythagoriciee qui développet u lie etre la logueur vibrate et la otio de fréquece [1]. Il faudra cepedat attedre le 18e siècle pour que les premières mises e équatio de la corde vibrate apparaisset, avec les travaux de Jea Le Rod d'alembert [2]. Depuis lors, les travaux théoriques sur les cordes vibrates 'ot pas cessé d'itéresser les chercheurs, aussi bie sur la complexité des phéomèes pris e compte [3] que sur la formulatio mathématique pour résoudre ces équatios (pour e faire de la sythèse soore par exemple) [4]. Paradoxalemet, les travaux expérimetaux d'evergure sur les cordes pour cofroter avec la théorie sot assez récets. Das [5], les auteurs ot développé u bac où la corde est fixée de part et d'autre et est excitée poctuellemet par u plectre de claveci. Les efforts trasversaux et logitudiaux aux limites de la corde sot obteus à partir de jauges de cotraites. Ces travaux ot permis, outre ue comparaiso avec la théorie, de doer des ordres de gradeurs sur le mécaisme d'amortissemet itrisèque à la corde (effet visqueux das l'air, viscoélasticité, thermoélasticité, effets structurels), propriété très importate pour les istrumets de musique. Puisqu'ue corde e rayoe quasimet pas, elle est gééralemet couplée à ue structure vibrate (table d'harmoie). C'est ce couplage qui est étudié actuellemet, par exemple das [6], aussi bie expérimetalemet que théoriquemet. Ces recherches permettet d'expliquer u certai ombre de phéomèes physiques, otammet liés à l'amortissemet, par cotre laisset peu de place au 1

2 musicie. Pourtat de par les coditios iitiales qu'il va imposer au système, l'istrumetiste produit u so qui lui est propre. C'est pour ce type d'étude que des capteurs optiques [7] ot été développé afi de mesurer le déplacemet de la corde d'ue guitare suivat 2 directios au cours du picemet. Das des travaux récets [8], ue caméra rapide couplée à u miroir permet de mesurer à la fois le doigt du musicie et la corde das l'espace au poit de picemet. Malheureusemet, ce type de capteur e permet de mesurer le log de la corde les coditios iitiales e déplacemet et e vitesse. Cette commuicatio a pour but de préseter la réalisatio et l exploitatio d u bac d essai permettat de caractériser la répose vibratoire d ue corde lorsqu elle est sollicitée par u plectre, d ue maière la plus proche possible d ue cofiguratio de jeu sur guitare. La deuxième partie présete la coceptio du bac, aisi que les étapes prélimiaires de réglage du bac et de calibratio des capteurs. La troisième partie est dédiée à la présetatio de quelques résultats expérimetaux, otammet les coditios iitiales de ce type d excitatio aisi que l eveloppe vibratoire qui e résulte. 2 Descriptio du bac d essai Le bâti du bac d essai est costitué d ue poutre e acier, pourvue aux deux extrémités d u cordier et d ue mécaique pour fixer et tedre la corde. Le chevalet et le sillet sot motés sur le bâti avec u diapaso classique de guitare basse (860mm), la corde motée est filée et de diamètre 1mm (masse li. µ=13,9g/m). Le système d excitatio est costitué d u balacier relié à ue potece via u roulemet à billes, et mui à l autre extrémité d u support maiteat le plectre, fixé par ue pièce itermédiaire e caoutchouc permettat de se rapprocher d u maitie à deux doigts (cf. figure 1). Le plectre utilisé est e matière plastique d épaisseur 0.75mm. FIG. 1 Gauche : plectre balacier, support plectre et maitie, accéléromètre. Cetre : schéma du bac de mesure Droite : support capteurs de vitesse corde Y & Z. 2.1 Calibratio des capteurs de vitesse de corde Le bac d essai est mui d u capteur de force positioé sous le chevalet (cf. fig.1), récupérat l effort dyamique trasmis verticalemet au bâti. Le balacier est mui d u capteur d accélératio permettat de vérifier la répétabilité de l excitatio. La vitesse vibratoire de la corde est mesurée selo l axe vertical et trasversal par deux capteurs électromagétiques (B&K MM0002) fixés sur u chariot disposé das u rail parallèle à la corde, permettat de mesurer la vitesse e tout poit. U soi particulier doit être pris pour régler ce parallélisme, car la sesibilité des capteurs de vitesse déped très fortemet de la distace corde capteur. La sesibilité trasverse des capteurs a été estimée à -20dB (attéuatio du mouvemet vertical mesuré e horizotal et