UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENE

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1 UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENE Faculté de Mathématiques Département d Analyse B.P: El Alia, 6 Bab Ezzouar Alger- Algérie Tél.: KESSI Arezki Laboratoire Systèmes Dynamiques CALCUL D INTEGRALES

2 Sommaire Notions générales sur les intégrales indéfinies. Définitions Intégration à l aide d un changement de variable. Eemples Intégration par parties 6. Eemples Intégrales de fonctions rationnelles 8. Première méthode Intégrale du type a.. Intégrales du type +a, α > α.. Intégrales du type M+N b+c M+N.. Intégrales du type, β > b+c β..5 Eemples Deuième méthode Méthode d Ostrogradsky Eemples Intégrales de fonctions irrationnelles 7 5. Intégrales de la forme R [, a+b r c+d,..., a+b rs ] c+d Méthode d intégration Eemples Intégrales de la forme R, a + b Cas où a > Cas où les racines de a + b sont réelles Cas où c > Eemples Intégrales de la forme P n a b+c 5.. Eemples Intégrales du binôme différentiel Cas où p est un entier relatif Cas où q est un entier relatif Cas où p + q est un entier relatif

3 5.. Eemples Intégrales de fonctions transcendentes 6. Intégrale de la forme R sin, cos Eemples Intégrale de la forme sin p cos q Eemples Intégrale de la forme sin α cos β Eemples Intégrale de la forme f sh, ch Remarque Eemples Intégrale de la forme e a P Eemples Intégration par parties de certaines fonctions particulières Eemples Intégrales qui ne peuvent pas s eprimer à l aide des fonctions usuelles 6

4 Notions générales sur les intégrales indéfinies. Définitions Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle quelconque a, b. Une fonction F définie sur l intervalle a, b est dite primitive de la fonction f si les deu conditions suivantes sont vérifiées: La fonction F est continue sur l intervalle a, b La fonction F est dérivable sur l intérieur de l intervalle a, b et on a F = f, en tout point intéreur à a, b. Si a a, b la fonction F doit être continue en ce point, mais elle peut ne pas y être dérivable. Dans le cas où F est dérivable au point a la valeur de sa dérivée peut ne pas être égale à la valeur de f au point a. Eemple Soit si 0 < f = 0 si = 0 La fonction F =, 0 est une primitive de f. La fonction F ainsi définie est aussi primitive de la fonction g =, 0. Une fonction peut être primitive de plusieurs fonctions. Si une fonction G est une primitive d une fonction g alors G +c est aussi une primitive de g car [G ] = G = g D autre part si G et Φ sont deu primitives de g alors [G Φ ] = g g = 0 d où G = Φ. En conclusion si une fonction G est une primitive d une fonction g, alors G est aussi primitive de g et toute primitive de g est de la forme G. Définition L ensemble de toutes les primitives d une fonction f définie sur un intervalle a, b est appelé intégrale indéfinie de f. On le note f Si une fonction F est une primitive d une foction f, alors on écrit f = F bien qu il est plus rigoureu d écrire: f = {F }

5 Intégration à l aide d un changement de variable Dans certains cas à l aide d un changement de variable on peut transformer une intégrale indéfinie en une autre intégrale indéfinie plus simple à calculer. Ce chagement de variable se fait selon le théorème suivant: Théorème Soient f et φ t deu fonctions définies respectivement sur les intervalles I et, tel que φ I, φ est continue sur et φ est dérivable sur l intérieur de. Alors si f admet une primitive F sur I, et donc f = F, la fonction f [φ t] φ t admet aussi une primitive sur qui est égale à F [φ t] et par suite on a f [φ t] φ t = F [φ t] Dans la pratique pour calculer une intégrale f en utilisant un changement de variable = φ t, on écrit: f = f [φ t] φ t t=φ. Eemples Calculer l intégrale. En posant = t, = t +, = t on obtient t = + t t.t = + t = t5 5 + t En remplaçant de nouveau t par sa valeur en on obtient Calculer l intégrale. = 5 + e A l aide du changement de variable e = t, = ln t, = t l intégrale initiale se transforme comme suit + e = t t

