PRÉPAS TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP 100% Pour assimiler le programme, s entraîner et réussir son concours

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1 % PRÉPAS EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALD TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP Pour assimiler le programme, s etraîer et réussir so cocours Rappels de cours et exercices d assimilatio Plus de 4 exercices dot la majorité est issue d oraux de cocours récets Solutios complètes et détaillées

2 TOUS LES EXERCICES D ANALYSE MP Pour assimiler le programme, s etraîer et réussir so cocours

3 TOUS LES EXERCICES D ANALYSE MP Pour assimiler le programme, s etraîer et réussir so cocours El-Haj Laamri Agrégé e mathématiques et maître de coféreces à Nacy-Uiversité Philippe Chateaux Agrégé e mathématiques et professeur e MP au Lycée Heri Poicaré à Nacy Gérard Eguether Maître de coféreces à Nacy-Uiversité Alai Masoux Agrégé e mathématiques et professeur e PC au Lycée Heri Poicaré à Nacy Marc Rezzouk Agrégé e mathématiques et professeur e PC au lycée Heri Poicaré à Nacy David Rupprecht Agrégé de Mathématiques et professeur e PSI au Lycée Heri Loritz à Nacy Lauret Schwald Agrégé e mathématiques et professeur e BCPST au lycée Heri Poicaré à Nacy

4 Couverture : Claude Lieber Duod, Paris, 8 ISBN

5 Présetatio de la série «Tous les exercices de mathématiques» L évolutio récete de l eseigemet des disciplies scietifiques das les C.P.G.E s est cocrétisée par la défiitio d u ouveau programme de première aée e 3 et de deuxième aée e 4. U des objectifs de cette évolutio a été de combler le fossé gradissat etre la classe de termiale et les classes préparatoires. La progressio est explicitemet imposée par le ouveau programme qui prévoit otammet «u programme de début de l aée», qui exclut la présetatio abstraite des cocepts au profit d ue démarche fodée sur l exemple comme poit de départ de la coceptualisatio, qui précoise l approche algorithmique e complémet de l approche démostrative et qui légitime la démarche expérimetale e mathématiques par l utilisatio des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systématiquemet utilisés das de ombreux cocours, otammet das le cocours commu «Cetrale - Supelec». Mais les programmes des classes préparatoires e sot pas les seuls à avoir évolué, les programmes de l eseigemet secodaire ot fait l objet d ue évolutio préalable. Efi, l attitude ouvelle des élèves face aux disciplies scietifiques red iefficace l approche axiomatique et leur appropriatio gradissate de l outil iformatique écessite d itégrer cet outil à la pédagogie. L esemble de ces chagemets red impérative la rédactio de ouveaux ouvrages. O costate que c est davatage la structure, l ordre des thèmes abordés, l esprit du programme qui ot évolué, le fod état resté relativemet stable. Sur ce fod, que ous avos pas la prétetio de reouveler, il existe déjà ue abodate et excellete littérature ; ous revediquos ue cotiuité par rapport à os illustres prédécesseurs et ous ous sommes largemet ispirés de leurs écrits pour y puiser exercices et sujets e ous efforçat de les préseter e parfaite cohérece avec l esprit du programme actuel. Car cette ouvelle collectio répod à ue écessité : etièremet rédigée après la parutio des ouveaux programmes et le début de leur mise e oeuvre, elle garatit ue parfaite compatibilité etre la rédactio des ouvrages et les précoisatios du programme... ce que aurait pu assurer sas risque d aomalies ue simple remise e forme d ue rédactio atérieure. Tous les ouvrages de cette collectio sot écrits trois as après l apparitio des ouveaux programmes et e respectet scrupuleusemet l esprit. Les rédacteurs, ot eseigé et iterrogé das le cadre de l acie et du ouveau programme. Ils perçoivet doc parfaitemet l importace de l évolutio. Leur expériece de l eseigemet e classes préparatoires et à l Uiversité, leur itervetio régulière e «colles», leur participatio aux cocours comme iterrogateurs à l oral et/ou correcteurs à l écrit permettet d affirmer qu il s agit d équipes très

6 vi Présetatio de la série «Tous les exercices de mathématiques» «professioelles». L équilibre etre la pluralité des approches qui erichit le fod et la cohérece de la forme qui reforce l efficacité est le résultat d u véritable travail collaboratif, d ue maîtrise d oeuvre rigoureuse et de sources d ispiratio précieuses... citos particulièremet pour les exercices d oral la Revue de Mathématiques Spéciales, l Officiel de la Taupe et les Archives des Professeurs de Spé du Lycée Heri Poicaré de Nacy e particulier celles costituées par Walter APPEL. Cette collectio a l ambitio de faire bééficier le lecteur de l expertise professioelle des rédacteurs, chaque ouvrage est doc rédigé avec u souci de rigueur et de clarté au service de la pédagogie, souci qui s exprime das quelques pricipes : La qualité de rédactio aboutie exigée des élèves écessite que les auteurs soiet eux-mêmes exemplaires das leur rédactio, aussi bie celle des éocés que celle des corrigés. U soi tout particulier est apporté à l écriture des élémets «logiques» : précis et sas ambiguïté, le style traduit explicitemet les coexios logiques, implicatio, écessité, suffisace, etc. das u souci permaet de redre explicite ce qui, ailleurs, reste parfois implicite. Les corrigés proposés sot toujours complets et commetés quad il le faut, e privilégiat les solutios méthodiques et raisoables aux approches «astucieuses» et «miraculeuses». L expériece prouve e effet qu u corrigé trop «brillat» iquiète l élève qui se set icapable de la même performace et e lui appred rie de la démarche costructive qui peut ameer à ue solutio lorsqu o possède ue maîtrise suffisate des cocepts. L expériece motre aussi la vertu du cotre-exemple... il e est fait u usage courat. La présece de rappels de cours sythétiques est écessaire pour replacer les exercices das leur cotexte théorique sas avoir à quitter l ouvrage e cours de lecture, pour fixer aussi quelques otatios choisies parmi les stadards. Mais ces élémets de cours e se substituet e rie à l eseigemet magistral ou aux ouvrages de référece, ils costituet seulemet u «miimum coceptuel» immédiatemet dispoible pour aider la compréhesio des exercices qui restet la matière essetielle de l ouvrage. La voloté de respecter l esprit des ouveaux programmes privilégie la présetatio de sujets récets (de 3 à 6) e respectat scrupuleusemet la forme de leur rédactio : aucu toilettage rédactioel e doit e masquer l origialité, voire la difficulté. Le respect du lecteur exige sa mise e situatio réelle de cocours. Toutefois ces éocés sot commetés et expliqués pour rassurer le lecteur e lui motrat que sous des traits parfois déroutats o peut retrouver des «visages cous». Certais exercices proposés aux cocours avat 3 figuret égalemet das cette collectio e raiso de leur itérêt ; ils sot alors rédigés sous ue forme compatible avec le programme actuel. Si ces pricipes gééraux sot respectés das l esemble de la collectio, la plus grade maturité des élèves de deuxième aée justifie quelques différeces etre les ouvrages de première et de deuxième aée. L élève de première aée peut avoir des difficultés à choisir seul, avec disceremet, des sujets d écrits das les aales. Les

7 Présetatio de la série «Tous les exercices de mathématiques» vii Duod La photocopie o autorisée est u délit ouvrages de première aée présetet doc ue sélectio d extraits de problèmes d écrits. L élève de deuxième aée, plus mûr, est capable de trouver lui-même des sujets d écrit, les ouvrages de deuxième aée e présetet doc pas. Cette plus grade maturité explique aussi le choix qui a été fait de préseter e deuxième aée u bo tiers des exercices d oral das leur rédactio d origie, sas commetaires explicatifs, pour placer l élève au plus près de la situatio réelle du cocours ; bie etedu, le corrigé est toujours rédigé clairemet, avec toutes les idicatios et tous les commetaires que écessite leur compréhesio. L objectif essetiel est le respect des élèves que l o met das ue situatio proche de celles des cocours tout e les guidat das la correctio. Il semble égalemet que des ouvrages spécifiques suivat les programmes (MP-MP*, PC-PC* et PSI-PSI*) soiet justifiés e Mathématiques Spéciales alors qu ils e le sot pas e premier semestre de Mathématiques Supérieures. Mais, quels que soiet les ouvrages, les auteurs ot réalisé u travail de sélectio importat parmi la multitude d exercices dispoibles pour proposer ceux qu ils cosidèret comme les plus sigificatifs : certais sot sélectioés pour leur itérêt pédagogique, leur gééralité, leurs décliaisos possibles etc., d autres sot présetés essetiellemet pour doer ue idée fidèle de «l état de l art actuel» des exercices d oral et faire l objet de commetaires au profit des futurs cadidats. O aura compris que les ouvrages de cette collectio sot avat tout au service des élèves pour lesquels elle costitue u véritable outil pédagogique d appretissage et d etraîemet e vue des cocours. Ces ouvrages devraiet égalemet covaicre les élèves de l étedue des poits abordés das les sujets d oral et d écrit, qui couvret réellemet les programmes de première et de deuxième aée. Mais les eseigats des C.P.G.E pourrot aussi utiliser cette collectio comme support de travaux dirigés et comme référece. Efi, les examiateurs disposerot avec cette collectio d exemples de vrais sujets d oraux doés récemmet ; les commetaires qui e sot faits pourrot ispirer leur propre démarche pour ue évaluatio efficace et progressive des cadidats. Pour coclure cette présetatio, o me pardoera d utiliser u to plus persoel. Maître de coféreces et agrégé e Mathématiques, j ai souhaité partager plusieurs aées d expériece e assurat la maîtrise d oeuvre des ouvrages de cette collectio. Quize aées de participatio à différets cocours e tat que correcteur d écrit et examiateur d oral, m ot permis de bie coaître la littérature existate et de bie observer l évolutio de l attitude des élèves qui sot soumis, toujours davatage, à des sollicitatios ombreuses et diverses, sollicitatios qui e facilitet pas la cocetratio et peuvet, parfois, les gêer das la maîtrise de l esemble des techiques. La écessité ressetie d ouvrages adaptés, l ethousiasme face à l idée de les rédiger, l impossibilité de réaliser seul u tel travail, m ot coduit à réuir des équipes de rédactio et à assurer la maîtrise d oeuvre du projet tout e participat activemet à l écriture. Au delà de l ambitio de réaliser u travail de qualité, il s agit d ue expériece humaie ioubliable. Trois persoes ot cotribué à la réalisatio de ce projet et je souhaite, au ses propre, leur doer le derier mot : merci.

8 viii Présetatio de la série «Tous les exercices de mathématiques» Merci à Eric d Egeières, resposable d éditio chez Duod, qui m a accordé sa cofiace, a su m ecourager par la qualité de os échages et a pu me guider par des coseils et suggestios toujours formulés de maière chaleureuse. Merci à Hervé Coillad, directeur de l I.U.T Nacy-Charlemage et Vice-Présidet de l Uiversité Nacy qui a toujours trouvé le temps pour des discussios amicales au cours desquelles se préciset les objectifs, s échaget les idées et s affiet quelques poits de rédactio. Merci, ifiimet, à Nezha, ma femme, qui accepte que beaucoup de temps soit cosacré à ce projet, qui préserve autour de moi le calme écessaire à ue etreprise rédactioelle, qui m ecourage et me coseille das les phases les plus critiques et dot l amour est u soutie permaet. Nacy, le 5 février 7 El-Haj LAAMRI

9 Avat-propos Duod La photocopie o autorisée est u délit Ce livre couvre le programme d Aalyse de deuxième aée MP et poursuit la démarche rédactioelle etamée avec les ouvrages de première aée. Comme pour l esemble de la collectio, le respect du programme officiel est u pricipe que ous avos suivi à la lettre. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l approfodissemet e deuxième aée de certais poits abordés e première aée : suites umériques, foctios réelles d ue variable réelle, itégratio sur u segmet. Nous avos mis à profit cette possibilité pour que le préset ouvrage, tout e état sas ambiguïté destié aux élèves de deuxième aée, présete trois chapitres utilisables e première lecture dès le deuxième semestre de première aée et pour les «révisios estivales» etre la première et la deuxième aée. Les premiers chapitres traitet des suites umériques et des foctios réelles d ue variable réelle. Ces otios déjà détaillées das l ouvrage de première aée sot complétées ici par des exercices d oral de 7 et par des sujets écessitat ue maturité qu o e peut attedre au premier semestre de la première aée. L itégratio sur u segmet présete u large choix d exemples de calculs d itégrales aisi que la mise e œuvre des propriétés de l itégrale (essetiellemet les iégalités) et l étude de foctios défiies par ue itégrale. Ce chapitre permet de réviser et d approfodir le programme de première aée tout e doat ue vue réaliste des exercices doés à l oral. Das les chapitres sur les séries umériques, séries de foctios, séries etières, séries de Fourier, ous isistos sur les méthodes et o sur les solutios astucieuses... souvet peu reproductibles. De même das les chapitres cocerat l itégratio sur u domaie o compact, ous avos privilégié la méthode et la comparaiso des outils. Par la ressemblace de leurs coclusios (mais o de leurs coditios d applicatio) certais théorèmes sot source de cofusio : covergece uiforme, covergece ormale, covergece domiée et corollaire, covergece des séries etières. Exemples et cotre-exemples poset des poits de repères pour éviter les cofusios. Esuite, das la présetatio des espaces vectoriels ormés, ous avos teu compte de l appréhesio, voire du malaise, que l expériece ous a fait costater chez les élèves. Cette partie est partagée e trois chapitres : les gééralités idépedates de la dimesio, d abord mise e œuvre das u cotexte familier et bie matrisé par les élèves (espaces de matrices et espaces de

10 x Avat-propos foctios umériques cotiues sur u segmet), puis faisat l objet d exercices d approfodissemets plus abstraits ; les espaces vectoriels ormés de dimesio fiie à propos desquels des exercices plus fis et plus difficiles reposet essetiellemet sur les propriétés liées à la dimesio fiie ; la dérivatio et l itégratio sur les espaces vectoriels ormés de dimesio fiie sot l objet d exercices parfois origiaux. Les équatios différetielles liéaires costituet u chapitre très riche qui fait appel à u esemble de coaissaces débordat largemet le cadre du chapitre. La partie cosacrée à l assimilatio propose ue révisio puis u ivetaire techique avec des exercices de mise e œuvre directe. La sythèse et l approfodissemet fot le lie avec la techique et l ouverture vers des otios plus étedues et plus géérales. Clarificatio et poits de repères ous ot semblé, là aussi, écessaires. Efi, même si les sujets cocerat les équatios différetielles o liéaires provieet essetiellemet des cocours les plus «prestigieux», ous avos fait u effort particulier de rédactio pour les redre abordables à tous les élèves et doer ue occasio d etraîemet à l écrit. Das le chapitre cosacré au calcul différetiel, ous avos tout d abord rappelé les défiitios essetielles, puis ous avos préseté de ombreux exemples d applicatio à la recherche d extrema et à la résolutio d équatios aux dérivées partielles, et ous avos termié ce chapitre par des exercices théoriques et plus difficiles. Le derier chapitre est cosacré aux calculs d itégrales multiples et curviliges, ous avos otammet isisté sur la otio d itégabilité, puis sur l importace du paramétrage du domaie d itégratio, et efi, sur les techiques de chagemet de variables. Les premiers chapitres, par leur coteu et leur structure, marquet la trasitio etre les pricipes rédactioels et pédagogiques propres aux ouvrages de première aée et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième aée. E première aée, ous avios choisi de préseter et d illuster de faço liéaire chaque ouvelle otio l ue après l autre. Nous ous adressios alors à des lecteurs sortat des classes termiales et ecore peu autoomes das leur approche. E deuxième aée, ous avos choisi de préseter globalemet l essetiel des otios d u chapitre puis de progresser par étapes vers ue compréhesio et ue maîtrise de plus e plus approfodies. Chaque chapitre (sauf les deux premiers) est doc costitué de trois parties : ue présetatio sythétique de l essetiel du cours suivie d exercices d assimilatio immédiate, das lesquels chaque ouvelle otio est testée, sas complicatio iutile à ce iveau, das u cotexte qui permet d idetifier clairemet ue et ue seule difficulté et de la résoudre, e respectat ue sorte de «règle des trois uités» : u exercice, ue difficulté, ue solutio ; des exercices d etraîemet dot la rédactio progressive et le découpage e questios ot pour objectif d ameer le lecteur à la compréhesio e le cofrotat de faço progressive aux difficultés propres à la otio étudiée ;

11 Avat-propos xi des exercices d approfodissemet destiés à mettre l élève e situatio de cocours, avec la écessité pour lui de faire preuve de compréhesio, d iitiative, d ituitio et de maîtrise techique. Duod La photocopie o autorisée est u délit La lecture d u tel chapitre est doc plus écessairemet liéaire. La structure est parfaitemet adaptée à des lecteurs de iveaux variés qui pourrot évetuellemet passer directemet à ue forme d auto-évaluatio e se cocetrat sur les exercices d approfodissemets ou, au cotraire, progresser pas à pas avec les exercices d assimilatio. Si les élèves de deuxième aée ot pu gager e autoomie, il e reste pas mois que leurs iveaux de compétece et de compréhesio restet très hétérogèes. Aisi, etre des «3/» qui découvret le programme pour la première fois et ot ecore été cofrotés à aucu cocours, des «5/» qui ot déjà étudié le programme mais ot échoué à leur première expériece et des «5/» déjà admis à des cocours mais dot l ambitio les amèe à viser ecore plus haut, les différeces sot très fortes. Ce sot ces différeces, costatées e particulier lors des séaces de «colles», qui ous ot ameés à cette rédactio permettat plusieurs iveaux de lecture et d utilisatio de l ouvrage. Etre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième aée impose pas d ordre i de découpage, cotrairemet au programme de première aée. Cette liberté ous a permis de choisir ue progressio qui ous semblait la plus adaptée et la plus équilibrée. Chaque étape présete u ombre de otios ouvelles acceptable pour ue perceptio d esemble compatible avec la structure des chapitres. Il y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d u escalier : la hauteur acceptable des marches et leur régularité peut faciliter l ascesio... Nous avos doc reteu ue progressio qui ous semble adaptée, sas affirmer pour autat que d autres progressios sot à rejeter. Notre diversité d expériece, avatage de la rédactio collective, ous amèe d ailleurs à utiliser différetes progressios das os pratiques d eseigemet. Il reste esuite le choix le plus difficile : face à l ifiité d exercices possibles et au temps fii dot disposet les élèves pour préparer les cocours, que proposer? Quelques pricipes ot guidé otre sélectio : respecter le parti-pris de progressivité e doat des exercices qui permettet d assimiler, puis de s etraîer et efi d approfodir ; doer ue vue précise et réaliste d exercices qui «tombet à l oral» e s appuyat e particulier sur ue veille attetive des sujets doés à l oral das plusieurs cocours depuis plusieurs aées ; privilégier les exercices «géériques» dot la maîtrise doe les clefs de ombreux exercices (comme il avait déjà été aocé e avat-propos des ouvrages de première aée : habituer les élèves à recoaître les «visages cous» sous leurs différetes appareces) ; profiter du «omadisme» des exercices costaté etre des cocours différets et e pas hésiter à proposer u sujet de PC ou PSI si so itérêt pédagogique le justifie, sachat que ce même sujet peut apparaître plus tard e MP.

12 xii Avat-propos covaicre les élèves que les oraux couvret tout le programme des deux aées (le théorème des accroissemets fiis, par exemple, pose beaucoup de problèmes aux élèves qui doivet l utiliser à l oral). Pour éviter l arbitraire des préféreces persoelles lors d ue rédactio collective, ue référece icotestable et «objective» est écessaire : ous avos choisi pour référece la réalité des exercices doés à l oral, pricipalemet depuis 4, date d applicatio du ouveau programme. Mais ces exercices ot pour objectif le «classemet» des élèves et o leur formatio. Das u ouvrage d appretissage quotidie, certaies retouches se sot avérées écessaires : lorsqu ils utiliset ce livre, les élèves sot e cours de formatio et pas ecore e cocours! Notre expériece d eseigats d abord, de «colleurs» esuite, d examiateurs efi, ous a permis d observer e situatio réelle, das différetes classes, les élèves face à ces exercices... ce qui ous a covaicus de la écessité d e faire évoluer la rédactio pour qu ils passet du statut d exercice d oral au statut d exercice pédagogique. Notre expériece ous a permis cette adaptatio sas, e aucue maière, déaturer ces exercices. La rédactio retouchée de certais exercices répod à la fois à u objectif pédagogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l élève par ue rédactio détaillée qui fasse apparaître de faço explicite les difficultés et les techiques à maîtriser. Objectif psychologique de rassurer l élève e l ameat à résoudre seul ue majorité de questios e favorisat aisi le développemet de so autoomie. Si u sujet a été doé à plusieurs cocours, ous avos toujours choisi la versio qui ous semblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avos égalemet regroupé certais éocés d oral qui ous semblaiet complémetaires ou permettaiet de doer u aperçu des sujets régulièremet abordés à l écrit. Quat aux élémets de cours, chacu sait que ce qui est élégammet écrit das u cours à la rédactio parfaite est pas toujours aussi clair das l esprit des élèves... et ous avos pas hésité, parfois, à sacrifier l élégace de la rédactio à la redodace lorsque cette derière ous permettait de redre explicites des otios souvet restées implicites. C est e premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC, PC et PC* du Lycée Heri Poicaré et PSI et PSI* du Lycée Heri Loritz de Nacy que ous adressos, collectivemet, os remerciemets. Ils ot e effet largemet cotribué par leurs réactios, leurs questios, leurs erreurs et leur compréhesio à guider os efforts de présetatio des exercices, de clarificatio des questios, de simplificatio des corrigés. Toujours aussi ethousiasmate cette aveture rédactioelle est aussi ue aveture humaie das laquelle ous avos été aidés. Aidés matériellemet par l Istitut Elie Carta de Nacy qui ous a permis d utiliser ses moyes iformatiques et ses ressources documetaires. Aidés par l IREM qui ous a doé u accès privilégié à ses ressources documetaires, aisi que par l I.U.T Nacy-Charlemage dot la bibliothèque ous a toujours reçus avec sourire et efficacité. Aidés égalemet par le Lycée Heri Poicaré de Nacy qui ous a accueillis chaque samedi mati, de septembre à mars, das ue salle équipée de moyes iformatiques.

13 Avat-propos xiii Aidés aussi par deux collègues de l Istitut Elie Carta, Julie Cheal et Yaick Privat, qui ot lu ue partie du mauscrit. Aidés efi par trois collègues du Lycée Heri Poicaré, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui ous ot lus e détail et dot les remarques ot sesiblemet amélioré le préset ouvrage. Que tous soiet sicèremet remerciés. Il est iévitable que certaies erreurs aiet échappé à la vigilace de tous ceux qui ot lu cet ouvrage. Nous e assumos seuls la resposabilité et ous espéros que ceux qui e découvrirot voudrot bie ous faire part de leurs remarques à l adresse suivate [email protected]. Efi, si das cette aveture humaie certaies persoes ous ot aidés, il e est sas qui rie aurait été possible. Nos compages, par leur ifiie patiece, leur soutie sas faille et leur attetive présece ot joué u rôle essetiel das l aboutissemet de ce projet. Au momet de mettre u poit fial à cet ouvrage c est vers elles que os pesées se touret. Nacy le 5 avril 8 El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alai Masoux, Marc Rezzouk, David Rupprecht, Lauret Schwald Les exercices qui ous ot semblé les plus difficiles sot sigalés par u ou deux symboles K.

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15 Table des matières Chapitre. Suites Numériques.... Exercicesd etraîemet.... Exercices d approfodissemet.... Chapitre. Foctios réelles d ue variable réelle Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 3. Itégratio sur u segmet L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Duod La photocopie o autorisée est u délit Chapitre 4. Séries umériques L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 5. Espaces vectoriels ormés L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet

16 xvi Table des matières Chapitre 7. Dérivatio et itégratio d ue foctio d ue variable réelle à valeurs vectorielles Exercicesd assimilatioetd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 8. Suites et séries de foctios L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 9. Séries etières L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre. Itégratio sur u itervalle quelcoque L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre. Théorème de covergece domiée et applicatios L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre. Itégrales dépedat d u paramètre L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 3. Séries de Fourier L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 4. Équatios différetielles liéaires L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet

17 Table des matières xvii 4.3 Exercices d approfodissemet Chapitre 5. Équatios différetielles o liéaires L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 6. Calcul différetiel L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 7. Itégrales doubles et curviliges L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet

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19 Suites Numériques Ce chapitre, comme celui des foctios d ue variable réelle, a déjà été étudié e première aée mais est très fréquemmet abordé aux cocours. Avat la retrée e deuxième aée, ce chapitre sera l occasio d éprouver la maturité acquise e première aée. Avat les oraux, il fourira ue excellete occasio de révisio et d etraîemet.. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice. Cetrale PSI 5 Pour tout N, o pose, u = Motrer que lim u =. + ( 5si + 5 cos ). Soit N. Il est aturel de commecer par majorer u. Sachat que si / et cos, o a alors d après l iégalité triagulaire 5si + 5 cos 5 si + 5 cos 5+ 5 ( soit u 5+ (. Mais lim 5+ 5) = +, ce qui e permet pas + 5) d aboutir. Affios cette première approche e costatat que c est le ombre 5 qui ous empêche de coclure. O va doc majorer et miorer plus fiemet. Comme lim + si(/ ) =, il existe u rag N N tel que, pour tout N et N, o ait ( ) 5 5si. Doc, pour tout N, 5 ( ) 5 5si + 5 cos 5, ( ) d où 5si + 5 cos. O e déduit efi que, pour tout N, 5 ( ) ( ) u et comme lim =, lim u =. +

20 Chap.. Suites Numériques Exercice. CCP MP et PC 6 Soit (u ) N ue suite réelle. Motrer que si les suites extraites (u ) N, (u + ) N et (u 3 ) N coverget, alors la suite (u ) N coverge. Par hypothèse, les suites extraites (u ) N, (u + ) N et (u 3 ) N coverget, otos a, b et c leurs limites respectives. La suite (u 6 ) N est ue suite extraite de (u ) N. Elle coverge doc vers a = lim. Mais c est aussi ue suite extraite de (u 3 ) N. Elle coverge doc + vers c = lim 3. Il e résulte que a = c. + La suite (u 6+3 ) N est ue suite extraite de (u + ) N car 6 +3= (3 +)+. Elle coverge doc vers b = lim +. Mais c est aussi ue suite extraite de + (u 3 ) N. Elle coverge doc vers c. Il e résulte que b = c. O a doc a = b, et comme les suites des termes de rag pair et de rag impair coverget vers la même limite, la suite (u ) N coverge vers cette limite commue. Remarque Il arrive que les suites extraites (u ) N et (u + ) N coverget, alors que la suite (u ) N e coverge pas. C est le cas par exemple de la suite de terme gééral u = ( ). Exercice.3 CCP PSI 5, diverses écoles MP 7 ( ) ) Motrer que : 4, k {,..., }, k ) E déduire que la suite de terme gééral u = k= ( ). ( k) coverge et détermier sa limite l. 3) Questio de la rédactio : Détermier u équivalet de u l lorsque ted vers +. ) O a, pour tout 4 et tout k {,..., }, ( )! ( )...( k +) = = k k! ( k)! k! ( ) k k + j ( ) =. j j=3

21 . Exercices d etraîemet 3 ) Écrivos tout d abord, pour tout 4, u = k= ( ) = ( ) + ( + k ) k= ( k) + Il e résulte d après la questio précédete ( ) + ( ) = + + u + + ( ) = + ( 3) + ( ). k= k= ( k). O obtiet aisi l ecadremet + u + ( 3) + ( ). D où lim u =. + 3) Soit 4. Posos v = u = + ( et cherchos u équivalet de la k) suite (v ) 4. O a pour tout 6, k= v = ( ) + ( k). D autre part, pour tout k {3,..., 3},oa ( ) ( )( ) = k 3 k j=4 d où v 4 ( ) + 6 u +. k=3 k 3+ j j ( )( ), 6 ( )( ). Aisi v = + o ( ) et doc Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.4 CCP MP 5 Pour tout etier, o pose u = i+ j= i, j ij. Détermier u équivalet simple de u lorsque ted vers +. Pour tout etier, o a : u = k= k( k) = k= ( ) k + = k k= ( ) k + = k k. k=

22 4 Chap.. Suites Numériques Or k= k k= k de Première aée) et par coséquet u Exercice.5 l (voir exercice.3 page 9 das otre livre d Aalyse l. CCP MP 6, très proche de CCP MP 7 ) Motrer que deux suites réelles (u ) N et (v ) N, équivaletes e +, sot de même sige à partir d u certai rag. ) Quel est le sige de u = si th au voisiage de +? ) Il s agit d u résultat à garder préset à l esprit. Par hypothèse, il existe ue suite ( ) de limite ulle telle que, pour tout supérieur à u certai etier,oau = v ( + ). E particulier pour = /, il existe u etier tel que, / /, ce qui implique que / + 3/, et par coséquet, u et v sot de même sige pour tout. ) E utilisat les développemets limités o sait que, au voisiage de, si x = x x o(x 3 ) et thx = x x o(x 3 ), d où si x th x = x o(x 3 x 3 ). Par coséquet, 6 u = si th >. O déduit de la première questio, que u est positive à partir d u certai rag. Exercice.6 Cetrale PSI 6, Polytechique MP 6 et 7 Soit la suite réelle défiie par u R et N, u + = u exp( u ). ) Etudier cette suite selo u R. ) O suppose u R +. Détermier u équivalet de u. O pourra commecer par détermier a réel tel que v = u a + u a ait ue limite fiie o ulle, puis appliquer le théorème de Cesàro à cette suite (v ) N.

23 . Exercices d etraîemet 5 ) La foctio f : x xe x est cotiue sur R, et f (x) est du sige de x. Puisque e x est du sige de x, o a toujours f (x) x. Comme u + = f (u ) pour tout, o e déduit que u est décroissate, doc a ue limite, fiie ou. D autre part, le seul poit fixe de f est, doc si u coverge, sa limite est. Si u <, alors par décroissace de (u ), o a pour tout, u u <, doc (u ) e peut tedre vers, et par coséquet, elle a pour limite. Si u >, comme l itervalle ], + [ est stable par f, la suite (u ) est décroissate positive, doc coverge, et sa limite est ulle. Si u =, alors (u ) est la suite ulle. ) Cherchos a pour que (u a + u a ) ait ue limite fiie o ulle. O a u a + u a = u a (e au ). Puisque (u ) coverge vers, e utilisat l équivalet e u u a + u a au a+. La suite (au a+ ( seulemet si a =. La suite (v ) = u + u ailleurs, pour tout N,oa k= k= u u, o obtiet ) admet ue limite fiie o ulle si et ) coverge alors vers. Par S = v k = ( ) = ( ). u k+ u k u u Le théorème ( de ) Cesàro etraîe que la suite (S ) coverge vers. O e déduit que la suite coverge vers, et doc que u u. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.7 Cetrale PSI 5 Avec Maple : soit la foctio f défiie sur R par f (x) = x l x. ) Doer l allure de f, le sige de f (x) x, le sige de f (x)+x. ) Etudier la suite défiie par U + = f (U )avecu = 3. 3) Doer le sige de f f (x) x. 4) Etudier la suite défiie par W + = f (W )avecw = /4. ) Remarquos que la foctio f est impaire et se prologe par la valeur e. La foctio f est dérivable sur R et l o a f (x) = l x +. Sur ], + [, la foctio f est du sige de x e. Elle admet doc u miimum local e /e et f (/e) = /e. Remarquos aussi que f (x)/x ted vers quad x ted vers. La foctio f est pas dérivable e et y admet ue tagete verticale.

24 6 Chap.. Suites Numériques x 4 Si x, o a f (x) x = x(l x ), d où {x R f (x) x > } = ] e, [ ] e, + [. De plus f Id s aule e e et e et se prologe e par la valeur. Les ombres e, e et sot doc les trois poits fixes de f. O a aussi f (x)+x = x(l x +), d où {x R f (x)+x > } = ] /e, [ ]/e, + [. De plus f + Id s aule e /e, /e et se prologe e par la valeur. ) L itervalle I = [ e, + [ est stable par f et cotiet U. Sur l itervalle I,la foctio f vérifie f (x) > x, il e résulte que la suite (U ) est croissate. Si elle admettait ue limite fiie ce serait u poit fixe de f das l itervalle [ U, + [,ce qui est pas possible. Doc la suite (U )admet+ pour limite. 3) Si x >, o a f f (x) x = f (x l x) x = x l x l x l x x = x l xg(l x), où l o a posé g(u) = u +l u /u. La foctio g est croissate sur ], [ ], + [ et s aule e ete. Il e résulte que {u R g(u) > } = ], [ ], + [, puis que {x > g(l x) > } = ]/e, [ ] e, + [ et fialemet que {x > f f (x) x > } = ], /e [ ] e, + [. Efi, puisque f f Id est impaire, {x R f f (x) x > } = ] e, /e [ ], /e [ ] e, + [. De plus f f Id s aule e e, e,/e et /e et se prologe e par la valeur. Les ombres e, e, /e, /e et sot doc les poits fixes de f f. 4) L itervalle J = ], /e [ est stable par f f et cotiet W. Sur cet itervalle f f (x) > x. Alors la suite (W ) est ue suite croissate majorée de [ W, /e ] et coverge vers u poit fixe de f f das cet itervalle. La limite est doc /e. Mais, puisque, pour tout N o a W + = f (W ), la suite (W + )covergevers f (/e) = /e. Il e résulte que la suite (W ) a pas de limite.

25 . Exercices d etraîemet 7 L exercice suivat est u classique qu o trouve chaque aée das plusieurs cocours. Exercice.8 Cetrale MP 6, Polytechique PC 5 et MP 7 K Motrer que la suite complexe (u ) N, défiie par u C et u + = (u + u ), coverge et trouver sa limite suivat u. Duod La photocopie o autorisée est u délit O pose pour tout z C, f (z) = (z+ z ). Pour tout N, o a alors u + = f (u ). Si u R, alors pour tout, u =. Si u R +, alors pour tout, u = u. Si u C \ R : o remarque d abord que pour tout z C \ R, ilexiste (r, u) R + ] p, p [ \{} tel que z = re iu. O a alors f (z) = ( re iu + r ) = r ( e iu + ) = r ( ) ei u e i u + e i u = r ei u u cos = r cos u ei u. E écrivat u sous la forme u = r e iu, o obtiet u + = r + e iu + avec r + = r cos u et u + = u. Aisi, si o pose u = re iu avec r > etu ] p, p [ \{}, o vérifie par récurrece que, pour tout N, u = u et r = r cos u. O e déduit que k D où u = r r = r et par coséquet Exercice.9 si u cos u k k si u = r k k= si k= k= u k si u k = r si u si u. si u si u e i u. Sachat que si x x x,oa si u lim u = r si u + u. Extrait de Cetrale PC 6 Soit (u ) la suite défiie par u >, u > et ( ) N u, u + =. +u u ) Motrer que la suite (u ) coverge et trouver sa limite. ) E cosidérat /u, trouver u équivalet de u. Idicatio de l examiateur : Appliquer le théorème de Cesàro. u = u

26 8 Chap.. Suites Numériques Ue récurrece immédiate motre que pour tout N,oau >. ) Soit, o a u + u = u u <. Doc la suite (u ) est décroissate. +u u Comme elle est miorée par, elle coverge vers ue limite l. E passat à la limite das la relatio ( ) o obtiet l = l, d où l =. +l ) Le théorème de de Cesàro a été itroduit comme exercice das le livre d Aalyse de première aée voir exercice.4 pages 6 et 63. Soit, o a u = +u u + u u + u, d où u + u = u + u, u u + Par ailleurs, =. Il e résulte que la suite (u + /u )covergevers u +u u ( (o a e particulier u + u ) et la suite u ) + u coverge vers. E appliquat le théorème de Cesàro, o a ( lim + u ) ( k+ u = lim + k u ) u =. O e déduit Exercice. lim + k= u Cetrale PSI 5, CCP MP 6 =, d où u et doc u. Soit N, o cosidère la foctio f défiie sur R par f (x) = ) Détermier le ombre des racies réelles de f pour =,,. ) Soit N. Motrer que f admet pas de racie réelle et que f + admet ue uique racie réelle qu o ote r. 3) Motrer que, pour tout N, oa ( +3)< r <. E déduire que la suite (r ) décroit vers. ) Il est clair que les foctios f : x f (x) =, f : x f (x) = +x + x! ot pas de racie réelle et f : x f (x) = +x a pour uique racie réelle. ) Motros par récurrece la propriété P suivate : f a pas de racie réelle, f + a ue uique racie réelle qui est simple. O a motré das la questio précédete que la propriété P est vraie. Soit N. Supposos que la propriété P est vraie et motros que la propriété P + est vraie. Motros que f + >. O a f + = f +. L hypothèse de récurrece etraîe alors que la foctio f + décroît sur l itervalle ], r ] et croît sur [ r, + [. La foctio f + atteit k= x k k!

27 . Exercices d etraîemet 9 doc so miimum e r. Détermios le sige de f + (r ). Puisque r est racie de f +,oa f + (r ) = f + (r )+ r + ( + )! = r + ( + )!. Par ailleurs, f + () =, le ombre réel r est doc pas ul, et par coséquet, f + (r ) >. Aisi, f + >. Motros que f +3 admet ue et ue seule racie réelle et que cette racie est simple. Comme f +3 = f + >, la foctio f +3 est strictemet croissate sur R. E outre, elle est cotiue sur R et varie de à+, il existe doc u réel uique r + tel que f +3 (r + ) =. Cette racie est pas ue racie multiple de f +3, sio elle serait aussi racie de la dérivée f +3 = f +. La propriété est doc vraie au rag +. Le pricipe de récurrece assure qu elle est vraie pour tout etier. 3) Motros que ( +3) < r <. La foctio f + état strictemet croissate sur R, pour motrer que 3 < r <, il suffit d établir que f + ( ( + 3)) < = f + (r ) < f + (). Comme f + () =, o a immédiatemet r ( x k (k)! + x k+ (k + )! k= <. D autre part, e écrivat f + (x) sous la forme ), o obtiet f + ( ( +3) ) = k= ( +3) k ( + k) < (k + )! Motros que la suite (r ) est décroissate. Soit N Duod La photocopie o autorisée est u délit f +3 (r ) = f + (r )+ r + ( + )! + r +3 ( + 3)! = + r + ( + 3)! ( +3+r ) > = f +3 (r + ). Puisque f +3 est strictemet croissate sur R, o a alors r r +. Motros efi que (r ) ted vers. Si ce était pas le cas, état décroissate, elle aurait ue limite fiie a <. Comme f + est croissate, o aurait, f + (a) f + (r ) =. Or lim f +(a) = e a, d où par passage à la limite das l iégalité précédete, e a : cotradictio. Exercice. CCP MP 6 O pose, pour tout N, u = E( ). ) Motrer que la suite (u ) N diverge. Idicatio : o pourra étudier la sous-suite de terme gééral u +.

28 Chap.. Suites Numériques ) Questio de la rédactio : motrer que tout ombre a [, ] est limite d ue suite extraite de (u ). ) Comme la suite (u ) est borée, pour motrer qu elle diverge, o e extrait deux suites qui coverget vers des limites différetes. Comme il y a ue racie carrée, o va étudier la sous-suite (u ) N.Soit N, o a u = E( ) = E() =. La suite extraite (u ) N coverge vers. E remarquat que, pour tout N, + < + += ( +),oa alors + < +.AisiE( +) = d où u + = +. E multipliat par la quatité cojuguée o obtiet, + = + +. D où lim u + + =. Les suites extraites (u ) N et (u +) N e covergeat pas vers la même limite, il e résulte que la suite (u ) N admet pas de limite. ) Soit (p /q ) ue suite de ombres ratioels qui coverge vers a, où(p, q ) appartiet à N N et p q. O a (q ) (q ) +p < (q ) +q + = (q +). D où q (q ) +p < q + et doc E( (q ) +p ) = q.aisi u (q ) +p = (q ) +p q. E multipliat (q ) +p q par sa quatité cojuguée, o obtiet p u (q ) +p = = p. Alors la suite (u (q ) +p + q q (q ) +p ) + coverge vers a, car p q = p q q + p q Remarque Les lecteurs itéressés peuvet trouver u résultat plus gééral das le chapitre 6 «espaces vectoriels ormés».. EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice. Cetrale MP 5 Soit (u ) [, + [ vérifiat : ( ) u + u + ) Établir que lim + u =. + ) Motrer que si la suite (u ) est décroissate, alors u +.. 3) Doer u exemple d ue suite réelle vérifiat ( ) et telle que u e soit pas équivalete à /().

29 . Exercices d approfodissemet ) O a d ue part, pour tout N, < u < u + u + et d autre part lim (u + u + ) = lim + + =, doc la suite (u ) coverge vers. ) Si la suite (u ) est décroissate, o a alors, pour tout N, (u + u + ) u (u + u ) et, par le théorème d ecadremet, o e déduit que la suite (u )covergevers, d où u +. 3) Soit N, o pose u = / si est pair et u = / si est impair. La suite (u ) est pas mootoe mais vérifie ( ). Exercice.3 Cetrale MP 6 ) Motrer que, pour tout etier, l équatio x = x + admet ue uique solutio u ], ]. ) Détermier lim + u. O otera l cette limite. 3) Détermier u équivalet de u l. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Soit. La foctio f : x f (x) = x x est dérivable sur R + et ( ) o a f (x) = x. Doc f (x) x.aisi, f réalise ue bijectio de [, + [sur[, + [. Il existe doc u ], + [ uique tel que f (u ) =. Par ailleurs, f () =. O vérifie par ue récurrece immédiate que pour tout,. O e déduit alors que pour tout, u ], ]. ) D habitude, o motre que la suite coverge e établissat qu elle est mootoe et borée puis o calcule sa limite. Il se trouve qu il est pas commode de motrer que la suite (u ) est mootoe. O va doc calculer la limite directemet. Soit >, o a f ( + ) = ( + ) ( + ) = e l(+ ), doc lim f ( + ) = + car les expoetielles l emportet sur les puissaces. Il existe + alors u etier tel que, pour tout, f ( + ) >. Aisi, pour tout,< u < +, ce qui prouve que lim u =. + 3) Détermios u équivalet de u. O déduit de la relatio u Par coséquet Ce qui prouve que l u l u = l( + (u )) = +u u que lim + = + lim u + lim ( l u l ) = et doc l u l + l et doc l u + + u, car + lim u =. D où u + =. = o(l ). l. Par ailleurs, l +.

30 Chap.. Suites Numériques Exercice.4 Mies - Pots MP 7 ) Motrer que k l. + k= ) Pour, o pose P = X(X ) (X ). Motrer qu il existe u uique r ], [ tel que P (r ) =. 3) Doer u équivalet de r quad ted vers +. ) Voir, par exemple, chapitre 4 séries umériques exercice 4.6 ou exercice.3 page 9 das otre livre d Aalyse de Première aée. ) Soit. E appliquat le théorème de Rolle sur les itervalles [ k, k +] où k {,..., }, o obtiet racies deux à deux distictes de P. Comme P est de degré, o a localisé toutes les racies de P. E particulier, P admet ue uique racie das ], [. O peut aussi itroduire la foctio f défiie sur ], [ par f (x) = P (x)/p(x). O a alors f (x) = x + x + + x. La foctio f est cotiue et strictemet décroissate sur ], [, comme somme de foctios cotiues strictemet décroissates. De plus, o a lim f (x) = +, x et pour tout f (/) = / k. Il e résulte que f, doc P, k= s aule ue fois et ue seule das l itervalle ], [, pour ue valeur r telle que < r /. 3) O a doc, r = r + < r, et, si, Et puisque k= k + + r k < <, o e déduit k r k k= l et + + k + r k. k= k= k r. E utilisat les ecadremets l( ) + l, o a alors + Coclusio : r / l. + /r l. +

31 . Exercices d approfodissemet 3 Exercice.5 Mies - Pots MP 7 ) Motrer que, pour tout N, l équatio x +lx = admet ue solutio et ue seule que l o otera u. ) Doer u développemet asymptotique à trois termes de u lorsque ted vers l ifii. ) Comme la foctio f : x f (x) = x +lx est cotiue et strictemet croissate (comme somme de deux foctios cotiues et strictemet croissates) sur ], + [, c est ue bijectio de l itervalle ], + [ sur so image ] lim f (x), lim f (x)[= R. Elle admet doc ue bijectio réciproque f x + x + cotiue et strictemet croissate de R sur ], + [ et l uique solutio de l équatio x +lx = est u = f (). Il e résulte que la suite (u ) est croissate. E outre, lim u = lim f () = + car lim f (x) = x + ) Pour détermier u développemet asymptotique à trois termes de u, o va procéder par étapes. E écrivat la relatio u +lu = sous la forme = + l u et sachat que u lim u = +, o obtiet + Puisque u lim + u = d où u. +, il existe ue suite (v ), qui coverge vers, telle que + u = ( + v ). () u Duod La photocopie o autorisée est u délit E remplaçat u par ( + v ) das la relatio u +lu =, o obtiet = +v +l((+v )) = +v +l +l(+v ). D où v = l l( + v ) l et doc v. Aisi, au voisiage de +, v = l ( ) l + o. La + relatio () s écrit alors ( u = + l ( )) l + o = l + o(l ). () E écrivat () sous la forme u = l + w l avec lim w = ete + reportat das la relatio u +lu =, o obtiet l égalité ( d où w l +l l + w car w l = l + w l +l( l + w l ), ) ( l =. Or l l ) + w l l est égligeable devat lorsque +. Aisiw + l + ou

32 4 Chap.. Suites Numériques ecore w = + o ( Exercice.6 ). O aboutit fialemet à ( u = l + w l = l + = l + l ( l + o ). + o ( )) l Cetrale MP 6 et 7 K ) Motrer que l équatio ta x = x 3 x admet, pour tout N, ue uique solutio x das ] p p/, p + p/[. ) Doer u développemet asymptotique à quatre termes de x. Idicatio de la rédactio : Itroduire la suite de terme gééral y = p+p/ x et motrer que y = p ( ) p + o. ) L applicatio f, défiie sur l itervalle ] p p/, p + p/[ partax x 3 x, est dérivable das cet itervalle et o a f (x) = +ta x x 4 3x (x ) = ta x + x + (x ) >. Cotiue et strictemet croissate sur ] p p/, p + p/[, f est doc ue bijectio de ] p p/, p + p/ [ sur ] lim f (x), lim f (x)[= R. x (p p/) + x (p+p/) Par coséquet, il existe u uique x ] p p/, p + p/ [ tel que f (x ) =. O peut même préciser que p < x < p + p/ car f (p) <. ) Soit, posos y = p + p/ x. Comme la foctio tagete est p-périodique, o a ta y = ta(p/ x ) = = x ta x x 3. E outre, y ], p/ [, doc y = Arcta x ( x 3 = Arcta ) x x 3. Par ailleurs, x p et la foctio arctagete est cotiue et s aule e, d où + lim + y =. Aisi O e déduit x = p x = p + p/ y = p + p/+o() = p + + o ( ) = p ( + ( )) + o. ( ( )) + o = p ( ) p + o.

33 Il e résulte que x 3 D où y = Arcta ( = o ( p p + o. Exercices d approfodissemet 5 ) et l o a alors x x 3 = p ( ) p + o. ( )). E utilisat le développemet limité e : Arcta h = h + o(h ), o obtiet y = p déduit fialemet x = p + p p + p + o ( p + o ). ( ). D où l o Remarque L éocé d origie proposait comme première questio d étudier le même problème avec ta x = x. Le lecteur, itéressé par ue solutio détaillée de cette questio, pourra cosulter otre livre d Aalyse de première aée, exercice 6.6 pages 338, 339 et 34. Exercice.7 ENS Cacha MP 6 Soit (a, b) R tel que a < b et soit f : [a, b ] [ a, b ] ue foctio -lipschitziee. O cosidère la suite (x ) N défiie par la doée de x das [ a, b ] et par la relatio N, x + = x + f (x ). Motrer que la suite (x ) N coverge. Duod La photocopie o autorisée est u délit Commeços par rappeler que toute foctio lipschitziee est cotiue et que toute foctio f :[a, b ] [ a, b ] cotiue admet u poit fixe c est-à-dire qu il existe a [ a, b ] tel que f (a) = a (o applique le théorème des valeurs itermémidiaires à la foctio x f (x) x, le lecteur itéressé par des complémets sur la otio de poit fixe pourra cosulter avec profit otre ouvrage d aalyse de première aé pages 55-57). Itroduisos la foctio g défiie sur [ a, b ]parg(x) = x + f (x). La foctio g est cotiue sur [ a, b ] et g([a, b ]) [ a, b ], doc la suite (x ) N est bie défiie et borée. Motros que g est croissate sur [ a, b ]. Soit (x, y) [ a, b ] tel que x < y. Puisque f est -lipschitziee, o a f (x) f (y) f (x) f (y) x y = y x, d où f (x)+x f (y)+y et doc g(x) g(y). Comme g est croissate sur [ a, b ], la suite (x ) N est mootoe. Par ailleurs, elle est borée, elle est doc covergete. Comme g est cotiue et la suite (x ) N coverge, sa limite l est solutio de l équatio l = l + f (l), d où l = f (l) et doc l est u poit fixe de f. Coclusio : La suite (x ) N coverge vers u poit fixe de la foctio f.

34 6 Chap.. Suites Numériques Exercice.8 Polytechique MP 7 Que dire d ue suite (u ) N réelle positive, telle que, pour tout N o ait u + u + u +. La coditio doée s écrit aussi : N, u + u u + u + et sigifie que la suite (v ) = (u + u ) est croissate. Si la suite (u ) est décroissate, comme elle est positive elle coverge alors vers ue limite fiie l. Si la suite (u ) est pas décroissate, soit alors, le plus petit etier tel que u + > u. Puisque la suite (v ) est croissate, pour,oa,v v > et doc u + > u. La suite (u ) commece par décroître, puis, à partir du rag elle est strictemet croisate. E outre, pour +, o obtiet u u = k= v k d où u u +( )v. Ce qui motre que k= v = ( )v, lim u = +. + Remarque O peut se demader si de telles suites existet. La répose est oui, il suffit de predre f covexe positive et de cosidérer la suite ( f ()). Exercice.9 Polytechique MP 6, TPE MP 6 K O se propose d étudier la suite de terme gééral u = ) Motrer que, pour tout x [, [,oa k= ( ) k. () l( x) x et () l( x) x x. ) Motrer que u e e. 3) Soiet N et p u etier tel que p. O pose v,p = Motrer que v,p e p p 4) Coclure. p e k. k= p k= ( k ).

35 . Exercices d approfodissemet 7 ) Les iégalités () et () résultet de l étude des foctios x l( x) +x et x x l( x)+, sur l itervalle [, [. x ) Soit N. O a u = p {,..., }, o obtiet l ( doc l p ) p, d où k= ( ) k = ) ( p p= p ( p ) e p.aisi ( p ). Or, pour tout d après l iégalité (), et Duod La photocopie o autorisée est u délit u e p = e e e e. p= 3) Soit N et soit p u etier tel que ( p. D après l iégalité (), o a pour tout k {,...,p}, l k ) k k = k k. k Or, k = k + k k k + p (, d où l k ) k p k k p p ( et doc k ) p ( e k e p p. D où k ) p e p p e k. 4) O déduit des questios ) et 3) que pour tout N et tout etier p p e p p e k u e e k= O choisit p e foctio de tel que k= lim p() = + et lim + k= + ( ) p () p() = (par exemple, p() = E( 3 )). L iégalité ( ) motre alors que la suite (u ) e coverge et a pour limite e. Remarque O peut aussi démotrer ce joli résultat e utilisat le théorème de covergece domiée, voir otre livre d Aalyse de deuxième aée PC-PSI, exercice 9.9. Exercice. Cetrale MP 5 K Soiet les suites réelles (x ) N,(y ) N et (z ) N défiies par la doée de x, y, z et les relatios de récurrece N, x + = y z, y + = z x, z + = x y.

36 8 Chap.. Suites Numériques ) Calculer à l aide de Maple les premières valeurs de ces suites pour (x, y, z ) = (, 36 ),. Calculer les premières valeurs de ces suites avec ue précisio de 3 lorsque (x, y, z ) = (, p, ). ) Motrer que les trois suites coverget, l ue vers et les deux autres vers des limites égales. ) Pour (x, y, z ) = x:=;y:=3/6;z:=; for i from to do b:=abs(z-x):c:=abs(y-x): x:=a:y:=b:z:=c: prit(a,b,c); od: (, 3 ) 6,, o peut utiliser la procédure Maple suivate : x 3/6 3/6 3/6 3/6 3/6 3/6 /6 /6 /6 /6 y 3/6 5/8 5/8 /4 /4 /8 /8 z 3/6 3/6 7/6 7/6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Pour (x, y, z ) = (, p, ), o adapte la procédure Maple précédete : x:=;y:=pi;z:=sqrt(); for i from to do b:=abs(z-x):c:=abs(y-x): x:=a:y:=b:z:=c: prit(evalf(a,5),evalf(b,5),evalf(c,5)); od: Remarque Le secod argumet de la commade evalf précise le ombre de chiffres du résultat demadé et o le ombre de chiffres après la virgule. Voici les derières valeurs obteues x, 436, 436, 376, 376 y, 465, 46, 46, 346 z, 3, 3, 3, 3 E prologeat les calculs avec Maple, e essayat d autres valeurs iitiales, o costate que l ue des suites semble coverger vers, tadis que les deux autres semblet coverger vers la même limite (évetuellemet ulle).

37 . Exercices d approfodissemet 9 ) O remarque tout d abord que les trois suites jouet des rôles symétriques ce qui réduit les calculs. De plus, ces trois suites sot à termes positifs à partir du rag et doc il suffit de motrer qu elles sot décroissates. x + x = y z y z = z x x y y z. Or, pour tout (x, y) R, x y x y doc x + x = x z x y y z x z (x y ) y z y z y z =. Décroissate et miorée par, la suite (x ) est doc covergete, appelos l sa limite. O motre de la même faço que les suites (y ) et (z ) coverget et l o ote l et l 3 leurs limites respectives. D après les propriétés des suites covergetes, les trois réels l, l et l 3 vérifiet l = l l 3, l = l 3 l et l 3 = l l. E otat a, b, g les trois réels l, l et l 3 ragés das l ordre croissat, o a doc d où a = etb = g. a b g et g = b + a = b a, Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice. Cetrale MP 5 K Soit (a ) ue suite de ombres réels das ], + [. ) Motrer que lim (a l( + a )) = lim a =. + + a ( ) Motrer que lim = e a + a ). + + ) La foctio f : x f (x) = x l( + x) est dérivable sur ], + [ et f (x) = x est du sige de x. Aisi, f est strictemet croissate sur [, + [ +x et f ([, + [) = [ f (), lim f (x)[= [, + [. De même, f est strictemet x + décroissate sur ], ] et f (], ])= [ f (), lim f (x)[= [, + [. x L applicatio f (rep. f ), défiie sur [, + [ (resp. ], ])par f (x) = f (x) (resp. f (x) = f (x)), est ue bijectio cotiue de [, + [ (resp. ], ]) sur [, + [. Si a [, + [, o a alors a = f ( f (a )). Et si a [, [, o a cette fois a = f ( f (a )). Aisi, das tous les deux cas a f ( f (a )) + f ( f (a )).

38 Chap.. Suites Numériques Comme f et f sot cotiues sur [, + [ et s aulet e, o e déduit que si la suite ( f (a )) coverge vers, alors la suite ( f ( f (a )) + f ( f (a )) ) coverge vers. Il résulte alors du théorème d ecadremet que la suite (a )coverge vers. ( ) Remarquos tout d abord que la relatio e a + a ) équivaut à + ( lim + ea + a ) = ou ecore à lim + ea l(+ a ) = et fialemet à ( ( lim a l + a )) =. + ( Si e a + a ), ( a ( alors lim + + l + a )) =. Il résulte alors de la première questio que lim (a /) =. Aisi, e utilisat u développemet + ( limité, o obtiet lorsque +, l + a ) = a ( ) a a + o et doc ( a l + a ) ( ) = a a + o a. Il e résulte que + lim + a /() = et doc que lim a / =. + Supposos maiteat que lim a / =. O e déduit que lim a / =, et + + ( doc a l + a ) ( ) = a a + o a. Par ailleurs, + lim a / = + etraîe que lim + a / =, car la foctio x x est cotiue. Aisi ( lim a l ( + a ) ) ( =. D où e a + a ). + + Exercice. Polytechique MP 5 KK Soit (u, u ) ], + [. Etudier la suite (u ) défiie par la relatio de récurrece : N, u + = u + + u. Idicatio de la rédactio : motrer que la suite (u ) est miorée par u ombre réel strictemet positif et majorer u 4 par v où lim v = ). + Si u et u sot uls, alors u = pour tout. O se placera doc das le cas où l u de ces deux réels est pas ul. Si la suite (u ) coverge, alors sa limite l est solutio de l équatio l = l et doc l e peut valoir que ou 4. Motros que la suite (u ) est miorée par u ombre réel strictemet positif. Posos K = mi(, u + u ). Aisi K ], ] et K K. Motros, par récurrece la propriété P :, u K.

39 . Exercices d approfodissemet Par défiitio de K,oa u = u + u K, doc P est vraie. Soit. Supposos que u K et motros que u + K. Puisque la foctio x x est croissate, o a u K, d où et l iégalité est vraie au rag +. u + = u + u u K K, Le pricipe de récurrece etraîe que pour tout, u K. Il résulte d après ce qui précède que la suite (u ) e peut pas tedre vers. Motros que la suite ( u 4 ) est majorée par ue suite qui coverge vers. Soit N.Oa u + 4 = ( u + ) + ( u ) = u + 4 u+ + + u 4 u +, Duod La photocopie o autorisée est u délit d où l o tire u + 4 K + ( u u 4 ). Si ue suite (v ) vérifiat la relatio de récurrece v + = K + (v + + v )est telle que, pour = et = 3, o ait u 4 v, alors, ue récurrece immédiate, motre que cette iégalité est vraie pour tout. E effet, si la propriété est vraie aux ordres et +, o aura u + 4 K + ( u u 4 ) K + (v + + v ) v +, et elle sera ecore vraie à l ordre +. Le polyôme caractéristique P(X) = (K +)X X a pour racie positive a = + ( 9+4K u 4. Aisi, e posat M = max (K +) a, u ) 3 4 a 3 et e preat v = Ma, o a pour tout, u 4 Ma. Il reste à vérifier que a <. O peut le faire directemet ou e remarquat que P() = K > et il e résulte que est à l extérieur des racies du triôme P, doc < a <. Coclusio : la suite ( u 4 ) ted vers, ce qui motre que L exercice suivat est assez astucieux Exercice.3 Mies - Pots MP 5 KK Soit (u, u ) R. Etudier la suite (u ) défiie par la relatio N u + = u + u. lim u = 4. +

40 Chap.. Suites Numériques Bie que la relatio ( ) ressemble à celle défiissat les suites récurretes liéaires, le comportemet des suites vérifiat ( ) est très différet. E fait, sauf das le cas particulier évidet où u = u =, pour lequel o obtiet la suite ulle qui coverge doc vers, les suites obteues sot périodiques de période 9. Remarquos que si ue suite (u )vérifie( ), alors, pour tout l >, la suite (lu ) vérifie égalemet ( ). O peut doc se coteter d étudier les cas où u pred ue des valeurs,ou.opose u = a. O peut alors former le tableau suivat : a u u u u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u a a a a a a 3 a a a a a a a 3 a a a a / a a a a a 3a a a a a a / a a a 3a a a a a a a a a a a a a a + a a a a a a a a + a a a a + a a a a a a a a a + a a a a a a a a + a + a a +a a + a a > a a a a a a a a a > a a a a a a a a Pour toutes ces suites, o a u = u 9 et u = u, et o e déduit par récurrece que pour tout N o a u +9 = u doc toutes les suites précédetes sot de période 9 et aucue e coverge. Autre démostratio L idée aturelle est de commecer par regarder u cas particulier pour voir commet la suite peut se comporter. Partos par exemple du cas où les deux premiers termes sot égatifs. Posos u = a et u = b avec a et b das R +. O a alors la suite destermes: u = a ; u = b ; u = a + b ; u 3 = a +b ; u 4 = b ; u 5 = a b ; u 6 = a ; u 7 = a + b ; u 8 = a + b ; u 9 = a ; u = b. Ceci motre que u = u 9 et u = u. O e déduit par récurrece que pour tout N o a u +9 = u doc la suite est de période 9. O peut alors remarquer que si l o pred pour u et u deux des termes cosécutifs de la suite précédete (il y a doc 9 possibilités de le faire), la suite obteue sera elle aussi périodique de période 9. Il e reste plus qu à s assurer que l o obtiet alors tous les cas possibles : 3 u = a u = b u = a + b u = b u = a + b u = a +b u ; u u u u u u

41 . Exercices d approfodissemet u = a +b u = b u = a b u = b u = a b u = a u u / u u u u u = a u = a + b u = a + b u = a + b u = a + b u = a u u u / u u u u

42 Foctios réelles d ue variable réelle Les foctios à valeurs réelles ou complexes d ue variable réelle ot déjà été étudiées das le livre de première aée. L objectif est ici d e cosolider les acquis, ce chapitre faisat l objet de ombreuses questios aux cocours. Les exercices sélectioés ici ot été ordoés selo leur difficulté et leur esemble costitue u excellet moye de préparatio pour l élève désireux d aborder sereiemet l etrée e deuxième aée et u excellet support de révisio pour les lecteurs au momet de la préparatio aux épreuves orales.. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice. CCP PC 6 x e x Soit (x, y, z) R 3 tel que x < y < z. Motrer D = y e y z e z >. Questio de la rédactio : Motrer que le résultat ci-dessus reste vrai lorsqu o remplace la foctio expoetielle par toute foctio f : R R strictemet covexe. Notos L, L et L 3 les trois liges du détermiat. E remplaçat L 3 par L 3 L puis L par L L, o obtiet x e x D = y x e y e x z y e z e y = (y x)(ez e y ) (z y)(e y e x ). Puisque la foctio expoetielle est dérivable sur R, il existe, d après le théorème des accroissemets fiis, c ] x, y [ tel que e y e x = (y x)e c et d ] y, z [tel que e z e y = (z y)e d. Il e résulte, puisque c < y < d, que D = (y x)(z y)(e d e c ) >. Puisque y ] x, z [, il existe l ], [ tel que y = lx +( l)z. E remplaçat L par L (ll +( l)l 3 ), o obtiet x f(x) D = f (y) (l f (x)+( l) f (z)) = (z x)(l f (x)+( l) f (z) f (y)). z f(z)

43 . Exercices d etraîemet 5 Il e résulte, e vertu de la covexité stricte de f, que D >. Exercice. Sait-Cyr MP 6, CCP PC 5 Soit I u itervalle o vide et soit f : I R. O pose A = {x I f f (x) = x} et B = {x I f (x) = x}. ) Motrer que si f est strictemet croissate sur I, alors A = B. ) Questio de la rédactio : motrer, par u exemple, que le résultat de ) est faux lorsque f est strictemet décroissate sur I. 3) Détermier le ombre de solutios de l équatio exp(ae ax ) = x,oùa >. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Sas hypothèse sur f,six est das B, alors f f (x) = f ( f (x)) = f (x) = x et x est das A. Doc B A. Si x est pas das B, alors f (x) x. Oubie f (x) < x et comme f est strictemet croissate, o a f ( f (x)) < f (x) d où f f (x) < x. Ou bie f (x) > x et comme f est strictemet croissate, o a f ( f (x)) > f (x) d où f f (x) > x. Das les deux cas f f (x) x. Il e résulte que x est pas das A. Doc I \ B I \ A et alors A B. D où A = B. ) Soit f la foctio défiie sur I = [, ] par f (x) = x. Das ce cas, A = [, ] et B = {/}. 3) Pour x R posos f (x) = e ax. La foctio f est strictemet croissate lorsque a > et les esembles A et B sot égaux. Comme f (x) >, ils sot iclus das R +. Pour x, posos g(x) = f (x) x et étudios les variatios de g. Oa g (x) = f (x) = ae ax. Lorsque a, o a g (x) etg est croissate. So miimum est atteit e et vaut g() =. Doc g e s aule pas et A = B =. Lorsque < a <, la foctio g s aule e x = l a, et le miimum de g est a atteit e ce poit. Il vaut m = +la. a La foctio g décroît de à m lorsque x variedeàx et croît de m à+ lorsque x varie de x à+. Doc lorsque m > c est-à-dire pour a ]/e, [, la foctio g e s aule pas et de ouveau A = B =, lorsque m < c est-à-dire pour a ], /e [, la foctio g s aule ue fois et ue seule das chacu des itervalles ], m [et]m, + [, et doc les esembles A et B cotieet deux élémets. lorsque m =, c est-à-dire pour a = /e, la foctio g est ulle e e uiquemet et A = B = {e}.

44 6 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle Exercice.3 Cetrale PC 5 Ue applicatio de R das R est cotractate si elle est l lipschitziee avec l <. ) Soit f ue applicatio cotractate de R das R. Motrer que f admet u uique poit fixe a, qui est la limite de la suite (u ) défiie par u R et, N, u + = f (u ). ) Ue applicatio lipschitziee admet-elle u poit fixe? 3) Soit f ue foctio dérivable de R das R. Doer ue coditio écessaire et suffisate sur f pour que f soit cotractate sur R. 4) Soit (u ) défiie par u R et N, u + = 3u + +u. Motrer que (u ) coverge vers u réel l. ) Soit g = f Id R. La foctio f est cotiue sur R doc g égalemet. Motrer que f admet u poit fixe reviet à motrer que g s aule. Existece du poit fixe.soita R. Pour tout réel x,oa f (x) f (a) l x a doc f (a) l x a f (x) f (a)+l x a. Pour tout x > a, oag(x) f (a) la ( l)x. Comme l >, o e déduit que lim x + ( f (a) la ( l)x) = et doc lim x + g(x) =. Par ailleurs, pour tout x < a, oag(x) f (a) la ( l)x, et o e déduit que ( f (a) la ( l)x) = + et doc lim g(x) = +. Il résulte alors lim x x du théorème des valeurs itermédiaires que g s aule au mois ue fois das R.La foctio f admet bie u poit fixe. Uicité du poit fixe.sia et a sot deux poits fixes de f, alors a a = f (a ) f (a ) l a a. Or, l <, doc ceci est possible que si a a =. Le poit fixe est alors uique. Remarque O aurait pu motrer que l applicatio g est ue bijectio de R sur R e motrat que g est strictemet décroissate. Covergece de la suite (u ) vers le poit fixe Puisque f (a) = a, o a alors pour tout N l iégalité f (u ) f (a) l u a, c est-à-dire u + a l u a, et l o e déduit par récurrece que

45 . Exercices d etraîemet 7 u a l u a. Comme la suite (l ) coverge vers, il résulte du théorème d ecadremet que la suite (u )covergeversa. Remarque Les résultats ci-dessus restet vrais si l o remplace R par u itervalle fermé I tel que f (I ) I. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) L exemple de l applicatio x x + qui est lipschitziee motre qu ue telle applicatio peut e pas avoir de poit fixe. 3) Si f est l lipschitziee sur R, o a alors, pour tout (x, h) R R, l iégalité f (x + h) f (x) h l. Lorsque f est dérivable, f (x) = lim f (x + h) f (x) h h l. O e déduit que f est borée sur R et que sup f (t) l <. t R Réciproquemet, supposos f dérivable telle que sup t R f (t) <. Soiet x et y réels. Il résulte de l iégalité des accroissemets fiis que f (x) f (y) x y sup t R La foctio f est doc lipschitziee de rapport l = sup t R la foctio f est cotractate. f (t). f (t), et puisque l <, Coclusio : lorsque f est dérivable sur R, elle est cotractate si et seulemet si la foctio f est borée avec sup f (t) <. t R Mise e garde : il existe des foctios dérivables sur R telles que pour tout t R, f (t) < mais sup t R f (t) =. Bie etedu, f est pas cotractate das ce cas. Pour u exemple, preez la foctio défiie sur R par f (t) = t +. 4) La foctio f : x f (x) = 3x + x + est dérivable sur R et f (x) = x (x +). Comme f est dérivable, o étudie ses variatios e calculat f (x) = 3x (x +) 3. Sur [, + [, la foctio f est positive et atteit so maximum pour / 3. Alors, puisque f est impaire, o a sup f (t) = f (/ 3) = 3 3 <. La foctio f est t R 8 doc cotractate. Elle admet u uique poit fixe l et la suite (u )covergeversl. Remarque E utilisat u logiciel de calcul formel, par exemple avec Maple f:=x->(3*x^+)/(+x^);x:=.; for i from to do x:=f(x) od;

46 8 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle O obtiet comme valeur approchée de l le ombre, O remarquera que la costate de cotractio état «petite» (proche de,65), la covergece vers l est très rapide. Exercice.4 Cetrale MP 7 ) Motrer que l applicatio c : x [, e ] sur [, e ]. ) Calculer if{x R +, (x +) x x x+ }. ( + x ) x est ue cotractio ) Etudios les variatios de c sur I = [, + [. La foctio c est ( dérivable sur I, et l o a c (x) = c(x)g(x), où l o a posé g(x) = l + ). La foctio g est dérivable sur I et l o a x x + g (x) =. Doc g est décroissate sur I. Comme x(x +) lim g(x) = oa, x + sur I, l ecadremet g(x) g() = l /. Doc c (x) > et la foctio c est croissate. De plus c(x) = e. Il e résulte que, si x I,oac(x) e, lim x + et doc < c (x) e(l /), 5 <. De plus c() = et o e déduit que c([, e ]) [, e ], et que sup c (x) <. x [, e ] Doc la foctio c est cotractate sur [, e ]. O remarque égalemet que sur I, la foctio x c(x) x a ue dérivée égative. Elle est doc strictemet décroissate sur I. ) Soit E = {x R +, (x+) x x x+ }. O a égalemet E = {x R +, c(x) x }. Lorsque x ], [, o a (x +) x > > x x+ et x appartiet pas à E. SurI la foctio x c(x) x est strictemet décroissate et varie de à. Comme elle est cotiue elle s aule e u poit l et u seul. Il e résulte que if E = l et l est l uique poit fixe de c. Il résulte des résultats de l exercice précédet, que, quel que soit le poit x [, e ], la suite défiie par la relatio de récurrece x + = c(x ) coverge vers cet uique poit fixe l. U calcul effectué avec Maple doe, 9366 comme valeur approchée de l. Exercice.5 CCP PC 6, Mies-Pots MP 6 Soit f la foctio défiie sur R par f (x) = ex x ) Motrer que f est dérivable e. si x et f () =.

47 . Exercices d etraîemet 9 ) Motrer que f ue bijectio de R sur R. 3) E admettat que f est de classe C au voisiage de, détermier les ciq premiers termes du développemet limité de f au voisiage de. ) Motros que f est dérivable e. E effet, pour tout x R o a f (x) f () = ex x x. Comme ex f (x) f () x, o a alors lim =. x x x Doc, f est dérivable e et f () =. ) La foctio f est dérivable sur R et o a f (x) = (x )e x +.La foctio f est du même sige sur R que la foctio u défiie sur R par u(x) = (x )e x +. Cette foctio u est dérivable et l o a u (x) = x(x +)e x. O e déduit que u (x) est du sige de x. Alors u est strictemet décroissate sur ], ] et strictemet croissate sur [, + [ et puisque u() =, o e déduit que u, et doc égalemet f, sot strictemet positives sur R. E outre f () >. O e coclut que f est strictemet croissate sur R. Coclusio : la foctio f est ue applicatio bijective de R sur l itervalle ] lim x 3) f (x), lim x + f (x)[= R. x Duod La photocopie o autorisée est u délit Remarque O peut motrer que f est ue foctio C sur R e utilisat les séries etières. Comme f est de classe C au voisiage de et que f (), alors f est de classe C au voisiage de f () =, doc admet des développemets limités de tous ordres. Par ailleurs, la foctio f est impaire, doc f est égalemet impaire. La foctio f admet doc u développemet limité au voisiage de de la forme f (x) = ax + bx 3 + cx 5 + o(x 5 ). O a facilemet le développemet limité de f à l ordre 5. E effet, puisque e x = +x + x + x o(x 3 ), o obtiet e x = +x + x 4 + x o(x 6 ), d où f (x) = x + x 3 + x o(x 5 ). E effectuat le développemet limité de f f à l ordre 5 au voisiage de, o obtiet ( f f )(x) = af(x)+bf(x) 3 + cf(x) 5 + o(x 5 ). Par ailleurs ( f (x)) 3 = x 3 + 3x 5 + o(x 5 ), et ( f (x)) 5 = x 5 + o(x 5 ).

48 3 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle D où ( a ) ( a ( f f )(x) = ax + + b x b ) + c x 5 + o(x 5 ). D autre part, pour tout x réel, f f (x) = x. Aisi, par uicité du développemet limité, o obtiet le système a =, a + b = a 6 + 3b et c = 7/. O a fialemet f (x) = x x 3 + 7x 5 + o(x 5 ). + c = d où l o tire b = / Exercice.6 CCP MP 5 ( ) Soit u etier etsoit f la foctio défiie sur R par f (x) = x si si x et f () =. x ) Motrer que f est dérivable e. ) La foctio f admet-elle u développemet limité e? Si oui à quel ordre? ) La foctio x si(/x) est dérivable sur R comme composée de foctios dérivables, et doc f est dérivable sur R comme produit de foctios dérivables. f (x) f () Par ailleurs, = x si. Puisque, la foctio x x x x a ue limite ulle e, et puisque x si(/x) est borée, il e résulte que f (x) f () lim =. La foctio f est doc dérivable e et f () =. x x ) D après ce qui précède, lim x x si x =, et, e écrivat, pour tout x o ul, f (x) = x x si x o e déduit que f (x) = o(x ). Doc f admet u développemet limité e d ordre. Supposos que f possède u développemet d ordre e. O aurait alors f (x) = a x + o(x f (x) ), et doc a = lim x x = lim si. Mais x si(/x) a x x pas de limite e, d où ue cotradictio. L ordre est doc maximal. Exercice.7 Mies - Pots MP 6 l( + x) Soit f :], + [ R, doée par f (x) =. +x ) Trouver le plus grad itervalle ouvert I coteat sur lequel f est u C difféomorphisme. ) O ote g l applicatio réciproque de f I. Motrer que les coefficiets du développemet limité de g e à u ordre quelcoque sot positifs.

49 . Exercices d etraîemet 3 ) La foctio f est de classe C sur ], + [ et l o a, pour tout x de cet itervalle, f l( + x) (x) = ( + x). Cette foctio s aule si et seulemet si x = e. Elle est positive sur ], e [ etégativesur ]e, + [. Doc f est strictemet croissate sur ], e [ et c est le plus grad itervalle coteat sur lequel elle est strictemet mootoe. O a f (], e [) =] lim f (x), f (e )[= ], /e [. Doc l appli- x catio réciproque g est défiie sur ], /e [. Comme f e s aule pas sur ], e [, la foctio g est de classe C sur ], /e [. De plus, g() = car f () =. l( + x) l( + g(y)) ) Soit x I,oay = si et seulemet si x = g(y). D où y = +x +g(y) et doc + g(y) = e y(+g(y)) = e y e yg(y). Par ailleurs g état de classe C, elle admet u développemet limité à tout ordre au voisiage de sous la forme a k y k + o(y )aveca = g () = / f () =. k= Soit N. Supposos a k pour tout k {,..., } et motros que a. Sachat que yg(y) = a k y k+ + o(y + ), les coefficiets du développemet limité k= à l ordre de la foctio y e yg(y) sot positifs par composée des développemets limités. E outre, les coefficiets du développemet limité de y e y sot aussi positifs. Doc ceux de y +g(y) le sot aussi ; e particulier a. O coclut par récurrece que pour tout N, a. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.8 Mies - Pots MP 6 Soit f : R + R uiformémet cotiue. Motrer qu il existe (a, b) [, + [ tel que f (x) ax + b pour tout x. Il existe h > tel que, (x, y) [, + [ et x y h impliquet l iégalité f (x) f (y). Soit t das [, + [etsoit la partie etière de t/h. O a doc h t < h + h, ou ecore t h h, et par suite f (t) f (h). Par ailleurs, comme (p +)h ph h, o aura aussi f ((p +)h) f (ph). O e déduit f (t) f (t) f (h) + f (h) f (t) f (h) + f (ph) f ((p )h) + f () ++ f (). p=

50 3 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle Mais t/h, doc f (t) t ++ f (). O obtiet bie le résultat voulu, avec h a = /h, et b = + f (). Exercice.9 Mies - Pots MP 6 Soit f : R R dérivable. ) Motrer que si f est borée sur R, alors f est uiformémet cotiue sur R. ) Motrer que si f (x) + quad x +, alors f est pas uiformémet cotiue sur R. ) Si f est pas la foctio ulle, otos M = sup f (t). Il résulte de l iégalité t R des accroissemets fiis que pour tout (x, y) R, f (x) f (y) M x y. Doc si x y /M,oa f (x) f (y) et f est uiformémet cotiue sur R. ) Soit a > etsoit N. E vertu du théorème des accroissemets fiis, il existe c [, + a ] tel que f ( + a) f () = a f (c ). Comme c, la suite (c ) > admet + pour limite. Alors, puisque f (x) ted vers + e +, la suite ( f (c ) ) > admet + pour limite. E particulier, il existe tel que f ( + a) f ( ). O pose x = + a et y =. O a motré que pour tout a >, il existe x et y das R + tels que x y a et f (x ) f (y ) > /. La foctio f est doc pas uiformémet cotiue sur R. Remarque O peut motrer que la réciproque est fausse, e cosidérat par exemple la foctio défiie sur R par x si(x 3 ) et prologée e par. x Exercice. Polytechique MP 6 Soit f : R + R dérivable à dérivée borée telle que f () + quad +. Motrer que f (x) + quad x +. Nous avos à motrer : pour tout A >, il existe B > tel que si x [ B, + [, alors f (x) > A. Puisque f est borée, M = sup f (x) existe. x R Soit A >. Puisque f () A + M. lim + f () = +, ilexisten > tel que N implique

51 . Exercices d etraîemet 33 Soit x N, oae(x) N et doc f (E(x)) A + M. Par ailleurs, Il résulte de l iégalité des accroissemets fiis que, pour tout réel x, f (x) f (E(x)) M(x E(x)) M, et doc f (x) f (E(x)) M. Aisi pour tout x N,oa f (x) = f (E(x)) + f (x) f (E(x)) A + M M = A. Exercice. Polytechique MP 7 Soit f :], ] R dérivable. O suppose que f (x) l et xf (x) l quad x. Que dire de l? Prologeos f e e posat f () = l. La foctio f est alors cotiue sur [, ] et dérivable sur ], [. O peut doc appliquer le théorème des accroissemets fiis. Aisi, pour tout das N,ilexistec das ], / [ tel que f (/) f () = f (c ). O e déduit que c f (c ) = c ( f (/) f ()). / Comme c appartiet à ], / [, o a c et par coséquet c f (c ) f (/) f (). Comme, la suite (c ) coverge vers, o a lim c f (c ) = l et, e passat à la limite das l iégalité précédete, o e déduit que l =. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice. Polytechique MP 7 Soit f : [, + [ [, + [ deux fois dérivable, majorée et telle que f a f où a > doé. ) Motrer que f. ) Motrer que f (x) admet pour limite lorsque x ted vers +. 3) Motrer que f (x) admet pour limite lorsque x ted vers +. 4) Déduire de ce qui précède que x, a f (x) f (x). 5) Motrer que x, f (x) f () exp( ax). Idicatio de la rédactio : itroduire la foctio g : x g(x) = f (x)e ax. ) Par hypothèse f a f, la foctio f est doc croissate sur [, + [. Motros que f. Raisoos par l absurde et supposos qu il existe a R + tel que f (a) >. O a alors, e vertu du théorème des accroissemets fiis et de la croissace de f : x [ a, + [ f (x) f (a)(x a) + f (a). D où lim x + f (x) = +, ce qui est e cotradictio avec le fait que f soit majorée. ) Puisque f est égative, f est alors décroissate et admet doc ue limite e +. De plus, f est miorée par, elle admet doc ue limite positive qu o otera l. Motros que l =. Raisoos par l absurde et supposos l>. O aura alors :

52 34 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle x R +, f (x) a f (x) a l. Das ce cas, la foctio x f (x) a lx, sera croissate et o aura x R +, f (x) a lx f (). Il e résultera alors que lim f (x) = +. Ce qui cotredit f. D où lim f (x) =. x + x + 3) Comme f est croissate, elle admet ue limite qu o otera l e +. E outre f, doc l. Raisoos par l absurde et supposos que l <. Comme f est croissate sur [, + [, o a pour tout réel t, f (t) l et doc pour tout réel x, f (x) l x + f (). Il e résulte alors que f (x) =. Ce qui est e cotradictio avec lim f (x) =. x + lim x + 4) Puisque f a f et f, o a doc f f a ff. Il e résulte que l applicatio a f ( f ) est croissate sur [, + [ et o a alors x, (a f (x)) ( f (x)) ( lim (a f (x)) ( f (x)) ) =. x + Comme a f et f, o a alors a f f. 5) L applicatio g : x f (x)exp(ax) est dérivable sur [, + [ de dérivée g : x ( f (x)+a f (x) ) exp(ax). Comme g d après la questio précédete, g est doc décroissate sur [, + [ et o a pour tout x [, + [, g(x) g() = f (). d où f (x) f () exp( ax). Exercice.3 Polytechique MP 6 O se propose de détermier toutes les foctios f apparteat à C (R, R) vérifiat ( ) (x, y) R, f (x + y)+ f (x y) = f (x) f (y). ) Soit f vérifiat ( ). Motrer que si f (), alors f () = et f est paire. ) Soit f vérifiat ( ) et de classe C. Motrer que pour tout x R, f (x) = f () f (x). E déduire toutes les foctios de classe C vérifiat ( ). 3) Motrer que toute foctio cotiue sur R vérifiat ( ) est de classe C sur R. Coclure. ) E appliquat la formule ( ) avecx = y =, o obtiet f () = f (). Doc si f (), o a f () =. E appliquat la formule ( ) avecx =, o obtiet f (y) + f ( y) = f () f (y). Puisque f () =, o e déduit que f ( y) = f (y). La foctio f est doc paire. ) Etudios tout d abord le cas où f () =. E appliquat la formule ( ) avec y =, o obtiet f (x) = et la foctio f est la foctio costate ulle. Supposos désormais que f () est o ul. O a doc f () =. E dérivat la relatio ( ) deux fois par rapport à la variable x, o obtiet f (x + y)+ f (x y) = f (x) f (y), puis e dérivat deux fois la relatio ( ) par rapport à la variable y, o obtiet cette fois, f (x + y)+ f (x y) = f (x) f (y). O e déduit que, quels que soiet x et y réels, o a f (x) f (y) = f (x) f (y), et e particulier, e preat y =, o a, pour tout x réel, f (x) = f () f (x).

53 . Exercices d approfodissemet 35 Si l o pose a = f (), la foctio f est la solutio paire de l équatio différetielle y = ay, qui vaut e (o a doc y () = ). si a = v >, o a alors f (x) = ch(vx), Cette solutio est coue : si a = v <, o a alors f (x) = cos(vx), si a =, o a alors f (x) =. O vérifie que les solutios obteues satisfot bie ( ). C est bie sûr le cas de la foctio costate ; pour les deux autres foctios, cela résulte de la formule de trigoométrique cos(x + y) +cos(x y) = cosx cos y et de so aalogue hyperbolique ch(x + y)+ch(x y) = chx ch y. 3) Soit f vérifiat ( ). Supposos que f est pas la foctio ulle. Notos F sa primitive ulle e. La foctio F est doc pas la foctio ulle. E itégrat la relatio ( ) pour x fixé, o obtiet y f (x +t) dt+ y f (x t) dt = f (x) y f (t) dt, ce qui peut ecore s écrire, e effectuat des chagemets de variable das les deux premières itégrales x+y x f (t) dt + x x y f (t) dt = f (x) y f (t) dt, et fialemet F(x + y) F(x y) = f (x)f(y). Choisissos y tel que F(y) e soit pas ul, F(x + y) F(x y) alors f (x) =, et puisque F est de classe C, il e résulte que F(y) f est de classe C. Alors F est de classe C, doc f égalemet. Il y a doc pas d autres solutios de ( ) que celles trouvées das ).. EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.4 Polytechique MP 6 KK O se propose de détermier toutes les foctios cotiues f de [, ] das [, ] telles que, pour tout x [, ], x f (x) [, ] et f (x f (x)) = x. ) Soit f ue solutio. Motrer que f est bijective sur [, ] et a pour foctio réciproque la foctio g, défiie pour tout x [, ],parg(x) = x f (x). ) Coclure. ) Soit f ue solutio. La foctio g est ue applicatio de [, ] das lui-même, et l o a f g = Id [, ]. Il e résulte que f est surjective et g est ijective. Pour tout x [, ] oax f (x) et f (x), doc o obtiet l ecadremet f (x) x. E faisat tedre x vers, o e déduit que f () = et aussi g() =. Pour tout x [, ] o a x f (x) et f (x), doc o obtiet l ecadremet x f (x). E faisat tedre x vers, o e déduit que f () = et

54 36 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle aussi g() =. Comme g est cotiue, il e résulte qu elle est surjective. Doc g est bijective. Alors f est aussi bijective et f = g. O e déduit que, pour tout x [, ],oa ( f (x)+ f (x)) = x. Soit C (resp. C ) la courbe représetative de f (resp. de f ). Si (x, y) = (x, f (x)) est u poit de C, alors (x, x y) = (x, g(x)) est u poit de C. Par ailleurs les courbes C et C sot symétriques par rapport à la première bissectrice, doc (x y, x) est u poit de C. L applicatio F défiie par F(x, y) = (x y, x) est ( doc ue ) applicatio de C das C. C est ue applicatio liéaire de matrice A =. E remarquat que (A I ) =, o a ( ) A = (I +(A I )) + = I + (A I ) =, et l o e déduit que pour tout N o a F (x, y) = (( + )x y, x +( )y) = (x + (x y), y + (x y)), et ce poit appartiet à C. Mais la suite (x + (x y)) est borée si et seulemet si x = y. O a doc écessairemet f (x) = x. La seule foctio possible est doc Id [, ] et elle coviet de maière évidete. Exercice.5 Mies - Pots MP 6 K Soit (a, b) R tel que a / {, }. Pour tout x R, o pose h(x) = ax + b. O ote S l esemble des foctios dérivables f : R R telles que f f = h. ) Motrer que S = si a <. Rappel de la rédactio : Si ue foctio réelle est cotiue et ijective sur u itervalle I, alors elle est strictemet mootoe sur I. Voir exercice 3.7 page 64 das otre livre d Aalyse de première aée. Désormais o suppose a > (et a ). ) Motrer que h est ue homothétie ; préciser so cetre et so rapport. 3) Soit f S. Motrer que h f h = f. E déduire ue expressio de f. Idicatio de l examiateur : o commecera par le cas < a <. ) Soit f S, motros tout d abord que f est ue bijectio de R sur R. Soit (x, x ) R tel que f (x ) = f (x ). Alors f f (x ) = f f (x ), et doc ax + b = ax + b, d où l o ( déduit ( x )) = x. Doc f est ijective. y b Pour tout y R,oa f f = y, doc f est surjective. a E outre, f est cotiue et strictemet mootoe, et f f est croissate. Mais l applicatio x ax + b est décroissate si a <. Doc si a < l esemble S est vide.

55 . Exercices d approfodissemet 37 ) O cherche a tel que h(x) a = a(x a). O e tire h(x) = ax + a( a) etil suffit de predre a = b/( a). Doc h est ue homothétie de cetre a = b/( a) et de rapport a. 3) Comme f f = h, o a aussi h = f f, doc h f h = f f f f f = f. Duod La photocopie o autorisée est u délit O e déduit que h f = f h, et par récurrece, o obtiet pour tout N, la relatio h f = f h. La foctio h est ue homothétie de cetre a et de rapport a, doc h (x) a = a (x a), d où h (x) = a x + b a. E particulier a h (x) = a si et seulemet si x = a. Supposos tout d abord que < a <. Pour tout x réel, la suite (h (x)) coverge vers a. Alors, e faisat tedre vers l ifii das la relatio h ( f (x)) = f (h (x)), o obtiet, compte-teu de la cotiuité de f, la relatio a = f (a). f (h (x)) f (a) Si x a, o a alors h = h ( f (x)) a (x) a h (x) a. Mais e simplifiat le membre de droite, o costate qu il e déped plus de et o f (h (x)) f (a) obtiet h = f (x) a (x) a x a. Lorsque ted vers l ifii, (h (x)) coverge vers a et le membre de gauche ted vers f (a). O obtiet doc, pour tout x a la relatio f (x) a x a = f (a), d où l o déduit f (x) = f (a)(x a)+a. Les élémets de S sot doc des homothéties de cetre a. Sil est le rapport d ue de ces homothéties, celui de f f vaut l,et doc l = a. Coclusio : S = {x a(x a)+a = ±}. Si maiteat a >, alors f h = h f avec h (x) = x a b a. Puisque /a <, o peut appliquer le cas précédet e remplaçat a et b respectivemet par /a et b/a. Le cetre de l homothétie h état le même que celui de h, o obtiet que f est ue des homothéties de cetre a et de rapport / a,avec = ±. Doc o retrouve les mêmes foctios f que das le cas précédet. Remarque : o se sert uiquemet du fait que f est dérivable au poit b/( a). Exercice.6 Cetrale MP 6 O pose, pour x R, f (x) = sup xt si t. t p/ Motrer que f est bie défiie, cotiue et admet u miimum sur R. Vérifier sas calcul umérique que f (/p) < f ().

56 38 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle Soiet x u réel, et g x la foctio défiie sur R par g x (t) = xt si t. Comme la foctio g x est cotiue sur le ségmet [, p/ ], elle est borée et il e résulte que xt si t existe. La foctio f est doc bie défiie sur R. sup t p/ Soiet x et y deux ombres réels. Pour tout t [, p/],oag x (t) = g y (t)+(x y)t, et o e déduit les iégalités g x (t) g y (t) + t x y f (y)+ p x y. Le ombre f (y)+ p x y est u majorat de g x(t) lorsque t [, p/ ], doc il majore la bore supérieure de g x, ce qui doe f (x) f (y) + p x y. O obtiet f (x) f (y) p x y, et e permutat les rôles de x et de y, oa égalemet f (y) f (x) p x y, d où fialemet f (x) f (y) p x y. Il e résulte que la foctio f est lipschitziee, doc cotiue, sur R. O a égalemet f (x) g x (p/) = x p p x, et f (x) tedvers + lorsque x ted vers +. O remarque aussi que f () p >. Il existe doc A > tel que x > A implique f (x) > f (). Posos B = max(a, ). La foctio cotiue f atteit so miimum sur [ B, B ] e u poit x, et e particulier, puisque B, oa f (x ) f (). Mais si x > B, o a aussi x > A, et doc f (x) > f () f (x ). Il e résulte que if f (x) = f (x ). x R La foctio sius état cocave sur [, p/ ] sa courbe représetative, sur cet itervalle, est située au-dessus de la droite joigat les poits (, ) et (p/, ). Il e résulte que g /p (t) = si t t/p. Par ailleurs, la courbe est située au-dessous de sa tagete e, doc, si t >, o a si t < t. Alors g /p (t) < t t p = t ( p ) p, et puisque t/p, o e déduit g /p (t) < p = g (p/) f (). Comme g /p atteit so maximum sur [, p/ ] e ue valeur t o ulle, o e déduit que f (/p) = g /p (t ) < f (). Remarque O peut expliciter la foctio f (Voir otre livre d Aalyse de deuxième aée PC-PSI, exercice.5).

