PRÉPAS TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP 100% Pour assimiler le programme, s entraîner et réussir son concours

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1 % PRÉPAS EL-HAJ LAAMRI PHILIPPE CHATEAUX GÉRARD EGUETHER ALAIN MANSOUX MARC REZZOUK DAVID RUPPRECHT LAURENT SCHWALD TOUS LES EXERCICES D'ANALYSE MP Pour assimiler le programme, s etraîer et réussir so cocours Rappels de cours et exercices d assimilatio Plus de 4 exercices dot la majorité est issue d oraux de cocours récets Solutios complètes et détaillées

2 TOUS LES EXERCICES D ANALYSE MP Pour assimiler le programme, s etraîer et réussir so cocours

3 TOUS LES EXERCICES D ANALYSE MP Pour assimiler le programme, s etraîer et réussir so cocours El-Haj Laamri Agrégé e mathématiques et maître de coféreces à Nacy-Uiversité Philippe Chateaux Agrégé e mathématiques et professeur e MP au Lycée Heri Poicaré à Nacy Gérard Eguether Maître de coféreces à Nacy-Uiversité Alai Masoux Agrégé e mathématiques et professeur e PC au Lycée Heri Poicaré à Nacy Marc Rezzouk Agrégé e mathématiques et professeur e PC au lycée Heri Poicaré à Nacy David Rupprecht Agrégé de Mathématiques et professeur e PSI au Lycée Heri Loritz à Nacy Lauret Schwald Agrégé e mathématiques et professeur e BCPST au lycée Heri Poicaré à Nacy

4 Couverture : Claude Lieber Duod, Paris, 8 ISBN

5 Présetatio de la série «Tous les exercices de mathématiques» L évolutio récete de l eseigemet des disciplies scietifiques das les C.P.G.E s est cocrétisée par la défiitio d u ouveau programme de première aée e 3 et de deuxième aée e 4. U des objectifs de cette évolutio a été de combler le fossé gradissat etre la classe de termiale et les classes préparatoires. La progressio est explicitemet imposée par le ouveau programme qui prévoit otammet «u programme de début de l aée», qui exclut la présetatio abstraite des cocepts au profit d ue démarche fodée sur l exemple comme poit de départ de la coceptualisatio, qui précoise l approche algorithmique e complémet de l approche démostrative et qui légitime la démarche expérimetale e mathématiques par l utilisatio des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systématiquemet utilisés das de ombreux cocours, otammet das le cocours commu «Cetrale - Supelec». Mais les programmes des classes préparatoires e sot pas les seuls à avoir évolué, les programmes de l eseigemet secodaire ot fait l objet d ue évolutio préalable. Efi, l attitude ouvelle des élèves face aux disciplies scietifiques red iefficace l approche axiomatique et leur appropriatio gradissate de l outil iformatique écessite d itégrer cet outil à la pédagogie. L esemble de ces chagemets red impérative la rédactio de ouveaux ouvrages. O costate que c est davatage la structure, l ordre des thèmes abordés, l esprit du programme qui ot évolué, le fod état resté relativemet stable. Sur ce fod, que ous avos pas la prétetio de reouveler, il existe déjà ue abodate et excellete littérature ; ous revediquos ue cotiuité par rapport à os illustres prédécesseurs et ous ous sommes largemet ispirés de leurs écrits pour y puiser exercices et sujets e ous efforçat de les préseter e parfaite cohérece avec l esprit du programme actuel. Car cette ouvelle collectio répod à ue écessité : etièremet rédigée après la parutio des ouveaux programmes et le début de leur mise e oeuvre, elle garatit ue parfaite compatibilité etre la rédactio des ouvrages et les précoisatios du programme... ce que aurait pu assurer sas risque d aomalies ue simple remise e forme d ue rédactio atérieure. Tous les ouvrages de cette collectio sot écrits trois as après l apparitio des ouveaux programmes et e respectet scrupuleusemet l esprit. Les rédacteurs, ot eseigé et iterrogé das le cadre de l acie et du ouveau programme. Ils perçoivet doc parfaitemet l importace de l évolutio. Leur expériece de l eseigemet e classes préparatoires et à l Uiversité, leur itervetio régulière e «colles», leur participatio aux cocours comme iterrogateurs à l oral et/ou correcteurs à l écrit permettet d affirmer qu il s agit d équipes très

6 vi Présetatio de la série «Tous les exercices de mathématiques» «professioelles». L équilibre etre la pluralité des approches qui erichit le fod et la cohérece de la forme qui reforce l efficacité est le résultat d u véritable travail collaboratif, d ue maîtrise d oeuvre rigoureuse et de sources d ispiratio précieuses... citos particulièremet pour les exercices d oral la Revue de Mathématiques Spéciales, l Officiel de la Taupe et les Archives des Professeurs de Spé du Lycée Heri Poicaré de Nacy e particulier celles costituées par Walter APPEL. Cette collectio a l ambitio de faire bééficier le lecteur de l expertise professioelle des rédacteurs, chaque ouvrage est doc rédigé avec u souci de rigueur et de clarté au service de la pédagogie, souci qui s exprime das quelques pricipes : La qualité de rédactio aboutie exigée des élèves écessite que les auteurs soiet eux-mêmes exemplaires das leur rédactio, aussi bie celle des éocés que celle des corrigés. U soi tout particulier est apporté à l écriture des élémets «logiques» : précis et sas ambiguïté, le style traduit explicitemet les coexios logiques, implicatio, écessité, suffisace, etc. das u souci permaet de redre explicite ce qui, ailleurs, reste parfois implicite. Les corrigés proposés sot toujours complets et commetés quad il le faut, e privilégiat les solutios méthodiques et raisoables aux approches «astucieuses» et «miraculeuses». L expériece prouve e effet qu u corrigé trop «brillat» iquiète l élève qui se set icapable de la même performace et e lui appred rie de la démarche costructive qui peut ameer à ue solutio lorsqu o possède ue maîtrise suffisate des cocepts. L expériece motre aussi la vertu du cotre-exemple... il e est fait u usage courat. La présece de rappels de cours sythétiques est écessaire pour replacer les exercices das leur cotexte théorique sas avoir à quitter l ouvrage e cours de lecture, pour fixer aussi quelques otatios choisies parmi les stadards. Mais ces élémets de cours e se substituet e rie à l eseigemet magistral ou aux ouvrages de référece, ils costituet seulemet u «miimum coceptuel» immédiatemet dispoible pour aider la compréhesio des exercices qui restet la matière essetielle de l ouvrage. La voloté de respecter l esprit des ouveaux programmes privilégie la présetatio de sujets récets (de 3 à 6) e respectat scrupuleusemet la forme de leur rédactio : aucu toilettage rédactioel e doit e masquer l origialité, voire la difficulté. Le respect du lecteur exige sa mise e situatio réelle de cocours. Toutefois ces éocés sot commetés et expliqués pour rassurer le lecteur e lui motrat que sous des traits parfois déroutats o peut retrouver des «visages cous». Certais exercices proposés aux cocours avat 3 figuret égalemet das cette collectio e raiso de leur itérêt ; ils sot alors rédigés sous ue forme compatible avec le programme actuel. Si ces pricipes gééraux sot respectés das l esemble de la collectio, la plus grade maturité des élèves de deuxième aée justifie quelques différeces etre les ouvrages de première et de deuxième aée. L élève de première aée peut avoir des difficultés à choisir seul, avec disceremet, des sujets d écrits das les aales. Les