6 Sachant que on peut écrire + e = t + t t = + t t t = ln t ln t En remplaçant t par sa valeur en on obtient + e = ln + e Calculer l intégrale: + + arctan + En divisant le numérateur et le dénominateur par on obtient + + arctan + = = + + arctan + [ + En faisant le changement de variable + = t, = on obtient De nouveau si on pose arctan t = u, [ ] + + arctan + = t + arctan t = du on aboutit à l égalité +t t + arctan t = du u = ln u En remplaçant u par sa valeur en t et puis t par sa valeur en, on obtient = ln arctan t = ln + + arctan + arctan + Calculer l intégrale:. Si on pose =, = t t on obtient t = = t t t t + ] arctan + De nouveau en faisant le changement de variable t = u, t = udu on obtient t t = u du = u 5

7 En remplaçant u par sa valeur en t et puis t par sa valeur en, on obtient = 5 Calculer l intégrale: sin +9 cos. t = En divisant le numérateur et le dénominateur par 9 cos on obtient: En posant tan = t, cos sin + 9 cos = 9 =, on obtient: cos 9 tan + = cos 9 tan + + t = arctan t En remplaçant t par sa valeur en on obtient sin + 9 cos = 6 arctan tan Intégration par parties Théorème Si u et v sont des fonctions continues sur un intervalle I, dérivables sur l intérieur de I et l intégrale vdu eiste sur I, alors l intégrale udv eiste aussi sur I et on a udv = uv vdu. Eemples Calculer l intégrale I = arctan Posons u = arctan, dv = alors on a ce qui donne I = du = arctan = arctan +, v = + = arctan ln + Calculer l intégrale I = sin 6

8 Posons par suite on obtient u =, du =, dv = sin v = cos Dans ce cas on a I = sin = cos + cos = cos + sin Calculer l intégrale ln En posant on obtient u = ln, du =, Par suite on peut écrire ln = ln Calculer l intégrale e En posant u =, dv = v = = ln 9 dv = e on déduit que du =, v = e Par suite on peut écrire e = e e L intégrale qui figure dans le membre de droite peut être calculée de la même manière, en posant u =, dv = e et donc du =, v = e d où on obtient e = e 9 e = e 9 e 7

9 Finalement on obtient e = e 9 e + 7 e = e Calculer l intégrale e sin Si on pose u = sin, dv = e et donc du = cos, v = e on obtient e sin = e sin e cos De manière analogue pour calculer l intégrale qui figure dans le membre de droite de la dernière égalité on pose u = cos, dv = e et donc du = sin, v = e Par suite on obtient e cos = e cos + e sin D où on déduit que e sin = e sin e cos e sin Ce qui donne e sin = e sin cos Intégrales de fonctions rationnelles. Première méthode Une intégrale d une fonction rationnelle peut toujours, à l aide de la décomposition d une fonction rationnelle son intégrant en éléments simples, se ramener à une combinaison linéaire d intégrales de la forme ou M+N avec α Z, β Z.et b c < 0. Donc il suffi t de +a α +b+c β connaitre les valeurs des intégrales de ces types pour en déduire celles des intégrales de fonctions rationnelles. 8