57 . Exercices d approfodissemet 39 Exercice.7 Mies - Pots MP 6 K f (x) f (x/) Soit f :], + [ R telle que lim f (x) = et lim =. x x x Trouver u équivalet simple e de f. Duod La photocopie o autorisée est u délit L hypothèse de l éocé sigifie que f (x) f (x/) x + x. E remplaçat x par x/ das l expressio f (x) f (x/) o obtiet f (x/) f (x/4), ce qui doe evie, e réitérat ce processus, de faire apparaître f (x/ k ) f (x/ k+ ). Or la somme de telles expressios se simplifie (procédé télescopique). Il va falloir faire attetio à gérer correctemet le fait que l o voudra faire tedre à la fois k vers + et x vers. O va pour cela reveir à la défiito des équivalets. Soit >. Il existe h > tel que < x h etraîe ( ) x f (x) f (x/) ( + ) x. Si < x h, alors, pour tout k das N o a aussi < x/ k h, et doc x ( x ) ( x ) x k N ( ) k f k f k+ ( + ) k. E sommat ces iégalités, o e déduit que, pour tout das N,oa ( ) ( ( x ) ( x )) x f k k f k+ ( + ) x, k k= k= ce qui doe fialemet, e calculat les différetes sommes, ( ) + ( ) + ( ) x f (x) f (x/ + ) ( + ) x. Comme par hypothèse o a lim f (x) =, e faisat tedre vers +, o obtiet x ( ) x( + ) f (x) ( + ) x( + ). O a doc motré que pour tout >, il existe h > tel que < x h etraîe ( ) x( + ) f (x) ( + ) x( + ). Ceci sigifie exactemet que lim x + f (x) ( + ) x Exercice.8 =. Coclusio : f (x) x + ( + ) x. Mies - Pots MP 6 Motrer, pour tout x ], p/ [, l existece de u x ], [ tel que si x = x x 3 6 cos(xu x). Étudier lim u x. x k=

58 4 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle La formule de Taylor avec reste itégral doe pour la foctio sius si x = x x (x t) cos tdt. D autre part, comme la foctio cosius est cotiue et strictemet décroissate sur ], p/ [, pour x ], p/[ oa cos x x (x t) dt < x x (x t) cos tdt< x (x t) dt, (x t) (x t) et doc le quotiet Q(x) = cos tdt/ dt appartiet à l itervalle ] cos x, [. Il résulte du théorème des valeurs itermédiaires qu il existe c x das ], x [ tel que Q(x) = cos c x Mais alors u x = c x /x appartiet à ], [ et x (x t) l o a si x = x cos(xu x ) dt = x x 3 6 cos(xu x). E utilisat le développemet limité de x si x à l ordre 5 e, o a si x = x x x 5 + o(x 5 ), doc cos(xu x ) = x + o(x ). D autre part, comme x u x est borée, o a lim xu x =, aisi x cos(xu x ) = x u x x + o(x u x) = x u x + o(x ). O e déduit u x = / + o(), et il e résulte que u x ted vers / quad x ted vers. Et, puisque u x >, o e déduit que u x ted vers / quad x ted vers. Exercice.9 Polytechique MP 6 KK Soit f : R R. ) Motrer que f est covexe si et seulemet si pour tout c réel et tout couple (a, b) de réels tels que a < b, la restrictio à [ a, b ]def c Id R présete u maximum e a ou b. ) O suppose f cotiue. Motrer que f est covexe si et seulemet si, pour tous x réel et h réel strictemet positif, f (x) x+h f (t)dt. h Remarquos tout d abord que si f est ue foctio covexe sur R, alors pour tout (a, b) R, la foctio g = f + a Id R +b est aussi covexe sur R. Soit f ue foctio défiie sur R et soit (a, b) R tel que a < b, ous oteros d f (b) f (a) la foctio affie x (x a)+ f (a) qui coïcide avec f e a et b,et b a g = f d. O a doc g(a) = g(b) =. x h

59 . Exercices d approfodissemet 4 ) Supposos que f est covexe. Alors pour tout (a, b) R tel que a < b et tout x [ a, b ],oa f (x) d(x), doc f (x) d(x). Mais comme d max x [ a, b ] est ue foctio affie, doc mootoe, o a l égalité Il e résulte que max x [ a, b ] max x [ a, b ] max d(x) = max( f (a), f (b)). x [ a, b ] f (x) = max( f (a), f (b)). Soit c u ombre réel. Puisque f est covexe, la foctio f c Id R est ecore covexe, et doc le maximum de la restrictio de g c Id R à [a, b ] est atteit e a ou e b d après ce qui précède. Nous allos raisoer par cotraposée. Supposos que f est pas covexe sur R. Il existe (a, b) R et w ] a, b [ tel que le poit (w, f (w)) soit au-dessus de la corde joigat les poits (a, f (a)) et (b, f (b)). Doc avec les otatios itroduites plus haut, la foctio g est telle que g(a) = g(b) = etg(w) >. f (b) f (a) Si l o pose c = o a g = f c Id R +K où K est ue costate. b a Le maximum de la restrictio de g à[a, b ] est atteit i e a, ieb, doc le maximum de la restrictio de f c Id R à[a, b ] est atteit i e a, ieb. Doc, si pour tout c réel et tous a et b réels tels que a < b, la restrictio à [ a, b ]de f c Id R présete u maximum e a ou b, la foctio f est covexe sur R. ) Supposos que f est covexe et cotiue sur R. O a e particulier, pour tout (x, t) R l iégalité f (x) ( f (x+t)+ f (x t)). Fixos x et itégros l iégalité précédete sur l itervalle [ h, h ]oùh ], + [, o obtiet hf(x) ( h f (x+t)+ f (x t)) dt = h( h ) h f (x + t) dt + f (x t) dt. h h Duod La photocopie o autorisée est u délit E faisat le chagemet de variable u = x +t das la première itégrale et u = x t das la secode, o obtiet fialemet hf(x) x+h x h h h f (x +t) dt = h h f (x t) dt = x+h x h f (u) du, ce qui doe le résultat voulu. f (u) du d où Supposos que f est pas covexe sur R. E repreat les otatios de la questio ), la foctio g est doc telle que g(a) = g(b) = etg(w) >. Soit M le maximum de la restrictio de g à[a, b ]. O a M >. L esemble {x [ a, b ] g(x) = M} est u esemble o vide et il est mioré par a. Il admet ue bore iférieure u > a, et puisque g est cotiue, o a ecore g(u) = M et sur l itervalle [ a, u [oaf (x) < M. Soit h ], + [ tel que a < u h < u + h < b, o a alors, puisque f est pas u+h costate sur l itervalle [ u h, u + h ], f (t) dt < M = f (u). h u h

60 4 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle Il e résulte que si, pour tous x réel et h réel strictemet positif o a l iégalité f (x) x+h x h Exercice. f (t) dt alors f est covexe. Polytechique MP 6 et 7 KK ) Soit f C (R, R) telle que : ( x + y ) (x, y) R, f ( f (x)+ f (y)). () Motrer que f est covexe. ) Soiet f C (R, R) etm > tels que : (x, y) R, f (x + y)+ f (x y) f (x) My. () Étudier la covexité de x f (x)+mx et x f (x) Mx et motrer que f est de classe C. O peut utiliser le résultat suivat : si ue foctio est covexe et cotiue sur u itervalle ouvert I, alors elle admet e tout poit de I ue dérivée à droite et ue dérivée à gauche. ) Motros tout d abord par récurrece sur que, quels que soiet les ombres x, x,..., x das R, o a ( x + x + + x ) f ( f (x )+ f (x )+ + f (x )). Par hypothèse, la propriété est vraie si =. Supposos la vraie au rag et motros qu elle est vraie au rag +. Soiet x, x,...,x + das R. Posos x = x + + x et y = x x +. Alors ( x + y ) ( x + x + + x ) f = f + + ( f (x)+ f (y)) [ ( x + x ) ( x x )] f + f +. O applique alors l hypothèse de récurrece aux deux familles de élémets x, x,..., x et x +, x +,..., x +, ce qui doe ( x + + x ) f ( f (x )+ + f (x )) ( x x ) et f + ( f (x +)+ + f (x +)). ( x + + x ) O e déduit alors que f ( f (x )+ + f (x +)), et la propriété est vraie au rag + doc pour tout.

61 . Exercices d approfodissemet 43 Soiet x et y das R. Posos x = = x p = x et x p+ = = x = y. Alors, si l o pose l = p, o obtiet, e utilisat la formule précédete f (lx +( l)y) l f (x) +( l) f (y). Si maiteat l est u ombre réel quelcoque, il est limite d ue suite (l s ) s de ombres de la forme p (e utilisat par exemple l écriture e base d u ombre réel). Doc, pour tout s, f (l s x +( l s )y) l s f (x)+( l s ) f (y), et par passage à la limite, puisque f est cotiue f (lx +( l)y) l f (x) +( l) f (y), ce qui motre que f est covexe. ) Remarquos tout d abord que la coditio () est équivalete, e posat X = (x + y)/ety = (x y)/, à (X, Y ) R, f (X) f (X + Y )+ f (X Y ). (3) Si f vérifie la relatio () f (x +y)+ f (x y) f (x) My, ous allos motrer que l applicatio w : x f (x)+mx est covexe e utilisat cette coditio (3). Soit (X, Y ) R. Evaluos D(X, Y ) = w(x + Y )+w(x Y ). D(X, Y ) = f (X + Y )+ f (X Y )+M(X + Y ) + M(X Y ) = f (X + Y )+ f (X Y )+M(X + Y ). Mais f (X + Y )+ f (X Y ) f (X) MY doc D(X, Y ) f (X) MY +M(X + Y ) = w(x)+my w(x). Il e résulte que w est covexe. O motre de même que l applicatio c : x f (x) Mx est cocave (c est-à-dire que c est covexe). Evaluos D(X, Y ) = c(x + Y )+c(x Y ). D(X, Y ) = f (X + Y )+ f (X Y ) M(X + Y ) M(X Y ) = f (X + Y )+ f (X Y ) M(X + Y ). Duod La photocopie o autorisée est u délit Mais f (X + Y )+ f (X Y ) f (X)+MY doc D(X, Y ) f (X)+MY M(X + Y ) = c(x) MY c(x). Les applicatio w et c sot cotiues et covexes, doc sot dérivables à droite et à gauche e tout poit. Il e résulte que f est dérivable à droite et à gauche e tout poit. Motros tout d abord qu elle est dérivable. Soit y >. O déduit de () f (x + y) f (x) f (x y) f (y) y y My et quad y ted vers, o obtiet Df + (x) Df (x). O e déduit que Df + (x) = Df (x). La dérivée à droite e x est égale à la dérivée à gauche e x et f est doc dérivable e x. - Motros maiteat la cotiuité de f. Puisque w est covexe, écrivos que la courbe représetative de w est au-dessus de sa tagete au poit x. Quels que soiet x réel et h réel strictemet positif, o a w(x + h) w(x)+hw (x), d où l o déduit f (x + h)+m(x + h) f (x)+mx + h( f (x)+mx),

62 44 Chap.. Foctios réelles d ue variable réelle d où f f (x + h) f (x) (x) + Mh. Puisque c est cocave, o déduit de la même h maière que f f (x + h) f (x) (x) Mh. h Si x et y sot deux réels, les iégalités précédetes vot permettre de majorer f (x) f (y). A partir des ecadremets f (x + h) f (x) Mh f (x) h f (y + h) f (y) Mh f (y) h o déduit, pour tout réel h >, f (x) f (y) f (x + h) f (x) h f (x + h) f (x) + Mh, h f (y + h) f (y) + Mh, h f (y + h) f (y) h +Mh, ou ecore f (x) f (y) ( f (x + h) f (y + h) + f (x) f (y) )+Mh. h Fixos x réel et >. Soit h fixé ], if( /(4M), ) [. La foctio f état cotiue sur le segmet [ x, x + ] elle y est uiformémet cotiue. Il existe doc h >, tel que (u, v) [ x, x +] et u v < h impliquet f (u) f (v) < h /4. Alors si x y < if(h, h), les ombres y et y + h sot das l itervalle [ x, x +] et f (x + h) f (y + h) < h /4 aisi que f (x) f (y) < h /4. O obtiet alors f (x) f (y) <, ce qui motre que f est cotiue e x. La foctio f est doc de classe C sur R.

63 Itégratio sur u segmet 3 3. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION 3.. Itégrale foctio de sa bore supérieure Ce qu il faut savoir Soit I u itervalle coteat au mois deux poits. Soit f ue foctio cotiue sur I à valeurs das C. Soit x I. La foctio défiie sur I par F(x) = x x f (t) dt est l uique primitive de f sur I qui s aule e x. Soiet J u itervalle coteat au mois deux poits, u et v deux foctios dérivables sur J à valeurs das I. Alors la foctio G : x v(x) u(x) f (t) dt est dérivable sur J et, pour tout x J, oa G (x) = v (x) f (v(x)) u (x) f (u(x)). Exercice 3. CCP MP 6 Soit f C ([, ], R) telle que f (t) dt = /. Motrer qu il existe x ], [ tel que f (x ) = x. Idicatio de la rédactio : cosidérer ue primitive de x f (x) x. O cosidère la foctio w défiie sur [, ] parw(x) = Puisque f est cotiue sur [, ], la foctio x x x f (t) dt x. f (t) dt est dérivable sur [, ], doc w est dérivable sur [, ] et w (x) = f (x) x. E outre, w() = w() =. Le théorème de Rolle etraîe alors l existece d u réel x ], [ tel que w (x ) =, c est-à-dire f (x ) x =.

64 46 Chap. 3. Itégratio sur u segmet Exercice 3. ENSEA MP 5, CCP PSI 6 Soit la foctio F défiie par la relatio F(x) = si x Arcsi tdt+ cos x Arccos tdt. ) Motrer que F est bie défiie sur R, paire et p-périodique. ) Etablir que F est costate. 3) E déduire la valeur des itégrales Arccos tdtet Arcsi tdt. ) Les foctios g : x Arcsi x et h : x Arccos x sot cotiues sur [, ]. O ote G et H leurs primitives respectives qui s aulet e. Comme les foctios u : x si x et v : x cos x sot à valeurs das [, ], les foctios G u et H v sot bie défiies sur R, doc F est bie défiie. Comme les foctios u et v sot paires et p-périodiques, F l est aussi. ) Puisque F est paire et p-périodique,il suffit de l étudier sur le segmet [, p/]. E outre F est dérivable e tat que somme et composée de foctios dérivables et l o a pour tout x [, p/] F (x) = G (u(x))u (x)+h (v(x))v (x) = Arcsi si x six cos x Arccos cos x six cos x. Or, pour tout x [, p/], o a si x = si x car si x et doc Arcsi( si x) = Arcsi(si x) = x. De même Arccos( cos x) = x, doc x [, p/], F (x) =. O e déduit que F est costate sur [, p/ ], puis sur [ p/, p/ ] par parité, et efi sur R par périodicité. 3) O remarque que les deux itégrales à calculer sot F() et F(p/). O va calculer la valeur de F e p/4. F(p/4) = = / / Arccos tdt+ / (Arccos t +Arcsi t) dt Arcsi tdt Mais, pour tout x [, ], o a Arccos x +Arcsix = p/ d où Fialemet, F(p/4) = Arcsi tdt= / p/ dt = p/4. Arccos tdt= p/4.

65 3. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 47 Remarque Ces itégrales peuvet se calculer à l aide du chagemet de variable u = Arccos t suivi d ue itégratio par parties. Remarque Les formules suivates : x [, ], Arccos x +Arcsix = p x R, Arcta x +Arcta(/x) = p sig x ot été démotrées das le livre d Aalyse de première aée exercice 6.6 page 9. Il est très utile de les reteir. 3.. Iégalités et itégrales Ce qu il faut savoir Soit (a, b) R tel que a b.soiet f et g deux foctios cotiues sur [ a, b ] à valeurs das C. b b f (t) dt f (t) dt. a a Voir exercice 3.4 pour étudier le cas d égalité. Si f et g sot à valeurs das R et si g f sur [ a, b ], alors e particulier si f sur [a, b ], alors f (t) dt. b g(t) dt b a a b a f (t) dt ; Duod La photocopie o autorisée est u délit Remarque très utile das la pratique b Si f est positive et cotiue sur [ a, b ]etsi f (t) dt =, alors f = sur a [ a, b ]. Iégalité de Cauchy-Schwarz ( b / ( b / b f (t)g(t) dt f (t) dt) g(t) dt). a a Le cas d égalité se produit si et seulemet si f et g sot proportioelles. a

66 48 Chap. 3. Itégratio sur u segmet Exercice 3.3 CCP MP 5 Soit f C ([, ], R). O ote M (resp. m) le maximum (resp. le miimum) de f sur [, ]. Motrer que si f (t) dt =, alors Les foctios f m et M f sot positives, doc E développat, o obtiet d où ( f (t) m)(m f (t)) dt = (m + M) Exercice 3.4 ( f (t)) dt mm. = ( f (t)) dt mm. ( f (t) m)(m f (t)) dt. f (t) dt ( f (t)) dt mm, ( f (t)) dt mm TPE PC 7, CCP MP 6 Soit (a, b) R tel que a < b et soit f C ([a, b ], C) vérifiat b b f (t) dt = f (t) dt. ( ) a ) Motrer que si f est à valeurs réelles, alors f = f ou f = f. ) Motrer que si f est à valeurs complexes, alors il existe u R et g C ([a, b ], R + ) tels que f = e iu g. Idicatio de la rédactio : motrer que g = e iu f où u est u argumet de b a f (t) dt. ) Lorsque f est à valeurs réelles, o a f = f + f et f = f + + f, où f + (x) = sup( f (x), ) et f (x) = sup( f (x), ). E outre, f + et f sot cotiues positives sur [ a, b ] puisque f l est. Posos A = B = b a a b a f + (t) dt et f (t) dt. L égalité ( ) s écrit alors A B = A + B, ce qui équivaut à ((A B = A + B) ou( A + B = A + B)) et fialemet à ((B = ) ou (A = )). Comme f est cotiue et positive sur [ a, b ], dire que l itégrale B est ulle, implique que la foctio f est la foctio ulle, et doc que f est positive, ce qui doe f = f. De même, A = équivaut à f + =, c est-à-dire f = f.

67 3. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 49 ) Lorsque f appartiet à C ([a, b ], C), il existe u ] p, p ] tel que b b f (t) dt = e iu f (t) dt Posos g = e iu f. E itégrat sur [ a, b ], o obtiet b b g(t) dt = e iu f (t) dt = Par ailleurs o a b a a g(t) dt = a b a b a a e iu f (t) dt = g(t) dt = b a a b a b E preat la partie réelle des deux termes de (), o obtiet b a g(t) dt = b a Re(g(t)) dt, d où a f (t) dt. () f (t) dt. Si f vérifie ( ), alors g(t) dt () b a ( g(t) Re g(t) ) dt =. Mais la foctio g Re g est cotiue, positive (car g = (Re g) + (Im g) )et so itégrale est ulle, elle est doc idetiquemet ulle sur [a, b]. Il e résulte que g = Re g, doc Im g =. Par coséquet, g est réelle, et fialemet g = g. La foctio g est doc das C ([a, b ], R + ), et l o a bie f = e iu g. Autremet dit l argumet de f est costat. Remarque La réciproque est vraie das les deux cas précédets. Exercice 3.5 Cetrale MP 7, CCP PC 7 Soit (a, b) ( R tel que a < b. Pour tout h E = C ([a, b ], ], + [) o ) ( b ) b pose F(h) = h(t) dt a a h(t) dt. ) Motrer que F est miorée sur E et atteit sa bore iférieure. ) Pour N, o cosidère la foctio h défiie sur [ a, b ]parh (x) = e x. Calculer lim F(h ) et e déduire que F est pas majorée. + 3) Détermier F(E). ) Motros que F est miorée et atteit sa bore iférieure. Soit h E. E appliquat l iégalité de Cauchy-Schwarz avec f = h et g = / ( ( b ) ( b ) b h, o obtiet dx) h(t) dt a a a h(t) dt c està-dire (b a) F(h). Aisi F est miorée.

68 5 Chap. 3. Itégratio sur u segmet Si o exhibe ue foctio h F telle que F(h ) = (b a), o aura alors motré que (b a) est la bore iférieure de F et qu elle est atteite. O pred par exemple la foctio défiie pour tout x [ a, b ] par h (x) =. O a doc F(E) [(b a), + [. ) Soit N.Oa ( )( b ) b [ F(h ) = e x dx e x dx = ex] b [ a e x] b a a = eb e a a e a e b = (e(b a) )( e (b a) ) e (b a) +. O déduit du théorème de comparaiso des puissaces et des expoetielles que lim F(h ) = +. Il e résulte que F est pas majorée. + 3) Plus gééralemet, pour tout l, cosidéros la foctio h l défiie sur [ a, b ] par h l (x) = e lx. Pour l >, u calcul idetique à celui de la questio, doe, F(h l ) = (el(b a) )( e l(b a) ) et ceci peut ecore s écrire F(h l ) = 4 l(b a) sh l l. La foctio f : l F(h l ) est alors ue foctio cotiue sur ], + [. Comme au voisiage de, o a sh u u, o e déduit que lim f (l) = (b l a) = f (), et la foctio f est cotiue sur [, + [. Par ailleurs, d après la questio, la foctio f est pas borée supérieuremet. Alors F(E) f ([, + [) [(b a), + [. Comme o a l iclusio iverse, o obtiet fialemet F(E) = [(b a), + [ Itégratio par parties et chagemet de variable Ce qu il faut savoir Formule d itégratio par parties Soiet u et v deux foctios de classe C sur [ a, b ] à valeurs das R ou C, alors b a u(x)v (x) dx = [ ] b u(x)v(x) a b a u (x)v(x) dx. Formule du chagemet de variable Soiet I et J deux itervalles de R. Soiet f : I C cotiue et w : J I de classe C.Soieta et b apparteat à J. Alors w(b) w(a) f (x)dx = b a f (w(t))w (t)dt.

69 3. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 5 Remarque Sur cette formule observos que, pour calculer f (x)dx par le chagemet a de variable x = w(t), o procède à trois modificatios : (i) remplacer x par w(t)das f (x); (ii) remplacer dx par w (t)dt ; (iii)remplacer les bores a et b d itégratio e x par des bores a et b d itégratio e t : telles que a = w(a) etb = w(b). b Exercice 3.6 CCP MP 7, Première questio Mies-Pots et Cetrale MP 6 Soit (p, q) N N, o pose I (p, q) = x p ( x) q dx. ) Motrer que si p N, alors I (p, q) = p I (p, q + ). +q p!q! ) E déduire que I (p, q) = (p + q + )!. 3) Questio de la rédactio : déduire de ce qui précède la valeur de B(p, q) = p/ si p+ t cos q+ tdt. ) Soit p N. Effectuos ue itégratio par parties e posat u(x) = x p et v (x) = ( x) q, o a alors u (x) = px p et v(x) = +q ( x)q+ d où Duod La photocopie o autorisée est u délit I (p, q) = = = [ x p ( x) q dx ] p ( x)q+ x +q p I (p, q +). +q ) E répétat l itégratio par parties p fois, o obtiet I (p, q) = p q + Or, I (, q + p) = p q + I (, q + p) = p!q! q + p ( x) q+p dx = + px p ( x) q+ dx +q I (, q + p). (p + q)! p!q!, d où I (p, q) = p + q + (p + q + )!.

70 5 Chap. 3. Itégratio sur u segmet 3) Effectuos le chagemet de variable x = si t. E effet, l applicatio w : t si t est ue bijectio de [, p/] sur [, ], de classe C et l o a dx = sit cos tdt. O obtiet alors p/ si p+ t cos q+ tdt= 3..4 Sommes de Riema Ce qu il faut savoir x p ( x) q dx = p!q! (p + q + )!. Soit (a, b) R tel que a < b. Si f :[a, b ] C est cotiue, alors : b a lim + k= Les sommes b a f ( a+k b a ) b a = lim + k= f ( a +k b a ) b a et sommes de Riema associées à f. k= k= f ( a+k b a ) b = a f (t) dt. f ( a +k b a ) sot appelées Exercice 3.7 Navale MP 5, CCP PC 7 Soit a >. A l aide des sommes de Riema, détermier u équivalet de lorsque +. Soit N. Nous avos k a = a k= k= ( ) a k = a+ Comme la foctio x x a est cotiue sur [, ], o a alors lim + k= k= ( ) a k = x a dx = a +. ( ) a k. k= k a D où k= k a + a+ x a dx = a+ a +. Remarque Ce résultat est à reteir. O l utilise fréquemmet.

71 3. Exercices d etraîemet EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice 3.8 CCP MP 5, CCP PC 5, Cetrale MP 7 O cherche toutes les foctios f : R R cotiues vérifiat x R, f (x)+ x (x t) f (t) dt = +x. () ) Soit f ue solutio de ()..a Motrer que f est de classe C sur R..b Motrer que f est solutio d ue équatio différetielle liéaire du secod ordre qu o détermiera..c Détermier f. ) Coclure. ) Soit f ue solutio de ()..a La relatio () s écrit x R, f (x) = +x x x f (t) dt + x tf(t) dt. Comme f est cotiue, les itégrales du membre de droite sot de classe C sur R e tat que foctio de leur bore supérieure. Il e résulte que f est de classe C sur R. Les itégrales du membre de droite sot alors de classe C sur R, doc f est de classe C sur R..b E dérivat deux fois de suite, o obtiet pour tout x réel f (x) = x f (t) dt xf(x)+xf(x) = x f (t) dt ; () f (x) = f (x). (3) Duod La photocopie o autorisée est u délit.c Les solutios de l équatio différetielle (3) sot les foctios de la forme f : x A cos x + B si x, où A et B sot des costates. Mais la relatio () doe f () = et la relatio () doe f () =. O e déduit alors A = B = et doc, pour tout x réel f (x) = cos x +six. O viet de motrer que si f est solutio de (), alors f : x si x +cosx. ) Il reste à vérifier que cette solutio coviet. Soit x R. E itégrat par parties, o a x [ ] x x (x t)(cos t +sit) dt = (x t)(si t cos t) + (si t cos t) dt = x cos x si x += f (x)+x +. Coclusio : la foctio f : x si x +cosx est l uique solutio de ().

72 54 Chap. 3. Itégratio sur u segmet Exercice 3.9 Mies-Pots PC 7, Mies-Pots MP 5 K Soit f :[, + [ R cotiue, strictemet croissate et telle que f () = et f (x) = +. lim x + ) O suppose que f est dérivable sur [, + [. Motrer que pour tout x [, + [ x f (x) f (t) dt + f (y) dy = xf(x). ( ) Idicatio de la rédactio : x f (x) utiliser la foctio f : x f (t) dt + f (y) dy xf(x). ) E déduire que pour tout (a, b) [, + [ f ([, + [),oa a f (t) dt + b f (t) dt ab. ( ) Etudier les cas d égalité. 3) O e suppose plus f dérivable sur [, + [. Motrer que le résultat de la questio ) reste vrai. Idicatio de la rédactio : motrer que la foctio u : x f (x) ) Pour x R +, posos G(x) = f (y) dy xf(x) est dérivable sur [, + [ de dérivée f. f (x) f (t) dt. La foctio f est cotiue et strictemet croissate, doc f est cotiue sur f (R + ), doc y y f (t) dt est dérivable, et comme f est égalemet dérivable, o e déduit que G est dérivable et que G (x) = f (x) f ( f (x)) = xf (x). Il e résulte que f est dérivable sur R +, et que f (x) = f (x)+ f (x) f ( f (x)) f (x) xf (x) =. Par coséquet, f est costate. Or f() =, la foctio f est doc la foctio ulle et ( ) est démotrée. ) Soit b u réel positif fixé, cosidéros la foctio c, qui à tout a [, + [, associe c(a) = a f (t) dt + b f (y) dy ab. Pour établir l iégalité ( ), o va motrer que c. La foctio c est dérivable sur [, + [ et l o a pour tout a [, + [, c (a) = f (a) b. Comme f est strictemet croissate, c (a) si et seulemet si a f (b), doc la foctio c admet u miimum au poit f (b). Par ailleurs, c ( f (b) ) = f( f (b)) =.

73 L applicatio c est doc positive sur R + d où Le calcul précédet motre que b = f (a). a f (t) dt + a b 3. Exercices d etraîemet 55 b f (t) dt + f (t) dt ab. f (t) dt = ab si et seulemet si 3) Motros que l égalité ( ) a lieu lorsque f est cotiue et est pas écessairemet dérivable sur [, + [. Soit x ], + [fixéetsoith R tel que x + h ], + [. u(x + h) u(x) = f (x+h) f (x) Lorsque h >, o a, e vertu de la croissace de f, x( f (x + h) f (x)) f (x+h) f (x) f (y) dy (x + h) f (x + h)+xf(x). f (y) dy (x + h)( f (x + h) f (x)), u(x + h) u(x) d où f (x + h) f (x). Lorsque h <, o obtiet de même, h u(x + h) u(x) f (x) f (x + h). Sachat que f est cotiue au poit x, o h e déduit : u(x + h) u(x) u(x + h) u(x) lim = lim = f (x). h + h h h E coséquece, u est dérivable sur [, + [, de dérivée f, doc f est dérivable sur [, + [, de dérivée ulle. Elle est doc costate sur [, + [. E outre f() =, doc f est idetiquemet ulle. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 3. Cetrale MP 6 Pour N, o pose I = p/ si tdt. ) Motrer que la suite (I ) coverge. ) K Motrer que lim + I =. 3) Soit N. Etablir que I + = + + I. E déduire que la suite de terme gééral ( +)I I + et costate. p 4) Motrer que I est équivalet à quad +. ) Pour tout x [, p/],oa si x et par coséquet, pour tout N, o a si + x si x.aisi, I + I. Coclusio : La suite (I ) est positive décroissate, elle est doc covergete.

74 56 Chap. 3. Itégratio sur u segmet Remarque E fait I >, car l applicatio cotiue positive x si x est pas idetiquemet ulle. Cela va résulter aussi de la questio 3. ) Le seul moye à otre dispositio actuellemet est de travailler avec les epsilo. O verra plus tard le théorème de covergece domiée qui ous permet de coclure rapidemet. Soit > (qu o predra < p/). O a d après le relatio de Chasles I = J + K où J = p si tdtet K = p p si tdt. Sachat que si t, o a alors, pour tout N, l iégalité K /. Par croissace de la foctio sius sur [, p ], o e déduit J p ( si p ) = p ( cos ). ( p ( Mais la suite cos ) ) coverge vers. Doc il existe N tel que, J /, doc I. 3) Soit N. E itégrat par parties I + où l o dérive u(x) = si + x et l o primitive v (x) = si x,oau (x) = ( +)si x cos x et v(x) = cos x et o obtiet I + = [ si + x cos x ] p/ +( +) = ( +) p/ = ( +)I ( +)I +, p/ si x( si x)dx si x cos xdx d où () I + = + + I. E multipliat la relatio () par ( +)I +, o obtiet l égalité ( +)I + I + = ( +)I + I, ce qui motre que la suite ( ( +)I + I ) N est costate. Sachat que I = eti = p/, o coclut que, pour tout N, oa ( +)I + I = I I = p/. 4) La suite (I ) est strictemet positive et décroissate. Aisi pour tout N, o a I + I +. Sachat que I + = + ted vers, o e déduit par I I I + ecadremet que I + I, soit I + I.

75 Par ailleurs I = + p I. I I + ( +)I I + = 3. Exercices d etraîemet 57 + I p I + ted vers p, d où Complémet Sachat que I = p/eti =, o obtiet e vertu de la relatio () I p = (p )(p 3) 3 p (p)(p ) 4 = (p)! p p (p!), (p)(p ) 4 I p+ = (p + )(p ) 3 = p (p!) (p + )!. Termiologie Ces itégrales sot appelées itégrales de Wallis. O motre e utilisat le chagemet de variable t = p x que I = Exercice 3. p/ Cetrale MP 5 K Doer u équivalet quad x ted vers + de la foctio x F(x) = x x 3 e t Arcsi t dt. cos tdt. Idicatio de la rédactio : motrer que la foctio t g(t) = est prologeable par cotiuité e. e t Arcsi t t Duod La photocopie o autorisée est u délit Sachat que la foctio f : t f (t) = Arcsi t est bie défiie sur [, [ ], ] et que pour tout x ], ], o a < x 3 < x, la foctio F est bie défiie sur ], ]. Motros que g est prologeable par cotiuité au poit. Pour ce faire, il suffit de motrer que g admet ue limite fiie lorsque t ted vers. Sachat que pour tout t [, [ ], ], g(t) = tet Arcsi t t Arcsi t et que t Arcsi t t, o va effectuer u développemet limité à l ordre pour détermier u équivalet du umérateur. Aisi te t Arcsi t = t + t O(t). O e déduit que g(t). La foctio g est prologeable par cotiuité au poit et l o pose g() =. Soit x ], [, e otat G(x) = x x x 3 x g(t)dt,oa F(x) = x t dt + g(t)dt = l x + G(x). 3 x 3 G(x) Pour coclure, il reste à établir que lim G(x) = et lim x + x + l x =. e t

76 58 Chap. 3. Itégratio sur u segmet Sachat que g est cotiue sur [, ], elle est doc borée. E otat M u majorat de g, o a pour tout x ], ], G(x) M(x x 3 ), d où lim G(x) =. x + G(x) Par ailleurs, lim =, d où lim x + l x x + l x =. Coclusio : o a F(x) l x. + Ce qu il faut savoir Le raisoemet, qu o viet de faire das l exercice précédet, s applique souvet pour trouver des équivalets au voisiage d u poit x à des foctios du type x F(x) = vérifiat : (i) l itégrale v(x) u(x) v(x) u(x) f (t)dt. O cherche u équivalet -qu o ote w- de f w(t)dt se calcule facilemet ; (ii) la foctio g = f w est cotiue ou prologeable par cotiuité au poit v(x) x de telle faço que lim g(t)dt =. x x u(x) Aisi, o motre facilemet que : 3x e t ) Arcsi t dt l 3 x + ) x x 3 x x t + dt l x x + 3) x l t dt cas x + et le cas x. l ; bie etedu, das cet exemple, o traite séparémet le x Exercice 3. CCP MP 7, Mies - Pots MP 6, CCP PC 5 ( ) ( ) k k Pour N, o pose u = si si. Motrer que la suite (u ) k= coverge et trouver sa limite. Idicatio de la rédactio : o pourra utiliser la double iégalité x [, + [, x x 3 si x x. ( ) 6 Soit N, comme u est pas ue somme de Riema, ous allos l ecadrer par des sommes de Riema à l aide de la double iégalité ( ).

77 3. Exercices d etraîemet 59 Duod La photocopie o autorisée est u délit Soit N,oa,evertude( ), pour tout k {,, } ( ) k k3 k 6 6 si k. La foctio sius état positive sur [, ], o obtiet ( ) ( ) ( ) ( ) k k si k3 k k k 6 6 si si si ce qui, par sommatio, coduit à ( ) k k si k= k= k si ( ) k u k= O recoaît alors des sommes de Riema. E effet, v = k si ( k ) ( ) k k si. k= ( ) k k si est ue somme de Riema associée à la foctio x x si x, cotiue sur [, ], ( ) k k d où lim + si = x si xdx. D autre part, k 3 ( ) k 3 si k= est ue somme de Riema associée à la foctio x x 3 si x, cotiue k 3 ( ) k sur [, ], doc lim + 3 si = x 3 si xdx, et par suite k= lim + 6 k 3 ( ) k 3 si = x 3 si xdx=. k= Aisi, d après le théorème d ecadremet, lim u = x si xdx. + E itégrat par parties o obtiet, Coclusio : lim u = si cos. + x si xdx= si cos. Remarque Voilà ue deuxième méthode utilisat la cocavité de la foctio sius sur [, ]. Pour tout >, la foctio sius est cocave sur l itervalle [, / ]. Sur cet itervalle, la courbe représetative est comprise etre la tagete e et la droite joigat les poits (, ) et (/, si(/)), doc, si x /, oa x si si x x. Aisi pour tout k {,, }, le ombre k/ appartiet à l itervalle [, / ], et o e déduit que k si si k k. Doc si k si k u k si k. k= k= k=

78 6 Chap. 3. Itégratio sur u segmet Par ailleurs la suite ( si(/)) coverge vers. Comme o a les iégalités ( ) si v u v, il résulte du théorème d ecadremet que la suite (u ) coverge vers si cos. Exercice 3.3 TPE MP 6, Polytechique MP 5 Soit (a, b) R tel que a < b, calculer les itégrales I = b a b (x a)(b x) dx et J = x (x a)(b x) dx. Idicatio de la rédactio Pour calculer I, o pourra faire u raisoemet géométrique simple. Pour calculer J, o pourra faire le chagemet de variable x = a + b t. O peut obteir I e remarquat que la courbe d équatio y = (x a)(b x) est la partie, située das le demi-pla des y de la coique d équatio y (x a)(b x) =, mais cette équatio s écrit aussi y +x (a+b)x +ab =, ou ( ecore x a + b ) ( ) b a + y =. Il s agit doc d u demi-cercle de rayo (b a)/ eti est l aire limitée par la courbe et l axe Ox et vaut doc p 8 (b a). Pour calculer J, effectuos le chagemet de variable x = a + b t. L applicatio w : t a + b t est ue bijectio de [ a, b ] sur lui-même et l o a (t a)(b t) = (x a)(b x). O obtiet J = b a (a + b t) (t a)(b t) dt = (a + b) et o e déduit J = b + a b 3.3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 3.4 TPE MP 7, Polytechique MP 5 a a b a (t a)(b t) dt J, (t a)(b t) dt = p 6 (b + a)(b a). Soiet a et b deux réels tels que a < b. Calculer I (a, b) = b a dx b x + x a. Pour calculer cette itégrale I (a, b), o peut commecer par faire le chagemet de variable affie qui est ue bijectio de [ a, b ] sur [, ] e preat

79 3.3 Exercices d approfodissemet 6 t = b a (x a), qui doe x = (t +)+a doc dx = b a b a obtiet alors b a b a I (a, b) = b a ( t)+ dt b a (t +) = I (, ). dt. O Pour cotiuer, il existe plusieurs méthodes possibles. O pourrait multiplier par la quatité cojuguée du déomiateur, mais, ce faisat, o itroduit ue discotiuité e, et l itégrale à calculer relève alors du chapitre «Itégratio sur u itervalle o compact». La méthode idiquée ci-dessous permet d éviter cela. Elle cosiste à motrer que, pour x [, ], o a l égalité = ( ) +. x + x + x + +x + E réduisat au même déomiateur, celle-ci équivaut à ou ecore à x + x + = +x + x + ( +x + )( x +), ( +x + )( x +)= ( x + x + )( +x + x +). Or e développat, o s assure que cette derière égalité est bie vraie. Par u chagemet de variable x x, o obtiet aussitôt que dx x + = dx +x + et doc I (, ) = dx +x +. Duod La photocopie o autorisée est u délit Alors le chagemet de variable u = +x doe ( u I (, ) = u + du = ) du = ( l( + )). u + Exercice 3.5 Cetrale MP 7 3 Calculer I = Arcsi t +t dt. Idicatio de la rédactio : o pourra commecer par écrire de faço plus simple la foctio t f (t) = Arcsi t +t. O peut simplifier la foctio f de plusieurs maières. E voici ue utilisat les formules de trigoométrie (bie etedu, o aurait pu calculer la dérivée, voir otre livre d Aalyse de première aée exercice 4.9 page 8).

80 6 Chap. 3. Itégratio sur u segmet Soit t [, + [, puisque la foctio tagete est ue bijectio de [, p/[ sur [, + [, il existe u [, p/ [ uique tel que t = ta u. O a alors t = si u, et f (t) = Arcsi(si(u)). +t Sachat que pour tout x de [ p/, p/ ], o a Arcsi(si x) = x, il y a alors deux cas possibles. Si t [, ], alors u [, p/4 ], doc u [, p/ ], d où f (t) = Arcsi(si(u)) = u = Arctat. Si t [, + [, alors u [ p/4, p/ [, doc u [ p/, p [etp u ], p/], d où f (t) = Arcsi (si(p u)) = p u = p Arctat. O a alors 3 I = Arcta tdt+ ( = Arcta tdt (p Arctat) dt ) 3 Arcta tdt + p( 3 ). E itégrat par parties, o trouve que la primitive de Arcta t s aulat e est la foctio G : t t Arcta t l( + t ). O a G() = p 4 l et G( 3) = 3 p 3 l, doc I = p 3. 3 Exercice 3.6 Cetrale MP 6 Calculer l itégrale I = p/4 cos t cos 3 t +si 3 t dt. E divisat par cos 3 t le déomiateur et le umérateur de la foctio itégrée, o p/4 cos t obtiet I = +ta 3 dt, et o effectue le chagemet de variable x = ta t t qui est ue bijectio de [, p/4] sur [, ]. De plus dx = dt/ cos t, doc dx I = x 3 +. Pour trouver ue primitive F de x /(x 3 + ) o va décomposer cette fractio ratioelle e élémets simples. Les racies de P(x) = x 3 + sot, j, j,etsia désige ue de ces racies, le coefficiet de /(x a) das la décompositio e élémets simples de P(x) est

81 3.3 Exercices d approfodissemet 63 P (a) = 3a. O a alors x 3 + = ( ) 3 x + + j (x + j) + j(x + j, et e ) regroupat les deux deriers termes, compte teu du fait que j + j =, o trouve x 3 + = ( ) x x + x, x + ce que l o peut ecore écrire, e faisat apparaître la dérivée de x x +, x 3 + = ( 3 x + x x x ) x. x + Efi, puisqu ue primitive de ax + bx + c, lorsque a etd = b 4ac < est Arcta ax + b, o obtiet, pour x, D D F(x) = 3 ( l(x +) ) l(x x +) + Arcta x. 3 3 Alors I = F() F() = l Arcta 3 3 Arcta 3, ce qui doe fialemet I = l 3 + Arcta = l p 3. 9 Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 3.7 Mies - Pots MP, Cetrale MP 6 ) Soit N. Motrer que X = (X ) (X X cos kp ) +. ) Soit u réel a ± ; déduire de ) la valeur de k= p l(a a cos t +)dt. ) Les racies du polyôme X sot les ombres comlexes e ikp/ où k, et l o a la factorisatio X = (X e ikp/ ). E isolat das ce produit les facteurs (X ) et (X + ) correspodat respectivemet à k = etk =, o peut écrire X = (X ) (X e ikp/ ) (X e ikp/ ). k= k= k=+ Mais e faisat le chagemet d idice p = k das le secod produit, o a

82 64 Chap. 3. Itégratio sur u segmet k=+ (X e ikp/ ) = (X e ipp/ ), et doc p= X = (X ) (X e ikp/ )(X e ikp/ ) k= = (X ) (X X cos kp ) +. k= 3) O remarque que pour tout t [, p ], le produit (a e it )(a e it ) = a a cos t + e s aule pas si a R{±}. La foctio t l ( a a cos t + ) est doc cotiue sur [, p ]. Pour >, posos S = p l (a a cos kp ) ( + = p (a l a cos kp ) ) + k= = p l ( a a ) La suite de sommes de Riema (S ) coverge vers k= p l ( a a cos t + ) dt. Si a <, alors a a a, doc (S ) coverge vers. Si a >, e mettat e facteur a, S = p ( ) a l a +p l a, doc la suite (S ) coverge vers p l a. Fialemet p Exercice 3.8 l ( t a cos t + ) { dt = si a < p l a si a > Iégalité de Jese Mies - Pots MP 6 Soiet (a, b) R tel que a < b et ( f C ([a, b ], R). Soit w C (R, R). ) b Motrer que si w est covexe, alors w f (t) dt b w( f (t)) dt. b a b a a a C est u exercice classique qui «relie» les iégalités de covexité et les sommes de Riema.

83 3.3 Exercices d approfodissemet 65 Soit N et soit (l,...,l ) [, ] tel que k= covexité de w, o a, pour tout (x,...,x ) R l iégalité ( ) w l k x k l k w(x k ). k= k= l k =. E vertu de la E appliquat ( cette iégalité avec x k = f (a + k(b a)/) etl k = /, o obtiet ( alors w f a + k b a ) ) ( w f a + k b a ). k= k= Comme f est cotiue sur [ a, b ],oa ( lim f a + k b a ) + k= = b a b o e déduit, e vertu de la cotiuité de w ( lim w ( f a + k b a ) ) ( = w + b a k= Par ailleurs w f est cotiue sur [ a, b ], et o a aussi ( lim w f a + k b a ) = + b a k= a b a f (t) dt, b a f (t) dt ) w f (t) dt. O obtiet alors, par coservatio des iégalités par passage à la limite ( ) b w f (t) dt b w( f (t)) dt. b a b a a a. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 3.9 Mies - Pots MP 7 K Soit (a, b) R avec a < b et soit f : [a, b ] R covexe et dérivable. Motrer ( ) a + b f b a Voici ue démostratio géométrique. b b a f (t) dt f (a)+ f (b) f (a)+ f (b) Motros f (t) dt. b a a Comme f est covexe sur [ a, b ], la courbe représetative de f est située e dessous de la sécate joigat les poits (a, f (a) et(b, f (b)). Doc, pour x [ a, b ],oa.

84 66 Chap. 3. Itégratio sur u segmet f (b) f (a) f (x) (x a)+ f (a). E itégrat, o obtiet b a b b ( ) f (b) f (a) f (t) dt (b a)+ f (a) dt = (b a) t a a a f (b)+ f (a) ( ) a + b Motros que f b f (t) dt. b a a Comme f est covexe, sa courbe représetative est située au-dessus de sa tagete au poit d abscisse (a + ( b)/. E posat l = f ((a + b)/), o obtiet que, pour tout x [ a, b ], f (x) l x a + b ) ( ) a + b + f. E itégrat, o obtiet b b ( ( f (t) dt l x a + b ) ( )) ( ) a + b a + b + f dt = (b a) f. a a E divisat par b a, o e déduit l ecadremet voulu. Remarque L hypothèse «f dérivable» est e fait pas écessaire. car la covexité de la foctio implique qu elle est dérivable à gauche et à droite e tout poit, et que la courbe représetative de f est située au-dessus de la droite passat par le poit d abscisse (a + b)/ et de coefficiet directeur l = f d((a + b)/) par exemple.. Exercice 3. Polytechique MP 7 Soit a ], + [etsoitf C ([, a ], R) telle que f () =. Etablir l iégalité () Etudier le cas d égalité. a f (x) f (x) dx a f (x) dx. Comme f est de classe C sur [, a ]etf () =, o a f (x) = outre, la foctio F défiie sur [, a ]parf(x) = x x f (t) dt.e f (t) dt est dérivable sur [, a ]etf (x) = f (x). Aisi, o a pour tout x [, a ] x f (x) f (x) = f x (x) f (t) dt f (x) f (t) dt = F(x)F (x). E itégrat l iégalité précédete sur [, a ], o obtiet a f (x) f (x) dx a F(x)F (x) dx = (F(a))

85 3.3 Exercices d approfodissemet 67 a soit f (x) f (x) dx ( a f (x) dx). E appliquat l iégalité de Cauchy-Schwartz, o obtiet ( a f (x) dx) a dt a a f (t) dt = a f (t) dt ce qui doe (). Si l iégalité () se réduit à ue égalité, o a alors ( a a. f (x) dx) = a f (t) dt. Les foctios f et sot doc proportioelles et, puisque f est cotiue, elle est costate. De f () =, o déduit alors que f est de la forme x lx. Réciproquemet, toute foctio de la forme x lx vérifie bie a f (x) f (x) dx = a f (x) dx. Il y a doc égalité pour () si et seulemet si f est liéaire. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 3. Polytechique MP 6 KK Soiet f et g des foctios cotiues et strictemet positives sur [, ]. Pour N, o pose I = f (t)g (t) dt. et M = sup g(x). x [, ] ) Motrer que la suite (I / ) coverge et a pour limite M. ) Pour tout N o pose u = I + /I..a Motrer que la suite (u ) est croissate. (O pourra appliquer l iégalité de Cauchy-Schwarz)..b E déduire que (u ) coverge..c Retrouver le résultat du ). ) La foctio g état cotiue sur [, ], la bore supérieure M de g sur [, ] est atteite. Il existe c [, ] tel que g(c) = M. Soit >. Il existe u segmet [ a, b ] iclus das [, ] tel que, pour tout t [ a, b ],oait M / g(x) M. O a alors pour tout etier aturel ( M ) b a f (x) dx f (x)g (x) dx M f (x)dx.

86 68 Chap. 3. Itégratio sur u segmet O e déduit ( M ) ( b a ( Par ailleurs lim M ) ( b + a ( lim M + f (x) dx f (x) dx ) / I / M ( ) / = M et f (x)dx) /. f (x) dx) / = M, doc il existe N tel que, pour tout, o ait M I / M +. Autremet dit lim + u/ = M..a Soit N. E appliquat l iégalité de Cauchy-Schwarz aux foctios fg (+)/ et fg ( )/, dot le produit vaut fg, o obtiet ( ( ) ( ) f (t)g (t) dt) f (t)g + (t) dt f (t)g (t) dt, c est-à-dire (I ) I + I, et o e déduit que u u..b La foctio g état cotiue et strictemet positive sur [, ], pour tout x [, ],oag(x) M, doc f (x)g + (x) Mf(x)g (x). Alors e itégrat, o obtiet I + MI et doc u M. La suite (u ) est croissate et majorée, doc elle coverge. Notos l sa limite..c) Motros que les suites (I / ) et (I + /I ) ot la même limite. La suite (u ) est croissate et coverge vers l. Soit >. Il existe N tel que k N implique l I k+ l. E faisat le produit de ces iégalités pour I k ( N k, o e déduit que, si N,oa I N l ) N I I N l N. Doc I / N ( l ) ( N)/ I / I / N l ( N)/. ( Par ailleurs lim I / + N l ) ( N)/ = l existe N tel que, pour tout,oait l I / que la suite (I / ) coverge aussi vers l. O e coclut que l = M. et lim I / + N l ( N)/ = l,doc il l +, ce qui motre Exercice 3. Polytechique MP 6 K Pour tout f C ([, ], R), o pose F( f ) = f (t) f (t) dt. Soit F = { f C ([, ], R) f () = et f () = }.

87 3.3 Exercices d approfodissemet 69 Le but de cet exercice est de démotrer que F est miorée sur F et de calculer if f F F( f ). ) Soit f F. Etablir que pour tout f F,oa/e F( f ). ) Exhiber ue suite de foctios ( f ) telle que lim + = /e. ) Soit f F ; la foctio g, défiie sur [, ] par g(t) = e t f (t), est de classe C sur [, ] et l o a g (t) = e t ( f (t) f (t)), d où f (t) f (t) = e t g (t). E itroduisat l esemble G = {g C ([, ], R) g() = etg() = /e }, la foctio f appartiet à F si et seulemet g appartiet à G. O a alors F( f ) = e t g (t) e t g (t) dt. Mais e miorat e t par, o obtiet g (t) dt g (t) dt = g() g() = /e. Coclusio : l applicatio F est miorée sur l esemble F,etoa if F( f ) /e. f F ) Pour pouvoir effectuer facilemet les calculs d itégrales, choisissos ue suite de foctios (g ) costruites avec t e t. Pour qu elle satisfasse les coditios e et e, preos la foctio défiie sur [, ] par g (t) = e t. C est e e u élémet de G, etoa g (t) = e e t g (t) dt = e e e t e, doc g >. O obtiet e ( )t dt = e e ( ) e. Alors, pour la suite de foctios f de F défiies par f (t) = g (t)e t, o aura lim F( f ) = /e et il e résulte que if F( f ) = /e. + f F Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 3.3 KK Soit (a, b) R tel que a < b et soit f : [a, b ] R cotiue strictemet ( /p b positive. O pose S f (p) = f (t) dt) p, et o désige par M f b a a (resp. m f ) le maximum (resp. miimum) de f sur [ a, b ]. ) Motrer que lim S f (p) = M f. p + ) Motrer que lim S f (p) = m f. p ( ) b 3) Motrer que lim S f (p) = exp l f (t)dt. p b a a

88 7 Chap. 3. Itégratio sur u segmet ) Supposos p >. Puisque f est cotiue elle possède bie u maximum sur le segmet [ a, b ]. Ce maximum est atteit e u poit x de [ a, b ]. Pour tout b t [ a, b ] o a alors f (t) p M p f, doc f (t) p dt (b a)m p f et fialemet S f (p) M f. Soit >. Comme f est cotiue e x,ilexistea > tel que x [ a, b ]et x x < a implique M f f (x) < /. Alors, e posat [ a, b ] = [ a, b ] [ x a, x + a ],oa b b ( f (t) p dt f (t) p dt (b a) M f ) p, et par coséquet a a S f (p) a ( ) /p b a ( M f ). b a Quad p ted vers +, le membre de droite ted vers M f, doc il existe p tel que p p implique S f (p) M f. O a doc S p M f <, et o e déduit que lim S f (p) = M f. p ) La foctio / f est ecore cotiue et strictemet positive sur [ a, b ] et pour tout p o ul, o a la relatio S f (p) = S / f ( p). Alors d après ce qui précède lim S f (p) = p lim p S / f ( p) = sup t [ a, b ] (/ f )(t) = m f. 3) Si p, o a f (t) p = e p l f (t). Puisque la foctio f est cotiue et strictemet positive sur [ a, b ], la foctio t l f (t) est borée. Il existe ue costate K telle que, pour tout t [ a, b ],oait l f (t) K. Alors si p <, o aura doc égalemet p l f (t) K. Par la formule de Taylor avec reste itégral appliquée à la foctio expoetielle, o obtiet e x = +x + x (x u)e u du, et doc si x [ K, K ], o a e x x e K x. O e déduit, pour tout t [ a, b ] et p [, ], la majoratio f (t) p p l f (t) ek p (l f (t)) K e K p. O peut alors itégrer et o obtiet b b f (t) p dt (b a) p l f (t) dt K e K (b a)p. a a

89 Ce qui s écrit ecore b a S f (p) = b f (t) p dt = (b a)+p ( + p b a b a 3.3 Exercices d approfodissemet 7 b a l f (t)dt + O(p ), et doc l f (t)dt + O(p )) /p. Posos A = l f (t) dt. O a alors b a a ( ) ( ) S f (p) = exp p l( + pa+ O(p )) = exp p (pa+ O(p )) = e A+O(p). Coclusio : ( ) lorsque p ted vers, alors S f (p) ted vers e A b = exp l f (t)dt. b a a

90 4 Séries umériques 4. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION 4.. Gééralités Ce qu il faut savoir Si la série de terme gééral u coverge, alors la suite (u )covergevers.aisi, ue série dot le terme gééral e coverge pas vers est divergete. O dit das ce cas que la série diverge grossièremet. Série géométrique Soit z C. La série de terme gééral z coverge si et seulemet si z <, et das ce cas z = z. = Exercice 4. Divergece grossière Quelle est la ature de la série de terme gééral u = +si p 4? Pour tout N o a u 4 = /. La suite (u 4 ) e coverge pas vers, doc la suite (u ) e coverge pas vers. Il e résulte que la série de terme gééral u diverge. Exercice 4. Série divergete dot le terme gééral ted vers O ote S = k. Motrer que S S / et e déduire que la série de k= terme gééral / diverge. Pour tout N o a S S = k=+ k k=+ =. La suite (S ) est ue suite croissate, puisque, pour tout N, o a S + S = /( +) >. Elle admet doc ue limite. Si cette limite était

91 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 73 fiie alors la suite (S S ) covergerait vers, ce qui est pas possible puisque, pour tout etier, o a S S /. Doc la suite (S )admet+ pour limite et la série de terme gééral / diverge. 4.. Exemples de sommatio de séries Les résultats cocerat les séries géométriques (ex. 4.3) et télescopiques (ex. 4.4) sot à coaître parfaitemet. Exercice 4.3 Série géométrique Calculer = u où u = e ch. O a u = (e + e 3 ) et, puisque les séries géométriques de raiso e et e 3 coverget, o obtiet ( u = + ) (e ) + (e 3 ) = ( ) e + e 3. = Exercice 4.4 = = Série télescopique Soit (v ) ue suite umérique. Pour, o pose u = v v +. Motrer que la série de terme gééral u coverge si et seulemet si la suite (v ) coverge, et que das ce cas u = v lim v. + = Applicatio : CCP PC 6 Pour tout o pose u = +. + Motrer que la série de terme gééral u coverge et calculer = u. Pour, o calcule la somme partielle S = (v k v k+ ). Cette somme k= vaut S = v v + et la suite (S ) a ue limite fiie si et seulemet si la suite (v ) a ue limite fiie. Alors u = lim S = v lim v. + + =

92 74 Chap. 4. Séries umériques Applicatio Pour, o pose a =. O a alors u = a a +, et o obtiet ue série télescopique. Celle-ci coverge puisque la suite (a )covergevers, et l o a = u = a = /. O peut égalemet faire les calculs e effectuat des chagemets d idice de sommatio. La maîtrise de ces maipulatios sera utile das l étude des séries etières. Exercice 4.5 ENSEA PC 6 ) Vérifier que, pour tout N,oa ( + )( +) = + + ( +). ) Pour o pose u = ( + )( +). Soit S = u k, la k= somme partielle de rag de la série de terme gééral u. Motrer que S = 4 + ( + ). + 3) E déduire que la série de terme gééral u coverge et calculer sa somme S = = u. ) La relatio se vérifie facilemet e réduisat au même déomiateur, ou e décomposat la fractio ratioelle e élémets simples. ) O a alors S = u p = p p + + p +. p= p= p= p= E effectuat le chagemet d idice p p+ das la première somme du membre de droite et p p das la troisième, o obtiet u p = p + p p +. p= p= p= p=

93 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 75 D où, e faisat apparaître, si 3, la partie commue aux trois sommes, S = + + p + + p p= p= + p p= La somme se simplifie, et il reste S = ( + ) ( + ) + ( ), + d où S = 4 + ( + ). + 3) Lorsque ted vers l ifii, la suite (S ) coverge vers /4, doc la série de terme gééral u coverge et = u = 4. Exercice 4.6 Séparatio des termes de rag pair et de rag impair Motrer que si la série de terme gééral a et la série de terme gééral a + coverget alors la série de terme gééral a coverge et que das ce cas = a = = a + Applicatio : calculer = a +. = (3 + ( ) ). Duod La photocopie o autorisée est u délit Soit S la somme partielle de rag de la série de terme gééral a. Pour tout N, o a + S = a p = a p + a p+ et S + = a p = a p + a p+. p= p= p= p= p= p= Si les deux séries coverget, alors les suites (S ) et (S + ) coverget toutes les deux vers la même limite = a + la limite commue. O e déduit que a = = = = = a +, doc la suite (S ) coverge vers a + a +.

94 76 Chap. 4. Séries umériques Applicatio : lorsque a = (3 + ( ) ),oaa = 4 et a + =.Aisi obtiet-o deux séries géométriques. D où a = = 6 et a + = 5 6 = 3. 4 Coclusio : = = a = = Séries à termes positifs Ce qu il faut savoir Lorsque (u ) est ue suite positive, la suite (S ) des sommes partielles est croissate, et la série de terme gééral u coverge si et seulemet si la suite (S ) est majorée. Das ce cas, pour tout etier,oas Critères de comparaiso = k= u k. Soiet (u )et(v ) deux suites telles que, à partir d u certai rag u v ; si la série de terme gééral v coverge, alors la série de terme gééral u coverge, si la série de terme gééral u diverge, alors la série de terme gééral v diverge. Soiet (u )et(v ) deux suites telles que u v et v soit de sige costat + à partir d u certai rag. La série de terme gééral u et la série de terme gééral v sot de même ature. Soiet (u )et(v ) deux suites telles que u = O(v )etu et v soiet de sige costat à partir d u certai rag. Si la série de terme gééral v coverge, alors la série de terme gééral u coverge. Séries de référece La série géométrique. Les séries de Riema : la série de terme gééral / a coverge si et seulemet si a >. O doe le om de série harmoique à la série de Riema de terme gééral /. La série harmoique diverge. Règle de d Alembert Soit (u ) ue suite de ombres strictemet positifs. O suppose que la suite (u + /u ) possède ue limite l fiie ou o. si l< alors la série de terme gééral u coverge, sil> alors la série de terme gééral u diverge.

95 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 77 Remarque Lorsque l = o e peut pas coclure par cette règle (comme le motre l exemple des séries de Riema). Exercice 4.7 Comparaiso aux séries géométriques Etudier la ature des séries de terme gééral u suivates : ) u = 5 3 ( ; )u = + ). ( ) O obtiet u équivalet de u e écrivat, pour N, u = 5 3 5) ( ) 3 5 O e déduit que u puisque les suites ((3/5) )et( 4 /3 )coverget + 3 vers. Or la série de terme gééral (5/3) est ue série géométrique positive de raiso 5/3 / ], [. Elle diverge doc. Il e résulte que la série de terme gééral u diverge aussi. ) Pour N,oa u = ( ) ( + ) = ( ) [ ( exp l + )], et e utilisat le développemet limité au voisiage de de u l( + u), o obtiet ( + ) [ ( ( ))] ( ) = exp + o = e +o() e, doc u e. + + Or la série de terme gééral e(/) est ue série géométrique positive de raiso / ], [. Elle coverge doc. Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 4.8 Comparaiso aux séries de Riema. CCP PC 5 Pour N,eta R, o pose u = Arcta(a ) a. Selo que a est positif, égatif ou ul, trouver u équivalet simple de u, puis étudier la ature de la série de terme gééral u. O peut être teté de majorer Arcta( a )parp/, mais cela e permet de coclure par comparaiso à la série de Riema de terme gééral / a que si a >. O va étudier les autres cas au moye des équivalets. Sia >, alors la suite ( a ) admet + comme limite, et, Arcta( a p ) +,

96 78 Chap. 4. Séries umériques doc u p + a et l o obtiet ue série de Riema. La série de terme gééral u coverge si et seulemet si a >. Sia =, alors u = Arcta = p/4 et la suite (u ) e coverge pas vers. Doc la série de terme gééral u diverge grossièremet Sia <, alors la suite ( a ) coverge vers. O peut doc utiliser l équivalet a Arcta u u, et doc u u + a = ( a) et l o obtiet ue série de Riema. Alors, la série de terme gééral u coverge si et seulemet si a >, c est-à-dire a <. Exercice 4.9 Comparaiso aux séries de Riema Etudier la ature de la série de terme gééral u = + Lorsque N, o peut écrire ( ) / ( + u = = + ) / = exp ( ( l + )). E utilisat ( le développemet limité de u l( + u) au voisiage de, o obtiet u = exp ( ( ))) + o = exp ( ( )) + o. Alors, e utilisat le développemet limité de u e u au voisiage de, o e déduit u = ( ( )) + o +. Or / est le terme gééral d ue série de Riema covergete. Il e résulte que la série de terme gééral u coverge aussi. Exercice 4. Comparaiso aux séries de Riema Etudier la ature de la série de terme gééral u = a (a > ). Lorsque a, la suite (u ) e coverge pas vers et la série de terme gééral u diverge grossièremet. Lorsque < a <, la suite ( u ) = ( a ) coverge vers (produit d ue expoetielle et d ue puissace). Doc à partir d u certai rag, o a u, d où l o déduit u, et puisque la série de terme gééral / est ue

97 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 79 série de Riema covergete, il e résulte que la série de terme gééral u coverge égalemet. Remarque O retiedra que pour comparer à ue série de Riema, il peut être utile de chercher la limite de suites de la forme ( a u ), (voir égalemet 4.5). Exercice 4. Comparaiso aux séries de Riema Cetrale PC 6 Nature de la série de terme gééral v = Arccos( / a )(a > ). Idicatio de la rédactio : utiliser u développemet limité de cos v. La suite (v ) est ue suite positive qui coverge vers et o a cos v = / a, doc, e utilisat u développemet limité au voisiage de de la foctio u cos u, oa a = cos v = v + o(v ). O e déduit v + /a doc v / a/, et la série de terme gééral v coverge si et seulemet si + a/ > c est-à-dire a >. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 4. TPE MP 6 Soit (u ) ue suite positive. O pose v = u +. ) Motrer que si u coverge, alors v coverge. ) Motrer que la réciproque est fausse. ) E utilisat l iégalité a b (a + b ), valable pour tout couple (a, b) R, o obtiet, pour tout N les iégalités v ( ) u + ( +). Comme les séries de termes gééraux u et /( +) coverget, la série de terme gééral ( ) u + ( +) coverge et par suite la série de terme gééral v coverge. ) Si N, preos u = /( +). La série de terme gééral u diverge. Par cotre v + /3/ et la série de terme gééral v coverge.

98 8 Chap. 4. Séries umériques Remarque O pourrait aussi utiliser l iégalité de Cauchy-Schwarz pour majorer les sommes partielles de la série. ( ) L exercice suivat utilise la formule de Stirlig :! p. + e Exercice 4.3 Règle de d Alembert. CCP PC 6 Etudier la ature de la série de terme gééral u =! a (a > ). Pour tout N,oa u + ( + )!a+ ( ) ( = u ( +) + a! = a = a + ). + Par u calcul de développemet limité classique (voir ex. 4.7), o obtiet que la suite (u + /u ) coverge vers ae, doc il résulte de la règle de d Alembert que la série de terme gééral u coverge si a/e <, doc si a < e, etdivergesi a/e >, doc si a > e. Lorsque a = e, o obtiet e utilisat la formule de Stirlig u + ( e ) p e Ce qu il faut savoir Comparaiso à ue itégrale = p et la série diverge grossièremet. Soit f ue foctio cotiue par morceaux décroissate et positive sur u itervalle de la forme [ A, + [. Alors la série de terme gééral coverge. Il e résulte que les propriétés suivates sot équivaletes : i) la série de terme gééral f () coverge ii) la série de terme gééral f (t)dt coverge iii) la foctio f est itégrable sur [ A, + [ iv) ue primitive F de f sur [ A, + [ admet ue limite fiie e +. f (t) dt f () Remarque De ombreux exercices reposet sur la comparaiso d ue série et d ue itégrale. Lorsqu ue foctio est décroissate sur [, ], où N,o pourra utiliser les iégalités f () d autres situatios sot possibles. f (x) dx f ( ), mais beaucoup

99 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 8 Exercice 4.4 Mies - Pots PC 5 Etudier la suite u = l(l ). k l k k= La foctio f défiie sur [, + [ par f (x) =, est cotiue décroissate x l x positive et la série de terme gééral f () somme partielle S de rag de cette série, o obtiet ( ) k S = f (k) f (t)dt = f (k) f () k=3 k = k= f (t)dt coverge. E calculat la f (t)dt f (k) f () l l +ll. ( ) Comme la suite (S ) 3 coverge, o e déduit que la suite f (k) l l coverge égalemet. k= k= 3 Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 4.5 Séries de Bertrad Etudier la série de terme gééral u = a (a, b R) e comparat à ue (l ) b série de Riema lorsque a et à ue itégrale lorsque a =. Applicatio : étudier les séries de termes gééraux v = l! puis w = l. a = La foctio défiie sur [, + [par f (x) = est dérivable et l o x(l x) b obtiet f (x) = l x + b x (l x) b+. Doc f est égative sur [ e b, + [ [, + [et f est ue foctio décroissate positive sur u itervalle de la forme [ A, + [.O obtiet facilemet ue primitive F de f : (l x) b F(x) = si b et F(x) = l(l x) sib =. b Doc o costate que F possède ue limite fiie e + si et seulemet si b >, et le critère de comparaiso à ue itégrale motre que la série de terme gééral /((l ) b )covergesietseulemetsib >.

100 8 Chap. 4. Séries umériques a < Si, o écrit a (l ) b = a (l ) b, et lim + a /(l ) b = +. a Doc, pour assez grad (l ) b, et a (l ) b. La série diverge par comparaiso à la série harmoique. a > Soita tel que a > a >. Si, o écrit a (l ) b = a a a (l ) b a a (l ) b. Mais lim (l ) b = +. Doc, pour assez grad + a a a (l ) b. La série coverge par comparaiso à ue série de Riema. a, et Remarque Ces résultats sot utilisés das beaucoup d exercices d oraux. Nous vous coseillos vivemet de savoir les redémotrer. Applicatio : E majorat chaque terme du produit! = par, o a, pour, l iégalité!, et doc l! l. Fialemet v l. Comme la série de terme gééral /( l ) est ue série de Bertrad divergete (a = b = ), il e résulte que la série de terme gééral v diverge. La suite ((l ) /) coverge vers. Comme o a l équivalet e u u,oa u doc w = e (l ) / (l ). O obtiet ue série de Bertrad divergete + (a =, b = ), il e résulte que la série de terme gééral w diverge. Ce qu il faut savoir Lorsque u v, et lorsque v est de sige costat à partir d u certai rag, + la série de terme gééral u et la série de terme gééral v sot de même ature. Das ce cas : si les séries coverget, alors u p v p, + p= p= si les séries diverget, alors u p v p. + p= p= Exercice 4.6 ) Motrer que a + + t a dt.

101 ) Motrer que k= k a 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio ) Lorsque a >, motrer que a a si a < l si a = k=+ k a 4) Motrer qu il existe u ombre g tel que + k=. a a. k = l + g + o(). ) Soit f la foctio défiie sur ], + [ par f (x) = x a. Lorsque a > la foctio f est décroissate, et o a, pour, Duod La photocopie o autorisée est u délit + ( ) a + + f ( +) f (t)dt f () et doc a f (t)dt. ( ) + Il résulte alors du théorème d ecadremet, que la suite a f (t)dt + coverge vers, et doc que a x a dx. + Lorsque a <, la foctio f est croissate, les iégalités sot iversées, mais la coclusio subsiste. k= k= k + ) Pour a, les séries de termes gééraux a et t a dt diverget. O a doc l équivalece des suites des sommes partielles, ce qui doe, pour a <, k+ + a t a dt = t a dt = ( +) a a + a + a. pour a =, k= + k= k+ k t dt = + 3) Pour a >, les séries de termes gééraux a et doc l équivalece des suites des restes, ce qui doe, a k=+ + k=+ k+ k t a dt = ( +) a N a = lim N + a t dt = l( +) + N lim t a dt N + + = ( +) a a l. + t a dt coverget. O a + a a.

102 84 Chap. 4. Séries umériques 4) Puisque la foctio x x est cotiue, décroissate et positive sur ], + [, la série de terme gééral ( k k k k k t dt coverge. Mais ) t dt = k l. k= k= ( ) Alors, puisque la suite (S ) coverge, o e e déduit que la suite k l coverge, et e otat g sa limite, o a appelé la costate d Euler. k= k k= = l + g + o(). Le ombre g est Remarque Les résultats obteus ci-dessus sot classiques et sot utilisés das de ombreux exercices d oraux. Il vaut mieux savoir les redémotrer. Exercice 4.7 Cetrale MP 6 Équivalet, quad N +, der N = k=n+ k 4 + k +. O a k 4 + k + = k k 7/ k 4 k + k 4. La série de terme gééral k 4 + coverge par comparaiso à ue série de Rie- k + ma, et l o a alors R N + k=n+ l exercice 4.6 pour = 4, qui doe R N. O peut alors appliquer les résultats de k4 N + 3N Séries à termes réels quelcoques ou à termes complexes Ce qu il faut savoir Soit (u ) ue suite umérique. O dit que la série de terme gééral u coverge absolumet lorsque la série de terme gééral u est covergete. Si la série de terme gééral u coverge absolumet, alors elle coverge. De plus, e cas de covergece absolue, u + u. = =

103 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 85 La série de terme gééral u est ue série à termes positifs et les résultats du paragraphe précédet peuvet doc s appliquer. Ue série qui coverge sas coverger absolumet, est dite semi-covergete. Critère de Leibiz ou critère spécial des séries alterées Soit (a ) ue suite décroissate qui coverge vers. Alors la série alterée de terme gééral ( ) a coverge. De plus ( ) k a k a +, et k=+ ( ) k a k est du sige de ( ) +. k=+ La série harmoique alterée de terme gééral ( ) / est l exemple d ue série qui coverge d après le critère de Leibiz, mais qui e coverge pas absolumet. Attetio : O e peut pas utiliser les équivalets pour étudier des séries dot le terme gééral est pas de sige costat à partir d u certai rag. O privilégiera das ce cas les développemets asymptotiques. (Voir ex. 4.). Exercice 4.8 Étudier la covergece et la covergece absolue de la série de terme gééral u = ( ) si. Duod La photocopie o autorisée est u délit Pour tout, o a u = si. Puisque l o a l équivalet si u u, o u e déduit que u + /. Comme la série de Riema de terme gééral / coverge, il e résulte que la série de terme gééral u coverge, c est-à-dire que la série de terme gééral u coverge absolumet. Doc elle coverge. Exercice 4.9 Étudier la covergece et la covergece absolue de la série de terme gééral u = ( ) si La foctio f défiie sur [, + [ par f (x) = comme dérivée f (x) = cos x (x si x) est décroissate. D autre part u = x si x est dérivable et admet. La dérivée état égative, il e résulte que f si +.

104 86 Chap. 4. Séries umériques Alors, la série de terme gééral u diverge par comparaiso à la série harmoique. Mais la suite ( u ) est ue suite décroissate qui coverge vers. Doc la série de terme gééral u coverge d après le critère de Leibiz. Exercice 4. Étudier si la série de terme gééral u = e ( ) / coverge. Puisque la suite (( ) / ) coverge vers, o peut utiliser le développemet limité au voisiage de de la foctio x e x. O a doc u = ( ) + ( ) + o. La série de terme gééral ( ) / ( ) coverge d après le critère de ( Leibiz. ) D autre part + o +, et la série de terme gééral + o diverge par comparaiso à la série harmoique. Il e résulte que la série de terme gééral u diverge, et ceci bie que u + ( ) /. O a doc l exemple de deux séries dot les termes gééraux sot équivalets mais qui e sot pas de même ature Séries doubles Ce qu il faut savoir Théorème de Fubii pour les séries doubles Soit (a m ) (,m) N ue famille de ombres réels positifs. O a alors ( + ) ( + ) a m = a m. = m= Ces deux sommes pouvat être fiies ou ifiies. Soit (z m ) (,m) N ue famille de ombres complexes. O dit que la famille est sommable lorsque la somme z m est fiie. Das ce cas les sommes ( = m= + ) ( + ) z m et z m sot toutes deux fiies et sot égales, et o = m= m= = ote cette quatité z m. (,m) N m= =

105 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 87 Cas particuliers Lorsque ue des sommes sommes égales. ( ) z m et ( ) z m ou = m= = m= m= =m ( + ) z m est fiie, les m= =m ( + ) z m sot toutes deux fiies et elles sot Lorsque les séries de termes gééraux u et v coverget ( absolumet, la famille + )( + ) (u v m ) (,m) N est sommable et u v m = u v. (,m) N = = Exercice 4. Motrer que pour tout couple (a, b) de ], + [, la famille de ombres réels (e a bm ) (,m) N est sommable, et calculer sa somme. Pour tout couple (a, b) de ], + [, les ombres e a et e b sot das ], [,et pour tout couple (m, ) den,oae a bm = (e a ) (e b ) m. Les séries de termes gééraux (e a ) et (e b ) m sot des séries géométriques qui coverget absolumet. Alors la famille de ombres réels (e a bm ) (,m) N est sommable et ( + )( + ) a m = (e a ) (e b ) = (,m) N = = e a e b. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 4. Soit q u ombre complexe tel que q <. Si (, m) N, o pose a m = ( ) q +m+m. E utilisat le théorème de Fubii motrer que Étudios la somme double q +q + = + = = = m= + O a tout d abord S = q q (+)m = m= q ( ) q +. a m. Pour N, posos S = m= q +m+m. q. Or, puisque la suite q + ( q + q )covergevers,oa q + + q. Il e résulte que la série de terme gééral S coverge, par comparaiso à la série géométrique de raiso q <,

106 88 Chap. 4. Séries umériques et la somme double Fubii. O a alors m= = m= a m est fiie. O peut doc appliquer le théorème de ( + ) q m ( ) q (m+) = = = ( + ) ( ) q q (+)m, ce qui, e calculat les sommes des séries géométriques, doe l égalité cherchée q m +q m+ = + m= = 4. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice 4.3 Mies - Pots MP 6 Nature de la série de terme gééral U = q m= ( ) q +. k= ( ) k (k l k). La série de terme gééral ( ) /( l ) est alterée. Alors U est majoré par le premier terme de la série doc U ( l ) Comme /( l ) est le terme gééral d ue série de Bertrad covergete (voir ex. 4.5), la série de terme gééral U coverge absolumet, doc coverge. Exercice 4.4 Mies - Pots MP 6 Nature de la série de terme gééral u = Idicatio de la rédactio : motrer que à ue itégrale. Pour, posos, v = a,oùa est réel. (l k) k= (l k) (l + ) e comparat k= (l k) et comparos v à l itégrale I = k= (l t) dt. E utilisat la croissace de la foctio logarithme, o a, lorsque k, les iégalités (l k) k+ k (l t) dt (l(k + )).

107 4. Exercices d etraîemet 89 E sommat ces iégalités pour k variat de à, o e tire, lorsque, l ecadremet v I v, ou ecore I v I +. Mais l itégrale I se calcule e itégrat par parties. E posat u(t) = (l t) et v (t) =, o obtiet I = [ t(l t) ] l tdt = [ t(l t) (t l t t) ] = (l ) l +. Remarque Ue primitive de x l x sur ], + [estx x l x x, ce que l o retrouve facilemet par ue itégratio par parties. ( O a doc I = (l ) l + (l ) I (l + ). Alors I + ( +) + [ l +l (l ) ( + )] = (l ) + ), d où l o déduit que [ + ] l( + /), l et l o e déduit que l o a aussi I + (l + ). La suite (v ) état ecadrée par deux suites équivaletes, il e résulte que v (l + ), puis que a u + (l ) = a (l ). Le terme gééral u est équivalet au terme gééral d ue série de Bertrad (voir ex. 4.5). Cette série coverge si a > c est-à-dire si a <, et diverge si a >. Lorsque a =, elle est de la forme et elle coverge doc. (l ) Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 4.5 Cetrale MP 7 Nature de la série de terme gééral u = cos ( ( p l )). E ( utilisat u développemet limité e de la foctio u l( + u), o obtiet l ) = ( ) O 4, d où u = cos ( p p p3 ( )) + O. Mais, pour tout a réel, ( cos(p + ( p/ )) +a) = ( ) cos(p/ +a) = ( ) + si a, p alors u = ( ) + si 3 + O. E utilisat u développemet limité e de la foctio sius, o obtiet alors u = ( ) + p ( ) 3 + O.

108 9 Chap. 4. Séries umériques La série de terme gééral ( ) + p/(3) coverge d après le critère de Leibiz, et la série de terme gééral O(/ ) coverge par comparaiso à ue série de Riema. Il e résulte que la série de terme gééral u coverge. Exercice 4.6 Mies - Pots MP 6 Soit b R. Pour tout N o pose a =. Nature de la série de terme k b gééral u. Idicatio de la rédactio : motrer que la série de terme gééral a diverge si b < etcovergesib >. k= Si b <, pour tout k, o a alors k b, doc k b k= k b, etilerésulte que u /. La série de terme gééral u diverge doc, par comparaiso à la série harmoique. Si b >, d après l exercice 4.6 appliqué à a = b, o a alors k b b+ + b +, k= b + et par suite u + b+. La série de terme gééral u coverge doc par comparaiso à ue série de Riema. O aurait pu aussi faire apparaître ue somme de Riema, e écrivat k b = b+ ( ) b k. k= k= ( ( ) ) b k La suite des sommes de Riema coverge vers x b dx = k= b + b+ doc o retrouve l équivalet + b +. Exercice 4.7 Mies - Pots MP 7 Nature de la série de terme gééral u = si(p(3 + 5) )? Idicatio de la rédactio : motrer que, pour tout N, le ombre a = (3 + 5) +(3 5) est etier et comparer u au terme gééral d ue série géométrique. k=

109 4. Exercices d etraîemet 9 O peut motrer e utilisat la formule du biôme que a est etier. E effet, ( ) 5 k ( ) a = 3 k + ( ( ) 5 5) k 3 k k = ( + ( ) k )3 k. k k k k= k= Das cette somme e restet que les termes pour lesquels k est pair. Doc, si l o E(/) ( ) pose k = p, o obtiet a = 5 p 3 p+ qui est u ombre etier p p= pair. Alors u = si(pa p(3 5) ) = si(p(3 5) ). Et puisque l o a, pour tout x réel, l iégalité si x x, o obtiet la majoratio u p(3 5). Mais 3 5 <, doc la série de terme gééral u coverge absolumet, par comparaiso à ue série géométrique. k= Exercice 4.8 Mies - Pots MP 6 Nature de la série de terme gééral u = l ( +( ) + a ),oùa >. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) ) O écrit u = l +l (+ ( ) = l (+ ( ) ( + a l + a ), et o utilise le développemet limité e de la foctio u l( + u). E posat u = ( ) /,oau = l( + u) l( + au ), et l o obtiet alors, ( ). 3/ u = u u au + O(u3 ) = ( ) +a + O O a u /, et la série de terme gééral u e coverge pas absolumet. + Par cotre la série de terme gééral ( ) /, coverge d après le critère de Leibiz, et la série de terme gééral O(/ 3/ ) coverge par comparaiso à ue série de Riema. Si a =, alors la série de terme gééral u coverge doc. Par cotre si a, alors la série de terme gééral (a +)/ diverge, et la série de terme gééral u diverge. Exercice 4.9 D après Mies - Pots MP 6 O veut étudier la ature de la série de terme gééral u = l (+ ( ) a >. a ),où ) Motrer que u + v = ( ) / a, et e déduire pour quelles valeurs de a la série coverge absolumet.

110 9 Chap. 4. Séries umériques ) E utilisat u développemet limité à l ordre e de la foctio u l( + u) trouver u équivalet de u v et e déduire pour quelles valeurs de a la série coverge. ) La suite (( ) / a ) coverge vers. O peut doc utiliser le fait que, e, ( ) l( + u) u, et l o obtiet u u + a, doc u + a. O trouve ue série de Riema qui coverge si et seulemet si a >. Doc la série de terme gééral u coverge absolumet si et seulemet si a >. ) E utilisat le développemet limité e : l( + u) = u u /+o(u ), o obtiet u = ( ) a ( ) a + o a. O a doc u = v + w,où v = ( ) a et w = ( ) a + o a. La série de terme gééral v coverge d après le critère de Leibiz, puisque la suite (/ a ) est décroissate et coverge vers. Pour la série de terme gééral w = u v,oa w. C est doc + a ue série de Riema de sige costat qui coverge si et seulemet si a >, soit a > /. Doc, si / < a, la série de terme gééral u est la somme de deux séries covergetes. Elle coverge doc. Par cotre si < a /, la série de terme gééral u est la somme d ue série covergete et d ue série divergete. Elle diverge doc. E résumé : sia > la série coverge absolumet si/ < a la série est semi-covergete si< a / la série diverge. Exercice 4.3 Mies - Pots MP 6 Nature de la série de terme gééral u = partie etière du ombre x. ) e ( +,où[x] désige la 3/ [ 3/ ]+ E utilisat le développemet limité e de la foctio u l( + u), o obtiet ( + ) ( ( = exp l + )) ( ( = exp ( ))) + o ( = exp ( )) ( + o = e exp ( )) + o.

111 4. Exercices d etraîemet 93 Puis e utilisat le développemet limité e de l expoetielle, o trouve ( e + ) ( = e e ( )) + o = e ( ) + o e +. Il e résulte e particulier que cette expressio est positive à partir d u certai rag. Par ailleurs 3/ [ 3/ ]+ < +, d où 3/ [ 3/ ]+, et + il e résulte que u + comparaiso à ue série de Riema. e. Alors, la série de terme gééral u coverge, par Exercice 4.3 Cetrale MP 7 Calculer la somme double S = pq(p + q ). (p,q) (N ) Duod La photocopie o autorisée est u délit Comme, pour tout couple (p, q) (N ) le ombre a pq = /(pq(p + q )) est positif, o peut appliquer le théorème de Fubii. Le calcul doit être fait soigeusemet : si l o fixe p, o est ameé à décomposer ( e élémets ) simples la fractio ratioelle q(p + q ) sous la forme p q e preat garde p + q que ce calcul est possible que si p. Il faudra doc isoler das le calcul le premier terme. Pour p, otos S p = a pq. O a tout d abord S = q = p 6, puis, q= q= q(p + q ). lorsque p, o obtiet S p = p + p q= Lorsque Q > p, o calcule la somme partielle Q q(p + q ) = Q ( ) p q p + q q= q= Q O obtiet alors q(p + q ) = p p ted vers l ifii, o trouve S = p= S p = S + p= q= p + p(p ) q= q(p + q ) = = p p+q q q=q+ p p p = S + q q= q= q= p+q Q q. q q= q=p+, et, lorsque Q q q. Doc, p= p(p ) p. q q=

112 94 Chap. 4. Séries umériques p O va calculer e appliquat le théorème de Fubii pour p(p ) q p= q= itervertir les sommatios. O remarquera que les couples (p, q) figurat das cette somme double vérifiet la coditio q p. Doc, si q est fixé, p varie de q à +. O obtiet alors La somme ( p + ) =. p(p ) q q p(p ) q= q= p=q ( p ) est la somme d ue série télesco- p pique et vaut p=q p= + p(p ) = q p= lim p + p=q p = p(p ) q, doc p = q q= q= q(q ), et cette somme vaut, car o fait apparaître de ouveau ue série télescopique. Fialemet S = S = p / EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 4.3 Mies - Pots MP 5 Soit a das R + et (u ) la suite défiie par : u > et N, u + = u + a. u ) Si a >, motrer que la suite (u ) coverge vers ue limite l. Doer u équivalet de l u. ) Si a [, ], motrer que u ted vers + et, e utilisat la suite (u + u ), doer u équivalet de u. Il est immédiat par récurrece que, pour tout, o a u >, et o e déduit doc que u + u = a >. La suite (u ) est croissate et positive. Elle admet u ue limite strictemet positive (fiie ou o). ) O suppose a >. Pour tout, o a u u, doc u + u a,et u la série de terme gééral u + u coverge par comparaiso à ue série de Riema. Mais la série télescopique de terme gééral u + u coverge si et seulemet si la suite (u ) possède ue limite fiie l, et il e résulte que u + u + l a.

113 4.3 Exercices d approfodissemet 95 Duod La photocopie o autorisée est u délit O a alors l équivalece des suites des restes k= k= (u k+ u k ) = l u, et d après l exercice 4.6, o a O obtiet doc l u + l(a ) a. (u k+ u k ) + k= k a l + k= k a. Mais (a ) a. ) Si la suite (u ) admet ue limite fiie l, alors l u > etu + u + a l. Mais la série télescopique de terme gééral u + u coverge das ce cas et la série de Riema de terme gééral / a coverge, d où a >. Il e résulte que lorsque a, la suite (u )admet+ pour limite. O a alors u + = u + a + a u, doc u + u = a ( + a u ). Et puisque la suite (u )admet+ pour limite, o e déduit que u + u. Comme la série + a de terme gééral / a diverge, les suites des sommes partielles sot équivaletes. Doc Mais k= (u k+ u k) + k= k a. (u k+ u k) = u u, et d après l exercice 4.6, o a, pour a [, [, k= l équivalet déduit u k a k= + + Pour a =, o a cette fois Exercice 4.33 a ( a)/. a a. O obtiet doc u u a, et o e + a k= k + l,etoedéduit u l. + Cetrale MP 6 K Motrer que la série de terme gééral /! coverge, puis otat s sa somme, étudier les séries de termes gééraux si(ps!), puis si(ps!). l Si l o pose a = /!, o a a + = a +, et la suite (a +/a )covergevers <. Il résulte de la règle de d Alembert que la série de terme gééral a coverge. Remarque O verra das le chapitre «Séries etières» que s = e.

114 96 Chap. 4. Séries umériques Étude de la série de terme gééral si(ps!). l! + O a alors!s = k! +! k!. k= k=+ Mais le ombre a défii par a =! k! = ((k +)... ) est u ombre k= etier. Doc, si l o pose b = s! a, o aura si(ps!) = si(pb ). Ecadros b. D ue part o a b = k=+ k= ( +) ( + k ), et doc b +. D autre part si, pour r compris etre et k, l o miore +r par r das le produit ( + )( +) ( + r) ( + k ), o obtiet ( ) b +, + r (k ) Doc b + k=+ k=+ (k )! = + k= k! = s +. Il résulte alors du théorème d ecadremet que la suite (b ) coverge vers. Alors à partir d u certai rag pb appartiet à l itervalle [, p/ ] sur lequel la foctio sius est croissate. Doc à partir d u certai rag, o a si(ps!) l = si(pb ) l si p + l + p l. Alors la série de terme gééral si(ps!) diverge par comparaiso à ue série de l Bertrad (voir ex. 4.5). Étude de la série de terme gééral si(ps!) O a si(ps!) = si(pa + pb ) = ( ) a si(pb ). La suite (b ) coverge vers. Étudios sa mootoie. O a, si, b b = = k= k=+ ( )! k! k=+ ( )! + (k )! k=+! k!! + k! = k=+ (k )( )! k! >. La suite (b ) est doc décroissate, et la suite (si(pb )) décroit à partir d u certai rag. Étudios maiteat la suite (a ). Si, o a, a = ++ ((k +)... ). k=

115 Mais tous les produits iterveat das la somme 4.3 Exercices d approfodissemet 97 (k +) cotieet deux etiers cosécutifs et sot pairs. Alors a et sot de parités opposées. Fialemet si(ps!) = ( ) + si(pb ), et les coditios du critère de Leibiz sot satisfaites, ce qui prouve que la série de terme gééral si(pb )coverge. Par cotre elle e coverge pas absolumet, puisque, à partir d u certai rag, si(pb ) si p p + +. k= Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 4.34 Extrait de Cetrale MP 7 ( Détermier la ature de la série de terme gééral u =! l + x ) k + k= avec x >. u ( + O a lim = lim + u ( +)l + x ) = x, et il résulte de la règle de + + d Alembert que la série de terme gééral u coverge si < x < etdivergesi x >. Il reste à étudier le cas x =. O écrit u = + k= + Alors l u = l( +)+ ( ( Mais l k l + )) = l k ( ( (k +)l + )) = k + + k= ( ( l k l + )). k ( k + O + k= ( ( k l + )). k ( )) k = ( k + O k + La série de terme gééral / coverge. Il e résulte que alors, e sommat, o obtiet l u = l( +) ( + Mais, puisque la suite + k= + k= k= O ( k k + O(). ). ) = O(), ) l( +) coverge (comparaiso série-itégrale), k o e déduit que k = l( +)+O() et doc l u = 3 l( +)+O(). k= ( ) Fialemet u = eo() ( +) = O. 3/ 3/ La série de terme gééral u coverge doc par comparaiso à ue série de Riema.

116 98 Chap. 4. Séries umériques Exercice 4.35 Cetrale MP 7 Pour, o pose u = l / et v = ( ) u. ) Préciser la ature des séries de termes gééraux u et v. O pose S = u p et T = v p. p= p= ) Doer u équivalet de S à l ifii. 3) Motrer que S S = l l + 4) Calculer S + T pour N. 5) E déduire = v. (l ) + o() quad ted vers +. ) Pour, o a u l et la série de terme gééral u diverge par comparaiso à la série harmoique. Soit f la foctio défiie sur [, + ]parf (x) = l x/x. Cette foctio est dérivable et, si x e, oa f (x) = ( l x)/x, doc f est décroissate sur [ e, + ]. La suite (l /) décroît à partir du rag 3 et coverge vers. Il résulte du critère de Leibiz qu elle coverge. ) Puisque la foctio f est décroissate et ted vers à l ifii, la série de terme gééral f (t) et la série de terme gééral f () sot de même ature, doc divergetes. Alors, o a S f (x) dx = =. [ ] (l x) (l ) + 3) E utilisat ecore la décroissace de f, o a, pour k 4, k+ k f (t) dt f (k) et doc e sommat, o obtiet, pour 3, k k f (t) dt, ou ecore f (t) dt + f (t) dt S S = + f (t) dt k=+ f (k) f (t) dt S S f (t) dt, f (t) dt.