7 Présetatio de la série «Tous les exercices de mathématiques» vii Duod La photocopie o autorisée est u délit ouvrages de première aée présetet doc ue sélectio d extraits de problèmes d écrits. L élève de deuxième aée, plus mûr, est capable de trouver lui-même des sujets d écrit, les ouvrages de deuxième aée e présetet doc pas. Cette plus grade maturité explique aussi le choix qui a été fait de préseter e deuxième aée u bo tiers des exercices d oral das leur rédactio d origie, sas commetaires explicatifs, pour placer l élève au plus près de la situatio réelle du cocours ; bie etedu, le corrigé est toujours rédigé clairemet, avec toutes les idicatios et tous les commetaires que écessite leur compréhesio. L objectif essetiel est le respect des élèves que l o met das ue situatio proche de celles des cocours tout e les guidat das la correctio. Il semble égalemet que des ouvrages spécifiques suivat les programmes (MP-MP*, PC-PC* et PSI-PSI*) soiet justifiés e Mathématiques Spéciales alors qu ils e le sot pas e premier semestre de Mathématiques Supérieures. Mais, quels que soiet les ouvrages, les auteurs ot réalisé u travail de sélectio importat parmi la multitude d exercices dispoibles pour proposer ceux qu ils cosidèret comme les plus sigificatifs : certais sot sélectioés pour leur itérêt pédagogique, leur gééralité, leurs décliaisos possibles etc., d autres sot présetés essetiellemet pour doer ue idée fidèle de «l état de l art actuel» des exercices d oral et faire l objet de commetaires au profit des futurs cadidats. O aura compris que les ouvrages de cette collectio sot avat tout au service des élèves pour lesquels elle costitue u véritable outil pédagogique d appretissage et d etraîemet e vue des cocours. Ces ouvrages devraiet égalemet covaicre les élèves de l étedue des poits abordés das les sujets d oral et d écrit, qui couvret réellemet les programmes de première et de deuxième aée. Mais les eseigats des C.P.G.E pourrot aussi utiliser cette collectio comme support de travaux dirigés et comme référece. Efi, les examiateurs disposerot avec cette collectio d exemples de vrais sujets d oraux doés récemmet ; les commetaires qui e sot faits pourrot ispirer leur propre démarche pour ue évaluatio efficace et progressive des cadidats. Pour coclure cette présetatio, o me pardoera d utiliser u to plus persoel. Maître de coféreces et agrégé e Mathématiques, j ai souhaité partager plusieurs aées d expériece e assurat la maîtrise d oeuvre des ouvrages de cette collectio. Quize aées de participatio à différets cocours e tat que correcteur d écrit et examiateur d oral, m ot permis de bie coaître la littérature existate et de bie observer l évolutio de l attitude des élèves qui sot soumis, toujours davatage, à des sollicitatios ombreuses et diverses, sollicitatios qui e facilitet pas la cocetratio et peuvet, parfois, les gêer das la maîtrise de l esemble des techiques. La écessité ressetie d ouvrages adaptés, l ethousiasme face à l idée de les rédiger, l impossibilité de réaliser seul u tel travail, m ot coduit à réuir des équipes de rédactio et à assurer la maîtrise d oeuvre du projet tout e participat activemet à l écriture. Au delà de l ambitio de réaliser u travail de qualité, il s agit d ue expériece humaie ioubliable. Trois persoes ot cotribué à la réalisatio de ce projet et je souhaite, au ses propre, leur doer le derier mot : merci.

8 viii Présetatio de la série «Tous les exercices de mathématiques» Merci à Eric d Egeières, resposable d éditio chez Duod, qui m a accordé sa cofiace, a su m ecourager par la qualité de os échages et a pu me guider par des coseils et suggestios toujours formulés de maière chaleureuse. Merci à Hervé Coillad, directeur de l I.U.T Nacy-Charlemage et Vice-Présidet de l Uiversité Nacy qui a toujours trouvé le temps pour des discussios amicales au cours desquelles se préciset les objectifs, s échaget les idées et s affiet quelques poits de rédactio. Merci, ifiimet, à Nezha, ma femme, qui accepte que beaucoup de temps soit cosacré à ce projet, qui préserve autour de moi le calme écessaire à ue etreprise rédactioelle, qui m ecourage et me coseille das les phases les plus critiques et dot l amour est u soutie permaet. Nacy, le 5 février 7 El-Haj LAAMRI

9 Avat-propos Duod La photocopie o autorisée est u délit Ce livre couvre le programme d Aalyse de deuxième aée MP et poursuit la démarche rédactioelle etamée avec les ouvrages de première aée. Comme pour l esemble de la collectio, le respect du programme officiel est u pricipe que ous avos suivi à la lettre. Par ailleurs, le programme prévoit la reprise et l approfodissemet e deuxième aée de certais poits abordés e première aée : suites umériques, foctios réelles d ue variable réelle, itégratio sur u segmet. Nous avos mis à profit cette possibilité pour que le préset ouvrage, tout e état sas ambiguïté destié aux élèves de deuxième aée, présete trois chapitres utilisables e première lecture dès le deuxième semestre de première aée et pour les «révisios estivales» etre la première et la deuxième aée. Les premiers chapitres traitet des suites umériques et des foctios réelles d ue variable réelle. Ces otios déjà détaillées das l ouvrage de première aée sot complétées ici par des exercices d oral de 7 et par des sujets écessitat ue maturité qu o e peut attedre au premier semestre de la première aée. L itégratio sur u segmet présete u large choix d exemples de calculs d itégrales aisi que la mise e œuvre des propriétés de l itégrale (essetiellemet les iégalités) et l étude de foctios défiies par ue itégrale. Ce chapitre permet de réviser et d approfodir le programme de première aée tout e doat ue vue réaliste des exercices doés à l oral. Das les chapitres sur les séries umériques, séries de foctios, séries etières, séries de Fourier, ous isistos sur les méthodes et o sur les solutios astucieuses... souvet peu reproductibles. De même das les chapitres cocerat l itégratio sur u domaie o compact, ous avos privilégié la méthode et la comparaiso des outils. Par la ressemblace de leurs coclusios (mais o de leurs coditios d applicatio) certais théorèmes sot source de cofusio : covergece uiforme, covergece ormale, covergece domiée et corollaire, covergece des séries etières. Exemples et cotre-exemples poset des poits de repères pour éviter les cofusios. Esuite, das la présetatio des espaces vectoriels ormés, ous avos teu compte de l appréhesio, voire du malaise, que l expériece ous a fait costater chez les élèves. Cette partie est partagée e trois chapitres : les gééralités idépedates de la dimesio, d abord mise e œuvre das u cotexte familier et bie matrisé par les élèves (espaces de matrices et espaces de