10 .. Intégrale du type.. Intégrales du type +a + a, α > +a α + a α = α = ln + a + k + a α + k.. Intégrales du type M+N +b+c Il est à remarquer que +p+q = + p on obtient: M + N M t p + N + p + q = t + a.. Intégrales du type + q p t = M t + a + = M ln t + a N Mp + arctan t a a = M ln + p + q N pm + a M+N, β > +b+c β. Si on pose t = + p et a = q p > 0, N Mp arctan + p a t + a Si on pose comme ci-dessus, t = + p et a = q p > 0, on obtient: M + N + b = M t N pm + β t + a β t + a β Etudions séparément les deu intégrales obtenues dans le second membre. La première se calcule de manière très simple: t t + a β = d t + a t + a β = β t + a β Le calcul de la seconde intégrale est un peu plus compliqué. Soit I β =, β =,,,... t + a β Si on intègre par parties, en posant u =, dv = et donc du = βt, v = t t +a β t +a β+ on obtient: I β = = t t + a + β β t t + a β + β t t + a = t β+ [ t + a β a t t + a + β + a a β t + a β+ ] t + a β+ 9

11 C est à dire I β = Ainsi on obtient la relation de récurrence t t + a β + βi β βa I β+ I β+ = βa t t + a + β β βa qui nous permet de calculer I β pour β >, sachant que I est facile à calculer: I = arctan t a I β..5 Eemples Calculer l intégrale. On sait que = + = alors on a: + + = ln 6 ln + + ln Calculer l intégrale La décomposition en éléments simples de l intégrant donne: = alors on a = + = = + ln d d + + ln + + ln + Calculer l intégrale : On a = = + A + B + C Les coeffi cients A, B et C peuvent être calculés en utilisant l identité = A + B + C = 0

12 Si on pose = 0 on obtient A = 6, si on pose = on obtient B = 9 et si on pose = on obtient C = 8. En remplaçant ces valeurs dans le développement et en intégrant on obtient = + 6 ln 9 8 ln + ln / {0,, } Calculer l intégrale + + : En faisant la division euclidienne on obtient + + = Sachant que + + = + + le deuième terme du membre droit de cette égalité s écrit sous la forme + + = A + B + + C + D + En réduisant au même dénominateur on déduit l égalité = A + B + + C + D + En identifiant les coeffi cients de même puissance de on obtient le système qui permet de calculer A, B, C et D: A + C = 0 B + D = A + C = 0 B + D = De ce système on déduit: A = C = 0, B = et D =. En remplaçant les constantes A, B, C et D par leurs valeurs et en intégrant terme à terme on obtient + + = + arctan arctan 5 Calculer l intégrale + + : La décomposition de l intégrant en éléments simples est de la forme + + = A + B + C En multipliant les deu membres par et en remplaçant par 0 on trouve A =. En multipliant les deu membres par et en remplaçant par on trouve B =. Enfin si on pose par eemple = en tenant compte des valeurs trouvées de A et B on trouve C = + 5 =. Par suite on obtient + = ln ln +

13 . Deuième méthode.. Méthode d Ostrogradsky On sait que toute fonction rationnelle se décompose en éléments simples. D après la première M+N p méthode, les intégrales indéfinies des éléments de la forme ou q < 0 sont +p+q des fonctions transcendentes de la forme: A arctan a + a + B ln b + b + C, les intégrales indéfinies des éléments de la forme: α, α =,,... sont des fonctions rationnelles et a M+N p les intégrales indéfinies des éléments de la forme q < 0; β =,,... sont des +p+q β sommes de fonctions rationnelles et de fonctions transcendentes de la forme: A arctan a + a + C. Par conséquent toute intégrale indéfinie d une fonction rationnelle est une somme de fonctions rationnelles ou de fonctions transcendentes qui sont primitives d éléments de la forme M+N +p+q, p q < 0. En conclusion si P, P < Q, est une fonction rationnelle avec Q Q = a α... a r αr + p + q β... + p s + q s βs A a ou alors on a avec P Q = P [ r Q + A i + a i i= ] s M j + N j = P + p j + q j Q + j= Q = a... a r + p + q... + p s + q s P * Q et Q = a α... a r αr + p + q β... + p s + q s βs Supposons que n, n et n sont respectivement les degrés de Q, Q et Q. Comme Q = Q Q, alors on a n = n + n. Du fait que les degrés de P et P sont strictement inférieurs respectivement à ceu de Q et Q on a P n et P n. Alors le nombre de coeffi cients à chercher est: n = n + n. En dérivant la formule * on obtient P Q = P + P Q Q = P Q P Q + P Q Q Il est à remarquer que avec Par suite on a P Q P Q Q = P Q P R Q Q R = Q Q Q P Q = P Q P R + P Q Q Q

