AVRIL 2014 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

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1 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 014 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) Note : Les exercices sot idépedats et peuvet doc être traités das l ordre voulu par le cadidat. Exercice 1 Partie A Soit f et g deux foctios défiies sur l itervalle 0 ; par : f ( x) L(1 x) x et Où l désige le logarithme épérie. 1. Etudier les variatios de f et de g sur 0 ;. E déduire u ecadremet de L( 1 x) x g( x) L(1 x) x Partie B O se propose d étudier la suite ( u ) de ombres réels défiie par : 3 1 u 1 et u 1 u Motrer que u 0 pour tout etier aturel 1. Motrer que pour tout etier aturel 1 : L u 1 1 L L L1

2 O pose S... et T Motrer que : 1 S T L u S 4. Calculer S et T e foctio de. E déduire 5. Etude de la covergece de la suite ( u ) a. Motrer que la suite ( u ) est strictemet croissate lim S et lim T b. E déduire que ( u ) est covergete. Soit sa limite c. E déduire u ecadremet de Exercice Ue etreprise cofie à ue société de sodage par téléphoe ue equête sur la qualité de ses produits. Lors du premier appel téléphoique, la probabilité que le correspodat e décroche pas est de 0,4 et, s il décroche, la probabilité pour qu il répode au questioaire est 0,3. 1. O ote :. D 1 l évèemet : «la persoe décroche au premier appel» ;. R 1 l évèemet : «la persoe répod au questioaire lors du premier appel» Calculer la probabilité de l évèemet R 1. Lorsqu ue persoe e décroche pas au premier appel, o la cotacte ue secode fois. La probabilité pour que le correspodat e décroche pas la secode fois est de 0,3 et la probabilité pour qu il répode au questioaire sachat qu il décroche est 0,. Si ue persoe e décroche pas lors du secod appel, o e tete plus de la cotacter. O ote :. D l évèemet «la persoe décroche au secod appel». R l évèemet «la persoe répod au questioaire lors du secod appel». R l évèemet «la persoe répod au questioaire» Calculer la probabilité de l évèemet R

3 3. Sachat qu ue persoe a répodu au questioaire, calculer la probabilité pour que la répose ait été doée lors du premier appel. 4. U equêteur a ue liste de 5 persoes à cotacter. Les sodages auprès des persoes d ue même liste sot idépedats. Calculer la probabilité pour que 0% des persoes répodet au questioaire. Exercice 3 Détermier a et b pour que la partie pricipale du développemet limité e 0 de la foctio 1 ax cos x soit de degré le plus grad possible. 1 bx Exercice 4 Soit v 1,...,v ue famille libre d u espace vectoriel réel E. Pour k = 1,, -1, o pose w v v et w v w,..., k. Etudier l idépedace liéaire de la famille k k 1 v 1 1 w. Exercice 5 Das C (esemble des ombres complexes), o appelle polyômes de Legedre les polyômes ( ) P X (( X 1) ). (Remarque : la otatio () e exposat sigifie qu il s agit de la dérivée d ordre ). 1. Calculer le degré de P et so coefficiet domiat.. Pour p p 0, o pose Q X X 1 p. a. Doer le degré de Q p b. Démotrer que Q p admet deux zéros d ordre - p, et p zéros d ordre E déduire que P s aule exactemet e poits deux à deux disticts de 1,1.

4 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 014 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ORDRE GÉNÉRAL (Durée de l épreuve : 3 heures) Les cadidats traiterot au choix l u des trois sujets suivats. Sujet 1 Le secteur des techologies de l'iformatio et de la commuicatio est e croissace e Afrique, avec ue forte augmetatio de l utilisatio d Iteret et de la téléphoie mobile. Exposez das quelle mesure cela est u idicateur de développemet. Sujet U des huit objectifs du milléaire pour le développemet 1 est de préserver l eviroemet. Explicitez e quoi cela costitue u ejeu pour élimier la pauvreté. Sujet 3 Le 10 octobre 013, Joyce Bada, la présidete du Malawi (Etat d Afrique australe), a limogé so gouveremet après la révélatio d'ue affaire de soupços de corruptio et de détouremet de fods publics. Ue telle décisio peut-elle rétablir la cofiace avec la populatio et les bailleurs de fods? Prologez votre propos e exposat d autres mesures propices à rétablir la cofiace. 1 Le Sommet du Milléaire, qui s est teu du 6 au 8 septembre 000 au Siège de l Orgaisatio des Natios Uies, à New York, s est coclut avec l adoptio par les 189 États Membres de la Déclaratio du Milléaire, das laquelle ot été éocés les huit objectifs du Milléaire pour le développemet (OMD).