10 x Avat-propos foctios umériques cotiues sur u segmet), puis faisat l objet d exercices d approfodissemets plus abstraits ; les espaces vectoriels ormés de dimesio fiie à propos desquels des exercices plus fis et plus difficiles reposet essetiellemet sur les propriétés liées à la dimesio fiie ; la dérivatio et l itégratio sur les espaces vectoriels ormés de dimesio fiie sot l objet d exercices parfois origiaux. Les équatios différetielles liéaires costituet u chapitre très riche qui fait appel à u esemble de coaissaces débordat largemet le cadre du chapitre. La partie cosacrée à l assimilatio propose ue révisio puis u ivetaire techique avec des exercices de mise e œuvre directe. La sythèse et l approfodissemet fot le lie avec la techique et l ouverture vers des otios plus étedues et plus géérales. Clarificatio et poits de repères ous ot semblé, là aussi, écessaires. Efi, même si les sujets cocerat les équatios différetielles o liéaires provieet essetiellemet des cocours les plus «prestigieux», ous avos fait u effort particulier de rédactio pour les redre abordables à tous les élèves et doer ue occasio d etraîemet à l écrit. Das le chapitre cosacré au calcul différetiel, ous avos tout d abord rappelé les défiitios essetielles, puis ous avos préseté de ombreux exemples d applicatio à la recherche d extrema et à la résolutio d équatios aux dérivées partielles, et ous avos termié ce chapitre par des exercices théoriques et plus difficiles. Le derier chapitre est cosacré aux calculs d itégrales multiples et curviliges, ous avos otammet isisté sur la otio d itégabilité, puis sur l importace du paramétrage du domaie d itégratio, et efi, sur les techiques de chagemet de variables. Les premiers chapitres, par leur coteu et leur structure, marquet la trasitio etre les pricipes rédactioels et pédagogiques propres aux ouvrages de première aée et ceux utilisés pour les ouvrages de deuxième aée. E première aée, ous avios choisi de préseter et d illuster de faço liéaire chaque ouvelle otio l ue après l autre. Nous ous adressios alors à des lecteurs sortat des classes termiales et ecore peu autoomes das leur approche. E deuxième aée, ous avos choisi de préseter globalemet l essetiel des otios d u chapitre puis de progresser par étapes vers ue compréhesio et ue maîtrise de plus e plus approfodies. Chaque chapitre (sauf les deux premiers) est doc costitué de trois parties : ue présetatio sythétique de l essetiel du cours suivie d exercices d assimilatio immédiate, das lesquels chaque ouvelle otio est testée, sas complicatio iutile à ce iveau, das u cotexte qui permet d idetifier clairemet ue et ue seule difficulté et de la résoudre, e respectat ue sorte de «règle des trois uités» : u exercice, ue difficulté, ue solutio ; des exercices d etraîemet dot la rédactio progressive et le découpage e questios ot pour objectif d ameer le lecteur à la compréhesio e le cofrotat de faço progressive aux difficultés propres à la otio étudiée ;

11 Avat-propos xi des exercices d approfodissemet destiés à mettre l élève e situatio de cocours, avec la écessité pour lui de faire preuve de compréhesio, d iitiative, d ituitio et de maîtrise techique. Duod La photocopie o autorisée est u délit La lecture d u tel chapitre est doc plus écessairemet liéaire. La structure est parfaitemet adaptée à des lecteurs de iveaux variés qui pourrot évetuellemet passer directemet à ue forme d auto-évaluatio e se cocetrat sur les exercices d approfodissemets ou, au cotraire, progresser pas à pas avec les exercices d assimilatio. Si les élèves de deuxième aée ot pu gager e autoomie, il e reste pas mois que leurs iveaux de compétece et de compréhesio restet très hétérogèes. Aisi, etre des «3/» qui découvret le programme pour la première fois et ot ecore été cofrotés à aucu cocours, des «5/» qui ot déjà étudié le programme mais ot échoué à leur première expériece et des «5/» déjà admis à des cocours mais dot l ambitio les amèe à viser ecore plus haut, les différeces sot très fortes. Ce sot ces différeces, costatées e particulier lors des séaces de «colles», qui ous ot ameés à cette rédactio permettat plusieurs iveaux de lecture et d utilisatio de l ouvrage. Etre les chapitres eux-mêmes, le programme de deuxième aée impose pas d ordre i de découpage, cotrairemet au programme de première aée. Cette liberté ous a permis de choisir ue progressio qui ous semblait la plus adaptée et la plus équilibrée. Chaque étape présete u ombre de otios ouvelles acceptable pour ue perceptio d esemble compatible avec la structure des chapitres. Il y a pas que la hauteur des étages qui fait la difficulté d u escalier : la hauteur acceptable des marches et leur régularité peut faciliter l ascesio... Nous avos doc reteu ue progressio qui ous semble adaptée, sas affirmer pour autat que d autres progressios sot à rejeter. Notre diversité d expériece, avatage de la rédactio collective, ous amèe d ailleurs à utiliser différetes progressios das os pratiques d eseigemet. Il reste esuite le choix le plus difficile : face à l ifiité d exercices possibles et au temps fii dot disposet les élèves pour préparer les cocours, que proposer? Quelques pricipes ot guidé otre sélectio : respecter le parti-pris de progressivité e doat des exercices qui permettet d assimiler, puis de s etraîer et efi d approfodir ; doer ue vue précise et réaliste d exercices qui «tombet à l oral» e s appuyat e particulier sur ue veille attetive des sujets doés à l oral das plusieurs cocours depuis plusieurs aées ; privilégier les exercices «géériques» dot la maîtrise doe les clefs de ombreux exercices (comme il avait déjà été aocé e avat-propos des ouvrages de première aée : habituer les élèves à recoaître les «visages cous» sous leurs différetes appareces) ; profiter du «omadisme» des exercices costaté etre des cocours différets et e pas hésiter à proposer u sujet de PC ou PSI si so itérêt pédagogique le justifie, sachat que ce même sujet peut apparaître plus tard e MP.