14 d où on peut écrire P = P Q P R + P Q En égalisant les coeffi cients de même puissance en on trouve un système de n équations à n inconnues qui nous permet de déduire les coeffi cients des polynômes P et P... Eemples Calculer l intégrale: D après la formule * on a = K + L + M + N + + k + l + m + En dérivant cette équation on obtient = [ K + L + M + N + ] + k + l + m +, = K + L + M + K + L + M + N [ + + ] + + k + l + m + En identifiant dans cette équation les coeffi cients de mêmes puissances en après avoir réduit au même dénominateur on obtient le système suivant: En résolvant ce système on obtient M + N + m = 0 L + M N + l m = K M + N + k l + m = K + M k + l m = K + L + k l + m = K k + l = 0 k = 0 K = ; L = ; M = ; N = ; k = 0; l = ; m =

15 Par suite on a: = = arctan + + = Calculer l intégrale ++ + : D après la formule * on peut écrire = A + B + C a + b En dérivant les deu membres on obtient a 5 + 8a A + b + A B + a + 8b A B C + 8a + b + 8c A + B 0C + 8b + 6B 7C + 8c = 0 En égalisant à 0 chaque coeffi cient des puissances de du numérateur on obtient le système suivant a = 0 A = b B + 0b = 0 6b B C + 8c = 0 0b + B 0C = 0 6B 7C + 8c = [ La solution de ce système est : A = 9, B = 5, C = 7, a = 0, b = 9, c = 5 ]. En remplaçant les paramètres a, b, c, A, B et C par leurs valeurs respectives on obtient = 7 ln + + ln + ln + + C 8 8 et par suite = ln + + ln + ln + + C 8 8

16 Calculer l intégrale + : On a + = + + = A + B + C a + b + + En dérivant les deu membres de cette égalité et en réduisant au même dénominateur on obtient a 5 + b A B + a C + A + b + B = En identifiant les coeffi cients de même puissance en on obtient le système suivant a = 0 b = A c = B C = 0 b + A = 0 B = dont la solution est [ A = 0, B =, C = 0, a = 0, b = 0, c = ]. Par suite on a + + = ln + + arctan 6 alors + = ln arctan Calculer l intégrale : On sait que cette intégrale est de la forme = A + B En dérivant et en réduisant au même dénominateur on obtient C + D + E C + C A + D + C B A + D + E + A B + D + E + A B + E = En identifiant les coeffi cients de même puissance en on obtient le système suivant C = C A + D = C B A + D + E = A B + D + E = A B + E = 8 5

17 dont la solution est : [ A =, B =, C =, D =, E = 5 ]. En remplaçant A, B, C, D et E par leurs valeurs on obtient = Sachant que = a + b c + = on a et donc = + arctan + ln = arctan + ln + 5 Calculer l intégrale + : L intégrale à calculer est de la forme + = A + B + C + D E + F + G + H En dérivant et en réduisant au même dénominateur on obtient l identité = E 7 +F A 6 +G B 5 +H C +E D +A + F +B + G +C + H Pour que cette identité soit vérifiée il est nécessaire qu on ait A = 0, B = 0, C =, F = 0, G = 0, H =, D = 0, E = 0 Par suite l intégrale s écrit sous la forme + = On sait que + peut s écrire sous la forme + = + a + b + β + γ En identifiant les coeffi cients de même puissance en on obtient le système: a + β = 0 b + γ + aβ = 0 aγ + bβ = 0 bγ = 6

