Etude des dipôles R, L et C en régime transitoire

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1 Eude des dipôles, L e C en régime ransioire I Présenaion des dipôles L e C e du régime ransioire 1) Condensaeur d u e u d C ( )² i C du e P Cu du E() C u e d d Propriéés : La ension aux bornes d un ondensaeur es oujours oninue. En régime oninue (permanen i==> le ondensaeur se ompore omme un inerrupeur ouver. Un ondensaeur réel a des défaus ui peuven se représener par une rès grande résisane en parallèle di résisane de fuie. i Cdu / d u / du du1 du Deux ondensaeurs en série u u1 u ( ) i d d d C C C C C 1 s 1 du du du Deux ondensaeurs en parallèle i i1 i C1 C ( C1 C ) Cp C1 C d d d ) Bobine ( )² u L di e P Li di E() L i e d d Propriéés : Le ouran ui raverse une bobine es oujours oninu. En régime oninue (permanen u==> la bobine se ompore omme un inerrupeur fermé. Une bobine réelle a des défaus ui peuven se représener par une rès peie résisane en série di résisane de fuie. u Ldi / d i di di di Deux bobines en série u u1 u L1 L ( L1 L ) Ls L1 L d d d di di1 di Deux bobines en parallèle i i1 i ( ) u d d d L L L L L 3) égime ransioire 1 s 1 Dans un irui omprenan des dipôles passifs linéaires e des soures onnues par leur fore éleromorie ou leur ouran de our-irui, on herhe à déerminer l évoluion emporelle d une ension ou d un ouran du irui. Prenons u( par exemple. Ave les lois de l éleroinéiue (i(=ldu(/d, i=du/d, u=ri, u=e-ri ) e les méhodes d analyse de réseau (voir hapire prééden ) on aboui, par définiion d un irui linéaire, à une éuaion différenielle à oeffiiens onsans don u( es soluion. Alors nous avons vu ue : u(=u h (+u P ( où u h ( es la soluion homogène de l éuaion différenielle sans seond membre ue l on appellera régime ransioire ar il disparaî rapidemen, u p ( es la soluion pariulière de l éuaion différenielle ue l on appellera régime permanen. Dans e hapire, nous nous inéressons de près au régime ransioire ui préède le régime permanen.

2 II Charge e déharge d un ondensaeur 1) La harge Le ondensaeur éan supposé déhargé, à =, on ferme l inerrupeur. A > : loi des mailles : e(=e=i(+(/c (1) e d ( E i(=d/ ave C homogène à un d emps : ( ) ( ) ( ) Ae h p CE ésoudre une éuaion différenielle du premier ordre à oeffiiens onsans, enraîne l appariion d une onsane ue l on ne peu déerminer u à parir d une ondiion iniiale. La reherhe des ondiions iniiales es un problème plus délia en éleroinéiue u en méaniue, il fau bien y réfléhir. Ii pour < (= e la ension,don la harge aux bornes d un ondensaeur éan oujours oninue (= - )=(= + ) =>=A+CE =>A=-CE d E Finalemen ( CE(1 e ) u( E(1 e ) e i e d emarues : La angene à l origine droie d éuaion du E u( () oupe le régime permanen u=e d en C u on appelle onsane de emps du irui don on peu démonrer u elle es homogène à un emps. u(5)=99%e. u()=63%e. En TP C1,nF e 1,k => 1s. augmene ave (diffiulé à harger) e ave C (on augmene le «réservoir»). La présene du ondensaeur n inerdi pas la disoninuié du ouran. Inerpréaion du omporemen pour : u E; CE; i d une par. D aure par, en régime permanen le ondensaeur se ompore omme un inerrupeur ouver d où le irui devien ouver d où on rerouve i= e u=e. ) Aspe énergéiue de la harge Si on revien à l éuaion (1) en la muliplian par i(, on obien un bilan de puissane au ours de la harge : Ei( = i²(+u(cdu/d ui s inerprèe aisémen : la puissane délivrée par le généraeur es onsommée par le ondensaeur ui «emmagasine» une ension, e onsommée (perdue) par la résisane sous forme d effe Joule. ue : Cudu / d d( Cu²/) / d Il es plus perinen de faire un bilan énergéiue enre l insan iniial e, en inégran la T puissane au ours du emps : Ei( d i²( d C d d d