12 xii Avat-propos covaicre les élèves que les oraux couvret tout le programme des deux aées (le théorème des accroissemets fiis, par exemple, pose beaucoup de problèmes aux élèves qui doivet l utiliser à l oral). Pour éviter l arbitraire des préféreces persoelles lors d ue rédactio collective, ue référece icotestable et «objective» est écessaire : ous avos choisi pour référece la réalité des exercices doés à l oral, pricipalemet depuis 4, date d applicatio du ouveau programme. Mais ces exercices ot pour objectif le «classemet» des élèves et o leur formatio. Das u ouvrage d appretissage quotidie, certaies retouches se sot avérées écessaires : lorsqu ils utiliset ce livre, les élèves sot e cours de formatio et pas ecore e cocours! Notre expériece d eseigats d abord, de «colleurs» esuite, d examiateurs efi, ous a permis d observer e situatio réelle, das différetes classes, les élèves face à ces exercices... ce qui ous a covaicus de la écessité d e faire évoluer la rédactio pour qu ils passet du statut d exercice d oral au statut d exercice pédagogique. Notre expériece ous a permis cette adaptatio sas, e aucue maière, déaturer ces exercices. La rédactio retouchée de certais exercices répod à la fois à u objectif pédagogique et psychologique. Objectif pédagogique de guider l élève par ue rédactio détaillée qui fasse apparaître de faço explicite les difficultés et les techiques à maîtriser. Objectif psychologique de rassurer l élève e l ameat à résoudre seul ue majorité de questios e favorisat aisi le développemet de so autoomie. Si u sujet a été doé à plusieurs cocours, ous avos toujours choisi la versio qui ous semblait la plus pédagogique, la plus détaillée. Nous avos égalemet regroupé certais éocés d oral qui ous semblaiet complémetaires ou permettaiet de doer u aperçu des sujets régulièremet abordés à l écrit. Quat aux élémets de cours, chacu sait que ce qui est élégammet écrit das u cours à la rédactio parfaite est pas toujours aussi clair das l esprit des élèves... et ous avos pas hésité, parfois, à sacrifier l élégace de la rédactio à la redodace lorsque cette derière ous permettait de redre explicites des otios souvet restées implicites. C est e premier lieu aux élèves des classes préparatoires MP, MP*, PC, PC et PC* du Lycée Heri Poicaré et PSI et PSI* du Lycée Heri Loritz de Nacy que ous adressos, collectivemet, os remerciemets. Ils ot e effet largemet cotribué par leurs réactios, leurs questios, leurs erreurs et leur compréhesio à guider os efforts de présetatio des exercices, de clarificatio des questios, de simplificatio des corrigés. Toujours aussi ethousiasmate cette aveture rédactioelle est aussi ue aveture humaie das laquelle ous avos été aidés. Aidés matériellemet par l Istitut Elie Carta de Nacy qui ous a permis d utiliser ses moyes iformatiques et ses ressources documetaires. Aidés par l IREM qui ous a doé u accès privilégié à ses ressources documetaires, aisi que par l I.U.T Nacy-Charlemage dot la bibliothèque ous a toujours reçus avec sourire et efficacité. Aidés égalemet par le Lycée Heri Poicaré de Nacy qui ous a accueillis chaque samedi mati, de septembre à mars, das ue salle équipée de moyes iformatiques.

13 Avat-propos xiii Aidés aussi par deux collègues de l Istitut Elie Carta, Julie Cheal et Yaick Privat, qui ot lu ue partie du mauscrit. Aidés efi par trois collègues du Lycée Heri Poicaré, Gilles Demeusois, Michel Eguether et Edouard Lebeau qui ous ot lus e détail et dot les remarques ot sesiblemet amélioré le préset ouvrage. Que tous soiet sicèremet remerciés. Il est iévitable que certaies erreurs aiet échappé à la vigilace de tous ceux qui ot lu cet ouvrage. Nous e assumos seuls la resposabilité et ous espéros que ceux qui e découvrirot voudrot bie ous faire part de leurs remarques à l adresse suivate Elhaj.laamri@iec.u-acy.fr. Efi, si das cette aveture humaie certaies persoes ous ot aidés, il e est sas qui rie aurait été possible. Nos compages, par leur ifiie patiece, leur soutie sas faille et leur attetive présece ot joué u rôle essetiel das l aboutissemet de ce projet. Au momet de mettre u poit fial à cet ouvrage c est vers elles que os pesées se touret. Nacy le 5 avril 8 El-Haj Laamri, Philippe Chateaux, Gérard Eguether, Alai Masoux, Marc Rezzouk, David Rupprecht, Lauret Schwald Les exercices qui ous ot semblé les plus difficiles sot sigalés par u ou deux symboles K.

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15 Table des matières Chapitre. Suites Numériques.... Exercicesd etraîemet.... Exercices d approfodissemet.... Chapitre. Foctios réelles d ue variable réelle Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 3. Itégratio sur u segmet L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Duod La photocopie o autorisée est u délit Chapitre 4. Séries umériques L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 5. Espaces vectoriels ormés L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 6. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet

16 xvi Table des matières Chapitre 7. Dérivatio et itégratio d ue foctio d ue variable réelle à valeurs vectorielles Exercicesd assimilatioetd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 8. Suites et séries de foctios L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 9. Séries etières L essetielducoursetexercicesd assimilatio Exercicesd etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre. Itégratio sur u itervalle quelcoque L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre. Théorème de covergece domiée et applicatios L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre. Itégrales dépedat d u paramètre L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 3. Séries de Fourier L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 4. Équatios différetielles liéaires L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet

17 Table des matières xvii 4.3 Exercices d approfodissemet Chapitre 5. Équatios différetielles o liéaires L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 6. Calcul différetiel L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet Chapitre 7. Itégrales doubles et curviliges L essetiel du cours et exercices d assimilatio Exercices d etraîemet Exercices d approfodissemet

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19 Suites Numériques Ce chapitre, comme celui des foctios d ue variable réelle, a déjà été étudié e première aée mais est très fréquemmet abordé aux cocours. Avat la retrée e deuxième aée, ce chapitre sera l occasio d éprouver la maturité acquise e première aée. Avat les oraux, il fourira ue excellete occasio de révisio et d etraîemet.. EXERCICES D ENTRAÎNEMENT Exercice. Cetrale PSI 5 Pour tout N, o pose, u = Motrer que lim u =. + ( 5si + 5 cos ). Soit N. Il est aturel de commecer par majorer u. Sachat que si / et cos, o a alors d après l iégalité triagulaire 5si + 5 cos 5 si + 5 cos 5+ 5 ( soit u 5+ (. Mais lim 5+ 5) = +, ce qui e permet pas + 5) d aboutir. Affios cette première approche e costatat que c est le ombre 5 qui ous empêche de coclure. O va doc majorer et miorer plus fiemet. Comme lim + si(/ ) =, il existe u rag N N tel que, pour tout N et N, o ait ( ) 5 5si. Doc, pour tout N, 5 ( ) 5 5si + 5 cos 5, ( ) d où 5si + 5 cos. O e déduit efi que, pour tout N, 5 ( ) ( ) u et comme lim =, lim u =. +