117 4.3 Exercices d approfodissemet 99 Mais et doc + Alors l l + f (t) dt = + f (t) dt (l ) que S S = l l + 4) O a S +T = k= ( (l()) (l ) ) = l l + + f (t) dt f () = o(), f (t) dt = o(). + o() S S l l + (l ) + o(). (+( ) k )u k = O obtiet doc S + T = S +l 5) Si g est la costate d Euler, o a u p = p= p= p= p p. p= (l ) l(p) p = (l ),, et l o e déduit p= l p p + p= = l + g + o() (voir 4.6), et doc l p. (l ) T = S S +(l + g)l+o() = + g l + o(), et, puisque la suite (T ) coverge, o e déduit lim + T = lim T = + (l ) + g l. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 4.36 Mies - Pots MP 5 + Étudier lim s +(s ) s. = Si, o a alors pour p, s ( (p +) s ) + s s. = + p+ dx x s, et doc e sommat ces iégalités, s dx p + dx p x s = = x s s, ce qui doe = p s. Et efi e faisat tedre p vers +, =

118 Chap. 4. Séries umériques Si, o a alors p, p dx x s = faisat tedre p vers +, et doc (s ) = + lim s +(s ) s =. = Exercice 4.37 dx x s, et doc e sommat ces iégalités, pour s p dx p x s, o e déduit comme ci-dessus e s = + s s = = s. Fialemet s + = s + s, s. Alors o déduit du théorème d ecadremet que Mies - Pots MP 6 K Soit (u ) ue suite décroissate d élémets de R + de limite. Pour, o pose v = u. Y a-t-il u lie etre la covergece des séries de termes gééraux u et v? Testos tout d abord avec des séries de Riema. Si u = / a,oav = / (a ). La série de terme gééral u coverge si et seulemet si a >, alors que la série de terme gééral v coverge si et seulemet si (a ) >, c est-à-dire a > 3/. Les deux séries e sot pas toujours de même ature. Mais o costate que si la série de terme gééral u diverge, il e est de même de la série de terme gééral v.efait ce résultat est gééral. E voici la démostratio. Tout d abord, comme la suite (u ) est décroissate, o peut miorer par u les termes u p lorsque + p ( +) et l o obtiet (+) p= + u p u (+) p= + = ( +)u, Mais est positif dès que 3, doc, das ces coditios o obtiet (+) N (+) N l iégalité u p u. Alors u p u, c est-à-dire p= + =3 p= + =3 (N+) N (N+) u u. Si la série de terme gééral u diverge, la suite = =3 u = ( N ) admet + comme limite. Il e résulte que la suite u admet égalemet + comme limite et doc que la série de terme gééral (v )diverge. =3

119 4.3 Exercices d approfodissemet Exercice 4.38 Mies - Pots MP 6 KK Nature de la série de terme gééral u = l (O admettra que k= ( ) k k = Arcta ). ( ta ( k= )) ( ) k. k Duod La photocopie o autorisée est u délit Notos S = k= ( ) k k. La suite (S )covergevers k= ( ) k k = Arcta = p 4. Alors S = p + 4 ( ) k k = p 4 R. O e déduit k=+ ( p ) ta S = ta 4 R = ta R, +tar et efi u = l( ta R ) l( + ta R ). Comme (R ) coverge vers, o peut utiliser u développemet limité e de la foctio f : x l( ta x) l( + ta x). Comme ta x = x + O(x ), o obtiet l( ta x) = l( x +O(x )) = x +O(x ), et de même l(+ta x) = x +O(x ), d où f (x) = x + O(x ). Alors u = R + O(R ). Mais, puisque R est la somme d ue série alterée, R est majoré par la valeur absolue du premier terme de la somme, doc R /( + ), et il e résulte que R /(4 ). Comme la série de terme gééral /(4 ) coverge, il e est de même de la série de terme gééral R, et fialemet de la série de terme gééral u +R = O(R ). La série de terme gééral u coverge doc si et seulemet si la série de terme gééral R coverge. O va motrer que cette derière série est ue série alterée. Comme la série de terme gééral ( ) k /(k ) est alterée, R est du sige de so premier terme, doc R = ( ) R.Mais R = k=+ ( ) k k = k= ( ) k k + + = N+ lim N + k= ( ) k k + +. E regroupat les termes d idices k = p et k = p +, o a ecore N ( ) R = lim N + 4p + +. Mais 4p + +3 p= N ( ) 4p + + = 4p + +3 p= N p= (4p + + )(4p + +3),

120 Chap. 4. Séries umériques et, état fixé, lorsque p ted vers + o a (4p + + )(4p + +3) Il e résulte que la série de terme gééral R = p= p + 8p. coverge. Alors (4p + + )(4p + +3) (4p + + )(4p + +3). Efi, puisque (4p + + )(4p + +3) (4p + + 3)(4p + +5),oe déduit que R R +, et la suite ( R ) est décroissate. Comme elle coverge vers, il e résulte que la série de terme gééral R coverge d après le critère de Leibiz et o e coclut que la série de terme gééral u coverge. O peut motrer que la série de terme gééral u e coverge pas absolumet. Puisque la série de terme gééral u +R coverge absolumet, il suffit de motrer que la série de terme gééral R e coverge pas absolumet. O a Doc R + R + = k=+ ( ) k k k=+ + R, ( ) k k = +, et puisque /( + ) est le terme gééral d ue série divergete la série de terme gééral R diverge. Exercice 4.39 Mies - Pots MP 7 KK Pour (p, q) N, o pose u(p, q) = sip = q et u(p, q) = p q. ) Calculer q= p= u(p, q). ) La famille (u(p, q)) (p,q) N est-elle sommable? p q si ) Pour q fixé, o a u(p, q) /p et la série de terme gééral u(p, q) coverge. Si p q, o a, e décomposat e élémets simples, p + u(p, q) = ( q p q ). Soit N q. Calculos la somme partielle p + q

121 4.3 Exercices d approfodissemet 3 Duod La photocopie o autorisée est u délit S N (q) = N u(p, q). O a p= S N (q) = q q p= q q p p= p + q + N p=q+ p q N p=q+. p + q E effectuat das chaque somme le chagemet de variable coveable pour obteir le même terme /, o obtiet S N (q) = q N q N+q q q +. = =q = =q+ O a ecore S N (q) = q q q N q N+q q + +, q = =q+ = =q d où fialemet S N (q) = N+q q q = 4q N+q q. Mais suite N+q =N q+ N+q =N q+ vers /(4q ). Doc S(q) = Alors q= p= =N q+ =N q+ q, et il résulte du théorème d ecadremet que la N q + coverge vers. O e déduit que la suite (S N (q)) N coverge N u(p, q) = p= p= u(p, q) = 4q. O a aussi S() = + + p q= 4q = 3 4 ) E permutat les rôles de p et de q, o obtiet S = q= p= u(p, q) = p= q= u(q, p) = p= p= p = p 8. q= p= p. u(p, q) = S. La famille (u(p, q)) (p,q) N est doc pas sommable, car sio, d après le théorème de Fubii, les sommes S et S seraiet égales. Exercice 4.4 D après Polytechique MP 6 Soit f C (R +, R + ) telle que f (x) a f (x) quad x +,aveca <. x + O veut étudier la ature de la série de terme gééral f ().

122 4 Chap. 4. Séries umériques ) Motrer qu il existe u itervalle [ b, + [ sur lequel f est décroissate. ) Motrer que la série de terme gééral f ( ) f () coverge. 3) Coclure e comparat les séries de termes gééraux f ()et f ( ) f (). ) Puisque f (x) a f (x) quad x +, il existe u itervalle I = [ a, + [, et ue foctio défiie sur cet itervalle et admettat comme limite e + telle que, pour tout x de I,oait f (x) = a f (x) (x). Comme (x) ted vers, il existe b a tel que, sur [ b, + [oait (x) > /. Alors, sur [ b, + [ les ombres f (x) eta f (x) ot le même sige. Comme a < et f (x) >, o a doc a f (x) <, et doc égalemet f (x) <. Il e résulte que la foctio f est décroissate sur cet itervalle. ) Comme la foctio f est décroissate positive, elle admet ue limite fiie e +, et la suite ( f ()) égalemet. Alors la série télescopique de terme gééral f ( ) f () coverge. 3) D après le théorème des accroissemets fiis, il existe c das l itervalle [, + ] tel que, si, o a f ( ) f () = (( ) ) f (c ) = f (c ). Alors, à partir d u certai rag, f ( ) f () = a f (c ) (c ) ( a) f (), et, par comparaiso, la série de terme gééral ( a) f () coverge, doc la série de terme gééral f () coverge. Exercice 4.4 D après Polytechique MP 6 K Soit (a ) N ue suite réelle à termes positifs, décroissate et de limite ulle. Soit (x ) N ue suite réelle à termes positifs telle que la série de terme gééral a x coverge. O veut étudier la suite (u ) défiie par u = a x k. ) Étudier la ature de la suite (u ) lorsque la série de terme gééral x coverge. ) O suppose que la série de terme gééral x diverge..a Motrer que la suite (u ) est borée..b E utilisat la trasformatio d Abel, motrer que la suite (u )coverge.c Motrer qu il existe ue suite (p ) strictemet croissate d etiers vérifiat la propriété suivate : pour tout etier, o a x k x k p. E déduire que la suite (u p )covergevers..d Coclure. k= k=+ k=

123 4.3 Exercices d approfodissemet 5 Duod La photocopie o autorisée est u délit Notos S = x k. k= ) Si la série de terme gééral x coverge vers S,oau Sa, et la suite (u ) + coverge vers. ) O suppose que la série de terme gééral x diverge. La suite (S ) admet doc + comme limite..a Puisque la série de terme gééral a x est covergete, et que la suite (a ) décroit, o a, pour tout, u = a S a k x k a k x k, et la suite (u ) est borée. k= k=.b O utilise la trasformatio d Abel a k x k = a S + (a k a k+ )S k. k= ( k= ) Comme la série de terme gééral a x coverge, la suite a k x k est borée, et k= ( ) puisque (a S ) est borée, o e déduit que la suite (a k a k+ )S k est égalemet borée. Mais c est ue suite croissate positive. Elle coverge doc, et e coséquece la suite (a S )coverge..c O costruit la suite (p ) par récurrece. Posos p =. Supposos que l o ait costruit les ombres p, p,...p. Puisque la série de terme gééral x diverge, alors, pour tout etier, la suite (S N S ) N admet + comme limite. Il existe doc u etier K tel que, p K p implique x k x k. O pred alors p = max(p +, K ). k=+ k= Alors, p et la suite (p )admet+ comme limite. Par ailleurs ( p ) p p u p = a p x k = a p x k + x k a p x k k= k= k=+ k=+ ( p ) Fialemet u p a k x k a k x k. k= k= k= p k=+ a k x k. ( Mais, puisque la série de terme gééral a x coverge, o e déduit que la suite p ) a k x k a k x k coverge vers, et il résulte du théorème d ecadremet k= k= que la suite (u p )covergevers..d Coclusio : la suite (u ) coverge vers puisqu elle coverge et qu ue suite extraite coverge vers.

124 6 Chap. 4. Séries umériques Exercice 4.4 Mies - Pots MP 7 ) Soiet (u ) et (v ) deux suites réelles, et l R. O suppose :, u > ; v coverge, u + = l u + v. Motrer que ( l u )coverge. ) Nature de la série de terme gééral :!e? ) Pour, posos t = l( l u ) et étudios t + t.oa ( ) + t + t = l(( +) l u + ) l( l u ) = l l +l u +. u ( Doc t + t = l l + ) ( +l l ) + v. La suite (v ) coverge vers, puisque la série de terme gééral v coverge. O peut utiliser le développemet limité e de la foctio x l( + x), et l o ( ( )) ( ( ( obtiet t + t = l + O + l + v + O l ) )) + v. ( ( Mais O l ) ) + v = O(v)+O(/ ), (cela résulte de l iégalité ( l ( ) l ) + v + v ). O e déduit t + t = v + O(v)+O(/ ). La série de terme gééral O(/ ) coverge, et v + O(v) v, doc la série + de terme gééral v + O(v) coverge absolumet. Il e résulte que la série de terme gééral t + t coverge, et cela sigifie que la suite (t ) coverge vers ue limite fiie l. Alors la suite (exp(t )) coverge vers e l, ce qui doe le résultat. ) Si u =!e,oa u ( + = + ) ( ( u e = exp l + ) ). ( E utilisat u développemet limité, o a l + ) = ( ) + O 3, d où u ( + = exp ( )) u + O = ( ) + O. Si l o pred l = / etv = O(/ ), la série de terme gééral v coverge absolumet par comparaiso à la série de Riema de terme gééral /. O peut doc appliquer ). La suite / u coverge vers ue limite s >. Doc u et la série diverge par comparaiso à la série de Riema / /. + s//

125 4.3 Exercices d approfodissemet 7 Remarque La formule de Stirlig doe directemet u méthode attedue ici. / p mais ce est pas la + Exercice 4.43 Mies - Pots MP 6, Polytechique MP 5 Soit (u ) N ue suite décroissate de réels strictemet positifs. ) O suppose que la série de terme gééral u coverge. Motrer que la série de terme gééral v = (u u + ) coverge, que la suite (u ) coverge vers et que = u = = (u u + ). ) Réciproquemet, o suppose que la série de terme gééral (u u + ) coverge. Motrer que la série de terme gééral u coverge si et seulemet si la suite (u )covergevers. 3) Doer u exemple de suite (u ) qui e coverge pas vers, alors que la série de terme gééral (u u + )coverge. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Lorsque, otos S = T = ku k k= u k et T = k= ku k+ = k= k(u k u k+ ). O a k= + ku k (k )u k = k= k= u k u +. Doc T = S u +. Si la série de terme gééral u coverge et si S désige sa somme, o a alors T S S. La suite (T ) est croissate majorée. Elle coverge doc et o a u + = S T. Il e résulte que la suite (u + ) coverge. Si sa limite était u ombre l o ul, o e déduirait alors que u + l/ ce qui est pas possible + puisque la série de terme gééral / diverge. O e déduit que la suite (u + ) coverge vers, et doc les suites (S )et(t ) ot la même limite. D où = u = = (u u + ). Par ailleurs, puisque les suites (u )et(( )u ) coverget, leur somme (u ) coverge aussi vers. ) Sas autre hypothèse, lorsque la série de terme gééral u coverge, la suite (u ) coverge vers. Supposos que la série de terme gééral v = (u u + ) coverge et que la suite (u )covergevers. k=

126 8 Chap. 4. Séries umériques O a u u + gééral u u + coverge et = v /, Comme la suite (u ) coverge vers, la série de terme k= O e déduit que u + u v k k = u. Alors u = k= k= v k k k= v k. v k. Comme la suite des restes de la série de terme gééral v coverge vers, il résulte du théorème d ecadremet que la suite (u + ) coverge vers. Mais S = T + u +, et puisque la suite (T ) coverge, il e résulte que la suite (S ) coverge. Doc la série de terme gééral u coverge. 3) Si (a ) est ue suite décroissate positive telle que la série de terme gééral a coverge et si a est u ombre strictemet positif, alors e posat u = a + a, o obtiet ue suite (u ) décroissate positive qui e coverge pas vers zéro, mais qui est telle que la série de terme gééral (u u + ) = (a a + )coverge.

127 Espaces vectoriels ormés 5 5. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION 5.. Normes Ce qu il faut savoir Soit E u espace vectoriel sur K (= R ou C). O appelle orme sur E toute applicatio N : E R + telle que : (i) x E, (N (x) = x = E ) (séparatio) (ii) x E, l K, N (lx) = l N (x) (homogééité) (iii) (x, y) E, N (x + y) N (x) + N (y) (iégalité triagulaire) O dit alors que le couple (E, N) est u espace vectoriel ormé. La orme d u élémet x de E est souvet otée x. Exemples de ormes classiques ) Normes usuelles de K ( N ). Pour tout x = (x,, x ) K, o pose x = x k ; x = x k ( ; x = max xk ). k k= O défiit aisi trois ormes sur K. k= ) Soit ( E, ( )) u espace préhilbertie réel ou complexe, alors l applicatio : x x = (x x ) est ue orme sur E appelée orme euclidiee. 3) Soit (a, b) R tel que a < b et soit E = C ([a, b], K). O pose pour tout f E : b b f = f (t) dt, f = f (t) dt et f = sup f (t). t [a,b] a O défiit aisi trois ormes sur E. a Iégalités triagulaires : Soit ( E, ) u espace vectoriel ormé. Pour tout (x, y) E,oa x y x + y x + y.

128 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés Vocabulaire : Soiet a E et r >. O appelle boule ouverte de cetre a et de rayo r l esemble B (a, r) = {x E, x a < r}. boule fermée de cetre a et de rayo r l esemble B f (a, r) = {x E, x a r}. sphère de cetre a et de rayo r l esemble S (a, r) = {x E, x a = r}. O appelle boule ouverte (resp. boule fermée, sphère) uité l esemble B (, ) (resp. B f (, ), S (, ) ). Remarque Ue boule est u esemble covexe. Exercice 5. Ecole de l Air PC 5 Motrer que N, défiie sur R par N(x, y) = max ( x, y, x y ), est ue orme sur R. Représeter la boule uité ouverte. N est bie défiie et à valeurs das R +. Pour tout (x, y) R et tout l R,oa N (l(x, y)) = max ( lx, ly, l(x y) ) = l N (x, y). De plus N(x, y) = x = y = x y = (x, y) = (, ). Motros efi l iégalité triagulaire. Soiet (x, y)et(x, y )dasr. N((x, y)+(x, y )) = max ( x + x, y + y, ( x + x ) ( y + y ) ). O a x + x x + x, y + y y + y et ( x + x ) ( y + y ) x y + x y. Doc x + x, y + y et ( x + x ) ( y + y ) sot majorés par max ( x, y, x y ) +max ( x, y, x y ) = N(x, y)+n(x, y ), d où N((x, y)+(x, y )) N(x, y)+n(x, y ). Le couple (x, y) est das la boule uité si et seulemet si max( x, y, x y ) < c est-à-dire si et seulemet si x <, y < et x y <. Aisi B(, ) = { (x, y) R x <, y < et x y < }.

129 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio O obtiet la figure suivate : 5.. Suites covergetes, Normes équivaletes Ce qu il faut savoir Duod La photocopie o autorisée est u délit Suites covergetes : Soit ( E, ) u espace vectoriel ormé et soit (x ) ue suite d élémets de E. O dit que la suite (x ) est covergete lorsqu il existe l E telle que la suite réelle ( x l ) coverge vers, c est-à-dire si et seulemet si : >, N, N, x l. U tel vecteur l est alors uique. O dit que la suite (x ) coverge vers l ou ecore que l est la limite de la suite (x ), et o ote : lim x = l. + Normes équivaletes Soit E u espace vectoriel sur K, N et N deux ormes sur E. Les propositios suivates sot équivaletes : (i) il existe a > etb > tels que x E, an (x) N (x) bn (x) ; (ii) toute suite de E covergeat vers pour N coverge vers pour N,etvice versa. O dit das ces coditios que N et N sot équivaletes. Si E est de dimesio fiie, alors toutes les ormes défiies sur E sot équivaletes. Par exemple, o a pour tout x K x x x, x x x et x x x. E pratique o se place das ue base B = (e,...,e p ). U vecteur x de E est alors défii par ses coordoées das la base B. Soit(x ) ue suite d élémets p de E, avecx = x,i e i. Pour que la suite (x ) soit covergete, de limite l = i= p l i, il faut et il suffit que chacue des suites umériques (x,i ) soit i= covergete, de limite l i. Il est iutile de préciser la orme choisie.

130 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés Remarque Cela est plus vrai e dimesio ifiie, o motre par exemple que les trois ormes classiques, et e sot pas équivaletes sur C ([a, b], K). Exercice 5. O cosidère les matrices A = 3 5 et B =. 3 ) Motrer que la suite (A ) N coverge et détermier sa limite. ) Motrer que la suite (B ) N diverge. Idicatio pour la questio : Calculer B et B 3. ) Pour tout N, A = ( ) Chacu des coefficiets ted vers lorsque ted vers + doc la suite (A ) N coverge vers la matrice ulle. ) O calcule comme idiqué B = et B 3 = B. O a pour tout k N, B k+ = B et B k = B. Doc les suites extraites (B ) N et (B + ) N coverget vers des limites différetes (B et B ), doc la suite (B ) N est pas covergete. Exercice 5.3 O cosidère la matrice A = Etablir que (A I 3 ) = 3. E déduire A. Motrer que la suite coverge et détermier sa limite. ( ) A N

131 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 3 U simple calcul mèe à (A I 3 ) =.OadeplusA = I 3 +(A I 3 ), et o déduit de la formule du biôme que N A = I 3 + (A I 3 ). O a doc A = A ( )I 3 A I 3. + Ce qu il faut savoir Pour motrer que deux ormes N et N e sot pas équivaletes, o costruit ue suite (x ) d élémets de E telle que N (x ) ted vers ou +. Das la pratique, N (x ) o choisit la suite (x ) telle que, pour tout N, N (x ) = (ou N (x ) = ). Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 5.4 Cetrale PSI 7, 6 Soit E = C ([, ], R). Si a [, ] et f E, o pose N a ( f ) = sup f + [a,] ) Motrer que N a est ue orme sur E. ) Etat doés a et b tels que a < b, o se propose de motrer que les ormes N a et N b e sot pas équivaletes. Pour cela o pose pour tout N, g = a + b a, et o itroduit la foctio f défiie par si x a, x a si a x a + g, x [, ], f (x) = g a x g g a si a + g x g, si g x..a) Tracer le graphe de f et vérifier que f E..b) Calculer N a ( f )etn b ( f ) et coclure. a f. ) O vérifie facilemet que N a (l f ) = l N a ( f )etn a ( f + g) N a ( f )+N a (g) pour tout ( f, g) E et l R. De plus, N a ( f ) = sup f + D ue part, sup a [a,] [a,] a f = sietseulemetsisup f = et [a,] a } {{ } } {{ } f = etraîe f (x) = pour tout x [a, ]. D autre part, f =. f = et f est cotiue et positive sur [, a], doc f est ulle sur [, a]. Fialemet f est ulle sur [, ]. Doc N a est ue orme sur E.

132 4 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés.a) La foctio f est ue foctio affie par morceaux sur le segmet [, ], et o voit à l aide de so graphe qu elle est cotiue. C est doc u élémet de E (il est vivemet coseillé de tracer effectivemet so graphe!) α O vérifie géométriquemet que N a ( f ) = et que N b ( f ) = g a = b a (c est l aire du triagle!). La suite ( f ) coverge vers la foctio ulle pour la orme N b, mais pas pour la orme N a. Les deux ormes e sot pas équivaletes. γ Exercice 5.5 (Très proche de INT PC 5, Mies-Pots MP 7) K Soit E = { f C ([, ], R)}. O pose pour tout f E, N ( f ) = f () + ) Motrer que N est ue orme euclidiee sur E. ) Etablir que pour tout f E, f N ( f ). f (t) dt. 3) Motrer que les ormes. et N e sot pas équivaletes. Idicatio de l examiateur : utiliser la suite de terme gééral f (x) = x. ) Compte teu de l expressio de la orme, o est coduit à peser à ue orme euclidiee. Itroduisos F :(f, g) E f ()g() + f (t)g (t)dt. Il est clair que F est ue forme biliéaire symétrique et positive. Motros qu elle est défiie. Soit f u élémet de E tel que F( f, f ) =. O a alors F( f, f ) = f () + f (t) dt = f () = et f (t) dt =. Comme t f (t) est positive et cotiue sur [, ], f est ulle sur [, ] doc f est costate, et doc ulle puisque f () =. Aisi, F est u produit scalaire et N est la orme euclidiee associée.

133 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 5 ) O pese assez aturellemet à écrire que pour tout t [, ], f (t) = f () + t f (u)du. t Il viet alors, f (t) f () + f (u) du f () + f (u) du. O sait que pour a et b réels, o a ab (a + b ), et o e déduit que (a + b) (a + b ). Il viet alors, e posat a = f () et b = f (t) dt, ( ( ) f () + f (t) dt) f () + f (t) dt. D autre part o a, d après l iégalité de Cauchy-Schwarz, ( f (t) dt) dt f (t) dt = D où f () + f (t) dt f () + t [, ], f (t) N ( f ),, d où f N ( f ). f (t) dt. f (t) dt, et doc pour tout Remarque de la rédactio O peut vérifier que est la plus petite des costates réelles K telle que f N ( f ) pour toute foctio f E. O a e effet f = N ( f ) lorsqu o pred pour f la foctio défiie par f (t) = +t. Duod La photocopie o autorisée est u délit 3) Utilisos la suite de foctios de l éocé : pour, o a f = et N ( f N ( f ) = ). O a lim = = +. Les ormes e sot + f pas équivaletes (car il existe pas de costate C > telle que pour tout f E, N ( f ) C f. Sio, o aurait e preat f = g, pour tout N, N (g ) C g doc, ce qui est absurde. Ce qu il faut savoir Partie borée Soit A ue partie o vide de E. Les propositios suivates sot équivaletes : (i) il existe M ], + [ tel que pour tout x A, x M ;

134 6 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés (ii) il existe a E et r ], + [ tels que A B f (a, r). O dit alors que A est ue partie borée de E. Pour motrer qu ue partie A est pas borée, o peut exhiber ue suite (x ) d élémets de A telle que lim x = +. + Exercice 5.6 Les esembles suivats sot-ils borés? A = {x si x x R}, B = {(x, y) R x + xy + y = } et C = {(x, y) R x y = }. Pour l esemble A, o peut cosidérer la suite (u ) défiie par u = p +p, N. O a x = u si u = p +p + doc A est pas borée. + B est l esemble des poits d ue coique. Il est facile de voir qu il s agit d ue ellipse (voir réductio des coiques) doc que B est borée. O peut aussi le motrer ( directemet e écrivat : x + xy + y = x + y ) y doc ( (x, y) B x + y ) y = O a d ue part : (x, y) B 3 4 y y 3, et d autre part : (x, y) B (x + y ) x + y 3 x + 3 x + 3 doc (x, y) + 3 et doc B est borée. C est l esemble des poits d ue hyperbole doc il est pas boré. O peut utiliser la paramétrisatio classique x = ch t et y = sh t pour costruire ue suite de orme tedat vers +. O peut par exemple predre, (x, y ) = (ch, sh ) C. O a (x, y ) = ch + doc C est pas borée. +

135 5..3 Applicatios lipschitziees Ce qu il faut savoir 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 7 Soiet ( E, E ) et ( F, F ) deux espaces vectoriels ormés, A E et f ue applicatio de A das F. O dit que f est lipschitziee de rapport l sur A lorsque (x, y) A, f (x) f (y) F l x y E. O dit que f est lipschitziee lorsqu il existe l R + tel que f est l lipschitziee. Exemple : l applicatio : E R est -lipschitziee. Remarque Souvet les exercices de cocours sur les foctios lipschitziees portet sur les foctios réelles d ue variable réelle (voir otre livre d Aalyse de première aée chapitre paragraphe.5 et chapitre 4 paragraphe 4.3). Exercice 5.7 Soit (a, b) R avec a < b et soit E = C ([a, b], K) mui des ormes classiques f b b = f (t) dt, f = f (t) dt et f = sup f (t). a a Motrer que l applicatio f E F ( f ) = pour chacue des ormes, et. b a t [a,b] f (t)dt K est lipschitziee Duod La photocopie o autorisée est u délit Il est clair que F est u edomorphisme de l espace vectoriel E. Soit ( f, g) E.Oa b b F( f ) F(g) = ( f g)(t)dt ( f g)(t) dt = f g a a (b a) sup ( f g)(t) = (b a) f g. t [a,b] Mais aussi, d après l iégalité de Cauchy-Schwarz, o a b ( f g)(t)dt b b a ( f g)(t) dt = b a f g. a a Doc F est -lipschitziee pour la orme, (b a) lipschitziee pour la orme et b a lipschitziee pour la orme.

136 8 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés Exercice 5.8 Cetrale MP 6 K Soit (E, ) u espace vectoriel ormé réel et soit f l applicatio de E das x E : x. Motrer que f est -lipschitziee. max(, x ) Soit (x, y) E E. Il y a trois cas à distiguer. Lorsque x et y, o a f (x) f (y) = x y. Lorsque x y,oa f (x) f (y) = x y y y x y + y y = x y +( ) y = x y + y y x y + y x x y. Lorsque < x y o a f (x) f (y) x x y + y x x y y 5..4 Topologie Ce qu il faut savoir Topologie x y + y x x Soit (E, ) u espace vectoriel ormé. x y x x y. Ouverts et fermés : Soit A E. (i) O dit que A est u ouvert de E lorsque tout poit de A est le cetre d ue boule ouverte coteue das A, autremet dit a A, r ], + [ B(a, r) A. (ii) O dit que A est u fermé de E lorsque so complémetaire E\A est u ouvert de E. Exemples :, E, ue boule ouverte sot des ouverts et ue boule fermée est u fermé. Remarque Les seules parties de E, qui sot à la fois ouvertes et fermées, sot et E. Propriétés : réuios et itersectios d ouverts ou de fermés (i) Toute réuio d ouverts de E est u ouvert de E.

137 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 9 (ii) Toute itersectio fiie d ouverts de E est u ouvert de E. (iii) Toute itersectio de fermés de E est u fermé de E. (iv) Toute réuio fiie de fermés de E est u fermé de E. Poit itérieur : Soit A ue partie o vide de E et soit a A. O dit que a est u poit itérieur à A lorsqu il existe ue boule ouverte de cetre a icluse das A, c est-à-dire r >, B(a, r) A. Notatio : Å = {a A a est u poit itérieur à A} est appelé l itérieur de A. C est le plus grad ouvert coteu das A. Poit adhéret : Soiet E u espace vectoriel ormé sur K, A ue partie o vide de E et x E. O dit que x est u poit adhéret à A lorsque toute boule ouverte de cetre x recotre A, c est-à-dire r >, B(x, r) A. Caractérisatio séquetielle d u poit adhéret : x est u poit adhéret à A si et seulemet si x est limite d ue suite d élémets de A. Notatio : A = {a E a est u poit adhéret à A} est appelé l adhérece de A. C est le plus petit fermé coteat A. Caractérisatio des fermés : Soit A E. Les trois propositios suivates sot équivaletes : (i) A est u fermé de E ; (ii) A = A ; (iii) toute suite d élémets de A qui coverge das E, a sa limite das A. Partie dese : o dit que A est ue partie dese das E lorsque A = E. Les trois propriétés sot équivalets : (i) A est dese das E ; (ii) toute boule ouverte de E recotre A ; (iii) tout vecteur de E est limite d ue suite d élémets de A. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 5.9 Soit (E, ) u espace vectoriel ormé et soit A ue partie o vide de E. Soit l K, o désige par la = {la a A}. Motrer que si A est ouvert (resp. fermé), alors la l est aussi. Supposos que A est u ouvert. Soit a la. Il existe a A tel que a = la. A état u ouvert, il existe r > tel que B(a, r) A, o remarque alors que B(a, lr) = B(la, lr) la. A est doc égalemet u ouvert. Supposos que A est u fermé. La caractérisatio séquetielle est toujours plus simple, utilisos-la. Soit a la. Il existe ue suite (a ) d élémets de A telle que a = lim la. +

138 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés Posos a = l a. O a a a = l a la, aisi a = lim a +,et + doc a A car A est u fermé. Aisi a = la doc a la. A est doc égalemet u fermé. Exercice 5. Das l espace vectoriel ormé E = R, o pose A = Z et B = { N }. Motrer que A et B sot fermés et que A + B est pas fermé. Étudier de même pour E = R, les esembles A = {(x, y) ], + [ xy = }, B = {} ], ] et A + B. L esemble Z est fermé si et seulemet si complémetaire R \ Z est ouvert. Or R \ Z = Z], + [ est ouvert car il est réuio d itervalles ouverts. De même, ] l esemble R\ B =, + [ ] [, + est u ouvert. ( +) O a A + B = {(m + ) m Z, N } = {p p Z, N }. L esemble A + B est pas fermé car A + B mais est u poit adhéret à A + B car e posat, pour tout, a = et b =, o a lim (a + b ) =. + E = R. Les esembles A et B sot fermés car o vérifie aisémet que toute suite d élémets de A (resp. B) qui coverge, a sa limite das A (resp. B). O voit égalemet facilemet que A + B = {(x, y) ], + [ R x > etxy }. Les poits de {} R sot adhérets à A + B mais appartieet pas à A + B A et B A + B

139 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio Par exemple, e posat pour tout, a = ( ) a + b =, A + B ( ), et b (, ) A + B \ A + B. + = (, ), o a Exercice 5. Mies-Pots MP 6 Soit E u R-espace vectoriel ormé et soit A u sous-espace vectoriel de E. ) Motrer que l adhérece de A est u sous-espace vectoriel de E. ) O suppose que E est de dimesio ifiie. Motrer que tout hyperpla H de E est soit fermé (c est-à-dire H = H) soit dese das E (c est-à-dire H = E). ) Motros que A est sous-espace vectoriel de E. Soiet(a, b) A A et (l, m) K. Il existe (a, b ) A N tel que a = lim a et b = lim b. O sait + + que la + mb = lim (la + mb ) or pour tout N, la + mb A car A est + u sous-espace vectoriel doc la + mb A. Remarque O peut motrer que tout sous-espace vectoriel de dimesio fiie est fermé. ) Soit H u hyperpla de E. O a tout d abord H H E. Si H est pas fermé, H H, il existe a H \ H, doc H Ra H. Or H Ra = E puisque H est u hyperpla e coteat pas a, d où H = E. Remarque Das l exercice 5.6 p.35, o va voir u critère portat sur les formes liéaires pour savoir si u hyperpla est fermé ou dese. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 5. Cetrale MP 5 K Soit C ue partie covexe (d itérieur o vide) d u espace vectoriel ormé E. ) Motrer que l itérieur de C est u esemble covexe. ) Questio facile de la rédactio : motrer que l adhérece de C est u esemble covexe. ) Soiet a et b das l itérieur de C. Motros que le segmet [a, b] = {( t)a + tb t R} est iclus das l itérieur de C. Soitt ], ] et posos c = ( t)a + tb.ilexister > tel que la boule

140 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés ouverte B(b, r) soit coteue das C. Cosidéros l homothétie h de cetre a qui trasforme b e c, c est-à-dire h a,t : x a + t(x a), homothétie (affie) de cetre a et rapport t. La boule ouverte B(b, r) est trasformée e la boule ouverte B(c, tr). Comme le rapport t de l homothétie est das ], ], l homothétie h evoie tout élémet de C das C, e particulier B(c, tr) est iclus das C doc c est u poit itérieur de C. Le cas t =, correspod au poit a qui est par hypothèse das C. Coclusio : l itérieur de C est u esemble covexe. ) Il est beaucoup plus immédiat d établir le résultat pour l adhérece. Soit (a, b) A et t [, ]. Il existe (a, b ) A N tel que a = b = lim b. O sait que ta +( t)b = + N, ta +( t)b A car A est covexe doc ta +( t)b A. lim a et + lim (ta +( t)b ) or pour tout Limite de foctio, cotiuité, uiforme cotiuité Ce qu il faut savoir Soiet ( ) ( ) E, E et F, F deux espaces vectoriels ormés. Soit A ue partie o vide de E et soit f : A F. Limite : soiet a u poit adhéret à A et b F. O dit que f admet pour limite b e a et o écrit lim f (x) = b lorsque x a,x A >, a >, x A, x a E a f (x) b F Remarque la limite déped des ormes cosidérées sur E ou sur F (sauf si o remplace ue orme par ue orme équivalete). Caractérisatio séquetielle de la limite : o a lim f (x) = b si et x a,x A seulemet si pour toute suite (x k ) k N d élémets de A covergeat vers a, la suite ( f (x k )) k N coverge vers b.

141 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 3 Cotiuité O dit que f est cotiue e a A lorsque lim f (x) = f (a). x a,x A O dit que f est cotiue sur A lorsque f est cotiue e tout poit de A. Cas particulier importat : lorsque F est de dimesio fiie et B = (e,...,e ) est ue base de F. E otat pour tout x A, f (x) = f i (x) e i, alors f est cotiue e a A (resp. sur A) siet i= seulemet si pour tout i [[, ]], f i est cotiue e a (resp. sur A). Caractérisatio séquetielle de la cotiuité : la foctio f est cotiue e a A si et seulemet si pour toute suite (x k ) k N d élémets de A covergeat vers a, la suite ( f (x k )) k N coverge vers f (a). Homéomorphisme : ue bijectio cotiue f : A f (A) F telle que f : f (A) A E soit égalemet cotiue est appelée u homéomorphisme de A sur f (A). Prologemet d ue égalité par desité : soiet f, g : E F deux foctios cotiues sur E. SiA est ue partie dese das E et si pour tout x A, f (x) = g(x), alors f (x) = g(x) pour tout x E. Exercice 5.3 Motrer que l applicatio défiie sur R 3 \{(,, )} par f (X) = admet pas limite au poit (,, ). O rappelle que si X = (x, y, z), alors X = x + y + z. X X X Duod La photocopie o autorisée est u délit Pour motrer que f a pas de limite au poit (,, ), o va exhiber deux suites (U ) et (V ) qui coverget vers (,, ) et telles que les deux suites ( f (U )) et ( f (V )) coverget vers deux limites différetes. Pour tout N, posos U = (,, ) et V = (,, ). Lorsque +, oau (,, ) et V (,, ) alors que f (U ) = (,, ) (,, ) et f (V ) = (,, ) (,, ). Doc la foctio f a pas de limite e (,, ). Exercice 5.4 Soit p N. Motrer que l applicatio défiie sur R p (mui d ue orme ) par { si X f (X) = si X < est cotiue e aucu vecteur U tel que U =.

142 4 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés Soit U R p tel que U = etsoit(u ) la suite telle que U = + U = a U = + U.O + < doc f (U ) = pour tout N. Par ailleurs U U = + U lorsque ted vers +. Aisi la suite (U )coverge vers U mais la suite ( f (U )) e coverge pas vers f (U). Exercice 5.5 Étudier la cotiuité des applicatios défiies sur R par x 3 f (x, y) = x + y ex +y si (x, y) (, ) si(x, y) = (, ). x et g(x, y) = x + y ex +y si (x, y) (, ) si(x, y) = (, ). Idicatio : il est souvet utile das ce gere d exercice de passer e coordoées polaires. Pour tout (x, y) R, il existe (r, u) R + R tel que x = r cos u et y = r si u (le réel r est alors la orme euclidiee de (x, y)). Si o peut trouver ue foctio h telle que f (r cos u, r si u) f (, ) h(r) et lim h(r) =, r alors f est cotiue e (, ). Les foctios f et g sot cotiues sur R \{(, )} comme composée, somme, produit et quotiet de foctios cotiues. Etudios la cotiuité e (, ). Pour tout (x, y) R il existe (r, u) R + R tel que x = r cos u et y = r si u. Nous avos alors f (x, y) = r cos 3 u e r et g(x, y) = cos u e r. O a f (x, y) re r quad r, doc f est cotiue au poit (, ). Elle est doc cotiue sur R. La limite de la foctio r cos ue r lorsque r ted vers déped de u, doc la foctio g e peut pas avoir de limite uique e (, ). Par exemple, g(x, ) = e x etg(x, x) =. Doc la foctio g est pas x = ex x = cotiue e (, ). Ce qu il faut savoir Cotiuité uiforme O dit que f est uiformémet cotiue sur A lorsque >, a >, (x, y) A, x y E a f (x) f (y) F.

143 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 5 Le réel a est idépedat de x et de y ; il est parfois appelé module de cotiuité de f pour. Lie etre foctios cotiues, uiformémet cotiues et lipschitziees (i) Si f est lipschitziee sur A, alors f est uiformémet cotiue sur A. (ii) Si f uiformémet cotiue A, alors f est cotiue sur A. Remarque bie etedu, la réciproque de (i) (resp. (ii)) est fausse. La foctio x x est uiformémet cotiue sur [, + [, mais est pas lipschitziee sur [, + [. De même, la foctio x x est cotiue sur [, + [, mais est pas uiformémet cotiue sur [, + [. Les exercices de cocours sur ce thème portet essetiellemet sur les foctios de la variable réelle, le lecteur est revoyé à otre livre d Aalyse de première aée et au chapitre de ce livre. Duod La photocopie o autorisée est u délit Ce qu il faut savoir Image réciproque d u ouvert ou d u fermé par ue applicatio cotiue Soit E u espace vectoriel ormé et soit A ue partie o vide de E. Ouverts/fermés relatifs à ue partie Ue partie U de A est u ouvert relatif à A s il existe u ouvert V de E tel que U = V A. Ue partie F de A est u fermé relatif à A s il existe u fermé G de E tel que F = G A. Image réciproque d u ouvert ou d u fermé par ue applicatio cotiue Soit F u espace vectoriel ormé et soit f ue applicatio défiie sur A à valeurs das F. L applicatio f est cotiue sur A si et seulemet si l image réciproque par f de tout ouvert de F est u ouvert relatif à A (ou ce qui est équivalet) l image réciproque de tout fermé de F est u fermé relatif à A. Exercice 5.6 ) Soiet E est u espace vectoriel ormé de dimesio fiie, f : E R ue applicatio cotiue et a R. Dire si les esembles suivats sot ouverts ou fermés : A = {x E, f (x) = a}, B = {x E, f (x) a}, C = {x E, f (x) a}, D = {x E, f (x) < a}. ) Motrer que GL (K) est ouvert das M (K).

144 6 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés ) L esemble A = {x E, f (x) = a} = f ({a}) est l image réciproque d u fermé de R par ue applicatio cotiue. Il est doc fermé. De même, l esemble B = {x E, f (x) a} = f (], a]) est fermé. O a C = {x E, f (x) a} = f (R \{a}) est l image réciproque d u ouvert par ue applicatio cotiue. C est doc ue partie overte. De même {x E, f (x) < a} = f (], a[) est ue partie ouverte de E. ) GL (K) est u ouvert de M (K) car c est l image réciproque de l ouvert K par l applicatio M det (M) qui est cotiue (c est ue foctio polyômiale des coefficiets de M) Applicatios liéaires cotiues, ormes subordoées Ce qu il faut savoir Soiet ( E, E ) et ( F, F ) deux espaces vectoriels ormés. Soit u L (E, F). Alors u cotiue sur E u cotiue e E u borée sur B f (, ) u borée sur S(, ) M > x E u(x) F M x E M > tel que u est M-lipschitziee sur E. Le plus petit réel M vérifiat la propriété ci-dessus est défiie par M = u(x) sup u(x) F = sup u(x) F = sup F x E x E = x x E O pose alors u = M, c est la orme subordoée de u (relatif à E et F ). O l appelle la orme triple de u. S il existe u réel a > tel que, pour tout x E, u(x) F a x E, alors u est cotiue sur E et l o a u a. Si l o trouve u vecteur x de E tel que u(x) F a x E, alors u = a. L esemble est applicatios liéaires cotiues de E das F est u sous-espace vectoriel de L (E, F), qu o otera L c (E, F). Mui de la "orme" subordoée, L c (E, F) est u espace vectoriel ormé. De plus les ormes subordoées vérifiet la propriété suivate : si v L c (F, G) etu L c (E, F) alors v u L (E, G) et v u v u Cas particulier : si E = F alors (L c (E), ) est ue algèbre ormée. E particulier Id E =.

145 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 7 Exercice 5.7 TPE MP 5 Soit B l espace des suites complexes borées mui de la orme ifiie : si x = (x ) N, o pose x = sup x. O cosidère l applicatio F de B das N lui-même défiie par F ( ) (x ) = (x+ x ). Motrer que F est u edomorphisme cotiu de ( B, ). Calculer sa orme triple. Il est clair que F est u edomorphisme de B. Soit x = (x ) B. O a, pour tout N, x + x sup x. Doc N F(x) ((x ) ).Aisi,F est cotiue et F. Cosidéros la suite x défiie par, pour tout N, x = ( ). O a x = et F(x) = (x + x ) = (,,,,...). Comme F(x) =, o a alors Coclusio : F =. F(x) x = F. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 5.8 TPE MP 6 Soit F l applicatio de R[X] défiie par F(P) = P(). O muit R[X] des deux ormes suivates : P R[X], N (P) = sup P(t) et N (P) = sup P(t) t [,] t [,] F est-elle cotiue pour N? pour N? E cas de cotiuité, o doera sa orme triple. Pour tout P R[X], P() sup P(t) = N (F(P)) doc F est cotiue et t [,] F. E cosidérat le polyôme P costat égal à, o a et fialemet P () = = sup P (t) = N (F(P )) doc F t [,] F =. sup t [,] E revache F est pas cotiue pour N car o peut trouver ue suite de polyômes borée par, d image o borés. E effet, pour N, soit P = (X ). O a N (P ) = t = et P () = doc F est pas cotiue lorsqu o muit R[X] de la orme N.

146 8 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés Ce qu il faut savoir Pour motrer qu ue applicatio liéaire u est pas cotiue, o motre que l image de la boule uité est pas borée, ce qui coduit à rechercher ue suite (x ) borée telle que (u(x )) e soit pas borée. Ce qu il faut savoir Applicatio biliéaire cotiue Soiet ( E, E ), ( F, F ) et ( G, G ) trois espaces vectoriels ormés. Soit F : E F G ue applicatio biliéaire. Alors F est cotiue sur E F F est cotiue e ( E, F ) F est borée sur B f ( E, ) B f ( F, ) F est borée sur S( E, ) S( F, ) M >, (x, y) E F F(x, y) G M x E y F Exemples simples d applicatios biliéaires cotiues { { K E E (l, x) lx, Lc (E) L c (E) L c (E) (u, v) u v { E E E Si E est u espace préhilbertie, (x, y) < x, y > Complétude Ce qu il faut savoir Soit ( E, ) u espace vectoriel ormé. Suites de Cauchy Soit (x ) N ue suite d élémets das E. O dit qu elle est de Cauchy lorsque >, N N, N, p N, ( N et p N) x x p Propriétés Toute suite covergete est ue suite de Cauchy. Toute suite de Cauchy est borée. Espace de Baach : lorsque toute suite de Cauchy d élémets de E coverge, o dit que ( E, ) est u espace vectoriel ormé complet (ou espace de Baach).

147 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 9 Partie complète : Soit A ue partie o vide de E. O dit que A est complète lorsque toute suite de Cauchy de A coverge das A. Si A est complète alors A est u fermé de E. Si E est u espace de Baach, alors A est u fermé de E si et seulemet si A est complète. Applicatio : soit ( E, E ) u espace de Baach et soit (u ) ue suite d élémets de E. Silasérie u coverge alors la série vectorielle u coverge. (Particulièremet utilisé sur les espaces de matrices, voir le chapitre suivat espaces vectoriels ormés de dimesio fiie). Exercice 5.9 d après CCP MP 6 Pour tout polyôme P = deg P k= a k X k de l espace vectoriel E = R[X], o pose P = max a k. k deg P ) Vérifier que est ue orme sur E. X k ) O cosidère la suite (P ) de terme gééral P (X) = k!. k= Motrer que la suite (P ) est ue suite de Cauchy das (E, ). 3) Motrer que la suite (P ) e coverge pas das E? Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Ne présete aucue difficulté. ) Soit >. Pour tout (m, ) N tel que m > o a P m P = ( + )!.Il existe doc u etier N N tel que pour tout N, oait. Aisi, ( + )! pour tout (m, ) N tel que m > N, oa P m P. Doc la suite (P ) est ue suite de Cauchy das (E, ). 3) Raisoos par l absurde et supposos que la suite (P ) coverge vers u polyôme Q de degré q. Soit N tel que > q +, o a alors P Q. Comme q est costat, il est pas possible que (q + )! P Q tede vers lorsque +. Coclusio : l espace vectoriel E est pas complet pour la orme.

148 3 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés k= Remarque O motre de la même faço que l espace vectoriel E est pas complet pour deg P la orme où P = a k. O motre que la suite (P ) défiie cidessous est de Cauchy pour la orme,maisecovergepas. Ce qu il faut savoir Théorème des approximatios successives Le théorème des approximatios successives (ou théorème du poit fixe) e figure pas explicitemet au programme mais certais cocours demadet souvet de le redémotrer et de l utiliser. Il est doc utile de le coaître. Sur le pla mathématique, il est très importat tat au iveau théorique (il est par exemple utilisé pour le théorème de Cauchy-Lipschitz ou le théorème d iversio locale) qu au iveau appliqué car il fourit ue méthode très robuste d approximatio umérique d ue équatio du type g(x) = (que l o trasforme e l équatio équivalete f (x) = x où f (x) = g(x)+x). Exercice 5. Mies-Pots MP 7 Soiet ( E, ) u espace vectoriel ormé, A ue partie complète de E, f ue applicatio de A das E telle que f (A) A, a A et (x k ) k N la suite d élémets de A défiie par : x = a et pour tout N, x + = f (x ). O suppose que f est l-lipschitziee avec l < (o dit que f est ue applicatio cotractate). Motrer que f admet u uique poit fixe x qui est la limite de la suite (x k ) k N. Idicatio de la rédactio : o pourra motrer que (x ) est ue suite de Cauchy et que x +p x l l x x. Commeços par motrer que (x ) est ue suite de Cauchy. Pour tout, x + x = f (x ) f (x ) l x x et par récurrece, Il viet, pour tout p N, x + x l x x. x +p x x +p x +p + + x + x ( l +p + + l ) x x l l x x.

149 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 3 l Comme lim + l = (l < ), pour tout >, il existe N, tel que pour tout, pour tout p N, x +p x. Doc (x ) est de Cauchy. Comme A est ue partie complète, la suite (x ) est covergete das A, appelos l A sa limite. La foctio f état lipschitziee est cotiue, o obtiet l = lim f (x ) = f (l).. La limite l est u poit fixe de f. + Motros que le poit fixe est uique. Appelos l A u autre poit fixe évetuel. Alors l l = f (l) f (l ) l l l.sil l alors l, ce qui est cotraire à l hypothèse Compacité Duod La photocopie o autorisée est u délit Ce qu il faut savoir Soit ( E, E ) u espace vectoriel ormé et soit K ue partie o vide de E. O dit que K est compacte lorsque de toute suite d élémets de K,opeut extraire ue suite qui coverge das K. Propriétés des compacts Si K est compacte, alors K est fermée et borée de E. La réciproque est fausse si E est de dimesio ifiie (voir exercice 5.). Soit A ue partie compacte. U sous-esemble B de A est compact si et seulemet si B est u fermé de A (ou ecore de E, c est équivalet). Soiet ( F, F ) u espace vectoriel ormé, A ue partie de E et f : A F. Si f est cotiue et si A est u compact de E, alors f (A) est u compact de F. Cas particulier très importat des foctios à valeurs réelles : si A est compact et si f : A R est cotiue sur A, alors f est borée et atteit ses bores : plus précisémet il existe c et d das A tels que, sup f (x) = f (c) x A f (x) = f (d). Ce résultat est utilisé pour la recherche des extremums, et if x A voir le chapitre sur les foctios à plusieurs variables. Coséquece : Si A est u compact de E, o peut défiir le sous-espace vectoriel ormé ( C (A, K), ) ( B(A, K), ) qui est u (sous-)espace de Baach (exercice fodametal du cours sur les suites et séries de foctios). Théorème de Heie : si f : A F est cotiue et si A est compact alors f est uiformémet cotiue sur A. Exercice 5. Soit K u compact d u espace vectoriel ormé E et soit f ue applicatio cotiue de K das R tel que f (x) < pour tout x K.

150 3 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés Soit (x ) N ue suite quelcoque de K. Motrer que la suite de terme gééral ( ( f (x )) ) N coverge et détermier sa limite. Comme f est cotiue sur le compact K, f est majorée et elle atteit sa bore supérieure b. Il existe doc u K tel que f (u) = b, etilerésulteque b <. O a alors pour tout N, ( f (x )) b et lim + b =, doc lim ( f (x )) =. + Remarque Attetio à e pas écrire : < f (x ) < a:< <, et pourtat : lim + lim ( f (x )) =. Par exemple o + ( ) = e. Exercice 5. Pour tout P = deg P k= a k X k das E = R[X], o pose P = max a k. k deg P Motrer que la boule uité de R[X] est pas compacte. Cosidéros par exemple la suite (P ) défiie par P = X pour tout N. O a, pour tout N, P =. Supposos qu il existe ue suite extraite P w() covergete vers P. Écrivos que P = k= a k X k avec a k ul à partir d u certai rag. Alors pour tout k N, il existe N tel que pour tout, w() w( ) > k, doc a k P P w(), doc a k = pour tout k N. O obtiet P = ce + qui est impossible car P = lim P w() =. Aisi, la suite (P ) + admet pas de suite extraite covergete et la boule uité de R[X] est pas compacte. Exercice 5.3 Mies-Pots MP 5 Soit f : K K avec K ue partie compacte das u espace vectoriel ormé telle que (x, y) K, x y f (x) f (y) < x y. ) Motrer qu il existe u uique poit fixe a de f sur K.

151 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 33 ) Soit (x ) la suite défiie par x K et pour N, x + = f (x ). Motrer que (x ) coverge vers a. Idicatio de la rédactio : o pourra cosidérer mi f (x) x x K ) Supposos que a et a sot deux poits fixes disticts de l applicatio f.oa alors a a = f (a) f (a ) < a a d où la cotradictio. Il y a au plus u poit fixe. Comme l applicatio x f (x) x est cotiue sur le compact K et à valeurs réelles, elle atteit sa bore iférieure. Il existe doc a K tel que f (x) x = f (a) a. Supposos que a f (a), o obtiet alors mi x K l iégalité f ( f (a)) f (a) < f (a) a, ce qui est cotradictoire avec le caractère miimal de a. Doc a = f (a). ) S il existe u etier tel que pour tout,oaitx = a, alors la suite (x )covergeversa. S il existe u etier tel que pour tout, x a, la suite ( x a ) est alors décroissate et miorée par, elle coverge vers a. Motros que a =. Puisque K est u compact, il existe ue suite extraite covergete (x w() )versl K. D où x w() a a = l a car la suite ( + x a ) est décroissate, or x w()+ f (a) a = f (l) f (a) (car + f est -lipschitziee doc cotiue). Si l a, alors f (l) f (a) < l a, ce qui doe ue cotradictio doc l = a et a = Valeurs d adhérece Duod La photocopie o autorisée est u délit Ce qu il faut savoir Valeur d adhérece : u vecteur l E est ue valeur d adhérece d ue suite (x ) d élémets de E lorsqu il existe ue suite extraite de (x ) covergeat vers l. Exemple : L esemble des valeurs d adhérece de la suite ( E( ) ) est l itervalle [, ]. Voir exercice. chapitre. Exercice 5.4 TPE MP 5 Soit (u ) N ue suite d u compact K possédat ue uique valeur d adhérece. Motrer que (u ) N coverge. Soit l cette valeur d adhérece. Supposos que la suite (u )ecovergepasvers l. Alors il existe > etw : N N strictemet croissate telle que pour tout N, x w() l >. La suite d élémets (x w() )ducompactk admet ue valeur

152 34 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés d adhérece l qui est écessairemet disticte de l car l l. Mais l est égalemet ue valeur d adhérece de la suite (x ) (car ue suite extraite d ue suite extraite de (x ) est ecore ue suite extraite de (x )), d où la cotradictio. 5. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Das l exercice qui suit, ous allos étudier la topologie de la somme de deux parties d u espace vectoriel ormé Exercice 5.5 Cetrale MP 5, Mies-Pots MP 5 et 6 Soit ( E,. ) u espace vectoriel ormé et soiet A et B deux parties de E. O désige par A + B l esemble {a + b a A et b B}. ) Motrer que si A est ouvert, alors A + B est ouvert. Idicatio de la rédactio : Soiet (a, b) E et r ], + [. Vérifier que B(a, r)+b = B(a + b, r). ) O suppose que A et B sot fermés. Motrer que A + B est pas forcémet fermé (voir exercice 5., p.). 3) O suppose que A et B sot compacts. Motrer que A + B est compact. 4) O suppose que A est compact et B est fermé. Motrer que A + B est fermé et pas écessairemet compact. ) Soit b B, motros que A + b est u ouvert. Soit c A + b alors il existe a A tel que c = a + b. Puisque A est ouvert, il existe r ], + [ tel que B(a, r) A. Doc B(a, r)+b A + b.orb(a, r)+b = B(a + b, r) car z B(a + b, r) a + b z < r a (z b) < r z b B(a, r) z b + B(a, r) Aisi B(a + b, r) A + b, et doc A + b est u ouvert de E. Par ailleurs, A + B = b B(A + b) doc, e tat que réuio d ouverts, A + B est u ouvert de E ) voir exercice 5., p.. 3) Motros que toute suite (c ) d élémets de A+B admet ue sous-suite (c w() ) qui coverge das A + B. Soit(c ) ue suite quelcoque d élémets de A + B. O a alors pour tout N, c = a + b où a A et b B. Comme A est compact, il existe ue sous-suite (a w() ) qui coverge vers u élémet a de A. De même, B est compact doc il existe ue sous-suite (b w(c()) ) de la suite (b w() ) qui coverge vers u élémet b de B. Doc la sous-suite (x w(c()) ) de terme gééral

153 5. Exercices d etraîemet 35 x w(c()) +y w(c()) coverge vers c = a+b. Aisidelasuite(c ) d élémets de A+ B, o a pu extraire ue sous-suite (c w(c()) ) qui coverge vers c = a + b A + B. Doc A + B est compact. 4) Motros que A + B est u fermé. Soit c A + B, il existe (c ) N A + B telle que lim c = c. Puisque c A+ B, il s écrit a +b où a A et b B. Comme A est compact, il existe ue suite extraite (a w() ) qui coverge vers a A. Par ailleurs, la suite de terme gééral b w() = c w() a w() coverge (car c est la différece de deux suites covergetes) das E vers c a. Or B est fermé doc c a B doc c A + B. L exercice suivat ous doe u critère pour savoir si u hyperpla est fermé ou dese. Exercice 5.6 Mies-Pots et Polytechique MP 7K Soit (E, ) u espace vectoriel ormé et soit f ue forme liéaire o ulle sur E. ) Motrer que f est cotiue si et seulemet si ker f est u fermé de E. ) O suppose que f est cotiue sur E et o pose H = Ker f. Motrer que pour tout x E, d(x, H) = f (x) f. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Si f est cotiue, Ker f = f ({}) est fermé car le sigleto {} est fermé. Si f est fermé et f, il existe e E tel que f (e), auquel cas E = Ker f Ke. Posos d = d(e, Ker f ), d > (car si d =, alors e serait limite d ue suite d élémets de Ker f avec e / Ker f, ce qui cotredit le fait que Ker f est fermé). Soit x E. O peut écrire x = y + ae, où x y Ker f et a K, ce qui doe f (x) = a f (e). Si a, a = e + y a. Comme y a Ker f,oa e + y a d. O a fialemet x d, et a a x f (e), d où f (x) x. Cette iégalité est ecore vraie lorsque d d a =, doc f est cotiue. ) Soit x E. Écrivos que x = y + ae avec y H. d(x, H) = if x z = a if y e z H y H car H est u sous-espace vectoriel. D autre part, f (z) f = sup z z = sup t f(e) t R, u H u te = sup f (e) y H y e = f (e) y e, d où f d(x, H) = a f (e) = f (x). O e déduit le résultat. if y H

154 36 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés Exercice 5.7 Mies-Pots MP 7 Soiet E = C ([, ], R), N ue orme sur E et A = { f E f () = }. ) Motrer que A est soit fermé soit dese das (E, N). ) Doer u exemple d ue orme N tel que A soit dese das (E, N ) puis u exemple de orme N tel que A soit fermé das (E, N ). ) L esemble A est u hyperpla car A = Ker w où w est la forme liéaire (o ulle) défiie sur E par w( f ) = f (). Il est soit fermé soit dese das E d après l exercice 5., page questio ). ) D après l exercice précédet, ex 5.6 p.35, ces deux cas correspodet respectivemet à w cotiue et w o cotiue. Cosidéros la orme ifiie sur E défiie par f = sup f (t). Comme t [,] pour tout f E, f () = w( f ) f, la forme liéaire w est cotiue et doc A est u fermé. Cosidéros la orme de la covergece e moyee sur E défiie pour tout f E par f = f (t) dt. Pour motrer que w est pas cotiue sur ( (E, ) ), il suffit d exhiber ue suite ( f ) d élémets de E telle que la suite w( f ) ted vers +. O pred par exemple la suite ( f ) où pour tout f etier, f : t ( t). Chaque foctio f est cotiue sur [, ] et o a f = +.Deplus,oaw( f ) = f () =. Aisi w( f ) = +,de f limite ifiie lorsque ted vers +, doc la forme liéaire w est cotiue et par coséquet A est dese. Exercice 5.8 Polytechique MP 7 Soit E u espace vectoriel ormé et F u sous-espace vectoriel de E. ) Motrer que si F est u ouvert alors F = E. ) Motrer que si F alors F = E. 3) Soiet E = C ([, ], R) mui de la orme., E = C ([, ], R), E = { f E f () = } et E 3 = { f E f est polyômiale}. Motrer que E = E = E 3 =.

155 5. Exercices d etraîemet 37 ) Il est clair que F E. Il reste à motrer que E F. CommeF est ouvert et E A, ilexister > tel que B( E, r) F. Soitx E \{ E },ilexiste l > tel que lx B( E, r) F. Il suffit de predre l = r car alors x l x = r x x = r < r. Puisque F est u sous-espace vectoriel et lx F, o a x = (lx) F. l ) Par hypothèse F, il existe doc a F.Soitx E tel que x a. Motros r que x F. E otat y = a + x a (x a), o a alors y a = r < r doc y B(a, r) et doc y F. Comme a et y appartieet à F et comme F x a est u sous-espace vectoriel, il e résulte que x a = (y a) F. r Efi, o a x = (x a)+a F, d où x F et E F. 3) D après la questio précédete, comme les E i sot des sous-espaces vectoriels de E, il s agit de motrer qu ils sot disticts de E. C est évidet car x x est pas das E et x cos x est i das E,idasE 3. Exercice 5.9 Mies-Pots MP 7 Soit K u compact covexe d u espace vectoriel ormé et soit f : K K vérifiat : (x, y) K, f (x) f (y) x y. ) Soit a K fixé et. Motrer que la foctio f défiie sur K par f (x) = a +( ) f (x) est cotractate sur K. ) E déduire que f admet u poit fixe. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Soit N et soit a K fixé. Soit x K. Puisque K est covexe et f (K ) K, le vecteur x = a +( ) f (x) appartiet aussi à K. Il e résulte que f (K ) K. ( Pour tout (x, y) K,oa f (x) f (y) = ) (x y), doc ( f (x) f (y) ) x y. Autremet dit, la foctio f est ue ( applicatio ) -lipschitziee de K das K. Elle est alors cotractate sur K et doc admet u poit fixe x, vérifiat x = a ( + ) f (x ) (voir exercice 5., page 3).

156 38 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés ) Comme K est compact, il existe ue suite extraite ( ) x w() de la suite (x ), qui coverge vers x K. E faisat tedre vers +, das la relatio x w() = a ( w() + ) f ( ) x w() et sachat que f est cotiue sur K, w() o obtiet f (x) = x, d où l existece d u poit fixe. Exercice 5.3 Cetrale MP 7 Doer u espace ormé (E, N) et ue suite (u ) d élémets de E borée et sas valeur d adhérece (c est-à-dire ayat aucue suite extraite covergete). Voir exercice 5. p EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 5.3 Cetrale MP 7, 5 O ote E l espace vectoriel des foctios cotiues de [, ] das R mui de la orme N : f f (t) dt. Soit N,etsoit f la foctio cotiue égale àsur[, ], à sur [ + +, ] et affie sur [, + + ]. ) Représeter f avec piecewise sur Maple ou Mathematica. ) Motrer que ( f ) est de Cauchy pour la orme. 3) L espace C ([, ], R) mui de est-il complet? ) Pour x [, + ], f (x) = ( + )(x ). Cela doe e Maple : + f:=->piecewise(x<=/,, x>/ ad x</+/(+),(+)*(x-/), x>/+/(+),); plot({f(),f(3)},x=..); ou, avec Mathematica f[_] := Piecewise[{{, x < /}, {( + ) (x - /), x >= / && x < / + /( + )},{, x > / + /( + )}}] Plot[{f[], f[3]}, {x,, }]

157 5.3 Exercices d approfodissemet Duod La photocopie o autorisée est u délit x ) Soit (, p) N tel que > p.oa f f p p + car f p(t) f (t) ([ et f p (t) = f (t) sur[, ] \, ] [ ]) + p +,. Aisi, pour tout >, il existe p N tel que p +. Par coséquet, pour tout (, p) N tel que > p p, o a f f p p + p +. Doc la suite ( f ) est ue suite de Cauchy das (E, ). [ 3) Ituitivemet, la suite ( f ) semble coverger vers la foctio égale à sur, ] ] ] et égale à sur, avec u problème de cotiuité e. Supposos que la suite [ ( f ) coverge vers ue foctio cotiue f et motros que pour tout x, [ ] ], f (x) = et pour tout x,, f (x) =, ce qui doera ue cotradictio. O a / Il e résulte que, f (t) dt = / / f (t) f (t) dt f f +. f (t) dt = (l expressio est idépedate de ). Comme t f (t) est positive et cotiue, ] ] o a pour tout t [, /], f (t) =. De même, pour tout x,, posos N tel que + + x alors, pour,oa O e déduit que x f (t) dt = x x f (t) f (t) dt f f +. f (t) dt = (l expressio est idépedate de ) etde même, pour tout t [x, ], f (t) =. Fialemet, pour tout t ]/, ], o a

158 4 Chap. 5. Espaces vectoriels ormés f (t) =. Les limites à droite et à gauche e / de f sot différetes, ce qui est cotradictoire avec la cotiuité de f e. Coclusio : la suite ( f ) e coverge pas das E pour la orme. Exercice 5.3 Cetrale MP 5 Soit (E, ) u espace vectoriel ormé de dimesio quelcoque. O cosidère u L c (E) tel que u. O pose v = u k. + ) Calculer v (u id). ) Motrer que Ker(u id) Im(u id) = {}. 3) Das cette questio, o suppose que E est de dimesio fiie. Motrer que E = Ker(u id) Im(u id). 4) O reviet au cas gééral. O suppose que E = Ker(u id) Im(u id). Motrer que (v ) coverge simplemet et que Im(u id) est fermé das E. 5) Étudier la réciproque de 4). ) O a v (u id) = + k= k= ( u k+ u k) = ( u + id ). + ) Soit x Ker(u id) Im(u id). Il existe y E tel que x = (u id)(y) et u(x) = x. O a v (u id)(y) = ( u + (y) y ) = u k (x) = x. + + k= Or u + (y) y ( ) u + + y y (car la orme subordoée est ( ue orme d algèbre, d où u u ( ), doc la suite u + (y) y )) + N ted vers. Comme c est la suite costate égale à x, o obtiet x =. 3) D après le théorème du rag, dim Ker(u id) + rg(u id) = dim E doc E = Ker(u id) Im(u id) (o avait déjà la somme directe). 4) Soit a E, ilexiste(x, z) Ker(u id) Im(u id) tel que a = x + z. Il existe y E tel que z = (u id)(y). O a v (a) = v (x)+v ((u id)(y)) = x + ( u + (y) y ). + Comme u + (y) y ( ( y, la suite u + (y) y )) ted + N vers doc (v (a)) ted vers x. (v ) coverge simplemet vers la projectio p sur Ker(u id) parallèlemet à Im(u id).

159 5.3 Exercices d approfodissemet 4 Motros que Im(u id) est fermé. Soit (z ) ue suite d élémets de Im(u id) covergeat vers z E. Il existe (y ) telle que pour tout N, z = (u id)(y ). Motros que p(z) =, c est-à-dire que lim v (z) =. + Soit p N, o a v (z p ) = v (u id)(y p ) = ( u + ) (y p ) y p + + pour les mêmes raisos que précédemmet, v (z p ) y p. D autre part, + v + k= u k + k= que z z p /. D autre part, pour tout N, u k =. Soit >. Il existe p N tel v (z) v (z) v (z p ) + v (z p ) v z z p + v (z p ) /+ v (z p ). Duod La photocopie o autorisée est u délit Il existe N tel que pour tout, v (z p ) / car v (z p ) y p +. Aisi, pour tout, v (z) doc lim v (z) = = p(z). Le sousespace Im(u id) est doc + fermé. 5) O suppose que (v ) coverge simplemet et que Im(u id) est fermé das E. Soit a E. Soit x = lim v (a). O a bie sûr a = x + a x. Motros que + x Ker(u id) et que a x Im(u id). O a (u id) v = v (u id) car v est u polyôme e u. Ilviet (u id) v (a) = ( u + id ) (a). Or ( u + id ) (a) a doc + lim (u id) v (a) =. Comme u id est cotiue, il viet (u id)(x) =. + Doc x Ker(u id). O a a x = lim (a v (a)). Motros que pour tout N, oa + a v (a) Im(u id), comme Im(u id) est fermé, o aura motré que a x Im(u id). Pour tout N, id v = ( id u k ) + avec w = + = + k= (id u) ( id +u + + u k ) = (id u) w k= ( id +u + + u k ).Aisia v (a) = (id u) (w (a)) k= doc a v (a) Im(u id), ce qui termie la preuve.

160 6 Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie Ce chapitre suppose cou le précédet cocerat les espaces vectoriels ormés gééraux. Les exercices sot e coséquece u peu plus élaborés. 6. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION 6.. Sythèse e dimesio fiie Ce qu il faut savoir Das u espace vectoriel ormé de dimesio fiie, toutes les ormes sot équivaletes. La topologie (ouvert, fermé, compact, etc.) est doc idépedate de la orme choisie. Soit B = (e k ) k ue base de E. Toute orme N de E se comporte comme la orme ifiie sur B k= x k e k,b = max k x k. Aisi ue suite de vecteurs de E coverge (pour importe quelle orme) si et seulemet si chacue des suites coordoées (das ue base quelcoque fixée à l avace) coverge. Si l espace vectoriel ormé de départ E est de dimesio fiie, alors toutes les applicatios liéaires, biliéaires (et même p-liéaires) défiies sur E sot cotiues sur E. Aisi, das ce cas, toute applicatio liéaire possède ue orme subordoée (dépedate, elle, des ormes de départ et d arrivée) Cas particulier très importat : soit f : E F est ue applicatio. Si F est de dimesio fiie et si B est ue base de F, alors f est cotiue si et seulemet si chacue des applicatios coordoées (doées par B) est cotiue sur E. Si u espace vectoriel ormé est de dimesio fiie, alors il est complet (c est u espace de Baach). Remarque Si o a ue suite de Cauchy alors les suites coordoées selo ue base doée sot égalemet de Cauchy.

161 6. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 43 E coséquece, tout sous-espace vectoriel ormé de dimesio fiie d u espace vectoriel ormé quelcoque est fermé. Exemple E dimesio fiie, toute série absolumet covergete (pour importe quelle orme) est covergete. Les compacts Les compacts d u espace vectoriel ormé de dimesio fiie sot les esembles fermés et borés. Autre formulatio (Bolzao-Weïerstrass) Toute suite borée d u espace vectoriel ormé de dimesio fiie possède ue valeur d adhérece. Exercice 6. Mies-Pots PSI 6 Soit u etier supérieur ou égal à, et soit A ue matrice atisymétrique de M (R). Motrer que, si la suite (A p ) coverge, alors sa limite est la matrice ulle. Notos S (R) (resp. A (R)) l espace vectoriel des matrices symétriques (resp. atisymétriques) d ordre. Ce sot deux sous-espaces vectoriels de M (R) doc ils sot fermés. Soit B = lim A p. Pour tout p N, la matrice A p est symétrique p + ( t (A p ) = ( t A) p = ( A) p = A p ) et la matrice A p+ est atisymétrique. O e déduit que B = lim p + Ap+ est atisymétrique, et d autre part que B = lim p + Ap est symétrique. Comme A (R) S (R) = {}, il e résulte que B =. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6. Divers écoles MP 7 Soit A =. Détermier les a R tels que a A coverge vers ue limite o ulle. U calcul rapide motre que le polyôme caractéristique de la matrice A s écrit x A (X) = X(X )(X 3). Il est doc scidé à racies simples. La matrice A est diagoalisable au moye d ue matrice de passage P GL 3 (R), P AP = diag(,, 3). Il viet a A = P diag(, a, (3a) )P doc a A coverge vers ue limite o ulle si et seulemet si diag(, a, (3a) ) coverge vers ue limite o ulle (M PMP est u homéomorphisme liéaire de M 3 (R)). La seule possibilité est a = 3.

162 44 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie Exercice 6.3 TPE MP 6,5 État doée ue matrice A M (R), trouver ue coditio écessaire et suffisate sur A pour qu il existe M M (R) vérifiat M k A. k + Si M existe, alors lim k + Mk = A par cotiuité de l applicatio de M M mais lim k + Mk = A doc A = A par uicité de la limite. Réciproquemet, si A = A alors e posat M = A, o a bie lim k + Mk = A. Coclusio : la coditio A = A «A est u projecteur» est ue coditio écessaire et suffisate qui répod à la questio. Exercice 6.4 TPE MP 6 Motrer que O (R) est u compact das M (R). O rappelle que O (R) = {M M (R) t M.M = I }. L applicatio w défiie sur M (R) parw(m) = t M.M état cotiue, l esemble O (R) = w ( {I } ) est u fermé de M (R). Toutes les coloes d ue matrice M = (m ij ) orthogoale sot uitaires pour la orme euclidiee usuelle sur les vecteurs coloes doc, pour tout (i, j) [[, ]], o a m ij, d où M (avec M = max m ij ). L esemble O (R) (i, j) [[,]] est u esemble boré (pour et doc pour importe quelle orme puisqu elles sot toutes équivaletes). Exercice 6.5 Motrer que GL (K) est u ouvert dese avec K = R ou C. Puisque K est u ouvert et que l applicatio det : M det M est cotiue, l esemble GL (K) = det (K ) est u ouvert. Soit M M (K). O va motrer qu il existe a > tel que M li GL (K) pour < l < a. Aisi, o a M = lim M ( p + p I et M ) p I GL (K) si p est assez grad. Cosidéros det (M li ), par défiitio, il s agit du polyôme caractéristique de A évalué e l, x A (l). Ce polyôme a u ombre fii de racies, les valeurs propres de M. Soita = mi ( m, m Sp(A) \{} ) (si A a pas de valeurs propres o ulles, importe quel réel strictemet positif coviet). Cet a répod à la questio.

163 6.. Coexité par arcs Ce qu il faut savoir Soit A E ue partie o vide. 6. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 45 O dit que A est coexe par arcs si et seulemet si pour tout (a, b) A, il existe u chemi cotiu reliat a à b, c est-à-dire g :[, ] A cotiue avec g() = a et g() = b. Remarque La relatio a b il existe u chemi cotiue reliat a à b est u relatio d équivalece. Propriétés U covexe (par exemple ue boule) est coexe par arcs. Les coexes par arcs de R sot les itervalles. L image d u coexe par arcs par ue applicatio cotiue est coexe par arcs. Applicatio : si f : X R est cotiue et si X est coexe par arcs alors f (X) est u itervalle (c est ue gééralisatio du théorème des valeurs itermédiaires). Exercice 6.6 Motrer que GL (R) est pas coexe par arcs das M (R). Si GL (R) était coexe par arcs, alors det (GL (R)) = R devrait être coexe par arcs e tat qu image par l applicatio cotiue det, doc être u itervalle, ce qui est pas le cas. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6.7 Soit E u K-espace vectoriel de dimesio fiie et soiet A et B deux parties o vides coexes par arcs de E. ) Motrer que A B est coexe par arcs. ) Motrer que A + B = {a + b ; a A et b B} est coexe par arcs. ) Soiet (a, b) et(a, b )deuxélémetsdea B. Ilexisteg :[, ] A et g :[, ] B cotiues avec g () = a, g () = a et g () = b, g () = b. { [, ] A B Le chemi g : est bie cotiu et relie (a, b) à t (g (t), g (t)) (a, b ) doc A B est coexe par arcs. { [, ] A + B ) De même, g : est u chemi cotiu qui relie a+b t g (t)+g (t) à a + b doc A + B est coexe par arcs.

164 46 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie 6..3 Séries matricielles Ce qu il faut savoir O cosidère l espace vectoriel E = M (K) mui d ue orme d algèbre. (c est-à-dire vérifiat AB A B, c est par exemple le cas pour ue orme subordoée). Soit M est ue matrice de E. si M <, alors (I M) = o défiit exp M = k= M k k!. M k k= Résultats classiques : Si P est iversible, alors exp(p AP) = P (exp A)P. Si A M (C), alors det(exp A) = e tra (se démotre e trigoalisat A). Si A et B commutet, alors exp(a + B) = exp A. exp B. O e déduit que pour tout A, expa est iversible, d iverse exp( A). Exercice 6.8 ( /3 / Soit A = /4 / et calculer la somme = ). Motrer que la série de terme gééral A coverge A. Cosidéros la orme subordoée associé à la orme ifiie sur M, (R). AX A = sup. X X O remarque que, pour X = t (x, y), ( x AX = max 3 + y, x 4 y ) 5 6 max( x, y ) = 5 6 X d où A 5 6 <. La série A est doc covergete, et o a = A = (I A) = ( ).

165 6. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 47 Exercice 6.9 Mies-Pots MP 6, 5 Soiet a R et A = a a /a a. /a /a ) Calculer le polyôme miimal de A. ) La matrice A est-elle diagoalisable? 3) Sas diagoaliser effectivemet A, calculer exp(a). ) E calculat A, o remarque que A = I 3 + A. A état pas de la forme li 3, so polyôme miimal de degré au mois, il s agit doc de p A = X X. ) Comme la polyôme miimal p A = (X +)(X ) est scidé à racies simples, A est diagoalisable. 3) Soit p N. Calculos A p au moye du polyôme miimal. La divisio euclidiee de X p par p A s écrit X p = p A Q + a p X + b p. E preat successivemet X = etx =, o obtiet { ( ) p a = a p + b p = ( p ( ) p) p p 3 = a p + b p b p = ( p +( ) p). 3 Duod La photocopie o autorisée est u délit Doc A p = a p A + b p I 3 d où A p exp A = p! = 3 p= p= + p p! p= ( ) p p! A + p= = [( e e ) A + ( e +e ) ] I 3 3 = e 3 + (e 3 )a (e 3 )a (e 3 )/a e 3 + (e 3 )a 3e (e 3 )/a (e 3 )/a e 3 + Exercice 6. Mies-Pots MP 7 et 5 + p p! + p= ( ) p p! Soit A M (K)avecK = R ou C telle que A 4 = I. Détermier exp(a). I 3

166 48 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie Ue démostratio par récurrece, mèe à, k N, A 4k = I, A 4k+ = A, A 4k+ = A,etA 4k+3 = A 3. O obtiet alors, pour tout N, 4+3 k= ( A k k! = k= ) ( I + (4k)! k= + ) A (4k +)! ( (4k +)! k= k= ) A + ( k= k= ) A 3. (4k +3)! E faisat tedre vers +, il viet ( + ) ( + ) exp A = I + A (4k)! (4k +)! k= k= ( + ) ( + ) + A + A 3. (4k +)! (4k +3)! Le calcul des sommes se fait e combiat les développemet e somme de exp(v) avec v {, i,, i} (racie quatrième de l uité). Aisi ( + ) = e + ei + e + e i ch + cos =, (4k)! 4 k= ( + ) = e iei e + ie i sh + si = etc. (4k +)! 4 k= Coclusio : ( ) ( ) ( ) ( ) ch + cos sh + si ch cos sh si exp A = I + A+ A + A EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice 6. Mies-Pots MP 7 Motrer que exp (M) K [M]. Soit M M (K). Puisque K [M] est u sous-espace vectoriel de M (K), il est de dimesio ( fiie et doc fermé. Aisi, la matrice exp(m), limite de la suite de p ) M k polyômes est das K [M]. k! k= p N

167 6. Exercices d etraîemet 49 Exercice 6. Soit M M (K). Motrer qu il existe k N tel que k k, I + M +! M k! Mk GL (K) Puisque exp M = lim k + k p= M p p! GL (K) etgl (K) = det (K ) est u ouvert, il existe u réel r > tel que B(exp M, r) GL (K). Par défiitio de la limite, il k M p existe k tel que pour tout k k, p! B(exp M, r) GL (K). p= Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6.3 CCP PC 6 - Normes et valeurs propres O muit M p (C) de la orme suivate : pour M = (m ij ) (i, j) [[,p]] M p (C), M = max m ij. (i, j) [[,p]] ) Soiet X M p (C) et P GL p (C). Motrer que les applicatios f : M MX et g : M P MP sot cotiues sur M p (C) et que l applicatio h :(M, N) MN est cotiue sur M p (C) M p (C). ) Soit A M p (C) telle que la suite ( A ) soit borée. Motrer que si N l C est ue valeur propre de A alors l. 3) Soit B M p (C) telle que la suite ( B ) N coverge vers C M p(c). Motrer que C = C, que Sp(C) {, } et que Sp(B) {l C l < } {}. 4) O cosidère M M p (Z). O suppose que M est diagoalisable et que les valeurs propres de M sot de module strictemet iférieur à. Détermier lim + M. Motrer qu il existe u rag N tel que M =. Coclure. ) Les applicatios f et g sot liéaires et l espace de départ est de dimesio fiie, elles sot doc cotiues.quat à l applicatio h, elle est biliéaire et l espace de départ est u produit de deux espaces vectoriels de dimesio fiie, elle est doc cotiue. ) Soit X = t (x,..., x p ) u vecteur propre associé à l. Pour tout N, oa A X = l X. La suite ( A ) état borée, e cosidérat les coordoées, N pour tout i [[, p]], la suite ( l x i est borée. E choisissat u idice i tel ) N que x i, o e déduite que la suite ( l ) est borée et doc l. N

168 5 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie 3) Puisque h est cotiue, o a C = lim + B B = lim + B = C, doc C est la matrice d u projecteur. Par coséquet, C est diagoalisable et Sp(C) {, }. D après ce qui précède si l est valeur propre de B, alors l. Motros que l = l =. Soit l ue valeur propre de module et soit X u vecteur propre associé à l. Puisque f est cotiue, o a B X = l X CX + (d après )). La suite (l ) N coverge. De plus, e écrivat pour N, l + l = l l = l, o e déduit que l = lim + l+ l est ul, et doc l =. Aisi Sp(B) {l C l < } {} 4) La matrice M est diagoalisable, il existe doc P GL p (C) tel que M = P DP avec D diagoale. Comme chaque valeur propre est de module <, o obtiet D p où l o désige par p la matrice ulle de M p (C). Par ailleurs, + M = P D P et g est cotiue, doc lim + M = p. Pour tout N, M M p (Z). Chaque suite d etiers correspodat à u coefficiet (i, j) delamatricem coverge vers doc est ulle à partir d u certai rag. E preat le maximum des rags à partir desquels les suites sot ulles, o obtiet u rag N tel que M = p. Aisi, la matrice M est ilpotete et doc Sp(M) = {}.Deplus,M est diagoalisable, elle est doc semblable à la matrice ulle et doc M est la matrice ulle. L exercice suivat écessite la coaissace du chapitre d algèbre biliéaire (réductio des edomorphismes symétriques). Exercice 6.4 Mies-Pots MP 7 Soit A = a a a a a a suite (A ). M 3 (R) avec< a <. Etudier la La matrice A est symétrique réelle doc est diagoalisable. U calcul rapide motre que le polyôme caractéristique s écrit x A (X) = (X )(X 3a +3a ). E regardat le tableau de variatio du triôme a 3a 3a +, a / 3a 3a+ /4 o e déduit que 3a 3a + [, [ pour a ], [. Les valeurs propres sot 4 simples :, 3a 3a + et 3a 3a +.

169 6. Exercices d etraîemet 5 Il existe P O (R) (théorème spectral) telle que P AP = diag(, 3a 3a +, 3a 3a +) et A = P diag(, ( 3a 3a + ) /, ( ) ( 3a 3a + ) / ) P. Comme 3a 3a + ], [, lim + A = P diag(,, )P = L. Cette matrice limite est la matrice du projecteur sur la droite E (A) = Ker(A I 3 ) parallèlemet à la somme des autres espaces propres qui, A état symétrique réelle, est le supplémetaire orthogoal de E (A). E clair, L = lim + A est la matrice das la base caoique du projecteur orthogoal sur la droite Ker(A I 3 ). O peut remarquer directemet que E (A) = Vect(V ) avec V = t (,, ). L est doc idépedate de a. O détermie alors la matrice L e cherchat les images des vecteurs de la base caoique grâce à la formule LX = < V, X > t VX V V = 3 V. O trouve L =. 3 Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6.5 Mies-Pots MP 4 M (R) est mui d ue orme, et o doe ue matrice A dot la suite des puissaces (A p ) p N est borée. O pose alors B p = I + A + + A p pour p p. ) Motrer que (B p ) admet ue valeur d adhérece. O e choisit ue, otée B. Motrer que BA = AB = B puis que B = B. ) Motrer que Ker B = Im(A I ) et que Im B = Ker(A I ). Déduire de tout cela que lim B p = B. p + ) Soit M u majorat de ( A p ) p N. Pour tout p, B p p (M+ +M) = M doc la suite (B p ) est borée, par Bolzao-Weïerstrass, état das u espace vectoriel de dimesio fiie (M (R)), o sait qu elle admet ue valeur d adhérece B = lim B w(p). Pour p, AB w(p) = B w(p) A doc, e passat à la limite, p + BA = AB. Remarquos par ailleurs que pour p, B p B p A = ( I A p) p p + car I A p ( M. Doc Bw(p) B w(p) A ) = B BA =. D où, lim p +

170 5 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie ( pour p N, BA p = A p I + A + + A p ) B = B, puis, B = B. Doc p BB w(p) = B, e faisat tedre p vers +, il viet B = B. ) O a vu que B(A I ) = doc Im(A I ) Ker B. D autre part, si X Ker(A I ), alors pour tout p, A p X = X doc B w(p) X = X doc BX = X e faisat tedre p vers +. Doc, e particulier, Ker(A I ) Im B. Le théorème du rag ous permet de coclure à l égalité des esembles. E effet, dim [Im(A I )] dim [Ker B], dim [Ker(A I )] dim [Im B] et Ker B et Im B état supplémetaires (car B = B). Or dim Im(A I )+dimker(a I ) = = dim Ker B +dimimb, d où l égalité des dimesios et doc des sous-espaces vectoriels. La valeur d adhérece B est doc uique (car défiie uiquemet au moye de A). U résultat classique ous dit qu ue suite das u compact ayat ue uique valeur d adhérece coverge vers cette valeur d adhérece (voir ex 5.4 p.33), doc lim B p = B. p + Exercice 6.6 Théorème de Cayley Hamilto par l aalyse... O rappelle que toute matrice de M (C) est trigoalisable. ) Motrer que toute matrice de M (C) est limite d ue suite de matrices diagoalisables. Idicatio : Utiliser des matrices du type M l diag (,,...,) ) Motrer que pour toute matrice M M (C) diagoale o a x M (M) =. 3) Motrer que pour toute matrice M M (K), x M (M) = (K = R ou C ). ) Soiet P GL (C) telle que M = P MP est triagulaire supérieure, l,, l les élémets diagoaux de M. Si toutes les valeurs propres sot égales, posos a = sio posos a = mi { l i l j (i, j) [[, ]] } et l i l j, de sorte que pour tout (i, j) [[, ]], l i = l j ou l i l j a. Soiet D = diag (,,...,), et, pour tout p N, M p = M a + (p +) D. La matrice M p est alors triagulaire supérieure dot les élémets diagoaux sot ia m i = l i + ( i ). Soit(i, j) [[, ]] tel que i j. Sil i = l j (p +) (i j) a alors m i m j = (p +) etsil i l j, alors m i m j = l (i j) a i l j + (p +) l i j a i l j (p +) l i l j a >

171 6. Exercices d etraîemet 53 i j car (p +) puisque i j, ce qui motre que les valeurs propres de M p sot deux à deux distictes. O ote alors M p = PM p P, de sorte que la suite ( M p est ue suite de )p N matrices diagoalisables covergeat vers M. ) Si M = diag (l,...,l ), alors x M (M) = diag (x M (l ),...,x M (l )) =, puisque les élémets diagoaux de M sot ses valeurs propres et doc les racies de so polyôme caractéristique. 3) O e déduit que pour toute matrice diagoalisable M = PM P,oùM est diagoale, o a ( x M (M) = x M (M) = x M PM P ) ( = Px M M ) P =. Soit M M (C). L applicatio F : M (C) M (C), M x M (M) est cotiue (les coefficiets de x M (M) s exprimet comme des polyômes par rapport aux coefficiets de M). Soit ue suite ( M p )p N de matrices diagoalisables de M (C) covergeat vers M (d après )), la suite ( ( x MP Mp ))p N coverge vers x M (M), mais d après ce qui précède cette suite est la suite costate ulle, o e déduit x M (M) =. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6.7 Polytechique MP 6 Soit N M (C) ilpotete,. Trouver A M (C) telle que exp(a) = I + N. Idicatio de la rédactio : poser P = ( ) k X k k et motrer que k= P k k! = +X + X Q avec Q R[X]. Comme N est ilpotete, o sait que N =. Utilisos la formule exp(l(+x)) = +x pour x ], [. O sait que Doc l( + x) = k= ( ) k k exp(l( + x)) = k= x k + o x (x ) = P(x)+ o x (x ). k= P k (x) k! + o x (x ) par les règle de compositio des développemets limités.

172 54 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie De plus, exp(l( + x)) = +x, par uicité d u développemet limité d ordre, P k (X) o peut affirmer que les premiers termes du polyôme s idetifie à k! +X, e d autres termes, il existe Q R[X] tel que P k k! = +X + X Q. Appliquos ce résultat à la matrice N. Oa k= k= k= k! Pk (N) = +N + N Q(N) = I + N. Remarquos que pour k, P k (N) = (o peut factoriser par N), doc exp(p(n)) = k! Pk (N) = I + N. k= Exercice 6.8 Mies-Pots MP 5 Motrer que R et R e sot pas homéomorphes. Raisoos par l absurde. Supposos que R et R sot homéomorphes et w : R R u homéomorphisme. Alors R \{} est homéomorphe à R \{w()}. OrR \{}, qui est pas u itervalle est pas coexe par arcs alors qu il est assez facile de réaliser que R \{w()} est coexe par arcs. Ceci est cotradictoire car e trasportat les chemis cotius de R \{w()} par w e des chemis de R \{}, o devrait avoir R \{} coexe par arc. Exercice 6.9 Soit E u K-espace vectoriel de dimesio fiie et soiet A et B deux parties o vides fermées de E telles que A B et A B sot coexes par arcs. Motrer que A et B sot coexes par arcs. O utilise la trasitivité de la relatio d équivalece «a b il existe u chemi cotiue reliat a à b». Comme A et B jouet u rôle symétrique, il suffit de motrer le résultat pour A. Soit a A B (o vide car coexe par arcs). Supposos qu il existe u élémet a A o relié par u chemi à a das A. Nécessairemet a / B car A B est coexe par arcs et a est relié à aucu élémet de A B (si a a A B comme A a a o aurait a a ). A B état coexe par arcs, il existe cepedat u A B A chemi cotiu g :[, ] A B avec g() = a et g() = a. Ue petite figure ous covaic (A et B état fermées) qu il existe a A B relié à a, ce qui est cotradictoire.

173 6. Exercices d etraîemet 55 Pour prouver rigoureusemet l existece de a, cosidéros a = sup {x [, ] t [, x], g(t) A}. Comme A est fermé, g(a) A (car si (x ) ted vers a, o a lim + g(x ) = g(a) A car A est fermé). Mais alors a = g(a) B car sio, g(a) E \ B ouvert (car B est fermé) doc il existerait assez petit pour que g [a,a+ ] A \ B ce qui cotredit la défiitio de la bore supérieure. E coclusio, tout élémet a A est relié à u élémet doé a A B doc tous les élémets de A sot reliés etre eux, A est coexe par arcs. O fait de même pour B. Exercice 6. TPE MP 5 Soit E u espace vectoriel ormé de dimesio fiie, etsoit(u k ) k N ue suite d edomorphismes de E. Démotrer l équivalece etre : (i) la suite (u k )covergedasl (E). (ii) pour tout x E, la suite (u k (x)) coverge das E. Duod La photocopie o autorisée est u délit Soit B = (e,...,e ) ue base de E. O muit E de la orme ifiie associée à cette base. Si v L (E), o pose N(v) = v(e i ). O observe que N est ue orme sur L (E), car si N(v) =, alors v est ulle sur ue base, doc est ulle. Supposos l hypothèse (i) vérifiée. O ote u la limite de la suite (u k ). Soit x E, o écrit x = x i e i, d où i= u k (x) u(x) x i u k (e i ) u(e i ) x N(u k u) i= O e déduit que (u k (x)) coverge vers u(x) pour tout x E. i=

174 56 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie Supposos l hypothèse (ii) vérifiée. E particulier, pour tout i compris etre et, la suite (u k (e i )) k N coverge vers u vecteur oté f i.soitu l edomorphisme de E etièremet défii par l image de la base B e posat u(e i ) = f i pour i variat de à. O a alors N(u k u) = coverge vers u das L (E). i= u k (e i ) u(e i ) k +, doc la suite (u k) Remarque Le choix de la orme das L (E) est u élémet essetiel de la résolutio de cet exercice. Exercice 6. Mies-Pots MP 5 Soiet f ue foctio de R das R et G f = {(x, f (x)), x R} le graphe de f. ) Motrer que si f est cotiue alors G f est fermé. ) Si f est borée et si G f est fermé das R, motrer que f est cotiue. 3) Le résultat du b) subsiste-t-il si f est pas borée? ) Soit (x, f (x )) N ue suite d élémets de G f covergete. E particulier la suite réelle (x )coverge.sil = lim x, la cotiuité de f implique que la + suite (x, f (x )) ted vers (l, f (l)) G f ce qui prouve que G f est fermé. ) Soiet l R et (x ) ue suite réelle tedat vers l. Motros que la suite ( f (x )) ted vers f (l), aisi ous auros motré la cotiuité de f e l. La suite ( f (x )) état borée par hypothèse, elle admet au mois ue valeur d adhérece y = lim f (x w()). La suite d élémets de G f (x w(), f (x w() )) + coverge vers (l, y), or G f est fermé doc (l, y) G f, ce qui s écrit y = f (l). La suite ( f (x )) admet doc pour uique valeur d adhérece f (l) doc, état borée, coverge vers cette valeur (voir ex 5.4 p.33). 3) Le résultat est mis facilemet e défaut. O peut par exemple cosidérer la foctio f défiie par f (x) = si x et f () =. x G f = {(x, y) R xy = } {(, )} est u fermé mais f est pas cotiue sur R. Exercice 6. Mies-Pots MP 6 et Cetrale MP 5 Soiet K u compact d itérieur o vide de R et C ={u L (R ) u(k ) K } ) Motrer que C est u compact de L (R ). ) Motrer que pour tout u C, det u.