3 Pendan la harge d E ( CE(1 e ) u( E(1 e ) e i e don : d Energie fournie par le généraeur : ( Ei( d E( CE² ² CE² Energie onsommée par le ondensaeur : C ( C CE² Energie perdue dans la résisane : G C G Conlusion : Lors de la harge d un ondensaeur, la moiié de l énergie es perdue par effe Joule. 3) La déharge Le ondensaeur éan supposé hargé,à =, u()= E ((O)=CE) on ferme l inerrupeur. A > : loi des mailles : e(==i(+(/c e d ( i(=d/ ave C d ( ( ( Ae h p Déerminaion de la onsane à parir d une ondiion iniiale. Ii pour < (=CE e la ension,don la harge aux bornes d un ondensaeur éan oujours oninue (= - )=(= + ) =>CE=A d E Finalemen ( CEe u( Ee e i e d emarues : du E La angene à l origine droie d éuaion u( () oupe le régime permanen u=e d en C u on appelle onsane de emps du irui don on peu démonrer u elle es homogène à un emps. u(5)=99%. La présene du ondensaeur n inerdi pas la disoninuié du ouran. Inerpréaion du omporemen pour : u ; ; i d une par. D aure par, en régime permanen le ondensaeur se ompore omme un inerrupeur ouver d où le irui devien ouver d où on rerouve i= e u=. III Eablissemen du ouran dans une bobine 1) Eablissemen du ouran A =- : i = Analyse rapide : A = + : i()= par oninuié du ouran ui raverse une bobine d où u r = e u L =E

4 Pour, le régime éan oninu, la bobine se ompore omme un fil d où u L = e i=e/. di di i E L A > i L E ave d où d d L E i( Ke E / (1 e ) en enan ompe de la ondiion iniiale. d où u( Ee emarues : La angene à l origine oupe le régime permanen i=e/ en L/ onsane de emps de e irui. i(5)=99%e/. La présene de la bobine n inerdi pas la disoninuié de la ension. On rerouve les valeurs en régime oninu. ) Arrê du ouran Désormais le régime permanen prééden éan supposé aein, on éein à = la soure Analyse rapide : A = + : i()=e/ par oninuié du ouran ui raverse une bobine d où u r =E e u L =-E Pour, le régime éan oninu, la bobine se ompore omme un fil d où u L = e i=. di di i L A > i L ave d où d d E i( Ke e en enan ompe de la ondiion iniiale d où u( Ee. 3) Aspe énergéiue de l éablissemen du ouran Si on revien à l éuaion () en la muliplian par i(, on obien un bilan de puissane au ours de la harge : Ei( = i²(+li(di/d ui s inerprèe aisémen : la puissane délivrée par le généraeur es onsommée par la bobine ui «emmagasine» un ouran, e onsommée (perdue) par la résisane sous forme d effe Joule. Il es plus perinen de faire un bilan énergéiue enre l insan iniial e, en inégran la T puissane au ours du emps : Ei( d i²( d di il d d E Pendan la harge i( Ke (1 e ) e u( Ee don : E² Energie fournie par le généraeur : G( Ei( d ( e 1)] Li² LE² Energie onsommée par la bobine : ( ) (1 L e )² ² Energie perdue dans la résisane : G C

5 L énergie fournie par le généraeur es onsommée par l effe Joule e la bobine. III Cas d un irui L,C en régime libre : omporemen osillaeur A =- u= / C e i= 1) Mise en éuaion di d² u A > L E LC u d où d C d² d² u 1 ² u ave ² pulsaion propredu irui d² LC La soluion es une osillaion non amorie puremen sinusoïdale de période T=/. u( U os( ) / C os O ave i() e u() / C ue : Si le ondensaeur ou la bobine ne son pas hargés, il ne se passe rien u=i= La résisane d un irui ne pouvan jamais êre parfaiemen nulle, ee siuaion ne peu êre obenue ue si on adjoin au irui un monage ave un AO ui se ompore omme une résisane négaive e annule la résisane oale. Aspe énergéiue : eprenons di du di d Li² Cu² L E uc Li ( ) ui s inerprèe omme : énergie d C d d d emmagasinée es onsane e se réparie alernaivemen enre ondensaeur e bobine. parie emmagasinée dans la bobine, dans le ondensaeur, e perdue par effe joule dans la résisane.