20 Chap.. Suites Numériques Exercice. CCP MP et PC 6 Soit (u ) N ue suite réelle. Motrer que si les suites extraites (u ) N, (u + ) N et (u 3 ) N coverget, alors la suite (u ) N coverge. Par hypothèse, les suites extraites (u ) N, (u + ) N et (u 3 ) N coverget, otos a, b et c leurs limites respectives. La suite (u 6 ) N est ue suite extraite de (u ) N. Elle coverge doc vers a = lim. Mais c est aussi ue suite extraite de (u 3 ) N. Elle coverge doc + vers c = lim 3. Il e résulte que a = c. + La suite (u 6+3 ) N est ue suite extraite de (u + ) N car 6 +3= (3 +)+. Elle coverge doc vers b = lim +. Mais c est aussi ue suite extraite de + (u 3 ) N. Elle coverge doc vers c. Il e résulte que b = c. O a doc a = b, et comme les suites des termes de rag pair et de rag impair coverget vers la même limite, la suite (u ) N coverge vers cette limite commue. Remarque Il arrive que les suites extraites (u ) N et (u + ) N coverget, alors que la suite (u ) N e coverge pas. C est le cas par exemple de la suite de terme gééral u = ( ). Exercice.3 CCP PSI 5, diverses écoles MP 7 ( ) ) Motrer que : 4, k {,..., }, k ) E déduire que la suite de terme gééral u = k= ( ). ( k) coverge et détermier sa limite l. 3) Questio de la rédactio : Détermier u équivalet de u l lorsque ted vers +. ) O a, pour tout 4 et tout k {,..., }, ( )! ( )...( k +) = = k k! ( k)! k! ( ) k k + j ( ) =. j j=3

21 . Exercices d etraîemet 3 ) Écrivos tout d abord, pour tout 4, u = k= ( ) = ( ) + ( + k ) k= ( k) + Il e résulte d après la questio précédete ( ) + ( ) = + + u + + ( ) = + ( 3) + ( ). k= k= ( k). O obtiet aisi l ecadremet + u + ( 3) + ( ). D où lim u =. + 3) Soit 4. Posos v = u = + ( et cherchos u équivalet de la k) suite (v ) 4. O a pour tout 6, k= v = ( ) + ( k). D autre part, pour tout k {3,..., 3},oa ( ) ( )( ) = k 3 k j=4 d où v 4 ( ) + 6 u +. k=3 k 3+ j j ( )( ), 6 ( )( ). Aisi v = + o ( ) et doc Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.4 CCP MP 5 Pour tout etier, o pose u = i+ j= i, j ij. Détermier u équivalet simple de u lorsque ted vers +. Pour tout etier, o a : u = k= k( k) = k= ( ) k + = k k= ( ) k + = k k. k=

22 4 Chap.. Suites Numériques Or k= k k= k de Première aée) et par coséquet u Exercice.5 l (voir exercice.3 page 9 das otre livre d Aalyse l. CCP MP 6, très proche de CCP MP 7 ) Motrer que deux suites réelles (u ) N et (v ) N, équivaletes e +, sot de même sige à partir d u certai rag. ) Quel est le sige de u = si th au voisiage de +? ) Il s agit d u résultat à garder préset à l esprit. Par hypothèse, il existe ue suite ( ) de limite ulle telle que, pour tout supérieur à u certai etier,oau = v ( + ). E particulier pour = /, il existe u etier tel que, / /, ce qui implique que / + 3/, et par coséquet, u et v sot de même sige pour tout. ) E utilisat les développemets limités o sait que, au voisiage de, si x = x x o(x 3 ) et thx = x x o(x 3 ), d où si x th x = x o(x 3 x 3 ). Par coséquet, 6 u = si th >. O déduit de la première questio, que u est positive à partir d u certai rag. Exercice.6 Cetrale PSI 6, Polytechique MP 6 et 7 Soit la suite réelle défiie par u R et N, u + = u exp( u ). ) Etudier cette suite selo u R. ) O suppose u R +. Détermier u équivalet de u. O pourra commecer par détermier a réel tel que v = u a + u a ait ue limite fiie o ulle, puis appliquer le théorème de Cesàro à cette suite (v ) N.

23 . Exercices d etraîemet 5 ) La foctio f : x xe x est cotiue sur R, et f (x) est du sige de x. Puisque e x est du sige de x, o a toujours f (x) x. Comme u + = f (u ) pour tout, o e déduit que u est décroissate, doc a ue limite, fiie ou. D autre part, le seul poit fixe de f est, doc si u coverge, sa limite est. Si u <, alors par décroissace de (u ), o a pour tout, u u <, doc (u ) e peut tedre vers, et par coséquet, elle a pour limite. Si u >, comme l itervalle ], + [ est stable par f, la suite (u ) est décroissate positive, doc coverge, et sa limite est ulle. Si u =, alors (u ) est la suite ulle. ) Cherchos a pour que (u a + u a ) ait ue limite fiie o ulle. O a u a + u a = u a (e au ). Puisque (u ) coverge vers, e utilisat l équivalet e u u a + u a au a+. La suite (au a+ ( seulemet si a =. La suite (v ) = u + u ailleurs, pour tout N,oa k= k= u u, o obtiet ) admet ue limite fiie o ulle si et ) coverge alors vers. Par S = v k = ( ) = ( ). u k+ u k u u Le théorème ( de ) Cesàro etraîe que la suite (S ) coverge vers. O e déduit que la suite coverge vers, et doc que u u. Duod La photocopie o autorisée est u délit Exercice.7 Cetrale PSI 5 Avec Maple : soit la foctio f défiie sur R par f (x) = x l x. ) Doer l allure de f, le sige de f (x) x, le sige de f (x)+x. ) Etudier la suite défiie par U + = f (U )avecu = 3. 3) Doer le sige de f f (x) x. 4) Etudier la suite défiie par W + = f (W )avecw = /4. ) Remarquos que la foctio f est impaire et se prologe par la valeur e. La foctio f est dérivable sur R et l o a f (x) = l x +. Sur ], + [, la foctio f est du sige de x e. Elle admet doc u miimum local e /e et f (/e) = /e. Remarquos aussi que f (x)/x ted vers quad x ted vers. La foctio f est pas dérivable e et y admet ue tagete verticale.