5 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 014 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ÉCONOMIE (Durée de l épreuve : 4 heures) Le cadidat traitera au choix l u des deux sujets suivats. Sujet 1 Croissace et iégalités. Sujet MICROECONOMIE (10 poits) Le producteur (7 poits) Soit u producteur e cocurrece parfaite dot la foctio de coût est doée par : C(q) = q Soit p, le prix de l output. 1) Est-ce ue approche d équilibre gééral ou partiel (justifiez votre répose)? ) Après avoir rappelé leur défiitio, doez les foctios de coût margial et de coût moye. 3) Quel est le seuil de retabilité? Iterprétez. 4) Quelle est la foctio d offre du producteur? Iterprétez.

6 5) Représetez succictemet sur u graphe le profit du producteur pour u prix p quelcoque. Supposos désormais que ce producteur est e situatio de moopole et qu il fait face à ue demade doée par : S(p) = 60 - p 6) Ce moopole est-il aturel (justifiez votre répose)? Quelles peuvet être les causes d u tel moopole? 7) E quoi so comportemet chage par rapport à la cocurrece parfaite? 8) Doez so choix optimal. 9) Représeter succictemet sur u graphe le choix du moopole. Combie aurait produit à ce prix le producteur e cocurrece parfaite? Comparez l efficacité des deux situatios, du poit de vue du producteur puis des cosommateurs. L échage (3 poits) Deux cosommateurs A et B ot les mêmes préféreces représetées par la foctio d utilité : 3 U (q 1, q ) = q 1 q Leurs dotatios iitiales sot Q A0 = (6, ) et Q B0 = (1, 9). 1) Ot-ils itérêt à échager (justifiez votre répose)? ) Doez les foctios de demade de bies de chacu e foctio des prix p 1 et p doés. 3) Doez la foctio de demade ette globale de bie 1. E déduire celle de bie. 4) E preat le bie 1 comme uméraire, doez u vecteur de prix d équilibre. MACROECONOMIE (6 poits) O cosidère le modèle offre globale demade globale (AS AD, e aglais), où Y, N, L S, W, P e, u, z, L d, P et µ sot respectivemet la productio, la populatio active occupée, l offre de travail, le salaire omial, le iveau gééral des prix aticipé, le taux de chômage, les allocatios chômage, la demade de travail, le iveau gééral des prix et le taux de marge des etreprises. [1] Y = N décrit la foctio de productio, [] L S = W e P + (u z) décrit la foctio d offre de travail,

7 [3] L d = W e P décrit la foctio de demade de travail, [4] P = (1+µ) W est l équatio de prix (les etreprises état supposées ifluecer le iveau gééral des prix), [5] Y = Y(M/P, G, T) où Y(.) est la foctio de demade globale, avec M, la masse moétaire, G, les dépeses publiques et T, les impôts. Questios 1) D après ce qui précède, les marchés du travail et des bies sot-ils e cocurrece parfaite (justifiez votre répose)? ) A l équilibre du marché du travail, quelle est l expressio du salaire omial? Sur la base de cette expressio, précisez la maière dot le salaire omial varie avec le taux de chômage et avec les allocatios chômage, e étayat, à chaque fois, votre répose à l aide d u raisoemet «écoomique» utilisat les équatios du modèle. 3) Détermiez l équatio d offre globale et idiquez de quelle maière varie P avec u. 4) E déduire la relatio etre P et Y (rappel : U + N = L, avec U, ombre de chômeurs et L, la populatio active) aisi que le ses de variatio de la courbe d offre globale. 5) Après avoir rappelé de quelle maière varie la demade globale par rapport à chacu de ses argumets (représetés das l équatio [5]), précisez l effet d ue augmetatio de P sur la demade globale ; déduisez-e le ses de variatio de la courbe de demade globale. QUESTIONS (4 poits) 1) La valeur travail chez Marx. ) A l aide d u diagramme d Edgeworth, expliquez le lie etre échage et critère d efficacité de Pareto.

