Vitesses de recouvrement et lois de Chung-Mogulskii dans pour le processus empirique

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1 Vitesses de recouvremet et lois de Chug-Mogulskii das pour le processus empirique Davit VARRON Laboratoire de Statistiques et Modélisatio, 6 rue Blaise Pascal, 3517 Bruz Résumé: E cotiuatio des travaux Berthet, ous établissos des vitesses de recouvremet das les lois stadard du logarithme itéré pour le processus empirique uiforme et pour le processus empirique uiforme local. De plus, e cotiuatio des travaux de Deheuvels, ous établissos égalemet des lois de Chug-Mogulskii pour le procesus empirique et pour ue classe de foctios du bord de la boule de Strasse. Abstract: I cotiuatio of P.Berthet s work, we give clusterig rates i stadard fuctioal laws of the iterated logarithm (FLIL) for the uiform empirical process ad for the local empirical process. Also i cotiuatio of the works of Deheuvels ad Berthet, we give Chug type laws for the empirical process, for a class of fuctios o the border of the Strasse ball. Mots clés: Processus empirique, vitesses de recouvremet, loi du logarithme itéré, lois de Chug-Mogulskii. Keywords: Empirical process, clusterig rates, law of the iterated logarithm, Chug- Mogulskii laws. 1 Itroductio Cosidéros le processus empirique uiforme α (t) = ( 1 ) 1 [,t] (U i ) t i=1 où les (U i ) 1 sot i.i.d. de loi uiforme sur [,1]. O défiit aussi le processus des quatiles par β (t) = ( ) (t) t où F 1 est l iverse à droite de la foctio de répartitio empirique basée sur les U i. Ces processus ot été l objet de beaucoup d études, otammet de leur comportemet presque sûr. Fikelstei (1971) a établi la première loi foctioelle du logarithme itéré (LFLI): e posat b = 2 log 2 () et log 2 ( ) := log log(max(3, )) o a p.s. F 1 α b S 2 1

2 Ici veut dire que l esemble des valeurs d adhérece de α b est exactemet S 2 das ) l espace métrique (B([, 1]),., où B([,1]) est l espace des foctios borées sur [,1],. est la orme sup caoique, et S 2 := { t f(t) = f dλ, t [, 1], } f 2 dλ 1, f(1) = est la boule uité du oyau reproduisat associé au pot browie sur [,1]. Maso (1988) a étudié le comportemet d u icrémet local de α, et a établi que α (a ) a b p.s. S 1 où a est ue suite tedat vers à u certai type de vitesse ( domaie d ivariace local ) et S 1 est la boule de Strasse, c est à dire S 1 := { t f(t) = f dλ, t [, 1], } f 2 dλ 1 Nous cotiuos ici les travaux commecés par P.Berthet (1997) e établissat des vitesses du secod ordre das ces deux LFLI. Aisi, o verra plus loi que, das la LFLI de Fikelstei, α /b est attiré par S 2 à ue vitesse log 2 () 2/3. U autre sujet d itérêt est l étude des vitesses exactes d approximatio d ue foctio doée de S 1 par le processus empirique local α (a ). Les résultats de ce gere sot appelés lois de Chug-Mogulskii. Comme les lois stadard du logarithme itéré décrivet commet le processus empirique imite le comportemet d u processus gaussie, les résultats de De Acosta (1983), Grill (1991), Gor et Lifshits (1999), et Berthet et Lifshits (22) sur les probabilités de petites boules sous ue mesure de Wieer sot u outil fodametal pour établir des loi de Chug- Mogulskii pour le processus empirique local. Deheuvels (2) a déja établi des lois de Chug-Mogulskii lorsque f est à l itérieur de la boule de Strasse. Theorem (Deheuvels, 2) Soit a ue suite positive tedat vers telle que soit f S 1 telle que J(f) := lim if a +, a lim a (log 2 ()) 3 = + f 2 dλ < 1. O a presque sûremet log 2() α (a ) a b f = 2 π 4 1 J(f)