24 6 Chap.. Suites Numériques x 4 Si x, o a f (x) x = x(l x ), d où {x R f (x) x > } = ] e, [ ] e, + [. De plus f Id s aule e e et e et se prologe e par la valeur. Les ombres e, e et sot doc les trois poits fixes de f. O a aussi f (x)+x = x(l x +), d où {x R f (x)+x > } = ] /e, [ ]/e, + [. De plus f + Id s aule e /e, /e et se prologe e par la valeur. ) L itervalle I = [ e, + [ est stable par f et cotiet U. Sur l itervalle I,la foctio f vérifie f (x) > x, il e résulte que la suite (U ) est croissate. Si elle admettait ue limite fiie ce serait u poit fixe de f das l itervalle [ U, + [,ce qui est pas possible. Doc la suite (U )admet+ pour limite. 3) Si x >, o a f f (x) x = f (x l x) x = x l x l x l x x = x l xg(l x), où l o a posé g(u) = u +l u /u. La foctio g est croissate sur ], [ ], + [ et s aule e ete. Il e résulte que {u R g(u) > } = ], [ ], + [, puis que {x > g(l x) > } = ]/e, [ ] e, + [ et fialemet que {x > f f (x) x > } = ], /e [ ] e, + [. Efi, puisque f f Id est impaire, {x R f f (x) x > } = ] e, /e [ ], /e [ ] e, + [. De plus f f Id s aule e e, e,/e et /e et se prologe e par la valeur. Les ombres e, e, /e, /e et sot doc les poits fixes de f f. 4) L itervalle J = ], /e [ est stable par f f et cotiet W. Sur cet itervalle f f (x) > x. Alors la suite (W ) est ue suite croissate majorée de [ W, /e ] et coverge vers u poit fixe de f f das cet itervalle. La limite est doc /e. Mais, puisque, pour tout N o a W + = f (W ), la suite (W + )covergevers f (/e) = /e. Il e résulte que la suite (W ) a pas de limite.

25 . Exercices d etraîemet 7 L exercice suivat est u classique qu o trouve chaque aée das plusieurs cocours. Exercice.8 Cetrale MP 6, Polytechique PC 5 et MP 7 K Motrer que la suite complexe (u ) N, défiie par u C et u + = (u + u ), coverge et trouver sa limite suivat u. Duod La photocopie o autorisée est u délit O pose pour tout z C, f (z) = (z+ z ). Pour tout N, o a alors u + = f (u ). Si u R, alors pour tout, u =. Si u R +, alors pour tout, u = u. Si u C \ R : o remarque d abord que pour tout z C \ R, ilexiste (r, u) R + ] p, p [ \{} tel que z = re iu. O a alors f (z) = ( re iu + r ) = r ( e iu + ) = r ( ) ei u e i u + e i u = r ei u u cos = r cos u ei u. E écrivat u sous la forme u = r e iu, o obtiet u + = r + e iu + avec r + = r cos u et u + = u. Aisi, si o pose u = re iu avec r > etu ] p, p [ \{}, o vérifie par récurrece que, pour tout N, u = u et r = r cos u. O e déduit que k D où u = r r = r et par coséquet Exercice.9 si u cos u k k si u = r k k= si k= k= u k si u k = r si u si u. si u si u e i u. Sachat que si x x x,oa si u lim u = r si u + u. Extrait de Cetrale PC 6 Soit (u ) la suite défiie par u >, u > et ( ) N u, u + =. +u u ) Motrer que la suite (u ) coverge et trouver sa limite. ) E cosidérat /u, trouver u équivalet de u. Idicatio de l examiateur : Appliquer le théorème de Cesàro. u = u

26 8 Chap.. Suites Numériques Ue récurrece immédiate motre que pour tout N,oau >. ) Soit, o a u + u = u u <. Doc la suite (u ) est décroissate. +u u Comme elle est miorée par, elle coverge vers ue limite l. E passat à la limite das la relatio ( ) o obtiet l = l, d où l =. +l ) Le théorème de de Cesàro a été itroduit comme exercice das le livre d Aalyse de première aée voir exercice.4 pages 6 et 63. Soit, o a u = +u u + u u + u, d où u + u = u + u, u u + Par ailleurs, =. Il e résulte que la suite (u + /u )covergevers u +u u ( (o a e particulier u + u ) et la suite u ) + u coverge vers. E appliquat le théorème de Cesàro, o a ( lim + u ) ( k+ u = lim + k u ) u =. O e déduit Exercice. lim + k= u Cetrale PSI 5, CCP MP 6 =, d où u et doc u. Soit N, o cosidère la foctio f défiie sur R par f (x) = ) Détermier le ombre des racies réelles de f pour =,,. ) Soit N. Motrer que f admet pas de racie réelle et que f + admet ue uique racie réelle qu o ote r. 3) Motrer que, pour tout N, oa ( +3)< r <. E déduire que la suite (r ) décroit vers. ) Il est clair que les foctios f : x f (x) =, f : x f (x) = +x + x! ot pas de racie réelle et f : x f (x) = +x a pour uique racie réelle. ) Motros par récurrece la propriété P suivate : f a pas de racie réelle, f + a ue uique racie réelle qui est simple. O a motré das la questio précédete que la propriété P est vraie. Soit N. Supposos que la propriété P est vraie et motros que la propriété P + est vraie. Motros que f + >. O a f + = f +. L hypothèse de récurrece etraîe alors que la foctio f + décroît sur l itervalle ], r ] et croît sur [ r, + [. La foctio f + atteit k= x k k!

27 . Exercices d etraîemet 9 doc so miimum e r. Détermios le sige de f + (r ). Puisque r est racie de f +,oa f + (r ) = f + (r )+ r + ( + )! = r + ( + )!. Par ailleurs, f + () =, le ombre réel r est doc pas ul, et par coséquet, f + (r ) >. Aisi, f + >. Motros que f +3 admet ue et ue seule racie réelle et que cette racie est simple. Comme f +3 = f + >, la foctio f +3 est strictemet croissate sur R. E outre, elle est cotiue sur R et varie de à+, il existe doc u réel uique r + tel que f +3 (r + ) =. Cette racie est pas ue racie multiple de f +3, sio elle serait aussi racie de la dérivée f +3 = f +. La propriété est doc vraie au rag +. Le pricipe de récurrece assure qu elle est vraie pour tout etier. 3) Motros que ( +3) < r <. La foctio f + état strictemet croissate sur R, pour motrer que 3 < r <, il suffit d établir que f + ( ( + 3)) < = f + (r ) < f + (). Comme f + () =, o a immédiatemet r ( x k (k)! + x k+ (k + )! k= <. D autre part, e écrivat f + (x) sous la forme ), o obtiet f + ( ( +3) ) = k= ( +3) k ( + k) < (k + )! Motros que la suite (r ) est décroissate. Soit N Duod La photocopie o autorisée est u délit f +3 (r ) = f + (r )+ r + ( + )! + r +3 ( + 3)! = + r + ( + 3)! ( +3+r ) > = f +3 (r + ). Puisque f +3 est strictemet croissate sur R, o a alors r r +. Motros efi que (r ) ted vers. Si ce était pas le cas, état décroissate, elle aurait ue limite fiie a <. Comme f + est croissate, o aurait, f + (a) f + (r ) =. Or lim f +(a) = e a, d où par passage à la limite das l iégalité précédete, e a : cotradictio. Exercice. CCP MP 6 O pose, pour tout N, u = E( ). ) Motrer que la suite (u ) N diverge. Idicatio : o pourra étudier la sous-suite de terme gééral u +.