8 ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 014 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie ANALYSE D UNE DOCUMENTATION STATISTIQUE (Durée de l épreuve : heures) Note : La ote fiale tiedra compte, de faço o égligeable, des commetaires doés après chaque résultat. U méthodologue du miistère chargé de la statistique doit effectuer u audit du pla de sodage actuel pour ue equête réalisée mesuellemet. 1. Le pla de sodage actuel L échatillo des etreprises iterrogées das l equête mesuelle est tiré das le champ des etreprises ayat répodu à l equête auelle. A la date de tirage des échatillos pour l equête mesuelle de l aée N (date qui se situe vers la fi du derier trimestre N-1), les résultats de l equête auelle N- sot dispoibles. L échatillo est doc tiré à partir des iformatios datées de deux as. L uité d échatilloage est u produit d ue etreprise. La méthode de tirage des échatillos de l equête mesuelle est pas aléatoire. Pour u produit doé, la méthode de sélectio cosiste à : - trier les etreprises cocerées par le produit par valeurs décroissates de chiffre d affaires réalisé pour le produit cosidéré ; - reteir les etreprises das l échatillo jusqu à couvrir au mois 75% du chiffre d affaires total du produit. Das cet exercice, l audit portera sur u seul produit.

9 . Descriptio des doées Sur le produit coceré par l exercice, le tableau joit e aexe vous doe les réposes idividuelles des etreprises à l equête auelle pour les aées 011 et 01. E 01, 39 etreprises ot répodu à l equête auelle. L échatillo pour l equête mesuelle 014 est doc choisi avec ces doées. Questio 1 : à la lecture du tableau joit e aexe, idiquer le ombre d etreprises ayat répodu e 011 à l equête auelle. Questio : idiquer le ombre d uités qui étaiet pas présetes e 011 das l equête auelle, le motat total e ke qu elles représetet e 01, la part qu elles représetet e 01. Questio 3 : compléter le tableau ci-dessous sur la base des etreprises présetes das la base de sodage des doées 01 et 011 (c'est-à-dire répodates sur les deux aées) : Somme des motats 01 Présets das l'échatillo 014 et das la base de sodage 01 et 011 Absets de l'échatillo 014 et présets das la base de sodage 01 et 011 Total (présets das la base de sodage 01 et 011) Somme des motats 011 Taux d'évolutio Questio 4 : idiquer le biais de la méthode actuelle qui est la différece etre l évolutio réelle et celle costatée das l échatillo. Questio 5 : commeter les résultats obteus. 3. Commet assurer ue certaie cotiuité avec la méthode de tirage précédete L itroductio d ue méthode aléatoire, représetat l esemble des uités, das le tirage de l échatillo, devrait permettre de produire ue estimatio du taux d évolutio plus proche de la réalité. Si l o souhaite assurer ue certaie cotiuité avec les méthodes de tirage précédetes, il paraît itéressat d imposer ue strate exhaustive couvrat ue certaie part du motat total du produit (actuellemet la procédure cosiste à sélectioer les plus grades etreprises cocerées par u produit jusqu à couvrir au mois 75% du motat total du produit). Questio 6 : à la lecture du tableau joit e aexe, idiquer la taille actuelle de l échatillo 014. Questio 7 : calculer le seuil de couverture correspodat à u tirage proportioel au motat avec la y (01) taille d échatillo actuelle selo la formule k 1, où t y (01) est la somme t (01) y des y k (01) des etreprises présetes. Ici t y (01) est égal à keuros.