175 6.3 Exercices d approfodissemet 57 3) Questio de la rédactio : motrer à l aide d u exemple que la coditio K d itérieur o vide est écessaire. ) Motros que C est boré. K est d itérieur o vide doc il existe ue boule fermée B f (a, r) K avec r >. D autre part K est compact, doc boré, il existe alors M > tel que pour tout x K, x M, e particulier pour x B f (a, r). Soit u C. Six B f (, r), x + a B f (a, r), doc u(x) = u(x + a) u(a) u(a) + u(x + a) M. Aisi, pour tout x B f (, ), u(x) = r u(rx) M. E otat la orme subordoée r à das L (R ), o a u M,etC est boré. r Motros que C est fermé. Soit (u p ) p N ue suite de C covergete vers u L (R ) pour. E particulier pour tout x K, lim u p(x) = u(x). Or p + u p (x) K et K est fermé doc u(x) K. O e déduit que u C, doc C est fermé. Comme C est fermé et boré, c est u compact de L (R ). ) C est compact et l applicatio détermiat est cotiue, doc det(c) est ue partie compacte, doc borée de R. Soitu C : u(k ) K, doc par récurrece, k N, u k (K ) K, doc u k C, doc la suite (det u k ) est borée. Or det u k = det u k, doc det u (si det u >, alors det u k + ). 3) La coditio K d itérieur o vide est écessaire. Preos par exemple K = {}, alors C = L (R ), qui est pas boré doc pas compact. 6.3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT 6.3. Exercices sur les suites umériques Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6.3 Polytechique MP 5 Soit a = (a ) ue suite de réels telle que a + a ted vers. Motrer que l esemble des valeurs d adhérece est u itervalle. Soit I l esemble des valeurs d adhérece de la suite (a ). Motros que I est u itervalle e raisoat par l absurde. Supposos qu il existe a < x < b avec a, b I et x / I. Soit d = mi (x a, b x). O sait qu il existe >, tel que pour tout N, a / [x, x + ]. Quitte à réduire cet, o peut le choisir iférieur à d (e fait, c est automatique, voir figure). + α + a + x ɛ + x + x + ɛ + a + β

176 58 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie D autre part, comme lim (a + a ) =, il existe +, a + a. N tel que pour tout Comme a et b sot des valeurs d adhérece, il existe et > tel que a a et b a. a x < x + a avec > et les écarts successifs a + a pour [[, ]] sot iférieur à doc il existe [[, ]] tel que a [x, x + ] ce qui est cotradictoire avec a / [x, x + ]. L exercice suivat est particulièremet utile pour détermier les valeurs d adhérece de suites réelles. Le lecteur est ivité à utiliser les résultats de cet exercice das les deux exercices de cocours qui suivet. Exercice 6.4 Soiet (u ) N et (v ) N deux suites réelles telles que lim + u = lim v = + et + lim (u + u ) =. + ) Soit > et N tel que pour, u + u. Motrer que pour tout réel a u il existe > tel que a u. ) E déduire que { u v p (, p) N } est dese das R. 3) Soit a R. Motrer qu il existe ue suite d etiers strictemet croissate ( ( k) k N et ue suite d etiers (p k ) k N telle que a = lim u v ) + k p k. ) Cosidéros = mi { > u > a} (comme lim u = +, cet esemble + est o vide). Si > +, alors > est pas das l esemble doc u a < u,ilviet a u u u. Si = +, alors u a < u,ilviet a u u u. Das tous les cas, a u. ) Soit a R. Soit >. Il existe N tel que pour, u + u. D après la questio précédete, il existe > tel que a u. Comme lim v = +, il existe p N tel que a + v p u. A ouveau, d après la + questio précédete appliquée à a + v p, il existe > tel que a + v p u = a ( u v p ), ce qui prouve la desité de { u v p (, p) N } das R. 3) Il suffit d adapter la démostratio précédete. O costruit les suites ( k )et(p k ) par récurrece, de sorte que a ( u k v pk ) k où k = k +. Pour k =, il existe et p tel que a ( u v p ) d après b).

177 6.3 Exercices d approfodissemet 59 Supposos costruites les suites jusqu au rag k. O choisit alors l idice du a) strictemet supérieur à k ce qui assure l existece d ue etier k+ > > k et u etier p k+ d après b) tel que a ( ) u k+ v pk+ k+. Exercice 6.5 Mies-Pots MP 5 Motrer la desité das [, ] de {cos(l ), N }. Idicatio de la rédactio : o pourra utiliser l exercice 6.4 page 58. La suite {cos(l ), N } est l image par l applicatio cos de l esemble { l +pp (, p) ( N ) }. O peut appliquer l exercice 6.4 avec u = l et v p = pp, o a bie Doc lim + u = lim v = + et + lim (u + u ) =. + { l +pp (, p) ( N ) } est dese das R. Pour tout x [, ], il existe a tel que cos a = x. D après ce qui précède, il existe ue suite (l k +pp k ) k N covergeat vers a, doc, par cotiuité du cosius, Exercice 6.6 x = lim cos (l k +pp k ) = lim cos (l k). + + Mies-Pots MP 5 Quelles sot les valeurs d adhérece de la suite si ( p )? Idicatio de la rédactio : o pourra repredre l exercice 6.4 page 58. Duod La photocopie o autorisée est u délit L esemble {si ( p ), N } est l image par l applicatio si de l esemble { p +pp (, p) ( N ) }. O peut appliquer l exercice 6.4 avec u = p et v p = pp, o a bie lim u = lim v = + et lim (u p + u ) = = { Doc p +pp (, p) ( N ) } est dese das R. Mais cela e doe pas directemet les valeurs d adhérece. O utilise le résultat u peu plus fi de l exercice 6.4 : pour tout a R, il existe ue suite d etiers strictemet ( croissate ) ( k ) k N et ue suite d etiers (p k ) k N telle que a = lim p k +pp k. Motros que l esemble des valeurs d adhérece de la suite si ( p ) est le seg- + met [, ]. L iclusio das [, ] état évidete, cosidéros u x [, ]. Il

178 6 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie existe a R tel que x = si a. D après ce qui précède, il existe ( k, p k ) tels que x = Doc x est ue valeur d adhérece. lim si ( p ) k +pp k = lim si ( p ) k Résultats de topologie sur les matrices Exercice 6.7 Calcul de orme subordoée pour la orme ifiie Pour A = (a ij ) M (C), o cosidère la orme subordoée { } AX A = sup X M (C) \{} X où désige la orme ifiie sur M (C), X = max x i. Motrer i que A = max a i, j (c est-à-dire le maximum des ormes des coloes de A). i j= Pour tout X M (C) \{}, grâce à l iégalité triagulaire, pour k [[, ]], p p (A X) k a kj X max a ij X. i j= E passat au maximum, il viet A X A max i p a ij = M. j= j= max i p a ij X d où Costruisos u vecteur X uitaire tel que A X = M. (o sait, par le cours, la sphère état compacte e dimesio fiie, que la bore supérieure das la défiitio de la orme subordoée est atteite). p Soit i tel que M = a i j. Ecrivos le ombre complexe a i j sous la forme j= a i j e iu j. Posos X = t (e iu,...,e iu ). O a (AX) i = M et X =. Doc p A AX M et fialemet A = M = max a ij. i j= j=

179 6.3 Exercices d approfodissemet 6 Exercice 6.8 Mies-Pots MP 7, 6 Soiet A M (C) etr(a) = max { l, l Sp(A)}. ) Motrer l équivalece de : i) lim k + Ak = ii) r(a) < iii) A k coverge das M (C). Idicatio de la rédactio : Pour ii) iii), o pourra trigoaliser et utiliser la orme subordoée de l exercice précédet K. ) Motrer que das ces coditios, k= A k est u polyôme e A. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) iii) i) est immédiat (le terme gééral A k ted vers ). Motros i) ii). Supposos que lim k + Ak =. Soit l ue valeur propre de A de module maximal et X u vecteur propre associé. O a lim k + Ak X = lim k + lk X = doc, e cosidérat ue coordoée o ulle de X, o a lim k + lk = ce qui implique que l <, c est-à-dire r(a) <. Motros ii) iii). O aimerait costruire ue orme d algèbre telle que A <, par exemple ue orme subordoée. Trigoalisos la matrice A. Il existe P GL (C) telle que P AP = T = (t ij ), matrice triagulaire avec les valeurs propres (t ii ) sur la diagoale. Appelos (C,...,C ) les vecteurs coloes de la matrice P qui «trigoalise A». Soiet a C et P a la matrice de GL (C) de coloes C, ac,, a C, alors t at a t 3 a t t at 3 a t Pa AP a = t 33 a 3 t 3 = T a.. ()... t Choisissos a > assez petit pour que toutes les ormes des coloes de T a soiet < (c est possible car tous les t ii sot de module < ). Cosidéros alors la orme défiie par M a = sup { P a MP a X X M (C) \{} X } = P a MP a où désige la orme de l exercice précédet). O a A a < d après l expressio de cette orme subordoée doée das l exercice précédet. Il s agit bie d ue orme d algèbre ( MN a = ( Pa )( ) MP a P a NP a M a N a ). O peut doc coclure que A k coverge das M (C).

180 6 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie ) L esemble C[A] = {P(A), P C[X]} est ue sous-espace vectoriel de M (C) p doc est fermé. Puisque A k = A k, o e déduit que cette limite est das C[A]. Exercice 6.9 k= lim p + Petite sythèse sur la topologie de certais esembles de matrices K Soit. O muit M (K) d ue orme quelcoque. (K = R ou C). Détermier si les esembles suivats sot ouverts, fermés, deses, compacts (o pourra même chercher le cas échéat leur adhérece et leur itérieur). ) GL (K). ) l esemble des matrices de projecteurs. 3) l esemble des matrices ilpotetes. 4) l esemble O (R) des matrices orthogoales. 5) l esemble D des matrices diagoalisables pour le cas K = C. ( ENS Paris, Lyo, Cacha MP 5, Polytechique MP 5 KK). Pour le cas K = R, voir l exercice suivat exercice 6.3 p. 63. ) O a GL (K) = det (K ), doc il est ouvert. Il e peut être fermé d après ex 5..4 p.8. Il est dese ( d après ex 6.5 p.44 : toute matrice M M (K) peut s écrire M = M ) p I avec M p I GL (K) pour p assez grad. lim p + ) L esemble P = {M M (K) M = M} est fermé car c est l image réciproque de {} par l applicatio ( cotiue ) de M (R), w : M M M. Il est p pas boré. Pour =, M p = avec p N est la matrice d u projecteur (M p est diagoalisable avec et comme valeurs propres) mais la suite (M p ) est pas borée. O traspose facilemet l exemple pour quelcoque. Aucue matrice M de projecteur est u poit itérieur. E effet, si M, alors p M = lim p + p + M et p M est pas ue matrice de projecteur. Si M =, p + alors o peut écrire = lim p + p I. 3) O sait que pour toute matrice M M (K) telle qu il existe p N tel que M p =, o a M = (voir chapitre sur la réductio, par exemple e appliquat Cayley-Hamilto ou e cosidérat l idice de ilpotece). Aisi l esemble des matrices ilpotetes est {M M (K) M ( = }. Il ) s agit doc d u fermé qui p est pas boré (o peut cosidérer M p = avec p N et traspo- k=

181 6.3 Exercices d approfodissemet 63 Duod La photocopie o autorisée est u délit ser l exemple pour quelcoque). Aucue matrice ilpotete M est u poit itérieur car GL (K) est dese das M (K) et il existe ue suite de matrices iversibles (M p ), doc o ilpotetes, telles que M = lim M p. p + 4) O (R) est fermé, boré doc compact (voir exercice 6.4, page 44). Aucue matrice est poit itérieur de O (R) car e modifiat légèremet e serait-ce qu u coefficiet d ue matrice orthogoale, o costruit aisémet ue matrice o orthogoale (par exemple la coloe e questio est plus uitaire). 5) Nous avos vu das l exercice 6.6 page 5, que toute matrice M M (C) était limite de matrices diagoalisables. Aisi D est dese das M (C). Cherchos maiteat les poits itérieurs de D. Soit M D possédat ue valeur propre de multiplicité. Motros que M est limite d ue suite (M p ) p N de matrices o diagoalisables. Il existe P GL (C) telle que ( ) ( ) P A l MP = avec D diagoale et A =. Cosidéros M D l p la matrice obteue e remplaçat A par l p das la matrice diagoale l P MP. La matrice M p est pas diagoalisable (car rg(m p li ) m(l)) et la suite (M p ) ted vers M. Aisi M est pas u poit itérieur. Soit maiteat M D à valeurs propres simples. Motros que M est u poit itérieur e raisoat par l absurde. Supposos qu il existe (M p ) p N de matrices o diagoalisables tedat vers M. Alors la suite des polyômes caractéristiques ( x Mp ted vers x )p N M das l espace vectoriel ormé C [X]. Comme x M est scidé à racies simples, il est aturel de peser que x Mp l est égalemet pour p assez grad. C est u résultat de «cotiuité des racies» qui peut, par exemple, se démotrer à l aide de matrices compagos. L hypothèse de départ est doc cotredite. Coclusio : les poits itérieurs de D sot les matrices diagoalisables à valeurs propres simples. O peut repredre le même argumet pour le cas réel. Pour l adhérece, le lecteur est ivité à chercher l exercice suivat. Exercice 6.3 Cetrale MP 5 K ) Soit P u polyôme réel o ul uitaire de degré. Motrer que P est scidé sur R si et seulemet si, pour tout z complexe, P(z) Im z. ) Motrer la cotiuité de l applicatio qui à ue matrice carrée réelle d ordre associe so polyôme caractéristique.

182 64 Chap. 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie 3) O ote T (resp. D, D) l esemble des matrice réelles carrées d ordre qui sot trigoalisables (resp. sot diagoalisables, possèdet valeurs propres réelles distictes). Motrer que D = D = T. ) Supposos que P est scidé sur R. P peut s écrire P = a i R. Alors, pour tout z C, P(z) = (X a i )avec i= z a i or, a i état réel, i= z a i Im(z a i ) = Im z doc P(z) Im z. Réciproquemet, supposos que pour tout z C, P(z) Im z. Si a est ue racie évetuellemet complexe de P, o a = P(a) Im a doc Im a =, ce qui équivaut à a R. Toutes les racies de P sot réelles, doc P est scidé sur R. { M (R) R ) L applicatio [X] est cotiue car les coordoées de x M x M M das la base caoique de R [X] sot des polyômes e les coefficiets (m ij )de M. 3) O a D D T doc D D T. Il ous reste doc à motrer que T est u fermé et que D = T. Motros que T est u fermé. Soit (M p ) ue suite de matrices trigoalisables covergete vers M. O sait que x Mp x M et que x Mp est p + scidé sur R (coditio équivalete à M p T ). D après a), pour tout z C, xmp (z) Im z. L applicatio P R [X] P(z) C état cotiue, o a par passage à la limite, x M (z) Im z doc x M est scidé sur R c est-à-dire M trigoalisable. Motros que D = T. O repred l idée vue das l exercice 6.6 page 5, déjà reprise das l exercice 6.9 page 6. Soit M T. La matrice M est limite de matrices diagoalisables. Il existe ue matrice iversible P telle que P MP = T soit triagulaire, et o défiit ue suite (M p ) p N par M p = P (T p ) diag(,,...,) P. La suite M p ted vers M et les matrices M p sot diagoalisables pour p assez grad, car leurs valeurs propres sot toutes distites.

183 Dérivatio et itégratio d ue foctio d ue variable réelle à valeurs vectorielles 7 7. EXERCICES D ASSIMILATION ET D ENTRAÎNEMENT 7.. Dérivatio d ue foctio à valeurs das E Ce qu il faut savoir Soit E u espace vectoriel ormé de dimesio fiie. Soiet I u itervalle o trivial de R, f : I E et t I. O dit que f est dérivable e t lorsque lim [ f (t) f (t )] existe. t t,t I \t t t Lorsque cette limite existe, elle est otée f (t ) et appelée dérivée de f e t. O dit que f est dérivable lorsqu elle est dérivable e tout poit de I. Si f,, f sot les applicatios coordoées das ue base doée (e i ) i [[,]] de E, alors f est dérivable e t si et seulemet si chacue des f i est dérivable e t et alors f (t ) = f i (t )e i. i= Remarque Lorsque = ou = 3, la dérivée s iterprète comme le vecteur vitesse de la courbe paramétrée t f (t). Ce vecteur doe la directio de la tagete et sa orme la vitesse istataée. L esemble D (I,E) des applicatios dérivables de I das E est u sous-espace vectoriel de C (I, E), et f f est ue applicatio liéaire de D (I,E) das F (I,E), c est-à-dire qu o a (l f + mg) = l f + mg. Soit f D (I, R) telle que f (I ) J et soit g D (J,E), alors g f D (I,E) et (g f ) = f ( g f ).

184 66 Chap. 7. Dérivatio et itégratio d ue foctio d ue variable... Soiet E, F et G trois espaces vectoriels ormés de dimesio fiie. Soiet w : E F G ue applicatio biliéaire, f D (I,E) et g D (I, F). L applicatio w ( f, g) appartiet à D (I,G) et o a (w ( f, g)) = w ( f, g ) + w ( f, g ). O rappelle, qu e dimesio fiie, toute applicatio biliéaire est cotiue. Applicatio : pour tous les produits classiques Si l : I R et g : I E, alors (lg) = l g + lg. Si f, g : I E, alors (< f, g >) =< f, g >+ < f, g > où <, > désige u produit scalaire sur u espace préhilbertie E. Si f, g : I R, alors (Det( f, g)) = Det( f, g)+det(f, g ). Si f, g : I R 3, alors ( f g) = f g + f g. O peut gééraliser le résultat à des applicatios m-liéaires. Par exemple, pour f, g et h D(I, R 3 ), o a : (Det( f, g, h)) = Det( f, g, h)+det(f, g, h)+det(f, g, h ). Soit f D (I,E) et g D (I, R) partout o ulle, alors f D (I, E) et g ( ) g f = g ( gf g f ). Soiet f D (I,E) et u L (E,F), alors u f D (I,F) et (u f ) = u f. Matriciellemet, cela s écrit : (t MX(t)) = t MX (t) avecx : I R et M M m, (R) représetat f et u. O défiit alors les foctios de classe C k, o otera e particulier la formule de Leibiz : pour tout f C k (I,E), g C k (I, F) et w biliéaire, k ( ) k w( f, g) (k) = w( f (p), g (k p) ). p p= Exercice 7. Mouvemet à accélératio cetrale Soit f : I R R 3 ue foctio de classe C telle que pour tout t I, f (t) est coliéaire à f (t). Pour t I, o ote s(t) = f (t) f (t). ) Motrer que la foctio vectorielle s est costate. ) Motrer que s il existe t I tel que la famille ( f (t ), f (t )) soit libre, alors f (I ) est iclus das u pla.

185 7. Exercices d assimilatio et d etraîemet 67 ) Le produit vectoriel état ue applicatio biliéaire, ous avos alors d dt s(t) = f (t) f (t)+ f (t) f (t) =. La foctio vectorielle s est doc costate. ) Posos a = f (t ) f (t ). O a pour tout t I, s(t) = f (t) f (t) = a. Puisque < f (t), a >=, o a alors f (t) a, et doc f (I ) est iclus das le pla vectoriel a. Exercice 7. Soit f : I R R 3 ue foctio de classe C telle que : pour tout t I, f (t) et la famille ( f (t), f (t)) est liée. O pose g(t) = f (t) f (t). ) Motrer que g est de classe C et que g (t) est orthogoal et coliéaire à g(t). ) E déduire que f (t) garde ue directio costate. 3) Chercher u cotre-exemple lorsqu o retire la propriété : t I, f (t). Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Pour tout t I,<g(t), g(t) >= doc, e dérivat, le produit scalaire état ue forme biliéaire, o obtiet : d dt (t < g(t), g(t) >) =< g (t), g(t) > + < g(t), g (t) >= < g(t), g (t) >= ; doc g (t) est orthogoal à g(t). De plus, pour tout t I, f (t) g(t) = f (t). E dérivat, il viet : f (t) g (t) + < f (t), f (t) > g(t) = f (t). Or f (t) est f (t) coliéaire à f (t) lui-même coliéaire à g(t) doc g (t) est coliéaire à g(t). ) Le vecteur g (t) est coliéaire et orthogoal à g(t) etcommeg(t) est o ul, le vecteur g (t) est doc ul. Par coséquet g est costat et doc f a ue directio costate. 3) Posos par exemple, f (t) = ( t, t ) pour t ], ] et f (t) = (t, t ) pour t [, + [ alors f (t) = ( t, t) avec = ± et o vérifie facilemet que f est bie de classe C (il y a pas de problème e ). Pour tout t I, la famille ( f (t), f (t)) est liée mais f a deux directios... Exercice 7.3 Soiet E u espace vectoriel de dimesio,(x,, x ) E, u L (E),etB = (e i ) ue base de E. Motrer que ( ) det B x,, x k, u (x k ), x k+,, x = tr (u) detb (x,, x ). k=

186 68 Chap. 7. Dérivatio et itégratio d ue foctio d ue variable... Applicatio : o suppose que w,..., w : I R sot des foctios de classe C solutios de X = AX où A M (R). Détermier ue équatio différetielle vérifiée par l applicatio (dite wroskie) W : I R, t det ca (w (t),..., w (t)). Nous remarquos rapidemet que l applicatio w : (x,, x ) det B (x,, u (x k ),, x ) k= est ue forme liéaire alterée sur E, il existe doc l K tel que w = l det B,avecl = l det B (B) = w (B). E otat [ m i, j = mat ](i, j) [[,]] B (u), o calcule avec la règle des détermiats par blocs : () m k,.... () det B (e,, u (e k ),, e ) = m k,k = m k,k.. ()... m k, () O obtiet doc w (B) = m k,k = tr (u), d où le résultat. k= Pour l applicatio, remarquos que W est de classe C et que pour tout t I, o a W (t) = ( det ca w (t),, w k (t), Aw k(t), w k+ (t),,w (t) ) = tr (A) W (t). k= Aisi, e résolvat cette équatio différetielle liéaire d ordre, o trouve pour tout t I, W (t) = W (t ). exp((t t )tra). Exercice 7.4 Soiet { A GL (C) eti u itervalle réel coteat. O suppose qu il existe I M (C) X : de classe C t X(t) telle que t I, X (t) = AX(t)etX() = I. Motrer que pour tout t I, X(t) GL (C).

187 7. Exercices d assimilatio et d etraîemet 69 Aalyse : supposos que pour tout t I, X(t) GL (C). Posos Y = X. Nous avos YX = I doc (YX) = Y X + YX =. Il viet Y X = YAX et comme pour tout t I, X(t) est iversible, o obtiet : t I, Y (t) = YA,deplus,Y () = I. Sythèse : soit Y la solutio du système différetiel Y = YA avec Y () = I. O est bie das les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz liéaire. Alors (YX)() = I et (YX) = Y X + YX = YAX+ YAX = doc pour tout t I, Y (t)x(t) = I. Aisi, pour tout t I, Y (t) GL (C). 7.. Itégratio sur u segmet d ue foctio vectorielle Ce qu il faut savoir Soit f = ( f,, f ):[a, b] R est ue foctio cotiue, o défiit l itégrale de f sur [a, b] par ( b b ) b f (t)dt = f (t)dt,, f (t)dt. a a a Duod La photocopie o autorisée est u délit Soit F u espace vectoriel de dimesio fiie sur K (=R ou C). Soit (e i ) i [[,p]] ue base de F. Soit f ue foctio cotiue par morceaux sur [a, b] à valeurs p das F. E écrivat f = f k e k,odéfiit [a,b] f = b a k= f (t)dt = b a f = ( p ) b f k (t)dt e k F. Si das cette base f a pour coordoées ( ) b f, f,..., f p, alors f a pour ( a b b b coordoées f, f,..., f p ). Ce vecteur, appelé itégrale de f sur a a a [a, b] est idépedat de la base choisie. Parmi les propriétés usuelles de l itégrale, il est importat de reteir que si b b est ue orme sur F, alors f f. a a k= a

188 7 Chap. 7. Dérivatio et itégratio d ue foctio d ue variable... Exercice 7.5 Cetre de gravité { [a, b] R Soit g : ue courbe paramétrée de classe C de logueur o ulle. Le cetre de gravité de la courbe est le poit G tel que t M(t) b d OM(t) GM(t)dt =. dt a ) Motrer l existece et l uicité de G. ) Détermier le cetre de gravité d u demi-cercle. 3) Soit w : R R ue isométrie affie. Motrer que w(g) est le cetre de gravité de la courbe paramétrée w g. 4) O admettra que le cetre de gravité e déped que du support géométrique de g. Motrer que si la courbe admet u axe de symétrie D alors G D. ) E écrivat GM(t) = GO + OM(t), la relatio est équivalete à (la logueur OG = b d OM(t) dt dt b a a b a d OM(t) dt d OM(t) dt est supposée o ulle). dt OM(t)dt ) Das ce cas, M(t) = (cos t, si t)avec[a, b] = [, p], o a alors x G = ety G = p dt p si tdt = p. 3) E otat w la partie liéaire de w,oa ( w ( OG) = w(o)w(g) = b d ) OM(t) w OM(t)dt a dt b d OM(t) ( = ) b d Ow(M(t)) w OM(t) dt = w(o)w(m(t))dt dt dt a d Ow(M(t)) ( car dt = d ) OM(t) w dt = d OM(t) dt. Doc (avec w(o) comme autre origie) w(g) est le cetre de gravité de w g. a

189 7. Exercices d assimilatio et d etraîemet 7 4) Coséquece assez immédiate : e posat s D = w. s D g est ue autre courbe paramétrée mais possédat le même cetre de gravité car cette courbe a le même support géométrique doc s D (G) = G doc G D. ) Exercice 7.6 CCP PC 6 ( O ote M la foctio vectorielle défiie sur R + e t (t ) par M(t) = ) Pour A = (a ij ) M (R), o pose N(A) = sup a ij. i, j a) Motrer que N est ue orme sur M (R). b) O pose, pour tout t R +, w(t) = N(M(t)). Détermier pour t R +, la valeur de w(t). Motrer que w est cotiue et de classe C par morceaux sur R +. La foctio w est-elle de classe C sur R +? ) Soit F la primitive de w qui s aule e. Calculer pour t R +, la valeur de F(t). La foctio F est-elle de classe C sur R +? 3) Détermier la primitive F de M sur R + qui s aule e, puis motrer que pour tout t R +, N(F(t)) F(t)..a. O vérifie sas difficulté que N est ue orme sur M (R)..b. Pour tout t R +,oan(m(t)) = max(e t, ( t), ). 4 ). 3 Duod La photocopie o autorisée est u délit e t si t [, l ] Ue étude simple de w motre que w(t) = sit [l, ]. Comme (t ) si t [, + [ lim w(t) = lim w(t), w est cotiue au poit t = l. O vérifie de même de t l t l < > même que lim w(t) = lim w(t) et doc w est cotiue au poit x =. Comme elle t < t > est cotiue sur chacu des itervalles [, l ], [l, ] et [, + [, elle est doc cotiue sur R +.

190 7 Chap. 7. Dérivatio et itégratio d ue foctio d ue variable... Sur chacu des trois itervalles cosidérés, w est la restrictio de foctios de classe C sur R, doc w est de classe C par morceaux sur R +. E revache, w g(l ) = etw d(l ) =, doc w est pas dérivable e l et est doc pas de classe C sur R +. ) E itégrat et à l aide de la relatio de Chasles, o obtiet pour x R +, ( e x x ) si x [, l ] +(x l ) si x [l, ] F(x) = w(t)dt = (x ) 3 +3 l si x [, + [ 3 3 L applicatio F est de classe C sur R + car c est ue primitive d ue foctio cotiue. 3) La primitive F s aulat e s obtiet e «primitivat» chaque coefficiet de la matrice, pour tout x R +, x x x e t dt (t ) dt F(x) = M(t)dt = x x dt dt ( e x ) = x ( x ) x La propriété N(F(x)) = N M(t)dt N(M(t))dt = F(x) ous doe le résultat. 7. EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 7.7 (x ) Dérivée d ue base orthoormale Soiet e,e,e 3 :I R R 3 trois foctios de classe C telles que pour tout t I, B t = (e (t), e (t), e 3 (t)) soit ue base orthoormale de R 3 (base orthoormale mobile). ) Soit M t la matrice das B t des vecteurs dérivés e (t), e (t), e 3(t). Motrer que M t est ue matrice atisymétrique. ) E déduire qu il existe u vecteur V(t) tel que e i(t) = V(t) e i (t), pour i =, ou3. 3) O suppose que e, e, e 3 sot de classe C sur I. Motrer que V est de classe C sur I et calculer e i e foctio de V, V et e i..

191 7. Exercices d approfodissemet 73 ) Comme pour tout t I, (e (t), e (t), e 3 (t)) est ue base orthoormale, la matrice M t s écrit M t = ( ) ( m ij = < ei (t), e j(t),> ). Or pour (i, j) {,, 3}, (i, j) [[,3]] d ( t < ei (t), e j (t) > ) =< e dt i(t), e j (t) > + < e i (t), e j(t) >=, car < e i (t), e j (t) >= d j i est ue costate. La matrice M t est doc ue matrice atisymétrique (puisque m ij = m ji ). ) Rappelos que pour toute matrice atisymétrique réelle e dimesio 3, l edomorphisme associé (X MX) peut s écrire e utilisat le produit vectoriel : ( ) ( ) g b a X g a X = v X avec v = b. b a g Appliquos cette remarque à la matrice, das la base B t, de l applicatio liéaire M t qui à u vecteur X de R 3 associe Ṽ(t) X : pour i {,, 3}, ẽ i (t) = Ṽ(t) ẽ i(t) etẽ i (t) désige le vecteur coloe représetat e i das B t. Ce est pas tout à fait ce que ous voulios. Reveos à la base caoique. Posos M t = P M t P où P O 3 (R) estla matrice de passage de la base caoique à la base B t. La matrice M t est elle aussi ue matrice atisymétrique réelle. ( M t est la représetatio du même edomorphisme mais les coordoées des vecteurs sot relatifs à ue base fixe, la base caoique.) De même, il existe u vecteur V(t) tel que la matrice de l applicatio M t : X V(t) X das la base base caoique), et pour i {,, 3}, o a e i(t) = V(t) e i (t). 3) O a e i = d ( ) t V(t) e i (t) = V e i + V(t) (V(t) e i (t)) dt = V e i +(V e i )V V e i, e utilisat la formule du double produit vectoriel. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 7.8 ENS Cacha MP 5, très proche de Polytechique MP 7 K Soit A de classe C de R das M (C). ) O suppose qu il existe S de classe C de R das GL (C) ett R tels que S (t)a(t)s(t) = A(t ) pour tout t R. Motrer qu il existe B de classe C de R das M (C) telle que A = AB BA. ) Réciproquemet, o suppose qu il existe B de classe C de R das M (C) telle que A = AB BA. Motrer que t tr A k (t) est costate pour tout k N. Motrer que le spectre de A(t) est costat pour tout t R et qu il existe S de classe C de R das GL (C) ett R tels que pour tout t R, S (t)a(t)s(t) = A(t ).

192 74 Chap. 7. Dérivatio et itégratio d ue foctio d ue variable... ) Appelos A = A(t ). L applicatio t S (t) est de classe C (les coefficiets sot des fractios ratioelles e les coefficiets de S car S = t Com(S)) det S et o a (S S ) ( = = S ) S + S S doc ( S ) = S S S. Dérivos la foctio t A(t) = S(t)A S (t). O a pour tout t R, A (t) = S (t)a S (t) S(t)A S (t)s (t)s (t) = (AB BA) (t) avec B(t) = S (t)s (t). ) Bie sûr, tr (A(t)) = tr I = est costate. O a égalemet tr A (t) = (tr A) (t) = tr (AB BA) =, doc t tr(a(t)) est costate. Soit k. [ tr(a k ) ] = tr [ (A k ) ] = tr A } A A {{ } + AA A + + A AA or la k fois trace d u produit est ivariate par permutatio circulaire, doc [ tr(a k ) ] ( = k tr A A A ) = k tr ( A A k ). Simplifios, tr ( A A k ) = tr ( (AB BA) A k ) = tr(ba k ) tr(ba k ) =. Aisi la foctio tr(a k ) est costate. La coaissace des tr(a k ), k [[, ]] permet de détermier le polyôme caractéristique x A, c est u résultat assez cou mais pas très facile ; o peut le démotrer e cosidérat les formules de Newto (hors-programme) qui permettet d exprimer les sommes e foctio des foctios symétriques élémetaires des li k i= racies. E s ispirat de la première questio, cosidéros la solutio du système différetiel S = BS avec S(t ) = I (o est bie das les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz liéaire). Motros déjà que AS = SA.Eeffet, (AS SA ) = A S+ AS S A = ABS BAS ABS+ BSA = B(SA AS). Posos Y = AS SA. La foctio Y est la solutio du système différetiel Y = BY avec S(t ) =. Comme l applicatio costate ulle est solutio et que l o est das le cadre des hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz liéaire, o obtiet Y =. Aisi, pour tout t R, oaa(t)s(t) = S(t)A. Motros pour coclure que pour tout t R, S(t) est iversible. Il suffit, pour cela, de repredre l exercice 7.4 p.68.

193 Suites et séries de foctios 8 8. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION Das toute cette partie, E désige u espace vectoriel ormé sur R ou C de dimesio fiie. A désige ue partie de E et I u itervalle de R. 8.. Covergece des suites de foctios Ce qu il faut savoir O doe ue suite de foctios ( f ) N toutes défiies sur A, à valeurs réelles ou complexes. O dit que la suite ( f ) N coverge simplemet vers f sur A, lorsque pour tout x A la suite umérique ( f (x)) N coverge vers f (x). E pratique, o fixe x das A et o cherche la limite (si elle existe) de la suite umérique ( f (x)). O dit que ( f ) N coverge uiformémet vers f sur A lorsque la suite de terme gééral f f,a = sup f (x) f (x) x A coverge vers. E pratique, o commece par détermier la limite simple f (si o a covergece uiforme vers f alors f est la limite simple de la suite), et o étudie l écart f f sur A e le majorat par ue suite qui ted vers, ou si cela est pas immédiat, e étudiat les variatios de f f. Exercice 8. ICNA MP 5 Soit a R et f : x a x ( x) défiie sur [, ] pour N. Étudier la covergece simple puis uiforme de la suite de foctios ( f ).

194 76 Chap. 8. Suites et séries de foctios Par croissaces comparées, si x [, [, o a lim + a x = pour toute valeur de a. Deplus f () = pour tout N. Doc, pour tout x [, ], o obtiet lim f (x) = et la suite ( f ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur + [, ]. Afi d étudier la covergece uiforme de cette suite de foctios, puisqu o e trouve aucue majoratio simple qui permet de coclure, o cherche la valeur du maximum de f f = f (foctio positive) e étudiat les variatios de la foctio f.soit N. Pour tout x [, ], o a f (x) = a (x x + )et f (x) = a (x ( +)x ) = a x ( ( +)x). Doc f est croissate sur [, ] et décroissate sur [, ]. Elle atteit so + + maximum e + et ( f = f ( + ) = a + Puisque l( + ) = l( + ) Aisi + lim f = + ) ( ) = a + l( e ). + + =, o obtiet f (x ) + si a > si a = e sia < a + et la suite coverge uiformémet (vers la foctio ulle) si et seulemet si a <. e. Ce qu il faut savoir Propriétés liées à la covergece uiforme Soit ( f ) ue suite de foctios qui coverge uiformémet vers f sur A. Si chacue des foctios f est cotiue e a A, alors f l est aussi. Si chacue des foctios f est cotiue sur A, alors f l est aussi. Si a est adhéret à A et si chaque foctio f admet ue limite fiie l e a, alors la suite (l ) coverge vers u réel ou complexe l et la foctio f admet pour limite l e a. Ce résultat s applique otammet lorsque A est u itervalle o boré de R et a = ±. Remarque O utilise assez fréquemmet la cotraposée d ue de ces propositios pour motrer qu ue suite de foctios cotiues sur A e coverge pas uiformémet sur A. Par exemple, o motre que la limite simple est pas cotiue sur A.

195 8. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 77 Exercice 8. Air MP 5 O défiit pour N ue foctio f sur [, p]par f () = et f (x) = si x. si x x( + x) ) Étudier la covergece simple et uiforme sur [, p] de la suite de foctios ( f ). ) Soit a ], p[. Étudier la covergece uiforme sur [a, p] de cette suite ( f ). Duod La photocopie o autorisée est u délit ) O a immédiatemet lim f () = et lim f (x) = six ], p]. La suite + + de foctios ( f ) coverge doc simplemet sur [, p] vers la foctio f défiie par f (x) = six et f () =. La foctio f est pas cotiue sur [, p]. Nous allos motrer que chacue des foctios f est cotiue sur [, p] ce qui prouvera que la covergece e peut pas être uiforme sur [, p] (sio la limite f serait cotiue). Soit N. La foctio f est cotiue sur ], p] et lim x + f (x) = car lim x + si x x =. Chaque foctio f est doc cotiue sur [, p] et la covergece est pas uiforme sur [, p]. ) Soit a ], p[. O essaie de majorer sup f (x) f (x) = sup f (x). x [a,p] x [a,p] Or, pour tout x [a, p], o a + x +a, x( + x) a( + a) et si x. Aisi, pour tout x [a, p], f (x) a( + a).aisi f,[a,p] de limite ulle lorsque ted vers + et la covergece a( + a) est uiforme sur l itervalle [a, p] (o aurait égalemet pu utiliser le fait que pour x R +,oa si x x pour obteir ue majoratio f (x) +x si x ], p] puis f (x) si x [a, p]). +a Exercice 8.3 Mies-Pots MP 6 Soit, pour N, la foctio f défiie sur [, + [ par f (x) = (x / ). Étudier la covergece simple et uiforme de cette suite de foctios sur [, + [ puis sur les segmets [, a] oùa >.

196 78 Chap. 8. Suites et séries de foctios O a, pour x, ( ) f (x) = e l x l x + = l x. La suite ( f ) coverge simplemet sur [, + [ vers la foctio f où f (x) = l x. O étudie maiteat la différece g = f f : ( ) x [, + [, g (x) = x e l x x = ( ) e l x, x la foctio g est positive sur [, + [, et la foctio g est croissate. De plus, par croissace comparée, o a lim g (x) = +. Doc ( f ) e coverge pas uiformémet vers f sur [, + [. x + Comme g est croissate et g () =, o a sup g (x) = g (a) et lim g (a) = x [,a] + (covergece simple de f vers f ). O a doc covergece uiforme sur tout segmet [, a] [, + [ mais pas sur [, + [. Ce qu il faut savoir Itégratio sur u segmet et primitives ) Si ue suite ( f ) de foctios cotiues sur u segmet [a, b] coverge uiformémet vers f sur [a, b], alors b lim + a f (t) dt = b a f (t) dt. ) Soit ( f ) ue suite de foctios cotiues sur u itervalle I qui coverge uiformémet vers f sur tout segmet de I et a I. O défiit pour x I, h (x) = x a f (t) dt et h(x) = x f (t) dt. La suite (h ) coverge uiformémet sur tout segmet de I vers h. a Exercice 8.4 CCP PSI 5 Étudier la covergece simple et uiforme sur R de la suite de foctios ( f )où f (x) = cos(xe x ), et e déduire la limite de la suite I = f (x) dx. O ote u la foctio défiie sur R par u (x) = xe x. Pour tout N, les foctios u et f sot défiies, cotiues et de classe C sur R. Deplusu est impaire et par coséquet f est paire. O limite doc l étude de la covergece à R +.

197 8. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 79 Covergece simple : si x > alors lim u (x) = (suite géométrique + de raiso q = e x [, [). Si x =, o a u () =. Doc, pour tout x R, lim u (x) = et lim f (x) = par cotiuité de la foctio cosius + + e. La suite ( f ) coverge simplemet vers la foctio costate égale à sur R. Covergece uiforme : o étudie la foctio u sur R +.Soit N, la foctio u est dérivable sur R +, et pour tout x R +,oau (x) = ( x )e x. x + u (x) + e / u (x) Les valeurs de u se situet doc das l itervalle [, p/] sur lequel la foctio cosius est strictemet décroissate. O e déduit ( ) f = sup f (x) = cos e / x R de limite ulle lorsque ted vers +. La covergece est doc uiforme sur R. O peut représeter les premières foctios : Duod La photocopie o autorisée est u délit La suite ( f ) coverge uiformémet sur [, ] vers la foctio f égale à. Chacue des foctios f est cotiue sur [, ]. Doc lim f (x) dx = f (x) dx =. +

198 8 Chap. 8. Suites et séries de foctios 8.. Covergece des séries de foctios et propriétés Ce qu il faut savoir Soit ( f ) ue suite de foctios défiies sur A. O ote (S ) la suite des sommes partielles de la série f. La série de foctios f coverge simplemet sur A, lorsque pour tout x A, la série umérique f (x) coverge. O pose alors pour tout x A, S(x) = lim S (x) = f (x). + = La série de foctios f coverge uiformémet sur A, lorsque la suite de foctios (S ) coverge uiformémet vers S sur A. La série de foctios f coverge ormalemet sur A lorsque f coverge. Remarque importate Covergece ormale covergece uiforme covergece simple (voir exercices 8. et 8.8 qui motret que les implicatios réciproques sot fausses). E pratique : o essaie d abord de prouver la covergece ormale. Pour cela, o cherche u majorat a de f tel que la série umérique a coverge (si o e trouve pas u majorat de maière simple, o étudie les variatios de f ). Lorsqu il y a pas covergece ormale mais covergece simple de la série de foctios, l écart S (x) S(x) est égal à R (x) = k=+ f k (x). Pour établir la covergece uiforme de la série de foctios, il faut motrer que la suite ( R ) ted vers. Exercice 8.5 CCP MP 6 Soit a R. O défiit pour N et x [, ], u (x) = x a exp( x). ) Détermier, pour b R et x [, ], la limite lorsque ted vers + de b u (x).

199 8. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 8 ) Étudier la covergece simple de la série u. 3) Pour quelles valeurs de a a-t-o covergece ormale sur [, ]? ) Pour x [, ], b u (x) b a x et, par croissaces comparées, pour tout x [, [, o a lim + b u (x) =. La majoratio e doe pas toujours le résultat si x =. E revache, o a b u () = b a exp( ) et par croissaces comparées, o a égalemet lim + b u () =. ) D après la questio précédete, pour tout x [, ], u (x) = o + ( )etla série u coverge simplemet sur [, ]. 3) O peut étudier les variatios de u ou bie costater que u (x) = (xe x ).E étudiat les variatios de x xe x, o motre que cette foctio est croissate sur [, ] avec des valeurs allat de à /e. Aisi, o obtiet Or a coverge puisque, pour tout u = e a = a. N a +, a > et lim + a La covergece de la série u est ormale sur [, ], quelle que soit la valeur de a. = e a 8..3 Limite et cotiuité de la somme d ue série de foctios Duod La photocopie o autorisée est u délit Ce qu il faut savoir Soit ( f ) N ue suite de foctios défiies sur A et a adhéret à A. Si chacue des foctios f admet ue limite fiie l e a et si f coverge uiformémet sur A alors la série l coverge la somme S = = f admet pour limite = l e a. Ce résultat est appelé théorème de permutatio des limites. Soit f ue série de foctios cotiues sur A qui coverge uiformémet sur A alors sa somme S est cotiue sur A.

200 8 Chap. 8. Suites et séries de foctios Ce qu il faut savoir Très importat : aspect local de la cotiuité Lorsqu o souhaite démotrer la cotiuité de la somme (ou par la suite sa dérivabilité) sur u itervalle I mais qu o arrive pas à démotrer la covergece ormale ou uiforme sur cet itervalle, o peut restreidre l étude à des sousitervalles (souvet des segmets) qui formet u recouvremet de I. C est suffisat car la cotiuité est ue propriété locale de la foctio et la cotiuité sur chacu des itervalles doera celle sur leur uio (quelle que soit l uio). O détecte la bore ou les bores de I qui poset problème et o essaie de s e écarter (voir exercices 8.6, 8.7, 8.8). E revache, et c est très importat, la covergece uiforme ou ormale sur chacu des itervalles e doera pas celle sur I tout etier (o e pourra pas par exemple utiliser de théorème de permutatio de limites). Exercice 8.6 CCP MP 7, Cetrale PC 7 ) Étudier la covergece simple de la série u où u (x) = exp( x ) pour N. O ote S la somme de cette série de foctios. ) Motrer que S est cotiue sur R +. 3) Motrer que lim S(x) =. x + 4) Motrer que S est décroissate sur R +. 5) Motrer que S(x) x + e x. ) Chacue des foctios u est défiie sur R. Six <, la suite (u (x)) diverge vers + doc la série associée diverge. Pour tout N,oau () = et la série u () diverge égalemet. Si x >, par croissaces comparées, o a lim + e x = doc u (x) est égligeable devat / lorsque ted vers +. Aisi la série u coverge simplemet sur R +. ) La foctio u est décroissate, positive sur R + si bie que u,r + =. La série de foctios u e coverge pas ormalemet sur R +.Soita >, pour les mêmes raisos que précédemmet, o a u,[a,+ [ = u (a). Puisque u (a) coverge, la série de foctios u coverge ormalemet sur [a, + [. Chacue des foctios u état cotiue sur R +, la somme S est cotiue sur [a, + [ pour tout a >. Doc S est cotiue sur R +.

201 8. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 83 3) La série de foctios u coverge ormalemet sur [, + [, et pour tout N, o a lim u (x) =. Le théorème de permutatio des limites etraîe x + que S(x) =. lim x + 4) Pour tout N, la foctio u est décroissate sur R +. La foctio S est doc décroissate sur R +.Eeffet,six > y, pour tout N N,oaS N (x) S N (y) (S N désige la somme partielle d ordre N de la série u ), ce qui doe, lorsque N ted vers +, l iégalité S(x) S(y). 5) E écrivat S(x) = e x + e x +..., o se doute que le terme pricipal lorsque x est grad va être le premier terme de la somme, à savoir e x. O va doc motrer que S(x) x + e x ou plutôt lim x + ex S(x) =. Pour N,odéfiitv (x) = e x u (x) pour x >. Pour tout N,oa v,[,+ [ = v () car la foctio v est positive et décroissate sur [, + [. Puisque v () = e = o ( + ), la série v coverge ormalemet sur [, + [. Chacue des foctios v admet ue limite fiie e +, à savoir pour et lorsque =. Cela permet d écrire lim x + = v (x) = lim x + ex S(x) =. Duod La photocopie o autorisée est u délit 8..4 Itégratio et dérivatio d ue somme de séries de foctios Ce qu il faut savoir Soit f ue série de foctios cotiues sur u segmet [a, b] qui coverge uiformémet sur [a, b], la foctio S = f est cotiue et ( = ) b b ( b + ) f (t) dt = S(t) dt = f (t) dt. = a a a = Soit f ue série de foctios de classe C sur I telle que la série f coverge simplemet sur I. la série f coverge uiformémet sur I alors la somme S = S (x) = = f (x). = f est de classe C sur I et pour tout x I,

202 84 Chap. 8. Suites et séries de foctios Exercice 8.7 CCP MP 7 Pour N, o défiit ue foctio u sur R par u (x) = Arcta(x). O ote S la somme de la série de foctios u lorsqu elle existe. Motrer que S est cotiue sur R et de classe C sur R. Pour tout N, la foctio u est défiie et de classe C sur R. De plus, pour tout x R,oa u (x) p.aisi u coverge ormalemet sur R. La foctio S estdocdéfiieetcotiuesurr.de plus,il est immédiatque S est impaire, comme chaque foctio u. Pour tout N et tout x R, oau (x) = ( + x. O remarque que ) u () = et u () diverge. De plus u,r + = u () =.Lasérie u e coverge pas ormalemet sur R +.Soita u réel strictemet positif. Pour tout N et tout x a, oa u (x) ( + a ).Lasérie ( + a coverge car ) ( + a ) + 3 a doc u coverge ormalemet sur [a, + [. De plus, u est ue série de foctios de classe C qui coverge simplemet sur R, doc S est de classe C sur [a, + [, avec pour tout x a, S (x) = = u (x). Cela état vrai sur tout itervalle [a, + [ aveca >, o e déduit que S est de classe C sur R +. Par imparité, elle l est sur R. Exercice 8.8 ) Soit r ], [. O pose pour x R, f (x) = f est bie défiie et cotiue sur R. ) Soit x R. O pose pour r ], [, g(r) = = = r cos(x). Vérifier que r cos(x). Motrer que g est de classe C sur ], [, détermier ue expressio simple de g (r) et calculer g(r) pour r ], [. p ( p 3) E déduire l( r cos x +r r ) cos(x) ) dx = dx aisi p que la valeur de l itégrale. = p

203 8. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 85 Duod La photocopie o autorisée est u délit ) O ote, pour N et x R, u (x) = r cos(x). Chacue des foctios est défiie et cotiue sur R et u,r = r r.lasérie u coverge ormalemet sur R (puisque r < ) aisi f est défiie et cotiue sur R. ) O ote v (r) = r cos(x). Pour tout N, la foctio v est de classe C sur ], [ et pour tout r ], [, v (r) = r cos(x). Puisque v (r) r,lasérie v coverge simplemet sur ], [. De plus, o a v,],[ = cos(x) si bie que v e coverge pas ormalemet sur ], [ (le fait de pouvoir s approcher de ± fait disparaître le terme géométrique). E revache, soit b ], [, o a v,[ b,b] = b cos(x) b et v coverge ormalemet sur [ b, b]. Fialemet g est de classe C sur tout segmet [ b, b] ], [ doc est de classe C sur ], [ avec, pour tout r ], [, g (r) = ( = + ) ( e g (r) = Re r (e ix ) ix = Re re ix = Fialemet g (r) = r cos(x). Cela doe, pour u tel r, ),et e ix re ix = e ix ( re ix ) ( re ix )( re ix ) = e ix r r cos x + r. cos x r. Puisque g() =, o obtiet e itégrat, r cos x + r pour tout r ], [, g(r) = l( r cos x + r ) (le terme das l reste strictemet positif car il vaut (r cos x) +si x et les deux carrés e peuvet être simultaémet uls puisque r < ). 3) E fixat r ], [, pour tout x R f (x) = l( r cos x + r ) = = r cos(x). D après la première questio, o a covergece ormale de la série de foctios cotiues u sur R, doc sur [ p, p]. O peut doc écrire p ( p l( r cos x + r r ) cos(x) ) dx = dx, p = p p [ ] p si(x) soit le résultat demadé. Or pour N,oa cos(x) dx = =. p Fialemet, o peut calculer la valeur de l itégrale : p p p l( r cos x+r ) dx =.

204 86 Chap. 8. Suites et séries de foctios Remarque Il est importat de faire attetio aux différetes variables qui etret e jeu et par coséquet de prouver les hypothèses pour la boe variable. 8. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice 8.9 CCP MP 6 ) Étudier la covergece simple de la suite de foctios ( f ) N où f est défiie sur R + par f (x) = x e x ( e x ). ) Motrer que la covergece est pas uiforme sur R +. 3) Soit a >. Motrer que la foctio g défiie pour x a par g(x) = x e x ( e x ) est borée sur [a, + [ et e déduire que la suite ( f ) coverge uiformémet sur [a, + [. ) O fixe x >. L étude de la covergece se ramèe à étudier la limite de e x lorsque ted vers +. Puisque x >, o a e x [, [ et par croissaces comparées, cette limite est ulle. La suite de foctios ( f ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur R +. ) O peut bie etedu étudier les variatios de la foctio f pour N pour e déduire sup f (x). Avat de se lacer das de tels calculs, o examie x> f (x), otammet au voisiage de la bore iférieure de l itervalle d étude. O x a f (x) x x =. Aisi lim f (x) = et sup f (x). La covergece x + x> est doc pas uiforme sur R +. 3) O écrit, pour x >, f (x) = g(x)e ( )x. La foctio g ted vers e + par croissaces comparées et vers e. Puisque g est cotiue sur ], + [, la foctio g est borée sur R +.SoitM u majorat de g sur R +, o a fialemet, x a,, f (x) Me ( )a, ce qui doe la covergece uiforme de la suite de foctios sur [a, + [ car lim + e ( )a =.

205 Ce qu il faut savoir À reteir : majoratio 8. Exercices d etraîemet 87 Lorsqu o cherche à évaluer f f sur u itervalle, il est pas toujours judicieux d étudier les variatios de la foctio f f. C est otammet le cas lorsque la dérivée semble assez compliquée à étudier. O essaie alors de majorer, comme das l exercice précédet, ue partie de l expressio, e coservat à part les termes importats qui tedet vers lorsque ted vers +. Exercice 8. ENSEA MP 5, Mies-Pots MP 7 O défiit ue suite de foctios sur [, ] par g = et, pour tout N, g + (x) = + x g (t t ) dt. ) Motrer par récurrece que pour x [, ], g (x) g (x) x!. ) E déduire que la suite de foctios (g ) coverge simplemet sur [, ] vers ue foctio g. 3) E ecadrat g(x) g (x) idépedammet de x, motrer que la covergece est uiforme sur [, ]. ) O commece par prouver par récurrece la propriété, défiie pour N, Duod La photocopie o autorisée est u délit g (x) g (x) = P() : x [, ], g (x) g (x) x x dt = x pour tout x [, ], ce qui correspod à P(). Soit N tel que P(). Pour tout x [, ], ( x ) ( x ) g + (x) g (x) = + g (t t ) dt + g (t t ) dt x ( = g (t t ) g (t t ) ) dt Puisque x [, ], o a [, x] [, ] et pour tout t [, ], t t /4 (t t t est ue foctio polyomiale de degré, elle s aule e et et admet u maximum e / qui a pour valeur /4). D après P(), g (t t ) g (t t ) (t t )!! t ( t)! t!.

206 88 Chap. 8. Suites et séries de foctios E itégrat ces iégalités de à x (x ), o obtiet fialemet, pour tout x [, ], g + (x) g (x) x t + x dt =! ( +)!, c est-à-dire P( + ). O obtiet le résultat demadé par récurrece. ) Soit x [, ], la série x coverge, doc par critère de comparaiso pour les! séries à termes positifs, la série ( g (x) g (x) ) coverge. Or cette série est de même ature que la suite (g (x)). O obtiet bie la covergece simple de la suite (g ) sur [, ] vers ue foctio g. 3) O obtiet ue majoratio de g(x) g (x) e ajoutat les iégalités demadées précédemmet au rag k pour k allat de à l ifii, chacue des deux séries apparaissat état covergete. Plus précisémet, pour x [, ], g(x) g (x) k=+ x k + (k + )! k=+ (k + )! Cela permet doc de majorer uiformémet g(x) g (x) par le reste d ordre de la série covergete! (de somme e). Si o ote, pour N, r = (k + )!,oa g g r avec lim r = comme reste d ue + k=+ série covergete. O obtiet bie la covergece uiforme sur [, ] de la suite (g ). Exercice 8. Comparaiso de covergeces - ENSEA MP 5 Soit (a ) N ue suite réelle positive et décroissate. O défiit pour N et x [, ], u (x) = a x ( x). ) Motrer que la série u coverge simplemet sur [, ]. ) Motrer que la covergece est ormale sur [, ] si et seulemet si a coverge. 3) Motrer que la covergece est uiforme sur [, ] si et seulemet si la suite (a )covergevers. ) La suite (a ) N est positive et décroissate, elle est doc borée et majorée par so premier terme. Pour x [, [, u (x) (a ( x))x,etlasérie géométrique x coverge puisque x [, [. O e déduit que u (x)

207 8. Exercices d etraîemet 89 coverge pour tout x [, [. Puisque u () = pour tout N,lasérie u () coverge. Fialemet u coverge simplemet sur [, ]. ) L étude des variatios sur [, ] de la foctio positive x x ( x) fait apparaître u maximum e, et la valeur e ce poit est équivalete lorsque + ted vers + à.e (voir exercice 8.). O obtiet alors u a + e.o a doc covergece ormale de la série sur [, ] si et seulemet la série a coverge (o utilise les critères de comparaiso pour des séries à termes positifs, le coefficiet e e chageat pas la ature de la série umérique). 3) Soit N. O doit évaluer R (x) = k=+ a k x k ( x). O a tout d abord R () =. Soit x [, [. O e peut pas évaluer directemet R (x), mais seulemet l ecadrer. Plus précisémet, R (x) a + ( x) k=+ x k = a + ( x) x + x = a +x + a +. Cela permet d obteir, R,[,] a +. Si la suite (a ) ted vers, la série coverge bie uiformémet. Si la suite a coverge vers l> (c est la seule autre possibilité puisque la suite est positive décroissate), o doit miorer ce reste. Pour x [, [, R (x) l( x) k=+ x k = lx +, si bie que sup R (x) l. Doc R,[,] l et la covergece est pas x [,[ uiforme sur [, ]. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 8. Air MP 5 ) Détermier le domaie de défiitio de la foctio f défiie par f (x) = = ( ) e x +. ) Motrer que f est cotiue sur [, + [ et de classe C sur ], + [. 3) Détermier ue équatio différetielle simple dot f est solutio et e déduire que f est de classe C sur [, + [.

208 9 Chap. 8. Suites et séries de foctios ) O défiit pour N et x R, u (x) = ( ) e x +. Si x <, lim u (x) = + et la série u (x) est grossièremet divergete. + Si x, la suite (e x ) N est décroissate (vers si x > et costate égale à six = ) et positive. La suite ( + ) N est décroissate vers si bie que la suite ( u (x) ) N est décroissate vers. La série u état alterée, le critère spécial des séries alterées ous assure que la série coverge lorsque x. Aisi f est défiie sur R +. ) Cotiuité : chacue des foctios u est cotiue sur R +. La difficulté viet du fait que u,r + = u () =, et o a pas covergece ormale + de la série de foctios. O doit alors essayer de motrer la covergece uiforme sur R + (o e peut pas ici se coteter de la covergece ormale sur les itervalles [a, + [ aveca >, ce qui e doerait que la cotiuité sur R +). O sait toutefois que pour x, la série umérique u (x) vérifie le critère spécial des séries alterées. O ote pour x, R (x) = k=+ u k (x) (reste d ordre de la série). Soit x R +. Le critère spécial des séries alterées ous permet la majoratio de R (x) par la valeur absolue de so premier terme, soit R (x) e (+)x + +, si bie que R,R +. Cela motre que + lim R +,R + =, la covergece est doc uiforme sur R + et la foctio somme f est doc cotiue sur R +. Classe C : chacue des foctios u est de classe C sur R + avec, pour tout x R +, u (x) = ( ) + + e x. O peut remarquer que u () = ( ) + e ted pas vers lorsque + ted vers. Aisi u () diverge et o a aucue chace de pouvoir appliquer le théorème de dérivatio sur R + (mais cela e prouve pas que f est pas de classe C sur R + ). O fixe a >. Pour x [a, + [, u (x) + e a e a, ce qui doe la covergece ormale de u sur [a, + [. O a auparavat prouvé la covergece simple de u sur R +. O peut doc coclure que f est de classe C sur [a, + [ avec, pour tout x a, f (x) = ( ) + + e x. La dérivabilité s éted à R + = puisque a est u réel strictemet positif quelcoque.

209 = 8. Exercices d etraîemet 9 3) Les termes + et + das f et f ous ivitet à les ajouter pour les simplifier. Pour tout x >, f (x) f (x) = ( ) + + e x = ( e x ) = +e x ce qui doe, pour tout x >, f (x) = f (x). La foctio f est cotiue +e x sur R +, ce qui permet d obteir lim x + = f (x) = f ().Aisi f est cotiue sur R +, de classe C sur R + et f admet ue limite fiie e doc f est de classe C sur R +. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 8.3 Cetrale PC 6, Mies-Pots MP 7, TPE PSI 7 Soit f ue foctio cotiue de R das R et a R. O défiit ue suite de foctios f par f = f et, pour tout N et x R, f + (x) = x a f (t) dt. ) Justifier l existece de cette suite de foctios. ) Motrer que pour tout N, f est de classe C sur R, détermier ses dérivées successives aisi que leur valeur e a. 3) E déduire ue expressio de f à l aide d ue seule itégrale dépedat de f. 4) Justifier l existece de g(x) = = f (x) pour tout x R et doer ue expressio de g e foctio de f. 5) Sas utiliser l expressio trouvée das la questio précédete, détermier ue équatio différetielle liéaire du premier ordre à coefficiets costats vérifiée par g, doer les solutios de cette équatio et retrouver l expressio trouvée das la questio précédete. ) f est cotiue sur R. La foctio f est la primitive de f qui s aule e a et doc f est cotiue et même de classe C sur R. Par récurrece, o motre que f est défiie sur R et est de classe C sur R. ) O a motré auparavat que f est de classe C. De plus, pour tout N, f = f et plus gééralemet, si p, f (p) = f p. Chaque foctio f pour est ue primitive qui s aule e a de la foctio précédete. Doc f (a) = f (a) = = f ( ) (a) = et f () (a) = f (a).

210 9 Chap. 8. Suites et séries de foctios 3) La formule de Taylor avec reste itégral doe, pour tout x R, f (x) = p= o e déduit que f (x) = f (p) 4) Soit x R et N N,oa N N f (x) = = = x a (a) (x a) p + p!! x a (x t) ( )! (x t) ( )! x a f (t) dt. f (t) dt = (x t) f () (t) dt N = x a (x t) f (t) dt! Il reste à passer à la limite lorsque N ted vers +, x état fixé. O ote (x t) h (t) = f (t). La foctio f est cotiue doc borée sur K = [a, x]! (ou [x, a]), soit M u majorat de f sur ce segmet. Alors pour tout t K, h (t) M x a /! et doc h coverge ormalemet sur K. Chaque foctio h état cotiue, cela permet de permuter somme et itégrale. Aisi, o obtiet ( x + ) (x t) f (x) = f (t) dt! c est-à-dire g(x) = = x a a = x e x t f (t) dt = e x e t f (t) dt. 5) La foctio f est de classe C sur R, de dérivée f. O a motré das la questio précédete que f coverge simplemet sur R. E adaptat la démostratio précédete, o motre que f coverge ormalemet sur les compacts de R. O se place sur u segmet cetré e a, K A = [a A, a + A]oùA >. O ote M u majorat de f sur ce segmet. Pour tout x K A, f (x) x a a (x t) M ( )! dt = x a! A! (la foctio itégrée garde u sige fixe sur l itervalle d itégratio, o peut doc supprimer les valeurs absolues à l itérieur de l itégrale). Aisi f coverge ormalemet sur K A. O e déduit que g est de classe C sur tous les segmets K A, doc sur R, avec, pour tout x R, g (x) = = f (x) = = f (x) = f (x)+g(x) = g(x)+ f (x). Pour tout t R, ( g (t) g(t) ) e t = f (t)e t, relatio qu o peut itégrer etre a et x R, ce qui doe [ g(t)e t ] x x a = g(x)e x g(a)e a = f (t)e t dt, a

211 8.3 Exercices d approfodissemet 93 et fialemet g(x) = g(a)e x a + e x x le résultat précédet. a f (t)e t dt. Puisque g(a) =, o retrouve 8.3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 8.4 Mies-Pots MP 6 O défiit pour N et x, f (x) =. Étudier la covergece ( + x) +/ simple et uiforme de cette suite de foctios. Covergece simple : si x et N, oa f (x) = exp ( ( + /)l(+x) ) et o obtiet immédiatemet lim f (x) = + +x. La suite de foctios ( f ) coverge simplemet sur R + vers la foctio f défiie par f (x) = /( + x) si x R +. Covergece uiforme : o étudie, pour x, g (x) = f (x) f (x) = +x ( + x) +/. Pour tout N, g est dérivable sur R + et, pour tout x, o a g (x) = ( + x) +(+/) ( + x) = +/ ( + x) +/ (+ ( + x)/ ). Doc g est positive sur [, ( + ) ] puis égative. O a g () = et Duod La photocopie o autorisée est u délit lim g (x) =. Doc g admet u maximum e x = ( + x + ) erestat positive. O a doc sup f (x) f (x) = g (x ) avec (o utilise das le calcul x R ( + x ) / = +/) g (x ) = +x + = +x + + O a doc covergece uiforme de la suite de foctios ( f )vers f sur R +. Exercice 8.5 Mies-Pots MP 6, Cetrale MP 7 Soit f défiie sur [, ] par f (x) = x( x). O ote f la suite défiie par f = id [,] et, pour N, f = f f.

212 94 Chap. 8. Suites et séries de foctios ) Étudier la covergece simple de la suite ( f ). ) Expliciter / f. Préciser la ature de la covergece de la suite ( f ). 3) Soit k N. Motrer qu il existe ue suite de foctios polyomiales à coefficiets das Z qui coverge vers la foctio costate égale à / k uiformémet sur tout compact de ], [. ) Le plus simple pour commecer est de se doer quelques idées e représetat les premières foctios O costate que la suite de foctios semble coverger vers la foctio costate égale à / sauf aux deux extrémités où la limite est ulle. O peut égalemet représeter la foctio f. O vérifie que f ( x) = f (x) et que f ([, /]) = [, /] = f ([, ]), que f est croissate sur l itervalle I = [, /] et que f (x) > x sur ], /[ avec égalité si et seulemet si x = oux = /. O étudie alors la covergece d ue suite (u ) défiie par u [, /] et pour tout N, u + = f (u ). Si u = alors pour tout N, u = et la limite de la suite est ulle. Si u = /, la suite est costate égale à /. Si u ], /[, alors la suite (u ) est strictemet croissate, majorée par /, coverge doc vers l ], /] et doc vers l = / seul poit fixe de f das cet itervalle ( f est cotiue sur R). Tout cela cofirme ce qui a été cojecturé sur le graphique. La suite de foctios ( f ) coverge simplemet vers la foctio f défiie par f (x) = /six ], [ et f () = f () =. ) O évalue / f pour les premières valeurs de. Oa f (x) = ( 4x( x)) = ( 4x +4x ) = ( x), f (x) = f ( f (x)) = ( f (x)) = ( ( x) ) = ( x)4. E utilisat, la relatio / f (x) = / f ( f (x)), combiée à la relatio f (x) = ( x), o motre alors assez facilemet par récurrece que f (x) =. O retrouve alors les résultats de la questio précédete. ( x)

213 8.3 Exercices d approfodissemet 95 E effet, si x ], [, o a x ], [ et lim / f (x) = (suite géométrique). E revache / f est égale à / e et. La covergece e peut + pas être uiforme sur [, ] puisque chaque foctio f est cotiue sur [, ] (par compositio de foctios cotiues) alors que f e l est pas. Soit I a = [a, a] où a ], /[. Lorsque x I a,oa x [ ( a), ( a)] ], [ et, pour N et x I a,oa f (x) ( a). Doc / f,ia coverge vers lorsque ted vers +. La suite de foctios f coverge uiformémet vers / sur les segmets I a et doc sur tous les compacts de ], [ (u tel compact est iclus das u segmet I a ). 3) Soit K u compact de ], [. La suite ( f ) est ue suite de polyômes qui coverge uiformémet vers / surk. O remarque que la suite ( f k ) coverge au mois simplemet vers la foctio costate égale à / k sur K. Pour prouver la covergece uiforme, il suffit de prouver le résultat suivat : si ( f )et(g ) sot deux suites de foctios qui coverget uiformémet sur K vers des foctios borées respectivemet f et g alors ( f g ) coverge uiformémet vers fg sur K. E effet f coverge vers f et cette suite est borée. Alors f g fg = f (g g)+(f f )g f g g + g f f, de limite ulle lorsque ted vers +. E appliquat ce résultat à f k, o obtiet la répose souhaitée. Remarque À l aide de ce résultat, o peut motrer que tout foctio cotiue sur u segmet K ], [ est limite uiforme d ue suite de polyômes à coefficiets etiers. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 8.6 Mies-Pots MP 6, Cetrale MP 7K O cosidère E l esemble des foctios polyomiales à coefficiets réels défiies sur [, ] de degré au plus.soieta, a,..., a des réels deux à deux disticts de [, ]. Soit (P k ) k N ue suite de E.OdéfiitN(P) = et P = sup P(x). x [,] ) Motrer que N et sot deux ormes sur E. sup i [[,]] P(a i ) ) Motrer que ( i =..., la suite (P k (a i )) coverge) si et seulemet si ((P k ) coverge das E pour la orme ). 3) Motrer que ( i =..., la suite (P k (a i )) coverge) si et seulemet si la suite de foctios (P k ) coverge simplemet sur [, ].

214 96 Chap. 8. Suites et séries de foctios 4) Motrer que das ce cas, la foctio limite est u polyôme de E et que ses coefficiets sot limites des coefficiets des P k. Idicatio : o pourra itroduire la orme N défiie par N (P) = max k [[,]] a k lorsque P = a k X k. ) Si N(P) =, alors la foctio P possède au mois + racies distictes et doc P est ulle. Toutes les autres propriétés se vérifiet facilemet. ) La difficulté est de relier le comportemet e u ombre fii de valeurs à celui sur tout le segmet. Pour cela, o utilise les polyômes d iterpolatio de Lagrage aux poits a,...,a. O ote L,, L ces polyômes d iterpolatio. Pour tout k N, oap k = P k (a i )L i. O ote l i la limite de la suite (P k (a i )) pour p= tout i [[, ]], et L = k= l i L i. Le fait que, pour tout i [[, ]], la suite p= (P k (a i )) coverge vers l i est équivalet à la covergece de la suite (P k )versl pour la orme N. Puisque E est de dimesio fiie, cela équivaut à la covergece pour la orme car toutes les ormes sur E sot équivaletes. De faço plus élémetaire, o peut majorer P k L par P k (a i ) l i L i, ce qui doe le premier ses de l implicatio. L implicatio réciproque est immédiate puisque, pour tout i [[, ]], o a P k (a i ) l i = P k (a i ) L(a i ) P k L. 3) D après la questio précédete, si chacue des suites (P k (a i )) coverge vers u réel l i alors la suite (P k ) coverge uiformémet vers u polyôme de E et doc simplemet. Réciproquemet, si (P k ) coverge simplemet sur [, ], pour tout i [[, ]], la suite (P k (a i )) coverge. 4) La orme proposée est bie etedu ue orme (cela se vérifie aisémet). O a vu qu avec les hypothèses précédetes, la suite (P k ) coverge pour les ormes N et vers le polyôme L. De ouveau par équivalece des ormes, la suite (P k )covergeversl pour la orme N. La limite est doc u polyôme et chacue des suites des coefficiets coverge vers le coefficiet correspodat de L (le coefficiet de degré p de P k L est majoré e valeur absolue par N (P k L)). Exercice 8.7 p= Cetrale MP 6 Pour tout N, o cosidère la foctio u : x x + x. ) Motrer que u coverge ormalemet sur tout compact de R +. O ote S sa somme.

215 8.3 Exercices d approfodissemet 97 ) À l aide d ecadremet par des itégrales, motrer que la série e coverge pas uiformémet sur les segmets [, b]oùb >. ) Soit [a, b] R b +. Pour tout x [a, b], u (x) + a = v.oa b v + a, terme gééral d ue série positive covergete. Doc la série u coverge ormalemet sur tout compact de R +. Chacue des foctios u est cotiue sur R + et la somme S est doc cotiue sur R +. ) Soit x >. La foctio f : t x +x t est décroissate sur R+. Pour tout N, u + (x) = f ( +) + f (t) dt f () = u (x), soit, pour tout, + f (t) dt u (x) relatios pour allat de p +àn, o obtiet f (t) dt. O somme ces N+ p+ N f (t) dt u (x) N =p+ p f (t) dt, avec, si < a < b, à la limite sur N, b a f (t) dt = Arcta(xb) Arcta(xa). Doc, après passage p + Arcta((p +)x) =p+ u (x) p Arcta(px) Duod La photocopie o autorisée est u délit Efi, avec la relatio p/ Arcta x = Arcta /x si x >, o obtiet l ecadremet suivat pour le reste d ordre p de la série u, qu o ote R p (x): Arcta (p +)x R p(x) Arcta px p O a otammet Arcta p + R p(/p) Arcta et lim R p(/p) = p/4. p + Puisque /p [, b] sip est suffisammet grad et que, par coséquet, la suite ( R p,[,b] ) e coverge pas vers, la covergece e peut pas être uiforme surusegmet[, b].

216 98 Chap. 8. Suites et séries de foctios Exercice 8.8 TPE MP 5 Pour, o défiit ue foctio f sur I = [, + [ par f (x) = xe x l. ) Motrer que f coverge simplemet sur [, + [. O otera f la somme de cette série de foctios. ) Motrer que f coverge ormalemet sur tout itervalle [a, + [ où a > mais pas sur [, + [. 3) Motrer que f coverge uiformémet sur [, + [. 4) Motrer que f est cotiue sur R + et de classe C sur ], + [. Motrer que f est pas dérivable e à droite. 5) Motrer que pour tout k N, o a lim x + x k f (x) =. ) O a f () = doc f () coverge. Pour x >, f (x) x l (e x ), terme gééral d ue série géométrique covergete puisque e x ], [. O a bie covergece simple de la série sur I. ) O étudie les variatios de f sur I. Pour tout x, o a f (x) = x l e x. x + f (x) + f (x) e l La série diverge (voir exercice 4.5, page 8 sur les séries de Bertrad). l O se doe maiteat a >. Il existe u rag N tel que, pour tout,/ < a. Alors, d après le tableau de variatios, pour tout, f,[a,+ [ = f (a). Comme f (a) coverge, o obtiet la covergece ormale de la série sur [a, + [. 3) O cherche à majorer uiformémet R (x) =, R () =. O se doe x >, alors R (x) x l( +) k=+ e kx = k=+ f k (x), pour. Pour tout xe (+)x l( +) e x.

217 8.3 Exercices d approfodissemet 99 Le terme l( +) est itéressat pour la majoratio. Il reste e revache à majorer idépedammet de x l autre facteur. Ue majoratio xe (+)x x e x est e x trop forte (limite ifiie e + ). O peut coserver e x afi de compeser x. Alors xe (+)x e x xe x e x = x e x = w(x). Or w est cotiue et positive sur R +, ted vers e et vers e +. O peut alors e déduire que w est borée sur I (o pourrait égalemet étudier les variatios). Soit M u majorat de w sur R +. M O a fialemet, pour tout x >, R (x) et cette majoratio est l( +) M valable e. Doc R,I, ce qui doe la covergece uiforme l( +) sur I. 4) Pour tout, f est cotiue sur I. La covergece uiforme sur I permet de coclure quat à la cotiuité de f sur I.Deplus f est dérivable sur I,avec f (x) = x l e x. Puisque f () = / l, lasérie f () diverge. Il y a doc aucue chace de pouvoir appliquer le théorème de dérivatio sur I.La majoratio est pas immédiate sur u itervalle [a, + [ (o majore facilemet e x par e a mais l autre facteur est pas majoré). O se place sur u segmet [a, b] ], + [. Pour tout x [a, b], f (x) +b l e a et f,[a,b] ale même majorat. Par croissaces comparées, o a f,[a,b] = o ( ). La + série des dérivées est doc ormalemet covergete sur [a, b]. Les autres hypothèses état réuies, la foctio f est de classe C sur tout segmet [a, b] R + doc sur R +. 5) Soit k N. E appliquat la même méthode que pour la covergece uiforme, Duod La photocopie o autorisée est u délit o peut cosidérer la série g avec g (x) = x k f (x). O majore alors uiformémet le reste de cette série par M k /(l( + )) où M k est u majorat sur R + de w k : x x k w(x) (il existe pour les mêmes raisos, à savoir foctio cotiue avec des limites aux bores de l itervalle). O obtiet alors la covergece uiforme sur I de la série de foctios. Et puisque lim x k f (x) = pour tout x +, o peut permuter somme et limite et obteir lim x k f (x) =. x + Exercice 8.9 Mies-Pots MP 6 Soit N.Odéfiit f sur R + par f (x) = x!. (x + k) k= ) Prouver l existece, pour tout x > deg(x) = lim + f (x).

218 Chap. 8. Suites et séries de foctios ) Motrer l existece d ue costate g telle que l G(x) = l x g x + 3) Motrer que G est de classe C sur R +. = ( x l( + x ) ). ) Puisque f (x) > six >, o va plutôt étudier g (x) = l f (x), cela permet de trasformer les produits e somme. Soit x >. Pour étudier la covergece de la suite (g (x)), o étudie la covergece de la série de terme gééral (g (x) g (x)). Si N avec >, g (x) g (x) = l( f (x)/ f (x)) = l = x l l( + x ) = x l( ) ( x + O( )) = x x + O( ) = O( ) (( ) x ) x + Par critère de comparaiso, la série de terme gééral (g (x) g (x)) est absolumet covergete, doc covergete et la suite (g (x)) N coverge vers ue limite fiie l(x). Par cotiuité de la foctio expoetielle, la suite ( f (x)) coverge vers exp(l(x)) lorsque ted vers +. O ote cette limite G(x). ) O essaie de faire apparaître les termes demadés. O a ( ) ( ) x + k (x + k) = x! k k= k= ce qui doe, pour x >, l f (x) = x l l x termes écessaires pour obteir la série demadée : l f (x) = x l l x + = l x x ( k= k= k= ( x k l( + x k ) ) ) k l + l( + x ). O ajoute les k k= x k ( x k l( + x ) k ) u développemet simple de l( + x/k) x/k = O(/k ) prouve la covergece de la secode série. Pour prouver la covergece de v = l,opeutse k k= k=

219 8.3 Exercices d approfodissemet rapporter à l exercice 4.6, ou utiliser l étude de la covergece précédete avec x =, car ( k l( + ) ( ) ( ) k ) + = l(k ) = l( +) k k k k= k= k= ( ) = l() l( + /) k k= soit prouver directemet la covergece de cette suite e trouvat u équivalet du terme gééral de la série (v v ). O ote alors g la limite de cette suite (v ). O obtiet e passat à la limite et e utilisat la cotiuité du logarithme l sur R +, ( x l G(x) = l x g x + l( + x ) ). 3) O va bie etedu étudier l G e utilisat la relatio précédete, pour esuite coclure sur la classe C de G e composat avec la foctio expoetielle. La foctio x l x gx est de classe C sur R +, il reste doc à étudier la classe de la série de foctios h (x) avec, pour N, h (x) = x l( + x ) pour x R +. Chaque foctio h est de classe C sur R + et o dispose déjà de la covergece simple de la série de foctios sur R +. Pour tout x >, = h (x) = x + = x (x + ) Cette série de foctios coverge ormalemet sur tout segmet [a, b] R + puisque pour tout x [a, b], h b b (x). Le théorème de dérivatio permet de coclure quat à la classe C de la somme sur tout segmet de ( + a) + R + doc sur R +. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 8. Cetrale PSI 5 Motrer que la foctio f défiie par f (x) = sur R. = ( ) est de classe C + x O ote, pour N et x R, f (x) =. Pour tout x R, lasérie + x ( ) f (x) est ue série alterée. Il est écessaire de motrer la décroissace de la suite ( f (x)) vers. O étudie la foctio h : t t t + x de classe C sur R et de dérivée vérifiat h (t) = x t (x + t ).Aisih est décroissate sur [ x, + [ et

220 Chap. 8. Suites et séries de foctios la série vérifie bie le critère spécial des séries alterées (à partir d u certai rag seulemet, mais c est suffisat). Le calcul des premières dérivées de f e fait pas apparaître de formule simple, si o a l itetio d obteir ue majoratio pour ue covergece ormale. O décompose alors e élémets simples : o cherche des complexes a et b tels que x R, (x + i)(x i) = a x + i + b x i. O trouve alors a = i/etb = i/. Aisi, pour tout x R, f (x) = i ( x + i ). x i O ote u (x) = /(x + i) = (x + i) toujours pour x R et N. Cette foctio est de classe C sur R. O va prouver par récurrece sur p N,la propriété P(p) : f est de classe C p sur R avec x R, f (p) (x) = ( ) f (p) (x). Il e faut pas oublier de mettre la formule pour f (p) das l hypothèse de récurrece car le fait que f soit de classe C p e garatit pas du tout que f (p) est la somme des dérivées d ordre p de ( ) f. O calcule ses premières dérivées : pour tout x R, u (x) = (x + i), u (x) = ( )( )(x + i) 3... et ue récurrece assez rapide permet de prouver que pour tout p N, u (p) (x) = ( ) p p! (x + i) p+, aisi que u (p) (x) p!. Cela permet alors d obteir, pour tout x R et pour p+ tout N, f (p) (x) p!. Cela doe la covergece ormale de la série des p+ dérivées d ordre p sur R, dès que p. O peut alors motrer le résultat par récurrece. O a P() : la série ( ) f coverge simplemet sur R, chaque foctio ( ) f est de classe C sur R et ( ) f coverge ormalemet sur R. Doc f est de classe C avec f = = ( ) f sur R. Soit p N tel que P(p). Alors la série de foctios de classe C, ( ) f (p) coverge au mois simplemet sur R et sa série des dérivées coverge ormalemet sur R. Cela permet d appliquer le théorème de dérivatio à ( ) f (p) et d e déduire P(p + ). Doc, pour tout p N,oaP(p) P(p + ). Coclusio : par récurrece, o a prouvé le résultat demadé : f est de classe C p sur R pour tout p N, doc de classe C. =

221 Séries etières 9 9. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION Soit (a ) ue suite de ombres complexes, et, pour tout N soit u la foctio de C (resp. R) dasc défiie par u (z) = a z (resp. u (x) = a x ). La série de foctios de terme gééral u est appelée série etière à variable complexe (resp. réelle) de coefficiets a. Par abus de lagage o otera cette série «la série etière a z (resp. a x )». 9.. Rayo de covergece Ce qu il faut savoir Il existe u uique ombre R [, + ], appelé rayo de covergece de la série etière a z, tel que l o ait le tableau suivat : z < R z = R z > R La série de terme gééral a z coverge absolumet La série de terme gééral a z e coverge pas absolumet La série de terme gééral a z coverge La série de terme gééral a z diverge La suite (a z ) coverge vers La suite (a z ) e coverge pas vers La suite (a z ) est borée La suite (a z ) est pas borée Il peut se passer importe quoi

222 4 Chap. 9. Séries etières Résultats pratiques pour détermier le rayo de covergece ) Règle de d Alembert pour les séries etières Soit a z ue série etière. Si (i)ilexiste N tel que, pour tout,oaita (ii) la suite ( a + / a ) ted vers l [, + ], alors le rayo de covergece de la série etière a z est R = /l, avecla covetio / = + et / + =. Remarque O e peut pas appliquer directemet la règle de d Alembert telle qu o viet de la citer, à des séries etières dites lacuaires c est-à-dire où ue ifiité de termes a s aulet. Cepedat das le cas de série du type b z p où (p ) est ue suite strictemet croissate de ombres etiers positifs et (b ) est ue suite de ombres complexes o uls, o pourra essayer d appliquer la règle de d Alembert à la série umérique de terme gééral u (z) = b z p. Nous allos voir plusieurs exemples das les exercices. Mise e garde La règle de d Alembert est pas toujours applicable, par exemple lorsque la suite ( a + / a ) a pas de limite. Le fait que la série etière a z a pour rayo de covergece R implique pas que la suite ( a + / a ) coverge vers /R. ) Comparaiso des rayos de covergece de deux séries etières Cette méthode est très utile. E effet, elle permet de se rameer à des séries etières dot o coaît déjà le rayo de covergece ou auxquelles o peut, par exemple, appliquer la règle de d Alembert. Plus précisémet, soiet a z et b z deux séries etières de rayos de covergece respectifs R a et R b. La série etière a z a pour rayo de covergece R a ; autremet dit, les séries etières a z et a z ot même rayo de covergece. Si a b, alors R a = R b. Si à partir d u certai rag a b, alors R a R b. Sia = O(b ), alors R a R b. Das les deux deriers cas, o a seulemet ue iégalité etre les rayos de covergece. Pour obteir l iégalité iverse, o utilisera souvet la partie droite du tableau précédet : par exemple, quad ue série etière de rayo R e coverge pas e u poit x, ou quad la suite a x e coverge pas vers, alors R x.

223 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 5 Deux séries de référece Série géométrique Soit l C. La série etière l z a pour rayo de covergece R = / l et, pour tout z C, tel que z < / l, oa l z = lz. = Série expoetielle La série etière de terme gééral z /! a pour rayo de covergece R = + et, pour tout z C,oa = z! = ez. Rayo de covergece de la somme de deux séries etières Soiet a z et b z deux séries etières de rayos de covergece respectifs R a et R b. Le rayo de covergece R de la série etière (a + b )z est tel Duod La photocopie o autorisée est u délit { R = mi(ra, R que b ) si R a R b R R a si R a = R b et si z < mi(r a, R b ), o a alors = (a + b )z = = a z + = b z. Rayo de covergece du produit de Cauchy de deux séries etières Le rayo de covergece R de la série etière produit, de coefficiets a k b k, est tel que R mi(r a, R b ), et, si z < mi(r a, R b ), ( ) ( + )( + ) o a alors, a k b k z = a z b z. = k= = Série dérivée et série primitive d ue série etière O appelle série primitive (resp. dérivée ) de la série etière a z la série = etière a z (resp. ( +)a + z ). Ces trois séries etières ot le même rayo de covergece. Exercice 9. CCP MP 6 et Mies - Pots MP 6 et 5 Détermier le rayo de covergece R, l esemble C (resp. A ) des ombres réels pour lesquels la série etière a x coverge (resp. coverge absolumet) das les quatre cas suivats : ( a) a = si ; b) a = l + ) ; c) a = i + ; d) a = si. k=

224 6 Chap. 9. Séries etières a) Pour tout N, oa a. Le rayo de covergece de la série etière est doc supérieur ou égal à celui de la série géométrique x. Doc R. Par ailleurs, o motre par l absurde que la suite (a ) e coverge pas vers. Si c était le cas alors, il résulterait de l égalité a + a = sicos que la suite (cos ) covergerait aussi vers, et doc que la suite (cos +si ) covergerait vers, ce qui est pas possible. O e déduit que R. Fialemet o a R =. La série coverge absolumet et coverge si x <, elle e coverge pas et e coverge pas absolumet si x. Alors A = C = ], [. ( b) O a l + ), et la série etière étudiée a même rayo de covergece que la série etière x, qui est de rayo de covergece. La série coverge absolumet et coverge si x <, elle e coverge pas et e coverge pas absolumet si x >. Lorsque x =, il résulte de l équivalet précédet que la série de terme gééral l( + /) diverge par comparaiso à la série harmoique. Lorsque x =, il résulte de la croissace de la foctio logarithme que la suite (l( +/)) est décroissate. Par ailleurs puisqu elle est équivalete à (/), la suite (l( + /)) coverge vers. Alors il résulte du critère de Leibiz que la série de terme gééral ( ) l( + /) coverge, mais elle e coverge pas absolumet. Doc A = ], [ et C = [, [. c) O a a <. La série etière a x a doc u rayo de covergece supérieur ou égal à celui de la série x, doc R. Par ailleurs, la suite ( a )coverge vers, doc e coverge pas vers. O e déduit doc que R. Fialemet R =. La série coverge absolumet et coverge si x <, elle e coverge pas et e coverge pas absolumet si x. Alors A = C = ], [. d) Lorsque ted vers l ifii, o a si, et doc a + a ( +). Doc la suite ( a + / a )covergeversl =. Il résulte du critère de d Alembert que R = /l =. La série coverge absolumet et coverge si x <, elle e coverge pas et e coverge pas absolumet si x >. Lorsque x = et, o a a x = si etlasériedeterme gééral a x coverge absolumet par comparaiso à ue série de Riema. Alors A = C = [, ].

225 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 7 Exercice 9. TPE 6 Détermier le rayo et le domaie de covergece de chacue des séries etières suivates : a)!z b)!z c) z! a) Posos a =!, o a a + /a = +. La suite (a + /a ) a pour limite +. D après le critère de d Alembert o a R =. Le domaie de covergece est doc {}. b) Posos u (z) =!z. Alors u +(z) = ( +) z +. u (z) O utilise la règle de d Alembert pour la série umérique de terme gééral u (z). La suite ( u + (z) / u (z) ) covergeverssi z <, doc la série de terme gééral u (z) coverge absolumet das ce cas. O e déduit que R. La suite ( u + (z) / u (z) ) admet+ pour limite si z >, doc la série e coverge pas absolumet das ce cas. O e déduit que R. Fialemet o obtiet R =. Lorsque z =, o a u (z) =!, et la suite (u (z)) e coverge pas vers, doc la série de terme gééral u (z) diverge. Alors le domaie de covergece est {z C z < }. c) Posos u (z) = z!.oa u +(z) = z (+)!! = z!. Et l o coclut comme u (z) das b. Voilà u résultat à coaître, c est la première questio de ombreux problèmes d écrit et d exercices d oraux Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 9.3 CCP PC 6, Cetrale MP 6 Soit a z ue série etière de rayo de covergece R >. Motrer que le rayo de covergece de la série etière a! z est ifii. Soiet a R tel que < a < R, etz C. La suite ( a a ) est borée. Soit M u majorat de cette suite. O a alors a! z M ( ) z et comme la série de! a ( ) z terme gééral est ue série covergete (série de l expoetielle), o e! a déduit que la série de terme gééral a z /! coverge absolumet. La série etière a! z a doc u rayo de covergece ifii.

226 8 Chap. 9. Séries etières Exercice 9.4 ) Motrer que si la série etière a z est de rayo de covergece R >, alors la série etière a z est de rayo de covergece R. ) Soiet R et R les rayos de covergece respectifs des séries a z et a + z. Motrer que le rayo de covergece R de la série etière a z vaut mi( R, R ), et que, si z < R,oa a z = a z + = = = a + z +. ) La série de terme gééral a z coverge si z < R et diverge si z > R. Doc la série de terme gééral a (z ) coverge si z < R, c est-à-dire si z < R et diverge si z > R, c est-à-dire si z > R. Le rayo de covergece de la série etière a z est doc R. ) D après ), la série a z est de rayo de covergece R,etlasérie a+ z est de rayo de covergece R, doc la série z a + z est aussi de rayo de covergece R. Alors, lorsque R R,lasérie a z qui est la somme des séries a z et z a + z est de rayo de covergece mi( R, R ). Lorsque R = R, o sait déjà que R R. Soit alors z > R. La suite (a z ) e coverge pas vers. Alors la suite (a z ) e coverge pas o plus vers, et il e résulte que R R. O a doc ecore égalité das ce cas, et pour tout z < R, = a z = = a z Foctio défiie par la somme d ue série etière Ce qu il faut savoir = a + z +. Soit ue série etière de coefficiets a et de rayo de covergece o ul R. La série etière a z de la variable complexe z coverge ormalemet sur tout compact iclus das le disque ouvert D = {z C z < R} et la foctio S défiie sur D par S(z) = = a z est ue foctio cotiue sur D.

227 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 9 La série etière a x de la variable réelle x coverge ormalemet sur tout segmet [ a, b ]iclusdas] R, R [ et l o a ( b + ) ( ) b a x dx = a x dx. a = = O défiit sur ] R, R [ ue foctio S e posat S(x) = a = a x. La foctio S est de classe C sur ] R, R [ et, e dérivat terme à terme, o a, pour tout k N et tout x ] R, R [ S (k) (x) = ( ) ( k +)a x k ( + k)! = a +k x.! =k Toutes ces séries etières ot le même rayo R. = Exercice 9.5 CCP PSI 7 Motrer que la foctio g : t = ( ) t (!) est de classe C sur R. O peut comparer à la série de l expoetielle, e remarquat que pour tout, o a (!). Il e résulte que la série etière défiissat g a aussi u rayo! de covergece ifii. (O pourrait égalemet utiliser la règle de d Alembert). Il e résulte que g est défiie et de classe C sur R. Duod La photocopie o autorisée est u délit Remarque O voit sur cet exemple l itérêt d utiliser les séries etières plutôt que les séries de foctios : si l o avait voulu démotrer, das le chapitre précédet, que la série de foctios de terme gééral u (t) = ( ) t (!) était de classe C sur R, o aurait démotré que, pour tout etier p et tout ombre A >, la série des dérivées u (p) coverge ormalemet sur [ A, A ], alors que maiteat, le fait que la série etière ait u rayo de covergece ifii suffit. Exercice 9.6 CCP MP 6 Motrer que / ( + ) x dx = = = + ( +).