iversemet). La sesibilité des capteurs déped fortemet de la distace moyee à l objet étudié mais aussi de sa forme (cf [10]). Les sesibilités doivet doc être détermiées i-situ, pour ue distace capteurcorde et u type de corde doés. Pour détermier ces sesibilités i-situ, ous utilisos u excitateur électromagétique délivrat u sigal siusoïdal de fréquece f voisie de la première fréquece propre positioé à 10cm du sillet à 5mm de la corde. Cet excitateur délivre ue force magétique verticale imprimat u mouvemet à la corde. La déformée opératioelle est supposée suivre le premier mode propre de la corde : z(x,t) = Z si(πx/l) si(2π f t) (1) avec L la logueur de corde, x l abscisse du poit et t le temps. L effort vertical dyamique f z commuiqué par la corde au chevalet e x=0 est égal à la projectio de la tesio T de la corde sur l axe vertical : f z(t) =T si ( dz/dx (0,t) ) T Z π/l si(2π f t) = F z si(2π f t) (2) 2

3 La vitesse selo l axe vertical au milieu de la corde vaut par coséquet : V z (L/2)= 2 π H 0 Z = 2 H 0 L F z / T (3) Cette relatio ous permet de calibrer la sesibilité des deux capteurs de vitesse, motés l u après l autre sur le support placé e (x=l/2) das l axe vertical. La variatio de la distace corde capteur pedat la vibratio a égalemet ue icidece o égligeable sur la sesibilité. D après la documetatio [10], la sesibilité suit ue loi e D -3 (où D est la distace corde-capteur), que ous liéarisos au voisiage de la sesibilité mesurée précédemmet : S(t) = costate/(d 0+d) 3 S 0 (1 3d(t)/D 0) (4) où d est la déformatio selo Y et Z, D 0 la distace statique corde capteur et S 0 la sesibilité moyee détermiée précédemmet. Pour calculer cette sesibilité, ue première itégratio doit être effectuée sas correctio (S=S 0) pour obteir d(t), ce qui ous permet d obteir S(t). Cette procédure peut être effectuée de maière itérative, la covergece est cepedat assurée expérimetalemet dès le premier calcul. Nous pouvos costater sur la figure 2 (à gauche) l effet de cette correctio sur le déplacemet obteu expérimetalemet e x=l/2 selo y. O costate que la correctio permet d obteir des pics d amplitudes équivaletes e positif et égatif, correspodat aux passages des odes das u ses et das l autre. FIG. 2 A gauche : effet de la correctio de o liéarité du capteur sur le déplacemet selo Y au cetre de la corde, excitatio plectre. Déplacemet sas correctio (oir plei) et avec correctio (rouge poitillés). A droite : Trasformée de Fourier d u sigal de vitesse (oir) et du filtre utilisé (rouge) Nous otos par ailleurs que l itégratio de la vitesse mesurée pour obteir le déplacemet de la corde est pas triviale, et écessite u filtrage adéquat des sigaux. La pricipale difficulté est due au bruit basse fréquece, fortemet amplifié lors de l itégratio. Pour isoler ce bruit, ous utilisos u filtre moyeeur de type porte d ue largeur égale à ue période du sigal. La trasformée de Fourier de ce filtre s aule sur les harmoiques du sigal, permettat de séparer efficacemet le sigal du bruit (cf fig. 2, droite). 2.2 Paramètres de la corde étudiée La théorie des cordes vibrates avec la raideur (cf. [5]) ous doe la ième fréquece propre telle que f T EI ² π ² = 1 + (5) 2L µ T L² où EI représete la raideur de la corde (E module d Youg et I iertie de flexio). La tesio de la corde est réglée de maière à obteir u RE1 (f 1 = 73Hz). O e déduit ue tesio de la corde à 220N (e égligeat les effets de raideur sur f 1). Ue aalyse e fréquece sur les capteurs de vitesse ous permet de détermier précisémet la fréquece des différets partiels, aisi que la raideur expérimetale de la corde. Partiel raideur EI Y 72,8Hz 729,5 Hz 1467,7 Hz 6,7 E -04 N.m² Z 72,9 Hz 730,7 Hz 1470 Hz 6,8 E -04 N.m² TABLE 1 partiels de la corde, estimatio de la raideur O costate que la raideur obteue s approche de la raideur d ue corde o filée d u diamètre 0,5mm eviro, ce qui correspod au diamètre de l âme de la corde étudiée (filée, diamètre total de 1mm). O ote des fodametales légèremet différetes sur les 2 axes, probablemet causées par les coditio limites. 3