10 Questio 8 : idiquer le ombre d etreprises sélectioées par la méthode de la questio précédete et le seuil de couverture. Das la suite, o a effectué les calculs avec trois taux de couverture différets : 0% (pas de strate exhaustive), 19,1%, 76,%. Pour otre produit, les ombres d uités à tirer das la strate exhaustive sot, e foctio des taux de couverture e motat visés, les suivats : Taux de couverture pour la strate exhaustive Seuil de y k correspodat e ke Nombre d'uités das la base de sodage 01 dot présetes aussi das la base de sodage 011 0% ,1% ,% Partie o exhaustive Das cette première approche, o sélectioe u échatillo de taille exh selo u sodage aléatoire simple das la partie o exhaustive de faço à ce que l écart-type dû à l échatilloage de l estimatio du taux d évolutio soit de x. O se limite aux uités de la base de sodage 01 qui étaiet présetes e 011 et o calcule les u k : 1 t y( 01 ) u y ( ) k y ( ) k 01 k 011 avec t t ( ) y (01)= et t y (011)= y 011 t y( 011) O peut calculer le ombre d uités à tirer das la partie o exhaustive exh pour obteir u écarttype dû à l échatilloage oté x avec la formule suivate : exh 1 avec x 1 N S N exh uexh exh S uexh exh 1 1 exh ( u k u) Où u désige la moyee des u k et N exh le ombre d uités das la partie o exhaustive. O obtiet les résultats suivats lorsque l o fait varier le taux de couverture pour la strate exhaustive et l écart-type dû à l échatilloage visé :

11 Taux de couverture pour la strate exhaustive Écart-type dû à l'échatilloage pour l'estimatio du taux d'évolutio X Nombre d'uités à tirer parmi les présetsprésets das la strate exhaustive Nombre d'uités à tirer parmi les présetsprésets das la strate o exhaustive Nombre d'uités à tirer au total parmi les présetsprésets 0% 0, ,1% 0, % 0, % 0, ,1% 0,0 0 75% 0, % 0, ,1% 0, % 0, % 0, ,1% 0, % 0, % 0, ,1% 0, % 0, Questio 9 : avec la taille d échatillo actuelle que vous avez idiqué à la questio 6 et e preat le taux de couverture que vous avez idiqué à la questio 8, doer ue estimatio de l écart-type dû à l échatilloage du taux d évolutio. Questio 10 : commeter les résultats obteus.

12 Aexe Liste des etreprises fabricat le produit étudié avec leurs facturatios auelles Equête mesuelle Doées de l equête auelle PRESENCE SELECTION ECHANTILLON MONTANT 011 MONTANT 01 PDSIND NUM (e keuros) (e keuros) 01 K y k (011) y k (01) PDSCUM ,6% 1,6% ,5% 19,1% ,6% 4,7% ,3% 30,1% ,3% 35,4% ,9% 40,% ,7% 44,9% ,3% 49,% ,9% 53,1% ,6% 56,6% ,6% 60,% ,5% 63,7% ,4% 67,% ,4% 70,5% ,9% 73,4% ,7% 76,% ,% 78,4% ,1% 80,5% ,9% 8,3% ,9% 84,% ,8% 86,0% ,5% 87,5% ,5% 89,0% ,4% 90,4% ,3% 91,7% ,3% 93,0% ,1% 94,1% ,1% 95,% ,0% 96,% ,8% 97,0% ,8% 97,8% ,7% 98,4% ,5% 98,9% ,5% 99,5% ,4% 99,9% ,1% 99,9% ,0% 100,0% ,0% 100,0% ,0% 100,0% NUM : il s agit du uméro de l etreprise permettat de la repérer das la base de sodage. SELECTION 01 : il s agit d ue idicatrice : 0 sigifie que l etreprise est pas sélectioée das l échatillo de l equête mesuelle selo la méthode actuelle et 1 qu elle l est. PRESENCE ECHANTILLON 011 : il s agit d ue idicatrice : 0 sigifie que l etreprise était pas sélectioée e 011 das l equête mesuelle et 1 qu elle l était. MONTANT 011 et MONTANT 01 : il s agit des motats de facturatios figurat das l equête auelle. PDSIND 01 : il s agit du poids écoomique de l etreprise pour ce produit. Das ce tableau, les etreprises sot classées selo ce critère. PDSCUM 01 : il s agit du poids écoomique cumulé.