228 Chap. 9. Séries etières La série etière x est ue série géométrique de rayo. Comme [, /] est iclus das ], [, o a doc ( / + ) ( ) / l = x d x = x dx = + ( +). = 9..3 Développemet d ue foctio e série etière Ce qu il faut savoir = Foctios développables e série etière Soiet f ue foctio à valeurs réelles ou complexes défiie sur u itervalle I, et r u ombre réel positif tel que ] r, r [ I. Oditque f est développable e série etière sur ] r, r [ lorsqu il existe ue série etière a x de rayo de covergece R r telle que, pour tout x ] r, r [,oaitf (x) = = a x. Das ce cas, la foctio f est de classe C sur ] r, r [, et les coefficiets a sot détermiés de maière uique par la formule a = f () ().! Remarque Toute foctio de classe C sur ] r, r [ est pas écessairemet développable e série etière sur ] r, r [. Si f est développable e série etière sur ] r, r [, alors : (i) la foctio f est développable e série etière sur ] r, r [, et, pour tout x ] r, r [,oa f (x) = = ( +)a + x ; (ii) toute primitive F de f das l itervalle ] r, r [ admet u développemet a e série etière sur ] r, r [ de la forme F(x) = F() + x. = Si f et g sot développables e série etière sur ] r, r [, alors f + g et fg sot développables e série etière sur ] r, r [. Développemet e série etière des foctios usuelles (i) Les foctios suivates sot développables e série etière sur R et, pour tout x R,oa e xz (xz) = où z C! = =

229 ch x = cos x = = = 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio x ()! x ( ) ()! ; shx = ; six = = = x + ( + )! ( ) x + ( + )!. (ii) Les foctios suivates sot développables e série etière sur ], [ et l o a, pour tout x ], [, l( x) = = x ; l( + x) = = ( ) + x. (iii) Série du biôme. Soit a R \ N. O a, pour tout x ], [, ( + x) a a(a ) (a +) = + x.! = (iv) O pourra reteir aussi que, pour tout x ], [,oa Arcta x = ( ) x + +x + ; l + x = argth x = x + +. = Quelques méthodes pour développer ue foctio f e série etière (i) O exprime la foctio f à l aide de foctios dot le développemet e série etière est cou, par des opératios de somme, produit de Cauchy, dérivatio ou primitivatio, e utilisat évetuellemet u chagemet de variable. Lorsque la foctio f cotiet u sius, cosius, sius hyperbolique ou cosius hyperbolique, o pourra exprimer ces foctios sous forme expoetielle. (ii) O motre que f est solutio d ue équatio différetielle liéaire, puis o cherche la solutio de cette équatio développable e série etière et vérifiat les mêmes coditios iitiales que f. = Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 9.7 Développer e série etière la foctio f : x f (x) = x et préciser le rayo de covergece. Pour x <, o a f (x) = ( x ) /. O se ramèe doc à la série du biôme et o obtiet ue série etière de rayo de covergece. f (x) = ( ( + ) ( +)! = = ( ) x. = 3 ( 3)! ) ( ) x

230 Chap. 9. Séries etières E multipliat le umérateur et le déomiateur par le produit 4 ( )( )() =!( ), o peut ecore écrire f (x) = ( ) ()! ( ) 3 (!) x. Exercice 9.8 = Développer e série etière la foctio f : x cos(x + ) et préciser le rayo de covergece. O écrit f (x) = cos x cos si x si, d où l o déduit, pour tout x réel, puisque les séries sot de rayo de covergece ifii, f (x) = cos ( ) x ()! si + ( ) x + ( + )!. = = O a doc cos(x +)= a x, avec a = ( ) cos ()! et a + = ( ) + si ( + )!. = Exercice 9.9 CCP MP 6 Soit f la foctio défiie sur R \{, } par f (x) = x + x +. ) Vérifier que, pour tout x R \{, },oa f (x) = ( ) 3 +x +. x ) Développer la foctio f e série etière et préciser le rayo de covergece. 3) Quel est le développemet limité de f à l ordre 3 au voisiage de? ) O vérifie facilemet e réduisat au même déomiateur ou e décomposat la fractio ratioelle e élémets simples que f (x) = ( ) 3 +x + = ( x 3 +x + ). x/ ) Il apparaît la somme de deux séries géométriques, la première de rayo de covergece et la secode de rayo de covergece. Il e résulte que la somme aura comme rayo de covergece. Alors, pour x <, ( + ) f (x) = 3 = ( ) x + = x = 3 = ( ( ) + ) + x.

231 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 3 3) La partie régulière du développemet limité à l ordre 3 de la foctio f est autre que la somme partielle d ordre 3 de la série, doc f (x) = 3 ( ( ) + ) 3 + x + o(x 3 x4 3x ) = + 8 5x o(x 3 ). Exercice 9. = CCP et Mies-Pots MP 5 ) Développer la foctio f : x e x si x e série etière et préciser le rayo de covergece. ) E déduire que pour tout N o a la relatio ( ) si p 4! = k+ ( ) k (k + )!( k )!. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Exprimos si x sous la forme (e ix + e ix )/(i). O a alors pour tout x réel ( f (x) = i (e(i+)x e ( i+)x ) = + ) ( + i) x ( i) x. i!! O obtiet alors f (x) = = = = ( + i) ( i) i x!. Et, puisque + i = e ip/4,oa ( + i) ( i) = si(p/4), et fialemet f (x) = si(p/4). La série etière est doc de rayo ifii. i x! ) Appliquos la formule du produit de Cauchy à e x si x. Si l o ote a les coefficiets de la série etière de si x, le coefficiet b de x das le produit est alors b = a p ( p)!. Mais a p est ul si p est pair et a k+ = ( ) k /(k + )!. p= O obtiet doc b = b = / si p 4! Exercice 9. k+ = ( ) k. Mais o a obteu das ) (k + )!( k )!, ce qui doe l égalité désirée. E effectuat u produit de Cauchy, développer e série etière la foctio l(x +) f : x et préciser le rayo de covergece. +x

232 4 Chap. 9. Séries etières O effectue le produit de Cauchy des séries de rayo : + +x = ( ) x ( ) + x et l( + x) =. = O obtiet doc ue série de rayo R, et, pour x <, o a ( l(x +) ) ( ( ) k+ ) = ( ) k x = +x k = k= =( ) + x. k k= ( ) Puisque la série de terme gééral / diverge, la suite admet + pour k limite, et la série etière obteue diverge doc si x =. Il e résulte que R. Cela résulte égalemet du fait que lim x f (x) = +. Fialemet R =. Exercice 9. CCP PC 6 Soit f la foctio défiie sur R par f (x) = e x = x k= e t dt. ) Motrer que f est développable e série etière sur R. ) Etablir que f est solutio de l équatio différetielle y +xy =. 3) Détermier le développemet e série etière de la foctio f. ) La série etière de l expoetielle état de rayo ifii, les foctios x e x et x e x x x sot développables e série etière de rayo ifii. Alors la foctio e t dt l est aussi comme primitive d ue foctio développable e série etière de rayo ifii. Efi f l est égalemet comme produit de deux foctios développables e série etière de rayo ifii. ) La foctio f est dérivable et, pour tout x réel, o a f (x) = xf(x), avec de plus f () =. 3) Pour tout x R, o pose f (x) = O obtiet f (x)+xf(x) = = = a x. Alors f (x) = ( +)a + x + = = ( +)a + x. a x +. E faisat le chagemet d idice de sommatio das la deuxième somme, o obtiet f (x)+xf(x) = = = a + ( +)a + x + = = a x (( +)a + +a )x.

233 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 5 Comme la somme de cette série etière est égale à, l égalité précédete implique l égalité des coefficiets des deux séries etières. O a doc a =, et, pour tout, o trouve ( +)a + +a =, avec de plus la coditio iitiale a = f () =. Il résulte immédiatemet par récurrece que les termes de rag pair sot uls (ce qui était prévisible puisque la foctio f est impaire). Pour les termes de rag impair, o a la relatio a p+ = p + a p, d où l o déduit, égalemet par ( ) p récurrece, que a p+ =. Doc, pour tout x R, (p +) (p ) ( ) p x p+ + o a f (x) = (p +) (p ) = ( ) p p p! (p + )! x p+. p= O itervertit l ordre de deux sommatios lorsque la foctio étudiée est défiie comme ue itégrale p= Exercice 9.3 Mies - Pots PC 7 p/ Soit w : x +x si t dt. Doer le développemet e série etière de w sur ], [. Duod La photocopie o autorisée est u délit La foctio x +x est développable e série etière sur ], [. O a + +x = a x = + x ( 3) ( ) x.! = = Pour tout t [, p/] et x ], [, o a doc a x si t a x et la série de foctios t a x si t coverge ormalemet sur [, p/]. O peut doc itervertir les siges et. O obtiet p/ Pour, posos I = + p/ +x si t dt= a x si tdt. = p/ p si tdt. E effectuat le chagemet de variable p/ u = t, o trouve I = si udu, et par symétrie I = si udu. L itégrale I est ue itégrale de Wallis. Le développemet de w e série etière das ], [ est doc w(x) = = a I x.

234 6 Chap. 9. Séries etières Remarque L itégrale I se calcule (Voir chapitre 3) grâce à la relatio de récurrece I = ( )I, et o obtiet deux expressios différetes suivat la parité de Calcul de la somme d ue série etière Ce qu il faut savoir C est le problème iverse de celui du développemet e série etière. O exprime la série S à l aide des séries etières des foctios usuelles, par des opératios de somme, produit de Cauchy, dérivatio ou primitivatio, e utilisat évetuellemet u chagemet de variable. Exercice 9.4 CCP PC 6 Trouver le rayo de covergece R, puis calculer pour tout x ] R, R [, la x somme S(x) = ()!. = E appliquat le critère de d Alembert à la série umérique de terme gééral u (x) = x, o trouve que R = +. ()! ( x) Lorsque x, S(x) = = ch x. ()! Lorsque x, S(x) = = = ( ) ( x) ()! = cos x. Exercice 9.5 CCP MP 5 Soit a u ombre réel. Détermier le rayo de covergece R et calculer pour tout x ] R, R [, la somme S(x) = = cos(a)x. Comme cos(a), le rayo de covergece R est plus grad que celui de la série géométrique x. Doc R. Par ailleurs la suite (cos(a)) e coverge pas vers, sio la suite extraite des termes de rag pair (cos(a)) = ( cos (a) ) covergerait vers. Doc R. Il e résulte que R =, et que la série etière e coverge i e, i e.

235 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 7 Comme les séries e ia x et e ia x sot des séries géométriques de rayo, o a lorsque x <, ( S(x) = + e ia x + doc S(x) = = = e ia x ) ( ) e ia x + e ia = x = ( + (e ia x) + = x cos a x cos a + x. = (e ia x) ), Exercice 9.6 Détermier le rayo de covergece R et calculer pour tout x ] R, R [, la somme S(x) = sh x ()!. = E écrivat sh = e e, o a S(x) = = e e x ()!. Les séries etières obteues sot de rayo ifii. O a alors, pour tout x R, ( S(x) = + ) e x + ()! e x = (ch(x e) ch x ) e. ()! = = Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 9.7 CCP PSI 5, Ecole de l air MP 5 Détermier le rayo ( de covergece R et calculer pour tout x ] R, R [, la ) somme S(x) = x. k = k= La somme S(x) est autre que ( le produit de Cauchy de deux séries de rayo. Pour + )( + ) tout x ], [ oa S(x) = x x l( x) =. E particulier, x = o a R. O remarque que lim S(x) = +, ce qui e serait pas possible si o x avait R >, car la série etière est cotiue sur ] R, R [. Il e résulte alors que R =. =

236 8 Chap. 9. Séries etières Exercice 9.8 Mies - Pots PC 6 et MP 7 Détermier le rayo de covergece R, puis calculer pour tout x ] R, R [,la x 3 somme S(x) = (3)!. = Idicatio de la rédactio : motrer que, pour tout x réel, S (x)+s (x)+s(x) = e x. Pour tout x réel, e appliquat le critère de d Alembert à la série umérique de terme gééral u (x) = x 3 /(3)!, o obtiet u +(x) x 3 =, et la u (x) (3 + 3)(3 + )(3 +) suite ( u + (x)/u (x) ) coverge vers. La série de terme gééral u (x) est doc absolumet covergete et la série etière u (x) a u rayo de covergece ifii. Il e résulte que la foctio S est de classe C sur R. O a S(x) = + x 3 3! + x 6 6! + x 9 + et o obtiet 9! S (x) = x! + x 5 5! + x 8 8! + puis S (x) = x + x 4 4! + x 7 7! +. Das ces trois séries apparaisset tous les termes de la série de x e x. O a alors pour tout x réel, S (x)+s (x)+s(x) = e x. Doc S est solutio de l équatio différetielle liéaire (E) : y + y + y = e x,avec de plus S() = ets () =. Le polyôme caractéristique de (E) vautx + X + et a pour racies complexes j = + i 3 et j. Les solutios réelles de l équatio homogèe sot doc de la ( ) forme x e x/ A cos x 3 + B si x 3, où A et B sot deux ombres réels, et ue solutio particulière de (E) estx e x /3. Doc S(x) = e x/ ( A cos x 3 + B si x 3 ) + ex 3. O a S() = = A +/3, doc A = /3, et e dérivat [ ( ) S (x) = e x/ A cos x 3 + B si x 3 + ( )] 3 A si x 3 + B cos x 3 + ex 3. O e tire S () = = A/ + ( ) 3B/ +/3, d où B =. Fialemet S(x) = e x +e x/ cos x 3. 3

237 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 9 Pour les séries etières dot le coefficiet a est de la forme P() ou P()/!, où P est u polyôme, o pourra décomposer P das la base (L k ) k défiie par L (X) =, et pour k, L k (X) = X(X ) (X (k )). O fera esuite apparaître les dérivées de la série géométrique das le premier cas et la série de l expoetielle das le secod. Exercice 9.9 ) Détermier le rayo de covergece R et calculer pour tout x ] R, R [,la somme S(x) = = ( + +)x. ) Mêmes questios lorsque S(x) = = + + x.! Duod La photocopie o autorisée est u délit ) E appliquat le critère de d Alembert, o obtiet R =. O décompose le polyôme P(X) das la base (L, L, L ). Il existe des ombres a, b, g tels que X + X += a + bx + gx(x ). E doat à X les valeurs et successivemet o obtiet a =, puis b =. Quat à g c est le coefficiet du terme domiat de P, doc g =. Aisi, pour tout N,oa, ++ = ( )++. Puisque toutes les séries utilisées das le calcul suivat ot u rayo de covergece égal à, o a, lorsque x <, S(x) = = + ou ecore S(x) = x ( )x +x Si l o pose T (x) = = = ( )x + = x + x = x, o a alors T (x) = = = = x + x. = x = et T (x) = ( )x = ( x) 3, d où = S(x) = x ( x) 3 + x ( x) + +x, et fialemet S(x) = x ( x) 3. ) O a cette fois S(x) = Doc, e simplifiat, S(x) = = Et fialemet S(x) = x + = ( ) x +! = = x + ( )! + = x + ( )! +x =! x + = x + ( )! +! x. = x + ( )! + = x, ( x), x!. x! = (x +) e x.

238 Chap. 9. Séries etières Toutes les séries apparaissat das le calcul précédet sot de rayo ifii. La somme est doc valable pour tout x réel. Pour les séries etières dot le coefficiet a est ue fractio ratioelle, o pourra utiliser la décompositio des fractios ratioelles e élémets simples. Exercice 9. CCP PC 6 Détermier le rayo de covergece R et calculer pour tout x ] R, R [, la x + somme S(x) = ( + )( +). = Pour N, o pourra utiliser l égalité ( + )( +) = Il résulte de la règle de d Alembert que la série etière x + est de ( + )( +) rayo, et doc, e remplaçat x par x, que la série etière x + ( + )( +) est aussi de rayo. Puisque toutes les séries etières utilisées das le calcul suivat ot u rayo de covergece égal à, o a, lorsque x ], [, + S(x) = x (x ) (x ) x x + + = = = x + + = x (x ) (x ) + 4x + = = = ( = x l( x )+( l( x ) x ) x l +x ) x 4x = 3x (x +)l( x ) x l +x x. Ce que l o peut ecore écrire S(x) = 3x ( x) l( x) ( + x) l( + x). Pour les séries etières dot le coefficiet a est défii par ue itégrale, o peut être ameé à permuter les siges et. Exercice 9. CCP PSI 7 t Soit, pour N, a = dt. Détermier le rayo de covergece de la +t série etière de terme gééral a x et calculer sa somme.

239 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio Idicatio de la rédactio : pour t [, ] et x <, o pourra utiliser l égalité ( + t )( tx) = ( +tx +x +t + x ). tx Lorsque t [, ] et x <, o a t x +t x. La série de foctios t t x +t coverge doc ormalemet sur [, ], et l o peut itervertir les siges et. O obtiet a x = = +t (tx) dt dt = = ( + t )( tx). La relatio ( + t )( tx) = ( +tx +x +t + x ) permet de calculer l itégrale, et o obtiet, pour x <, tx a x [ = +x Arcta t + x ] l(t +) x l( tx) = ( p = +x 4 + l ) x x l( x). O a motré e particulier que le rayo de covergece R de la série a x est plus grad que. Mais o costate que lim S(x) = +, ce qui e serait pas possible si x o avait R >, car la série etière est cotiue sur ] R, R [. Il e résulte alors que R =. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 9. O désire étudier la série etière de coefficiets a = ( + t dt. ) + ) Si R est le rayo de covergece de la série, motrer qu alors R. ) Lorsque x <, calculer la somme partielle S (x) et motrer que la suite (S (x)) coverge. 3) E déduire la somme de la série et que R =. ) O a tout d abord a = ( + t dt, et puisque la série ) + + géométrique de terme gééral x / + a pour rayo de covergece, o e déduit que R. ) Pour x <, calculos la somme partielle S (x) de la série etière. Tout d abord e sommat la série géométrique, o obtiet x k ( + t ) k+ = ( x ) + ( +t ( x ) ) + +t x x + t +t. k= +t =

240 Chap. 9. Séries etières E itégrat, o obtiet doc S (x) = a k x k dt ( x ) + = k= x + t dt +t x + t. ( ) + ( ) + x dt x Mais +t x + t dt. Et puisque x <, x + t le membre ( de droite coverge vers. Il résulte du théorème d ecadremet que la ) ( x ) + dt suite +t x + t coverge vers, et doc que la suite (S (x)) dt coverge vers x + t = dt ( ) x. t + x 3) Cette itégrale se calcule et o obtiet fialemet [ ] S(x) = a x t = Arcta = Arcta. x x x x = O remarque que lim x S(x) = +, ce qui e serait pas possible si o avait R >, car la série etière est cotiue sur ] R, R [. Il e résulte alors que R = Quelques applicatios des séries etières Ce qu il faut savoir Les séries etières ot beaucoup d applicatios ; ous e doos ici trois exemples : prologemet d ue foctio e ue foctio de classe C, détermiatio du terme gééral d ue suite umérique défiie par ue relatio de récurrece et calcul de sommes de séries umériques covergetes. Elles servet aussi à résoudre des équatios différetielles comme o l a déjà vu et o le verra de ouveau das le chapitre «Équatios différetielles». Prologemet d ue foctio e ue foctio de classe C Exercice 9.3 CCP PC 5 Soit f la foctio défiie sur R par f () = / et pour x par f (x) = cos x x. Motrer que f est de classe C sur R.

241 O a pour tout x réel cos x = 9. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 3 = x ( ) ()!. O e déduit que, pour x, o a f (x) = = ( ) x, ce qui reste vrai pour ()! x =. La foctio f est doc développable e série etière de rayo ifii et il e résulte qu elle est de classe C sur R. Détermiatio des termes d ue suite A toute suite (a ) de ombres complexes o peut associer ue série etière, par exemple f (x) = = x a, qui, lorsque le rayo de covergece est pas ul, déter-! mie ue foctio appelée foctio géératrice de la suite. O peut aisi détermier certaies suites vérifiat ue relatio de récurrece. E gééral la relatio de récurrece permet de faire apparaître ue équatio différetielle ou ue équatio foctioelle vérifiée par f et o résoudra cette équatio. Cette méthode sert par exemple pour détermier le cardial de certais esembles. (Voir ex. 9.33) Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 9.4 Mies - Pots MP 6 et PC 7 ( ) O pose a =, puis, si, a + = a k a k. O veut calculer les a k k= e utilisat la foctio géératrice f défiie ci-dessus. ) E utilisat le produit de Cauchy, motrer que, si f a u rayo de covergece o ul, alors f = f. ) Résoudre l équatio différetielle précédete et e déduire a. 3) Vérifier que la suite aisi obteue coviet bie. ) E effectuat le produit de Cauchy de la série etière de somme f (x) par ellemême, o obtiet, pour x < R, ( ) ( f (x) a k a k ( ) ) = x x = a k a k ( k)! k! k!. = = k= Doc, e utilisat la relatio de récurrece doée das l éocé, o obtiet f (x) x = a +!. Mais o a aussi f x (x) = a, et l o e déduit ( )! doc que f (x) = f (x),avecdeplus f () =. = = k=

242 4 Chap. 9. Séries etières ) Sur u itervalle où f e s aule pas, o a f (x)/ f (x) =, d où e itégrat / f (x) = x a, et doc f (x) = /(a x). Alors, puisque f () =, o obtiet f (x) = /( x). O vérifie bie que x /( x) est solutio de l équatio différetielle das ], [. Doc f (x) = + x =! x!, et a =!. 3) Il existe ue suite uique vérifiat les coditios de l éocé. O vérifie alors par récurrece que la solutio obteue das ) coviet. O a bie a =! =, et si l o suppose que pour tout k compris etre et, oaa k = k!, alors ( ) a + = ( k)!k! =! = ( +)! = ( + )!, k k= k= ce qui doe la formule au rag +. Elle est doc vraie pour tout. Calcul de sommes de séries umériques Ue méthode pour calculer la somme A = b d ue série umérique covergete, cosiste à itroduire ue série etière a x de rayo de covergece R > = pour laquelle il existe x ], R ] tel que, pour tout etier,oaitb = a x. O calcule alors pour tout x ], R [, la somme S(x) = a x. = Deux cas sot possibles : (i) lorsque R > x, o a A = S(x ) ; voir 9.5 ; (ii) lorsque R = x, pour, otos u la foctio défiie sur [, R ] par u (x) = a x. O motre que la suite de foctios (u ) coverge uiformémet sur [, R ] ou bie e motrat que cette série coverge ormalemet ou bie, lorsque la série u est alterée, e motrat que la suite (u )coverge uiformémet vers sur [, R ], et e appliquat le critère de Leibiz. Das les deux cas, S est cotiue sur [, R ]eta = lim S(x) (voir 9.6). x x Exercice 9.5 Motrer l existece et calculer A = = ( + )3. Itroduisos la série etière ( +)x. So rayo de covergece vaut. E posat f (x) = x = x,oa f (x) = = A = f (/3) = 9/4. = = ( +)x = ( x). Doc

243 9. Exercices d etraîemet 5 Exercice 9.6 Motrer l existece et calculer A = = ( ) et A = = ( ) +. Duod La photocopie o autorisée est u délit Les deux séries sot des séries alterées qui coverget d après le critère de Leibiz. Itroduisos les séries etières ( ) x et ( ) x + +. Ces séries sot de rayo et l o a, pour x ], [, f (x) = = ( ) x = l( + x) et f (x) = = ( ) x + + = Arcta x. Pour x [, ] et, posos u (x) = ( ) x. La suite ( u (x) ) est décroissate et coverge vers. La série de terme gééral u (x) est alterée, et d après le critère de Leibiz, o a, pour etx [, ], l iégalité S(x) u k (x) u +(x). Mais u + (x) /, et la suite (/) coverge k= vers. Il e résulte que la série de terme gééral u coverge uiformémet sur l itervalle [, ]. O peut alors coclure : comme les foctios u sot cotiues sur [, ], la somme f l est aussi, et e particulier elle est cotiue e, doc A = lim x f (x) = l. Par le même argumet, o obtiet A = lim f (x) = Arcta = p x 4. Remarque ( ) ( ) Les deux sommes = l et + = p sot utilisées das de 4 = = ombreux exercices. 9. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice 9.7 Cetrale MP 6 Soit ue série etière a z de rayo de covergece R >. ) Quel est le rayo de covergece de la série etière a z? ) Motrer que celui de la série etière a z est au mois égal à. Quel est-il lorsque a = /!?

244 6 Chap. 9. Séries etières ) Remarquos que si la suite ( a + /a ) possède ue limite l = /R, alors la suite ( a+/a ) covergevers/r et l applicatio du critère de d Alembert à la série a z motre que la série etière ax a u rayo de covergece égal à R. O justifie maiteat ce résultat de maière géérale. Soit z < R. Alors z < R et la série de terme gééral a z coverge. La suite ( a z ) est doc majorée par ue costate M. Alors az = ( a z ) M a z. Il e résulte que la série de terme gééral az coverge et doc que so rayo est supérieur ou égal à R. Soit maiteat z > R. Alors z > R, et la suite (a z )ecovergepas vers. Il e résulte que la suite (az ) e coverge pas vers, doc que la série de terme gééral az diverge. Alors, so rayo de covergece est iférieur ou égal à R et il e résulte qu il vaut exactemet R. ) Lorsque z <, soit t tel que z /R < t. ( z ) ( O écrit a z = a t z z ) ). Puisque z /t < R, la suite ( a t t est doc majorée par ue costate M. Alors a z Mt z. Mais e appliquat la règle de d Alembert à la série de terme gééral a = Mt z, o obtiet a + = t z, et la suite (a + /a ) coverge vers. Il e résulte que la série a de terme gééral a coverge doc que la série de terme gééral a z coverge pour tout z <. Le rayo de covergece de cette série est doc supérieur ou égal à. Lorsque a = /!, l applicatio de la règle de d Alembert à la série umérique de terme gééral u (z) = a z, doe, u +(z) u (z) = z + +, et la suite u +(z) / u (z) ) admet + pour limite lorsque z >. La série de terme gééral a z diverge das ce cas et R. Doc, le rayo de la série etière vaut. Exercice 9.8 Mies - Pots MP 6 Soit a R. ) Trouver le rayo de covergece des séries etières de coefficiets cos(a) et si(a). ) Lorsque x <, calculer la somme A(x) = 3) Motrer que pour x < oa = x = x cos(a). si(a) = Arcta ( ) x si a. x cos a

245 9. Exercices d etraîemet 7 ) Les deux séries ot même rayo de covergece que leur série dérivée cos(( +)a)x et si(( +)a)x. Puisque cos(( +)a) et si(( +)a), o obtiet que das les deux cas la série est de rayo supérieur ou égal à. De l égalité cos((+)a) = cos ((+)a), o déduit que la suite (cos((+)a)) e peut coverger vers (sio o obtiedrait = par passage à la limite). La série de terme gééral x cos(( +)a) est doc de rayo, aisi que la série de terme gééral x cos(a). De l égalité si(( +)a) = si(a)cosa +cos(a)sia, o déduit que si la suite (si(a)) coverge vers, alors la suite (cos(a)sia) coverge vers, et puisque la suite (cos(a)) e coverge pas vers, o a si a =, soit a = kp,aveck etier. Réciproquemet, si a = kp avec k etier, alors la suite (si( +)a) est la suite ulle. Coclusio : la série etière x si(a) est de rayo lorsque a est pas u multiple etier de p et est de rayo ifii sio. ) Lorsque x <, o peut calculer la somme des deux séries simmultaémet e posat f (x) = = x eia. O obtiet e dérivat f (x) = e i(+)a x = eia e ia x = eia ( e ia x) x cos a + x. = Doc f cos a x (x) = x cos a + x + i si a x cos a + x. Alors A est la primitive ulle e de Re f. Doc A(x) = l( x cos a + x ). Duod La photocopie o autorisée est u délit 3) Si l o pose B(x) = = Or e dérivat la foctio h : x Arcta x obtiet bie h (x) = Im f. O a doc Exercice 9.9 si(a), alors B est la primitive ulle e de Im f. = x ( ) x si a, qui est ulle e, o x cos a si(a) = Arcta ( ) x si a. x cos a Cetrale MP 5 Soiet (a ) et (b ) deux suites réelles telles que : a b ; N, b > ; b diverge ; b x a pour rayo de covergece. ) Motrer que a x a pour rayo de covergece.

246 8 Chap. 9. Séries etières ) Motrer que 3) Motrer que = = b x + quad x. a x = b x quad x. ) Ce résultat de cours se redémotre facilemet e reveat aux séries umériques. ) Notos g (x) = b k x k, et, lorsque x <, g(x) = b k x k. k= Remarquos tout d abord que, puisque les ombres b sot positifs, la foctio g est croissate et positive sur [, + [. Puisque la série de terme gééral b diverge, pour tout ombre A, il existe u etier N tel que g N () > A +. Comme la foctio g N est cotiue e, il existe a >, tel que a < x < implique g N () g N (x) <. Alors, k= g(x) g N (x) = g N () (g N () g N (x)) > A + = A, ce qui motre que g(x) ted vers + lorsque x ted vers. 3) Pour tout, posos = a /b, ce qui est possible puisque b >. O a doc a = b + b, et, puisque a b, la suite ( ) coverge vers. Alors, lorsque x <, o obtiet e sommat Motrer que = a x = = a x = g(x)+ = b x. b x quad x ted vers reviet alors à motrer que b x ted vers quad x ted vers. g(x) = Soit >. Il existe N tel que N implique < /. Alors, lorsque x <, o a, = ou ecore b x g(x) N = b x + = =N b x b x + g(x) N = N = b x + g(x), b x. Mais d après ) la foctio g admet + comme limite e, d où lim x g(x) N = b x =.

247 Doc il existe a > tel que a < x < implique Alors g(x) = x ted vers. b x <, ce qui motre que 9. Exercices d etraîemet 9 g(x) = g(x) N = b x <. b x ted vers quad Exercice 9.3 Mies - Pots MP 6 Soit a ], [. Développer e série etière = sh(a x). Duod La photocopie o autorisée est u délit Pour tout x réel, o a sh(a x) = k= = k= = k= (a x) k+. Cosidéros la somme double (k + )! (a x) k+, et étudios tout d abord si elle coverge absolumet. O obtiet (k + )! (a x) k+ + (k + )! = x k+ a (k+) x k+ = (k + )! (k + )! a k+. k= = Mais, pour k, o a (k + )!( a k+ ) et la série etière (k + )!( a ) de terme gééral terme gééral double = k= = x k+ est de rayo ifii. Il e résulte que la série de (k + )!( a ) x k+ (k + )!( a k+ ) (a x) k+ (k + )! k= = k= coverge absolumet et doc que la somme coverge absolumet pour tout x réel. Il résulte du théorème de Fubii que la série de terme gééral sh(a x) coverge pour tout x réel et que l o a alors sh(a (a x) k+ + x) = (k + )! = x k+ a (k+) ce qui doe le déve- (k + )! loppemet e série etière Exercice 9.3 = k= sh(a x) = Mies - Pots MP 6 K! Soit, pour N, a = 3 ( +). k= = x k+ ( a k+ )(k + )!.

248 3 Chap. 9. Séries etières Détermier le rayo de covergece R de la série etière a x et calculer pour tout x ] R, R [ la somme S(x) = = a x. Idicatio de la rédactio : motrer que S est solutio d ue équatio différetielle du premier ordre. Pour tout N, oa a + = + a +3, doc lim a + =. Il résulte de la + a règle de d Alembert que R =. La foctio S est cotiue sur ], [, doc e. ) Tout d abord, o a S() = a =. O remarque esuite que, pour, o a! 3 ( +) = ( ) ( )! 3 ( ) ( )!. 3 ( +) O e déduit pour tout x ], [ ( + S(x) = + = = + xs(x) ( )! 3 ( ) x = = ( )! 3 ( +) x. E dérivat cette relatio, o obtiet, toujours pour x <, ) ( )! 3 ( +) x S (x) = (S(x)+xS (x)) =! 3 ( +) x, et e multipliat par x, o obtiet xs (x) = xs(x) +x S (x) (S(x) ), c est-à-dire (x x )S (x) = (x )S(x)+. O résout tout d abord l équatio homogèe (x x )S (x) = (x )S(x), das ], [ et das ], [.Oa S (x) = x x( x) S(x) = Sur chacu de ces deux itervalles o obtiet la solutio S(x) = x(x ) e faisat varier la costate C, o trouve C (x) =. x(x ) Lorsque x ], [, o a C (x) = = x( x) C(x) = Arccos( x)+h où H est ue costate. Alors S(x) = ( ) x + S(x). x C, puis, x(x ), et doc ( x) Arccos( x)+h x( x). Mais puisque S(x) a ue limite fiie e qui vaut S() =, et que le déomiateur s aule e, il doit e être de même du umérateur, doc H =.

249 9.3 Exercices d approfodissemet 3 Lorsque x ], [, o a C (x) = =, et doc x(x ) ( x) C(x) = argch( x)+h où H est ue costate, et le même argumet que ci-dessus motre que H =. Arccos( x) si x ], [ x( x) Fialemet, S(x) = si x =. argch( x) si x ], [ x(x ) 9.3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 9.3 Mies - Pots MP 6 Soit (a ) ue suite de ombres complexes. O suppose que a x a pour rayo de covergece R >. ) Détermier les rayos de covergece de (a l )x et ( a ) Doer u équivalet simple de = l x quad x. k= ) x. k Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Soit R le rayo de covergece de la série etière (a l )x. Lorsque ( ) x x < r < R,oa (a l )x = a r l. r La suite (l ( x /r) ) coverge vers. Elle est doc borée. Si M est u majorat o a alors (a l )x M a r et la série de terme gééral a l x coverge. Il e résulte que R r, et doc que R R. Iversemet, puisque, pour 3, o a a a l, o e déduit que R R. Fialemet R = R. E utilisat l équivalet /k l (voir ex 9.9) o e déduit alors que la k= deuxième série proposée admet ecore comme rayo de covergece R. ) D après la questio ) appliquée à la suite costate (a ) = (), les séries etières l x et ( ) x sot de rayo de covergece. Toujours d après k k= l exercice 9.9, la suite ( ) défiie par = l, coverge (sa limite est la k k=

250 3 Chap. 9. Séries etières costate d Euler). Elle est doc majorée par ue costate M. Alors ( ) l x = x x. k = = Mais e effectuat le produit de Cauchy, o obtiet, pour x <, ( + )( + ) ( ( l( x)) = x x ) = x. x k Doc = Lorsque < x <, o a = k= = = l x l( x) = x x = ( l( x) = + x x l( x) x M x = = = k= x ) Mx x M x, doc = = x x M, et il e résulte que cette expressio ted l( x) l( x) = vers lorsque x ted vers. O e déduit que, lorsque x ted vers, o a = l x l( x). x Exercice 9.33 Mies - Pots MP 6 Si, soit I le ombre d ivolutios de {,...,}. O pose I =. ) Motrer, si, que : I = I +( )I. ) Motrer que = I! x coverge si x ], [.Soit S(x) sa somme. 3) Motrer, pour x ], [, que : S (x) = ( + x)s(x). 4) E déduire ue expressio de S(x), puis ue expressio de I.. Rappelos qu ue ivolutio w d u esemble E est ue applicatio telle que w w = Id E. Le ombre I est aussi le ombre d ivolutios d u esemble fii à élémets. ) Pour 3, soit w ue ivolutio de {,...,}. Ou bie w() = alors la restrictio de w à {,..., } est ue ivolutio de {,..., }. Il y a doc I ivolutios de ce type.

251 9.3 Exercices d approfodissemet 33 Ou bie w() = p appartiet à {,..., }. Alors w(p) =, et la restictio de w à {,..., }\{p} est ue ivolutio de cet esemble fii à élémets. Doc pour chacue des valeurs de p, ilyai ivolutios. Cela fait ( )I ivolutios de ce type. Fialemet I = I +( )I. Cette relatio est ecore vraie pour =, car I =, (les deux bijectios de {, } sur lui-même sot des ivolutios), et I = I =. ) Comme toute ivolutios de {,...,} est bijective, c est ue permutatio de {,...,}. Le ombre d ivolutios est doc iférieur au ombre de permutatios et l o a I!. Alors I /!, et la série etière I x /! a u rayo de covergece R supérieur ou égal à celui de la série géométrique x. Doc R. 3) Calculos S (x). O a, pour x ], [, S (x) = = + = I ( )! x I +( )I = + x ( )! = = I ( )! x + = I ( )! x Duod La photocopie o autorisée est u délit = + = I! x I + x! x. = O trouve doc S (x) = S(x)+xS(x) = ( + x)s(x), avec de plus S() =, et cette équatio différetielle liéaire du premier ordre a comme solutio uique la foctio S : x e x+x /. 4) O a doc S(x) = e x+x / = ( + = )( x + ) x!.! = O obtiet u produit de Cauchy de séries etières de rayo de covergece ifii doc S(x) est e fait de rayo de covergece ifii. Posos a p = p p!, a p+ =, b p = p!. Le coefficiet c de x das la série produit est doc a p b p = p= E(/) p= a p b p = E(/) p= p p!( p)!, et par idetificatio des coefficiets, ce ombre vaut I /!. Doc, o obtiet, I = E(/) p=! p p!( p)!.

252 34 Chap. 9. Séries etières Exercice 9.34 Mies - Pots MP 5 Soit f (z) = ifii. = a z la somme d ue série etière de rayo de covergece p Calculer A (r) = f (re it )e it dt puis motrer que si f est borée sur p C, alors elle est costate. La coclusio subsiste-t-elle si f est borée sur R? La série de foctios t = doc iverser les sommatios et p p f (re it )e it dt = a r e it coverge ormalemet sur [, p ]. O peut k= ( ) p a k r k e i(k )t dt. Mais l itégale e ipt dt est ulle lorsque p est o ul, et vaut p lorsque p est ul. Doc, das la série précédete, toutes les itégrales so ulles sauf lorsque = k, et o obtiet doc A (r) = a r p dt = a r. p Si, pour tout z complexe, o a f (z) M, alors A (r) p f (re it )e it dt p p Mdt = M, et l o e déduit que p pour tout etier > et tout réel r >, o a l iégalité a r M, ou ecore a M/r. E faisat tedre r vers l ifii, o e déduit que a, et doc a =. O a alors f (z) = a et la foctio f est costate. Par cotre la foctio sius doe u exemple de foctio qui est développable e série etière de rayo ifii, et borée sur R mais o costate. Exercice 9.35 Mies - Pots 6 et 7 O cosidère f (x) = k= ( ) k x k. ) Quel est le rayo de covergece de cette série etière? ) Doer ue relatio etre f (x)et f (x ). 3) Que dire de la limite de f e si elle existe? 4) S il existe x ], [ tel que f (x ) > / motrer que f a pas de limite e (o pourra utiliser ue relatio etre f (x) et f (x 4 )).

253 9.3 Exercices d approfodissemet 35 5) O a f (, 995) >, 58. Qu e coclure? Commet a-t-o pu vérifier cette iégalité? Duod La photocopie o autorisée est u délit ) La suite x k coverge vers lorsque x <, et e coverge pas vers lorsque x =. Le rayo de la série etière vaut doc. ) Lorsque x <, o a f (x ) = k= ( ) k (x ) k = k= ( ) k x k+ = k= ( ) k x k = x f (x), et doc f (x) = x f (x ). 3) Si f admet ue limite l e, alors par passage à la limite o obtiet l = l,et l o e déduit que l = /. 4) Lorsque x <, o a aussi f ( x) = x f (x ), doc f ( x) = x + f (x). Alors, si f (x ) > /, avec x ], [, o aura égalemet f ( x ) = x + f (x ) > f (x ) > /. O peut doc supposer que x appartiet à], [. E utilisat de ouveau l égalité obteue e ), o obtiet, lorsque x <, la relatio f (x) = x x + f (x 4 ), et doc, pour x ], [,oa f (x) > f (x 4 ) ou ecore f (x /4 ) > f (x). Cosidéros alors la suite (x /4 ). Cette suite coverge vers, et d après ce qui précède la suite ( f (x /4 )) est croissate et miorée par so premier terme f (x ). Si cette suite admettait ue limite l o aurait l f (x ) > /. O a doc ue cotradictio. Il e résulte que la foctio f a pas de limite e. 5) Il résulte de l iégalité f (, 995) >, 58 et de 4) que la foctio f a pas de limite e. Pour obteir l iégalité précédete, o peut remarquer que pour x ], [, la série de terme gééral ( ) x est ue série alteréee. La suite (S + (x)) des sommes partielles de rag impair est doc ue suite croissate, et, quel que soit N, oas + (x) f (x). E particulier le calcul de S (, 995) doe la valeur, , doc f (, 995) S (, 995) >, 58. L exercice suivat doe ue méthode géérale pour traiter plusieurs exercices d oraux. Exercice 9.36 D après Cetrale MP 6 K ) Soit f ue foctio C sur u itervalle I = ] A, A [,(A fii ou o), telle que, pour tout N et tout x I,oait f () (x). Motrer que f est développable e série etière das I. ) Lorsque f est paire ou impaire, motrer qu il e est de même si, pour tout N et tout x [, A [,oa f () (x).

254 36 Chap. 9. Séries etières 3) a. Motrer que x exp(exp x) est développable e série etière de rayo ifii. b. Motrer que x ta x est développable e série etière de rayo p/. ) Pour N, posos a = f () ()/!, et étudios la série etière a x. Les ombres a sot tous positifs. E utilisat la formule de Taylor avec reste itégral, o a, pour tout x I, x f (x) = a k x k (x t) + f (+) (t) dt.! k= Lorsque x < A, l itégrale est positive et doc résulte que la suite a k x k f (x). Il e ( k= ) a k x k est croissate majorée. Elle coverge doc, et la k= série etière a x a u rayo de covergece supérieur ou égal à A. Etudios le reste R (x) de cette série. O a, e effectuat le chagemet de variable t = ux das l itégrale, R (x) = x (x t) f (+) (t) dt = x + ( u) f (+) (ux) du.!! Les foctio f () état toutes positives, sot égalemet toutes croissates. Lorsque < x < y < A,etu [, ], o a doc ( u) f (+) (ux) ( u) f (+) (uy), et e itégrat o e déduit que R (x)x (+) R (y)y (+). E utilisat le fait que R (y) = R (x) k=+ a k y k f (y), o e déduit que ( ) + x f (y), et il résulte du théorème d ecadremet que la suite y (R (x)) coverge vers. Doc, pour x [, A [,oa f (x) = = a x. Lorsque x ] A, [, et u [, ], o a f (+) (ux) f (+) (). Doc cette fois, R (x)x (+) ( u) f (+) () du = a +, et l o e déduit que! R (x) a + x +. Mais, puisque la série de terme gééral a x coverge, la suite (a x )covergevers,etlasuite(r (x)) coverge vers. O obtiet doc, de ouveau f (x) = = a x. La foctio f est développable e série etière das ] A, A [.

255 9.3 Exercices d approfodissemet 37 Duod La photocopie o autorisée est u délit ) La démostratio effectuée das la questio ) pour x [, A [ subsiste et pour x [, A [,oa f (x) = = a x. Si f est impaire alors, pour tout N, oaa =, et doc pour x [, A [,o obtiet f (x) = = a + x +. Alors, pour x ] A, [, f (x) = f ( x) = = Méthode aalogue lorsque f est paire. a + ( x) + = = 3.a La foctio f : x exp(exp x) est de classe C sur R. a + x +. O démotre par récurrece qu il existe ue suite de polyômes P à coefficiets das N tels que, pour tout N et tout x R,oait f () (x) = f (x)p (e x ). La propriété est vraie pour = et =, e preat P (X) = etp (X) = X. Si elle est vraie à l orde, alors f (+) (x) = f (x)p (e x )+ f (x)e x P (e x ) = f (x)e x (P (e x )+P (e x )). E posat P + (X) = X(P (X)+P (X)), o a bie f (+) (x) = f (x)p + (e x ). Si P est à coefficiets etiers positifs, il e est de même de P et doc de la somme P + P. Il e résulte que P + est aussi à coefficiets etiers positifs. Alors, quelque soit, la foctio f () sera positive ce qui permet d appliquer la questio : la foctio f est développable e série etière de rayo ifii. 3.b La foctio f : x ta x est de classe C sur ] p/, p/[. O démotre par récurrece qu il existe ue suite de polyômes P à coefficiets das N tels que, pour tout N et tout x ] p/, p/[, o ait f () (x) = P (ta x). La propriété est vraie pour =, e preat P (X) = X. Si elle est vraie à l orde, alors f (+) (x) = ( + ta x)p (ta x) = P + (ta x) e posat P + (X) = ( + X )P (X). Si P est à coefficiets etiers positifs, il e est de même de P et doc du produit ( + X )P (X). Il e résulte que P + est aussi à coefficiets etiers positifs. Alors, quelque soit, la foctio f () sera positive sur [, p/ [, et puisque f est impaire, o peut appliquer la questio : la foctio f est développable e série etière de rayo de covergece au mois p/. Comme f (x) tedvers+ quad x ted vers p/, le rayo de covergece est écessairemet iférieur ou égal à p/. Il vaut doc exactemet p/.

256 38 Chap. 9. Séries etières Exercice 9.37 Polytechique MP 6 Soit I l esemble des réels x tels que la série etière ote f (x) la somme de cette série. ) Détermier I et étudier la cotiuité de f. ) O pose a = et, pour, a = l domaie de défiitio de g : x = a x = l x coverge. O ( ). Détermier le 3) Trouver ue relatio etre f et g. 4) Calculer g() et g( ). E déduire la limite e de f et u équivalet de f (x) quad x ted vers. ) Pour, posos b = l, et otos R le rayo de covergece de la série etière b x. O a alors b + l( +) l( + /) = = +, et la suite b l l b + / b coverge vers /R = d après la règle de d Alembert. Par ailleurs, lorsque x = ±, la suite (b x ) e coverge pas vers et la série de terme gééral b x diverge. Doc I = ], [. Alors la foctio f est cotiue sur I. ) E utilisat le développemet limité e, l( u) = u u /+o(u ), o obtiet a = +o(/ ) et il e résulte que la suite ( a + / a )coverge vers /R =. Par ailleurs, la série de terme gééral a x coverge absolumet si x = ±. Le domaie de défiitio de g est doc [, ]. 3) E écrivat, pour, a = l l( ), o a, lorsque x <, g(x) = x = = = l( )x + l x + + = = l x Doc g(x) = ( x) f (x)+l( x). l x = x = 4) Pour obteir g(), calculos la somme partielle S N = télescopique, S N = N (l( ) l ) = x = xf(x)+ f (x) + l( x). N k= N a. Il apparaît ue série = N = l N. k=

257 Mais la suite ( N k= 9.3 Exercices d approfodissemet 39 ) l N coverge vers la costate d Euler g (voir ex. 4.6). Doc g() = g. Alors lorsque x <, f (x) = g(x) l( x) x l( x) = x ( g(x) ), l( x) et puisque g(x)/ l( x) ted vers quad x ted vers, o e déduit que, quad x ted vers l( x),oa f (x). x N Pour obteir g( ), calculos la somme partielle s N = ( ) a. = Duod La photocopie o autorisée est u délit s N = = = = N (l( ) l )( ) = N ( ) = N (( ) l( ) + ( ) l )+ = N ( ) l + = N ( ) l + = N ( ) l ( ) N l N + = O a e particulier, lorsque N = p p p s p = ( ) ( ) l l(p)+ = = [ ( ) ] p (p) ( ) = l + (p ) p = N ( ) = N ( ) = N ( ). = = l 4p (p!) 4 p p((p)!) + Mais, e utilisat la formule de Stirlig! (/e) p, o obtiet = ( ). 4p (p!) 4 p((p)!) 4p (p/e) 4p (pp) (p/e) 4p (4pp)(p) = p. ( p ) ( ) Par ailleurs, la suite coverge vers l (voir exercice 9.6). Doc = la suite (s p )covergeversl p + l, et puisque la série de terme gééral a ( ) coverge, la suite (s ) coverge et a même limite que la suite (s p ). O a doc g( ) = l p, g(x) l( x) g( ) l Alors f (x) = a pour limite = x l p.

258 Itégratio sur u itervalle quelcoque. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION.. Foctios itégrables Ce qu il faut savoir Itégrabilité Soit f ue foctio cotiue par morceaux sur u itervalle I à valeurs réelles ou complexes. O dit que f est itégrable sur I s il existe u réel M tel que, pour tout segmet K I, f (t) dt M. K Soiet f et g deux foctios cotiues par morceaux sur u itervalle I à valeurs réelles ou complexes. Si f g sur I et si g est itégrable sur I, alors f est itégrable sur I. Das le cas où I = [a, b[ (b est évetuellemet + ) si f = O b (g)ousi f = o b (g)etsig est itégrable sur I alors f l est aussi si f g alors f est itégrable sur I si et seulemet si g est itégrable sur b I. Lorsque f est cotiue par morceaux sur [a, b[etpositive alors f est itégrable sur [a, b[ si et seulemet si la foctio x lorsque x ted vers b. x a f (t) dt admet ue limite fiie Remarque O dispose de résultats semblables sur u itervalle ]a, b]. Les critères de comparaiso (o, O et ) e sot valables que lorsque l itervalle est ouvert d u seul côté (le comportemet de la foctio au voisiage d ue bore e doe aucue iformatio sur le comportemet au voisiage de l autre). Si l itervalle est du type ]a, b[, il faut étudier séparémet l itégrabilité sur ]a, c] et[c, b[ où c est u poit quelcoque de ]a, b[.

259 . L essetiel du cours et exercices d assimilatio 4 Foctios de référece La foctio t est itégrable sur ], ] si et seulemet si a <. t a La foctio t est itégrable sur [, + [ sietseulemetsia >. t a La foctio t e at est itégrable sur [, + [ sietseulemetsia >. La foctio t l t est itégrable sur ], ]. Si a et b sot des réels tels que a < b alors la foctio t est itégrable sur ]a, b] sietseulemetsia <, (t a) a la foctio t est itégrable sur [a, b[ sietseulemetsia <. (b t) a Exercice. CCP MP 6 Étudier l itégrabilité de f : x x si(/x ) sur R l( + x) +. Duod La photocopie o autorisée est u délit La foctio f est cotiue sur R +. O étudie l itégrabilité sur [, + [ puis sur ], ]. ( ) x O a f (x) x + x l( + x) x + x 3/ l( + x) = o doc f est x + x 3/ itégrable sur [, + [. x si(/x ) O a f (x) = si(/x ). O e dispose pas d équivalet simple x + x x pour si(/x ), o peut e revache majorer si(/x ). Puisque x x x x est itégrable sur ], ], x si(/x ) l est égalemet et doc f est itégrable x sur ], ]. Exercice. Détermier les valeurs de a et b pour lesquelles la foctio f : x est itégrable sur ], [. l x b ( x) a La foctio f est cotiue sur ], [. O étudie l itégrabilité sur ], /] puis sur [/, [.

260 4 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque O a f (x) l x b ( ) = o / x (car x l x b ted vers lorsque x ted vers x x, par croissaces comparées si b >, directemet sio), doc f est itégrable sur x b ], /]. De plus, f (x) x x a =, doc f est doc itégrable sur ( x) a b [/, [ si et seulemet si a b <. La foctio f est itégrable sur ], [ si et seulemet si a b <. Exercice.3 Mies-Pots MP 6 Étudier l itégrabilité sur ], + [ de f : x x x a e foctio des paramètres réels a et b b. La foctio f est cotiue sur ], + [, sauf lorque a = puisque das ce cas f est pas défiie. O commece par chercher u équivalet simple de f au voisiage de. E posat x = +h, o obtiet alors f ( + h) = x h ( + h) a b h h + ah b = a b h b, d où f (x) a b, doc f est itégrable sur ], ] si et seulemet si (x ) b b < soitb <. Il faut faire attetio lors de la recherche d u équivalet e + car x a a pas le même comportemet suivat le sige de a. Si a >, alors x f (x) x + x ab =, et doc f est itégrable sur [, + [ sietseulemet si ab >. Das le cas a <, o a f (x) x doc f est pas x ab itégrable sur [, + [. x + Fialemet f est itégrable sur ], + [sietseulemetsia >, b < etb > /a. Le résultat de l exercice suivat est pas au programme, mais il est fortemet coseillé de l avoir étudié et de reteir les méthodes employées. Exercice.4 Itégrales de Bertrad Étudier l itégrabilité de la foctio f ], /] e foctio des réels a et b. : x x a l x b sur [, + [ puis

261 . L essetiel du cours et exercices d assimilatio 43 Duod La photocopie o autorisée est u délit Itégrabilité sur [, + [ : l idée est de se dire que le comportemet pricipal de la foctio pour l itégrabilité est celui de sauf au cas limite d itégrabilité, lorsque a =. Plus précisémet, par croissaces comparées, x a l x b = o ( )sia < a. Si o peut trouver u tel a avec a >, o x + x a obtiet l itégrabilité de f sur [, + [. C est possible lorsque a >. Das le cas x a où a <, o a xf(x) = de limite ifiie lorsque x ted vers +. Aisi (l x) b f (x) /x pour x suffisammet grad, doc f est pas itégrable sur [, + [. Das le cas où a =, f (x) = x (l (l x) b x) b et f est la dérivée de x b lorsque b et celle de x l l x si b =. La foctio f est positive et elle est itégrable sur [, + [ si et seulemet si ue primitive de f sur [, + [ admet ue limite fiie e +. Cela e sera le cas que lorsque b < soitb >. Coclusio : la foctio f est itégrable sur [, + [ sietseulemetsi(a > ) ou bie (a = etb > ). Itégrabilité sur ], /] : le raisoemet est similaire. La différece proviet du fait que x /x a est itégrable sur ], /] si et seulemet si a <. Si a <, pour tout a > a, lim x a f (x) = par croissaces comparées et si o x choisit a ]a, [, alors f (x) = o ( )avecx itégrable sur ], /] x x a x a ce qui doe l itégrabilité de f sur ], /]. Si a =, avec des primitives semblables (attetio aux valeurs absolues) et le même raisoemet que das la première situatio, f est itégrable sur ], /] si et seulemet si b >. Si a >, alors xf(x) ted vers + lorsque x ted vers, f (x) /x au voisiage de et f est pas itégrable sur ], /]. Coclusio : la foctio f est itégrable sur ], /] si et seulemet si a < ou bie a = etb >. Exercice.5 Soiet a > et f C ([, + [, R +). ) O suppose que f est itégrable sur [, + [. O pose R(x) = pour x. Étudier l itégrabilité de x x a f (x) sur [, + [. R(x) a ) O suppose que f est pas itégrable sur [, + [. O pose S(x) = pour x. Étudier l itégrabilité de x f (x) sur [, + [. S(x) a x x f (t) dt f (t) dt

262 44 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque ) O commece par quelques propriétés importates de R. Pour tout x >, R(x) = f (t) dt x f (t) dt, ce quipermet de motrerque R est de classe C sur [, + [, de dérivée f et que lim R(x) =. De plus, R est strictemet x + positive sur [, + [ et f est égalemet positive, doc g : x f (x) est de R(x) a sige fixe et l étude de l itégrabilité équivaut à l existece d ue limite fiie pour x obtiet x g(t) dt lorsque x ted vers +. SoitX >, comme R = f,o X f (x) R(x) a dx = ] X [ R(x) a si a ( a) [ ] X l(r(x)) si a = Puisque lim R(x) =, l itégrale cosidérée admet ue limite fiie lorsque x + x ted vers + si et seulemet si a > c est-à-dire a <. Fialemet x f (x) est itégrable sur [, + [ sietseulemetsia <. R(x) a ) La foctio S est ue foctio de classe C sur [, + [, de dérivée f, ulle e, strictemet positive sur ], + [, ce qui justifie l existece et la cotiuité de g a : x f (x) S(x) a sur [, + [, et de limite ifiie e +. Ue primitive de g a sur [, + [ est si a etls si a =. Comme das la première ( a)sa questio, o motre que g a est itégrable sur [, + [ sietseulemetsia >... Itégrales covergetes Ce qu il faut savoir Soit f ue foctio cotiue par morceaux sur [a, b[ (b évetuellemet ifii). O dit que l itégrale b a f (t) dt coverge lorsque la foctio x. x a f (t) dt admet ue limite fiie lorsque x ted vers b (par valeurs iférieures), sio o dit que l itégrale diverge. Si f est itégrable sur [a, b[ alors l itégrale réciproque est fausse (voir exercice suivat). b a f (t) dt est covergete. La O a ue défiitio similaire lorsque f est cotiue par morceaux sur ]a, b] (avec a fii ou o).

263 . L essetiel du cours et exercices d assimilatio 45 b Lorsque f est cotiue par morceaux sur ]a, b[, o dit que a lorsque, pour u réel c quelcoque das ]a, b[, les itégrales b c f (t) dt coverget. f (t) dt coverge c a f (t) dt et Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.6 Soit a >, motrer que si t dt est covergete et que f a : t si t est itégrable sur [, + [ sietseulemetsia >. Idicatio de la rédactio : o pourra miorer si t par si t. O a pour tout t >, si t t a lorsque a >. Doc f a est itégrable sur [, + [ et t a. La foctio t est itégrable sur [, + [ t a t a Si a ], ]. Soit X >. E itégrat par parties, o obtiet X si t [ t a dt = cos t ] X X cos t cos X t a a dt = cos t a+ X a Puisque a +>, o motre comme précédemmet que t cos t X t a f a (t) dt coverge. X a t a+ cos t dt. t a+ est itégrable cos t sur [, + [. La foctio X dt admet ue limite fiie lorsque X t a+ ted vers +. Il e est de même pour cos X X si t X a et t a dt, ce qui doe la si t covergece de t a dt. si t Pour t, t a si t t a = cos(t) t a. O motre comme ci-dessus que si t t a Remarque cos(t) t a dt est covergete. Comme dt diverge. O motre de même que coverge si a > etb. si(bt) t a dt t a dt coverge si a > et diverge, l itégrale cos(bt) t a dt

264 46 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque Ce qu il faut savoir Lorsqu o veut étudier la covergece de par parties, o peut souvet exprimer x a b a admettat ue limite fiie e b et d ue itégrale sur [a, b[. Cette expressio motre que que f est itégrable sur [a, b[. f (t) dt, à l aide d ue itégratio f (t) dt comme la somme d ue foctio b a x a g(t) dt où g est itégrable f (t) dt coverge mais e prouve pas Exercice.7 Soit f :[, + [ R cotiue. Motrer que si f (t) t dt coverge. f (t) dt coverge, alors Das le cas où f est itégrable sur [, + [, la majoratio f (t) t f (t) pour t permet de coclure. Sio o reviet à la défiitio de la covergece. Appelos F la primitive de f sur [, + [ qui s aule e : x [, + [, o a F(x) = x f (t) dt. La covergece de f (t) dt sigifie, par défiitio, que F admet ue limite fiie e +. Pour tout x, par itégratio par parties sur [, x] (les foctios sot bie de classe C sur ce segmet), x f (t) t dt = F(x) x F() + x F(t) t dt. De plus F est cotiue sur [, + [ et admet ue limite fiie e + doc F est borée F(x) sur [, + [. Notos M u majorat de F sur [, + [. Aisi lim =, et x + x pour tout t [, + [, o a F(t) t M F(t). Doc t t t est itégrable sur [, + [, F(t) x f (t) l itégrale t dt est doc covergete et fialemet, dt admet t ue limite fiie lorsque x ted vers +. Tout cela sigifie bie que coverge. O obtiet, de plus, f (t) t dt = F(t) t. f (t) t dt

265 Ce qu il faut savoir La covergece de. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 47 f (t) dt apporte aucue iformatio sur le comportemet de f au voisiage de l ifii (limite, équivalet ou domiatio, voir exercice., page 6). Das les exercices théoriques, il est fréquet d iterpréter la covergece de l itégrale comme l existece d ue limite fiie d ue primitive de f...3 Calcul d itégrales Ce qu il faut savoir Méthode de calcul Pour détermier la valeur de I f, o peut calculer l itégrale de f sur u segmet iclus das I e détermiat ue primitive de f, par exemple par itégratio par parties ou par chagemet de variable. Exercice.8 d après Cetrale PC 6 O pose pour N, I = ) Justifier l existece de I. ( + x ) dx. ) Détermier ue relatio de récurrece etre I et I + et e déduire la valeur de I à l aide de factorielles. Duod La photocopie o autorisée est u délit Soit N. ) La foctio f défiie sur R + par f (x) = ( + x est cotiue sur [, + [ et ) f (x) /x.orx /x est itégrable sur [, + [ doc f l est aussi et x + par cotiuité, f est itégrable sur R +. ) Soit A >. Les foctios x x et x ( + x ) sot de classe C sur [, A], aisi A dx ( + x ) = = A A ( + A ) + A ( + A ) + x ( + x ) ( A + dx dx ( + x ) A ) dx ( + x ) +,

266 48 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque e écrivat x = x +. Lorsque A ted vers +, toutes les limites existet, et o obtiet I = (I I + )soiti + = I. Cela permet d écrire O vérifie que I = I = = 3 ( )! = ( ( )!) I. 4 4 lim Arcta A = p/. A + I k = I k k= I Remarque O fera attetio, lors du calcul à e pas écrire de fausses égalités comme, par exemple, I = A f (x) dx. E effectuat le chagemet de variable x = ta t, o motre que I est l itégrale de Wallis p/ cos tdt. Exercice.9 CCP MP 6 Soit f la foctio défiie pour x ], [ par f (x) = l( x ). Motrer que f est itégrable sur ], [ et détermier la valeur de x f (x) dx. x La foctio f est cotiue sur ], [. O a f (x) x x =, aisi f est prologeable par cotiuité e et doc itégrable sur ], /]. Par ailleurs, f (x) l(( x)( + x)) = l( x) +l(+x) l( x). La foctio x x t l t est itégrable sur ], /], doc par symétrie, f est itégrable sur [/, [. Doc f est itégrable sur ], [. Soit < a < b <. E itégrat par parties, o obtiet b a f (x) dx = [ x l( x ) ] b a b a x x( x ) dx l( b)+l(+b) = + l( a ) b a b a ( x)( + x) dx.

267 Par ailleurs, b a. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 49 ( x)( + x) = x + +x doc dx = l( + b) l( + a) (l( b) l( a)). ( x)( + x) O regroupe les termes qui ot ue limite ifiie : b ( ) l( b) f (x) dx = +l( b) a b ( l( + b) + + l( ) a ) +l(+a) l( + b) l( a) b a l( b) (b ) l( b) Or l( b) = ted vers par croissaces comparées b b lorsque b ted vers. Fialemet, e faisat tedre a vers et b vers, o obtiet Ce qu il faut savoir Chagemet de variable f (x) dx = l++ l = l. Si f est ue foctio itégrable sur u itervalle I et si w est ue bijectio de classe C de J sur I, alors ( f w) w est itégrable sur J et f = f w w. I J Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice. D après Navale MP 6 O cosidère, pour a et b réels, l itégrale I (a, b) = x a ( l x ) b dx. ) Motrer que cette itégrale existe si et seulemet si a > etb >. O supposera ces coditios réalisées par la suite. ) Motrer que I (a, b) = e (a+)x x b dx = I (, b). (a +) b+ 3) Motrer que pour N,oaI (, ) = I(, ) et e déduire la valeur de I (a, ) pour a > et N. ) La foctio f : x x a ( l x) b est cotiue sur ], [. Le plus simple est le comportemet au voisiage de, puisque f (x).( x) b,etx ( x) b est x

268 5 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque itégrable sur [/, [ si et seulemet si b >. L étude e est plus difficile, o peut se reporter à l exercice.4, page 4, sur les itégrales de Bertrad pour motrer que f est itégrable sur ], /] si et seulemet si a > ousia = et b <. E coclusio f est itégrable sur ], [ si et seulemet si a > etb > (das le cas a = les deux coditios, b < etb >, obteues pour chacue des bores sot simultaémet impossibles). ) Puique f est itégrable sur ], [ et que la foctio u e u est ue bijectio de classe C de ], + [ sur ], [, I (a, b) = + e au u b ( e u du) = u b e (a+)u du, qui est le premier résultat demadé. O effectue alors le chagemet t = (a +)u (t t/(a + ) est bijective et de classe C de R + sur lui-même), o obtiet ( t ) b I (a, b) = e t dt a + a + = + (a +) b+ t b e t dt, et aisi I (a, b) = I (, b). (a +) b+ A 3) Soit N et A >, t e t dt = [ t e t] A A + t e t dt, ce qui doe la relatio I (, ) = I(, ) par passage à la limite. Par récurrece, o motre alors que I (, ) =!I (, ) avec I (, ) = a > et N, I (a, ) = Exercice.! (a +) b+. e t dt = et, pour TPE MP 6 p dx Soit a >. Calculer +a si x. Idicatio de la rédactio : o utilisera le chagemet de variable t = ta x. Le chagemet de variable proposé e coviet pas sur [, p], il faut chager l itervalle d itégratio. La foctio f : x +a si est défiie et cotiue sur x R. f est égalemet paire et de période p.aisii = p/ f (x) dx. O peut exprimer si x assez facilemet à l aide de ta x puisque si x = cos x ta x soit si x = ta x +ta si x [, p/[. La foctio w : t Arcta t est ue bijectio de classe C de [, + [ sur [, p/[ et f est itégrable sur [, p/] doc x sur

269 . Exercices d etraîemet 5 [, p/[ ce qui permet d effectuer le chagemet de variable das l itégrale I = = a + +a t +t +t dt = t + dt. a+ +(a +)t dt E utilisat le fait que t a Arcta t est ue primitive sur R de t a t + a si + a et que par coséquet, t + a dt = p si a >, o obtiet a Remarque I = p a + = p. a + a + Le chagemet de variable t = ta(x/) aurait été valable sur [, p[ mais les calculs sot alors plus logs et compliqués. Afi d effectuer le chagemet de variable x = ta t, o a trasformé ue itégrale défiie (sur le segmet [, p/]) e ue itégrale sur u itervalle ouvert (ici [, p/[). Cette trasformatio est légitime puisque si f est cotiue sur u segmet [a, b], alors elle est itégrable sur les itervalles [a, b], [a, b[, ]a, b] et ]a, b[ et les différetes itégrales ot même valeur.. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice. Cetrale MP 6 Soit f ue foctio cotiue de R + das R +. ) Si f est itégrable sur R + et admet ue limite e +, que peut-o dire de cette limite? ) O suppose f décroissate ( et itégrable ) sur R +. Motrer que f (t) = o. t + t ) Si f admet ue limite l strictemet positive, alors f (x) l et la foctio x + x l est pas itégable sur R +, doc f o plus. Si f ted vers + alors il existe A > tel que pour tout x A, f (x) et f est pas itégrable. Doc si f admet ue limite e + et si f est itégrable sur R +, alors f ted vers e +.

270 5 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque ) O doit faire apparaître u terme sous la forme tf(t). Pour cela, o ecadre l itégrale t t/ f (u) du (la logeur de l itervalle va faire apparaître le facteur t t). La décroissace de f doe f (u) du (t t/) f (t), c est-à-dire t/ t tf(t) f (u) du. Il reste à motrer que ce terme ted vers lorsque t t/ ted vers +. Pour cela o peut écrire t t/ f (u) du = t Les deux itégrales admettet pour limite f (u) du t/ f (u) du. f (u) du lorsque t ted vers + (itégrabilité de f ) et la différece admet doc ue limite ulle lorsque t ted vers +. Exercice.3 Mies-Pots MP 6 l t Après avoir justifié l existece de l itégrale t dt, la calculer à l aide + a d u chagemet de variable simple (a est u réel strictemet positif). La foctio f : t l t t + a est défiie et cotiue sur R +. l t D ue part, f (t) t a doc f est itégrable sur ], ], d autre part, ( ) l t f (t) t + t = o doc f est itégrable sur [, + [. t + t 3/ O pourrait peser e premier à faire ue itégratio par parties, mais la ouvelle itégrale est aussi difficile à calculer. O pese alors à u chagemet de variable. O le cherche de sorte que les bores e soiet pas chagées, et que le quotiet reste sous la même forme. O effectue le chagemet t = a /u, possible puisque f est itégrable sur R + et u a /u est ue bijectio R + sur lui même, de classe C. O obtiet I = l t t + a dt = Cela doe fialemet I = + l(a /u) a 4 u + a la a du = ( l a) + u lim ( a u ) du = [ A + a Arcta u ] A a la l u a + u = p l a. a du.

271 . Exercices d etraîemet 53 Exercice.4 TPE MP 6 Existece et calcul de th(3x) th x x dx. Duod La photocopie o autorisée est u délit th(3x) th x La foctio f : x est défiie et cotiue sur R x +. La foctio th est croissate sur R et puisque 3x x si x >, f est à valeurs strictemet positives. Il suffit doc de motrer que l itégrale coverge pour motrer e même temps l itégrabilité de f sur ], + [. Soit < a < b. b b th 3x b th x 3b f (x) dx = dx a a x a x dx = th u b 3a u du th x a x dx, e effectuat le chagemet liéaire u = 3x das la première itégrale. Il viet alors b a f (x) dx = 3a a th x x dx 3b b th x x Par croissace de la foctio tagete hyperbolique et de l itégrale, th(a) 3a a x dx 3a a th x x ce qui doe l ecadremet th(a). l 3 dx th(3a) 3a a th x x 3a ted vers, th a et th 3a tedet vers et par ecadremet, lim Le même ecadremet avec b qui ted vers + doe Fialemet les deux limites existet et th(3x) th x x a dx x dx, dx th(3a). l 3. Lorsque a 3a a a 3b lim b + b dx = l 3. th x x th x dx =. x dx = l 3. Remarque Beaucoup d exercices sot costruits sur ce modèle. O applique ue méthode semblable à celle de l exercice précédet pour calculer les itégrales de foctios f (ax) f (bx) du type x. x Exercice.5 Polytechique-ESPCI PC 5 ) Motrer que les foctios t l si t et t l cos t sot itégrables sur ], p/[. O appelle alors I et J la valeur de ces itégrales. Motrer que I = J.

272 54 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque ) Trouver ue relatio etre I + J et I. 3) E déduire la valeur de I et de J. ) La foctio f : t l si t est cotiue sur ], p/]. La foctio f ted vers lorsque t ted vers. Pour t proche de, o a si t = t + o(t) = t( + o()) et f (t) = l t +l(+o()) = l t + o() doc f (t) l t. Par ailleurs, t l t t est cotiue et itégrable sur ], p/]. Doc par comparaiso, f est itégrable sur ], p/]. Puisque cos u = si(p/ u), o va appliquer le chagemet de variable t = p/ u das la première itégrale. w : u p/ u est ue bijectio de classe C de [, p/[ sur ], p/] et f est itégable sur ], p/] doc u f (w(u)).w (u) = l(cos u) est itégrable sur [, p/[ avec p/ c est-à-dire I = J. l si tdt= p/ ) D ue part I + J = I, et d autre part I + J = = p/ p/ l(cos u) du = l(si t cos t) dt = l(si t) dt p/ p/ p/ l dt. l(cos u) du si t l( ) dt Puisque u u/ est ue bijectio de classe C de ], p] sur ], p/], o peut appliquer le chagemet t = u/ das la première itégrale, ce qui doe ( ) p/ l(si t) dt = p l(si u) du = I + p p/ l(si u) du O peut appliquer le chagemet de variable u = p t das l itégrale restate et p p/ l(si u) du = I. Fialemet I + J = (I ) p l = I p l.. 3) Coclusio : I = J = p l. Exercice.6 Cetrale MP 6, Mies-Pots MP 7 ) Motrer que pour x >, o peut défiir si t f (x) = dt et f (x) = t f (x) dx sot cover- ) Motrer que les deux itégrales getes et calculer ces itégrales. x f (x) dx et x cos t dt. t

273 . Exercices d etraîemet 55 Duod La photocopie o autorisée est u délit ) se reporter à l exercice.6, page 45. si t x si t ) Pour x >, o a f (x) = dt dt.aisi f est de classe C t t sur R + et pour tout x >, f (x) = si x (cela motre égalemet que f est de x limite ulle e + ). Le fait de coaître f permet de réaliser ue itégratio par parties. Si < a < b, o obtiet b a f (x) dx = [xf (x)] b a + b a x si x x dx = [xf (x) cos x] b a. O doit doc étudier plus précisémet le comportemet de f au voisiage de et +, afi de détermier la limite de xf (x) aux deux bores. La foctio g : t si t admet ue limite fiie e, elle se prologe par t cotiuité e, doc cette foctio est itégrable sur ], ] et f admet ue limite fiie e. Aisi lim af (a) =. a Pour x grad, o détermie u développemet asymptotique de f.soita > x, A si t [ dt = cos t ] A A cos t t t t dt, x ce qui doe lorsque A ted vers +, f (x) = cos x cos t x x t dt.de plus cos t + x t dt x t dt =. Cepedat comme o doit étudier la x limite e + de xf (x), cette majoratio est pas assez précise. O itègre par parties ue autre fois, ce qui doe x x f (x) = cos x si x si t x x x t 3. Comme précédemmet, o obtiet si t x t 3, ce qui permet d obteir f (x) = cos x ( ) x + O x x + x. Le calcul iitial doe b a f (x) dx = bf (b) af (a) cos b +cosa ( ) ( ) avec lim cos a af (a) = etbf (b) cos b = cos b + O cos b = O a b + b b + b de limite ulle lorsque b ted vers +. Fialemet, e passat aux limites, o obtiet f (x) dx =.

274 56 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque ( ) + O x + x.ladiffi- O motre de la même maière que f (x) = si x x culté est e puisque t cos t Puisque cos t t l itégrale t x t t f (x) = t est pas itégrable sur ], ]. O écrit cos t t et o s atted à ce que dt + x x cos t t cos t t dt. dt se comporte comme dt = l x de limite ifiie. O étudie la différece cos t dt. La foctio h : t cos t est cotiue sur ], ] et x t t admet ue limite ulle e doc se prologe par cotiuité e. Aisi et puisque lim x x cos t t dt = cos t t x t dt ted vers + lorsque x ted vers, o obtiet f (x) l x. x Esuite, pour < a < b, b a f (x) dx = bf (b) af (a) b a dt, xf (x) dx = bf (b) af (a)+ Avec af (a) a l a de limite ulle e, bf (b) = si b + a b a cos xdx= si b si a, o obtiet Exercice.7 CCP MP 5 Étudier la covergece de l itégrale Soit f (x) = f (x) dx =. si x x si x dx. b a O b + cos xdx ( ) et b si x x si x. O commece par étudier le déomiateur. Si x >, si x < x.six ], ], o a si x < x x. Aisi, pour tout x >, si x < x, et f est défiie et cotiue sur ], + [. De plus si x x = o( x), ce qui doe x x f (x) x = x. f est doc itégrable sur ], ]. E revache pour x grad, x si x o a simplemet f (x) qui est pas de sige fixe. Comme x si x x x x + est pas itégrable sur [, + [, o e peut pas coclure par l absolue covergece.

275 . Exercices d etraîemet 57 O effectue alors u développemet asymptotique au voisiage de + : si x = si x x si x x si x = si x ( + si x + O( ) x x x ) x = si x x + si x x + O( x 3/ ). O décompose aisi f (x) e ue somme de trois foctios, f = f + f + f 3 avec f (x) = si x, f (x) = si x et f 3 (x) = f (x) f (x) f (x) = O( x x x ). f 3/ 3 est itégrable sur [, + [ et et f 3 (x) dx coverge. De plus f (x) dx diverge. Au fial, l itégrale étudiée est divergete. Exercice.8 D après plusieurs cocours ) Soit f cotiue, décroissate et itégrable sur ], ]. Motrer que ( ) k lim f = f (t) dt. + ) E déduire que! + e. k= 3) Détermier lim. + k= k( k) f (x) dx coverge Duod La photocopie o autorisée est u délit ) O e peut bie etedu pas directemet appliquer le résultat sur les sommes de Riema puisque la foctio f est pas cotiue sur le segmet [, ]. O va doc ecadrer la somme par des itégrales. Soit N et k [, ]. Puisque f est décroissate sur [ k, k + ], o a k + k f ( k + ) (k+)/ k/ f (t) dt k + k E sommat ces iégalités pour k allat de à, o obtiet c est-à-dire k= f ( k + ) f ( k ) k= / / f (t) dt f (t) dt k= k= f ( k ), f ( k ). f ( k ).

276 58 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque De plus, pour tout t ], ], f est miorée par f ( )et f est itégrable sur ], ], o a doc égalemet f ( ) / à l iégalité précédete, k= f ( k ) = k= f (t) dt. Cela permet d obteir, e ajoutat f ( k ) f (t) dt. O a égalemet k= ce qui doe fialemet l ecadremet / f (t) dt + f () f ( k f () )+ / k= f (t) dt + f () f ( k ) f (t) dt. f est itégrable sur ], ] doc la limite lorsque ted vers + de / f (t) dt est f (t) dt et f ()/ ted vers. Par ecadremet, o obtiet le résultat demadé.! ) Pour N, o ote u =.Oa ( ) ( l u = l k l = ( ) ) k l. k= La foctio f : x l x est cotiue, décroissate et itégrable sur ], ]. La questio précédete etraîe lim + l u = k= lim l u = lim [x l x x] a =. + a Fialemet lim u = e, ce qui doe! + 3) Pour N avec, o défiit v = où f (x) = k= + l xdx, c est-à-dire e..oav = f k( k) k= ( ) k x( x). La foctio f est cotiue sur ], [, décroissate sur ], /] puis croissate sur [/, [. O gééralise le résultat de la première questio pour des foctios mootoes et itégrables sur des itervalles ]a, b]ou[a, b[ (a et b réels). O sépare la somme e deux sommes, l ue où l idice k varie de à E(/) et l autre où l idice k pred les autres valeurs. O obtiet alors lim v = + / f (t) dt + / f (t) dt = dt t( t) = p.

277 .3 Exercices d approfodissemet 59 O peut calculer l itégrale de différetes faços : soit de faço usuelle, e écrivat t( t) = 4 (t ) et e itégrat à l aide de la foctio arcsius, soit e utilisat le résultat de l exercice 7., page 44, qui doe la valeur B(, ) = G(/) /G() = ( p), soit ecore à l aide d u logiciel de calcul formel..3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice.9 CCP MP 6 Soit f C (R +, R) décroissate et de limite ulle e +. Prouver l existece de f (t)sitdt. O pourra étudier la série de terme gééral a = (+)p p f (t)sitdt. O étudie, comme coseillé, la série de terme gééral a. Par traslatio, pour tout N, a = p p f (u + p)si(u + p) du = ( ) f (u + p)si(u) du. Duod La photocopie o autorisée est u délit O ote b = ( ) a. Pour tout N, letermeb est positif et la série a est doc ue série alterée. Il reste à étudier la décroissate vers de (b ) pour pouvoir appliquer le critère spécial des séries alterées. Puisque f est décroissate et positive sur R, pour tout u [, p], f (u +( +)p) f (( +)p) f (u +p), et puisque si u sur [, p], o obtiet, p f (u +( +)p)si(u) du c est-à-dire b + b. O a égalemet b p p p f (( +)p)si(u) du f (u + p)si(u) du, f (p)si(u) du = f (p) doc (b ) est ue suite décroissate vers. E coclusio ( ) b coverge. O doit maiteat étudier la limite de x f (t)sitdtlorsque x ted vers +.O va s approcher de la série étudiée précédemmet. Soit x >, il existe u uique

278 6 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque N(x) N tel que N(x)p x < (N(x)+)p. Plus précisémet, N(x) = E(x/p). x pn(x) x f (t)sitdt f (t)sitdt = f (t)sitdt pn(x) Puisque vers + et lim x + x pn(x) f (t) dt (x pn(x)) f (pn(x)) p f (pn(x)) N(x) = +, la différece précédete ted vers lorsque x ted x lim x + L itégrale est doc covergete. f (t)sitdt= lim x + = N(x) a = = a. Exercice. Cetrale MP 6 Soit a R. O défiit, pour x R +, f a (x) = u (a) = (+)p p f a (t) dt. e x et pour N, + si x eax ) Motrer que f a est itégrable sur R + si et seulemet si la série u (a) coverge. ) Trouver les valeurs de a pour lesquelles f a est itégrale sur R +. 3) Détermier les valeurs de a pour lesquelles la série ( ) u (a) coverge. ) O ote S N = N u (a) = = (N+)p itégrable sur R + si et seulemet si x ted vers +. Comme la foctio x f a (x) dx. Puisque f a est positive, f a est f a (t) dt admet ue limite fiie lorsque x x f a (t) dt est croissate sur R +, elle admet ue limite fiie ou ifiie e +.EfiS N admet la même limite. Aisi f a est itégrable sur R + si et seulemet si u (a) coverge (o aurait égalemet pu procéder par ecadremet de l itégrale).

279 .3 Exercices d approfodissemet 6 ) O va doc étudier la ature de la série. Par u chagemet de variable t = p+u (traslatio), u (a) = p e u+p du. + si(u) ea(u+p) O ecadre au mieux cette itégrale. p Pour a, si N e p, u (a) + du = p ep, de limite ifiie. La série est divergete. O suppose das la suite que a >. O peut commecer par majorer si u par, cela doe u (a) p p e p du +ea(u+p) e p +e a((+)p) du = p e p +e a((+)p) + p e ap e( a)p. Cela permet de motrer que u (a) diverge grossièremet si a soit a. O s itéresse à ue majoratio de u (a). O peut déjà écrire u (a) e (+)p p +e ap si u du. Cette itégrale est pas simple à calculer. Par symétrie par rapport à p, Duod La photocopie o autorisée est u délit p p/ +e ap si u du = +e ap si u du. Afi de majorer cette itégrale, o doit miorer si u. Par cocavité de la foctio sius sur [, p/], o motre que si u u si u [, p/] (c est pour cette p raiso qu o a réduit l itervalle d itégratio). O obtiet alors p/ u (a) e (+)p pe(+)p du = + eap p u e ap l( + eap p p ). Ce derier terme vaut pe(+)p e ap l(+e ap ) + ap e p e ( a)p. Puisque a >, o a obteu le terme gééral d ue série covergete (il est égligeable devat / ), ce qui doe la covergece de la série à termes positifs u (a). Fialemet u (a)covergesietseulemetsia >. 3) Si a, u (a) e ted pas vers. Si a >, ( ) u (a) = u (a) et u (a) coverge. Doc ( ) u (a)covergesietseulemetsia >.

280 6 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque Exercice. Polytechique MP 5 Soit f C (R, R) itégrable sur R. O pose { R R g : x f (x /x) Motrer que g est itégrable sur R et R + et que g(x) dx + g(x) dx = f (x) dx. { R Soit w : + R x x /x. Pour tout x >, w (x) = + x >. Aisi w est u C -difféomorphisme de R + das w (R +) = R.Demêmew : x x /x est u C -difféomorphisme de R das R. De plus, soit y R. L équatio w (x) = y est équivalete à x yx = ce qui doe x = y ± y +4 et puisque x doit être positif, o obtiet w (y) = y + y +4. Le même calcul doe w (y) = y y +4. Soit K u segmet de R +.Oa g(x) dx = f (w (x)) dx = f (u) (w ) (u) du, K K avec (w ) (u) = (+ u ). Comme pour tout u >, o a (w u +4 ) (u), o obtiet g(x) dx f (u) du f (u) du. Par défiitio, g K w(k ) est itégrable sur R +. O refait le même calcul sur les segmets de R avec (w ) (u) = ( u ) dot les valeurs sot das [, ]. u +4 Le fait d avoir g itégrable sur R et R + aisi que les deux C -difféomorphismes w et w permet de réaliser le chagemet de variable das les itégrales, ce qui doe g(x) dx = ( ) + y f (u) du y +4 aisi que g(x) dx = E ajoutat, o obtiet l égalité demadée. f (u) ( w(k ) + R ) y du y +4

281 .3 Exercices d approfodissemet 63 Exercice. Polytechique MP 6 Soit f : R + R cotiue telle que f soit itégrable sur R +.Soitg la foctio défiie sur R + par g() = etg(x) = f (t) dt si x >. Motrer que g est x cotiue sur R +, de carré itégrable sur R + et Notos F : x x g (t) dt 4 x f (t) dt. f (t) dt, primitive sur R + de f qui s aule e. g est cotiue sur R + et pour x >, o a g(x) = F(x) F(x) F() =. F état de x x classe C sur R +, lim g (x) = F () = f (). Doc g est cotiue sur R +. x O va chercher à itégrer par parties g. O doit dériver g et g est de classe Duod La photocopie o autorisée est u délit C que sur ], + [ (e gééral). O se doe doc < a < b, b Or, pour t >, g (t) = f (t) t doe b a a g (t) dt = [ tg (t) ] b b a tg(t)g (t) dt. F(t) t a et tg (t) = f (t) F(t) t b g (t) dt = bg (b) ag (a)+ g(t) (g(t) f (t)) dt a = f (t) g(t). Cela ce qui doe, b b g (t) dt = ag (a) bg (b)+ f (t)g(t) dt. a a Toutes les foctios de la variable a qui apparaisset sot cotiues e, o peut alors passer à la limite lorsque a ted vers, ce qui doe, pour tout b >, b g (t) dt = bg (b)+ b b f (t)g(t) dt f (t)g(t) dt b b f (t) dt g (t) dt. ce qui doe, e élevat au carré ( ( b )( b ) b g (t) dt) 4 f (t) dt g (t) dt.

282 64 Chap.. Itégratio sur u itervalle quelcoque Le cas où g est la foctio ulle doe bie le résultat souhaité. Das le cas cotraire, il existe B tel que pour tout b B, b g (t) dt, o obtiet alors pour b B b b g (t) dt 4 b f (t) dt 4 g (t) dt >. E divisat par f (t) dt. g état positive, cela doe l existece d ue limite lorsque b ted vers + pour b g (t) dt aisi que g (t) dt 4 f (t) dt.

283 Théorème de covergece domiée et applicatios. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION.. Théorème de covergece domiée Ce qu il faut savoir Soit ( f ) N ue suite de foctios cotiues par morceaux sur u itervalle I de R.Si: (i)(f )covergesimplemet vers ue foctio f sur I, (ii) la foctio f est cotiue par morceaux sur I, (iii)ilexistew cotiue par morceaux et itégrable sur I telle que x I, N, f (x) w(x), alors f est itégrable sur I et f (x) dx = f (x) dx. lim + I Remarque Bie etedu, o peut utiliser ue suite de foctios défiie seulemet à partir d u certai rag N. L hypothèse de domiatio est fodametale et e peut pas être remplacée, par exemple par ue hypothèse de covergece uiforme (voir exercice.4, page 68). L hypothèse de domiatio etraîe que chaque foctio f est itégrable sur I. I Exercice. CCP PSI 5 Pour N, soit la foctio f défiie sur R + par f (x) = si(x) +x + x. ) Motrer que pour tout N, la foctio f est itégrable sur R +. ) ) Détermier la limite de ( f (x) dx.

284 66 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios ) La foctio f est cotiue sur [, + [ et pour tout x, f (x) +x. Puisque w : x +x est itégrable sur [, + [, f l est égalemet. ) Les hypothèses de cotiuité et de domiatio ot été obteues das la questio précédete. Il reste à étudier la covergece simple de la suite de foctios. Si x >, f (x) x et lim f (x) =. Si x =, f () = + pour tout N. Doc ( f ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur [, + [, foctio cotiue sur R +. Le théorème de covergece domiée doe lim + Exercice. CCP PSI 5 f (x) dx =. O défiit pour, I = détermier la limite de la suite (I ). +t t + t dt. Prouver l existece de I et Soit u etier supérieur à et f défiie sur R + par f (t) = f est cotiue sur ], + [. O étudie la limite simple de cette suite de foctios : si t ], [ alors lim f (t) =, + t si t = alors f () = pour tout et lim f (t) =, + t si t > alors f (t) et + t lim f (t) =. + Doc f coverge simplemet sur R + vers la foctio f défiie par si x ], ] f (x) = x si x > +t. La foctio t + t La foctio f est cotiue par morceaux. Il reste à domier cette suite de foctios. Il est clair que la majoratio de f (x) va être différete suivat que x ], ] ou x >. Soit : si x >, f (x) x x = x x. si x ], ], f (x). x

285 . L essetiel du cours et exercices d assimilatio 67 Soit w défiie par w(x) = si x > etw(x) = si x ], ]. La foctio w est x x cotiue sur R +, itégrable sur ], ] et [, + [ doc sur R +, et pour tout et x >, f (x) w(x). O peut appliquer le théorème de covergece domiée et lim I = + f (x) dx = dx x = [ x ] =. Ce qu il faut savoir Quelques pistes pour trouver ue boe foctio qui domie La répose est pas toujours simple mais o peut doer quelques idées géérales. O commece par détecter les facteurs idépedats de, o les factorise et o e cherche surtout pas à les majorer pour simplifier l écriture (par exemple e majorat +t par o crée u problème d itégrabilité au voisiage de ). t Si la limite simple fait apparaître plusieurs itervalles, o peut chercher ue domiatio sur chacu des itervalles (l écriture d ue foctio domiate peut faire apparaître plusieurs itervalles). Il reste à majorer les termes qui dépedet de. Plusieurs méthodes sot possibles : majoratio directe (par exemple si u par u ou par ), mioratio d u terme positif par (au déomiateur), étude de la suite ou d ue foctio associée (e remplaçat par ue variable t das R), ecadremet de etre et... Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.3 CCP PSI et MP 7 Soit f C (R +, R) borée et telle que f (). Détermier u équivalet e l ifii de I = f (t)e t dt. Pour N, o cosidère la foctio f défiie sur R + par f (t) = f (t)e t.o ote M u majorat de f sur R +. Pour tout N et t R +, f (t)e t Me t. Comme la foctio t e t est cotiue et itégrable sur R +, pour tout N,la foctio f est cotiue et itégrable sur R +. Cela permet de justifier l existece de I pour tout N.Deplus(f ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur R +. L applicatio du théorème de covergece domiée doe seulemet lim I =. + Pour détermier u équivalet de I, o effectue le chagemet de variable liéaire u u/ das I, ce qui est possible puisque la foctio f est itégrable sur R +.

286 68 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios O obtiet I = ( u ) f e u du. La foctio g : u f ( u )e u est défiie et cotiue sur R +. La suite de foctios (g ) N coverge simplemet sur R +, vers la foctio cotiue g : u f ()e u, et pour tout N et tout u, g (u) Me u. Le théorème de covergece domiée etraîe lim + Puisque f (), o obtiet I Exercice.4 (PSI) g (u) du = f () + f (). e u du = f (). Soit N. O défiit la foctio f sur R + par f (t) = t e t.! ) Étudier la covergece simple puis uiforme de la suite de foctios ( f ). O ote f = lim f. + ) Comparer lim + 3) Que peut-o e coclure? f (t) dt et f (t) dt. ( ) t ) Pour tout t R +, la suite umérique coverge vers. La suite de fotios ( f ) coverge simplemet sur R + vers la foctio ulle. La foctio f! est de classe C sur R + et, pour tout t R +,oa f (t) e t = ( t)t. L étude des variatios de f doe, pour tout N, u maximum pour f valat f () = e. La foctio f est positive, si bie que! f,r + = e! + p La suite de foctios ( f ) coverge uiformémet sur R +. ) Pour tout N, oa page 98), doc + lim + f (t) dt = (formule de Stirlig). G( +)! f (t) dt =. E revache = (voir exercice.9 f (t) dt =. 3) La covergece uiforme sur R + est pas suffisate pour permuter limite et itégrale.

287 .. Permutatio série-itégrale Ce qu il faut savoir. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 69 Théorème d itégratio terme à terme Soit ( f ) N ue suite de foctios défiies et cotiues par morceaux sur u itervalle I.Si (i) la série de foctios f coverge simplemet sur I, (ii) la foctio S = = f est cotiue par morceaux sur I, (iii) pour tout N, f est itégrable sur I, (iv) la série umérique f (t) dt coverge, I alors S est itégrable sur I et S(t) dt = f (t) dt. I Remarque La derière hypothèse du théorème précédet est fodametale (voir exercice.9, page 73) La covergece ormale uiforme de la série de foctios f est i écessaire, i suffisate pour permuter somme et itégrale sur u itervalle o boré. = I Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.5 Pour N, o défiit la foctio f sur R + par f (x) = + x ) Motrer que f coverge simplemet sur R +. O ote S = ) Motrer que S est cotiue sur R +. 3) Motrer que S est itégrable sur R + et S(t) dt = p = = 3/. ) Soit x >. O a f (x) + x et la série umérique f (x) coverge. La série de foctios f coverge simplemet sur R +. ) Pour tout N, la foctio f est décroissate et positive sur R +. Cela doe f,r + =,et f e coverge pas ormalemet sur R +.Soita >. Pour f.

288 7 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios tout x a, oa f (x) f (a). Puisque f (a) coverge, la série f coverge ormalemet sur [a, + [. Chacue des foctios f est cotiue sur R +, doc S est cotiue sur tout itervalle [a, + [ oùa >. Fialemet S est cotiue sur R +. 3) Soit N. La foctio f est cotiue sur [, + [, et pour A >, o a A f (t) dt = A f (t) dt = A t + dt = Arcta(A ). O obtiet f (t) dt = f (t) dt = p.lasérie coverge. 3/ 3/ Le théorème d itégratio terme à terme doe d ue part l itégrabilité de S sur R +, et d autre part S(t) dt = p. 3/ Exercice.6 Navale PC 5, TPE MP 6 = ) Motrer que t t x e t est itégrable sur ], + [ sietseulemetsix >. O ote alors G(x) = t x e t dt. + ) Motrer que, pour t >, e t = e (+)t. 3) E déduire que pour tout x >, = t x + e t dt = = G(x +) x+. ) Soit x R et h x la foctio défiie sur ], + [parh x (t) = t x e t. La ( foctio ) h x est cotiue sur R +. Par croissaces comparées, o a h x (t) = o t + t,et h x est itégrable sur [, + [. De plus, h x (t) t x et t t x est itégrable t sur ], ] si et seulemet si x >. Fialemet h x est itégrable sur ], + [ si et seulemet si x >. ) Si t >, alors e t < et e t = e t e t = e t = e t = = e (+)t. 3) Pour tout N, la foctio f : t t x e (+)t est cotiue, positive et itégrable sur [, + [ (même démostratio que das la première questio). La série f coverge simplemet sur ], + [, et pour tout t >, f (t) = t x e t. =

289 La foctio S = = f (t) dt = f est cotiue sur ], + [. Pour N, t x e (+)t dt =. Exercices d etraîemet 7 ( u ) x e u du + + car u u/(+) est bijective et de classe C de R + vers R + et f est ue foctio itégrable sur R +, ce qui autorise le chagemet de variable. O obtiet f (t) dt = G(x +). ( +) x+ Comme x + >, la série coverge. Le théorème d itégratio ( +) x+ t x + terme à terme etraîe e t dt = G(x +) x+ = G(x +) ( +) x+. Ce qu il faut savoir Das ce gere d exercices (trasformatio d ue itégrale e la somme d ue série), l idée est de décomposer l ue des foctios à l aide d ue série de foctios. O est souvet ameé à utiliser u développemet e série etière d ue foctio. Fréquemmet, o utilise la somme de la série géométrique ou celle de la série expoetielle.. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT = = Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.7 CCP PSI 6, Mies-Pots PC 7, MP 6 Pour N, o pose I = e x dx. ) Quelle est la limite de I? ) À l aide d u chagemet de variable, motrer que I + e y ) O appelle f la foctio défiie sur [, + [ par f (x) = e x. O étudie la covergece simple de cette suite de foctios : { si x > lim f (x) = f (x) = + /e si x = La suite de foctios ( f ) coverge simplemet sur [, + [ vers f, foctio cotiue par morceaux sur [, + [. De plus, pour tout x et pour tout, o a x x et f (x) e x. Doc, pour tout x [, + [ et y dy.