4 2.3 Répétabilité de l excitatio, sychroisatio des acquisitios La répétabilité de l excitatio est cruciale car c est elle qui ous permet d affirmer que le comportemet de la corde est le même pour chaque positio de mesure. Cette répétabilité se vérifie sur le capteur d accélératio placé sur le balacier du plectre, mais aussi sur l effort mesuré au chevalet. Les courbes d effort se superposet quasi parfaitemet au début de l eregistremet. U décalage maximum d eviro 2ms est observé au bout de 4 s d acquisitio, qui peut être du à ue légère variatio de f 1 au cours les différetes acquisitios. U décalage de 2ms e 4s correspod à ue variatio de fréquece de 0,04Hz eviro pour f 1=73Hz, soit 0,05%. La sychroisatio est faite sur le pic d accélératio correspodat au lâcher de la corde. 3 Résultats expérimetaux, sythèse modale, eveloppe vibratoire 3.1 Coditios iitiales au lâcher La vitesse de la corde iduite par le passage du plectre est fialemet eregistrée tous les 2 cm (43 poits au total). Le déplacemet de la corde obteu pedat le cotact avec le plectre (3ms) est tracé sur la figure 3. O observe e premier lieu u iveau de bruit assez importat, ihéret au bac de mesure (caractère imparfait de la répétabilité). Les résultats obteus restet cepedat pleiemet iterprétables. Début cotact Z Y Géométrie du cotact corde plectre support plectre corde Fi cotact FIG. 3 Déformatio selo x0y (bleu) et x0z (rouge) pedat le cotact corde plectre (durée 3ms). Poitillés fis : pedat le cotact toutes les 0,6ms, trait plei : au lâcher, tirets épais : 0,3ms après le lâcher. Trait oir vertical : positio du plectre. O costate que le déplacemet selo Y (axe taget au déplacemet du plectre pedat le cotact) évolue à vitesse relativemet costate (les courbes sot espacées das le temps de 0,6ms), tadis que le déplacemet selo Z se réalise essetiellemet pedat le derier tiers du cotact. Cela est dû au fait que l effort de cotact plectre-corde est orieté perpediculairemet au plectre, selo Y uiquemet au début du cotact. Durat le cotact, le plectre fléchi, et la composate selo Z de l effort augmete pour atteidre so maximum juste avat la fi du cotact. O costate égalemet que le maximum du déplacemet iitial selo Y est pas situé à la positio du plectre (10 cm du chevalet) mais à eviro 18cm, cela est dû à l actio de la coditio limite chevalet pedat le cotact. La positio de la corde est égalemet représetée sur la figure 3 0,3ms après le lâcher, ous costatos u début de propagatio selo Y, mais égalemet ue augmetatio de l amplitude selo Z par rapport au lâcher. Cela est dû à la vitesse iitiale de la corde au lâcher. Cette vitesse est représetée sur la figure 4. O costate que, cotrairemet au déplacemet, la vitesse iitiale a so maximum selo Z. FIG. 4 Vitesse iitiale de la corde au lâcher selo x0y (bleu) et x0z (rouge). 4

5 3.2 Sythèse modale Les coditios iitiales obteues expérimetalemet peuvet être utilisées pour calculer la répose de la corde e utilisat u modèle aalytique. Nous utilisos u modèle de corde raide sur appuis simples, qui permet d exprimer la sythèse modale suivate (cf [5]) : d(x, t) π L ε 2πf e t = si x ( A cos(2πf t) + B si(2πf t) ) (6) où d représete la déformée selo Y ou Z, avec f doée par l équatio (5) où la valeur de raideur est estimée expérimetalemet (cf. table 1). La valeur d amortissemet modal ε est fixée à 10-4 pour l esemble des modes (valeur empirique approximative). Les valeurs des coefficiets A et B sot calculés à partir des déformées mesurées au lâcher respectivemet e déplacemet et vitesse. La série est troquée pour satisfaire le critère de Shao spatial (2 poits par logueur d ode, soit 40 modes pour u espacemet de 2cm). Les réposes mesurées et calculées sot tracées sur la figure 5 sur l axe Z à 8 cm du sillet. U calcul sas raideur a égalemet été réalisé pour estimer l effet de ce paramètre. La répose mesurée est représetée sur la figure 5 à gauche pedat 1,5s, avec l eveloppe temporelle, costituée des valeurs maximales et miimales de chaque période. Les eveloppes temporelles des résultats de sythèse modale avec et sas raideur sot tracées respectivemet e rouge et oir. Les eveloppes obteues par le calcul avec et sas raideur sot sigificativemet différetes, le calcul avec raideur état o symétrique. Cette o symétrie se retrouve sur l eveloppe de la répose mesurée, et présete ue forte similarité avec le résultat du calcul avec raideur. Cette similarité se retrouve au iveau du sigal lui même (préseté sur la figure 5 à droite pedat 2 périodes à 2 istats différets). Au début de la répose (150 ms après le lâcher), les réposes mesurées et calculées avec et sas raideur sot très proches. Eviro 1s après le lâcher, la forme d ode a pas chagé sur le calcul sas raideur (la corde souple état o dispersive). E revache, la forme d ode est modifiée de maière similaire sur la répose mesurée et calculée avec raideur. FIG. 5 Déplacemet à 8cm du sillet das xoz. A gauche : Bleu : sigal et eveloppe (expérimetal). Noir : eveloppe (calcul sas raideur). Rouge : eveloppe (calcul avec raideur). A droite : Déplacemet mesuré (bleu) calculé sas (oir) et avec (rouge) raideur, 150 ms (haut) et 900ms (bas) après le lâcher. 