3 La preuve de ce théorème utilise ue approximatio forte locale, aisi que les outils développés par De Acosta (1983). L étude du comportemet du processus de Wieer autour d ue foctio f sur le bord de la boule de Strasse ( f 2 = 1) a pas été traitée par De Acosta et a été l objet de travaux séparés (voir les référeces aux autres auteurs plus haut). Grâce à ces outils ous pouvos établir des lois de Chug-Mogulskii pour des foctios de la bordure de S 1 dot la dérivée f a ue variatio borée ou localemet ifiie (otos ces deux esembles respectivemet S1 bv et S1 liv ). 2 Expositio des résultats Notre premier résultat cocere la LFLI de Fikelstei (B est l esembles des foctios borées par 1) Théorème.1 Il existe ue costate uiverselle L > telle que, pour tout choix de ɛ > L o a presque sûremet, pour tout suffisamet grad: α 2 log2 () S 2 + ɛ log 2 () 2/3 B Notre secod résultat cocere le processus empirique local. Théorème.2 Soit a ue suite positive satisfaisat: a +, a log 2 () 7/3 +, a Il existe ue costate uiverselle L 1 > telle que, pour tout choix de ɛ > L 1 o a presque sûremet, pour tout suffisamet grad: α (a ) 2a log 2 () S 1 + ɛ log 2 () 2/3 B Les travaux de Berthet (22) et Gor et Lifshits (1999) ot permis de caractériser l ordre de gradeur des probabilités qu u mouvemet browie W se trouve das ue petite boule autour d ue foctio f S1 bv S1 liv. Aisi, pour ue telle foctio f, il existe ue foctio réelle positive Θ f et ue costate χ f (toutes les deux explicites) telles que presque sûremet o a: lim if Θ f(log 2 (T )) W (T ) 2T log2 (T ) = χ f Nous trasposos ici ce résultat au processus empirique local. 3

4 Théorème.3 Soit f S bv 1 S liv 1 quelcoque, et soit a vérifiat a +, a a log 2 () O a presque sûremet lim a log 2 ()Θ 2 f (log 2()) = + lim if Θ f(log 2 ()) α (a ) 2a log 2 () f = χ f Des résultats aalogues pour le processus des quatiles β peuvet être obteus e utilisat des représetatios de type Bahadur-Kiefer. Applicatios possibles: O e peut parler d applicatios pratiques tat que l o a pas trouvé au mois u majorat pour les costates uiverselles L et L 1. Das le cas où ces costates e seraiet pas trop grades, o pourrait raffier les itervalles de cofiace presque-sûrs pour bo ombre de statistiques s exprimat comme des foctios -cotiues de α et β ou de leurs versios locales. L exemple le plus simple cocere la statistique de Kolmogorov-Smiorv D := sup x IR F (x) F (x), où F es la f.d.r empirique d u échatillo de loi F. O a presque sûremet, à partir d u certai rag: ( 2 log2 () D )1/2 + 2L 1/2 log 2 () 1/6 Ue autre applicatio de ce type cocere les L-statistiques de la forme: L := 1 J( i )H(X i,) i=1 Où (X i, ) i=1... est u echatillo i.i.d ordoé dot la loi commue est caractérisée par la f.d.r. F. E supposat que J est lipschtziee et que la foctio K := H(F 1 ) satisfait l hypothèse de régularité suivate : sup K(x + h) K(t) hk (t) hη(h) x [,1[, <h 1 x Où η( ) vérifie, pour u certai δ > 2/3: lim η(h) log 2(1/h) δ = h 4

5 Alors o a presque sûremet, à partir d u certai rag: ( 2 log2 () L µ σ )1/ L J(t)K (t)dt 1/2 log 2 () 2/3 Où µ et σ sot respectivemet la moyee et l ecart type de la variable aléatoire J(U)K(U), U état de loi uiforme sur [,1]. Bibliographie [1] Berthet (1997),O the rate of clusterig to the Strasse set for icremets of the empirical process, Jour. Theoretic. Probab., 1, 3, p [2] Berthet (22), Ier rates of coverage of Strasse type sets by icremets of the uiform empirical ad quatile processes, Prépub. [3] Berthet et Lifshits (22), Some exact rates i the fuctioal law of the iterated logarithm, A. I.H.P. B, 38, p [4] Deheuvels (2), Chug type fuctioal laws of the iterated logarithm for tail empirical processes, A.I.H.P. B, 36, p [5] Fikelstei (1971), The law of iterated logarithm for empirical distributios, A. Math. Stat., 42, p [6] Gor et Lifhshits (1999), Chug s law ad the Csàki fuctio, Jour. Theoret. Probab., 12, p [7] Grill (1991), A lim if result i Strasse s law of the iterated logarithm, Probab.Th.Rel.Fields, 89, p [8] Maso (1988), A strog ivariace priciple for the tail empirical process, A. I.H.P. B, 24, p [9] Mogulskii (1974), Small deviatios i the space of trajectories, Theor.Probab.Appl., 19, p [1] Talagrad (1992), O the rate of clusterig i the law of the iterated logarithm for Browia motio, Prob.Baach Spaces. 5