290 7 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios pour tout N, f (x) e x. Comme la foctio x e x est cotiue et itégrable sur [, + [, le théorème de covergece domiée implique lim I = + f (t) dt =. ) D après ce qui viet d être motré, la foctio f est cotiue et itégrable sur [, + [. L applicatio w : u u / est ue bijectio de [, + [ sur [, + [, de classe C, doc I = e u u / du = / e u u u du. O pose pour u, g (u) = u / e u. Puisque u/ = u e (l u)/, o a, pour tout u, lim + g (u) = e u u. De plus, pour tout u et tout N,o a g (u) u e u u = e u et u e u est itégrable sur [, + [. Le théorème lim + e u de covergece domiée etraîe g (u) du = du. Cette u derière itégrale est o ulle (itégrale d ue foctio cotiue, positive, o + e u idetiquemet ulle sur [, + [), d où I + u du. Exercice.8 CCP PSI 6 ) Motrer que pour tout t [, p/], o a t si t. p ) O pose, pour, ( si x ) si x [, p f (x) = ] si x > p ( ) Détermier la limite des suites ( f (x)) et f (x) dx. ) La foctio sius est cocave sur [, p/]. La corde qui passe par les poits (, ) et (p/, ) d équatio y = x est sous la courbe représetative de sius (sur p [, p/]) et pour tout t [, p/], o a si t t p. ) Soit x R + et N.Si x p alors f (x) =. Si > x p,oa x/ [, p/[ doc si(x/) >, d où ( f (x) = si x ) = exp ( l( si x ) ).

291 . Exercices d etraîemet 73 Puisque lim si x =, o a lorsque ted vers +, + ( l si x ) si x x = x (même si x = ). La cotiuité de la foctio expoetielle sur R etraîe lim + f (x) = e x = f (x). La suite ( f ) coverge simplemet vers ue foctio cotiue f sur R +. Détermios ue foctio itégrable sur R + et idépedate de qui domie la suite de foctios ( f ): x [, p [, x/ [, p/[ et si(x/) ], ]. O a égalemet l( + u) u si u >. D où f (x) exp (( si x ) ( ) exp ( x ) ( p ) = exp x ). p ( O ote alors w(x) = exp x ) pour x. O a f (x) w(x) si p x [, p ] d après ce qu o viet de motrer, mais égalemet si x > p puisqu alors f (x) =. Aisi x R +, N, f (x) w(x). Comme la foctio w est cotiue et itégrable sur R +, le théorème de covergece domiée implique lim + f (x) dx = lim + p/ ( si x ) dx = e x dx =. Duod La photocopie o autorisée est u délit Ce qu il faut savoir Il est assez fréquet d avoir ue suite de foctios o ulles sur u segmet dot les bores dépedet de et ulles ailleurs. Il faut faire attetio lors de l étude de la covergece simple : o fixe x das l itervalle complet d étude, o justifie que pour assez grad, ce x se situe das l itervalle où f est o ulle et o utilise aisi la boe valeur pour f (x). Lorsque la défiitio de la foctio f fait apparaître des itervalles dépedat de, o fera attetio à ce que la limite simple e soit pas défiie sur des itervalles qui dépedet ecore de, ce qui aurait pas de ses. La même remarque est valable pour la foctio qui domie : elle e doit pas être défiie sur des itervalles qui dépedet de. Exercice.9 Pour tout N, o défiit la foctio f sur R par f (x) = e x e x. ) Motrer que f coverge simplemet sur R + et détermier sa somme f. ) Motrer que pour tout N, f est itégrable sur ], + [ et que f l est égalemet.

292 74 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios 3) Calculer 4) Comparer f (t) dt et f (t) dt et 5) Que peut-o coclure? f (t) dt = f (t) dt. ) O voit apparaître deux séries géométriques de raisos e x et e x. Pour x >, ces raisos sot das ], [, et les deux séries coverget. O obtiet alors = f (x) = = = e x = e x = e x e x e x e x e x e x = (ex +) (e x )(e x +) = +e x ) La foctio x e ax est itégrable sur R + pour a >. Doc f est itégrable sur R + si N. La foctio f est cotiue sur R + et f (x) x + e x doc f est itégrable sur R +. 3) Soit N. O a d ue part, f (t) dt = lim [ e x A + ] A + e x = =, d autre part, o vérifie que f (x) > sietseulemetsix l.aisi f (t) dt = l / ( e x e x) ( dx + e x e x) dx l / = [ e x e x] l / + [ e x e x] + = ( e l e l) =. 4) O déduit de la questio précédete que o a pour A >, f (x) dx = l. A dx +e x = A = l / f (t) dt =. Par ailleurs, e x +e x dx = [ l( + e x ) ] A, d où 5) Cela motre d ue part que le théorème d itégratio terme à terme e doit pas s appliquer ici mais surtout que l hypothèse de covergece de f (t) dt I e peut pas être remplacée par la covergece de f (t) dt. I

293 . Exercices d etraîemet 75 Exercice. Mies-Pots MP 6 Détermier lim +! dx. (x + k) k= Duod La photocopie o autorisée est u délit Soit f (x) =! = (x + k) k= ( + x k ) k= La foctio f est cotiue sur R +! et f (x) x + x. Doc f est itégrable sur R + si. O supposera pour la suite. Pour x R +,lf (x) = l( + x k ). Or l( + x k ) x k + k > et x k k= diverge. Doc lim l f (x) = et lim f (x) =. La suite de foctios + + ( f ) coverge simplemet vers la foctio ulle sur R + (l étude e est pas utile, o va appliquer le théorème de covergece domiée sur ], + [). La limite simple est cotiue sur R +. Pour domier cette suite de foctios, o costate que, pour x R +, la suite umérique ( f (x)) est décroissate (o divise par des termes plus grads que ). Aisi, pour tout et pour tout x >, o a f (x) ( + x)( + x ) = f (x). La foctio f est itégrable sur R + et le théorème de covergece domiée permet de coclure lim + Exercice. Cetrale MP 6! dx =. (x + k) k= O défiit pour N, I = dx +x. ) Motrer l existece de I pour tout N et doer la limite l de la suite (I ). ) Doer u équivalet de I l e l ifii. 3) Prouver l existece de J = l( + t) t dt et motrer que J = 4) E déduire u développemet asymptotique de I à trois termes. = ( ).

294 76 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios ) La foctio x +x est cotiue sur [, ] ce qui doe l existece de I.O pourrait appliquer le théorème de covergece domiée pour détermier la limite de I. O peut se coteter d u simple ecadremet. La suite de foctios qu o itègre coverge simplemet vers la foctio costate égale à sur [, [. O étudie la différece Aisi lim + I =. dx +x dx = x x +x dx x dx = +. ) Pour N, oai = dx. Il y a ici deux possibilités pour +x détermier u équivalet. O peut effectuer u chagemet de variable u = x puis utiliser le théorème de covergece domiée, ou bie faire ue itégratio par parties afi de faire apparaître le terme pricipal puis u terme égligeable. O choisit cette derière méthode afi de poursuivre le développemet das les questios suivates. O a x x [ x ] +x dx = l( + x ) + l( + x ) dx = l + l( + x ) dx. L ecadremet l( + x ) dx x dx = motre que le secod + terme de la somme est égligeable devat le premier. Doc I l +. l( + t) 3) La foctio g : t est cotiue sur ], ] et se prologe par cotiuité t e par la valeur. O décompose cette foctio à l aide d ue série de foctios. Pour tout t ], [, l( + t) = ( ) t et g(t) = ( ) t +. Soit, t = pour N, u : t ( ) +.Lasérie u coverge simplemet sur ], [, sa somme est la foctio cotiue g. Pour tout N, u (t) dt = ( ) ( +) et u (t) dt =, terme gééral d ue série covergete. Le théorème ( +) d itégratio terme à terme ous assure que l( + t) t dt = = ( ) + ( +) = = = ( ) = J.

295 4) O doit relier. Exercices d etraîemet 77 l( + x ) dx au calcul précédet. O utilise u chagemet de variable u = x, ce qui est possible car u u / est bijective et de classe C de ], ] sur lui-même et t l( + x ) est cotiue sur [, ] doc itégrable sur ], ]. O obtiet ( ) l( + x l( + u) ) dx = l( + u) u +/ du = du. u / O ote alors f : u l( + u) u / pour N et u ], ]. La suite de foctios ( f ) coverge simplemet sur ], ] vers la foctio f : u l( + u) u u / = exp(( /)( l u)) exp( l u) = u, puisque u ], ] et l u. Doc u ], ], N, g (u) et l( + u). u l( + u) La foctio u est cotiue et itégrable sur ], ]. Le théorème de u covergece domiée doe alors lim l( + x l( + u) ) dx = du = J. + u O obtiet fialemet I = l + J ( ) + o +. Duod La photocopie o autorisée est u délit Remarque E utilisat la somme S = S J = Exercice. Mies-Pots MP 6 Prouver l égalité = = x x dx = = p, o obtiet 6 +( ) = =. p= Pour tout x ], ], x x = exp( x l x) = f (x) = ( x l x)! 4p = S p soit J =. = ( x l x). O ote alors! pour N et x ], ], foctio qui se prologe par cotiuité

296 78 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios e, par la valeur si et par la valeur si =. Doc pour tout N, f est itégrable sur ], ]. De plus, f est positive. O évalue I, l itégrale de f sur ], ]. Pour et p das N, o défiit sur ], ] la foctio f,p par f,p (x) = x ( l x) p. Elle est cotiue sur ], ] et se prologe par cotiuité par e lorsque N. Si =, la foctio x ( l x) p est égligeable devat x x / lorsque x ted vers. Cela justifie l existece de I,p = etiers aturels. Soiet N, p N et ], [. Alors [ x x ( l x) p + dx = ( l x)p + ] + x ( l x) p dx si et p sot des p + ( l x)p x dx, + x ce qui, doe lorsque ted vers, I,p = p + I,p. Ue récurrece simple! doe alors, pour N, I = ( +) I!, =. Par coséquet ( +) + f (t) dt = f (t) dt = ( +) +. Puisque la série coverge ( +) + (o a ( +) + ( +) si ) et que f coverge simplemet vers la foctio cotiue sur ], ], x x x, o peut appliquer le théorème d itégratio terme à terme, ce qui doe x x dx = = + ( +) + =. = Exercice.3 Cetrale MP 6 ) Prouver l itégrabilité de f : x x l x +x ) Détermier la valeur des deux itégrales. sur ], [ et ], + [. O va traiter les deux itégrales séparémet. ) O étudie l itégrabilité sur ], [. La foctio f est cotiue sur ], [. Pour x ], [, o a l( x) l( + x) = x + o(x) au voisiage de doc lim f (x) =. De plus, f (x) l( x)etx l( x) est itégrable sur x x [/, [. Aisi f est itégrable sur ], [. Afi de calculer la valeur de l itégrale, o utilise le développemet e série

297 . Exercices d etraîemet 79 etière de u l( + u) sur], [. Pour x ], [, o a ( ) ( f (x) = x + x ( ) x = + ) (( ) ) x x = = = = x p+ x p = x p + p +. p= O défiit u p : x x p, foctio cotiue et itégrable sur [, ]. La p + série de foctios u p coverge simplemet sur ], [, et sa somme est la foctio f.deplus, u p (x) dx = u p (x) dx = (p +). Puisque coverge, le théorème d itégratio terme à terme s applique et (p +) f (x) dx = (p +). Remarque p= E utilisat la somme S = impairs, la valeur p= = + (p +) = p= = p, o obtiet, e séparat termes pairs et 6 = + p= (p) = S 4 S = p 8. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) La foctio f est cotiue sur ], + [, elle vérifie f (x) l(x ) et f est x + doc itégrable sur ], ]. Au voisiage de +, o écrit f (x) = x l ( /x +/x ) x + x, ce qui doe l itégrabilité de f sur [, + [. Pour le calcul, o pourrait s ispirer de la première questio et de l écriture précédete (avec /x) et utiliser le théorème d itégratio terme à terme. O peut, plus rapidemet, réaliser le chagemet de variable x = /u.eeffet f est itégrable sur ], + [etu /u est ue bijectio de classe C de ], [ sur ], + [. Alors f (x) dx = ( u u l ) ( u ) du = u + qui est l itégrale calculée précédemmet. u l ( ) u du, +u

298 8 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios Méthode Ce qu il faut savoir La derière hypothèse du théorème d itégratio terme à terme sur u itervalle I peut être mise e défaut (voir exercice suivat). Das ce cas, o peut appliquer au mois deux autres méthodes. Pour N et t I, o pose S (t) = f k (t). ) O permute d abord la somme fiie et l itégrale. O se ramèe aisi à ue permutatio etre ue limite lorsque ted vers + et ue itégrale. O applique alors le théorème de covergece domiée à la suite de foctios (S ). ) O écrit S(t) = S (t)+r (t) pour N et t I, puis S(t) dt = S (t) dt + R (t) dt. I I O utilise la liéarité de l itégrale sur la somme fiie et o motre que R (t) dt =, par exemple e majorat le reste. lim + I Exercice.4 Mies-Pots MP 7 Soit (a ) N ue suite croissate de réels strictemet positifs, de limite ifiie. Motrer ( ) e a x ( ) dx =. a = O voit très bie apparaître le théorème d itégratio terme à terme car, si a >, I = e at dt = a. O ote alors u (x) = ( ) e a x pour N. la série u est ue série de foctios cotiues et itégrables sur R + (puisque a > ). la série umérique u () diverge. Pour x >, la suite (e a x ) est décroissate vers, doc d après le critère spécial pour les séries alterées, la série umérique u (x) coverge. Aisi u coverge simplemet sur R +. O ote S sa somme. O doit prouver que S est cotiue sur R +. Pour N, u,r + = et,si A >, u,[a,+ [ = e a A. O a doc pas, e gééral, covergece ormale, i sur R +, i sur les itervalles [A, + [. O ote R le reste d ordre de la série de foctios. O sait que, pour tout x >, R (x) e a+x.aisi, pour tout x >, o obtiet R (x), ce qui e doe pas la covergece k=

299 .3 Exercices d approfodissemet 8 uiforme sur R +. E revache, si A >, pour tout x A, R (x) e a + A et Duod La photocopie o autorisée est u délit R,[A,+ [ e a + A, de limite ulle lorsque ted vers +. Lasérie u état ue série de foctios cotiues sur R + qui coverge uiformémet sur tout itervalle [A, + [ oùa >, o e déduit que S est cotiue sur tout itervalle [A, + [ oùa > doc sur R +. + Pour N, u (x) dx = et rie idique que coverge. a Le théorème d itégratio terme à terme e s applique pas. Notos alors S (x) = u k (x). O applique les deux méthodes décrites précédemmet. k= Par le théorème de covergece domiée : la suite de foctios (S )coverge simplemet vers S sur R +. La foctio S est cotiue et S l est égalemet pour tout N. D après le critère spécial pour les séries alterées, o peut majorer S (x) par so premier terme, c est-à-dire, pour tout N, pour tout x >, S (x) e ax et x e ax est itégrable sur R +. O peut doc appliquer le théorème de covergece domiée à la suite de foctios (S ), si bie que S(t) dt = lim + S (x) dx = lim + k= a u k (x) dx = k= ( ) k a k. Par majoratio du reste : pour N, o ote R = S S. Par différece, la foctio R est cotiue sur R +. Le critère spécial permet de majorer R (x) par u + (x), ce qui doe alors R (x) dx R (x) dx e a+x dx =. a + Puisque + lim + S(x) dx S (x) dx = + S (x) dx = S(x) dx et de ouveau le résultat..3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice.5 CCP MP 5 ) Pour p N et N, calculer l itégrale I,p (x) = ) Justifier alors que pour x >, lim + x! x(x +)...(x + ) = t x ( t ) p dt. t x e t dt. R (x) dx, o obtiet

300 8 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios ) O pourrait être teté de développer par la formule du biôme, mais cela doerait l itégrale sous forme d ue somme et cela e semble pas correspodre à ce qui est attedu das la secode questio. O va doc plutôt itégrer ( par parties afi de faire apparaître des produits. La foctio f : t t x t ) p est cotiue sur ], ], et puisque f (t) t x, la foctio f est itégrable sur ], ] siet t seulemet si x >. O se doe alors x > aisi que > avec < (le théorème d itégratio par parties écessite d avoir des foctios de classe C sur u segmet, ce qui est pas forcémet le cas si x ], ]). Alors les deux ( foctios t t x et t t ) p sot de classe C sur [, ] et doc t x ( t ) p x ( dt = ) p x x x + p.x ( t x ( t ) p dt. Puisque toutes les itégrales sot covergetes, o peut faire tedre vers, ce qui doe la relatio de récurrece I,p (x) = p x I,p (x + ). O applique cette relatio plusieurs fois, afi d obteir I,p (x) = p p x (x +)... x + p I,(x + p) avec I, (x + p) = I,p (x) = t x+p dt = x+p. Fialemet, o trouve p + x p! p x(x +) (x + p) x+p = ) O doit étudier la limite lorsque ted vers + de I, (x) = t x ( t ) dt. ) p p! x x(x +) (x + p). O aimerait utiliser le théorème de covergece domiée mais l itégratio e se fait pas sur u itervalle fixe. O utilise alors la méthode qui cosiste à prologer chaque foctio par pour avoir u itervalle commu. Plus précisémet, o ote f la foctio défiie sur R + par { ( t f (t) = x t ) si t ], ] si t > Cette foctio est cotiue sur ], + [ (limite ulle e ). Soit t >. Pour < t, o a f (t) =, mais lorsque > t, o a, puisqu alors t/ >, ( f (t) = t x t ) = t x exp ( l( t/) )

301 .3 Exercices d approfodissemet 83 et lim l( t/) = t. Doc, pour tout t >, lim f (t) = t x e t. + + La suite de foctios ( f ) coverge simplemet sur R + vers la foctio f : t t x e t. Soit N, pour tout t ], ], o a f (t) = t x exp ( l( t/) ) t x exp( t/) = t x e t, puisque pour tout u >, o a l iégalité l( + u) u (la cocavité de la foctio u l( + u) doe ce résultat). Doc pour tout t ], ], o a f (t) t x e t. Cet ecadremet est valable si t > puisque alors f (t) =. Fialemet N, t >, f (t) t x e t = w(t). La foctio w est cotiue et itégrable sur R +, car w(t) t x et w(t) est égligeable devat /t lorsque t ted vers +. Le théorème de covergece domiée doe avec lim + f (t) dt = f (t) dt = f (t) dt = t x ( t ) dt = I, (x) = t x e t dt, x! x(x +) (x + ). Ce qu il faut savoir O demade parfois u passage à la limite das ue suite d itégrales, avec u idice qui se situe à la fois das l itégrale mais aussi das les bores de l itégrale, si bie qu o e peut pas appliquer le théorème de covergece domiée. O prologe alors les foctios par afi d avoir u itervalle commu et aisi appliquer, si possible, le théorème de covergece domiée. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.6 Polytechique MP 7, Mies-Pots MP 7 Soit f (x) = = x ( ) (!). ) Détermier le domaie de défiitio de f. ) Détermier ue équatio différetielle du secod ordre vérifiée par f. 3) Motrer que pour tout x >, F(x) = f (t)e xt dt =. +x ) La foctio f est la somme d ue série etière. O calcule le rayo de covergece de cette série etière. Soit u (x) = ( ) (.Six et N,!) x

302 84 Chap.. Théorème de covergece domiée et applicatios u (x) et u + (x) u (x) = x, de limite ulle lorsque ted vers +. Le 4( +) rayo de covergece est doc ifii et f est défiie et cotiue sur R. ) O peut écrire f (x), f (x) et f (x) et essayer de trouver ue combiaiso etre ces foctios. Plus gééralemet, o peut partir du quotiet u + u recostituer les foctios. O pose u (x) = a x. O a, pour tout N, u + (x) = x ( +) u (x) c est-à-dire ( +) a + x + = x a x et pour x, ( +) a + x = a x. O somme ces relatios (toujours pour x ) et o recostitue les foctios. O a tout d abord, = et ( +) a + x = f (x). Pour faire apparaître f (x), o décompose ( +) = ( + )( +)+( +) cela doe f (x) = = ( + )( +)a + x + = ( +)a + x. E multipliat par x (pour faire apparaître f (x) das la derière somme), o obtiet fialemet xf(x) = xf (x) + f (x), doc f est solutio de xy + y + xy = surr mais aussi sur R par cotiuité. 3) Pour x >, F(x) = ( + = ( ) (!) t e xt ) dt. O défiit la foctio v sur R + par v (t) = ( ) (!) t e xt. La foctio v est cotiue sur R +, itégrable sur R + (puisque v (t) = o(/t )) et, à l aide du chagemet de variable u = xt, puis d itégratios par parties successives, o motre que v (t) dt = ( ) (!) Puisque v est de sige fixe, o a ce derier réel. Pour N, x + a + a u e u du = ( ) ()! (!) x +. v (t) dt = = ( + )( +) ( +) x = ()! (!) x +. O ote a + ( +)x. Cette suite ted vers /x lorsque ted vers +. Puisque x ], [, la série a coverge. De plus v coverge simplemet sur R + et la somme = v est la foctio cotiue t f (x)e xt. Le théorème d itégratio terme à terme doe F(x) = ( ) ()! (!) x +. Il reste à prouver que cette somme vaut. +x =

303 .3 Exercices d approfodissemet 85 Pour x >, +x = x = + x x où b = et, pour N, ( )( ) ) 3 ( b =! = + b x = b x + =.3...( ) = ( ) = () ()!! (!). La formule géérale est valable pour =. Si x >, o trouve la formule demadée = + ( ) ()! +x (!) = F(x). x + =

304 Itégrales dépedat d u paramètre. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION Ce qu il faut savoir { A I R ou C Soiet A et I deux itervalles de R et ue applicatio h : (x, t) h(x, t). Théorème de cotiuité : si (i) pour tout x A, t h(x, t) est cotiue par morceaux et itégrable sur I (défiitio), (ii) pour tout t I, x h(x, t) est cotiue sur A (régularité), (iii) il existe ue foctio w défiie, cotiue par morceaux et itégrable sur I telle que (x, t) A I, h(x, t) w(t)(domiatio), A R ou C alors l applicatio f : est défiie et cotiue sur A. x h(x, t) dt I Théorème de dérivatio : si (i) pour tout x A, t h(x, t) est cotiue par morceaux et itégrable sur I (défiitio), (ii) pour tout t I, x h(x, t) est de classe C sur A (régularité), (iii) pour tout x A, t h (x, t) est cotiue par morceaux et itégrable sur x I, (iv) il existe ue foctio c défiie, cotiue par morceaux et itégrable sur I telle que (x, t) A I, h (x, t) c(t)(domiatio), x A R ou C alors l applicatio f : est de classe C x h(x, t) dt sur A et pour I tout x A, f h (x) = (x, t) dt. x I Remarque L itégrabilité das l hypothèse de défiitio du théorème de cotiuité est pas écessaire puisqu elle est coséquece de la domiatio par ue foctio itégrable. E revache il e faut pas oublier de vérifier la cotiuité par morceaux. Cepedat das beaucoup d exercices où l itervalle A est à

305 . L essetiel du cours et exercices d assimilatio 87 détermier, la première hypothèse reviet exactemet à se poser la questio de l esemble de défiitio de f. Il est importat de compredre la double coclusio du théorème de dérivatio. Sous les hypothèses doées, la foctio f est de classe C et o coait sa dérivée. Ue telle foctio peut-être de classe C sas que sa dérivée soit doée par f h (x) = (x, t) dt. x I Exercice. CCP PSI 7, CCP PC 6 ) Étudier l existece, la cotiuité et la dérivabilité sur R de f : x e t cos(xt) dt. ) Détermier ue équatio différetielle simple vérifiée par f et e déduire ue p valeur simple pour f (x) (o pourra admettre que f () = ). Duod La photocopie o autorisée est u délit ) O défiit h(x, t) = e t cos(xt) pour (x, t) R R +. Existece : soit x R, la foctio t h(x, t) est cotiue sur [, + [. Pour tout t R + o a e t cos(xt) e t et t e t est itégrable sur R + (par exemple parce qu elle est égligeable devat t e t e + ). Aisi, pour tout x R, t h(x, t) est itégrable sur R +, ce qui reviet à dire que f est défiie sur R. Cotiuité : o applique le théorème de cotiuité. Pour tout x R, t h(x, t) est cotiue sur R + (et itégrable sur R + ) et pour tout t R +, x h(x, t) est cotiue sur R. Deplus, x R, t R +, h(x, t) e t = w(t), et w est cotiue et itégrable sur R +. Doc f est cotiue sur R. Dérivabilité : la foctio t h(x, t) est cotiue et itégrable sur R + pour tout x R. Pour tout t R +, la foctio x e t cos(xt) est de classe C sur R, avec h (x, t) = t si(xt)e t et x x R, t R +, h (x, t) x = si(xt) te te t t = c(t), où c est cotiue sur R + et itégrable sur R + (par exemple parce que c(t) = o t + ( t )). Doc f est de classe C sur R avec, x R, f (x) = t si(xt)e t dt.

306 88 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre Remarque O peut évidemmet se coteter de motrer que f est de classe C, sas établir d abord la cotiuité. Das ce cas, o e doit pas oublier de prouver l itégrabilité de t h(x, t)surr + pour x fixé das R. ) La valeur obteue pour f (x) ous ivite à ous diriger vers ue itégratio par parties (o dispose d ue primitive immédiate de t te t.soitx R. Les foctios u : t et v : t si(xt) sot défiies et de classe e t C sur R +. Soit A >, o peut alors écrire A ( si(xt) te t) [ ] A dt = x A cos(xt)e si(xt)e t t dt, ce qui doe, lorsque A ted vers +, f (x) = x f (x) pour tout x R. La résolutio de cette équatio différetielle doe Ce qu il faut savoir x R, f (x) = f ()e x /4 = p e x /4. Remarques autour de la foctio domiate O se place das le cas du théorème de cotiuité (les remarques sot idetiques pour le théorème de dérivatio). La meilleure foctio possible est doée par w (t) = sup f (x, t), dasle x A ses où il est pas possible de trouver ue foctio iférieure à celle-ci qui vérifie l hypothèse de domiatio. Si cette foctio est pas itégrable sur I, alors il est impossible d appliquer le théorème de cotiuité, o peut se tourer alors vers la domiatio locale (voir exercice.4, page 9 et remarque qui suit page 9). Pour trouver ue domiate, o peut décomposer f e facteurs et majorer séparemet les facteurs. Lorsqu u facteur e déped pas de la première variable (x avec les otatios précédetes), la meilleure solutio est de e surtout pas chercher à le majorer, cela e peut que créer des problèmes d itégrabilité supplémetaires (par exemple o e majore pas t +t par, car cela crée ue t difficulté d itégratio e qui existait pas avat). Exercice. Mies-Pots MP 7 Existece et calcul de f (x) = si(xt)e t dt. t

307 . L essetiel du cours et exercices d assimilatio 89 Si o peut appliquer le théorème de dérivatio, o pourra alors calculer assez facilemet f (x) = cos(xt)e t dt.soith(x, t) = si(xt)e t pour x R et t >. t Pour tout x R, g x : t h(x, t) est cotiue sur R xt +. g x (t) = x et g x t t admet ue limite fiie e. Efi g x (t) = o t + (e t ). Aisi, pour tout x R, la foctio g x est cotiue et itégrable sur R + (o motre aisi la défiitio de f sur R). Pour tout t >, x h(x, t) est de classe C sur R + et pour t > et x R, oa h x (x, t) = cos(xt)e t aisi que h (x, t) x e t. Puisque t e t est itégrable sur R +, le théorème de dérivatio s applique et pour tout x R, f (x) = cos(xt)e t dt. O calcule cette itégrale facilemet : ( ) ( ) f (x) = Re e (+ix)t dt = Re = +ix +x. Puisque f () =, pour tout x R, f (x) = Arcta x. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.3 CCP PC 7 O pose pour tout x R, F(x) = f (x, t) dt où f (x, t) = Arcta(xt) t( + t ). ) Vérifier que la foctio F est bie défiie sur R et impaire. ) Justifier que F est de classe C sur [, + [ et calculer F (x) pour tout x [, + [. 3) Exprimer pour tout x [, + [, F (x) sas le symbole. O pourra utiliser sas la démotrer l idetité suivate : x R \{, }, ( + t x )( + t ) = ( x +t x ) +t x. E déduire le calcul de F(x) pour tout x [, + [, puis pour tout x R. ( ) Arctat 4) Déduire de ce qui précède la valeur de l itégrale dt. t ) Pour motrer que F est bie défiie sur R, il suffit de vérifier que pour tout x R, la foctio f x : t f (x, t) = Arcta(xt) t( + t est itégrable sur ], + [. Pour tout ) x R xt,oa f (x, t) t t = x et f x est itégrable sur ], ] car prologeable par cotiuité e. De plus, pour tout t >, o a f (x, t) p/ t 3, doc f x est

308 9 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre itégrable sur [, + ]. Fialemet f x est itégrable sur R + et F est défiie sur R. Comme Arcta est impaire, F est impaire et il suffit d étudier F sur [, + [. ) Pour tout t ], + [, l applicatio x f (x, t) est de classe C sur R et o a f x (x, t)= (+t x )(+t ). Pour tout t R + et tout x R +,oa f (x, t) x +t. L applicatio t +t est itégrable sur R+. Le théorème de dérivatio etraîe que F est de classe C sur R et égalemet, pour tout x R +, F (x) = ( + t x )( + t dt. Pour tout x [, + [ etx, e utilisat ) l idetité doée aisi que l itégrabilité sur R + des foctios qui apparaisset das cette idetité, F (x) = x lim A + [Arcta t x Arcta(xt)]A = p x x = p +x. Par ailleurs, F est cotiue sur [, + [, doc pour tout x [, + [, o a F p (x) =. Sachat que F() =, o a alors pour tout x [, + [, ( + x) F(x) = p l(+x). Puisque F est impaire, o a F(x) = F( x) = p l( x) lorsque x <. Pour tout x R, o a alors F(x) = sige(x) p l( + x ). 3) E itégrat par parties, o trouve, si A >, A Arcta t t( + t ) dt = Lorsque A ted vers +, o obtiet Exercice.4 D après plusieurs cocours Soit f la foctio défiie par f (x) = [ (Arcta t) t ] A A (Arcta t) + t dt. ( ) Arcta t dt = F() = p l. t Arcta(xt) +t dt. ) Motrer que f est cotiue sur R et de classe C sur I =], + [. ) Détermier f et calculer cette itégrale. O détermiera des costates a et b telles que ( ) Arcta(xt) t x +t = a +t + b t +x t. 3) Détermier la limite de f e +.

309 . L essetiel du cours et exercices d assimilatio 9 O ote h(x, t) = Arcta(xt) +t pour (x, t) R R +. ) Pour tout x R, la foctio t h(x, t) est cotiue sur [, + [. Pour tout t R +, la foctio x h(x, t) est cotiue sur R. Efi, pour tout (x, t) R R +,oa h(x, t). Comme t est ue foctio +t +t cotiue et itégrable sur R +, o e coclut que f est défiie et cotiue sur R. La foctio h est de classe C sur R R + et h t (x, t) = x ( + x t )( + t ).Le meilleur majorat possible de cette derière foctio, idépedat de x R, est sup h (x, t) x R x t t.maist +t +t est pas itégrable sur R+,oe peut doc pas appliquer le théorème de dérivatio sur R. O remarque que pour x =, la foctio t h (, t) = t x +t est pas itégrable sur R+. Il est doc impossible d appliquer le théorème de dérivatio sur u itervalle coteat. O choisit alors a >. O a x [a, + [, t R +, h (x, t) x t ( + a t )( + t ) = c(t). Duod La photocopie o autorisée est u délit Cette foctio c est itégrable sur R + (cotiue sur R + et équivalete à t /(a t 3 ) lorsque t ted vers + ). De plus (x, t) h (x, t) est cotiue sur [a, + [ R +. Doc f est de classe C sur [a, + [ avec, pour tout x a, x f t (x) = ( + x t )( + t dt. Cette dérivée est valable sur tout itervalle ) [a, + [ aveca >. Doc f est de classe C sur R + (et doc sur R par parité). La foctio f est positive sur R + et f est croissate sur R +. ) O a déjà motré que pour tout x >, o a f t (x) = ( + x t )( + t ) dt. O décompose la fractio ratioelle e élémets simples. Pour x, o obtiet t ( + x t )( + t ) = t x +t x t x +x.soita >, o a t A t ( + x t )( + t ) dt = ( x ) l( + A ) = La limite lorsque A ted vers + est ( x ) l ( +A +x A ( ) ( x ) l x f est cotiue sur R +, doc f () = lim x f (x) =. ( x ) l( + x A ) ). = l x x. La foctio

310 9 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre 3) f est croissate, elle admet doc ue limite e +, fiie ou ifiie. O la ote l. Lorsque x deviet grad, le terme Arcta(xt) se rapproche de p/ (sauf pour t = ). Pour tout x >, f (x) p dt +t = p. O e déduit que la limite 4 l est fiie et l p. O propose deux méthodes pour détermierer l. 4 Arcta xt Soit a >. O a f (x) +t dt Arcta(ax) a a dt +t. Lorsque x ted vers +, o obtiet la mioratio l p dt a +t. Cette mioratio est valable pour tout a >, doc lorsqu o fait tedre a vers, o obtiet l p p. Fialemet lim f (x) = 4 x + 4. Puisque f admet ue limite fiie l e +, o a par exemple, lim f () = l. + Arcta(t) Or f () = +t dt.soitg (t) = Arcta(t) +t. La foctio g est cotiue sur R +, itégrable sur R +, la suite (g ) coverge simplemet vers t p/ +t sur R + et, pour tout N et tout t, g (t) p/ +t.la foctio t p/ +t itégrable sur R +, doc le théorème de covergece domiée etraîe lim f () = + Ce qu il faut savoir domiatio locale p/ p dt = +t 4 = l. Lorsqu o e parviet pas à appliquer les théorèmes de cotiuité et de dérivabilité sur u itervalle A (les foctios majorates obteues e sot pas itégrables sur l itervalle I ), o peut essayer d utiliser ces théorèmes sur les segmets iclus das A. O prouve alors la cotiuité ou la dérivabilité sur tout segmet iclus das A. Cela etraîe la même propriété sur l uio de tous ces segmets, c està-dire sur A. Remarque O fera attetio à la rédactio das ce gere de problèmes. O fixe u segmet [a, b] A, o applique le théorème sur ce segmet pour coclure das u premier temps que la foctio possède la régularité souhaitée sur le segmet, puis sur A tout etier. O peut appliquer la même méthode sur u itervalle ]a, + [ e appliquat les théorèmes de cotiuité ou de dérivabilité sur les itervalles [b, + [ ]a, + [.

311 . Exercices d etraîemet 93. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice.5 Mies-Pots MP 7 ( x Soiet f (x) = e dt) t et g(x) = e x (+t ) +t dt. ) Motrer que f et g sot de classe C sur R + et détermier leur dérivée. ) Motrer que pour tout x, o a f (x)+g(x) = p 4. 3) E déduire I = e t dt. Duod La photocopie o autorisée est u délit x ) O pose f = F où F : x e t dt est la primitive s aulat e de x e x. La foctio F est de classe C sur R +. Doc f l est égalemet, avec x pour tout x, f (x) = F (x)f(x) = e x e t dt. (+t ) Posos h : (x, t) e x +t pour (x, t) R + [, ]. Pour tout x, t h(x, t) est cotiue sur [, ] et doc itégrable sur [, ]. Pour tout t [, ], x h(x, t) est de classe C sur R + avec h (x, t) = )x xe (+t. x Pour (x, t) R + [, ], h (x, t) x ett est cotiue et itégrable sur [, ]. Doc g est de classe C sur R + avec, pour tout x, g (x) = x e x (+t ) dt = e x e x t xdt. Le chagemet liéaire x u = xt doe x R +, g (x) = e x e u du. ) D après les calculs précédets, f + g est de classe C sur R +, de dérivée ulle. La dt foctio f +g est doc costate. Or f () = etg() = +t = Arcta = p 4. Pour tout x, f (x)+g(x) = p 4. 3) La foctio w : t e t est itégrable sur R + car w est cotiue sur R + et w(t) = o t + (e t ). Aisi lim f (x) = I. O détermie la limite de g e x + + par ecadremet. Pour x, o a g(x) e x +t dt = p 4 e x.

312 94 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre Par ecadremet, o obtiet p I, o obtiet I =. Exercice.6 Mies-Pots MP 7 ) Étudier J(x) = e t e itx t lim x + g(x) =. E coclusio I = p 4 dt. et puisque ) À l aide d ue itégratio par parties, détermier ue équatio différetielle liéaire d ordre vérifiée par J et e déduire ue forme simplifiée de J(x) p (o rappelle que e t dt = - voir exercice précédet). ) O défiit h(x, t) = e t e itx pour (x, t) R R t + (o choisit ces deux itervalles car il y a aucu problème de défiitio sur x et car o itègre - par rapport à t -deà+ ue foctio qui est pas défiie e. La dépedace e x se situe simplemet das e ixt, complexe de module. Les domiatios sur R vot être très simples à obteir. Pour tout x R, t h(x, t) est cotiue sur R + Pour tout t >, x h(x, t) est de classe C sur R avec h x (x, t) = i te t e itx. Pour tout x R, oa h(x, t) = e t = w(t). Or w est cotiue sur R t + et ( ) vérifie w(t) t, aisi que w(t) = o t t + t, ce qui permet de motrer que w est itégrable sur R +. Aisi, pour tout x R, t h(x, t) est itégrable sur R +. De même, o a, pour x R et t >, h x (x, t) = te t = c(t) avecc cotiue et itégrable sur R +. D après le théorème de dérivatio, la foctio J est de classe C sur R avec, pour tout x R, J (x) = i te t e ixt dt. ) O doit trouver ue relatio etre J et J à l aide d ue itégratio par parties. Les écritures de J et J fot apparaître trois facteurs. O peut regrouper les deux expoetielles afi d avoir u seul produit et aisi réaliser l itégratio par parties (e costatat de plus que t s itègre e t t). Les foctios utilisées t

313 . Exercices d etraîemet 95 sot de classe C sur u segmet [a, b] R +. O obtiet alors b a t e (ix )t dt = [ te (ix )t] b a (ix ) b a te (ix )t dt. O a lim be b e ixb = (le module est be b de limite ulle par croissaces comparées) et lim ae a e ixa =. O obtiet alors, e passat aux b + a limites, J(x) = (ix ) te (ix )t dt = (ix ) J (x) = (x + i)j (x) i Fialemet J vérifie sur R l équatio différetielle J (x) = x i (x +) J(x). Ue primitive de x x i (x +) = x (x +) + i (x +) est la foctio x 4 l( + x )+ i Arcta x. Aisi il existe u réel C tel que, pour tout x R, C + o ait J(x) = ( + x ) e i /4 Arcta x e t.oac = J() = dt. Le chage- t met de variable t = u das cette itégrale doe C = p Fialemet, x R, J(x) = ( + x ) e i /4 Arcta x. Remarque e u du = p. O fera attetio ici à e pas predre comme primitive de x la foctio x + i x l(x + i) qui est pas défiie, i même x l x + i qui e coviet pas. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.7 Cetrale MP 5 O défiit, pour x R, f (x) = e ( t + x t ) dt. ) Motrer que f est défiie et cotiue sur R. ) Motrer que f est de classe C sur R +. 3) Détermier ue équatio différetielle simple vérifiée par f (o utilisera u chagemet de variable). 4) E déduire ue expressio simple de f sur R.

314 96 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre ( ) O ote h(x, t) = e t + x t pour (x, t) R R +. ) Pour tout x R, la foctio t h(x, t) est cotiue sur R +, pour tout t >, la foctio x h(x, t) est cotiue sur R, et pour (x, t) R R +,oa h(x, t) e t = w(t). La foctio w est itégrable sur R + (elle est cotiue sur R + et égligeable devat e t lorsque t ted vers + ). Doc f est cotiue sur R. ) Pour (x, t) R R +, o a h ( (x, t) = x x t e t + x t ). Ue majoratio ( ) simple de e t + x t par e t e permet pas d aboutir car t t est e t a t e pas itégrable sur ], ]. Soit [a, b] R +. Pour x [a, b] et t >, h (x, t) x b ( ) t e t + a t = c(t). La foctio c est cotiue sur R +.Oa b c(t) t, doc c(t) ted vers lorsque t ted vers par valeurs supé- t rieures (l expressio est de la forme u e u avec u qui ted vers +, et la limite est ulle par croissaces comparées). Efi c(t) = o ( ). Le théorème t + t de dérivatio implique que la foctio f est de classe C sur tout segmet [a, b] R +. Fialemet f est de classe C sur R + avec, pour tout x >, ( ) f x (x) = t e t + x t dt. 3) O cherche à relier f (x) à f (x). Ue itégratio par parties aboutit pas. O cherche u chagemet de variable. Le seul evisageable est celui qui échage t et x /t, c est-à-dire u = x/t ou t = x/u. La foctio u x/u est ue bijectio C de R + sur lui-même, aisi, si x >, f u (x) = x exp ( x /u u ) ( x ) u du = f (x). + 4) La foctio f est solutio sur R + de l équatio différetielle y +y =. Il existe A R tel que, pour tout x >, f (x) = Ae x. E utilisat la cotiuité de f sur p R, o trouve A = f (). De plus, f () = e t dt =. Par parité, pour p tout x R, f (x) = e x. Exercice.8 Mies-Pots MP 5 ) Motrer que la foctio f : x ) Motrer que f est cotiue sur R. l(x + t ) +t dt est défiie sur R.

315 . Exercices d etraîemet 97 3) Motrer que f est de classe C sur R + et doer ue expressio simple pour f (x). 4) Détermier lim ( f (x) p l x). x + 5) E déduire ue expressio simple pour f sur R. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Il faut que x + t reste strictemet positif. Puisqu o veut étudier la cotiuité sur R, o doit cosidérer l itégrale sur ], + [. Soit h :(x, t) l(x + t ) +t défiie sur R R +. Pour tout x R, la foctio t h(x, t) est cotiue sur R +.Six, la foctio t h(x, t) est cotiue sur [, ]. Pour x =, la foctio t h(, t) est cotiue sur ], ] et h(, t) lt. Das les deux t situatios, la foctio t h(x, t) est itégrable sur ], ]. Efi, si x R, o lt a h(x, t) t + t = o ( ). Aisi, pour tout x R, t h(x, t) est t + t 3/ itégrable sur R + et f est défiie sur R. ) O a déjà vérifié les premières hypothèses du théorème de cotiuité. De plus, pour tout t >, x h(x, t) est cotiue sur R. Il est impossible d obteir ue domiatio idépedate de x lorsque x parcourt R, car, pour tout t >, sup h(x, t) = +.SoitA >. Pour t > etx [ A, A], x R l t l(x + t ) l(a + t ) (puisque x [, A ] et que la foctio logarithme est croissate sur R +). Cela permet de majorer h(x, t) par +t max( l t, l(a + t ) ). O pourrait utiliser cette foctio pour domier ou, si o veut se débarrasser de la foctio maximum, predre w(t) = l t + l(a + t ) +t (le maximum de deux ombres positifs est iférieur à leur somme). O motre facilemet que w est itégrable sur R + car, pour tout t >, o a w(t) = h(, t) + h(a, t). Aisi f est cotiue sur tout segmet [ A, A] aveca >, doc f est cotiue sur R. 3) Pour tout t >, la foctio x h(x, t) est de classe C sur R avec, pour tout (x, t) R R +, h x (x, t) = x (x + t )( + t. Afi de domier facilemet cette ) quatité, o va majorer x (pour majorer facilemet le umérateur) et empêcher x de s approcher de (pour le déomiateur). Soit [a, b] R +. Pour tout x [a, b] et t >, h (x, t) x b (a + t )( + t = c(t). La foctio c est itégrable sur ) R + (cotiue, limite fiie e et c(t) = O (/t 4 )). Aisi f est de classe C t + sur [a, b], pour tout segmet [a, b] R + avec f x (x) = (x + t )( + t ) dt. Doc f est de classe C sur R +. Afi de calculer cette itégrale, o décompose

316 98 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre la fractio ratioelle e élémets simples. Si x > etx, o a, pour tout u R +, x (x + u)( + u) = x ( x x + u ). +u dt O rappelle que si a >, o a t + a = p. Pour x > etx, a f (x) = x ( p x x p ) = p +x. Par cotiuité de f sur R +, cette relatio est valable e. Doc, pour tout x >, f (x) = p +x. 4) Lorsque x est grad, o s atted à ce que f (x) soit proche de Cette derière itégrale vaut (p/) l x = p l x. Pour x >, o a f (x) p l x = l(t + x ) l(x ) +t dt = l(x ) +t dt. l ( +t /x ) +t dt. O effectue le chagemet liéaire t = ux das l itégrale précédete, o obtiet, l( + u ) si x >, f (x) p l x = +u xdu. Pour tout u >, o a l ecadremet x x l( + u ) +u x x l( + u ) u x = l( + u ) x u. La foctio u l( + u ) u est itégrable sur R +. E combiat tout cela, o obtiet, lorsque x >, f (x) p l x l( + u ) x u du. Par ecadremet, o aboutit à lim ( f (x) p l x) =. x + 5) Pour tout x >, o a f (x) = p. Il existe u réel C tel que, pour tout x >, +x f (x) = p l( + x) +C. La questio précédete doe la limite lorsque x ted ( vers + de f (x) p l x = C + p l + ). Cela doe C =. Pour tout x x >, f (x) = p l( + x) et, par parité, pour tout x R, f (x) = p l( + x ). Exercice.9 Mies-Pots PC 6 (Foctio G) O défiit, lorsque c est possible, G(x) = t x e t dt. ) Détermier l esemble de défiitio D de G. ) Motrer que G est cotiue sur tout segmet [a, b] D.

317 . Exercices d etraîemet 99 3) Motrer que G est de classe C puis C sur tout segmet [a, b] D. E déduire que G est de classe C sur D et détermier G et G. 4) Motrer que G est ue foctio covexe. 5) Motrer que pour tout x >, o a G(x +)= xg(x). 6) Calculer G(), et motrer que pour tout N,oaG( +)=!. 7) Détermier u équivalet de G(x) lorsque x ted vers. E déduire la limite de G e. 8) Doer la limite de G e +, aisi que celle de x G(x)/x. 9) Doer l allure de la courbe représetative de G. O défiit, pour x R et t >, h(x, t) = t x e t = e (x ) l t e t. ) Pour tout x R, t h(x, t) est cotiue sur R +.Oah(x, t) t x,eth est t itégrable sur ], ] si et seulemet si x >, c est-à-dire si x >. De plus lim t (t x e t ) =, aisi, pour tout x R, h(x, t) = o (/t ). La foctio t + t + h est itégrable sur [, + [. Doc G est défiie sur R +. ) Soit [a, b] R +. Pour tout x >, t e (x ) l t e t est cotiue et itégrable sur R +. Pour tout t >, x h(x, t) est cotiue sur R +. O cherche à domier h(x, t) idépedammet de x [a, b]. Le terme e t e déped pas de x. Ilfaut détermier u majorat de x t x. E le mettat sous la forme e (x ) l t,le maximum est atteit e a lorsque t (car l t est égatif) et e b lorsque t >. O pose alors { t a e t si t ], ] w(t) = t b e t si t > Duod La photocopie o autorisée est u délit w est cotiue par morceaux sur R + (elle est même cotiue car les deux morceaux se raccordet e ). Elle est itégrable sur ], ] et [, + [ (voir questio précédete). Aisi G est cotiue sur tout segmet [a, b] R +. Doc G est cotiue sur R +. 3) Pour tout x [a, b], t h(x, t) est cotiue et itégrable sur R +. Pour tout t R +, x h(x, t) est de classe C sur [a, b] et h x (x, t) = (l t)t x e t.e utilisat la foctio w précédete, o a x [a, b], t >, h (x, t) x l t w(t) = c(t). La foctio c est cotiue sur R +,ett c(t) ted vers lorsque t ted vers + par croissaces comparées. Doc c est itégrable sur [, + [. De plus, o a l t c(t). Puisque a <, la foctio c est itégrable sur ], ] (d après t t a l exercice.4). Le théorème de dérivatio motre que G est de classe C sur

318 3 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre [a, b]. Pour motrer que G est de classe C, o utilise la même méthode sur h x avec h x (x, t) = (l t) h(x, t). La domiatio est réalisée par la foctio t (l t) w(t), et so itégrabilité se prouve de la même maière. Alors G est de classe C sur [a, b]. Tout cela permet de coclure que G est de classe C sur R + avec, pour tout x >, G (x) = (l t)t x e t dt et G (x) = (l t) t x e t dt. 4) Pour x >, G (x) est égale à l itégrale d ue foctio positive et o idetiquemet ulle sur R +. Doc G est strictemet positive sur R + et G est (strictemet) covexe. 5) Soit x >. O se doe A > >. O a A t x e t dt = [ t x e t] A A + x t x e t dt. Puisque x >, xe ted vers lorsque ted vers et A x e A verse+. O obtiet, lorsque ted vers et A vers +, G(x +)= xg(x). 6) G() = e t dt = etg( +)=! se motre par récurrece, à l aide de la relatio de la questio précédete. 7) Pour x >, o a G(x) = G(x +). Puisque G est cotiue sur R + et que G(), x o a G( + x) G() =. Doc G(x) x x x. 8) La foctio G état covexe, elle admet ue limite e +.OrG( +)=! pour 9) etier. Doc G(x) lim G(x) = +. Pour x >, x + x + lorsque x ted vers +. Doc lim x G(x) x = +. = x G(x ), de limite x 3 4 5

319 .3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT.3 Exercices d approfodissemet 3 Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice. Cetrale MP 7 K O défiit pour x R, lorsque c est possible, F(x) = ) Justifier l existece de e it dt. e ( t +i)x t i ) Détermier le domaie de défiitio de F et motrer que F est cotiue. 3) Motrer que F est de classe C sur R + et détermier F. 4) Calculer lim F(x) et e déduire ue forme simplifiée pour F. x + 5) À l aide de F(), détermier la valeur des itégrales cos(u ) du et si(u ) du O défiit h :(x, t) e( t +i)x t i sur R R +. ) Soit g(t) = e it. La foctio g est défiie et cotiue sur R + mais est pas itégrable sur R + puisque g =. Si l itégrale existe, c est e tat qu itégrale covergete. Afi de e pas créer de ouveau problème e o s itéresse à l itégrale de à +. SoitX >, o effectue d abord le chagemet de variable t = u das l itégrale défiie X d augmeter le degré du moôme au déomiateur. Alors X X e it dt = e iu du [ ] e iu X u = i + u 4i g(t) dt, puis ue itégratio par parties afi X e iu u dt du. 3/ X La terme eix ted vers lorsque X ted vers +. L itégrale du X u3/ admet ue limite fiie lorsque X ted vers + car u e iu u 3/ est itégrable sur [, + [. Cela doe l existece d ue limite fiie pour ted vers +. Les itégrales e it dt et X e iu e it dt lorsque X e it dt sot doc covergetes. ) Soit x R. La foctio t h(x, t) est cotiue sur R + et pour tout t, o a t h(x, t) = e x t 4 + = w(t). La foctio w est cotiue et itégrable t 4 + sur R + (car w(t) ). Comme, pour tout t, la foctio x h(x, t) est t + t cotiue sur R, o e déduit que F est défiie et cotiue sur R. DeplusF est paire. O peut doc limiter l étude à R +.

320 3 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre 3) La foctio h est de classe C sur R + R +. Cela doe les différetes coditios de cotiuité et dérivabilité écessaires au théorème de dérivatio. Pour (x, t) (R + ) h, (x, t) = t xe x e ix. Il est difficile de majorer cette x foctio par ue foctio itégrable sur R + idépedate de x si x est das u itervalle qui cotiet. Soit [a, b] R +. Pour (x, t) [a, b] R +, h (x, t) x t = c(t) oùc est itégrable sur R +.AisiF est de classe be a C sur [a, b] avec, pour tout x [a, b], F (x) = xe ix e x t dt.cela état vrai sur tout segmet [a, b] R +, F est de classe C sur R + avec, pour tout x >, F (x) = e ix xe x t dt = e ix e u du, e utilisat le chagemet de variable liéaire u = xt. Puisque p e u du =, o obtiet fialemet, pour tout x >, F (x) = pe ix. O remarque que F admet p pour limite e à droite. La foctio F état paire, F est impaire doc admet p pour limite e à gauche. F est pas dérivable e. 4) Ue majoratio simple doe pour x >, e t x F(x) t i dt e t x dt = e u du. x La derière égalité s obtiet par chagemet de variable u = xt. Par ecadremet, o a lim F(x) =. F est l uique primitive de x pe ix x + qui admet ue limite ulle e +. Il existe u complexe A tel que, pour tout x >, F(x) = A p A = p x e it dt. La limite lorsque x ted vers + doe e it dt. Fialemet, pour tout x >, F(x) = p 5) D après la covergece de l itégrale x e it dt. e it dt et la cotiuité de F sur R, o a F() = dt p e it dt. Il reste à calculer F() = t. O factorise i t i = (t e ip/4 )(t + e ip/4 ), o décompose la fractio e élémets simples, ce qui doe t i = ( ) e ip/4 t e. Pour t R +, o écrit ip/4 t + e ip/4 t e = ip/4 (t ) i = (t )+ i (t ) +.

321 .3 Exercices d approfodissemet 33 La foctio t ( l (t ) + ) ( ) + i Arcta t est ue primitive de t. À l aide d ue primitive semblable pour la secode foctio, t eip/4 o obtiet F() = i(p/) = p eip/4. E séparat partie réelle et partie imagiaire, e ip/4 cos(u ) du = si(u ) du = p 8. Exercice. Mies-Pots PC 5 (et plus) K O défiit, lorsque c est possible, F(x) = ) Détermier le domaie de défiitio de F. ) F est-elle cotiue? 3) Sur quel itervalle F est-elle C? 4) Motrer que pour tout x réel, o a F(x) = = si(xt) e t dt. x x +. 5) Doer le développemet e série etière de F autour de. Duod La photocopie o autorisée est u délit O ote h(x, t) = si(xt) e t pour x R et t R +. ) Soit x R. La foctio g x : t h(x, t) est défiie et cotiue sur R +. Puisque g(t) = x, o peut prologer g x par cotiuité e et g x est itégrable sur t ], ]. De plus g x (t) = O t + (e t )etg x est itégrable sur [, + [. Fialemet, la foctio g x est cotiue et itégrable sur R + pour tout x R. Doc f est défiie sur R, et o motre facilemet que f est impaire. t xt ) Pour tout x R, t h(x, t) est cotiue et itégrable sur R +. Pour tout t >, x h(x, t) est cotiue sur R. La difficulté viet de la domiatio. Si o majore si xt par, o obtiet u majorat e t o itégrable sur t t t ], ]. O utilise la majoratio si u u qui doe h(x, t) x e t pour (x, t) R R +. Mais ce majorat déped de x. SoitA >. Pour tout x [ A, A] ett >, o a h(x, t) A t e t. La foctio w : t A t e t est itégrable sur R + car w est cotiue sur R +, admet pour limite A lorsque t

322 34 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre ted vers, et est égligeable devat t /t e +. Doc f est cotiue sur [ A, A] pour tout A >, doc f est cotiue sur R. 3) O défiit l hypothèse de récurrece, pour N, P() : f est de classe C sur R et, x R, f () (x) = t si(xt+ p ) e t dt. Pour tout N, o ote u :(x, t) si(xt + p ) t e t. La questio précédete doe P(). Soit N tel que P(). Pour tout x R, t u (x, t) est cotiue et itégrable sur R + (d après l hypothèse de récurrece), pour tout t >, x u (x, t) est de classe C sur R avec u x = u +. Efi, pour x R et t >, u + (x, t) t + e t = c (t). La foctio c est cotiue sur R +,admet ( ue limite fiie e ( e gééral, si = ), et c (t) = o t + t ). Doc c est itégrable sur R +, et le théorème de dérivatio motre que f () est de classe C sur R avec la dérivée souhaitée. Par récurrece, P() est vérifiée pour tout N,et f est de classe C sur R. 4) Soit x R. La foctio a : t si(xt) e t est cotiue sur ], + [ et itégrable sur ], + [. O décompose e t e somme de termes d ue série géométrique. Puisque t >, e t >, ce qui e permet pas d utiliser la somme d ue série géométrique de raiso e t. O factorise par e t, et puisque e t ], [, o obtiet t >, e t = e t e t = e t = e t = = e t. Pour N,odéfiita sur R + par a (t) = e t si(xt). Chacue des foctios a est cotiue et a coverge simplemet sur R +. La somme de cette série de foctios est la foctio a, puisque la série proviet de la décompositio de a. La foctio a est cotiue sur R +. Pour tout t >, o a a (t) e t et a est itégrable sur R +. Efi, si A >, ( A ) A ( e a (t) dt = Im e ( ix)t A e ixa ) dt = Im. ix La limite lorsque ted vers l ifii doe (puisque e A ted alors vers et que e ixa + ix est boré), a (t) dt = Im( ) = Im( ix + x ) = x + x.o espère alors pouvoir appliquer le théorème d itégratio terme à terme. Hélas, a (t) dt est pas facile à évaluer. O obtiet facilemet la majoratio

323 .3 Exercices d approfodissemet 35 a (t) dt le théorème. O affie la majoratio de e t dt =, mais cela e permet pas d appliquer a (t) dt. O a, pour t >, a (t) = si(xt)e t. Pour grad, très rapidemet la foctio pred des valeurs petites, si bie que la cotributio importate das l itégrale se fait autour de. Le choix de majorer si(xt) par est doc assez mauvais. O peut plutôt majorer si(xt) par xt. Cette majoratio est plus mauvaise pour les grades valeurs de x mais elle sera largemet compesée par l expoetielle. E itégrat par parties, o obtiet Duod La photocopie o autorisée est u délit a (t) dt x te t dx = x e t dt = x. Fialemet a (t) dt est covergete, et o peut appliquer le théorème d itégratio terme à terme, ce qui doe le résultat demadé. 5) O effectue les calculs et les permutatios sas les justifier afi de voir où cela mèe : ( + + ) F(x) = e t ( ) (xt)+ dt (.) ( + )! = ( + + ) ( ) t + = ( + )! e t x + dt (.) = ( ( ) t + ) = ( + )! e t x + dt (.3) = = ( ) ( + )! = t + ( t + ) e t dt x + (.4) O ote, pour N, I = e t dt. Das l exercice.6, o motre que I = G( +)z( +)oùg( +) = ( + )! (voir exercice.9) et + z(x) = p x lorsque x >. O obtiet alors F(x) = ( ) z( +)x +. p= Il reste à justifier les calculs et détermier pour quelles valeurs de x ils sot valables. La formule. utilise que le développemet e série etière de la foctio sius, valable sur R, les formules. et.4 e sot que des réécritures. Il reste à justifier l itégratio terme à terme de.3. O défiit u sur =

324 36 Chap.. Itégrales dépedat d u paramètre t + R + par u (t) = ( ) ( + )! e t x +. Pour tout N, u est cotiue et itégrable sur R + (voir les méthodes des questios précédetes), la série de foctios u coverge simplemet sur R +,et = u est la foctio cotiue sur R + t si(xt) e t. Efi, o a u (t) dt = I x + ( + )! = z( +) x +. La foctio z est décroissate sur [, + [ (somme de foctios décroissates) et miorée par (premier terme de la somme). Doc pour tout N, oa z( +) z(). Le rayo de la série etière z( +)x + est doc le même que celui de x + c est-à-dire. La permutatio est doc valable lorsque x < (o peut égalemet motrer que lim z(x) = pour retrouver x + le rayo de covergece, par exemple e appliquat le critère de d Alembert). Fialemet, pour tout x ], [, o a F(x) = = ( ) z( +)x +. Remarque x O peut égalemet utiliser la formule F(x) = x pour retrouver le développemet e série etière. E effet, pour x R, + = oa x x + = x + x = x q= si x <. Pour x ], [, o a doc F(x) = ( ) q x q + q = ( ) q x q+ q+, = q= q= ( ) q x q+. O q+ x q+ ote, pour q N, s q = q+ = z(q +) x q+.lasérie s q coverge = (voir précédemmet), o peut doc permuter les deux sommes grâce au théorème de Fubii et obteir de ouveau pour F(x), la somme suivate : ( ( ) q x q+ + ) q+ = ( ) q x q+ q+ = ( ) q z(q +)x q+. = q= q= = q=

325 Séries de Fourier 3 3. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION Ce qu il faut savoir O ote CM p l espace vectoriel des foctios de R das C, p-périodiques et cotiues par morceaux. O ote C p l espace vectoriel des foctios de R das C,p-périodiques et cotiues. Soit f CM p : Les coefficiets de Fourier expoetiels de f sot défiis par Z, c ( f ) = p p f (t)e it dt. Les coefficiets de Fourier trigoométriques de f sot défiis par N, a ( f ) = p p f (t)cost dt, b ( f ) = p p f (t)sit dt. O trouvera das les exercices d assimilatio (.,.3,...) de ombreux exemples de calculs de coefficiets de Fourier. Les remarques suivates sot utiles pour calculer les coefficiets de Fourier d ue foctio f CM p : Si f est paire alors, b ( f ) =, et a ( f ) = p p p f (t)cost dt. Si f est impaire alors, a ( f ) = etb ( f ) = f (t)sit dt. p O peut remplacer l itervalle d itégratio [, p] par u autre itervalle d amplitude p, mieux adapté à la foctio f. Par exemple o pred l itervalle [ p, p] lorsque f est ue foctio paire (ou impaire). Notos à ce sujet que le tracé du graphe de f est souvet détermiat lors du choix de l itervalle d itégratio. Sas modifier les coefficiets de Fourier, o peut modifier les valeurs de f e u ombre fii de poit sur l itervalle d itégratio. Notammet o remplace souvet la valeur de f e u poit où est elle discotiue par la demi-somme des limites à gauche et à droite e ce poit.

326 38 Chap. 3. Séries de Fourier Certaies propriétés de régularité de f ot des coséqueces importates sur ses coefficiets de Fourier : Lorsque f CM p, les suites (c ( f )), (c ( f )), (a ( f )) et (b ( f )) coverget vers ; e particulier, elles sot borées. Si f est p-périodique, cotiue sur R, et de classe C par morceaux, alors Z, c ( f ) = ic ( f ). Plus gééralemet, si f est p-périodique, de classe C k sur R, et de classe C k+ par morceaux, alors ( Z, ) c ( f (k+) ) = (i) k+ c ( f ). O e déduit que c ( f ) = o k+ quad. Série de Fourier d ue foctio f CM p O ote u la foctio costate de R das C défiie par u (x) = c ( f ) = a ( f ), et pour tout etier N, o ote u la foctio de R das C défiie par x R, u (x) = c ( f )e ix + c ( f )e ix = a ( f )cosx + b ( f )six. La série de foctios u est appelée la série de Fourier de f.sasomme N N partielle à l ordre N est défiie par S N (x) = u (x) = c ( f )e ix. = = N Lorsque la série de Fourier coverge e u poit x de R, la somme parfois otée = c ( f )e ix. Les théorèmes fodametaux = u (x) est Le théorème de Dirichlet : soit f : R C ue foctio p-périodique et de classe C par morceaux. Alors la série de Fourier de f coverge simplemet sur R. E chaque poit x R, la somme de la série de Fourier de f est égale à la demi-somme des limites à gauche et à droite de f. E particulier si f est cotiue au poit x R, alors la somme de la série de Fourier de f au poit x est égale à f (x). Le théorème de covergece ormale : soit f : R C ue foctio ppériodique, de classe C par morceaux, et cotiue sur R. Alors la série de Fourier de f coverge ormalemet sur R, etsasommeestégaleà f. La formule de Parseval : soit f : R C ue foctio p-périodique cotiue par morceaux. Alors les séries umériques c, c, a et

327 3. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 39 b sot covergetes et p p f (t) dt = c + = a 4 = + ( c + c ) = ( a + b ). Soiet f et g deux foctios cotiues et p-périodiques de R das C. Si f et g ot les mêmes coefficiets de Fourier, alors f = g. Exercice 3. Cetrale MP 7, CCP PC 6 Soit f CM p telle que f (x) = p x pour tout x [, p[. ) Calculer les coefficiets de Fourier trigoométriques de f. ) Justifier la covergece de la série de Fourier de f et calculer sa somme. 3) Calculer p= ( ) p p +, et + =. La foctio f est p-périodique et de classe C par morceaux. So graphe est représeté FIG. 3.. y Duod La photocopie o autorisée est u délit Figure 3. Graphe de f x

328 3 Chap. 3. Séries de Fourier ) Comme f est ue foctio à valeurs réelles, ous utilisos les coefficiets de Fourier trigoométriques de f. Il est judicieux de modifier la valeur de f au poit x = (et aussi e tous les poits de la forme x = kp, k Z et de la remplacer par. Aisi modifiée la foctio f est impaire. O a doc a ( f ) = pour tout N. Pour N,oa b ( f ) = p = p p [ (p t) si(t)dt ] p (p t)cos(t) } {{ } p p p cos(t)dt =. } {{ } ) Le théorème de Dirichlet motre que la série de Fourier de f coverge simplemet sur R, et que pour tout x R, la série de Fourier de f coverge vers la demi-somme des limites à gauche et à droite de f au poit x. E particulier : x ], p[, p x = = si x 3) Utilisos la relatio précédete avec x = p/. Si = p (p N )oa si(p/) =, tadis que si = p +(p N), si((p +)p/) = ( ) p.o obtiet doc : p= ( ) p p + = p 4. Efi la formule de Parseval doe Exercice 3. = Extrait de Mies-Pots PSI, MP 7 = 4p p. (p x) dx = p 6. ) La série si(x) est-elle la série de Fourier d ue foctio cotiue par morceaux, p-périodique? ) La série cos(x) est-elle la série de Fourier d ue foctio de classe C par morceaux, p-périodique? ) No, car la série de terme gééral ( ) = devrait coverger d après la formule de Parseval.

329 3. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 3 ) No, car pour x =, o obtiet la série, qui devrait coverger d après le théorème de Dirichlet. Exercice 3.3 École de l Air PSI 4, CCP MP 6 Soit f : R R la foctio p-périodique telle que f (x) = x pour tout x [ p, p], etsoitg la foctio p-périodique, impaire, telle que g(x) = pour tout x ], p[. ) Tracer les graphes de f et de g. Vérifier que g est de classe C par morceaux, et que f est cotiue et de classe C par morceaux. ) Calculer les coefficiets de Fourier trigoométriques de f et de g. 3) Justifier la covergece des séries de Fourier de f et de g, et calculer leur somme. 4) Calculer p= ( ) p p +, + p= + (p +), p= + (p +) 4 et = 4. Idicatios de la rédactio : pour la questio o pourra remarquer que g est la dérivée de f, das le ses où g(x) = f (x) e chaque poit x R où f est dérivable. Pour la questio 4 o pesera à utiliser la formule de Parseval. ) O représete sur u même dessi (FIG. 3.) le graphe de f (e oir) et le graphe de g (e gris). Duod La photocopie o autorisée est u délit 3 y x Figure 3. Les graphes de f et de g.

330 3 Chap. 3. Séries de Fourier Les foctios f et g sot affies par morceaux ; elles sot doc de classe C par morceaux. O observe de plus que f est cotiue sur R. Comme g(x) = f (x)e chaque poit où f est dérivable, o peut cosidérer g comme la dérivée de f. ) Commeços par le calcul des coefficiets de Fourier de g. Comme c est ue foctio impaire, o a a (g) = pour tout N. Pour N,oab (g) = p si(x)dx = p p ( ( ) ). Il e résulte que, 4 pour tout p N, b p (g) = et que b p+ (g) = (p +)p. Comme f est paire, o a b ( f ) = pour tout N. O calcule a ( f ) = p par parties : a ( f ) = p p p p xdx= p, puis, pour, à l aide d ue itégratio f (t)cos(t)dt = p [ f (t)si(t)]p p p = p p p p p g(t)si(t)dt = b (g), f (t)si(t)dt d où a p ( f ) = pour tout p N 4,eta p+ ( f ) = (p +) pour tout p N. p 3) Comme f et g sot p-périodiques, de classe C par morceaux sur R, le théorème de Dirichlet motre que les séries de Fourier de f et de g sot covergetes e chaque poit, et x R, x R, f (x) = p 4 p g(x) = 4 p p= p= cos(p +)x. (p +) si(p +)x. (p +) (E effet f est cotiue sur R, et pour tout x R, la demi-somme des limites à gauche et à droite de g au poit x est égale à g(x).) Il est très itéressat de remarquer la covergece ormale de la série de Fourier de f ( f est cotiue et de classe C par morceaux), tadis que la série de Fourier de g est pas ormalemet covergete. 4) Pour x = p, o obtiet g(p/) = = 4 p Pour x = oa, f () = = p 4 p p= p= ( ) p + (p +), d où ( ) p (p +) = p 4. p= + (p +), d où (p +) = p 8. p=

331 3. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 33 La formule de Parseval appliquée à f doe p O e déduit que : écrire N+ = S = 4 S + + N 4 = = = p= p x dx = p + 6 p p= (p +) 4. (p +) 4 = p Posos efi S = 4.Opeut N () 4 + = =, d où e faisat tedre N vers +, ( +) 4 p4. O e déduit que S = ( +) Séries de foctios trigoométriques Jusqu à préset ous sommes partis d ue foctio f CM p et ous lui avos associé ue série de foctios u, où, pour, et x R, u (x) = c e ix + c e ix. Nous allos maiteat partir du poit de vue iverse : o se doe ue suite (c ) Z de ombres complexes, et o cosidère la série de foctios u défiie par x R, u (x) = c, et u (x) = c e ix + c e ix pour. Ue telle série est appelée ue série trigoométrique. Il est souvet utile de mettre e évidece so mode de covergece (otammet la covergece ormale, qui permet l utilisatio du théorème d itégratio terme à terme). Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 3.4 (Covergece ormale d ue série trigoométrique) Soit (c ) Z ue famille de ombres complexes. Pour tout etier N, o défiit la foctio u par u (x) = c, et, pour, u (x) = c e ix +c e ix. ) Motrer que u = c + c pour tout N. Idicatio de la rédactio : o pourra exprimer c et c sous forme trigoométrique. ) E déduire que la série de foctios u coverge ormalemet sur R si et seulemet si les séries umériques c et c sot absolumet covergetes. 3) Détermier deux familles de ombres complexes, (a ) N et (b ) N telles que u (x) = a et u (x) = a cos x + b si x pour tout x R et tout N.

332 34 Chap. 3. Séries de Fourier 4) Motrer que la série de foctios u coverge ormalemet sur R si et seulemet si les séries umériques a et b sot absolumet covergetes. 5) O suppose que la série de foctios u coverge ormalemet sur R, et o désige par S sa somme. Motrer que S est ue foctio cotiue et p-périodique, et calculer ses coefficiets de Fourier. ) Pour tout N, et pour tout x R,oa u (x) = c e ix + c e ix c + c. Il e résulte que u c + c. Les ombres complexes c et c peuvet être écrits sous forme trigoométrique : c = re iu et c = r e iu avec (r, r ) R + et (u, u ) R. O a alors, pour tout x R, u (x) = re i(u+x) + r e i(u x). Soit x le ombre réel tel que u + x = u x. (O calcule facilemet x = (u u)/)). O a alors u (x ) = (r + r )e ix,avecx = u + x, d où u u (x ) = r + r = c + c. O a doc u = c + c. ) Il résulte de la questio précédete que la série de foctios u est ormalemet covergete si et seulemet si la série umérique de terme gééral c + c est covergete. Comme c c + c et c c + c, la covergece de la série de terme gééral c + c etraîe celle des séries de termes gééraux c et c. Réciproquemet si les séries de termes gééraux c et c sot covergetes, leur somme est covergete. 3) O a évidemmet a = c. Pour oau (x) = c e ix + c e ix = a cos(x)+b si(x), avec a = c + c et b = c c. 4) Pour tout oa a c + c et b c + c. Doc la covergece de la série de terme gééral c + c etraîe la covergece des séries de termes gééraux a et b. O a aussi c a + b et c a + b. Doc la covergece de la série de terme gééral a + b etraîe la covergece des séries de termes gééraux c et c. 5) La cotiuité de chaque foctio u et la covergece ormale de la série u etraîet la cotiuité de la somme S. Pour tout x R,oa S(x +p) = = u (x +p) = = u (x) = S(x).

333 3. Exercices d etraîemet 35 S est doc p-périodique. Soit p u etier relatif. Pour tout Z, otos v la foctio défiie par v (x) = u (x)e ipx = c e i( p)x + c e i( p)x. Comme v = c + c, la série de foctios v coverge ormalemet sur R. Les foctios v état cotiues, o peut utiliser le théorème d itégratio terme à terme sur le segmet [, p] : c p (S) = p = p = = p p p S(x)e ipx dx [ + ] u (x)e ipx dx = p = c p puisque Ce qu il faut savoir c e i( p)x dx + p = p p e imx dx = sim Z. c e i( p)x dx Lorsque les séries umériques c et c sot absolumet covergetes, la série trigoométrique c + (c e ix + c e ix ) coverge ormalemet sur R. Sa somme S est ue foctio cotiue, p-périodique, et c (S) = c pour tout Z. 3. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 3.5 CCP PC 7, Mies-Pots MP 6 O cosidère la foctio défiie sur R par f : t f (t) = e eit. ) Justifier que f est égale à la somme de sa série de Fourier. ) Motrer que t R, f (t) = k= e ikt k!. E déduire les coefficiets de Fourier c de f pour tout Z. 3) Motrer que p e cost dt = p = (!). Idicatio de la rédactio : pour la questio, utiliser le développemet e série etière de e z,avecz = e it.

334 36 Chap. 3. Séries de Fourier ) La foctio f est p-périodique et de classe C sur R. D après le théorème de covergece ormale la série de Fourier de f est ormalemet covergete, et sa somme est égale à f. ) Le développemet e série etière de la foctio expoetielle : doe, avec z = e it, f (t) = Pour tout Z, c ( f ) = p p = z C, e z = e ikt k!. k= z k k! f (t)e it dt = p e i(k )t dt = p k! p k= p e i(k )t l itégratio terme à terme état justifiée par la covergece ormale de la série de foctios v où v (t) = ei(k )t. k! p e i(k )t Pour k,oa dt =, et o a doc c = k!! pour N,etc ( f ) = pour <. 3) Pour tout t R, f (t) = e cos t e i si t, et doc f (t) = e cost. La formule de Parseval doe alors p p f (t) dt = p p e cost dt = k= = (!). Exercice 3.6 Cetrale PSI MP 6, TPE PC 7 Soit f : R C défiie par f (x) = si x. ) Doer l allure du graphe de f. ) Calculer les coefficiets de Fourier de f. Motrer que la série de Fourier de f est covergete, et calculer sa somme. 3) Motrer que 4p =. p= 4) Détermier ue suite (c ) de réels tels que x R, f (x) = (À l oral de Cetrale, u logiciel de calcul formel est à dispositio). = k! c cos x. ) Le graphe de f s obtiet facilemet à partir du graphe de la foctio sius. Le tracé suivat est obteu à l aide de l istructio Maple : dt,

335 3. Exercices d etraîemet 37 > plot(abs(si(x)),x=-5..5);,8,6,4, -4-4 x Figure 3.3 Le graphe de f Duod La photocopie o autorisée est u délit ) f est p-périodique, cotiue sur R, et de classe C par morceaux. Le théorème de covergece ormale motre que la série de Fourier de f est ormalemet covergete sur R, et que sa somme est égale à f. Comme f est paire, o a b ( f ) = pour tout N. O a a ( f ) = p p p si x cos xdx =, et, pour, p a ( f ) = si x cos x dx = ( ) si( +)x si( )x dx p p = ( ) p + [cos( +)x]p + [cos( )x]p = ( + ( ) ) p( ) Vérifios ce résultat à l aide de Maple : > assume(,iteger): it(si(x)*cos(*x),x=..pi); +( ) + O a doc, pour tout p N, a p+ = eta p = x R, si x = p 4 p 3) E particulier, avec x =, o obtiet p= 4 p(4p. Il e résulte que ) p= cos px 4p 4p =.

336 38 Chap. 3. Séries de Fourier 4) E utilisat la relatio cos px = cos px o obtiet x R, si x = p 4 cos px p 4p p= = p 4 cos + px p 4p 4p p= puisque les séries de termes gééraux cos px 4p et 4p sot covergetes. Comme p= p= 4p =, o e déduit que x R, si x = 4 p 8 p p= cos px 4p. Exercice 3.7 D après CCP MP 5, Mies-Pots PSI 6 Soit a R \ Z, etsoit f la foctio p-périodique telle que f (x) = cos(ax) pour x [ p, p]. ) Détermier les coefficiets de Fourier de f. ) E déduire que pour tout t R \ pz, cota(t) = t + = t p t et si t = + t ( ) t p t = ) La foctio f est cotiue et de classe C par morceaux. Comme elle est paire les coefficiets b ( f ) sot uls. O a a ( f ) = p cos ax dx= [ ] p si ax p ap = siap et, pour, ap p a ( f ) = cos ax cos x dx p = p ( ) cos(a + )x +cos(a )x dx p = [ ] si(a + )p si(a )p + p a + a [ ] = ( ) si ap p a + + a = ( ) a si ap p( a )

337 ) Par applicatio du théorème de covergece ormale o obtiet x R, f (x) = si ap ap E particulier pour x = p o obtiet c est-à-dire = si ap ap cos ap = si ap ap cos ap si ap = ap + a si ap p = = a si ap p 3. Exercices d etraîemet 39 = a si ap p = ( ) cos x. a a a p( a, puis, pour x =, ) ( ) a, ou ecore si ap = ap + = ( ) a p( a ). Si t est u ombre réel qui est pas u multiple de p, le ombre réel a = t p appartiet pas à Z, et e remplaçat a par t p obtiet cota(t) = + t t p t et = das les relatios précédetes o si t = + t ( ) t p t. = Exercice 3.8 TPE PSI, PC 5 K Justifier que, pour x das [, p], oa x(p x) = p 6 + Qu obtiet-o avec x = p? = cos(x) = 8 p = si(( +)x) ( +) 3. La présece de deux séries, l ue paire, et l autre impaire, ous amèe à prologer la foctio x x(p x) e ue foctio paire d ue part, et e ue foctio impaire d autre part. Soit f la foctio paire, p-périodique, valat x(p x)sur[, p].(cf. FIG. (3.4)) La foctio f est cotiue et de classe C par morceaux. O a a ( f ) = p p p x(p x)dx = [ x 3 p 3 + px p ] p = p 3, et, pour, a ( f ) = f (x)cos(x)dx = p p p D où a ( f ) = [ x(p x) si(x) ] p p (p x) si(x) dx, p p } {{ } x(p x)cos(x)dx.

338 3 Chap. 3. Séries de Fourier Figure 3.4 Les graphes de f et de g. et fialemet, a ( f ) = p [(p x)cos(x)]p + 4 p p cos(x)dx } {{ } = p ( p( ) p) = ( + ( ) ). O a doc a ( f ) = si est impair et a ( f ) = 4 si est pair. E appliquat le théorème de Dirichlet o obtiet : x R, f (x) = p 6 + Soit à préset g la foctio impaire p-périodique valat x(p x) sur [, p]. La foctio g est cotiue, C par morceaux sur R. p p b (g) = g(x)si(x)dx = p p p = [ x(p x) cos(x) ] p + p p } {{ } = = 4 p x cos(x)dx = 4 p p x(p x)si(x)dx p (p x)cos(x)dx [ x si(x) ] p } {{ } = + 4 p p p= si(x)dx. } {{ } = ( ) cos(px) p. Doc b (g) = si est pair et b (g) = 8 si est impair. Par coséquet, pour tout p3 x R, ous avos g(x) = 8 si(( +)x) p ( +) 3, grâce au théorème de Dirichlet. =

339 E particulier, pour tout x [, p], x(p x) = p + 6 cos(px) p p= Avec x = p p, o obtiet 4 = p + 6 ( ) p p p= Soit p= ( ) p p Exercice 3.9 = p et = 3. Exercices d etraîemet 3 = 8 p = 8 p ( ) ( +) 3 = p3 3. = si(( +)x) ( +) 3. = ( ) ( +) 3. (Iégalité de Wirtiger) CCP MP 7, Mies-Pots PC 6 ) Soiet (A, B) C et g l applicatio de R C défiie par g(t) = Ae it +Be it. Motrer que p g(t) dt = p g (t) dt ) Soit f C (R, C), p-périodique, telle que Motrer que p f (t) dt p p f (t)dt =. f (t) dt. Das quel cas y a-t-il égalité? Idicatio de la rédactio : utiliser la formule de Parseval. ) O a g(t) = A + B + ABe it + ABe it. O e déduit que p g(t) dt = A + B. O a esuite g (t) = iae it ibe it, et doc p g (t) dt = A + B = p g(t) dt. ) Puisque f est de classe C, o a pour tout Z, c ( f ) = ic ( f ). Les foctios f et f état cotiues, la formule de Parseval doe car c ( f ) = p p p p p p f (t) dt = = f (t)dt =. O a aussi f (t) dt = c ( f ) + = = ( c ( f ) + c ( f ) ), = ( c ( f ) + c ( f ) ) ( c ( f )+ c ( f ) ),

340 3 Chap. 3. Séries de Fourier car c ( f ) = p O e déduit que p f (t)dt = ( f (p) f ()) =. p p p et doc f (t) dt p p f (t) dt p p f (t) dt = f (t) dt. = ( )( c ( f ) + c ( f ) ), Examios à préset le cas d égalité. Comme > pour >, l égalité p f (t) dt = p f (t) dt etraîe c ( f ) = pour tout / {,, }. Comme la foctio f est de classe C, elle est égale à la somme de sa série de Fourier et o a alors x R, f (x) = c e ix + c e ix. O retrouve les foctios étudiées das la questio. Exercice 3. Mies-Pots MP 6, ENS MP 7 (Iégalité isopérimétrique) ) Soit f C ([, ], C) telle que f () = f () et 4p f (t) dt f (t) dt. f (t)dt =. Motrer que ) Soit G u arc simple de classe C, fermé et régulier. Soit L sa logueur, et A l aire algébrique du domaie qu il délimite. Motrer que 4p A L. Idicatios de la rédactio : pour la questio o pourra utiliser l iégalité de Wirtiger (cf. l exercice 3.9). Pour la questio o pourra utiliser u paramétrage ormal de G. ) Désigos par f la foctio -périodique de R das C dot la restrictio à [, ] est égale à f. C est ue foctio cotiue et de classe C par morceaux. Nous ous rameos au cas d ue foctio p périodique à l aide du chagemet de variable x = pt. ( De faço plus précise, itroduisos la foctio g défiie par x ) x R, g(x) = f. O a alors f (t) = g(pt) et f (t) = pg (pt). O a p de plus et de même f (t) dt = f (t) dt = p g(pt) dt = p p p pg (x) dx = p g(x) dx, p g (x) dx.

341 L iégalité de Wirtiger s écrit alors p fallait démotrer. 3. Exercices d etraîemet 33 f (t) dt p f (t) dt, ce qu il ) Quitte à faire ue homothétie, o peut supposer la logueur de G égale à. E effet si o remplace u paramétrage g de G par ag, L et A sot tous deux multipliés par a. O est doc coduit à démotrer l iégalité 4pA. Comme de plus G est régulière o peut la supposer défiie par u paramétrage ormal f : [, ] C,où f (t) = x(t) +iy(t), et quitte à faire u chagemet d origie das le pla, o peut supposer f (t)dt est ulle. O sait qu alors A = ( x(t)y (t) x (t)y(t) ) dt.or: f (t) f (t) dt = [x(t)x (t)+y(t)y (t)] dt + i = [ x (t)+y (t) ] +ia = ia. [x(t)y (t) x (t)y(t)] dt O e déduit que ( 4 A f (t) f (t)dt f (t) dt ) f (t) dt 4p f (t) dt (iégalité de Cauchy-Schwarz) f (t) dt = 4p. Duod La photocopie o autorisée est u délit O e déduit bie que 4 A p. Etudios maiteat le cas d égalité. O peut à ouveau supposer la paramétrisatio f ormale. L égalité 4Ap = L = etraîe le cas d égalité das l iégalité de Wirtiger. O a doc f (t) = Be ipt + Ce ipt où B et C sot des costates complexes. L hypothèse f (t) = s écrit alors (Be ipt Ce ipt )(Be ipt Ce ipt ) = 4p pour tout t [, ]. O e déduit aisémet B B + CC =, BC = etc B =. 4p O a doc g(t) = De ipt (ou g(t) = De ipt )oùd est u ombre complexe de module. La courbe est alors u cercle de rayo. Réciproquemet, o vérifie p p aisémet que pour u tel cercle, o a L = 4Ap.

342 34 Chap. 3. Séries de Fourier Exercice 3. (Le Noyau de Poisso) Soit r u ombre réel tel que r <. ) Motrer que la série trigoométrique + r (e ix + e ix ) est ormalemet covergete. O ote P r sa somme. Motrer que pour tout x R, r P r (x) = r cos(x)+r. ) Quels sot les coefficiets de Fourier de P r? Motrer que p p P r (x) dx =. ) Notos u la foctio costate égale à, et pour tout N, otos u la foctio défiie sur R par u (x) = r (e ix + e ix ). O a u (x) r,etile résulte que la série u est ormalemet covergete sur R. Calculos sa somme : x R, P r (x) = + = Remarquos que P r est positive sur R u (x) = + = r e ix + = r e ix re ix = + re ix + re ix re ix r = r cos x + r. ) Soit p Z. La série de foctios v où v (x) = u (x)e ipx est ormalemet covergete. Il résulte que c p (P r ) = p= p p E particulier, pour p = o obtiet c (P r ) = p u (x)e ipx = r p. p P r (x) dx = c =. De ombreux exercices d oraux utiliset de faço plus ou mois explicite la otio de produit de covolutio. Exercice 3. Mies-Pots PSI 6 (Produit de covolutio) O désige par C p l espace vectoriel des foctios cotiues, p-périodiques, de R das C. Soiet f, g C p. O ote f g la foctio de R das C défiie par x R, ( f g)(x) = p f (t)g(x t)dt. p

343 3. Exercices d etraîemet 35 ) Motrer que f g est ue foctio cotiue p-périodique. ) Calculer les coefficiets de Fourier de f g e foctio de ceux de f et de g. 3) Démotrer que la série de Fourier de f g est ormalemet covergete, et calculer sa somme. 4) Soiet f, g et h trois élémets de C p. Motrer que g f = f g et que f (g h) = ( f g) h. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Pour x fixé das R, l applicatio t f (t)g(x t) est cotiue sur R. Doc l itégrale p f (t)g(x t)dt existe. L applicatio w: R [, p] C défiie par w(x, t) = f (t)g(x t) est cotiue. De plus comme f et g sot borées, il existe des costates réelles A et B telles que f (t) A et g(t) B pour tout t R. w vérifie doc l hypothèse de domiatio w(x, t) AB pour tout (x, t) R [, p]. O e coclut que la foctio f g est cotiue sur R. Elle est aussi p-périodique car si (x, t) R,oag(x +p t) = g(x t). ) Soit Z.Oa c ( f g) = p p = (p) = (p) ( ) p f (t)g(x t) dt e ix dx p ( ) p f (t)g(x t)e ix dt dx p p = p (p) = p (p) = p p = c ( f )c (g). ( p f (t)g(x t)e ix dx ) dt ( ) p f (t) g(x t)e ix dx dt ( ) p t f (t) g(y)e i(y+t) dy dt t (chagemet de variable y = x t) c (g) f (t)e it dt (théorème de Fubii) 3) Les séries umériques c ( f ), c ( f ), c (g) et c (g) sot covergetes d après le théorème de Parseval.

344 36 Chap. 3. Séries de Fourier L iégalité c ( f )c (g) ( c ( f ) + c (g) ) (pour Z) motre que les séries umériques c ( f g) et c ( f g) sot covergetes. La série de Fourier de f g est doc ormalemet covergete. Il e résulte que sa somme est égale à f g (cf. exercice 3.4). 4) Les foctios f g et g f sot p-périodiques, cotiues, et elles ot les mêmes coefficiets de Fourier (c ( f )c (g)). O a doc f g = g f. Le même raisoemet motre que f (g h) = ( f g) h puisque Z, c ( f (g h) ) = c ( f )c (g)c (h) = c ( ( f g) h ) 3.3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 3.3 Cetrale PC, PSI MP 6 KK O désige par E = C p l espace vectoriel des foctios p-périodiques et cotiues de R das C. ) Soiet f et g deux élémets de E. Motrer que pour tout x R o a c ( f )c (g)+ = ( c ( f )c (g)e ix + c ( f )c (g)e ix) = p p f (x t)g(t)dt Das la suite o cosidère l équatio différetielle (E) : y y = h où h est ue foctio p-périodique et de classe C sur R. ) Motrer qu elle admet au plus ue solutio p-périodique. 3) Soit p Z. Détermier l uique solutio p-périodique de l équatio différetielle y y = e p où e p est défiie par x R, e p (x) = e ipx. 4) O cherche à détermier ue foctio g C p telle que, pour toute foctio h p-périodique et de classe C, la foctio f défiie par x R, f (x) = p g(x t)h(t)dt p soit ue solutio de l équatio différetielle (E). a) E supposat l existece de g, calculer ses coefficiets de Fourier à l aide de la questio précédete. b) Coclure alors e utilisat la questio.

345 3.3 Exercices d approfodissemet 37 ) Ce résultat a été démotré das l exercice précédet. ) Si y et y sot deux solutios p-périodiques de (E), alors y = y y est ue solutio p-périodique, et doc borée, de l équatio homogèe y y =. Mais y est alors de la forme x R, y(x) = Ae x + Be x, et ue telle foctio est borée si et seulemet si A = B =. O a doc y = ety = y. 3) O cherche ue solutio de l équatio y y = e p sous la forme le p où l est ue costate. O obtiet alors l( p )e p = e p, et doc l = p +. Aisi la foctio f = p + e p est ue solutio de l équatio différetielle y y = e p,etcommeelleestp-périodique, elle est uique. 4) a) Si o suppose l existece de g, alors o doit avoir, e preat h = e p : x R, p + eipx = p g(x t)e p (t) dt p = p g(t)e p (x t) dt p = e ipx. p g(t)e ipt dt, p Duod La photocopie o autorisée est u délit et o a doc c p (g) = p +. b) Désigos alors par g la somme de la série trigoométrique ormalemet e ipt e ipt covergete : t R, g(t) = p. + p= Soit h ue foctio p-périodique de classe C. Désigos par f la foctio défiie par x R, f (x) = p g(x t)h(t)dt. p D après la questio () f est la somme de la série trigoométrique c ( f )+ (c ( f )e ix + c ( f )e ix ), où c ( f ) = c (g)c (h) = c (h) +. Comme h est de classe C la série de terme gééral c (h) est covergete, et les séries de termes gééraux c ( f ) et c ( f ) sot doc covergetes. La série trigoométrique défiissat f est doc de classe C sur R et x R, f (x) = = (c ( f )e ix + c ( f )e ix ).

346 38 Chap. 3. Séries de Fourier O a alors x R, f (x) f (x) = = c (h)+ = ( + )(c ( f )e ix + c ( f )e ix ) = C est doc l uique solutio de l équatio ( ). (c (h)e ix + c (h)e ix ) = h(x) Exercice 3.4 École Polytechique MP 6, Mies-Pots MP et PSI 6 KK Soiet r ], [ et E l espace vectoriel des foctios cotiues p-périodiques de R das C. ) Motrer qu il existe ue foctio P r E telle que : pour tout f E et x R, c ( f )+ r (c ( f )e ix + c ( f )e ix ) = p p p f (x t)p r (t)dt. ( ) = Idicatio de la rédactio : o pourra commecer par écrire la relatio ( ) pour la foctio e p (p Z) défiie par x R, e p (x) = e ipx. ) Calculer p p P r (t)dt. 3) Soit f E. Calculer lim r c ( f )+ = r (c ( f )e ix + c ( f )e ix ). Idicatio de la rédactio : o pourra commecer par le cas où f est de classe C. ) Commeços par écrire la relatio ( ) avec la foctio e p E (p Z) défiie par e p (x) = e ipx. O obtiet alors, pour tout x R, r p e ipx = p eipx p p P r (t)e ipt dt, c est-à-dire c p (P r ) = r p. Nous sommes aisi coduit à predre pour P r somme de la série trigoométrique ormalemet covergete la x R, P r (x) = + = r (e ix + e ix ) que ous avos déjà recotrée das l exercice 3. (le oyau de Poisso).