3.3 Eveloppe spatiale L eveloppe vibratoire spatiale de la corde décrit le volume occupé par la corde au cours de sa répose, c est le volume qui doit par coséquet être laissé libre lors de la coceptio d u istrumet à cordes, défiissat plus particulièremet la distace cordes-frettes sur ue guitare. L eveloppe expérimetale das l axe Z est tracée sur la figure 6 à partir des réposes mesurées et calculées (avec raideur, cf. 3.2). Le déplacemet de la corde à différets istats de la période est égalemet tracé sur la figure 6, pour illustrer la forme spatiale de l ode propagée. De T 0 à T 0 + 5,5ms, l ode se propage du chevalet au sillet, puis est réfléchie par le sillet pedat les 2ms suivates. L ode retoure esuite vers le chevalet, pour retourer à sa positio iitiale après ue secode réflexio par le chevalet. L espace parcouru par l ode décrit à l eveloppe vibratoire. 5

6 FIG. 6 Noir et gris : déformatios mesurées das xoz à différets istats d ue période. Rouge : eveloppe vibratoire (mesure) =. Bleu : eveloppe vibratoire (calcul) 4 Coclusio Nous avos pu das ce travail mettre e évidece de maière expérimetale le comportemet d ue corde soumise à ue sollicitatio représetative d u jeu de guitare au plectre. Nous avos dû utiliser des capteurs magétiques de vitesse vibratoire, assez difficiles à appréheder pour des mesures quatitatives de déplacemet (o liéarité, itégratio ). Les résultats obteus, tout e état assez bruités, restet tout à fait iterprétables. Nous pouvos cepedat evisager ue étude plus approfodie des icertitudes de mesure sur u tel bac. Les coditios iitiales e déplacemet et vitesse obteues expérimetalemet et ot été ijectées das u modèle aalytique de corde raide sur appuis, le résultat sythétisé est très proche des réposes mesurées. L eveloppe vibratoire spatiale est relativemet costate le log de la corde, avec ue décroissace rapide sur la dizaie de cetimètres au voisiage des appuis chevalet et sillet. Cette forme déped essetiellemet des coditios iitiales, mais o peut peser que ces coditios dépedet du joueur et de la raideur du plectre utilisé. La boe coaissace de la corde et du mécaisme d excitatio peut cepedat ous laisser evisager de pouvoir accéder aux coditios iitiales propres à chaque joueur à partir de dispositifs de mesure plus légers. Ces doées sot cepedat fodametales pour u luthier ayat ue démarche d optimisatio lors de la coceptio et du réglage de ses istrumets. Référeces [1] Ecyclopaedia Uiversalis [2] J. Le Rod d'alembert «Recherches sur la courbe que forme ue corde tedue mise e vibratios», Mémoires de l'académie des Scieces de Berli, 1747, pp [3] A. Watzky, «No-liear vibratio three-dimesioal large-amplitude damped free vibratio of a stiff elastic stretched strig», Joural of Soud ad Vibratio 153, 1992, pp [4] T. Helie et D. Roze, «Soud sythesis of a oliear strig usig Volterra series», Joural of Soud ad Vibratio 314, 2008, pp [5] C. Valette et C. Cuesta, «Mécaique de la corde vibrate», Hermès, [6] J. Woodhouse, «O the sythesis of guitar plucks», Acta Acustica uited with Acustica 90, 2004, pp [7] M. Pavlidou, «A physical model of the strig-figer iteractio o the classical guitar», PhD Uiversity of Wales, [8] D. Chadefaux, JL Le Carrou, K. Buys, B. Fabre et L. Daudet, "Etude expérimetale du picemet d ue corde de harpe", Cogrès Fraçais d'acoustique, Lyo, 2010 [9] Haique Nicolas, Mazzolei Camille, Etude de la déformatio cotrôlée d u mache de guitare, rapport de projet de fi d études, Laboratoire vibratios Acoustique, INSA Lyo, [10] BRUEL & KJAER master catalog 1986 [11] Procédé d'optimisatio de la déformatio d'u mache équipat u istrumet de musique à cordes, Brevet INPI déposé par P.-A. Roiro le 26/11/2010 6