28 Chap.. Suites Numériques ) Questio de la rédactio : motrer que tout ombre a [, ] est limite d ue suite extraite de (u ). ) Comme la suite (u ) est borée, pour motrer qu elle diverge, o e extrait deux suites qui coverget vers des limites différetes. Comme il y a ue racie carrée, o va étudier la sous-suite (u ) N.Soit N, o a u = E( ) = E() =. La suite extraite (u ) N coverge vers. E remarquat que, pour tout N, + < + += ( +),oa alors + < +.AisiE( +) = d où u + = +. E multipliat par la quatité cojuguée o obtiet, + = + +. D où lim u + + =. Les suites extraites (u ) N et (u +) N e covergeat pas vers la même limite, il e résulte que la suite (u ) N admet pas de limite. ) Soit (p /q ) ue suite de ombres ratioels qui coverge vers a, où(p, q ) appartiet à N N et p q. O a (q ) (q ) +p < (q ) +q + = (q +). D où q (q ) +p < q + et doc E( (q ) +p ) = q.aisi u (q ) +p = (q ) +p q. E multipliat (q ) +p q par sa quatité cojuguée, o obtiet p u (q ) +p = = p. Alors la suite (u (q ) +p + q q (q ) +p ) + coverge vers a, car p q = p q q + p q Remarque Les lecteurs itéressés peuvet trouver u résultat plus gééral das le chapitre 6 «espaces vectoriels ormés».. EXERCICES D APPROFONDISSEMENT Exercice. Cetrale MP 5 Soit (u ) [, + [ vérifiat : ( ) u + u + ) Établir que lim + u =. + ) Motrer que si la suite (u ) est décroissate, alors u +.. 3) Doer u exemple d ue suite réelle vérifiat ( ) et telle que u e soit pas équivalete à /().

29 . Exercices d approfodissemet ) O a d ue part, pour tout N, < u < u + u + et d autre part lim (u + u + ) = lim + + =, doc la suite (u ) coverge vers. ) Si la suite (u ) est décroissate, o a alors, pour tout N, (u + u + ) u (u + u ) et, par le théorème d ecadremet, o e déduit que la suite (u )covergevers, d où u +. 3) Soit N, o pose u = / si est pair et u = / si est impair. La suite (u ) est pas mootoe mais vérifie ( ). Exercice.3 Cetrale MP 6 ) Motrer que, pour tout etier, l équatio x = x + admet ue uique solutio u ], ]. ) Détermier lim + u. O otera l cette limite. 3) Détermier u équivalet de u l. Duod La photocopie o autorisée est u délit ) Soit. La foctio f : x f (x) = x x est dérivable sur R + et ( ) o a f (x) = x. Doc f (x) x.aisi, f réalise ue bijectio de [, + [sur[, + [. Il existe doc u ], + [ uique tel que f (u ) =. Par ailleurs, f () =. O vérifie par ue récurrece immédiate que pour tout,. O e déduit alors que pour tout, u ], ]. ) D habitude, o motre que la suite coverge e établissat qu elle est mootoe et borée puis o calcule sa limite. Il se trouve qu il est pas commode de motrer que la suite (u ) est mootoe. O va doc calculer la limite directemet. Soit >, o a f ( + ) = ( + ) ( + ) = e l(+ ), doc lim f ( + ) = + car les expoetielles l emportet sur les puissaces. Il existe + alors u etier tel que, pour tout, f ( + ) >. Aisi, pour tout,< u < +, ce qui prouve que lim u =. + 3) Détermios u équivalet de u. O déduit de la relatio u Par coséquet Ce qui prouve que l u l u = l( + (u )) = +u u que lim + = + lim u + lim ( l u l ) = et doc l u l + l et doc l u + + u, car + lim u =. D où u + =. = o(l ). l. Par ailleurs, l +.

30 Chap.. Suites Numériques Exercice.4 Mies - Pots MP 7 ) Motrer que k l. + k= ) Pour, o pose P = X(X ) (X ). Motrer qu il existe u uique r ], [ tel que P (r ) =. 3) Doer u équivalet de r quad ted vers +. ) Voir, par exemple, chapitre 4 séries umériques exercice 4.6 ou exercice.3 page 9 das otre livre d Aalyse de Première aée. ) Soit. E appliquat le théorème de Rolle sur les itervalles [ k, k +] où k {,..., }, o obtiet racies deux à deux distictes de P. Comme P est de degré, o a localisé toutes les racies de P. E particulier, P admet ue uique racie das ], [. O peut aussi itroduire la foctio f défiie sur ], [ par f (x) = P (x)/p(x). O a alors f (x) = x + x + + x. La foctio f est cotiue et strictemet décroissate sur ], [, comme somme de foctios cotiues strictemet décroissates. De plus, o a lim f (x) = +, x et pour tout f (/) = / k. Il e résulte que f, doc P, k= s aule ue fois et ue seule das l itervalle ], [, pour ue valeur r telle que < r /. 3) O a doc, r = r + < r, et, si, Et puisque k= k + + r k < <, o e déduit k r k k= l et + + k + r k. k= k= k r. E utilisat les ecadremets l( ) + l, o a alors + Coclusio : r / l. + /r l. +

31 . Exercices d approfodissemet 3 Exercice.5 Mies - Pots MP 7 ) Motrer que, pour tout N, l équatio x +lx = admet ue solutio et ue seule que l o otera u. ) Doer u développemet asymptotique à trois termes de u lorsque ted vers l ifii. ) Comme la foctio f : x f (x) = x +lx est cotiue et strictemet croissate (comme somme de deux foctios cotiues et strictemet croissates) sur ], + [, c est ue bijectio de l itervalle ], + [ sur so image ] lim f (x), lim f (x)[= R. Elle admet doc ue bijectio réciproque f x + x + cotiue et strictemet croissate de R sur ], + [ et l uique solutio de l équatio x +lx = est u = f (). Il e résulte que la suite (u ) est croissate. E outre, lim u = lim f () = + car lim f (x) = x + ) Pour détermier u développemet asymptotique à trois termes de u, o va procéder par étapes. E écrivat la relatio u +lu = sous la forme = + l u et sachat que u lim u = +, o obtiet + Puisque u lim + u = d où u. +, il existe ue suite (v ), qui coverge vers, telle que + u = ( + v ). () u Duod La photocopie o autorisée est u délit E remplaçat u par ( + v ) das la relatio u +lu =, o obtiet = +v +l((+v )) = +v +l +l(+v ). D où v = l l( + v ) l et doc v. Aisi, au voisiage de +, v = l ( ) l + o. La + relatio () s écrit alors ( u = + l ( )) l + o = l + o(l ). () E écrivat () sous la forme u = l + w l avec lim w = ete + reportat das la relatio u +lu =, o obtiet l égalité ( d où w l +l l + w car w l = l + w l +l( l + w l ), ) ( l =. Or l l ) + w l l est égligeable devat lorsque +. Aisiw + l + ou