18 dont la solution est: [ a =, b =, β =, γ = ]. Par suite on a + = A + B C + D + En réduisant au même dénominateur et en identifiant les coeffi cients de même puissance en on obient le système A + C = 0 B + D A + C = 0 A + C B + D = 0 B + D = dont la solution est: [ A =, B =, C =, D = ]. Ainsi on déduit + = + = = = ln arctan + + arctan Par suite on a + = + + ln + 6 arctan arctan 5 Intégrales de fonctions irrationnelles On dit qu une fonction f de n variables u, u,...u n est une fonction rationnelle si elle s écrit sous la forme: f u, u,...u n = P u, u,...u n Q u, u,...u n 7

19 où P et Q sont des polynômes des variables u, u,...u n, c est à dire ils s écrivent sous la forme k +k +...+k n k a k k...k n u k u k...u kn n k i N Si on remplace u i par φ i on obtient f [φ, φ,...φ n ] qui est une fonction rationnelle de φ, φ,...φ n. Eemples: f = + +. est une fonction rationnelle de, + et : f = R, +,. g = sin +cos cos sin +cos est une fonction rationnelle de sin et cos : g = R sin, cos. 5. Intégrales de la forme R [, a+b r c+d,..., a+b rs ] c+d 5.. Méthode d intégration On considère le cas où r, r,..., r s sont des nombres rationnels et ad bc 0. Soit m un dénominateur commun des fractions r, r,...r s : Si on pose i =,,...s t m = a+b on obtient = m b c+d a ct m r i = p i m = ρ t, = ρ t et En remplaçant ces valeurs dans l intégrale initiale on obtient: [ r rs ] a + b a + b R,,..., = R c + d c + d avec R t = R [ m b a ct m, t p,..., t ps ] ρ t t. D où toute intégrale de la forme R [, a+b c+d [ m b a ct m, tp,..., t ps, i =,,..., s. a+b c+d ri = t mr i = t p i, ] ρ t = R t donc R t est évidemment une fonction rationnelle de r,..., a+b rs ] c+d peut se rammener à une intégrale de fonction rationnelle. Pour calculer l intégrale initiale il est évident qu il faut d abord calculer l intégrale R t et puis remplacer dans le résultat obtenu t par a+b c+d 5.. Eemples Calculer l intégrale +. : L intégrant est de la forme f = R m ] [,. r = = et r 6 = =. Le 6 dénominateur commun de r et r est m = 6. Donc en posant = t 6, = 6t 5 on obtient [ + = 6 t t t + = 6 t + ] t + [ ] t = 6 t + t ln t + = ln 6 + Calculer l intégrale 8

20 : Pour > on a = Pour on a = Pour < < l intégrale n est pas définie. Calculons par eemple l intégrale pour >. En posant t = = t. Donc on a t t t = t t = on obtient = t t t t et t t t t Lintégrant de cette dernière égalité s écrit sous la forme t t = 6 t + 6 t 5 6 t 5 6 t + 8 t + 8 t + En intégrant terme à terme on obtient t t = 6 ln t + t Il suffi t de remplacer t par l intégrale initiale. Calculer l intégrale + : t t + 6 t 6 t + et multiplier le résultat par pour obtenir la valeur de Le ppcm des dénominateurs des eposants est 6, alors on pose = t 6 par suite on a = t 5 ; = t ; = t Ainsi on peut écrire = + t 8 t t + = 6 t + t + t + = En revenant à la variable on obtient = + Calculer l intégrale + 5 = t7 7 t5 5 + t t + arctan t { arctan 6 } +c 9