347 3.3 Exercices d approfodissemet 39 P r est cotiue sur R,p périodique, et vérifie, pour tout (x, t) R, P r (x t) = + = O sait, de plus, que P r est positive sur R. Soit alors f u élémet de E.Oa p p p f (x t)p r (t)dt = p = p p p p p r (e i(x t) e i(x t) ). f (t)p r (x t)dt ( f (t)+ = r f (t)(e i(x t) e i(x t) ) Comme f est borée sur le segmet [ p, p], la série de foctios v où v (t) = r f (t)(e i(x t) e i(x t) ) coverge ormalemet sur ce segmet, et o peut itégrer terme à terme. O obtiet : ) dt. p p p = p f (x t)p r (t)dt +p = c ( f )+ p = f (t)dt + = r ( e ix p +p p r (c ( f )e ix + c ( f )e ix ). f (t)e it dt + e ix p +p p ) f (t)e it dt Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Nous avos vu das l exercice 3. que p p P r (t)dt = p. 3) Traitos d abord le cas d ue foctio f,p-périodique, de classe C.Oa alors c ( f ) = o( ), de sorte que les séries umériques c et c sot absolumet covergetes. Pour tout x fixé das R, et pour tout N, otos w la foctio défiie sur [, [ par w (r) = r (c ( f )e ix + c ( f )e ix ). O a alors w (r) c ( f ) + c ( f ) pour tout r [, [, ce qui démotre que la série de foctios w coverge ormalemet sur [, [. O a de plus lim w (r) = c ( f )e ix + c ( f )e ix. r Le théorème cocerat la limite e u poit de la somme d ue série ormalemet covergete motre alors que la série de terme gééral c ( f )e ix +c ( f )e ix est covergete et que lim w (r) = c ( f )+ (c ( f )e ix + c ( f )e ix ) = f (x). r = =

348 33 Chap. 3. Séries de Fourier Traitos maiteat le cas gééral d ue foctio f E. Pour r [, [, otos f r la foctio défiie par f r (x) = p f (x t)p r (t)dt. Compte teu de la p p questio (), ous allos démotrer que x R, f r(x) = f (x). lim r Soit u réel strictemet positif. Le théorème trigoométrique de Weierstrass motre qu il existe ue foctio polyôme trigoométrique g telle que f g 3. O a alors, pour tout x R, f r (x) g r (x) = p ( f (x t) g(x t))p r (t)dt p p p p p p p p f g p f (x t) g(x t) P r (t)dt f g P r (t)dt p p P r (t)dt = f g. Il e résulte que f r g r f g 3. Soit x u ombre réel. Comme g est de classe C, o a lim g r(x) = g(x). Il r existe doc u réel a ], [ tel que g r (x) g(x) pour tout r ]a, [. 3 Mais o a alors : f r (x) f (x) f r (x) g r (x) + g r (x) g(x) + g(x) f (x) 3 3 =, ce qui motre que lim f r(x) = f (x). r Exercice 3.5 Cetrale MP 4, ENS Paris, Lyo Cacha 4 KK Soit f : R C ue foctio p périodique, cotiue. O suppose les coefficiets de Fourier c = c ( f )( Z) positifs. Motrer que la série de Fourier de f est covergete. Quelle est sa somme? Idicatio de la rédactio : o pourra cosidérer la série r (c + c ) pour < r <. Comme f est cotiue et p périodique, elle est borée : il existe ue costate M R + telle que f (x) M pour tout x R. Soit r u réel tel que < r <. Pour tout etier N otos u la foctio de R das C, défiie par x R, u (x) = f (x) r (e ix + e ix ).

349 3.3 Exercices d approfodissemet 33 Chaque foctio u est cotiue, et pour tout x R, oa u (x) Mr.Lasérie de foctios u est doc ormalemet covergete sur R, etilerésultequesa somme S est cotiue et p périodique. Le théorème d itégratio terme à terme sur le segmet [, p] doe p p Par ailleurs (voir l exercice 3.) S(x) = f (x) Il e résulte que c + ( + = = S(x)dx = c + = r (c + c ). ) r (e ix + e ix r ) = f (x) r cos x + r. r (c + c ) p p r M r cos x + r dx = M, et doc, que pour tout etier N N, et pour tout réel r ( < r < ), N N c + r (c + c ) M. E faisat tedre r vers o obtiet + (c + c ) M. = Aisi la série à termes réels positifs N (c + c ) est covergete. La série trigoométrique de terme gééral (c e ix + c e ix ) est doc ormalemet covergete. Notos S sa somme. Les foctios S et f sot cotiues, p-périodiques, et elles ot les mêmes coefficiets de Fourier. O a doc S = f. = Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 3.6 Mies-Pots MP 6 K Soit x u ombre réel et a u réel strictemet positif. O pose ( +N ) f (x) = lim N + a +(x +p). = N ) Motrer que f est défiie sur R et étudier sa parité. ) Etudier la covergece de la série de Fourier de f. 3) Calculer, e utilisat u logiciel de calcul formel, l itégrale 4) E déduire les coefficiets de Fourier de f. 5) Exprimer f à l aide des foctios usuelles. cos t b + t dt.

350 33 Chap. 3. Séries de Fourier ) Pour tout x R, posos u (x) = a + x, et, pour N, u (x) = a +(x p) + a +(x +p). Posos f N (x) = +N = N a. Il s agit de la somme partielle à l ordre +(x +p) N de la série de terme gééral u (x). O a u (x) +, de sorte que la p série de terme gééral u (x) est covergete. La série de foctios u est doc simplemet covergete sur R, et, pour tout x R, f (x) = = u (x). Notos d ailleurs qu il y a covergece ormale sur tout segmet I iclus das R : u tel segmet est u effet iclus das u itervalle de la forme I A = [ Ap, Ap], aveca N, et o a, pour tout x I A et > A, u (x) (terme gééral d ue série covergete). (( A)p) O a de plus f ( x) = = u ( x) = = u (x) = f (x); f est doc paire. ) Lorsque x est u réel, o a f N (x +p) = f N (x) a +(x Np) + a +(x +(N +)p). O e déduit que f (x +p) = lim f N (x +p) = lim f N (x) = f (x) et f N + N + est doc p-périodique. Démotros que f est aussi de classe C sur R. Chaque foctio u est de classe C sur R et, pour, u x (x) = (a +(x p) ) + x (a +(x +p) ). Pour x I A et > A o a cette fois u (x) 4A, ce qui démotre (( A)p) 4 la covergece ormale de la série u sur I A. La somme f est doc de classe C sur R, et il e résulte efi, grâce au théorème de covergece ormale, que la série de Fourier de f est ormalemet covergete sur R, et que sa somme est égale à f. 3) O obtiet avec Maple : assume(b > ); > factor(it(cos(t)/(b^+t^),t=-ifiity..+ifiity)); p(sih(b ) cosh(b )) b + cos t O a doc b + t dt = p b e b.

351 3.3 Exercices d approfodissemet 333 4) Comme f est paire les coefficiets de Fourier b p sot uls. Pour p N,oaa p ( f ) = p p f (x)cospx dx. La série de foctios u (x)cospx coverge ormalemet sur [, p] puisque x [ p, p], u (x)cospx a. O e déduit que + (( )p) a p ( f ) = p p = u (x)cospx dx. O obtiet par ailleurs, à l aide du chagemet de variable u = x +p, p cos px a +(x +p) dx = puis, à l aide de la relatio de Chasles N = p u (x)cospx dx = (+)p p (N+)p Np D où e preat la limite quad N ted vers + : a p ( f ) = p cos pu a + u du. cos pu a + u du cos pu a + u du. Duod La photocopie o autorisée est u délit Pour p = o obtiet a ( f ) = p a + u du =, et pour p >, à l aide a du chagemet de variable t = pu, a p ( f ) = p cos t p p a + t dt = ae pa. 5) O a efi, grâce à la formule de Dirichlet, f (x) = a + + E remarquat que o obtiet p= cos px e pa p= est la partie réelle de cos px e pa = p= p= e a cos x e a + e a cosx, d où, fialemet, f (x) = ( e a cos x a e a + e a cosx ) = cos px ae pa. (e ix a ) p = sh a a(ch a cos x). e ix a,

352 334 Chap. 3. Séries de Fourier Exercice 3.7 Cetrale MP 7 K Soit (a ) N u suite d etiers. O suppose que le rayo de covergece de la série etière a z est supérieur ou égal à, et que sa somme f (z) = = a z est borée das le disque ouvert D = {z C, z < }. Motrer que f est u polyôme. Soit M u réel tel que f (z) M pour tout z D. Pour tout ombre réel r ( r < ), soit f r l applicatio de R das C défiie par f r (u) = f (re iu ) = = a r e iu. f r est la somme d ue série trigoométrique p-périodique, ormalemet covergete puisque la série a r est absolumet covergete. O a doc, pour tout N, c ( f r ) = a r. La formule de Parseval motre que la série de terme gééral a r est covergete et que a r = p f r (u) du M. p Il e résulte que = N a r M pour tout N N, et e preat la limite quad r = ted vers, o obtiet N a M. = La série de terme gééral a est doc covergete et il e résulte que lim + a =. O e déduit efi, puisqu il s agit d etiers, qu il existe u N N tel que a = pour N ; f est doc u polyôme. Exercice 3.8 Cetrale MP 6 KK Soit b ], [. ) Motrer que x b +x dx = + b +b ( ) b. ) Soit f b l uique foctio p-périodique de R das R coïcidat avec x cos(bx) sur[ p, p]. Calculer les coefficiets de Fourier de f b ; étudier la covergece de la série de Fourier. =

353 3) Motrer que x b +x dx = p si(pb). 3.3 Exercices d approfodissemet 335 x b 4) O cosidère l applicatio w b : u ] p, p[ w b (u) = dx. +xeiu Motrer que w est ue foctio de classe C sur ] p, p[ et que pour tout u ] p, p[, w b(u)+ibw b (u) =. E déduire ue expressio simple de w b (u). Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Commeços par justifier la covergece de l itégrale I = x b +x dx. L applicatio f : x x b est cotiue et positive sur l itervalle ouvert +x ], + [. O a de plus f (x) x b au voisiage de et f (x) x b au voisiage de +. La covergece des itégrales de Riema x b dx et x b dx assuret alors l itégrabilité de f sur ], ] et sur [, + [, et doc l itégrabilité de f sur ], + [. Pour le calcul de I, ous séparos e deux l itervalle d itégratio : I = I + I, x b avec I = +x dx et I x b = +x dx. Comme l applicatio x x est u difféomorphisme de l itervalle [, + [ sur l itervalle ], ], le chagemet de variable y = x x b I = +x dx. Soit alors N N et x ], ].Oa d où I = = das la secode itégrale est licite, et o obtiet N ( ) x = ( )N+ x N+, et doc +x = x b N +x = ( ) x b + b+n N+ x +( ) +x, N ( ) b + + K N,avec K N = = O a alors K x b +N dx = O e déduit fialemet que I = x b+n +x dx., et doc N ++b lim K N =. N + = ( ) + b.

354 336 Chap. 3. Séries de Fourier Pour le calcul de I, posos a = b. E remplaçat b par b das l expressio de I, o obtiet I = ( ) + b. = O a efi I = + b + ( ) + + b + ( ), et e regroupat les + b = termes, o obtiet I = b +b + = = ( ) b. ) La foctio f b est cotiue sur R et de classe C par morceaux. Le théorème de covergece ormale motre que sa série de Fourier coverge ormalemet sur R, et que sa somme est égale à f b. Le calcul des coefficiets de Fourier de f b a été effectué das l exercice 3.7 : o a N, b ( f b ) =, a ( f b ) = si(bp), et, pour pb, a ( f b ) = ( ) b si(bp) p( b. ) O a doc, pour tout x R, f b (x) = pb si(bp)+ + = 3) Avec x =, la relatio précédete doe = si(bp) p ( ) b si(bp) p( b ) ( ) + b +b ( ) b. = cos(x). Il e résulte que p si(bp) = + b +b ( ) b = x b +x dx. = 4) Le détail des calculs est assez techique. Posos D = R + ] p, p[ R, etsoitk : D C la foctio défiie par x b K (x, u) =. Elle est cotiue sur D, et elle admet ue dérivée partielle +xeiu K (x, u) = ieiu x b u ( + xe iu qui est-elle aussi cotiue sur D. Nous allos vérifier des ) hypothèses de domiatio sur D = R + [ u, u ],oùu est u ombre réel fixé ( < u < p). Pour cela ous utilisos la mioratio +xe iu = ( + x cos u) + x si u = +x cos u + x +x cos u + x = +xe iu.

355 3.3 Exercices d approfodissemet 337 O e déduit que : (x, u) D, K (x, u) K (x, u ), et K (x, u) u K u (x, u ). O a de plus K (x, u ) x b quad x, K (x, u ) x b quad x +, K u (x, u ) x b quad x et K u (x, u ) x b quad x +, Duod La photocopie o autorisée est u délit d où l o déduit, par comparaiso à ue itégrale de Riema, que les foctios x K (x, u ) et x K u (x, u ) sot itégrables sur ], + [. Le théorème de dérivatio sous le sige somme motre alors que la foctio w b + x b défiie par w b (u) = +xe iu dx est de classe C sur tout segmet [ u, u ] (et doc sur ] p, p[), et que u ] p, p[, w b(u) = ie iu x b ( + xe iu ) dx. Das cette derière itégrale ous effectuos ue itégratio par parties, avec les foctios auxiliaires u : x +xe iu et v : x ixb. Comme le produit uv ades limites ulles e et +, o obtiet w b(u) = ibx b +xe iu dx = ibw b(u). O e déduit qu il existe ue costate K telle que w b (u) = Ke ibu, et la questio p motre que K = w b () = si(bp). O a doc w b(u) = pe ibu si(bp).

356 4 Équatios différetielles liéaires 4. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION 4.. U exercice de révisio Nous avos étudié e première aée les équatios différetielles liéaires, scalaires, du premier ordre. Vous pouvez tester vos coaissaces avec l exercice suivat : Exercice 4. CCP MP 6 O se propose de résoudre l équatio différetielle (E) x y +(x )y = x. ) Résoudre (E) surr + puis sur R. ) O cherche maiteat les solutios f défiies et de classe C sur R..a) Détermier f (). Que peut-o dire des restrictios de f à R + et R?.b) E déduire qu il existe ue uique solutio défiie sur R. ) Il s agit d ue équatio différetielle liéaire du premier ordre dot les coefficiets sot des foctios cotiues sur R. Comme le coefficiet de y s aule pour x =, ous effectuos la résolutio sur R + et sur R. Les solutios défiies sur R + de l équatio homogèe associée xy +(x )y = sot les foctios y telles que : x R +, y (x) = l xe x,oùl est ue costate réelle. Pour la résolutio de l équatio complète, ous utilisos la méthode de variatio de la costate : les solutios de l équatio (E) surr + sot les foctios y défiies par : x R +, y (x) = l (x)xe x où l est ue foctio de classe C telle que x R +, l (x)xe x = x. O e déduit que l (x) = e x + a,oùa est ue costate réelle. Les solutios de (E) surr + sot doc les foctios de la forme x y (x) = a xe x + x où a est ue costate réelle.

357 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 339 Les solutios défiies sur R de l équatio homogèe xy (x )y = sot les foctios y telles que x R, y (x) = l (x) ex x,oùl est ue costate réelle. O e déduit, par applicatio de la méthode de variatio de la costate, que les solutios de (E) surr sot les foctios de la forme x y (x) = a e x ) Soit f ue solutio de (E) défiie sur R. x + x ++ x où a est ue costate réelle. a) L équatio (E) doe, pour x =, f () =. Notos f (resp. f ) sa restrictio à R + (resp. R ). Ce sot des solutios de (E) et il existe doc deux costates a et a telles que a xe x + x si x >, f (x) = a e x + x + x + six <. Duod La photocopie o autorisée est u délit b) Comme f est de classe C sur R, f, f, f, f ot des limites fiies e telles que lim f (x) = lim f (x) = et lim f (x) = lim f (x). x + x x + x Comme a e x + = a ++a x +o(x) quad x, l existece d ue limite fiie x x de y (x)eécessitequea =, et o a alors lim f (x) = +=. x Comme f (x) = x + ex,oa f x (x) = xex e x + x O e déduit que lim f (x) =. x = x +o(x ) x. O a aussi f (x) = a (e x xe x ) +, et doc lim f (x) = a +. La coditio x + cocerat les limites des dérivées s écrit alors a =. Réciproquemet le théorème de prologemet pour les foctios de classe C motre que la foctio f défiie sur R par x ++ x ( ex ) si x <, f (x) = si x =, x( e x ) si x > est de classe C sur R. C est ue solutio de (E) surr car la relatio x f (x) +(x ) f (x) = x est vérifiée pour tout x apparteat à R, et aussi pour x = puisque f () =.

358 34 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires 4.. Équatio différetielle vectorielle du premier ordre Ce qu il faut savoir O désige par F u K-espace vectoriel ormé de dimesio fiie, et o ote L (F) l espace vectoriel des edomorphismes de F. Soit a ue applicatio défiie et cotiue sur u itervalle I de R et à valeurs das L (F), et soit t I ; afi d alléger les otatios, l image d u vecteur x F par l edomorphisme a(t) sera otée a(t)x. Ue équatio différetielle vectorielle du premier ordre est ue équatio de la forme t I, x (t) = a(t)x(t)+b(t) (5) où a est ue applicatio cotiue de I das L (F) etb est ue applicatio cotiue de I das F. L équatio différetielle t I, x (t) = a(t)x(t) (6) est appelée l équatio homogèe associée à (5). Théorème (Cauchy-Lipschitz) : soiet t I et y F. Il existe ue uique solutio x de (5) vérifiat la coditio iitiale x(t ) = y. La courbe défiie par le paramétrage t x(t) est appelée ue courbe itégrale. Structure de l esemble des solutios : l esemble E des solutios de l équatio homogèe (6) est u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel C (I, K) des applicatios de classe C de I das K. Sit est u poit de I, l applicatio qui à x E associe x(t ) est u isomorphisme de l espace vectoriel E sur l espace vectoriel F. Il e résulte que la dimesio de E est égale à la dimesio de F. Ue base (x,...,x ) de l espace vectoriel E est appelée u système fodametal de solutios. Soit B = (e...,e ) ue base de F,etsoit(x,...,x ) ue famille de solutios de (6). Alors les propriétés suivates sot équivaletes : a) (x,...,x ) est u système fodametal de solutios. b) det B (x (t),...,x (t)) pour tout t I. c) Il existe t I tel que det B (x (t ),...,x (t )). L applicatio W : t W (t) = det B (x (t),...,x (t)) est appelé le Wroskie de la famille (x,...,x ) das la base B. Soit F l esemble des solutios de l équatio complète (5) et soit x u élémet de F. Alors les élémets de F sot les foctios de la forme x + x,avecx E. L esemble F est doc u sous-espace affie de l espace vectoriel C (I, F) dot la directio est l espace vectoriel E. La méthode de variatio des costates : lorsqu o coaît u système fodametal (x,...,x ) de solutios de l équatio (6), alors les solutios de A sot

359 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 34 toutes les foctios de la forme l x + + l x où l,...,l sot des foctios umériques de classe C sur I dot les dérivées vérifiet l x + + l x = b. Cas d ue équatio différetielle à coefficiets costats : das le cas d ue équatio différetielle de la forme t R, x (t) = ax(t) oùa est u élémet de L (F), lorsque y est u élémet de F, l uique solutio défiie sur R vérifiat la coditio iitiale x() = y est l applicatio t exp(ta)y. Les solutios de l équatio x (t) = ax(t) +b(t) sot les foctios de la forme t exp(ta)l(t)oùl C (I, F)vérifie: t I, l (t) = exp( ta)b(t). Exercice 4. ( ) cos t si t Pour tout t R, o pose A(t) =. si t cos t ( x Détermier les foctios X = de classe C y) de R das R telles que (E) t R, X (t) = A(t)X(t). Doer ue base de l espace vectoriel S des solutios à valeurs réelles. O peut écrire l équatio différetielle liéaire (E) sous la forme d u système différetiel : { x = x cos t y si t (S ) y = x si t + y cos t E posat z = x + iy le système s écrit Duod La photocopie o autorisée est u délit z = (x cos t y si t)+i(x si t + y cos t) = (cos t + i si t)(x + iy) = e it z Il s agit alors d ue équatio différetielle liéaire scalaire du premier ordre dot les solutios sot les foctios z telles que t R, z(t) = le ieit = le si t (cos(cos t) i si(cos t)), où l est ue costate complexe. E posat l = ( a + ib (avec (a, b) R ), o obtiet x les solutios de (E). Ce sot les foctios X = de R das R y) telles que ( ) ( x(t) e si t ) (a cos(cos t)+b si(cos t)) t R, = y(t) e si t (b cos(cos t) a si(cos t)) ( ) ( ) = ae si t cos(cos t) + be si(cos t) si t si(cos t). cos(cos t)

360 34 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires ( ) ( ) Les foctios X : t e si t cos(cos t) et X si(cos t) : t e si t si(cos t) formet cos(cos t) u système géérateur de l espace vectoriel S des solutios à valeurs réelles. Comme dim(s) =, elles formet ue base de S. Exercice 4.3 Résoudre l équatio différetielle X = AX où A =. A est ue matrice carrée d ordre 3 et de de rag. O vérifie facilemet que A =. O a doc t R, exp(ta) = I 3 + ta. O sait alors que les solutios sot de la forme X : t (I 3 + ta)x,avecx = a b R 3. c 4..3 Équatio différetielle scalaire liéaire du secod ordre Ce qu il faut savoir O cosidère ue équatio différetielle de la forme : x I, a(x)y + b(x)y + c(x)y = d(x) () où a, b, c, d sot des foctios umériques (à valeurs das K = R ou C), cotiues sur u itervalle I de R, et où l icoue y est ue foctio de classe C de I das K. L équatio différetielle x I, a(x)y + b(x)y + c(x)y = () est appelée l équatio homogèe associée à (). Das la suite ous supposos que a e s aule pas sur I. Théorème (Cauchy-Lipschitz) : soit x I,etsoit(v, v ) K. Alors il existe ue uique solutio y de (E) vérifiat les coditios iitiales y(x ) = v et y (x ) = v. L esemble E des solutios de () est u sous-espace vectoriel de dimesio du K-espace vectoriel des foctios de classe C sur I. Ue base de l espace vectoriel E est appelé u système fodametal de solutios. Soiet y et y deux solutios de (). La foctio W = y y y y est appelée Wroskie du couple (y, y ). Elle est solutio de l équatio différetielle x I, a(x)w + b(x)w =.. Das le cas où les foctios a, b, c et d sot à valeurs réelles o recherche gééralemet les solutios à valeurs réelles.

361 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 343 Pour que (y, y ) forme u système fodametal de solutios de (), il faut et il suffit que W e s aule pas sur I, et il suffit, pour cela, qu il soit o ul e u poit x de I. L esemble F des solutios de l équatio complète () est u sous-espace affie de dimesio de l espace vectoriel C (I, K), dot la directio est l espace vectoriel E des solutios de l équatio homogèe : si y est ue solutio particulière de (), les solutios de () sot les foctios de la forme y + y, avecy E. Exercice 4.4 CCP MP 6 ) Résoudre l équatio différetielle (E) (x )y xy + y = sur], [ et sur ], + [. ) Détermier les solutios défiies sur R. 3) Soiet a et b deux réels. A quelle coditio existe-t-il ue solutio défiie sur R, vérifiat les coditios iitiales y() = a et y () = b? Idicatio de l examiateur : (E) admet des solutios évidetes très simples. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Il s agit d ue équatio différetielle du secod ordre. O observe que les foctios u et v défiies sur R par u(x) = x et v(x) = e x sot des solutios de (E). Attetio : pour pouvoir appliquer le théorème de Cauchy ou le théorème cocerat la dimesio de l espace vectoriel des solutios, il faut se placer sur des itervalles ou le coefficiet de y e s aule pas! Plaços ous, par exemple, sur l itervalle I = ], + [. Les foctios u et v formet u système fodametal de solutios sur cet itervalle puisque leur Wroskie W (x) = u(x)v (x) u (x)v(x) = (x )e x est o ul. Les solutios de (E) suri sot doc les foctios y défiies par x I, y (x) = a e x + b x où a et b sot deux costates réelles. De même, les solutios défiies sur I = ], [ sot les foctios y telles que y (x) = a e x + b x avec (a, b ) R. ) Cherchos maiteat les solutios défiies sur R. Soit y : x a e x + b x ue solutio défiie sur I et y : x a e x + b x ue solutio défiie sur I. Pour qu elles soiet les restrictios d ue solutio y défiie sur R, il faut et il suffit que : lim y (x) = lim y (x) x + x lim x y (x) = lim y (x) + x lim x y + (x) = lim x y (x) c est-à-dire a e + b = a e + b, a e + b = a e + b et a = a.

362 344 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires Ces coditios (appelées coditios de raccordemet) sot vérifiées si, et seulemet si, a = a et b = b. Il e résulte que les solutios de (E) défiies sur R sot toutes les foctios de R das R de la forme y : x ae x + bx où a et b sot deux costates réelles. 3) Si y est ue solutio défiie sur R, alors e remplaçat x par das (E), o a y () + y() =. Pour qu il existe ue solutio y défiie sur R vérifiat y() = a et y () = b,ilfautetilsuffitquea = b. Remarque o voit sur cet exemple que le théorème de Cauchy peut être mis e défaut si le coefficiet de y s aule e u poit Méthodes de résolutio a) La méthode de variatio des costates Das le cas où o coaît u système fodametal de solutios de l équatio homogèe, mais où o e coaît pas de solutio particulière de l équatio complète, o utilise gééralemet la méthode de variatio des costates : Ce qu il faut savoir O cosidère l équatio (E) a(x)y + b(x)y + c(x)y = d(x), où la foctio a e s aule pas sur I. Soit (y, y ) u système fodametal de l équatio homogèe associée. Alors les solutios de l équatio (E) sot toutes les foctios de la forme y = ly + my, où l et m sot des foctios de classe C sur I dot les dérivées vérifiet { l y + m y = l y + m y = d/a. Exercice 4.5 Mies Pots MP 6 et 7 Résoudre l équatio différetielle (E) y + y = cota x sur I = ], p[. Les foctios x cos x et x si x formet u système fodametal des solutios défiies sur I de l équatio homogèe y + y =. O sait alors que les solutios de l équatio complète sot de la forme y : x l cos x + m si x où l et m sot des foctios de classe C telles que { l (x)cosx + m (x)six = x I, l (x)six + m (x)cosx = cos x si x O e déduit aisémet l (x) = cos x et m (x) = cos x si x = si x + si x,

363 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 345 ( d où l(x) = si x+a et m(x) = cos x +l ta x ) +b où a et b sot deux costates réelles. Les solutios de (E) sot doc les foctios y défiies sur I par ( y(x) = (si x)l ta x ) + a cos x + b si x où a et b sot deux costates réelles. b) Chagemet de foctio icoue Exercice 4.6 Extrait de Cetrale MP 6 Soit k R. Résoudre l équatio différetielle (E k ) xy +y + kxy = sur I = ], + [ à l aide du chagemet de foctio icoue z : x xy(x). Duod La photocopie o autorisée est u délit Pour toute foctio y C (I, R), la foctio z défiie par z(x) = xy(x) est de classe C sur I, et elle vérifie z = xy + y et z = xy +y. Pour que y soit solutio de (E k ), il faut et il suffit que z soit solutio de l équatio différetielle à coefficiets costats (E k) z + kz =. Si k <, les solutios de (E k) sot les foctios z telles que x I, z(x) = A ch( kx)+b sh( kx), où A et B sot deux costates réelles. Les solutios de (E k ) sot alors les foctios y telles que y(x) = x (A ch( kx)+b sh( kx)). Si k =, les solutios de (E k) sot les foctios z telles que x I, z(x) = Ax+B, où A et B sot deux costates réelles. Les solutios de (E k ) sot alors les foctios y telles que y(x) = A + B x. Si k >, les solutios de (E k) sot les foctios z telles que x I, z(x) = A cos( kx)+b si( kx), où A et B sot deux costates réelles. Les solutios de (E k ) sot alors les foctios y telles que y(x) = x (A cos( kx)+b si( kx)). Ce qu il faut savoir Cas où o coaît ue solutio de l équatio homogèe Lorsque h est ue solutio de l équatio homogèe e s aulat pas, o peut résoudre l équatio complète à l aide du chagemet de foctio icoue y = zh. La foctio z est alors solutio d ue équatio différetielle liéaire du premier ordre.

364 346 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires Exercice 4.7 Mies-Pots MP 7 O cosidère l équatio différetielle (E) (+x)y y +( x)y =. ) Vérifier que la foctio x e x est ue solutio de (E) défiie sur R. ) Résoudre (E) sur chacu des itervalles I = ], [ et sur I = ], + [. ) O a pour tout x R, (+x)e x e x +( x)e x =. La foctio x e x est doc ue solutio défiie sur R de l équatio différetielle (E). ) O effectue la résolutio de l équatio différetielle (E) à l aide du chagemet de foctio icoue y = e x z. O a alors y = e x (z + z )ety = e x (z +z + z ). L équatio différetielle (E) s écrit alors ( + x)z +xz =. Il s agit d ue équatio différetielle du premier ordre vérifiée par la foctio z. Comme le coefficiet de z s aule au poit x = ous cherchos les solutios z défiies sur I = ], [ et les solutios z défiies sur I = ], + [. Sur chacu de ces itervalles o a z k = x +x z k = ( + ) z k +x z k est doc solutio d ue équatio différetielle du premier ordre. O e déduit : x I k, z k(x) = l k ( + x) e x où l k (k =, ) est ue costate réelle. O obtiet alors, après deux itégratios par parties successives : x I k, z k (x) = l k ( x + x ) e x + b k (k =, ) où l k et b k sot deux costates réelles. Il e résulte que : x I k, y k (x) = a k ( 5+6x +x ) e x + b k e x (k =, ) où a k et b k sot deux costates réelles. c) Raccordemet de solutios Exercice 4.8 Mies-Pots MP 7 (suite de l exercice précédet) Détermier la dimesio de l espace vectoriel des solutios défiies sur R de l équatio différetielle (E) (+x)y y +( x)y =.

365 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 347 Nous avos effectué la résolutio de (E) sur les itervalles I I = ], + [ das l exercice précédet. = ], [ et Soit y k : x a k (5 + 6x +x )e x + b k e x ue solutio défiie sur I k (k = ou ). O a alors y k(x) = a k ( x x )e x + b k e x et y k (x) = a k ( 3 x +x )e x + b k e x. O a doc lim x y k(x) = a k e + b k e, lim x y k(x) = a k e + b k e et lim x y k (x) = a k e + b k e. Il e résulte que y et y sot les restrictios d ue solutio y défiie sur R si et seulemet si a e + b e = a e + b e (coditios de raccordemet). O peut alors choisir les costates, a, a et b arbitrairemet das R ; la costate b est alors détermiée par b = b +(a a )e. E preat e particulier a =, a = etb =, o a b = e et o obtiet la solutio f défiie par (5 + 6x +x )e x si x I, f (x) = e si x =, e +x si x I. De même e preat (a, a, b ) = (,, ), o a b = e et o obtiet la solutio f défiie par si x I, f (x) = si x =, (5 + 6x +x )e x e +x si x I. Duod La photocopie o autorisée est u délit Efi e preat (a, a, b ) = (,, ) o a b = et o obtiet la solutio f 3 défiie par f 3 (x) = e x pour tout x R. Toute solutio f défiie sur R est alors de la forme f = a f + a f + b f 3. Les foctios f, f et f 3 sot liéairemet idépedates car si f = a f + a f + b f 3 =, o obtiet, a = e preat la limite de f (x) quad x ted vers, puis o obtiet b = grâce à la valeur de f au poit x =, et il e résulte efi que a =. O e déduit que l esemble des solutios de (E) défiies sur R est u espace vectoriel de dimesio 3. d) Chagemet de variable Ce qu il faut savoir Il est souvet utile d effectuer u chagemet de variable das ue équatio différetielle du secod ordre. Pour être licite, u chagemet de variable doit être défii par u difféomorphisme de classe C.

366 348 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires Exercice 4.9 Cetrale MP 5 ) Résoudre l équatio différetielle (E) (x +)y +xy + utilisat le chagemet de variable x = ta t. ) Détermier la solutio f de (E) telle que f() = etf () =. x y =, e + ) L applicatio t x = ta t est u difféomorphisme de classe C de ] p/, p/ [ sur R dot l applicatio réciproque est la foctio Arcta. Si y ue foctio de classe C sur R, alors la foctio z défiie par z(t) = y(ta t) est de classe C sur ] p/, p/ [,etoay(x) = z(arctax) pour tout x R. O a esuite y (x) = z (arctax) x + et y (x) = z (arctax) xz (arctax) (x +), =. d où (x +)y (x)+xy (x)+ x + y(x) = z (arctax)+z(arctax) x + Rechercher ue solutio y de (E) surr reviet doc à chercher ue solutio de l équatio (F) z (t)+z(t) = +ta t sur ] p/, p/ [. U système fodametal des solutios de l équatio homogèe z + z = est costitué des foctios t cos t et t si t. Il existe doc deux foctios u et v de classe C sur ] p/, p/ [ telles que, pour tout t ] p/, p/ [, o ait le système { u (t)cost + v (t)sit = u (t)sit + v (t)cost = cos t. O obtiet facilemet u (t) = si t cos t et v (t) =. O e déduit cos t u(t) = cos t + a où a est ue costate réelle. Pour détermier les primitives de v v (t) = cos t si t = ( cos t si t + cos t ). O obtiet alors +sit v(t) = l +sit si t + b écrivos où b est ue costate réelle. Les solutios de F sot doc les foctios de la forme où (a, b) R. z : t + si t l +sit si t + a cos t + b si t

367 4. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 349 E utilisat le fait que, pour tout x R, o a cos(arctax) = si(arctax) = x, o déduit e particulier x + x + et +sit l si t = x l ++x x +x = l( x ++x) = argsh x. O e déduit que les solutios de (E) surr sot les foctios de la forme où (a, b) appartiet à R. y(x) = + x +x argsh x + a + bx +x ) Cherchos a et b pour y() = ety () =. O a tout d abord y() = +a. Esuite y (x) = x +x x +argshx + b ( + x ) 3/, doc y () = b =. Coclusio : la solutio cherchée est la foctio f défiie sur R par f(x) = + x +x argsh x + +x +x. Duod La photocopie o autorisée est u délit e) Recherche de solutios développables e série etière Exercice 4. (TPE MP 7) O cosidère l équatio différetielle (E) : 4xy +y y =. ) Détermier les solutios de (E) développables e série etière. ) Résoudre (E)surR + à l aide du chagemet de variable t = x. 3) Résoudre (E)surR. 4) Quelles sot les solutios de (E) surr? ) Il s agit d ue équatio différetielle liéaire du secod ordre. Comme le coefficiet de y s aule pour x =, rie e permet d affirmer l existece d ue solutio défiie au voisiage de, ecore mois l existece d ue solutio développable e série etière! Nous cherchos a priori ue série etière a x de rayo de covergece R > dot la somme S soit solutio de (E). O a alors, pour tout x ] R, R[, S(x) = S (x) = = ( +)a + x. = a x, S (x) = = ( +)a + x et

368 35 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires E collectat les coefficiets de x o obtiet : 4xS (x)+s (x) S(x) = avec b = 4( +)a + +( +)a + a. = b x, L uicité du développemet e série etière de la foctio ulle motre que S est ue solutio de (E) sietseulemetsi: N, ( + )( +)a + = a Il s agit d ue relatio de récurrece liéaire d où o déduit aisémet a = ()! a. Il est importat, avat de coclure, de s assurer que le rayo de covergece R est o ul. Si a est o ul, alors, pour tout N, a est o ul, et la relatio ( ) motre que a + quad +. O déduit alors de la règle de d Alembert a que le rayo de covergece R estégalà+. Les solutios développables e série etière de (E) sot doc les foctios défiies sur R, de la forme S = as,oùa est ue costate réelle arbitraire et, x x R, S (x) = ()!. = Lorsque x >, o peut écrire x = ( x). O a doc S (x) = ch x. Lorsque x <, o peut écrire x = ( ) ( x),etoas (x) = cos x. D où : x R, S (x) = { ch x si x, cos x si x <. ) L applicatio t x = t est u difféomorphisme de classe C de I = R + sur lui-même, dot la réciproque est l applicatio x t = x.siy C (I, R), alors la foctio composée défiie par z(t) = y(t ) est de classe C sur I et vérifie : t I, z (t) = ty (t )etz (t) = y (t )+4t y (t ) = y (x)+4xy (x). Aisi pour que y soit ue solutio de (E), il faut et il suffit que z soit solutio sur R de l équatio différetielle z = z. Il existe doc deux costates réelles a et b telles que t I, z(t) = a ch t + b sh t. Les solutios de (E)surI sot doc les foctios y telles que x I, y(x) = a ch x + b sh x. 3) Pour résoudre l équatio (E) sur I = R, ous utilisos l applicatio t x = t qui est u difféomorphisme de classe C de I sur I.Oaici z(t) = y( t ), d où z (t) = ty ( t )et z (t) = y (t )+4t y (t ) = y (x) 4xy (x). Pour que y soit ue solutio de (E), il faut et il suffit que z (t) = z(t). Les solutios y de (E)surI sot doc les foctios telles que y(x) = a cos x + b si x. ( )

369 4. Exercices d etraîemet 35 4) Nous devos étudier le raccordemet évetuel e d ue solutio y défiie sur I par y (x) = a ch x + b sh x et d ue solutio y défiie sur I par y (x) = a cos x + b si x. Supposos que y et y soiet les restrictios d ue solutio y défiie sur R. Alors y, y, y ot des limites fiies e +, y, y, y ot des limites fiies e,et lim (x) = lim (x) pour k =,,. x y(k) + x y(k) O a lim y (x) = a, et, pour tout x I, y (x) = x + x (a sh x + b ch x). Si b est o ul, alors y (x)tedvers (avec le sige de b ). O a doc écessairemet b =, et o a alors lim x y (x) = a +. O voit de même que lim y (x) = a, que b = et que lim y (x) = a x x. Il e résulte alors que a = a, et o observe alors (e posat a = a = a ) que y = as où S est la solutio développable e série etière détermiée à la questio. Réciproquemet ue telle foctio est bie ue solutio de (E) surr. Les solutios défiies sur R sot doc les foctios as,oùa est ue costate réelle. 4. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice 4. Mies-Pots MP 5 Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Résoudre l équatio différetielle (E) xy + y = sur ], [, ], [ x et ], + [. ) Motrer qu il existe ue uique solutio de (E) sur], [. 3) Motrer que cette solutio est de classe C sur ], [. ) Pour x, l équatio homogèe s écrit y + y = et a pour solutio x y : x A/ x, oùa est ue costate réelle. O sait alors (méthode de variatio de la costate) que les solutios de l équatio complète sot de la forme x A(x) x où A est ue foctio de classe C telle que x A (x) = x x, c est-à-dire (F) A sig(x) (x) = x ( x). Cherchos alors les solutios de (E) das les trois itervalles proposés.

370 35 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires Sur ], [ l équatio (E) s écrit A (x) =, ou ecore x( x) A (x) = x +( x).oedéduita(x) = arcta x + a où a est ue costate réelle. Les solutios de (E) sot doc les foctios f de la forme x arcta x + a avec a R. x Sur ], [ l équatio (E) s écrit cette fois A (x) = A (x) = x, ou ecore x( x) ( x).oedéduita(x) = argth x + b où b est ue costate réelle. Les solutios de (E) sot doc les foctios f de la forme x argth x + b x avec b R. Sur ], + [, o a comme das le cas précédet A (x) = ( x ce que l o peut écrire A (x) = x x + ( x), x ). O a doc A(x) = l x + x + c où c est ue costate réelle. Les solutios de (E) sot doc les foctios f 3 de la forme x l x+ x + c avec c R. x ) O remarque que les foctios f et f e peuvet avoir ue limite fiie e que si a = b =. Soit doc f la foctio défiie par arcta x si x ], [ f (x) = x argth. x si x ], [ x E utilisat les développemets limités e à l ordre 3 des foctios x Arcta x et x argth x o obtiet, aussi bie pour x > que pour x <, la relatio f (x) = +x/3 +o(x), ce qui motre que f se prologe e par la valeur, et le théorème de prologemet pour les foctios de classe C que ce prologemet est de classe C sur ], [, avec f () = /3. La relatio (E) est alors vérifiée pour tout x ], [. f est doc solutio de (E) surx ], [, et c est la seule. 3) O utilise cette fois les développemets e série etière de rayo des foctios x arctax et x argth x o obtiet, pour x <, f (x) = = x ( ) +, ce qui prouve que la foctio est développable e série etière, doc de classe C sur ], [. Comme elle l est égalemet sur ], [ (comme quotiet et composée de foctios C ), elle l est doc sur ], [.

371 4. Exercices d etraîemet 353 Exercice 4. Mies - Pots MP 7 Soit (a, b) R. Motrer que l équatio différetielle y 4y = a x + b admet ue uique solutio dot le graphe possède des asymptotes lorsque x ted vers + et vers. Duod La photocopie o autorisée est u délit Le secod membre état ue foctio cotiue sur R, les solutios de l équatio différetielle sot de classe C. U système fodametal des solutios de l équatio homogèe y 4y = est costitué des foctios x e x et x e x. Les solutios de l équatio homogèe sot doc x ae x + be x où (a, b) appartiet à R. Sur ], + [, l équatio différetielle s écrit y 4y = ax + b. Elle admet ue solutio particulière de la forme y(x) = (ax + b)/4, doc les solutios sot les foctios y : x ae x + be x (ax + b)/4. Si le graphe de la solutio admet ue asymptote e +, alors le rapport y(x)/x a ue limite fiie lorsque x ted vers + ce qui est possible que si a =. O a doc y(x) = be x (ax + b)/4 ety (x) = be x a/4. Sur ], [, l équatio différetielle s écrit y 4y = ax + b. Elle admet ue solutio particulière de la forme y(x) = (ax b)/4, doc les solutios sot les foctios y : x a e x + b e x +(ax b)/4. Si le graphe de la solutio admet ue asymptote e, alors le rapport y(x)/x a ue limite fiie lorsque x ted vers ce qui est possible que si b =. O a doc y(x) = a e x +(ax b)/4 ety (x) = a e x + a/4. Par cotiuité de f e, o a doc a = b, et par cotiuité de f e, o a b a/4 = a + a/4. O e tire a = b = a/8. a O costate que le graphe de la solutio obteue y(x) = 8 e x ax + b 4 a 8 ex + ax b 4 admet l asymptote d équatio y = (ax + b)/4 e+ et l asymptote d équatio y = (ax b)/4e. C est doc bie la solutio cherchée et elle est uique. Exercice 4.3 Mies-Pots MP 6, École Polytechique MP 7 Trouver les foctios f : R R cotiues telles que x R, f (x) = x f (t)cos(x t)dt +. ( )

372 354 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires La relatio ( ) s écrit aussi f (x) = cos(x) x x f (t)cos(t)dt +si(x) et o e déduit que f est de classe C et que f (x) = si(x) x x = si(x) f (t)cos(t)dt +cos (x) f (x)+cos(x) +si (x) f (x) f (t)cos(t)dt +cos(x) Il e résulte que f est de classe C et que f (x) = cos(x) x x f (t)si(t)dt + x f (t)si(t)dt +f (x). f (t)cos(t)dt si(x)cos(x) f (x) si(x) +si(x)cos(x) f (x)+f (x) x x = cos(x) f (t)cos(t)dt si(x) f (t)si(t)dt +f (x) = f (x)+f (x). f (t)si(t)dt x f (t)si(t)dt Aisi f est ue solutio de l équatio différetielle liéaire à coefficiets costats y y + y =. L équatio caractéristique r r + a ue racie double r =. Les solutios de l équatio homogèe sot de la forme y = (a + bx)e x où a et b sot deux costates réelles. Comme la foctio costate égale à est solutio de l équatio complète, o e déduit que f (x) = (a + bx)e x +,avec(a, b) R. La relatio f () = doe a =. O a doc f (x) = bxe x +, d où f (x) = b(x +)e x, et comme f () = f () =, o a b = et fialemet f (x) = xe x +. O vérifie réciproquemet sas difficulté que la foctio f aisi défiie vérifie la relatio idiquée. Exercice 4.4 Mies-Pots MP 7 ) Résoudre l équatio différetielle (E) x y + y = surr + à l aide du chagemet de variable x = e t. ) Détermier les foctios de classe C sur R + telles que ( ) x R +, f (x) = f. x

373 4. Exercices d etraîemet 355 ) La foctio t e t est u difféomorphisme de classe C de R sur ], + [ dot la réciproque est la foctio logarithme. Cela justifie le chagemet de variable x = e t. À chaque foctio f de classe C sur ], + [, associos la foctio g défiie par t R, g(t) = f (e t ). La foctio g est de classe C sur R, et o a, pour tout t R, g (t) = e t f (e t ) et g (t) = e t( f (e t )) + e t f (e t ) ), c est-à-dire e posat x = e t, g (t) = xf (x) et g (t) = x( f (x)+xf (x)). O e déduit x f (x) = g (t) g (t). Il e résulte que f est ue solutio de (E) sietseulemetsig est ue solutio de l équatio différetielle à coefficiets costats (E ) g g + g =. L équatio caractéristique r r += admet deux racies complexes cojuguées : r = 3 +i et r = 3 i. Les solutios de (E ) sot doc les foctios g telles ( ( ) ( )) que g(t) = e t 3 3 A cos t + B si t où A et B sot deux costates réelles. O e déduit que les solutios de (E) sot les foctios défiies sur R + par f (x) = ( ( ) ( )) 3 3 x A cos l x + B si l x. ) Soit f ue foctio de classe C sur R + telle que f (x) = f ( ). x La foctio f est la composée de deux foctios de classe C, doc est de classe C. Il e résulte que f est de classe C et o a : x R +, f (x) = ( ) x f = x x f (x). Duod La photocopie o autorisée est u délit La foctio f est ue solutio de l équatio différetielle (E) x y + y =, et il existe doc des costates réelles A et B telles que : f (x) = ( ( ) ( )) 3 3 x A cos l x + B si l x. Il s agit maiteat de vérifier das l équatio iitiale : (( f (x) = A x + B ) ( ) ( 3 3 cos l x B + A ) ( )) 3 3 si l x f ( ) ( ) ( )) = (A 3 3 cos x x l x B si l x.

374 356 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires 3 E preat e particulier la valeur x = x telle que l(x ) = p, puis la valeur 3 x = x telle que l(x ) = p ( ), o voit que la relatio f (x) = f équivaut x à A + B 3 = A et B A 3 = B, c est-à-dire à A = B 3. Les foctios cherchées sot doc les foctios de R + das R telles que x R +, f (x) = B ( ( ) ( )) 3cos 3 3 x l x +si l x = B ( ) 3 x cos l x p. 6 Exercice 4.5 Mies-Pots MP 6 K Soit E = R mui de la orme euclidiee et A u edomorphisme de E. Motrer que toutes les solutios de l équatio différetielle (E) Y = AY sot de orme costate si et seulemet si A est atisymétrique. Précisos u peu les otatios. O muit l espace vectoriel R de sa structure euclidiee caoique, et o désige par < x, y > le produit scalaire de deux vecteurs x, y R. Il est commode d idetifier u edomorphisme de R avec sa matrice das la base caoique (Aisi la otatio Ax désige idifféremmet l image de x R par l edomorphisme A, ou le produit de la matrice A avec la matrice uicoloe des coordoées de x das la base caoique). O sait que parmi les edomorphismes de R, ceux qui sot atisymétriques sot caractérisées par la propriété suivate : x R,<Ax, x >=. À chaque solutio X de (E), associos la foctio f X de R das R défiie par t R, f X (t) = X(t) =< X(t), X(t) >. Il s agit d ue foctio de classe C,et t R, f (t) = < X (t), X(t) >= < AX(t), X(t) >. Si A est atisymétrique, alors f X =, et la foctio f X est costate, doc X est de orme costate. Supposos réciproquemet que les solutios de (E) sot de orme costate. Soit x R. D après le théorème de Cauchy, il existe ue solutio X de l équatio (E) telle que X() = x. Comme X est de orme costate, f X est costate et f X =. O a e particulier < Ax, x >=< AX(), X() >= f X() =. Il e résulte que A est atisymétrique.

375 4.3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 4.6 Polytechique MP 6K Soit g : x si x. ) Détermier le développemet e série de Fourier de g. 4.3 Exercices d approfodissemet 357 ) Motrer que l équatio différetielle (E) y + y = g(x) admet ue et ue seule solutio f de classe C et p-périodique. 3) Motrer que f est de classe C 3 par morceaux. ) Comme g est cotiue, p-périodique et de classe C par morceaux, sa série de Fourier coverge ormalemet sur R, etsasommeestégaleàg. Nous revoyos le lecteur à l exercice 3.6 page 36 où o a obteu : g(x) = p + 4 cos(px) p 4p. ) La foctio g état cotiue sur R, l équatio (E) admet pour solutios les foctios y de la forme y(x) = a cos x + b si x + c(x)oùc est ue solutio particulière de (E) etoùa et b sot deux ombres réels. Cherchos a priori ue solutio c défiie sur R par c(x) = a + a cos(x) telle que l o puisse justifier les dérivatios terme à terme : = = p= c (x) = a si(x) et c (x) = a cos(x). = Duod La photocopie o autorisée est u délit O aura alors c (x)+c(x) = a + + a ( )cos(x). = D où l égalité a + + a ( )cos(x) = p + 4 p = p= cos(px) 4p. Alors pour que c soit solutio de (E) il suffit que les coefficiets des deux séries soiet égaux deux à deux, c est-à-dire que les coefficiets impairs soiet uls et que, pour tout, o ait a = 4 p ( 4 ). Il reste à s assurer que la foctio c défiie sur R par c(x) = p + 4 cos(x) p ( 4 ), = est bie solutio de (E). Tout d abord, o vérifie que les séries défiissat c, c et c coverget ormalemet sur R ce qui assurera que c est de classe C.

376 358 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires Or, si, pour tout x réel, o pose u (x) = cos(x) ( 4 ), alors si(x) u (x) = ( 4 ) et u (x) = 4 cos(x) ( 4 ). Alors u (4 ) 6 4, puis u (4 ) 4, et efi 83 u (4 ) 4. Doc toutes les séries majorates obteues coverget par comparaiso avec des séries de Riema, et comme u est de classe C, il e résulte que c est de classe C et que l o peut dériver terme à terme. Doc, pour tout x réel, c (x) = 4 cos(x) p ( 4 ), et c (x) = 4 4 cos(x) p ( 4 ). O retrouve alors = c (x)+c(x) = p + 4 p = cos(x) 4. Doc c est ue solutio de (E). O costate qu elle est p-périodique. Il reste à motrer l uicité. Les autres solutios de (E) sot de la forme t y(t) = a cos t + b si t + c(t). Mais comme t a cos t + b si t est p-périodique si et seulemet si a = b =, la foctio y est p-périodique si et seulemet si y = c. 3) O a vu que c est de classe C.Deplusc = c + g est de classe C par morceaux. O e déduit que c est de classe C 3 par morceaux. = Exercice 4.7 CCP MP 7 Trouver les foctios f de classe C de R das R telles que : (E) : x R, f (x)+ f ( x) = x +cosx. Idicatio de la rédactio : o rappelle que toute foctio de R das R se décompose de maière uique comme somme d ue foctio paire et d ue foctio impaire. Soiet g et h les parties respectivemet paire et impaire de f. Elles sot défiies par f (x)+ f ( x) f (x) f ( x) g(x) = et h(x) =. La foctio f est de classe C si et seulemet si g et h le sot, et la relatio (E) s écrit : x R, g (x)+g(x)+h (x) h(x) = x +cosx. Comme la foctio g + g est paire et la foctio h h est impaire, la relatio (E) est équivalete à : { g (x)+g(x) = cos x, () x R, h (x) h(x) = x. ()

377 4.3 Exercices d approfodissemet 359 La méthode de variatio des costates motre que les solutios de l équatio () sot de la forme z = A(x)cosx + B(x)six où A et B sot des foctios de classe C sur R telle que A (x)cosx + B (x)six = et A (x)cosx + B (x)six = cos x. O a doc A (x) = si x cos x et B (x) = cos x. D où A(x) = cos x + a et B(x) = si x cos x + x + b où a et b sot des costates réelles. O e déduit g(x) = x si x + a cos x + b si x, (a, b) R, et comme g est paire o a b =, et g(x) = x si x + a cos x. O voit de même (ici il y a ue solutio évidete) que les solutios impaires de () sot les foctios h telle que h(x) = x + b sh x où b est ue costate réelle. E coclusio les solutios de (E) sot les foctios f telles que : x R, f (x) = x si x x + a cos x + b sh x, (a, b) R. Exercice 4.8 Mies-Pots MP 7 Détermier la foctios f de classe C 4 sur R telles que f (4) = f, f () =, f () = f () = f () =. Duod La photocopie o autorisée est u délit f est solutio d ue équatio différetielle d ordre 4 mais o se ramèe aisémet à ue équatio différetielle liéaire du secod ordre, e posat g = f f.la foctio g est de classe C sur R et elle vérifie g + g = f (4) f =. Il existe doc deux costates réelles A et B telles que x R, g(x) = A cos x + B si x. La foctio f apparaît alors comme ue solutio de l équatio différetielle (E) y y = A cos x + B si x. Les solutios de l équatio homogèe associée sot les foctios y telles que x R, y(x) = c ch x + d sh x, oùc et d sot des costates réelles. Comme la foctio y défiie par y (x) = A cos x + B si x est ue solutio particulière de (E), il existe 4 costates réelles a, b, c, d telles que x R, f (x) = a cos x + b si x + c ch x + d sh x. Les coditios iitiales s écrivet alors : a + c =, b + d =, a + c = et b + d =. O e déduit que b = d = eta = c = /. O a doc x R, f (x) = (cos x +chx).

378 36 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires Exercice 4.9 Mies-Pots MP 7 O cosidère l équatio différetielle (E) : y + qy =, où q est ue foctio cotiue et itégrable sur R +. ) Motrer que si f est ue solutio borée de (E), alors lim x + f (x) =. ) Soit ( f, g) u système fodametal de solutios de (E). Démotrer que leur Wroskie W = fg f g est ue costate. 3) (E) admet-elle des solutios o borées? ) Soiet f ue solutio borée de (E), et M R + tel que f (x) M pour tout x R +. O a alors f M q, ce qui motre que f est itégrable sur R +.Il e résulte que f admet ue limite fiie l e +. Démotros par l absurde que l =. Supposos l. Quitte à remplacer f par f (qui est aussi ue solutio borée de (E)), o peut supposer l>. Il existe alors x R + tel que f (x) l pour tout x x,eto a alors x x, f (x) = f (x )+ que lim x + x f (x) = +, ce qui est absurde. ) Le wroskie W = fg f g est de classe C sur R +,et Aisi W est costat. x f (t)dt f (x )+ l (x x ). Il e résulte W = fg f g = qfg+ qfg =. 3) Démotros par l absurde que (E) admet au mois ue solutio o borée. Pour cela supposos toutes les solutios de (E) borées. Soit ( f, g) u système fodametal de solutios de (E). Posos W = fg f g. W est ue costate, et comme f et g sot borées, f et g tedet vers e +. Il e résulte que lim x + ( f (x)g (x) f (x)g(x) ) =, et doc que W =, ce qui est absurde (le wroskie d u système fodametal de solutios est o ul). L exercice suivat à été proposé das la filière PSI. Il peut aussi itéresser les étudiats de la filière MP. Exercice 4. Cetrale PSI 6 Soit f ue solutio défiie sur R de l équatio différetielle (E) y (x 4 +)y = telle que f () = f () =. ) Justifier l existece de f. ) Motrer que g = f est covexe ; calculer g() et g ().

379 4.3 Exercices d approfodissemet 36 3) Motrer que t R +, f (t). 4) La foctio t g(t) est-elle itégrable sur R +? 5) Motrer que h : x f (x) doée. x dt est solutio de l équatio différetielle g(t) ) (E) est ue équatio différetielle du secod ordre dot les coefficiets sot des foctios cotiues de R das R. Comme le coefficiet de y e s aule pas, le théorème de Cauchy motre qu il existe ue et ue seule solutio de (E) vérifiat les coditios iitiales f () = f () =. ) g = f est de classe C sur R et o a g = ff et g (x) = f (x) +f (x) f (x) = f (x)+(x 4 +)f (x) pour tout x R. g est doc covexe sur R. O a de plus g() = f () = etg () = f () f () =. 3) Comme g est covexe, la courbe d équatio y = g (x) est située au-dessus de sa tagete, otammet au poit d abscisse x =. O a doc g(x) +x, et e particulier g(x) pour tout x. O a doc aussi f (x), pour tout x R +. Comme f est cotiue, elle est de sige costat sur R +, et comme f () =, o a f (x), et doc f (x) pour tout x R +. 4) La relatio g (x) = f (x)+(x 4 +)f (x) motre que x R +, g (x) x 4. x Il e résulte que g (x) g () + x 4 dx x 5 5. O a doc g(x) g() + x 6 qui démotre que g est itégrable sur R +. 5 = + x 6 5, d où x R +, g(x) + x6 5,ce Duod La photocopie o autorisée est u délit 5) O a x + g(t) dt = x g(t) dt + dt. L applicatio u : x g(t) x est doc ue primitive de g. E particulier elle est de classe C. Il e résulte que h est de classe C sur R + et o a puis x R +, h (x) = f (x) x dt g(t) f (x) g(x) = f (x) h (x) = f dt (x) x g(t) f (x) g(x) + f (x) f (x) = (x 4 +)h(x) La foctio h est doc bie ue solutio de (E) surr +. x dt g(t) f (x) g(t) dt

380 36 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires Exercice 4. Mies - Pots MP 5 ) Résoudre l équatio différetielle (E) y y = ch 3 x. ) Soit f C (R, R) telle que f () = f () = et, x R, f (x) f (x) ch 3 x. Motrer que x R, f (x) sh x ch x. Idicatio de l examiateur : o pourra poser g = f f et utiliser l équatio différetielle y y = g. ) Suivos les idicatios de l examiateur et commeços par résoudre l équatio différetielle y y = g. U système fodametal des solutios de l équatio homogèe y y = est costitué des foctios x ch x et x sh x. Les solutios de l équatio (E) sot doc les foctios de la forme y : x u(x)chx + v(x)shx où u et v sot des foctios de classe C sur R telles que, pour tout x R, o ait le système { u (x)chx + v (x)shx = u (x)shx + v. (x)chx = g(x) O e déduit que u (x) = sh x g(x) etv (x) = ch x g(x). Aisi, l esemble des solutios réelles de l équatio y y = g est l esemble des foctios y : x ch x appartiet à R. x sh(t) g(t) dt +shx x ch(t) g(t) dt + a ch x + b sh x où (a, b) E particulier, lorsque g est la foctio défiie sur R par g(x) = ch 3 x,oa x [ sh(t)g(t) dt = ] x ch = t ch x = tah x, et x [ ] x ch(t)g(t) dt = taht = tahx. x x Alors ch x sh(t)g(t) dt +shx ch(t)g(t) dt = sh x ch x. L esemble des solutios réelles de l équatio y y = ch 3 x foctios x sh x ch x + a ch x + b sh x où (a, b) appartiet à R. est l esemble des

381 4.3 Exercices d approfodissemet 363 ) Soit f C (R, R) telle que f () = f () = et, x R, f (x) f (x) ch 3 x. Si l o pose f f = g, alors f est solutio de y y = g. Les coditios f () = f () = impliquet l = m =. D où, pour tout x R, f (x) = ch x x sh(t)g(t) dt +shx x ch(t)g(t) dt = x sh(x t)g(t) dt. Soit x réel. Comme sh(x t) a le même sige que x t, o peut écrire x x f (x) = sh(x t)g(t) dt sh(x t) ch 3 dt. Mais, d après la questio, t x x x sh(x t) ch 3 dt = ch x sh(t) t ch 3 dt +shx ch(t) t ch 3 t dt = sh x ch x, ce qui doe l iégalité voulue. Exercice 4. ENS MP 5 K Soit ue équatio différetielle (E) : y + a(t)y + b(t)y =, avec a et b réelles cotiues sur l itervalle I. ) Motrer qu aucue solutio o ulle a de zéro commu avec sa dérivée. ) Soit ( f, g) ue famille libre de solutios de (E). Motrer qu etre deux zéros de f se trouve u zéro de g. 3) O suppose a = etb. Motrer que toute solutio o ulle s aule au plus ue fois. 4) Soiet b b deux foctios réelles cotiues sur l itervalle I, f et f o ulles vérifiat respectivemet f + b f = et f + b f =. Motrer qu etre deux zéros de f se trouve u zéro de f. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Soit f ue solutio de E, etx R. Si f (x ) = f (x ) =, alors f est la foctio ulle d après le théorème de Cauchy. ) Rappelos que si ( f, g) est u système libre de solutios de (E), alors leur Wroskie W = fg f g e s aule pas sur I. (E particulier cela motre que f et g ot pas de zéro commu). Comme W est cotiue sur I, elle y est de sige costat, et quitte à remplacer f par f, o peut supposer W >. Soiet alors a et b deux zéros de f,aveca < b. Sig e s aule pas das l itervalle ouvert ]a, b[, alors f ( ) f g est de classe C sur [a, b] et = W g g <. La foctio h = f est doc strictemet décroissate sur [a, b], ce qui est absurde g puisque h(a) = h(b) =. 3) Soit f ue solutio o ulle de (E). La foctio h = ff est de classe C sur I,eth = f + ff = f bf ;h est doc croissate sur I.Si f admet

382 364 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires deux zéros a et b avec a < b, alors h est costate sur [a, b], etoah (x) = pour tout x [a, b]. Comme h f, o a aussi f (x) = pour tout x [a, b], et e particulier f (a) =, ce qui cotredit le résultat de la questio. 4) Soiet a et b deux zéros de f,aveca < b. Commeços par prouver l existece de c ]a, b] tel que f (c) = et f (x) pour tout x ]a, c[. Celareviet à démotrer que C = {x ]a, b] f (x) = } possède u plus petit élémet. Das le cas cotraire, o costruit aisémet (par récurrece sur N) ue suite (x ) strictemet décroissate d élémets de C. Cette suite est miorée, et elle est doc covergete. Notos l sa limite. Par cotiuité, o a f (l) =. Grâce au théorème de Rolle o peut choisir, pour tout N, u réel y [x +, x ] tel que f (y ) =. La suite (y ) est elle aussi covergete de limite l, et o a doc f (l) =, ce qui cotredit le résultat de la questio. La foctio f est de sige costat sur ]a, c[, et quitte à remplacer f par f, o peut supposer f >. Si f e s aule pas das [a, c], alors elle est de sige costat, et quitte à remplacer f par f o peut supposer f >. Cosidéros alors h = f f f f. Elle est de classe C sur [a, c], et h = f f f f = (b b ) f f est positive sur [a, c]. h est doc croissate sur [a, c] et o a h(a) = f (a) f (a) eth(b) = f (b) f (b). O sait par la questio, que f (a). Si f (a) était strictemet égatif, alors, par cotiuité, f est strictemet égative sur u itervalle de la forme [a, a + h], avec h >, et f serait strictemet décroissate sur cet itervalle. O aurait doc f (x) < pour tout x ]a, a + h], cotrairemet aux hypothèses. O a doc f (a) > et doc h(a) >. Par u argumet aalogue, o motre que f (c) <, et doc h(c) <, ce qui est absurde puisque h est croissace. f s aule doc au mois ue fois das l itervalle [a, c]. Exercice 4.3 Mies-Pots MP 5, TPE PSI OO7 K Soit f ue foctio cotiue et borée de R das R,etsoitv R +. Motrer qu il existe ue uique applicatio g de R das R, de classe C et borée, solutio de l équatio différetielle (E) y v y = f. Les solutios de l équatio homogèe y v y = sot les foctios y défiies sur R par y(x) = Ae vx + Be vx,oùa et B sot des costates réelles. O sait alors que les solutios de (E) sot de la forme y : x Ae vx + Be vx où A et B sot des foctios de classe C sur R telles que : { A (x)e vx + B (x)e vx =, x R, A (x)ve vx B (x)ve vx = f (x).

383 4.3 Exercices d approfodissemet 365 O obtiet aisi A (x) = v f (x)e vx et B (x) = v f (x)evx. O a doc ( y(x) = a + x ) ( f (t)e vt dt e vx + b x ) f (t)e vt dt e vx. v v Soit M u réel tel que f (t) M pour tout t R. O a alors f (t)e vt Me vt, ce qui motre que l applicatio t f (t)e vt est itégrable sur R. O a de plus x f (t)e vt dt M v evx, ( et doc la foctio x b x ) f (t)e vt dt e vx est borée sur R +.Ile v résulte que si y est borée sur R +, alors a + f (t)e vt dt =. v O motre de la même faço que si y est borée sur R, alors b v f (t)e vt dt =. Ceci démotre l uicité de a et de b, et doc, si elle existe, l uicité d ue solutio borée y. O a alors x R, y(x) = x v f (t)e vt dt x v e vx Réciproquemet, pour ces valeurs de a et de b, oa: f (t)e vt dt. Duod La photocopie o autorisée est u délit y(x) v evx M et doc y est borée sur R. Exercice 4.4 x e vt dt + x v e vx M e vt dt = M + v, (Iégalité de Growall) Polytechique MP 5 K ) Soiet k R +, t R,etsoiet f et g deux applicatios cotiues de R das R telles que t [t, + [, f (t) g(t)+k Motrer que t [t, + [, f (t) g(t)+k t t t t f (u)du. e k(t u) g(u)du. ) Soit A ue applicatio cotiue de R das M (R). Motrer qu il existe ue uique applicatio M de classe C de R das M (R) solutio de l équatio différetielle M = AM et vérifiat M(t ) = I.

384 366 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires Das la suite o muit M (R) d ue orme X X telle que I = et (X, Y ) M (R), XY X Y. 3) O suppose qu il existe k R + tel que t [t, + [, A(t) k. Démotrer que t [t, + [, M(t) e k(t t ). 4) Soit B ue applicatio cotiue de R das R. O suppose qu il existe h R + telle que t [t, + [, A(t) B(t) h, et o ote N l uique solutio de l équatio différetielle N = BN telle que N(t ) = I. Motrer que t [t, + [, M(t) N(t) e k(t t ) (e h(t t ) ). ) Posos F(t) = t t f (u)du. O défiit aisi ue foctio de classe C sur R et o a F (t) kf(t) g(t) pour tout t R. O a doc ( F(t)e kt) e kt g(t), d où t [t, + [, F(t)e kt = Il e résulte que F(t) t t t t ( F(u)e ku ) du e k(t u) g(u) du, et doc f (t) g(t) kf(t) k t t t e k(t u) g(u) du. t e ku g(u) du. ) Le théorème de Cauchy motre que l équatio différetielle liéaire M = A(t)M possède ue uique solutio vérifiat la coditio iitiale M(t ) = I. t 3) O a pour tout t t, M(t) = I + M (u)du = A(u)M(u)du, d où : t t t t M(t) + A(u)M(u) du +k M(u) du. t t E appliquat le résultat de la questio à f (t) = M(t) et g(t) =, o obtiet M(t) +k t t t e k(t u) du = [ e k(t u)] t t = e k(t t ). 4) O a, pour tout t R, B(t) B(t) A(t) + A(t) k + h, et doc, d après la questio précédete, N(t) e (k+h)(t t) pour tout t t. O a par ailleurs : M(t) N(t) = = = t t (M (u) N (u)) du t t (A(u)M(u) B(u)N(u)) du t t (A(u)(M(u) N(u)) du + t t (A(u) B(u))N(u) du

385 4.3 Exercices d approfodissemet 367 D où M(t) N(t) k k k t t A(u)(M(u) N(u)) du + t t t t t (M(u) N(u) du + h (M(u) N(u) du + h t t t t t t (M(u) N(u) du + h k + h t (A(u) B(u))N(u) du N(u) du e (k+h)(u t ) du ( e (k+h)(t t ) ). E appliquat le résultat de la questio à f (t) = M(t) N(t) et g(t) = h ( e (k+h)(t t ) ), o obtiet : k + h M(t) N(t) h ( e (k+h)(t t ) ) + kh e k(t u) ( e (k+h)(u t) ) du k + h k + h t h ( e (k+h)(t t ) ) k + h ( + ke k(t t ) ( e h(t t) ) + h ( e k(t t ) )) k + h t e (k+h)(t t ) e k(t t ) = e k(t t ) (e h(t t ) ). Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 4.5 École Polytechique MP 7 Soiet B : t R B(t) M (C) ue applicatio cotiue, et A M (C). ) Motrer qu il existe A : t R A(t) M (C) dérivable telle que t R, A (t) = A(t)B(t) B(t)A(t) et telle que A() = A. Das la suite o se propose de démotrer que A(t) est semblable à A. ) Motrer que l esemble S des solutios de (E) est ue sous-algèbre de l algèbre des applicatios de R das M (C), et motrer que pour tout t R, l applicatio qui à A S associe A(t) est u isomorphisme de l algèbre S sur l algèbre M (C). 3) E déduire qu il existe ue matrice P(t) GL (C), idépedate de A, telle que A(t) = P(t)A P(t). Idicatio : o pourra utiliser u résultat vu das le tome d algèbre : si s est u automorphisme de l algèbre M (C)), alors il existe ue matrice iversible P telle que M M (C), s(m) = PMP. (E)

386 368 Chap. 4. Équatios différetielles liéaires ) Pour tout t R, l applicatio X XB(t) B(t)X est u edomorphisme de l espace vectoriel M (C). L équatio (E) est doc ue équatio différetielle liéaire du premier ordre, et le théorème de Cauchy motre qu elle admet ue uique solutio A C (R, M (C)) vérifiat la coditio iitiale A() = A. ) O sait que l esemble S des solutios de (E) est u sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des applicatios de R das M (C). Soiet A et A deux solutios. L applicatio A A est défiie par (A A )(t) = A (t)a (t) pour tout t R ;c est ecore ue solutio car (A A ) = A A + A A = (A B BA )A + A (A B BA ) = A BA BA A + A A B A BA = A A B BA A. Comme S cotiet aussi l applicatio costate égale à I, S est ue sous-algèbre de l algèbre des applicatios de R das M (C). Pour tout t R, désigos par f t l applicatio de S das M (C) défiie par f t (A) = A(t). C est de faço évidete u morphisme de l algèbre S das l algèbre M (C), et le théorème de Cauchy motre que c est u isomorphisme. 3) Il e résulte que l applicatio w t = f t f qui à A = A() associe A(t) estu automorphisme de l algèbre M (C). Suivat l idicatio, il existe ue matrice P(t) GL (C) telle que A M (C), w t (A ) = A(t) = P(t)A P(t),

387 Équatios différetielles o liéaires 5 5. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION Ce qu il faut savoir Soiet U u ouvert de R et f ue applicatio cotiue de U das R. Soiet I u itervalle de R et y ue applicatio de I das R. O dit que le couple (I, y) est solutio de l équatio différetielle y = f (x, y) lorsque y est dérivable sur I et x I, (x, y(x)) U et y (x) = f (x, y(x)). De même, o dit que le couple (I, y) est solutio du problème de Cauchy e (x, y ) s il est solutio de l équatio précédete et si y(x ) = y. S il existe pas de solutio prologeat la foctio y sur u itervalle coteat strictemet I, o dit que la solutio est maximale. Théorème de Cauchy-Lipschitz, versio locale :Si f est de classe C sur U, alors pour tout (x, y ) U, le problème de Cauchy admet ue solutio défiie das u voisiage de x,etsi(i, y) et(j, z) sot deux solutios du problème de Cauchy e (x, y ), alors les foctios y et z sot égales sur I J. Théorème de Cauchy-Lipschitz :Si f est de classe C sur U, alors pour tout (x, y ) U, le problème de Cauchy (y = f (x, y), y(x ) = y ) admet ue uique solutio maximale et so itervalle de défiitio I est ouvert. Exercice 5. Soiet f : R R de classe C, borée, { et (x, y ) R. Motrer que la y = f (x, y) solutio maximale du problème de Cauchy est défiie sur R. y(x ) = y Soit ] a, b [ l itervalle de défiitio de la solutio maximale w. Supposos b fii. Comme w (x) = f (x, w(x)), la foctio w est borée sur [ x, b [, qui est u itervalle boré, doc itégrable sur cet itervalle, il e résulte que w admet ue limite fiie (otée l) eb, et par coséquet, w a pour limite f (b,l)eb. E posat w(b) = l, le théorème de prologemet C etraîe que w est de classe C sur

388 37 Chap. 5. Équatios différetielles o liéaires l itervalle ] a, b ], et que w est solutio du problème de Cauchy sur cet itervalle. Ceci cotredit la maximalité de l itervalle de défiitio de w. O e déduit que b = +. Le raisoemet est aalogue pour motrer que a =, doc w est défiie sur R. Exercice 5. Résoudre l équatio différetielle (x + y)y + y =. O observe que y est solutio si et seulemet si la foctio x xy + y a ue dérivée ulle, doc est costate, autremet dit (x + y) x est costate. La courbe d équatio cartésiee (x + y) x = C est ue hyperbole, doc les courbes itégrales de l équatio différetielle sot icluses das des braches d hyperboles. Soit (x, y ) R tel que x + y. L applicatio (x, y) y est de classe x + y C sur l ouvert {(x, y) R x + y } (qui est le pla privé de la deuxième bissectrice), doc le problème de Cauchy e (x, y ) admet ue solutio maximale (I, y) uique. Cette solutio est telle que y(x)+x e s aule pas, doc garde u sige costat, et x I, (y(x)+x) = K + x,aveck = (x + y ) x = y (y +x ). Si x + y >, alors o a x I, y(x) = x + x + K. Détermios maiteat l itervalle maximal I. Si y (x + y ) >, alors I = R. Si y (x + y ) <, alors I est l itervalle maximal coteat x sur lequel x y (x + y ). O observe que (x + y ) >, doc x > y (x + y ). O e déduit que si x >, alors I = ] y (x + y ), + [,et si x <, alors I = ], y (x + y )[. 5 y=-x y= x x y=-x y= x x.5 y= x y=-x x I = R I = ] y (x + y ), + [ I = ], y (x + y )[ Si x + y <, o e déduit que x I, y(x) = x x + K. La détermiatio de l itervalle maximal est la même qu au-dessus.

389 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 37 Exercice 5.3 Démotrer que le problème de Cauchy e (, ) pour l équatio différetielle y = y admet ue ifiité de solutios. Ceci est-il e cotradictio avec le théorème de Cauchy-Lipschitz? Soiet a >, et f a : R R la foctio défiie par x a, f a (x) = et x > a, f a (x) = 4 (x a). La foctio f a est de classe C sur ], a [ et ] a, + [etvérifief a () = et f a(x) = f a (x), sa dérivée a pour limite e a (à gauche et à droite), doc par théorème de prologemet C, f a est ue solutio de classe C défiie sur R. O peut choisir a arbitrairemet, ce qui doe ue ifiité de solutios au problème de Cauchy e (, ), aussi bie localemet que sur R. Ce résultat e met pas e défaut le théorème de Cauchy-Lipschitz, car la foctio (x, y) y est pas C sur R car y y est pas dérivable e. Ce qu il faut savoir Équatios à variables séparables Soit a ue applicatio de classe C d u itervalle J das R e s aulat pas, et b ue applicatio de classe C d u itervalle I das R. L équatio différetielle a(x)x b(t) = est dite à variables séparables. Si (t, x ) I J, le problème de Cauchy e (t, x ) admet ue solutio maximale uique, et o a etre t et x(t). x(t) x a(u) du = t t b(s) ds. Ceci fourit ue relatio implicite Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 5.4 TPE MP 6 Étudier aussi précisémet que possible les solutios maximales de y +e x y =. L équatio différetielle équivaut à l équatio à variables séparables y e y = e x. O cosidère la solutio maximale y du problème de Cauchy e (x, y ). O a x x alors x I, y (t)e y(t) dt = e t dt, doc e y(x) = e y + e x e x, d où x x y(x) = l(e x + e y e x ). O e déduit que I est l itervalle maximal coteat x sur lequel cette foctio est défiie et de classe C, d où I = ], l(e x + e y )[.

390 37 Chap. 5. Équatios différetielles o liéaires Ce qu il faut savoir Équatios autoomes Il s agit des équatios différetielles de la forme y = f (y), où f est ue foctio de classe C d u itervalle J à valeurs das R. Le théorème de Cauchy-Lipschitz s applique. Ivariace par traslatio :Siy est ue solutio sur I = ] a, b [etsix est u réel, alors la foctio x y(x x ) est solutio sur ] a + x, b + x [. Exercice 5.5 O cosidère l équatio différetielle y = f (y) où f : J R est de classe C.Soity u élémet de J. ) Vérifier que l applicatio costate x y est solutio (sur R) sietseulemet si f (y ) =. ) O suppose f (y ). Soit (I, y) la solutio maximale du problème de Cauchy (y = f (y), y(x ) = y ). Motrer que x I, f (y(x)). y(x) du E déduire que x I, x x = f (u). y ) La foctio costate w : x y a ue dérivée ulle, doc est solutio de l équatio différetielle si et seulemet si = f (y ). ) Supposos qu il existe x I tel que f (y(x )) =. La foctio y est alors solutio du problème de Cauchy au poit (x, y(x )) et la foctio costate égale à y(x ) égalemet, doc par uicité, o e déduit que ces deux foctios coïcidet sur I, et e particulier e x, ce qui doe y = y(x ), d où f (y ) =, ce qui est absurde. y (x) O peut doc diviser par f (y(x)), ce qui doe x I, =. O itègre f (y(x)) cette relatio etre x et x, d où x I, x x = e faisat le chagemet de variable u = y(s). x x y (s) f (y(s)) ds = y(x) y du f (u) Exercice 5.6 Cetrale MP 5 O cosidère l équatio différetielle y = y(y + ). ) Que peut-o dire d ue solutio (I, y) pour laquelle il existe x I tel que y(x ) =? Même questio si y(x ) =. ) Trouver les solutios maximales (I, y) de l équatio différetielle.

391 5. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 373 ) O peut appliquer l exercice précédet e preat f (y) = y(y +). La foctio f est de classe C et f () = f ( ) =, doc s il existe x I tel que y(x ) =, y est la foctio ulle (sur R), et de même si y(x ) =, y est costate égale à. ) O suppose y(x ) disticte de et. D après l exercice précédet, y e pred y(x) du i la valeur i la valeur, et x I, x x =. O e déduit u(u +) que x x = l ( y(x) y(x)+ y(x) = y + y y ), d où après calculs : y y + ex x y = y ex x y + ex x y + y e x x. L itervalle maximal I est le plus grad itervalle ouvert coteat x sur lequel e x x y + y. Si y >, alors I = ], x +l(+ y )[. Si < y <, alors I = R. Si y <, alors I = ] x +l(+ y ), + [ x.5 x x Duod La photocopie o autorisée est u délit cas y > Ce qu il faut savoir Systèmes autoomes cas < y < cas y < Soiet U u ouvert de R, f et g { deux applicatios cotiues de U das R. Ue x = f (x, y) solutio du système différetiel y est u triplet (I, x, y) oùi est = g(x, y) u itervalle de R et x et y deux applicatios de classe C de I das R telles que t I, (x(t), y(t)) U, x (t) = f (x(t), y(t)) et y (t) = g(x(t), y(t)). Théorème de Cauchy-Lipschitz :Si f et g sot de classe C sur U, alors pour tout (t, x, y ) R U, il existe ue uique solutio maximale (I, x, y)

392 374 Chap. 5. Équatios différetielles o liéaires du système différetiel vérifiat (x(t ) = x, y(t ) = y ) et so itervalle de défiitio I est ouvert. Ivariace par traslatio :Si(x, y) est ue solutio sur I = ] a, b [etsit est u réel, alors la foctio t (x(t t ), y(t t )) est solutio sur ] a + t, b + t [. Solutios costates : L applicatio costate t (x, y ) est solutio (sur R)si et seulemet si f (x, y ) = etg(x, y ) = (o dit que (x, y ) est u équilibre). Exercice 5.7 Soit (S) le système différetiel (x = y x + y, y = x x + y ). Soit (x, y ) R tel que x + y. Détermier la solutio maximale de (S) telle que (x() = x, y() = y ). Le théorème de Cauchy-Lipschitz s applique sur l ouvert U = {(x, y) R x + y }. O ote (x, y) la solutio maximale, et I so itervalle de défiitio. x + y = doc x + y = x + y +t. O e déduit x y (x y) = x + y +t, d où ( t ) du x y = (x y )exp = (x y )(x + y ). O e déduit x + y +u x + y +t e ajoutat et e soustrayat les expressios de x + y et x y que : x = x + y + t + (x y )(x + y ) (x + y +t) et y = x + y + t (x y )(x + y ) (x + y +t) L itervalle I est le plus grad itervalle ouvert coteat sur lequel x + y +t e s aule pas. Il s agit de ], (x + y )[ six +y <, et de ] (x + y ), + [ si x + y >. Ce qu il faut savoir Équatios autoomes du secod ordre : x = f(x, x ) Soiet U u ouvert de R et f ue applicatio de classe C de U das R. E appliquat le théorème de Cauchy-Lipschitz au système autoome (x = y, y = f (x, y)), o e déduit que pour tout (t, x, x ) R U, ilexiste ue uique solutio maximale de l équatio différetielle x = f (x, x ) telle que (x(t ) = x, x (t ) = x ) et so itervalle de défiitio est ouvert.

393 5. Exercices d etraîemet 375 Exercice 5.8 Trouver la solutio maximale du problème de Cauchy suivat : y = 8y 3, y() =, y () =. Le résultat ci-dessus s applique et garatit l existece et l uicité de la solutio cherchée. O multiplie la relatio y = 8y 3 par y et o obtiet y y = 8y y 3, puis o l itègre etre et x, ce qui doe y (x) 4 = 4(y(x) 4 ), d où y (x) = 4y(x) 4. S il existe x tel que y (x ) =, alors y(x ) =, or la foctio ulle est solutio du problème de Cauchy e (x,, ), doc par uicité, y est ulle, ce qui est absurde. O e déduit que y e s aule pas et garde u sige costat, e l occurrece strictemet positif car y () =, d où x I, y (x) = y(x). O obtiet ue équatio autoome du premier ordre que l o résout par les techiques vues précédemmet. Comme y(), y e s aule pas, doc x I, y(x) = x, d où y(x) =, et par coséquet I = ], /[. y(x) x y() du u = x, d où Remarque La techique cosistat à multipliat par y et à itégrer de x à x permet d obteir ue itégrale première (c est-à-dire ue équatio du premier ordre) pour toute équatio différetielle de la forme y = f (y) (équatio de Newto). 5. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 5.9 Mies-Pots MP 5 Étudier le problème de Cauchy e (x, y ) pour l équatio différetielle xy y + y3 x 3 = (o pourra poser z = y ). L équatio s écrit sous la forme y = f (x, y) avec f (x, y) = y x y3. La foctio x 4 f est de classe C sur R R. Six, le problème de Cauchy e (x, y )admet ue solutio maximale uique. Si y =, y est la foctio ulle par uicité. Si y, y e s aule pas sur I, sio y serait la foctio ulle par uicité, doc y garde u sige costat. L équatio équivaut à x y y 3 y + =, ce qui doe x 3

394 376 Chap. 5. Équatios différetielles o liéaires e posat z = y, l équatio liéaire suivate : z + x z =. L équatio homo- x 4 gèe associée se résout e A. La méthode de variatio de la costate coduit à x chercher z sous la forme A(x) x,avec A (x) x = x 4, doc A(x) = + A, d où x la solutio géérale z(x) = A x x 3 = Ax x 3, doc y = coditio iitiale, o obtiet A = + x. x y x 3 Ax.Avecla L itervalle maximal est le plus grad itervalle coteat x sur lequel x(ax ) >. La solutio y est doée par y(x) = sg(y ) x 3 Ax,où sg(u) désige le sige de u. O observe d ue part que A x = x A > équivaut à x (y + x 3 ) >. y >, doc A > x et d autre part que Si x >, alors < A < x, doc I = ], + [. A Si x < etx 3 +y, alors A, doc I = ], [. Si x < etx 3 +y >, alors A <, doc I = ] A, [ x x.8.4 x.5 I = ] A, + [ I = ], [ I = ] A, [ Remarque Toute équatio de la forme a(x)y + b(x)y + c(x)y a = (appelée équatio de Beroulli) se résout de maière aalogue e posat z = y a. Exercice 5. Cetrale MP 6 Détermier la solutio maximale de (x +x )y = y + y telle que y() =, puis y() =, puis y() =.

395 5. Exercices d etraîemet 377 L expressio x + x s aule e et, doc pour pouvoir appliquer le théorème de Cauchy-Lipschitz, ous allos résoudre cette équatio à variables séparables sur u itervalle coteat et iclus das ], [. O remarque que les foctios costates égales à ou et que l idetité sot solutios de l équatio différetielle sur ], [. O résout à préset le problème de Cauchy e (, y ). Si y =, alors y est costate égale à. L itervalle maximal est le plus grad itervalle ouvert coteat et e coteat pas et, c est-à-dire ], [. Si y =, par uicité, y(x) = x (avec le même itervalle maximal qu au-dessus). Si y =, alors y e pred pas les valeurs et (sio elle serait costate), y (x) doc x I, y(x) + y(x) = x. E itégrat de à x, o obtiet + x y(x) ( u x u + )du = ( t )dt, d où t + l ( y(x) ) (y(x)+) = l ( x ) 3x +, d où y(x) = x + x. L itervalle maximal est le plus grad itervalle ouvert coteat et e coteat i, i ; il s agit doc de ], [. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 5. Cetrale MP 6 O ote f la solutio maximale de y = e xy telle que f () =. ) Motrer que f est impaire. ) Motrer que f est défiie sur R et possède ue limite fiie l e +. 3) Motrer que l. ) D après le théorème de Cauchy-Lipschitz, f est défiie sur u itervalle ouvert ] a, b [, avec a < < b. La foctio g : x f ( x) vérifieg() = et g (x) = f ( x) = e xf( x) = e xg(x), doc est solutio du même problème de Cauchy sur ] b, a [. Par uicité, o e déduit que ] b, a [ ] a, b [, or les deux itervalles ot la même logueur, doc a = b et g = f, doc f est impaire. ) Puisque f >, la foctio f est croissate doc possède ue limite e b, fiie ou +. Supposos la limite ifiie. Das ce cas, il existe c ], b [ tel que x c, f (x), doc f (x) e x, d où, e itégrat etre c et x, o a f (x) f (c) + x c e t dt f (c) +e c, doc f est majorée, ce qui cotredit l hypothèse. Par coséquet f a ue limite fiie l e b.

396 378 Chap. 5. Équatios différetielles o liéaires Si b est fii, alors f (x) e bl quad x b, doc f est prologeable e ue solutio sur ] a, b ], ce qui cotredit la maximalité de ] a, b [. O e déduit que b = + et puisque f est impaire, elle est défiie sur R. 3) Si l<, alors x, f (x) <, doc f (x) = x e tf(t) dt > x e t dt = e x. E passat à la limite pour x tedat vers +, o obtiet l, ce qui est cotraire à l hypothèse. O coclut que l. Exercice 5. Cetrale 5 ) Soit (I, f) ue solutio maximale de y = x + y preat e u poit ue valeur positive. Motrer que I est majoré. ) Motrer que y = x + y admet ue uique solutio maximale impaire. ) O observe que f est strictemet positive sur I \{}, doc f est strictemet croissate sur I.Soitx I tel que f(x ) >. x I [ x, + [, f(x) >, doc f (x) f(x). O itègre cette iégalité etre x et x, doc f(x ) f(x) x x, d où x x f(x ). Ceci motre que I est majoré par x + f(x ). Si f(x ) =, f état strictemet croissate, o aboutit à la même coclusio e remplaçat x par importe quel réel strictemet supérieur. ) Ue solutio impaire vérifie forcémet f() =. Iversemet, si f est la solutio maximale du problème de Cauchy e (, ) sur ] a, b [, la foctio c défiie sur ] b, a [parc(x) = f( x)vérifie: c() = et x, c (x) = f ( x) = ( x) + f( x) = x + c(x). Il e résulte que c est solutio sur ] b, a [ du même problème de Cauchy que f. O e déduit que a = b et c = f, doc f est impaire. Exercice 5.3 Cetrale MP 6 K Soit (E) l équatio différetielle xy = x + y. ) Démotrer qu il existe au plus ue solutio développable e série etière au voisiage de. ) Démotrer que cette solutio existe et que so rayo de covergece appartiet à [, ].

397 ) Soit x y(x) = = 5. Exercices d etraîemet 379 a x ue solutio somme de série etière sur ] R, R [, avec R >. O a y() =, doc a =. Par dérivatio d ue série etière, o ( ) a y (x) = a x et par produit de Cauchy, y(x) = a k a k x = pour tout x ] R, R [. Par uicité du développemet e série etière, les coefficiets des séries etières de somme xy (x)etx + y(x) sot égaux, ce qui doe a = et, a = a k a k. Cette relatio permet de détermier par k= récurrece les coefficiets a de maière uique. ) Soit (a ) la suite détermiée à la questio précédete. O motre d abord par récurrece que, a. C est vrai pour =. Si c est vrai jusqu au rag, alors a =. Cela prouve que R. k= Motros efi par récurrece que, a. C est vrai pour =. Si c est vrai jusqu au rag, alors a k k =. O e déduit R. k= = k= Exercice 5.4 Mies-Pots MP 6 Soit f C (R, R) telle que ff = + f. Motrer que f est de classe C sur R puis détermier f. Duod La photocopie o autorisée est u délit État doé que + f, les foctios f et f e s aulet pas et sot cotiues, doc gardet u sige costat. O e déduit que f = + f, ce qui permet de f motrer par récurrece sur que f est de classe C pour tout, doc est de classe C. E dérivat la relatio de départ, o obtiet f f = ff, d où f f = f f. E itégrat, o trouve qu il existe l R tel que f = l f. Si l >, o pose l = v, ce qui doe f (x) = A ch vx + B sh vx. La relatio f () f () = + f () doe v (A B ) =. O oublie pas de vérifier : f (x) f (x) = v (A ch vx + B sh vx +AB ch vx sh vx) et + f (x) = +v (A sh vx + B ch vx +AB sh vx ch vx). Les deux expressios sot bie égales.

398 38 Chap. 5. Équatios différetielles o liéaires Si l <, o pose l = v, ce qui doe f (x) = A cos vx + B si vx. La relatio f () f () = + f () doe v (A + B ) =. Il y a pas de solutio lorsque l < Exercice 5.5 Cetrale, Polytechique MP 7 Détermier la foctio y C (R, R) telle que y + y =, y() = et y () =. Cherchos ue solutio maximale y. Remarquos que y, doc y est décroissate et par coséquet y est cocave. E particulier, si y existe sur I = ] a, [, avec a ], [, alors pour tout x I, y (x) y () =. La foctio y est doc strictemet croissate et comme y() =, o a y < sur ]a, [. Par coséquet, y vérifie sur I l équatio y (x) y(x) =, d où y(x) est doc de la forme A ch x + B sh x, et les coditios iitiales imposet y(x) = sh x. Aisi si y est ue solutio (maximale) du problème, so esemble de défiitio cotiet ], [ et y est la foctio sius hyperbolique. Étudios y sur [, b [ avec b ], + [. Il existe u b maximal (évetuellemet + ) tel que y e s aule pas sur ], b [. O sait que y > sur ], b [ (car y () = > ) doc y est solutio de y + y = sur [, b [ doc, avec les coditios iitiales, y(x) = si x pour x [, b [. Par maximalité, b = p. Étudios y sur [ p, c [avecc ] p, + [. Il existe u c maximal (évetuellemet + ) tel que y e s aule pas sur ] p, c [. O sait que y < sur ]p, c [ (car y (p) = < ety(p) = ) doc y est solutio de y y = sur [p, c [ doc, avec les coditios iitiales, y(x) = sh (x p) pour x [ p, c [. Par maximalité, c = +. O obtiet doc y(x) = sh(x) si x ], ] si x si x [, p ] sh (x p) si x [ p, + [ Réciproquemet, o vérifie aisémet que y est bie de classe C (les raccords sot valables e et p)surr et vérifie bie les coditios de l éocé. Il y a doc uicité de la solutio et existece sur R..