32 4 Chap.. Suites Numériques ecore w = + o ( Exercice.6 ). O aboutit fialemet à ( u = l + w l = l + = l + l ( l + o ). + o ( )) l Cetrale MP 6 et 7 K ) Motrer que l équatio ta x = x 3 x admet, pour tout N, ue uique solutio x das ] p p/, p + p/[. ) Doer u développemet asymptotique à quatre termes de x. Idicatio de la rédactio : Itroduire la suite de terme gééral y = p+p/ x et motrer que y = p ( ) p + o. ) L applicatio f, défiie sur l itervalle ] p p/, p + p/[ partax x 3 x, est dérivable das cet itervalle et o a f (x) = +ta x x 4 3x (x ) = ta x + x + (x ) >. Cotiue et strictemet croissate sur ] p p/, p + p/[, f est doc ue bijectio de ] p p/, p + p/ [ sur ] lim f (x), lim f (x)[= R. x (p p/) + x (p+p/) Par coséquet, il existe u uique x ] p p/, p + p/ [ tel que f (x ) =. O peut même préciser que p < x < p + p/ car f (p) <. ) Soit, posos y = p + p/ x. Comme la foctio tagete est p-périodique, o a ta y = ta(p/ x ) = = x ta x x 3. E outre, y ], p/ [, doc y = Arcta x ( x 3 = Arcta ) x x 3. Par ailleurs, x p et la foctio arctagete est cotiue et s aule e, d où + lim + y =. Aisi O e déduit x = p x = p + p/ y = p + p/+o() = p + + o ( ) = p ( + ( )) + o. ( ( )) + o = p ( ) p + o.

33 Il e résulte que x 3 D où y = Arcta ( = o ( p p + o. Exercices d approfodissemet 5 ) et l o a alors x x 3 = p ( ) p + o. ( )). E utilisat le développemet limité e : Arcta h = h + o(h ), o obtiet y = p déduit fialemet x = p + p p + p + o ( p + o ). ( ). D où l o Remarque L éocé d origie proposait comme première questio d étudier le même problème avec ta x = x. Le lecteur, itéressé par ue solutio détaillée de cette questio, pourra cosulter otre livre d Aalyse de première aée, exercice 6.6 pages 338, 339 et 34. Exercice.7 ENS Cacha MP 6 Soit (a, b) R tel que a < b et soit f : [a, b ] [ a, b ] ue foctio -lipschitziee. O cosidère la suite (x ) N défiie par la doée de x das [ a, b ] et par la relatio N, x + = x + f (x ). Motrer que la suite (x ) N coverge. Duod La photocopie o autorisée est u délit Commeços par rappeler que toute foctio lipschitziee est cotiue et que toute foctio f :[a, b ] [ a, b ] cotiue admet u poit fixe c est-à-dire qu il existe a [ a, b ] tel que f (a) = a (o applique le théorème des valeurs itermémidiaires à la foctio x f (x) x, le lecteur itéressé par des complémets sur la otio de poit fixe pourra cosulter avec profit otre ouvrage d aalyse de première aé pages 55-57). Itroduisos la foctio g défiie sur [ a, b ]parg(x) = x + f (x). La foctio g est cotiue sur [ a, b ] et g([a, b ]) [ a, b ], doc la suite (x ) N est bie défiie et borée. Motros que g est croissate sur [ a, b ]. Soit (x, y) [ a, b ] tel que x < y. Puisque f est -lipschitziee, o a f (x) f (y) f (x) f (y) x y = y x, d où f (x)+x f (y)+y et doc g(x) g(y). Comme g est croissate sur [ a, b ], la suite (x ) N est mootoe. Par ailleurs, elle est borée, elle est doc covergete. Comme g est cotiue et la suite (x ) N coverge, sa limite l est solutio de l équatio l = l + f (l), d où l = f (l) et doc l est u poit fixe de f. Coclusio : La suite (x ) N coverge vers u poit fixe de la foctio f.

34 6 Chap.. Suites Numériques Exercice.8 Polytechique MP 7 Que dire d ue suite (u ) N réelle positive, telle que, pour tout N o ait u + u + u +. La coditio doée s écrit aussi : N, u + u u + u + et sigifie que la suite (v ) = (u + u ) est croissate. Si la suite (u ) est décroissate, comme elle est positive elle coverge alors vers ue limite fiie l. Si la suite (u ) est pas décroissate, soit alors, le plus petit etier tel que u + > u. Puisque la suite (v ) est croissate, pour,oa,v v > et doc u + > u. La suite (u ) commece par décroître, puis, à partir du rag elle est strictemet croisate. E outre, pour +, o obtiet u u = k= v k d où u u +( )v. Ce qui motre que k= v = ( )v, lim u = +. + Remarque O peut se demader si de telles suites existet. La répose est oui, il suffit de predre f covexe positive et de cosidérer la suite ( f ()). Exercice.9 Polytechique MP 6, TPE MP 6 K O se propose d étudier la suite de terme gééral u = ) Motrer que, pour tout x [, [,oa k= ( ) k. () l( x) x et () l( x) x x. ) Motrer que u e e. 3) Soiet N et p u etier tel que p. O pose v,p = Motrer que v,p e p p 4) Coclure. p e k. k= p k= ( k ).

35 . Exercices d approfodissemet 7 ) Les iégalités () et () résultet de l étude des foctios x l( x) +x et x x l( x)+, sur l itervalle [, [. x ) Soit N. O a u = p {,..., }, o obtiet l ( doc l p ) p, d où k= ( ) k = ) ( p p= p ( p ) e p.aisi ( p ). Or, pour tout d après l iégalité (), et Duod La photocopie o autorisée est u délit u e p = e e e e. p= 3) Soit N et soit p u etier tel que ( p. D après l iégalité (), o a pour tout k {,...,p}, l k ) k k = k k. k Or, k = k + k k k + p (, d où l k ) k p k k p p ( et doc k ) p ( e k e p p. D où k ) p e p p e k. 4) O déduit des questios ) et 3) que pour tout N et tout etier p p e p p e k u e e k= O choisit p e foctio de tel que k= lim p() = + et lim + k= + ( ) p () p() = (par exemple, p() = E( 3 )). L iégalité ( ) motre alors que la suite (u ) e coverge et a pour limite e. Remarque O peut aussi démotrer ce joli résultat e utilisat le théorème de covergece domiée, voir otre livre d Aalyse de deuxième aée PC-PSI, exercice 9.9. Exercice. Cetrale MP 5 K Soiet les suites réelles (x ) N,(y ) N et (z ) N défiies par la doée de x, y, z et les relatios de récurrece N, x + = y z, y + = z x, z + = x y.