399 5.3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice Exercices d approfodissemet 38 Cetrale MP 7 (avec l aide de Maple ou Mathematica)K ) Résoudre les deux problèmes de Cauchy : (i) u = si u +cosu, u() = p/ (ii) u = si u { +cosu, u() = p/4. x = si(x + y) O cosidère maiteat le système différetiel (S) : y = cos(x + y) ) Motrer que les solutios de (S) sot défiies sur R tout etier. 3) Etudier les solutios maximales de (S). 4) Étudier le comportemet des solutios de (S) au voisiage de +. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) O pose f (u) = si u +cosu. O doit résoudre l équatio autoome u = f (u) avec la coditio iitiale u() = u. O utilise la méthode de l exercice 5.5. (i) Puisque f (p/), f (u(t)) e s aule pas (voir exercice 5.5, page 37), u(t) ds doc o obtiet t =. Avec l aide de Maple, o obtiet p/ cos s +sis t = l (ta( u(t) ) d où u(t) = Arcta + p 8 ) ( ( + )e l(ta 3p 8 ). Or ta 3p 8 t ) p 4. = + (avec Maple), (ii) Comme f ( p/4) =, la foctio costate égale à p/4 est solutio du même problème de Cauchy que u, doc par uicité, u est costate égale à p/4. ) O utilise ue méthode aalogue à celle de l exercice 5., page 369). Soit ] a, b [ l itervalle maximal de défiitio de la solutio (x, y). Supposos b fii. Comme x et y sot borées par, elles sot itégrables sur [, b [, doc x et y admettet des limites fiies x et y e b. Il e résulte que x et y ot égalemet des limites fiies e b, doc e posat x(b) = x et y(b) = y, le théorème de prologemet C etraîe que les foctios x et y sot de classe C sur ] a, b ] et le couple (x, y) est solutio du système sur ] a, b ]. Ceci cotredit le fait que l itervalle ] a, b [ est maximal. O e déduit que b = +, et par le même raisoemet que a =. 3) E ajoutat les deux équatios costituat (S), o obtiet que la foctio u = x+y vérifie l équatio autoome u = si u +cosu. Le système (S) étatautoome, o s itéresseà la solutiomaximale duproblème de Cauchy e (, x, y ). Si (x, y) est solutio de (S), alors (x+p, y+p), (x+p, y) et (x, y +p) sot égalemet solutios. O se limite doc aux couples (x, y )tels que x + y ] 5p/4, 3p/4 ]. Le choix de cet itervalle de logueur p sera justifié das la suite des calculs. O pose u = x + y.

400 38 Chap. 5. Équatios différetielles o liéaires Si u = p/4, alors u est costate égale à p/4 par le même argumet qu au ). O e déduit x = /, doc x = t/ +x et de même y = t/ +y. La trajectoire des solutios est ue droite. Si u = 3p/4, o obtiet de même x = t/ +x et y = t/ +y. Si 5p/4 < u < 3p/4, alors comme das la première questio cos u +siu e s aule pas, doc u reste compris etre 5p/4 et 3p/4. L équatio autoome s itègre e écrivat t = u(t) même calul qu à la première questio : ta( u(t) Or u(t) u ds, ce qui doe par le cos s +sis + p 8 ) = ta(u + p 8 )et + p 8 reste compris etre p et p, doc e preat l arc tagete, ( o obtiet u(t) = Arcta ta( u + p ) 8 )et p. O e déduit alors 4 x(t) = x + t si u(s) ds et y(t) = y + t cos u(s) ds. 4) O suppose u ] p/4, 3p/4 [. O fait tedre t vers + das l expressio de u(t) trouvée das la questio 3), o obtiet que u(t) = 3p/4. O e lim t + déduit que x (t) ted vers /, doc x(t) tedvers+, demêmey (t) ted vers /, d où y(t) ted vers. Il e résulte que la droite d équatio x + y = 3p/4 est asymptote à la trajectoire. Si u ] 5p/4, p/4 [, o obtiet de même que l asymptote d équatio x + y = 5p/4. Les cas u = p/4 etu = 3p/4 ot été vus à la questio 3.. lim u(t) = 5p/4, d où t + Exercice 5.7 Mies-Pots MP 6 K O cosidère l équatio différetielle y = cos y +cost. Motrer que l itervalle de défiitio d ue solutio maximale est R et que s il existe t R tel que y(t ) [, p ], alors t > t, y(t) ], p [. La foctio (t, y) cos y+cost est borée (par ), doc toute solutio maximale est défiie sur R (voir exercice 5., page 369) O remarque que y = y si y si t et y = y si y y cos y cos t. Cosidéros la solutio maximale du problème de Cauchy e (t, y ) e supposat y ], p [. Supposos qu il existe t > t tel que y(t) > p. L esemble {t t y(t) p} est o vide et fermé, doc possède u miimum t, e lequel y(t ) = p. O a doc y(t) < p sur [ t, t [, doc y (t ) ( limite du taux d accroissemet e t ). Or y (t ) = +cost, doc y (t ) =, d où cos t =, d où y (t ) = ety (t ) = <, doc y décroit et est strictemet positif à

401 5.3 Exercices d approfodissemet 383 gauche au voisiage de t, et comme y (t ) =, o aura sur ce voisiage y <, doc y > p, ce qui est cotraire à la défiitio de t. Supposos qu il existe t > t tel que y(t) <. O cosidère comme précédemmet le plus petit réel t > t tel que y(t ) =, de sorte que y(t) > sur [t, t [ et y (t ). Or y (t ) = +cost, doc y (t ) = etcost =, d où y (t ) = ety (t ) = > doc y < à gauche de t, puis y >, doc y < à gauche de t ce qui est absurde. Si y =, alors y (t ) = +cost. Si y (t ) >, alors y > à droite de t.si y (t ) =, alors y (t ) = ety (t ) = doc là ecore y > à droite de t, doc o est rameé au cas où y >. Il e est de même si y = p. Fialemet, o coclut que t > t, y(t) ], p [. Exercice 5.8 Mies MP 5 K Soit f la solutio maximale de y = 3y avec f () = f () =. Détermier ue équatio du premier ordre vérifiée par f. Motrer que f est borée et défiie sur R. Questio de la rédactio : motrer que f est périodique. E multipliat par f et e itégrat de à x, o obtiet f (x) = ( f (x) f (x) 3 ). O a f () = et f () =, doc f > à droite de et f < à gauche de. Comme f () =, o obtiet f > à droite de et f < à gauche de. O se place sur le plus grad itervalle ], a [ sur lequel f > et f <. La foctio f est croissate, doc f > et f (x) f (x)( f (x) ) =. O pose Duod La photocopie o autorisée est u délit F(y) = y du u( u ), de sorte que x = F( f (x)). F est u C difféomorphisme croissat de ], [ sur ], a [,aveca = du u( u ),et f (x) = F (x) sur [, a [. Comme f (x) quad x a, f (x) a pour limite, doc la solutio est prologeable au-delà de a. O a alors f (a) = <, doc f < à droite de a, doc f (x) = f (x) f (x)( f (x) du ), d où x a = u( u ), d où C( f (x)) = x a, avecc(y) = y du u( u ). C est u C difféomorphisme décroissat de ], [ sur ], a [, doc f (x) = C (x a) sur [a, a [. O e déduit que lim f (x) = et lim f (x) =, doc f est prologeable e x a x a a avec les mêmes coditios de Cauchy qu e. Autremet dit, les foctios f et x f (x +a) sot solutios du même problème de Cauchy e, doc sot égales. Il e résulte que f est défiie sur R et est a périodique, doc est borée.

402 384 Chap. 5. Équatios différetielles o liéaires Exercice 5.9 ENS MP 7 K Soit a ], [. ) Soit y >. Étudier les solutios maximales du problème de Cauchy y = a y x et y() = y. O motrera otammet que l itervalle de défiitio est boré. ) Le problème de Cauchy y = a y x et y() = possède- t-il ue solutio à gauche ou à droite de? ) La foctio f :(x, y) a y x est de classe C sur R ], + [, doc si y >, il existe ue uique solutio maximale telle que y() = y, défiie sur ] a, b [,aveca < < b. La foctio y est de classe C et o a : y = ay y = a(a y x) y = a ax y. Or a / <, doc y < sur ], b [. Supposos b = +. Das ce cas, y est cocave positive sur R +, doc écessairemet croissate et majorée par ue foctio affie (sa tagete à l origie). E coséquece, y, doc e reveat à l équatio, o obtiet y x, ce qui a cotredit le fait que y(x) = O(x)e+. Si a =, y > surr, doc y est croissate, or elle est positive, doc elle admet ue limite fiie l e. E reveat à l équatio, o e déduit y (x) x e, doc e itégrat y(x) x doc l itervalle de défiitio de y est boré., ce qui est absurde, ) Si le problème de Cauchy e (, ) possède ue solutio sur ] a, ] aveca <, alors y > sur ]a, [, doc y croit strictemet, d où y < sur ]a, [, ce qui est impossible. S il a ue solutio sur [, b [, le calcul meé à la première questio motre que sur ], b [,y <, doc y décroit, or y () =, doc y <, or y() =, doc y décroit, d où y <, ce qui est impossible.

403 Calcul différetiel 6 6. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION 6.. Différetielle, foctios de classe C Ce qu il faut savoir Soiet E et F deux espaces vectoriels ormés de dimesio fiie, U u ouvert de E,et f ue applicatio de U das F. Soita U. O dit que f est différetiable e a lorsqu il existe l L (E, F), V u voisiage de et : V F tels que h V, f (a + h) = f (a)+l(h)+ h (h), avec lim (h) =. O pose df(a) = l, appelée différetielle de f au poit a. h Soit u u vecteur de E. O dit que f admet ue dérivée e a selo le vecteur u lorsque la foctio t f (a + tu) défiie au voisiage de est dérivable e, f (a + tu) f (a) c est-à-dire que l expressio a ue limite fiie lorsque t ted t vers. O ote D u f (a) cette limite. Si f est différetiable e a, elle admet ue dérivée e a selo tout vecteur, et o a D u f (a) = df(a)(u). Soit B = (e,...,e ) ue base de E. O appelle dérivée partielle de f e a par rapport à x i la dérivée de f e a selo le vecteur e i, o la ote égalemet f (a). x i Si f est différetiable e a et h = h j e j, alors df(a)(h) = j= j= f x j (a)h j. O dit que f est de classe C sur U lorsque f admet des dérivées partielles (das ue base) e tout poit de U, qui sot cotiues sur U. La foctio f est de classe C sur U si et seulemet si f est différetiable e tout poit de U et l applicatio x df(x) est cotiue sur U.

404 386 Chap. 6. Calcul différetiel Exercice 6. O cosidère la foctio défiie sur R par : x 3 y 3 f (x, y) = x + y si (x, y) (, ) si (x, y) = (, ). ) Vérifier que f est cotiue sur R. ) Vérifier que f est de classe C sur R \{(, )} et calculer ses dérivées partielles. 3) Calculer f f (, ) et (, ). x y 4) La foctio f est-elle de classe C sur R? 5) La foctio f est-elle différetiable au poit (, )? ) Sur R \{(, )}, f est cotiue par théorèmes gééraux. E passat e coordoées polaires, o obtiet f (r cos u, r si u) = r(cos 3 u si 3 u), or cos 3 u si 3 u, doc f (r cos u, r si u) r, d où f (x, y) x + y pour tout (x, y) R, d où lim f (x, y) =, ce qui motre la cotiuité de (x,y) (,) f e (, ). ) Sur R \{(, )}, f est de classe C par théorèmes gééraux, et o a f x (x, y) = 3x (x + y ) x(x 3 y 3 ) (x + y ) = x 4 +3x y +xy 3 (x + y ). E outre, f (y, x) = f (x, y) pour tout (x, y) R \{(, )}, doc e reveat à la défiitio de la dérivée partielle, f f (x, y) = y x (y, x) = y4 +3x y +yx 3 (x + y ). 3) O a pour tout x R f (x, ) f (, ), =, doc x f (, ) = lim x x f (x, ) f (, ) x =. Sachat que f (y, x) = f (x, y) pour tout (x, y) R \{(, )}, o a de même f (, ) =. y 4) La foctio f f a pas de limite e (, ) car (x, x) = 6 pour x o ul, alors x x que cette dérivée partielle vaut e (, ), doc f est pas de classe C sur R.

405 6. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 387 5) Si f était différetiable à l origie, alors l expressio a(x, y) = f (x, y) x f f (, ) y (, ) x y serait égligeable devat (x, y) = x + y quad (x, y) ted vers (, ). Or a(x, y) = x 3 y 3 x + y x + y = yx xy x + y. E passat e coordoées polaires, a(r cos u, r si u) o obtiet = cos u si u(cos u si u). Cette expressio est idépedate de r, et est pas ulle, doc e ted pas vers quad r ted vers. Il r e résulte que f est pas différetiable e (, ). Exercice 6. Mies-Pots MP 6 Pour p N, soit f p :(x, y) R \{(, )} (x + y) p si x + y. ) Doer ue coditio écessaire et suffisate pour que f p se prologe cotiuemet e (, ). ) La coditio précédete état remplie, doer ue coditio écessaire et suffisate pour que le prologemet obteu soit différetiable e (, ). ) E passat e coordoées polaires, o a f p (r cos u, r si u) = r p (cos u +siu) p si r. Si p =, alors f (r cos u, r si u) = si, qui a pas de limite e (, ). r Duod La photocopie o autorisée est u délit Si p, alors f p (x, y) ( x + y ) p (x,y) (,) cotiuemet e posat f p (, ) =., doc o prologe f p ) Lorsque p =, o a f (x, ) f (, ) = si. Cette expressio a pas de x x limite quad x ted vers, doc f a pas de dérivée partielle par rapport à x e (, ). La foctio f est doc pas différetiable e ce poit. Si p, f p (x, y) = O(x + y ) au voisiage de (, ), doc f p est différetiable et sa différetielle e (, ) est ulle. Remarque O peut motrer que f p est de classe C sur R si et seulemet si p 3.

406 388 Chap. 6. Calcul différetiel Exercice 6.3 Motrer que l applicatio M M +tr(m 3 )I est différetiable sur M (R) et que (M, H) M (R), df(m)(h) = MH + HM +3tr(M H)I. O pose f (M) = M.Oa f (M + H) = f (M)+MH + HM+ H. L applicatio H MH+ HM est liéaire et H est égligeable devat H au voisiage de, doc f est différetiable et df (M)(H) = MH + HM. O pose f (M) = tr(m 3 )I. E développat (M + H) 3, o obtiet : (M + H) 3 = M 3 + M H + MHM + HM + H M + HMH + MH + H 3. O muit M (R) d ue orme subordoée à ue orme de R, de faço à avoir l iégalité AB A B pour toutes matrices A et B. O sait que la trace est liéaire, doc cotiue, doc il existe K > tel que tr(a) K A pour tout A M (R). O sait égalemet que tr(ab) = tr(ba), doc o obtiet facilemet que tr(h M + HMH + MH + H 3 ) K H (3 M + H ), d où tr((m + H) 3 ) = tr(m 3 )+3tr(M H)+o( H ), doc f est différetiable et df (M)(H) = 3tr(M H)I. Par liéarité, o e déduit que f est différetiable et M M (R), H M (R), df(m)(h) = MH + HM +3tr(M H)I. 6.. Matrice jacobiee, compositio et difféomorphismes Ce qu il faut savoir Soiet B = (e,...,e p ) ue base de E, B = (e,...,e ) ue base de F, et f ue applicatio de classe C d u ouvert U de E das F. Soiet f,..., f les foctios composates de f das B,eta U. O appelle matrice jacobiee de f e a la matrice de l applicatio liéaire df(a) das les bases B et B, c est-à-dire la matrice J f (a) apparteat à M,p (R) de terme gééral f i x j (a). Soit de plus g : V G de classe C où V est u ouvert de F coteat f (U). La foctio g f est de classe C sur U et d(g f )(a) = dg( f (a)) df(a). Par coséquet J g f (a) = J g ( f (a)) J f (a), où o a choisi ue base B de G. E otat x = (x,...,x p ) u vecteur de R p et y = (y,...,y ) u vecteur de R, o a, pour i [[, q]] et j [[, p]], (g f ) i x j (a) = k= g i y k ( f (a)) f k x j (a).

407 6. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 389 Soiet U et V deux ouverts de R. O dit que w est u difféomorphisme de U sur V lorsque w est ue bijectio de U sur V, w est de classe C sur U et w est de classe C sur V. Si w est u difféomorphisme de U sur V, alors pour tout a U, la matrice J w (a) est iversible et ( J w (a) ) = Jw (w(a)). Caractérisatio des difféomorphismes : soit w ue applicatio de classe C de U das R.Siw est ijective et si le jacobie de w est o ul e chaque poit de U, alors V = w(u) est u ouvert de R et w est u difféomorphisme de U sur V. Exercice 6.4 Mies-Pots MP 6 Soiet (x,...,x, h,...,h ) R et f C (R, R). O pose, pour t R, g(t) = f (x +th,...,x +th ). Motrer que g est de classe C sur R et calculer g (t) pour tout t R. Soit f(t) = x+th = (f (t),...,f (t)), avec f i (t) = x i +th i pour i.ovoit que g = f f, doc e utilisat le théorème de compositio des différetielles, o obtiet que g est de classe C et g (t) = f i(t) f f (x + th) = h i (x + th). x i x i i= i= Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6.5 Mies-Pots MP 7 Soit f C (R f, R) telle que : x + f =. Etablir l existece de y w C (R, R) telle que : (x, y) R, f (x, y) = w(x y). Idicatio de la rédactio : o pourra poser u = x + y et v = x y. Soit c l edomorphisme de R défii par c(x, y) = (x + y, x y). Il est bijectif, et so jacobie e tout poit est égal à, doc c est u difféomorphisme de R sur R. O pose g = f c, ce qui équivaut à f = g c. La foctio g est de classe C sur R, et e otat ses variables u et v, o obtiet e dérivat l égalité f (x, y) = g(x + y, x y) par rapport à x et y que : f x f y (x, y) = g u (x, y) = g u (x + y, x y)+ g (x + y, x y) v g (x + y, x y) (x + y, x y). v

408 39 Chap. 6. Calcul différetiel E ajoutat les deux, l équatio f x + f g = est équivalete à =, doc il y u existe ue foctio w : R R de classe C telle que (u, v) R, g(u, v) = w(v), d où fialemet f (x, y) = w(x y) pour tout (x, y) R. Exercice 6.6 CCP PC 5 ) Motrer que l applicatio f :(x, y) (xy, x + y) est u difféomorphisme de l ouvert U = {(x, y) R, x y > } suruouvertv à préciser. ) Trasformer l équatio aux dérivées partielles f f ( ) (x, y) (x, y)+3(x y) f (x, y) = x y à l aide du chagemet de variables : u = xy, v = x + y. 3) E déduire toutes les foctios f C (U, R) vérifiat ( ). ) Soit (x, y) U. O pose (u, v) = f(x, y), de sorte que x et y sot les racies réelles et distictes du triôme X vx + u, dot le discrimiat v 4u est doc strictemet positif. O pose V = {(u, v) R, v 4u > }. Il s agit de l extérieur de la parabole d équatio v 4u =. Soit (u, v) V. O ote x et y les racies (distictes) du triôme précédet, x état la plus grade, ce qui etraîe que (u, v) = f(x, y). O e déduit que f est ue bijectio de U sur V. Le jacobie de f e (x, y) est égal à y x = y x <. Il e s aule pas sur U, doc f est u C -difféomorphisme de U sur V. ) O pose g = f f, de sorte que g est de classe C sur V si et seulemet si f est de classe C sur U. O a alors f (x, y) = g(xy, x + y). E dérivat par rapport à x et à y, o obtiet : f x f y (x, y) = y g u (x, y) = x g u (xy, x + y)+ g (xy, x + y) v (xy, x + y)+ g (xy, x + y) v L équatio ( ) est équivalete à (y x) g g +3(x y)g =, d où u u = 3g. 3) O résout l équatio ci-dessus à v fixé : il existe u réel A(v) tel que pour tout réel u tel que (u, v) V, o a g(u, v) = A(v)e 3u. E particulier, v R, A(v) = g(, v)e 3, doc la foctio A aisi défiie est de classe C sur R. O e déduit que les solutios de ( ) sot les foctios de la forme (x, y) A(x + y)e 3xy,oùA décrit C (R, R).

409 6. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 39 Exercice 6.7 CCP PC 6 ( ) y + z Motrer que w : (x, y, z) x + y + z, x + y + z, z est u C -difféomorphisme de l ouvert U = {(x, y, z) (R +) 3 x + y +z < } sur V = ], [ 3. y + z Détermier w. Pour (x, y, z) U, o pose (u, v, w) = w(x, y, z). O remarque que (u, v, w) V, et que z = uvw, d où uv = y + z, d où y = uv uvw = uv( w), et efi x = u (y + z) = u( v). L applicatio c : V R 3 défiie par c(u, v, w) = (u( v), uv( w), uvw) est à valeurs das U car u( v) +uv( w) +uvw = u ], [ et vérifie par costructio c w = Id U et w c = Id V, doc c = w. D autre part, w est de classe C sur U et c est de classe C sur V, doc w est u difféomorphisme de U sur V Foctios de R das R de classe C, poits critiques Duod La photocopie o autorisée est u délit Ce qu il faut savoir Soit U u ouvert de R. O ote C (U) l esemble des foctios de classe C de U das R. Cet esemble mui de l additio et de la multiplicatio des foctios est ue algèbre sur R. Soit f C (U) eta U. O dit que a est u poit critique de f lorsque df(a) =. Soit A ue partie de R et f ue applicatio de A das R. O dit que f présete u miimum (resp. maximum) local e a lorsqu il existe u ouvert V de R coteat a tel que x V, f (x) f (a) (resp. f (x) f (a)). Soit f : A R de classe C sur l itérieur de A, eta u poit itérieur à A. Si f présete u extremum local e a, alors a est u poit critique de f. Exercice 6.8 CCP PC 7 Soit g(x, y) = x 3 +3x y + y 3. Existe-t-il des poits pour lesquels g (x, y) = et g (x, y) =? x y La foctio g possède-t-elle des extremums locaux? Idicatio de la rédactio : o calculera g(x, x).

410 39 Chap. 6. Calcul différetiel O a g x (x, y) = 3x +6xy et g y (x, y) = 3x +3y. La dérivée partielle g y s aule uiquemet e (, ), et g (, ) =, doc (, ) est le seul poit critique de g. x Si g présete u extremum local e u poit de R, alors celui-ci est u poit critique, doc e peut être que (, ), or g(, ) = etg(x, x) = 5x 3, qui est du même sige que x, doc g a pas d extremum local à l origie, doc elle e a ulle part. Exercice 6.9 CCP PSI 6 Soit g : R R défiie par g(x, y) = x y + x 3 + y 3. Motrer que g admet des extremums sur le carré [, ] et les détermier. La foctio g est cotiue sur le carré [, ] qui est compact, doc g est borée et atteit ses bores sur le carré. Etudios d abord l existece de poits critiques de g sur l ouvert ], [.Oa g x (x, y) = +3x. Cette dérivée partielle e s aule pas, doc g a pas de poits critiques, ce qui sigifie que g atteit ses bores sur le bord du carré. Etudios g sur les quatre segmets du bord. Sur le segmet d extrémités (, ) et (, ), o a g(x, ) = g(x, ) = x + x 3. Cette foctio est croissate sur [, ], doc varie de g(, ) = àg(, ) =. Il e est de même sur le segmet d extrémités (, ) et (, ). Sur le segmet d extrémités (, ) et (, ), O pose w(y) = g(, y) = y + y 3. O a w (y) = +3y, doc w est décroissate sur [, / 3 ] et croissate sur [/ 3, ], doc so miimum est w(/ 3) = /3 3, et so maximum est w() = w() =. De même, g(, y) = y + y 3 = +g(, y), doc varie de /3 3à. Fialemet, le maximum de g surlecarréestégalàetestatteite(, ) et (, ), alors que le miimum est égal à 3 3 et est atteit e (, 3 ) Foctios de classe C k Ce qu il faut savoir Soit U u ouvert de R et soit f ue applicatio défiie sur U à valeurs das R p. Lorsque f est de classe C sur U et lorsque les dérivées partielles de f sot elles mêmes de classe C sur U, o dit que f est de classe C sur U. La dérivée partielle ( ) f f est otée. x i x j x i x j

411 6. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 393 Théorème de Schwarz :si f est de classe C sur U,etsii, j [[, ]], alors f x i x j = f x j x i. O défiit par le même procédé la otio de foctio de classe C k. Soit U u ouvert de R, f ue applicatio de classe C de U das R et a u poit critique de f. O pose r = f x (a), s = f (a), t = x y y (a). Si rt s > etr >, alors f présete u miimum local e a. Si rt s > etr <, alors f présete u maximum local e a. Si rt s <, alors f e présete pas d extremum local e a. Si rt s =, o e peut pas coclure. Exercice 6. CCP MP 7 Détermier les foctios h C (R, R) telles que la foctio f défiie sur R + R ( y ) par f (x, y) = h vérifie f x x + f y = ( ) Duod La photocopie o autorisée est u délit O calcule les dérivées partielles premières et secodes de f : f y y ) (x, y) = x x h x, f y y ) (x, y) = x x 3 h + y y ) x x 4 h x, f y (x, y) = ( y x h x ). f y (x, y) = ( y x h x E multipliat par x et e posat t = y, l équatio ( ) est équivalete à x t R, (t +)h (t)+th (t) =. La foctio h satisfait à ue équatio ( différetielle liéaire du er ordre. E la résolvat, o obtiet h u t ) (t) = A exp u + du = A t,oùa est ue costate, + doc fialemet h est la foctio t A Arcta t + B,avec(A, B) R. Exercice 6. TPE 6 Soit f la foctio défiie sur R par f (x, y) = x 3 +3xy 5x y. ).

412 394 Chap. 6. Calcul différetiel ) Détermier les poits critiques de f. ) Détermier les extremums locaux de f sur R. La foctio f admet-elle des extremums absolus sur R? 3) Détermier les extremums locaux et absolus de f sur l esemble K défii par K = {(x, y) R y x 3}. ) La foctio f est de classe C sur R et o a : f x (x, y) = 3x +3y f 5, (x, y) = 6xy. y Le couple (x, y) est u poit critique si et seulemet si x + y = 5etxy =. O obtiet les quatre poits critiques suivats : (, ), (, ), (, ) et (, ). ) O calcule r = f x = 6x, s = f x y = 6y, t = f y = 6x, d où rt s = 36(x y ). E (, ), rt s > etr >, doc f présete u miimum local. E (, ), rt s > etr <, doc f présete u maximum local. E (, ) et (, ), rt s <, doc il y a pas d extrêmum local. O remarque que f (x, ) = x 3 5x, qui a pour limite + quad x ted vers +, et quad x ted vers, doc f est i majorée, i miorée sur R. 3) Le triagle K est fermé boré, doc compact. Comme f est cotiue, elle est borée et atteit ses bores sur K. Si u extremum absolu est atteit e (a, b) situé à l itérieur de K, alors (a, b) est u poit critique, doc ce e peut être que (, ). O a f (, ) = 8. O doit maiteat chercher les extremums de f àla frotière de K, costituée de trois segmets. Si y = et x 3, alors f (x, ) = x 3 5x, qui décroit sur [, 5] et croit sur [ 5, 3 ], doc so miimum est f ( 5, ) = 5 et so maximum est max( f (, ), f (3, )) =. Si x = 3et y 3, alors f (3, y) = 9y y 8, qui décroit sur [, /3] et croit sur [ /3, 3 ], doc so miimum est f (3, /3) = et so maximum est max( f (3, ), f (3, 3)) = 7. Si x = y 3, alors f (x, x) = 4x 3 7x décroit sur [, 3/ ] et croit sur [ 3/, 3 ], doc so miimum est f (3/, 3/) = 7 et so maximum est max( f (, ), f (3, 3)) = 7. Il reste à faire la sythèse des résultats obteus : le miimum de f sur K est égal à f (, ) = 8 et le maximum est f (3, 3) = Formes différetielles Ce qu il faut savoir O désige par (dx, dx,...,dx ) la base duale de la base caoique de R. Soit U u ouvert de R.

413 6. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 395 Ue forme différetielle de classe C k sur U est ue applicatio de U das le dual de R de classe C k. Elle s écrit sous la forme v = P i dx i,où P i C k (U) pour tout i [[, ]]. O a doc pour tout M U et tout h R, v(m)(h) = i= P i (M)h i. O dit que la forme différetielle v est exacte lorsqu il existe f : U R de classe C telle que df = v, c est-à-dire telle que, pour tout i [[, ]], P i = f x i. La foctio f est appelée ue primitive de v. O dit que la forme différetielle v est fermée lorsque (i, j) [[, ]], P i x j = P j x i. Toute forme différetielle exacte de classe C est fermée. U ouvert U de R est étoilé lorsqu il existe u poit a de U tel que pour tout poit x apparteat à U, le segmet d extrémité a et x (qu o ote parfois [ a ; x ]) est iclus das U. Exemple : Tout ouvert covexe est étoilé. Théorème de Poicaré :siu est u ouvert étoilé, alors toute forme différetielle fermée sur U est exacte. i= Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6. CCP MP 6 O cosidère la forme différetielle v = (x + y )dx xydy. ) Motrer que v est pas exacte. ) Soit U = {(x, y) R x y + > }. Détermier ue foctio w :], + [ R telle que la forme différetielle v = w(x y )v soit exacte sur U, et détermier toutes les foctios f de classe C sur U telles que df = v. ) O a y (x + y ) = y et ( xy) = y. Comme ces dérivées partielles x sot distictes, v est pas fermée et doc pas exacte. ) O pose P = (x + y ) w(x y )etq = xyw(x y ), de sorte que v = Pdx + Qdy. Ue coditio écessaire pour que v soit exacte est qu elle soit fermée, c est-à-dire que P y = Q. Cette coditio va ous permettre de x

414 396 Chap. 6. Calcul différetiel détermier w, puis ous calculeros les primitives de v.oa P y = y ( w(x y )+(x + y )w (x y ) ). Q x = y ( w(x y )+x w (x y ) ). O e déduit que v estferméesietseulemetsi (x, y) U, w(x y )+(x y +)w (x y ) =. Lorsque (x, y) décrit U, x y décrit ], + [, d où la coditio équivalete t ], + [, (t +)w (t)+w(t) =. La foctio w : t est solutio sur ], + [ de l équatio différetielle précédete, o la choisit aisi. (t +) L ouvert U est étoilé par rapport à l origie (c est la zoe du pla coteat (, ) et limitée par les deux braches d hyperbole x y += ), doc par théorème de Poicaré, v état fermée sur U, elle est exacte. O cherche à préset les primitives f de v, c est-à-dire les foctios vérifiat f x = P et f f = Q. La deuxième équatio s écrit y y = xy (x y +), doc x s itègre e f (x, y) = x y + + A(x), où A est de classe C sur R. O remplace das la première équatio, ce qui doe A (x) =, doc A est costate. Les primitives de v sur U sot doc les foctios f de la forme x (x, y) x y + A, où A R. + Exercice 6.3 Polytechique MP 7 ) Trouver f C (R 3, R) telle que : (x, y, z) R 3, f x (x, y, z) = 3x +4yz+xy, f y (x, y, z) = 4zx+x +z, f (x, y, z) = 4xy+y. z ) Que se passe-t-il si o remplace la derière équatio par f (x, y, z) =? z 3) Soiet u, v, w das C (R 3, R). A quelle coditio écessaire et suffisate portat sur (u, v, w)lesystème f x = u, f y = v, f = w possède-t-il ue z solutio? ) Soit v la forme différetielle défiie sur R 3 par v = Pdx + Qdy + Rdz, où P = 3x +4yz +xy, Q = 4zx + x + z, R = 4xy + y. Il s agit das cette questio de détermier ue primitive de v. O observe d abord que v est fermée, car P y = Q x, P z = R x, Q z = R y. Comme R3 est covexe, v est

415 6. Exercices d etraîemet 397 exacte par le théorème de Poicaré, doc il existe f C (R 3, R), uique à ue costate additive près, telle que v = df. O résout d abord f = P. O obtiet x f (x, y, z) = x 3 +4xyz + x y + g(y, z), où g est de classe C. O dérive esuite par rapport à y et o remplace das la relatio f g = Q, ce qui doe y y = z, d où g(y, z) = yz + h(z). Efi, o dérive par rapport à z et o remplace das la derière relatio, ce qui doe h =, doc h est costate. Fialemet, les primitives de v sur R 3 sot les foctios f :(x, y, z) x 3 +4xyz+ x y + yz+ C, où C est u réel. ) O suppose maiteat R =. Das ce cas, R y = et Q = 4x +, doc v z est pas fermée. Par coséquet, v est pas exacte, et f e peut exister. 3) O applique le théorème de Poicaré das R 3 qui est covexe doc étoilé. Ue coditio écessaire et suffisate pour qu il existe ue primitive f de v est que v soit fermée, c est-à-dire que u y = v x, u z = w x, v z = w y. 6. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice 6.4 Mies-Pots MP 5 Soit E u espace euclidie de orme. et f l applicatio de E \{} das luimême défiie par f (x) = x. Motrer que f est différetiable et détermier x df(x). Duod La photocopie o autorisée est u délit O pose c(x) = x et w(x) = /c(x). Comme c(x + h) = c(x)+(x h)+ h, c est différetiable, et dc(x)(h) = (x h). Il e résulte que w est différetiable, et o a pour tout x o ul et h E, dw(x)(h) = dc(x)(h) (x h) c(x) = x 4. f (x + h) = w(x + h) (x + h) = (w(x)+dw(x)(h)+o(h))(x + h) = f (x)+ dw(x)(h)x + w(x)h +o(h) } {{ } liéaire par rapport à h Il e résulte que f est différetiable et df(x)(h) = dw(x)(h)x + w(x)h, d où (x h)x x E \{}, h E, df(x)(h) = x 4 + h x.

416 398 Chap. 6. Calcul différetiel Exercice 6.5 Mies-Pots MP 6 Soit U = {(x, y) R x > } et E = C (U, R). Soit f ue foctio de U das R et a >. O dit que f est homogèe de degré a lorsque t >, (x, y) U, f (tx, ty) = t a f (x, y). O pose, pour f E et (x, y) U : F( f )(x, y) = x f f (x, y)+y (x, y). x y ) Détermier Ker F. Idicatio de la rédactio : s itéresser à la foctio t f (tx, ty). ) Soit f E. Motrer que f est homogèe de degré a si et seulemet si F( f ) = a f. 3) Résoudre l équatio d icoue f E : F( f ) = h, oùh est la foctio (x, y) (x + y ) 3/ xy. ) Soit (x, y) U, etc :], + [ R la foctio défiie par c(t) = f (tx, ty). Cette foctio est de classe C et c (t) = x f f (tx, ty)+y (tx, ty). O e x y déduit que si f Ker F, alors c est la foctio ulle, doc c est costate. E particulier, c() = c(/x), d où f (x, y) = f (, y/x). E posat pour tout t >, h(t) = f (, t), la foctio h est de classe C sur ], + [etf (x, y) = h(y/x) pour tout (x, y) U. Iversemet, si h C (], + [, R)etsiopose f (x, y) = h(y/x), alors f est C sur U et pour tout (x, y) U, ( F( f )(x, y) = x y ) ( x h y ) + y ( y ) x x h =, x doc f Ker F. Fialemet, Ker F est l esemble des foctios de la forme (x, y) h(y/x) où h C (], + [, R). Remarque Ue autre méthode cosiste à effectuer u chagemet de variables das l équatio aux dérivées partielles F( f ) =. O cherche u difféomorphisme c : V U judicieux, o pose g = f c, et o exprime F( f ) à l aide des dérivées partielles de g. Le lecteur vérifiera qu e posat V = U et c(u, v) = (u, uv), o obtiet F( f ) = u g, doc F( f ) = équivaut au fait que g est ue foctio de v, u c est-à-dire que f est ue foctio de y/x. O peut égalemet passer e polaires, e posat V = ], + [ ] p/, p/[ et c(r, u) = (r cos u, r si u), ce qui doe F( f ) = r g. O retrouve que r F( f ) = équivaut au fait que g e déped que de u, c est-à-dire que f e déped que de y/x.

417 6. Exercices d etraîemet 399 ) Supposos que f est homogèe de degré a. O dérive par rapport à t l égalité f (tx, ty) = t a f (x, y), ce qui doe x f f (tx, ty)+y x y (tx, ty) = at a f (x, y). E preat t =, o e déduit que F( f ) = a f. Supposos que F( f ) = a f. O pose w(t) = t a f (tx, ty). La foctio w est dérivable sur ], + [etoa ( w (t) = at a f (tx, ty)+t a x f ) f (tx, ty)+y (tx, ty) x y = ( a f (tx, ty)+f( f )(tx, ty))t a = O e déduit que w est costate, et égale à w(), d où f (tx, ty) = t a f (x, y). 3) O remarque que h est homogèe de degré 5, doc F(h/5) = h. Par suite, F( f ) = h équivaut à F( f h/5) =, ce qui équivaut à f h/5 Ker F. Les solutios de cette équatio sot doc les foctios qui s écrivet sous la forme (x, y) 5 (x + y ) 3/ xy + A( y x ), où A C (R, R). Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6.6 Mies-Pots MP 6 Soit g : R R de classe C. O pose f (x, y) = (x, y) tel que x y,et f (x, x) = g (x). ) Démotrer que f (x, y) = classe C sur R. ) Calculer J p,q = g(x) g(y) x y pour tout couple g (( t)x + ty) dt. E déduire que f est de ( t) p t q dt pour (p, q) N. E déduire la valeur des dérivées partielles de f e tout poit de coordoées (x, x). 3) Lorsque g est la foctio sius, résoudre l équatio f (x, y) = puis détermier les extremums de f. [ ] g(( t)x + ty) ) Si x y, g g(x) g(y) (( t)x + ty) dt = =. y x x y Si x = y, l itégrale ci-dessus est égale à g (x). L applicatio h :(x, y, t) g (( t)x + ty) est de classe C sur R 3, et pour tout (i, j) N i+ j h, x i y j (x, y, t) = ( t)i t j g (i+ j+) (( t)x + ty). Soit a u réel strictemet positif. (x, y) [ a, a ], t [, ], i+ j h x i y j (x, y, t) g(i+ j+), [ a, a ]

418 4 Chap. 6. Calcul différetiel O a majoré par ue costate, laquelle est itégrable sur [, ], doc par théorème sur les itégrales à paramètres (avec hypothèse de domiatio locale), o obtiet que f admet des dérivées partielles à tout ordre, doc f est de classe C sur R i+ j f,et x i (x, y) = ( t) i t j g (i+ j+) (( t)x + ty) dt. y j ) Pour q, o itègre par parties (e itégrat ( t) p et e dérivat t q ): J p,q = [ ] ( t)p+ t q + q p + p + Par récurrece, o a J p,q = D après, ( t) p+ t q dt = q p + J p+,q. q! (p +) (p + q) J p+q, = p+q f x p y q (x, x) = g(p+q+) (x)j p,q = q! (p +) (p + q +). p!q! (p + q + )! g(p+q+) (x). 3) Pour x y, f (x, y) = si x = si y k Z, x = y +kp ou x = p y +kp. Par ailleurs, f (x, x) = k Z, x = p/+kp. À l aide de l écriture sous forme d itégrale, o obtiet (x, y) R, f (x, y). Si x y, l iégalité est stricte car la dérivée du sius est pas costate etre x et y.six = y, il y a égalité si et seulemet si x pz, les extremums de f valet doc et. Exercice 6.7 Cetrale MP 5 K Soiet k ], [ et f C (R, R) tels que x R, f (x) k. Motrer que l applicatio F : R 3 R 3 défiie par est u difféomorphisme de R 3 sur R 3. F(x, y, z) = (x + f (y), y + f (z), z + f (x)) f (y) Le jacobie de F e u poit (x, y, z) est égal à f (z). E dévelop- f (x) pat, o obtiet + f (x) f (y) f (z) qui est supérieur ou égal à k 3 doc strictemet positif. O suppose que F(x, y, z) = F(x, y, z ), c est-à-dire x x = f (y ) f (y), y y = f (z) f (z ), z z = f (x ) f (x). Par théorème des accroissemets fiis, x x k y y k z z k 3 x x,or < k 3 <, doc x = x et par suite, y = y et z = z, doc F est ijective. Soit (X, Y, Z) R 3, o cherche (x, y, z) R 3 tels que F(x, y, z) = (X, Y, Z). O x = X f (y) obtiet le système équivalet y = Y f (z) z + f (X f (Y f (z))) = Z

419 6. Exercices d etraîemet 4 Posos h(t) = t + f (X f (Y f (t))). La foctio h est dérivable sur R et h (t) = + f (t) f (Y f (t)) f (X f (Y f (t))) k 3 >, doc h est strictemet croissate. Pour tout t >, o itègre cette iégalité de à t, ce qui doe h(t) h() ( k 3 )t, doc lim h(t) = +. t + Pour tout t <, o itègre de t à, ce qui doe h() h(t) ( k 3 )t, doc h(t) =. lim t E coséquece, h est ue bijectio de R sur R, doc il existe u uique réel z tel que h(z) = Z. O pose y = Y f (z) puis x = X f (y), et o e déduit que (x, y, z) est l uique atécédet de (X, Y, Z) (à oter que ceci red la preuve de l ijectivité iutile). F est bijective, de classe C, et so jacobie e s aule pas, doc F est bie u difféomorphisme de R 3 sur R 3. Exercice 6.8 Mies-Pots MP 5 ) Soit a R. Trouver les applicatios f C (R R +, R) telles que : x f x + y f y = a f. Idicatio de la rédactio : o posera g(r, u) = f (r cos u, r si u). ) Trouver les applicatios f C (R R +, R) telles que : x f x + y f y = x x + y y. 3) Trouver les applicatios f C (R R +, R) telles que : x f x +xy f x y + y f y =. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) O pose g(r, u) = f (r cos u, r si u) pour (r, u) R + ], p [. O a alors r g r = x f x + y f. L applicatio (r, u) (r cos u, r si u) est ue bijectio y de R + ], p [surr R + dot le jacobie, égal à r, e s aule pas, doc est u difféomorphisme de R + ], p [surr R +. L équatio proposée est équivalete à r g r = ag, c est-à-dire g(r, u) = A (u)r a,oùa C (], p [, R). E posat ( ) x A(t) = A (arccota t), o obtiet fialemet f (x, y) = A (x + y ) a/,avec y A C (R, R). Autre méthode : E utilisat l exercice 6.5, o obtiet f (mx, my) = m a f (x, y), pour tout m >, d où e posat m = /y,eth la foctio t f (t, ), o obtiet f (x, y) = y a h(x/y).

420 4 Chap. 6. Calcul différetiel ) Avec le chagemet de variables précédet, o obtiet g r g(r, u) = r cota u + B (u), d où f (x, y) = x y x + y + B B C (R, R). = cota u, d où ( ) x, avec y 3) Soit F l opérateur différetiel défii par F( f ) = x f x + y f. U calcul simple y doe (F F)( f ) = x f x +xy f x y +y f y +x f x +y f. L équatio proposée équivaut y ( à F(F( ) f )) = F( f ). E utilisat la questio avec a =, o obtiet x x F( f ) = A + y y. Le chagemet de variables e coordoées polaires etraîe que r g r = A (u)r, aveca (u) = A(cota u), c est-à-dire g r = A (u). La solutio de cette équatio est de la forme g(r, u) = A (u)r + B (u), et comme g est de classe C, A et B égalemet. E reveat aux variables x et y, o obtiet fialemet : f (x, y) = A Exercice 6.9 ( ) x x + y y + B ( ) x, où A et B décrivet C (R, R). y Mies-Pots MP 7, Cetrale MP 5 Soit k R. Détermier les foctios cotiues u : R + R de classe C sur R + telles que la foctio F :(x, y, z) R 3 u( x + y + z )vérifie F(,, ) = et F x + F y + F z = kf sur R3 \{(,, )}. O pose r = x + y + z, de sorte que F(x, y, z) = u(r) etu() =. O a F x = x r u (r), puis F x = ( r x r 3 )u (r)+ x r u (r). Par symétrie sur les variables, o obtiet des expressios semblables pour F y et F. L équatio proposée est z équivalete à : r u (r)+u (r) = ku(r). O effectue das cette équatio différetielle liéaire du secod ordre le chagemet de foctio icoue v(r) = ru(r). O a v (r) = ru (r) +u (r), doc o obtiet l équatio différetielle à coefficiets costats v kv =. Si k >, o obtiet v(r) = A ch( kr)+b sh( kr), et u(r) = v(r). La cotiuité de r u e et l égalité u() = etraîet que A = etb = k, d où u(r) = sh( kr) kr. Si k <, o obtiet v(r) = A cos( kr)+b si( kr), et u(r) = v(r),aveclà r

421 ecore A = etb = k, d où u(r) = si( kr) kr. 6. Exercices d etraîemet 43 Si k =, o obtiet v(r) = Ar + B, d où u(r) = Ar + B, avec cette fois B = et r A =, d où u(r) =. Exercice 6. Cetrale MP 7 Soit E = C (R, R) ete le dual de E. O pose D = {d E ( f, g) E, d( fg) = f ()d(g)+g()d( f )}. ) Motrer que D est u sous-espace vectoriel de E. ) Motrer que D est pas réduit à {}. 3) Soiet d D et h ue foctio costate. Que vaut d(h)? 4) Soit f E. Motrer : x R, f (x) = f () + x i f Vérifier que l applicatio x (tx) dt appartiet à E. x i 5) Soit d D. Etablir l existece de (a,...,a ) R tel que : 6) Détermier la dimesio de D. f E, d( f ) = i= i= a i f x i (). f x i (tx) dt. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) L applicatio ulle appartiet à D. Sid et d appartieet à D et l R, alors d + d et ld appartieet à D, doc D est u sous-espace vectoriel de E. ) Soit d : E R défiie par d( f ) = f (). Il s agit d ue forme liéaire sur E, x qui appartiet à D par règle de dérivatio d u produit. 3) O ote e la foctio costate égale à. Comme e = e, oad(e) = d(e ), or d(e ) = e()d(e) = d(e), d où d(e) =. Par liéarité, o e déduit que si h est ue foctio costate, alors d(h) =. 4) O pose w(t) = f (tx). La foctio w est de classe C sur R, doc w() = w() + f (x) = f () + w (t) dt, ce qui doe f x i (tx) dt = f () + x i i= x i i= f x i (tx) dt. O pose h(x, t) = f f (tx)etg i (x) = (tx) dt = h(x, t) dt. La foctio h est de classe C sur R R. SoitR >, comme les dérivées x i x i partielles

422 44 Chap. 6. Calcul différetiel de h sot cotiues, elles sot borées sur le compact B f (, R) [, ], doc par théorème sur les itégrales dépedat d u paramètre (avec hypothèses de domiatio locale), la foctio g i est de classe C sur R. 5) Soit d D. Soite i : R R l élémet de E défii par e i (x) = x i. O pose a i = d(e i ). Avec les otatios de la questio précédete, o a f = f ()+ e i g i. D après la questio 3, d( f ()) =, doc d( f ) = (e i ()d(g i )+g i ()d(e i )) = i= i= a i f x i (). 6) O ote d i l élémet de D défii par d i ( f ) = f (). La questio 5 motre que x i la famille (d,...,d ) est géératrice de D. Motros qu elle est libre. Soit (u,...,u ) R tel que u i d i =. E appliquat cette égalité à la i= foctio e j, o obtiet u j =, pour tout etier j variat de à, doc la famille est libre. Il e résulte que (d,...,d ) est ue base de D, doc la dimesio de D est égale à. i= Exercice 6. Mies-Pots MP 6 Détermier les extremums locaux sur R de la foctio f :(x, y) x 4 + y 4 (x y), puis les extremums absolus de f sur le carré [, ]. O recherche d abord les poits critiques de f : f x = 4x 3 f 4(x y), y = 4y3 +4(x y). ( ) f f Le système (x, y) =, (x, y) = se résout de la maière suivate : o x y ajoute les deux relatios, ce qui doe x = y, puis o reporte das la première, et o obtiet fialemet les poits critiques suivats : (, ), (, ), (, ). O pose r = f x = x 4, s = f x y = 4, t = f y = y 4. Au poit (, ), rt s =. A priori, o e peut pas coclure, mais f (x, x) = x 4 > pour x et f (x, ) = x 4 x = x (x ) < pour < x <, doc il y a pas d extremum local e (, ). Au poit (, ), rt s > etr >, doc il y a u miimum local e (, ), aisi qu e (, ) par parité.

423 6. Exercices d etraîemet 45 La foctio f est cotiue doc atteit ses bores sur le compact [, ].Ce e peut pas être à l itérieur, car le seul poit critique s y trouvat est (, ) e lequel f e présete pas d extremum local, doc c est sur la frotière. Par parité et symétrie etre x et y, il suffit de se placer sur le segmet (y =, x [, ]) : h(x) = f (x, ) = x 4 x +4x, h (x) = 4(x 3 x +), h (x) = 4(3x ). Ue étude de foctio motre que h a u uique zéro oté a. O obtiet à l aide d u logiciel de calcul formel la valeur approchée (et la valeur exacte 6 b b où b = (8 + 69) /3 ). La foctio h est égative sur [, a ] et positive sur [ a, ], doc le miimum absolu de f estégalà f (a, ) (obteu à l aide de Maple) et le maximum absolu est égal à max( f (, ), f (, )) = f (, ) =. Exercice 6. Cetrale MP 4 Motrer que la foctio (x, y) x + y + a4 xy ], + [ que l o détermiera (a R +). admet u miimum absolu sur Duod La photocopie o autorisée est u délit Détermios les poits critiques de f : f x = x a4 yx, f y = y a4 xy. Le poit (x, y) est critique si et seulemet si x 3 y = xy 3 = a 4, d où x = y = /4 a. O a r = f a4 = + x yx 3, s = f x y = a4 x y, t = f y = +a4 xy 3. Au poit critique ( /4 a, /4 a), o a rt s = 3 > etr >, doc f présete u miimum local. O démotre à préset que ce miimum est absolu. E utilisat deux fois l iégalité u + v uv, o obtiet pour tous x, y > : f (x, y) xy + a4 xy = xy (x y + a4 ) xy (xya / ) = a. Or f ( /4 a, /4 a) = a, doc f atteit so miimum sur ], + [ e ce poit. Exercice 6.3 Mies-Pots MP 5 Détermier les extremums locaux de la foctio f :], + [ R défii par xy f (x, y) =. Motrer que f admet u maximum absolu. ( + x)( + y)(x + y)

424 46 Chap. 6. Calcul différetiel O a f x (x, y) = y(y x ) ( + y)( + x) (x + y) et f y (x, y) = x(x y ) ( + x)( + y) (x + y). Le seul poit critique de f apparteat à ], + [ est (, ). O a f (, ) = /8. O observe que (x, y) ], + [, f (x, y) <, doc si x 8ousiy 8, x + y alors f (x, y) < /8. D autre part, y x + y, et ( + x)( + y), doc f (x, y) x, doc si x /8 (ou si y /8 par symétrie), alors f (x, y) < /8. O e déduit que pour (x, y) / ]/8, 8[, f (x, y) < /8. La foctio f est cotiue doc atteit sa bore supérieure sur le compact [ /8, 8]. D après ce qui viet d être motré, cette bore supérieure est pas atteite sur le bord du compact, elle l est doc à l itérieur et doc e u poit critique, le seul possible état (, ). Comme f (, ) = /8, f atteit so maximum sur ], + [ e ce poit. Exercice 6.4 Cetrale MP 6 Soit M M (R) symétrique défiie positive et C R. Étudier les poits critiques de la foctio défiie sur R par f (X) = t XMX+< X, C >, puis l existece d extremums. Précisos d abord qu o idetifie les vecteurs de R avec les matrices coloes de M, (R). M état symétrique réelle, elle est diagoalisable das ue base orthoormée, doc il existe P O (R) etl,...,l des réels strictemet positifs (car M est défiie positive) tels que P MP = D = Diag(l,...,l ). O pose Y = P X = t PX le vecteur coloe de coordoées (y,...,y ), o a f (X) = t Y t PMPY + < PY, C >. O pose B = t PC le vecteur coloe de coordoées (b,...,b ), et g(y ) = f (X) = t YDY +<Y, B >. O obtiet alors ( g(y ) = l i yi + b i y i = l i y i + b ) i bi. l i l i i= O e déduit que g(y ) i= i= i= i= b i l i, avec égalité si et seulemet si pour tout i [[, ]] y i = b i l i, c est-à-dire Y = D B. O e déduit que f admet u seul poit critique X = PD B = M PB = M C, e lequel f présete u miimum absolu sur R,égalà < M C, C >. E revache, f est pas majorée, car o voit facilemet que g(y )tedvers+ quad y ted vers +, doc a pas de maximum absolu.

425 6. Exercices d etraîemet 47 Exercice 6.5 K Cetrale MP 6 Détermier les foctios f C (R, R) vérifiat l équatio f x 4 f x y +3 f y =. O pourra itroduire les opérateurs différetiels P = x y et Q = x 3 y. Pour tout f C (R, R), o a (P Q)( f ) = P( f x ) 3P( f y ) = f x f y x 3 f x y +3 f y = f x 4 f f x y +3 à l aide du théorème de Schwarz. y E posat g = Q( f ), o doit d abord résoudre l équatio P(g) =. O utilise pour cela le chagemet de variables (u = x + y, v = x y), qui est u isomorphisme de R sur R, doc a fortiori u difféomorphisme. E posat g (u, v) = g(x, y), soit g(x, y) = g (x + y, x y), o a alors : g x (x, y) = g u (x + y, x y)+ g (x + y, x y) v g y (x, y) = g u (x + y, x y) g (x + y, x y) v Duod La photocopie o autorisée est u délit O e déduit que P(g) = équivaut à g =, c est-à-dire qu il existe v A C (R, R) telle que (u, v) R, g (u, v) = A(u), d où g(x, y) = A(x + y). O résout pour fiir Q( f ) = A(x + y) à l aide du chagemet de variables (u = x + y, v = 3x + y), qui est ecore u difféomorphisme de R sur R. E posat f (u, v) = f (x, y), soit f (x, y) = f (x + y, 3x + y), o a alors : f x (x, y) = f u (x + y, 3x + y)+3 f (x + y, 3x + y) v f y (x, y) = f u (x + y, 3x + y)+ f (x + y, 3x + y) v O e déduit que Q( f ) = A(x + y) équivaut à f = A(u), dot les solutios u s écrivet sous la forme f (u, v) = A (u)+b (v), où A est ue primitive de A/. Fialemet, f (x, y) = A (x + y)+b (3x + y), où A et B décrivet à C (R, R).

426 48 Chap. 6. Calcul différetiel 6.3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 6.6 Polytechique MP 5 K Pour M M (R), o pose f (M) = (tr M, tr M,...,tr M ). ) Motrer que f est différetiable et calculer df(m)(h) pour M et H das M (R). ) Soit M M (R). Motrer que le rag de df(m) est égal au degré du polyôme miimal de M. 3) Motrer que l esemble des matrices de M (R) dot le polyôme miimal est égal au polyôme caractéristique est u ouvert de M (R). ) O démotre par récurrece sur k que k (M + H) k = M k + M i HM k i + O( H ) i= i= (voir u cas particulier à l exercice 6.3). O utilise esuite la liéarité de la trace et la propriété bie coue tr(ab) = tr(ba) pour e déduire que l applicatio f k : M tr(m k ) est différetiable et que df k (M)(H) = k tr(hm k ). Il e résulte que f est différetiable, et que pour tout (M, H) (M (R)),oa df(m)(h) = (k tr(hm k )) k. ) Soit p le degré du polyôme miimal de M (oté m M ). O sait par le théorème de Cayley-Hamilto que p et que k p, M k Vect(I,...,M p ). O pose w k (H) = k tr(hm k ). Les formes liéaires w p+,...,w sot doc combiaisos liéaires de (w,...,w p ). Supposos ue relatio de liaiso de la forme p p a i w i =. O a alors H M (R), tr(h( a i M i )) =. E choisissat successivemet pour H les matrices élémetaires E ij, o e déduit que p a i M i = doc tous les a i sot uls, car le polyôme miimal de M est i= de degré p. O sait d après le cours sur la dualité que si les formes liéaires (w,...,w p ) sot idépedates, alors l applicatio H (w (H),...,w p (H)) est surjective, doc de rag p, doc so oyau est de dimesio p. Orso oyau est le même que celui de df(m), doc df(m) est égalemet de rag p. 3) Soit A l esemble des matrices de M (R) dot le polyôme miimal est égal au polyôme caractéristique, c est-à-dire est de degré. D après ), A est l esemble des matrices M tels que df(m) soitderag. O se place das les bases caoiques de M (R) etder, et o ote J(M) la matrice jacobiee de f e M, c est-à-dire la matrice de df(m) das ces bases. La matrice M appartiet à A si et seulemet si o peut extraire de J(M) ue matrice carrée d ordre qui soit iversible, c est-à-dire s il existe I [[, ]] de cardial tel que det J(M) I i=

427 6.3 Exercices d approfodissemet 49 (o ote J(M) I la matrice extraite de J(M) e e gardat que les liges apparteat à I ). Par cotiuité de df et du détermiat, si det J(M) I, alors il existe u voisiage V de M tel que N V, det J(N) I, doc V A. Il e résulte que A est voisiage de chacu de ses poits, doc est u ouvert de M (R). Exercice 6.7 Mies-Pots MP 5 Soiet D = {z C z < } et f ue foctio cotiue sur D à valeurs das C. O idetifie C et R. ) ( O suppose que f est somme d ue série etière. Motrer que si z D, alors f x + i f ) (z) =. y ( f ) K O suppose que f est de classe C et que z D, x + i f ) (z) =. y Motrer que f est somme d ue série etière. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Il existe ue suite (a ) C N telle que z D, f (z) = a z = = a (x+iy). O rappelle que les deux séries etières a z et a z ot même rayo de covergece. Soit z = x + iy D. O pose z = x + iy, qui appartiet à D, et d = ( z ) >. Soit f (x) = a (x + iy ). f est de classe C sur R et f (x) = a (x + iy ). x [x d, x + d], f (x) = a (x + y) a z + d. Comme z + d <, cette série coverge, doc f coverge ormalemet sur [x d, x + d]. Comme f coverge, o e déduit par théorème sur les séries de foctios l existece de f x e z et l égalité f x (z ) = a z. O pose à préset g (y) = a (x + iy),oag (y) = ia (x + iy ),eto démotre comme précédemmet que f ( f y (z ) = ia z, d où x + i f ) (z ) = pour tout z D. y = ) O pose, pour r [, [ et u R, g(r, u) = f (r cos u, r si u). Pour r [, [, la foctio u g(, u) estp-périodique et de classe C, doc le théorème de covergece ormale s applique : o pose, pour Z, c (r) = p g(r, u)e iu du, o sait que la série c (r) coverge, p Z = =

428 4 Chap. 6. Calcul différetiel et pour (r, u) [, [ R, o a g(r, u) = = c (r)e iu. O part de g(r, u) = f (r cos u, r si u) et o calcule les dérivées partielles par rapport à r et u. Les dérivées partielles de f sot évaluées e (r cos u, r si u) et celles de g e (r, u). r g r = x f x + y f g, y u = y f x + x f y. O e déduit que f x = cos u g r si u r g u, f y = si u g r + cos u r g u. La relatio f x + i f g = équivaut doc à r y r + i g =. Par théorème u sur les itégrales à paramètre (le domaie d itégratio état u segmet), c est de classe C et c (r) = p g p r (r, u)e iu du. O e déduit que rc (r) = i p g p u (r, u)e iu du = i p p (i) g(r, u)e iu du e itégrat par parties. O e déduit rc (r) = c (r). E itégrat l équatio différetielle, il existe a C tel que c (r) = a r pour Z et r <. La foctio c est cotiue e, doc a = pour tout <. Fialemet, f (r cos u, r si u) = a r e iu, doc f (z) = a z pour tout z D. = = Exercice 6.8 Mies-Pots MP 5, foctios harmoiques K Soiet f C (R, R) ue foctio harmoique (c est-à-dire de laplacie ul), (x, y ) R et h la foctio de R + das R défiie par : r R +, h(r) = p p f(x + r cos u, y + r si u) du. ) Motrer que h est costate. Idicatio de la rédactio : poser c(r, u) = f(x + r cos u, y + r si u) et motrer que Df = c r + c r r + c r u. ) Motrer, si R >, que f(x, y ) = pr f(u, v) du dv, oùd R est D R le disque fermé (pour la distace euclidiee) de cetre (x, y ) et de rayo R >.

429 6.3 Exercices d approfodissemet 4 ) E procédat comme das l exercice précédet, o obtiet () r c r = x f f +y x y c et () u = y f x x f c. E remplaçat c par r das (), o obtiet : y r d où r c (r r r ) = x f (x x x + y f y )+y f (x y x + y f y ), r c r + r c r = x f x + y f y + x f x +xy f x y + y f y. E remplaçat c par c u das (), o obtiet : c u = y f (y x x x f y ) x f (y y x x f y ) = y f x xy f x y + x f y x f x y f y. E ajoutat les deux relatios obteues, o obtiet c r + c r r + c r u = Df.Le théorème de dérivatio des itégrales à paramètres sur u segmet etraîe que h est de classe C et o a pour tout r >, h (r)+ r h (r) = p ( c p r + c r r ) du. A l aide du calcul précédet, h (r)+ r h (r) = pr p c u du = pr ( c u c (r, p) (r, )) =. u Duod La photocopie o autorisée est u délit O e déduit qu il existe A R tel que r >, h (r) = A. La cotiuité de h r e etraie que A =, doc h = eth est costate, égale à h() = f(x, y ). ) O calcule l itégrale double e passat e polaires : ( R ) p f(u, v) du dv = f(x + r cos u, y + r si u) du rdr D R Exercice 6.9 = R prh(r) dr = ph() R rdr= pr f(x, y ). Cetrale MP 7 K O muit R de sa structure euclidiee caoique. Soit f C (R, R ) telle qu il existe a > vérifiat (x, h) R R, (df(x)(h) h) a h.

430 4 Chap. 6. Calcul différetiel ) Motrer que (a, b) R R, ( f (b) f (a) b a) a b a. ) Motrer que f est u C -difféomorphisme de R sur f (R ). 3) Motrer que f (R ) = R. Idicatio de la rédactio : motrer que f (R ) est fermé. ) O pose w(t) = ( f (a + t(b a)) b a) pour t [, ]. La foctio w est dérivable, et w (t) = (df(a + t(b a))(b a) b a), doc w (t) a b a. E itégrat de à, o obtiet f (b) f (a) = w() w() a b a. ) La foctio f est ijective d après la questio ) et df(x) est u edomorphisme de R ijectif d après l éocé, doc bijectif. Par la caractérisatio du cours, f (R ) est u ouvert de R et f est u C -difféomorphisme de R sur so image. 3) Soit (y k ) k N = ( f (x k )) k N ue suite de f (R ) qui coverge, soit y sa limite. D après la questio ), et e utilisat l iégalité de Cauchy-Schwarz, o a ( j, k) N, y k y j x k x j ( f (x k ) f (x j ) x k x j ) a x k x j, d où y k y j a x k x j. La suite (y k ) k N est de Cauchy, doc la suite (x k ) k N égalemet, à valeurs das R qui est complet, doc elle coverge, vers ue limite otée x. La foctio f état cotiue, o e déduit que la suite ( f (x k )) k N coverge vers f (x), d où y = f (x) par uicité de la limite. Ceci prouve que f (R ) est fermé. O a vu qu il était ouvert das la questio précédete, or R est coexe par arcs, doc f (R ), qui est pas vide, est égal à R. Exercice 6.3 Polytechique MP 5 K O muit R de sa structure euclidiee caoique. Soit f : R R ue applicatio de classe C telle que f () = etdf(x) est orthogoale pour tout x R. Motrer que f est orthogoale. Idicatio de la rédactio : utiliser l exercice précédet. Pour tout x R, df(x) O(R ), doc (x, h) (R ), df(x)(h) = h. O peut alors utiliser l exercice précédet avec a =. E appliquat l iégalité de Cauchy-Schwarz, o obtiet : (x, y) R, x y ( f (x) f (y) x y) f (x) f (y) x y. Par coséquet, f (x) f (y) x y. D après l exercice précédet, f est u difféomorphisme de R sur R. O sait égalemet que df (x) = (df( f (x))), doc df (x) est orthogoale pour tout x R. L applicatio f vérifie alors les mêmes hypothèses que f, doc o obtiet que (u, v) R, f (u) f (v) u v. O pred alors u = f (x)etv = f (y), ce qui doe fialemet f (x) f (y) = x y pour tout (x, y) (R ).

431 6.3 Exercices d approfodissemet 43 État doé que f () =, o recoaît la caractérisatio d u edomorphisme orthogoal. Rappelos e brièvemet la preuve : E preat y =, o a f (x) = x, puis e élevat au carré, et e développat, o obtiet ( f (x) f (y)) = (x y). La liéarité de f se démotre e cosidérat le carré scalaire A = ( f (ax + y) a f (x) f (y) f (ax + y) a f (x) f (y) ). O le développe et o obtiet que A = e utilisat le fait que f coserve le produit scalaire. Exercice 6.3 Mies, Polytechique, ENS K Soit f C (R, R ) telle que (x, y) (R ), f (x) f (y) x y. Motrer que f est u difféomorphisme de R sur R. Cotrairemet aux deux exercices précédets où o est passé de df à f par itégratio, o passe cette fois de f à sa différetielle. Soit (x, h) (R ). O a par hypothèse t >, f (x + th) f (x) t h. E faisat tedre t vers, o obtiet df(x)(h) h. Par coséquet, df(x) estu edomorphisme ijectif de R, doc u isomorphisme. L éocé implique que f est ijective, doc e appliquat la caractérisatio des difféomorphismes, o peut affirmer que f (R ) est ouvert et que f est u difféomorphisme de R sur so image. E procédat exactemet comme das l exercice 6.9, o démotre que f (R ) est fermé, d où il résulte, par coexité par arcs de R, que f (R ) = R. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice 6.3 Cetrale MP 6 K O muit R de sa structure euclidiee caoique. Soit f : R R de classe C, croissate, telle que f () = et f () =. O pose F(x) = f ( x )x pour tout x R. ) Motrer que F est de classe C et exprimer sa différetielle. ) Motrer que, pour tous (x, h) (R ),(df(x)(h) h) f ( x ) h. 3) Motrer que F est u difféomorphisme de R sur R. ) L applicatio f : x (x x) est de classe C et o a df(x)(h) = (x h). La racie carrée est de classe C sur R +, de dérivée égale à. Par théorème de compositio, la orme euclidiee N =. = f est de classe C sur E \{}

432 44 Chap. 6. Calcul différetiel et o a dn(x)(h) = df(x)(h) (x h) = f(x) x. O pose c = f N. O sait que df(t)(h) = hf (t). Par théorème de compositio, c est de classe ( C sur ) E \{} et dc(x) = df(n(x)) dn(x), d où (x h) (x h) dc(x)(h) = df( x ) = x x f ( x ). Efi, F = c Id, doc F est de classe C (x h) sur E\{} et df(x)(h) = c(x)h+dc(x)x = f ( x )h+ x f ( x )x. Il reste l étude e : h R, F(h) h = ( f ( h ) )h = o( h )h = o(h) car f () =, doc F est différetiable e et df() = Id. Efi, h R, df(x)(h) h f ( x ) h + f ( x ) x h, d où df(x) df() f ( x ) + f ( x ) x qui ted vers quad x ted vers, doc df est cotiue e et F est de classe C sur R. ) Pour x, (df(x)(h) h) = f ( x ) h (x h) + x f ( x ) f ( x ) h car f est positive. L iégalité est ecore vraie pour x =. 3) Pour tout x R, df(x) est, d après la questio ), u edomorphisme ijectif de R, doc c est u isomorphisme. La foctio f est strictemet positive sur R +, doc o a F(x) = x =. Soit (x, y) (E \{}) tel que F(x) = F(y). O a alors f ( x )x = f ( y )y. Cela etraîe que les vecteurs x et y sot coliéaires, doc il existe a R tel que y = ax, aveca > puisque f est strictemet positive sur R +. E simplifiat par x, o obtiet f ( x ) = a f (a x ). Sia >, alors a f (a x ) a f ( x ) > f ( x ), ce qui est absurde. Sia <, alors a f (a x ) a f ( x ) < f ( x ), ce qui est absurde. Par coséquet, a = etx = y, doc F est ijective. Fialemet F est u difféomorphisme de R sur so image. Il reste à motrer que F(R ) = R.Soity R \{}. O cherche x = ty avec t > tel que F(x) = y. Ceci équivaut à tf(t y ) =. O pose g(t) = tf(t y ). La foctio g est de classe C sur R + et strictemet croissate. O a g() = et lim t + g(t) = +. Il existe doc u réel uique a > tel que g(t) =, c està-dire F(x) = y. O e déduit que F est surjective. Il e résulte que F est u difféomorphisme de R sur lui-même.

433 Itégrales doubles et curviliges 7 7. L ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D ASSIMILATION 7.. Itégrales doubles Ce qu il faut savoir Itégrabilité : soiet I et I deux itervalles de R. Soit f ue foctio cotiue sur [a, b] [c, d], o a l égalité ( b ) d ( d ) b f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy. a La valeur commue est otée c [a,b] [c,d] Soit f ue foctio cotiue et positive sur I I. f. O dit que f est itégrable sur I I s il existe ue costate M telle que pour tout segmet J I et tout segmet J I, f M. Odit J J alors que f est itégrable sur I I et o ote f = sup I I J,J J J O suppose que pour tout x I, la foctio y f (x, y) est itégrable sur I. O ote g : x f (x, y) dy. Si g est cotiue par ( morceaux et itégrable ) sur I alors f est itégrable sur I I et f (x, y) dy dx = f. Le résultat est idetique e permutat I I les variables. I I Soit f ue foctio cotiue à valeurs réelles, o dit que f est itégrable sur I I si les deux foctios f + = max( f, ) et f = max( f, ) le sot. Das ce cas, o défiit f = f + f. I I I I I I c f. I a

434 46 Chap. 7. Itégrales doubles et curviliges Soit f ue foctio cotiue à valeurs complexes, o dit que f est itégrable sur I I si les deux foctios Re( f )etim(f ) le sot. Das ce cas, o défiit f = Re( f )+i Im( f ). I I I I I I D R R Formule de Fubii : Soit f défiie sur I I à valeurs réelles ou complexes, cotiue et itégrable sur I I. Si, pour tout x I, la foctio y f (x, y)est itégrable sur I, et si la foctio g : x f (x, y) dy est cotiue par morceaux et itégrable sur I alors f = g. Si, de plus, pour tout y I,la I I I I foctio x f (x, y) est itégrable sur I, et si la foctio h : y f (x, y) dx I est cotiue par morceaux et itégrable sur I alors f = g = h. I I I I Itégrale sur ue partie simple : O dit que D est u domaie élémetaire du pla s il peut se défiir sous l ue des formes suivates : D = {(x, y) R a x b et w (x) y w (x)} où a < b et w et w sot deux foctios cotiues sur [a, b] avecw < w sur ]a, b[ D = {(x, y) R c y d et c (y) x c (y)} où c < d et c et c sot deux foctios cotiues sur [c, d] avecc < c sur ]c, d[. Soit f ue foctio ( cotiue ) sur D à valeurs ( réelles ou complexes, ) o défiit f = f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx où f est obteue e prologeat f par sur R D. O éted cette défiitio au cas où D est ue réuio de telles parties élémetaires dot les itérieurs sot deux à deux disjoits, o parle alors de partie simple. Exercice 7. Motrer que la foctio f :(x, y) xy(x + y) est itégrable sur [, + [ et détermier f. [,+ [ La foctio f est à valeurs positives. Soit x. La ( foctio ) g : y f (x, y) est cotiue et itégrable sur [, + [, car g(y) =. Pour tout y, o a Si A >, o a alors A f (x, y) dy = x [l R R O y + xy(x + y) = ( x y x + y ] A y x + y et y ). f (x, y) dy = l( + x) x.

435 La foctio g : x ( g(x) = o x + x 3/ 7. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 47 l( + x) x est cotiue et itégrable sur [, + [ (car ) ). Fialemet f est itégrable sur [, + [ et, e itégrat par parties, o obtiet : l( + x) + dx f = [,+ [ x dx = l + x( + x) = l. Exercice 7. Cetrale MP 5 x y ) Soit a ], [, calculer I a = dx dy où D = [a, ] [, ]. D a (x + y) 3 Détermier la limite de I a lorsque a ted vers. ) La foctio f :(x, y) x y est-elle itégrable sur D =], ] [, ]? (x + y) 3 Duod La photocopie o autorisée est u délit [a,] [,] ) E écrivat x y = x (x + y), o calcule I a ( ) x I a = a (x + y) 3 [ ] x (x + y) dy dx = a (x + y) + dx x + y ( x = a (x +) + x + + x x ) dx dx = x a (x +). Aisi I a = + et lim +a I a = a. ) O va s itéresser à l itégrabilité de f +. La foctio f est positive lorsque x y, égative sio. Si J = [a, b] est u segmet de I =], ] et J = [c, d] u segmet de I = [, ] alors J J [a, ] [, ]. Il suffit doc d étudier les itégrales sur les compacts [a, ] [, ]. Pour a ], [, o a x= ( y=x ) f + x y [ ] x x = [a,] [,] x=a y= (x + y) 3 dy dx = a (x + y) + dx x + y ( x = a 4x + x + x x ) dx = x a 4x dx = 4 l a Aisi f + est pas borée lorsque a décrit ], [ et f est pas itégrable sur ], ] [, ]. Remarque Le premier résultat est trompeur. Les termes égatifs das l itégrale compeset e partie les termes positifs, si bie qu o se retrouve avec ue itégrale I a qui admet ue limite lorsque a ted vers.

436 48 Chap. 7. Itégrales doubles et curviliges Exercice 7.3 Soit f ue applicatio cotiue sur (R + ), à valeurs positives. O ote, pour R >, D R = {(x, y) R x, y, x + y R }. Motrer que f est itégrable sur (R + ) si et seulemet si f (x, y) dx dy admet ue limite fiie lorsque R ted vers +. Das ce cas, motrer que f = lim f (x, y) dx dy. (R + ) R + D R Soit a >. O a de faço immédiate sup a [,a] J J f (x, y) dx dy sup J,J J J D R f (x, y) dx dy où J et J décrivet tous les segmets de R +. De plus, si J et J sot deux segmets de R +,ilexistea > tel que J J [, a]. O a doc sup J,J f (x, y) dx dy sup a f (x, y) dx dy. Puisque, pour tout a >, o a D a [, a] D a, o obtiet, par le même raisoemet que précédemmet sup f (x, y) dx dy = sup f (x, y) dx dy = lim f (x, y) dx dy. a R + [,a] R R + D R + R D R Ce qu il faut savoir Chagemet de variables [,a] Soiet U et V deux ouverts de R et w u C -difféomorphisme de U sur V. Si D est u compact simple de U dot l image D par w est ecore u compact simple et si f est cotiue sur D alors f (x, y) dx dy = f w(u, v) j f (u, v) du dv. D D Remarque D(x, y) Par commodité, o ote j w (u, v) = le jacobie de w, ce qui permet D(u, v) d écrire la derière itégrale sous la forme f w(u, v) D(x, y) D(u, v) du dv. E pratique : e gééral, le domaie est défii par des coditios sur les variables x et y. Après avoir justifié que w :(u, v) (x = x(u, v), y = y(u, v)) D

437 7. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 49 est u difféomorphisme, o traduit les coditios sur x et y e coditios sur u et v, ce qui doe le ouveau domaie d itégratio. O peut alors effectuer le chagemet de variables. Cas particulier importat : passage e coordoées polaires Soit w :(r, u) (x = r cos u, y = r si u), o obtiet la formule f (x, y) dx dy = f (r cos u, r si u)r drdu. D D Remarque La foctio w est u C -difféomorphisme de R + ] p, p[versr \(R {}), qui est ormalemet pas utilisable lorsque le domaie D cotiet ou recotre la demi-droite R {}, o admet que par u passage à la limite, o peut effectuer ce chagemet sur u domaie iclus das R + [ p, p]. O autorise égalemet des chagemets de variables sur certais domaies o compacts. Par exemple le quart de pla {(x, y) R x, y } deviet, e coordoées polaires, le domaie R + [, p/] et l exercice 7.3, page 48 permet de justifier le chagemet. Exercice 7.4 CCP MP 6 Calculer I = D +x dx dy où D est le disque uité du pla. + y Duod La photocopie o autorisée est u délit Bie évidemmet, o calcule cette itégrale à l aide d u chagemet de variables e coordoées polaires. ( p ) [ ] r I = p +r dr du = p l( + r ) = p l. Exercice 7.5 CCP MP 6 O ote I = e t dt. ) Motrer que f :(x, y) e (x +y ) est itégrable sur (R + ). ) E déduire la valeur de I (o utilisera u chagemet e coordoées polaires).

438 4 Chap. 7. Itégrales doubles et curviliges ) La foctio f est à valeurs positives. Soit x. La foctio y e x e y est cotiue et itégrable sur R + avec f (x, y) dy = e x e y dy = Ie x. La foctio x Ie x est cotiue et itégrable sur R +. Doc f est itégrable sur (R + ) et f = Ie x dx = I. (R + ) ) Par u chagemet e coordoées polaires, o obtiet p/ ( ) I = re r dr du = p. p L itégrale I état positive, o a I =. 7.. Itégrales curviliges Ce qu il faut savoir Soit v = P(x, y)dx+ Q(x, y)dy ue forme différetielle cotiue sur u ouvert U de R et G = ([a, b], f ) u arc de classe C surusegmet[a, b] der à valeurs das U, avec, pour tout t [a, b], f (t) = (x(t), y(t)). O défiit l itégrale curvilige de v sur l arc orieté G par b ( v = P(x(t), y(t))x (t)+q(x(t), y(t))y (t) ) dt. G a Si v est ue forme différetielle exacte sur U et si F est ue primitive de v, alors v = F( f (b)) F( f (a)). G Formule de Gree-Riema : soit D ue partie fermée et borée du pla délimitéeparuarcdeclassec sas poit double. Soit v = Pdx + Qdy ue forme différetielle de classe C sur u ouvert U coteat D. O appelle D la frotière de D parcourue das le ses direct. O a ( Q v = x P ) dx dy. y Exercice 7.6 D D CCP MP 7 Soit g la courbe costituée des deux portios de courbes comprises etre les poits d itersectio de la droite d équatio y = x et de la parabole d équatio y = x, orietée das le ses trigoométrique. ) Calculer (y + xy) dx. g

439 7. L essetiel du cours et exercices d assimilatio 4 ) E utilisat la formule de Gree-Riema, retrouver la valeur de cette itégrale. ) O ote O(, ), A(, ) et v = (y + xy) dx.soiet { { [, ] R [, ] R g : t (t, t et g ) : t ( t, t) Le support de g est l arc de parabole allat de O à A et celui de g le segmet [AO]. v = (t + t 3 )dt = g = 7. [ ] ( t) v = (( t)+( t) ( t)3 )( ) dt = + = 5 g 3 6. Aisi v = = 4. g ) O ote D = {(x, y) R x, x y x}, le domaie boré délimité par g.... A D. Duod La photocopie o autorisée est u délit Avec P(x, y) = y + xy et Q(x, y) =, o obtiet, e utilisat la formule de Gree-Riema v = P ( x ) dx dy = ( + x) dy dx y g Exercice 7.7 = D ( + x)(x x ) dx = x (x 3 x) dx = 4 = 4. CCP MP 7 Détermier les cercles du pla le log desquels l itégrale curvilige de v = x dy + y dx est ulle.

440 4 Chap. 7. Itégrales doubles et curviliges O cosidère l itégrale curvilige le log du cercle C de cetre (a, b) et de rayo R >. Ue paramétrisatio est f : t (a + R cos t, b + R si t) avect [, p]. L itégrale est égale à : p ( v = (a + R cos t) (R cos t)+(b + R si t) ( R si t) ) dt C e utilisat p = R p = pr (a b), cos tdt= a cos t b si t +arcos t brsi t +R (cos 3 t si 3 t) dt p si tdt= p et p cos 3 tdt= p si 3 tdt=. Doc l itégrale est ulle si et seulemet si le cercle est cetré sur la droite d équatio y = x. 7. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice 7.8 Soit a >. Motrer que la foctio f :(x, y) est itégrable (a + x + y ) 3/ sur [, + [ dx dy et calculer l itégrale I = (R + ) (a + x + y ). 3/ La foctio f est cotiue et positive sur (R + ). Comme das l exercice 7.3, page 48, o a sup f (x, y) dx dy = sup f (x, y) dx dy J,J J J R D R où J et J décrivet tous les segmets de R + et D R est le quart de disque défii par {(x, y) (R + ) x + y R }. Par u chagemet e coordoées polaires, ( p/ ) R r f (x, y) dx dy = dr du D R (a + r ) 3/ = p [ (a + r ) /] R = p ( ) a. a + R Doc sup f (x, y) dx dy = p R D R a. La foctio f est doc itégrable sur (R+ ) et o a f (x, y) dx dy = p (R + ) a.

441 7. Exercices d etraîemet 43 Exercice 7.9 CCP MP 7 Soit D = {(x, y) R x, xy, x y 4}. ) Dessier le domaie D. { ], + [ ], + [ ) Motrer que F : (x, y) (xy, x y est u C -difféomorphisme. ) ) 3) Expliciter F(D) = D. xy(x + y ) 4) Calculer x y dx dy. D Duod La photocopie o autorisée est u délit ) L applicatio w est de classe C sur (R +).Soit(u, v) (R +). O cherche (x, y) (R +) tel que (u, v) = F(x, y). O obtiet le système (u = xy, v = x y ). Il est équivalet à y = u x et v = x u. La derière équatio deviet x x 4 vx u =. E posat X = x, X est ue racie de P = X vx u. Le discrimiat de ce polyôme est v +4u >. Le polyôme P admet deux racies réelles, de sige différet (car u < ). O obtiet ue uique solutio strictemet positive pour X. O a alors x = X (car x > ). O e déduit y = u/x. L applicatio F est doc bijective. Pour motrer que F est u C - difféomorphisme, il reste à motrer que la matrice jacobiee est iversible e tout poit de (R +).Oa j F (x, y) = y x x y = (x + y ) <. 3) Il est immédiat que D = F(D) = [, ] [, 4]. 4) La seule difficulté est d écrire le chagemet de variable das le ses usuel. Il faut pour cela cosidérer le C -difféomorphisme F. O a alors, pour tout

442 44 Chap. 7. Itégrales doubles et curviliges (u, v) (R +), j F (u, v) = j F (x, y), qui vaut (x + y. Tout cela doe ) xy x y (x + y ) dx dy = ( )( u v du dv = ) 4 dv udu. v D Fialemet, l itégrale cherchée vaut 3 l. Exercice 7. CCP MP 6 ) Détermier le domaie de défiitio de B(x, y) = ) Détermier le domaie de défiitio de G(x) = 3) Motrer que pour tout x R +,oag(x) = D 4) Écrire G(x)G(y) sous forme d ue itégrale double. u x ( u) y du. t x e t dt. u x e u du. 5) À l aide d u chagemet e coordoées polaires, motrer que pour tout (x, y) (R +),oab(x, y) = G(x)G(y) G(x + y). 6) Motrer que pour tout x >, o a G(x +)= xg(x) et e déduire B(m, ) pour m et etiers aturels. ) Soiet x et y deux réels et f : u u x ( u) y, défiie sur ], [. La foctio f est cotiue sur ], [. O a f (u) u x et f est itégrable sur ], /] si u et seulemet si x >. De même f est itégrable sur [/, [ si et seulemet si y >. La foctio B est doc défiie sur (R +). ) La foctio G est défiie sur R + (voir exercice.9). 3) L applicatio u u est ue bijectio de classe C de R + sur R + et t t x e t est itégrable sur R +. O peut effectuer le chagemet de variable t = u das l itégrale, ce qui doe G(x) = u x e u (u) du = 4) Si x et y sot strictemet positifs, o a ( )( ) G(x)G(y) = 4 u x e u du v y e v dv = 4 (u x v y )e (u +v ) du dv, D où D est le quart de pla D = {(x, y) R x, y }. u x e u du.

443 7. Exercices d etraîemet 45 5) U chagemet e coordoées polaires doe (avec u = r cos u et v = r si u), G(x)G(y) = 4 p/ ( = G(x + y) = G(x + y) p/ p/ ) r x+y e r rdr (cos u) x (si u) y du (cos u) x (si u) y (si u cos u) du (cos u) x (si u) y ( si u cos u) du. La relatio si u = cos u et le chagemet de variable u doet G(x)G(y) = G(x + y) = cos u u x ( u) y du. O obtiet fialemet B(x, y) = G(x)G(y) si x et y sot strictemet positifs (car G est à valeurs o G(x + y) ulles). 6) Cette relatio est motrée das l exercice.9. Elle permet d obteir G() = ( )! lorsque N. Fialemet, si m et sot deux etiers aturels o uls, (m )!( )! B(m, ) =. (m + )! Exercice 7. Cetrale MP 5 Paramétrer le cercle C d équatios : { x + y + z = x + y + z = Duod La photocopie o autorisée est u délit Calculer le log de C (o choisira l orietatio) l itégrale de la forme différetielle : v = (y z) dx +(z x) dy +(x y) dz. Le cetre du cercle est le poit A de coordoées (/3, /3, /3). Par le théorème de Pythagore, le rayo est R = OA = /3. O cherche ue base orthoormée du pla vectoriel d équatio x + y + z = dot u vecteur uitaire ormal est e 3 = (,, ). U premier vecteur de ce pla est le vecteur e = (,, ), u secod vecteur est e = e 3 e = ( 6,, ). O 6 6 peut alors paramétrer le cercle par l applicatio w : t A +(cost)e +(sit)e,

444 46 Chap. 7. Itégrales doubles et curviliges pour t [, p]. O obtiet : w(t) = x(t) = 3 + cos t + si t 6 y(t) = 3 cos t + si t 6 z(t) = 3 sit 6 L itégrale curvilige cherchée vaut doc p ( v = (3 si t cos t )( si t + cos t ) C 6 6 +( 3 si t cos t )( si t + cos t )+( cos t )( cos t ) ) dt ( = p ( 3 )+( 3 )+( 4 ) ) = p = p. 7.3 EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice 7. Mies-Pots MP 5 Soit A M (R) symétrique, défiie positive. Calculer I = exp( t XAX) dx dy, R où X désige le vecteur de coordoées (x, y). La matrice A est symétrique, défiie positive. Il existe ( doc ue ) matrice orthogoale P telle que t l PAP est ue matrice diagoale D = où les deux valeurs l ( ) propres l et l sot strictemet positives. Si X x = y est le vecteur tel que X = PX,oa t XAX = t X DX = l ( x + l y (. O ) cosidère alors l applicatio liéaire w :(x, y x x ) (x, y) telle que = P y) y. L applicatio w est u C - difféomorphisme de R sur R.SoitR, o ote D R le disque cetré e de rayo R. Puisque la matrice P est orthogoale, o a w(d R ) = D R (coservatio de la orme et bijectivité). O applique alors ce chagemet de variable pour obteir (la

445 7.3 Exercices d approfodissemet 47 valeur absolue du jacobie est ), exp( t XAX) dx dy = e l x l y dx dy. D R D R Par u ( raisoemet semblable à celui de l exercice 7.5, page 49, o obtiet + )( ) I = e l t dt e l t dt. Le chagemet de variable u = l t doe e l t dt = p e u du =. Fialemet l l I = p = p. l l det A Exercice 7.3 Cetrale MP 6 K O ote E l esemble des foctios cotiues et itégrables sur R à valeurs complexes. Pour f E, odéfiit fˆ sur R par : y R, ˆ f (y) = f (t)e ipyt dt. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Motrer que fˆ est défiie, cotiue et borée sur R. ) Soiet f et g das E, motrer que ˆ f (t)g(t) dt = f (t)ĝ(t) dt. 3) Soit f das E telle que fˆ soit itégrable sur R. Motrer que pour tout x R, o a : f (x) = f ˆ(t)e ipxt dt. Idicatio : o pourra appliquer le résultat de la questio précédete à f x : t f (x + t) (x fixé) et g : t h(t/) oùh(t) = e pt. O admettra que ĥ = h. ) Soit h :(y, t) f (t)e ipyt. La foctio h est cotiue sur R et, pour tout (y, t) R,oa h(y, t) = f (t). La foctio f est itégrable sur R, doc le théorème de cotiuité pour les itégrales à paramètre doe la cotiuité de fˆ sur R. De plus, pour tout y R, oa ˆ f (y) défiie, cotiue et borée sur R. f (t) dt. La foctio ˆ f est ) Les foctios ˆ fg et f ĝ sot cotiues sur R. Elles sot itégrables sur R car chacue est le produit d ue foctio itégrable par ue foctio borée. Soit t R, oa: ˆ f (t)g(t) dt = ( ) f (u)g(t)e iptu du dt.

446 48 Chap. 7. Itégrales doubles et curviliges O applique alors la formule de Fubii pour permuter l ordre d itégratio. La foctio u : (u, t) f (u)g(t)e iptu est défiie et cotiue sur R. Elle est itégrable sur R car u(u, t) = f (u) g(t) et les deux foctios f et g sot itégrables sur R. Siu R, la foctio t u(u, t) est cotiue et itégrable sur R et u(u, t) dt = f (u)ĝ(u). La foctio f ĝ est cotiue et itégrable sur R. O a le même résultat e échageat les variables. La formule de Fubii correspod exactemet à la questio : h = f ˆ(t)g(t) dt = f (u)ĝ(u) du. R 3) O applique le résultat précédet aux foctios doées. O a O a alors ˆf x (t) = = ˆf x (t)g(t) dt = f x (u)e iput du = f (u)e ip(u x)t du = e ipxt O calcule esuite ĝ. Pour tout t R,oa ĝ(t) = h( u )e iput du = = ĥ(t) = h(t). f x (t)ĝ(t) dt. f (x + u)e iput du h(v)e ipv(t) (dv) La formule de départ deviet doc, pour tout N, f ˆ(t)e ipxt h( t ) dt = f x (t)h(t) dt = f (u)e iput du = e ipxt ˆ f (t). avecu = v f x ( u )h(u) du, e effectuat le chagemet le chagemet de variable u = t das la secode itégrale. O fait alors tedre vers + et o calcule les deux limites e utilisat le théorème de covergece domiée. Pour tout N, la foctio a : t f ˆ(t)e ipxt h( t ) est cotiue sur R. Soit t R, o a lim a (t) = f ˆ(t)e ipxt h() = f ˆ(t)e ipxt. La foctio + t f ˆ(t)e ipxt est cotiue sur R. Pour tout N et tout t R, oa a (t) f ˆ(t), car h est majorée par. La foctio fˆ est, par hypothèse, itégrable sur R. Le théorème de covergece domiée doe lim + f ˆ(t)e ipxt h( t ) dt = ˆ f (t)e ipxt dt.

447 7.3 Exercices d approfodissemet 49 Pour tout N, la foctio b : u f x ( u )h(u) est cotiue sur R. Pour tout u R, o a lim b (u) = f x ()h(u) = f (x)h(u). Pour tout N et + tout u R, oa b (u) f x (u). La foctio f x est itégrable sur R. Le théorème de covergece domiée doe lim + f x ( u )h(u) du = f (x) h(u) du = f (x)ĥ() = f (x)h() = f (x). E égalat les limites, o obtiet f (x) = ˆ f (t)e ipxt dt.

448 EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALD % % TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP Pour assimiler le programme, s etraîer et réussir so cocours Ce livre d exercices corrigés d Aalyse est u outil d appretissage quotidie destié aux élèves de secode aée des classes préparatoires MP. Les premiers chapitres (Suites umériques, Foctios réelles d ue variable réelle, Itégratio sur u segmet) assuret la trasitio etre la première et la secode aée. Ils pourrot servir de support aux révisios «estivales» précédat le début de la deuxième aée. Chaque chapitre (excepté les deux premiers) est costitué de trois parties : ue présetatio sythétique de l essetiel du cours suivi d exercices d assimilatio ; des exercices d etraîemet dot l objectif est d ameer le lecteur à la compréhesio et à ue boe maîtrise des otios étudiées ; des exercices d approfodissemet destiés à mettre l élève e situatio de cocours ; ils fourirot ue référece et ue excellete base de travail pedat les périodes de révisio. Les cadidats aux cocours du CAPES et de l Agrégatio pourrot égalemet trouver das cet ouvrage ue aide précieuse pour leur préparatio. % El-Haj Laamri Agrégé de Mathématiques Maître de Coféreces à Nacy-Uiversité Philippe Chateaux Agrégé de Mathématiques Professeur au Lycée Heri Poicaré e MP* Gérard Eguether Maître de Coféreces à Nacy-Uiversité Alai Masoux Agrégé de Mathématiques Professeur au Lycée Heri Poicaré e PC Marc Rezzouk Agrégé de Mathématiques Professeur au Lycée Heri Poicaré e PC David Rupprecht Agrégé de Mathématiques Professeur au Lycée Heri Loritz e PSI Lauret Schwald Agrégé e Mathématiques Professeur au Lycée Heri Poicaré e BCPST ISBN