21 Il est à remarquer que l intégrant peut s écrire sous la forme = On peut donc poser Donc on obtient = + = t, + = t t t, + = t, = t t Par suite on a t = t + 5 t t t t = t = t En revenant à la variable initiale on obtient + = Montrer que si des entiers p, q, n et k vérifient l égalité p + q = kn, alors toute intégrale de la forme R, a p q n. b n peut se calculer à l aide des intégrales fonctions rationnelles. Si on pose dans l intégrant on obtient = btn a t n, Par suite en tenant compte du fait que p+q R, a p q n. b n = R a b = tn n a b tn = t n, b = b a t n = R n, = k est un entier, on peut écrire p a n p+q. b n b bt n a t n, tp k b a n a b t n t n t n = r t L intégrale initiale donc se ramène à une intégrale de fonction rationnelle. 6 Calculer l intégrale En posant + = t on obtient: = t 6 t t + t = = t t + 0 t t + t t t t + t + t t t t + t +

22 En décomposant l intégrant de la dernière intégrale en éléments simples on obtient t t t t + t + = = t + 5 t 5 t + t + 5 ln t + 8 ln t + t + 7 t + arctan 7 7 Par suite on a = t t 5 ln t + 8 ln t + t + 7 t + arctan 7 7 avec t = + 5. Intégrales de la forme R, a + b Les intégrales de ce type peuvent être rammenées, à l aide de changements de variables, à des intégrales de fonctions rationnelles. Trois cas peuvent se présenter. A chaque cas on associe un changement de variable qui permet d obtenir l intégrale de fonction rationnelle en question. Les changements de variables qu on verra dans la suite sont appelés changements de variables d Euler. 5.. Cas où a > 0 Le but est de trouver un changement de variable qui permet de supprimer la racine dans l intégrant sans créer une autre. Pour cela on remplace la variable par la variable t tel que a + b = ± a ± t En élevant au carré les deu parties on obtient Par suite on peut écrire a + b = a ± at + t = t c b ± at = R t R t est une fonction rationnelle de t, alors R t l est aussi. On a = R t, a + b = ±R t a ± t = R t et donc en conclusion on obtient R, a + b = R R t, R t R t = Il est évident que R t est une fonction rationnelle de t. R t

23 5.. Cas où les racines de a + b sont réelles Soit et solutions du trinôme a + b. Si =, alors a + b = a = a Dans le cas où l epression sous le signe du radical est strictement négative, c est à dire quand on a a < 0, l intégrale n est pas définie, donc c est un cas à ne pas étudier..par contre si on a a 0 l intégrant est une fonction rationnelle en qui peut ne pas être la même sur les intervalles ], [ et ], + [. Il faut donc étudier séparemment chacun des deu cas. Etudions maintenant le cas où on a:. L epression sous le signe du radical s écrit comme suit: En faisant sortir du radical on obtient a + b = a R, a + b = R, a Ainsi on obtient l intégrale d une fonction déjà étudiée dont l intégrant peut ne pas être le même sur les intervalles ], [ et ], + [. On a vu que pour calculer une telle intégrale il suffi t de faire le changement de variable: t = a ± t = a. Donc on peut aussi poser a + b = t ce qui est équivalent dans notre cas à poser: Ces deu cas complètent l étude de l intégrale, car si aucun de ces deu cas n est vérifié l epression sous le radical est strictement négative, et l intégrale ne peut être définie. Un autre cas peut être considéré en parallèle: 5.. Cas où c > 0 Dans ce cas on peut poser a + b = ± c ± t En élevant au carré on obtient a + b = ± ct + t Ce qui donne = b ± t c t a = R t, = R t a + b = ± c ± R t t = R 5 t

24 En conclusion on obtient une intégrale d une fonction rationnelle de la forme R, a + b = R R t, r 5 t R t Il est à remarquer qu une intégrale de la forme R, a + b, c + d peut toujours se ramener à une intégrale de la forme R, a + b en utilisant le changement de variable t = a + b En effet si on fait ce changement de variable on obtient = t b, = a a t, c c + d = a t cb a + d = At + B ce qui donne R, a + b, c + d = t b R, t, At a + B a t = R 6 t, At + B Dans certains cas pour calculer une intégrale de la forme R, a + b on peut s en passer des changements de variable d Euler, en la transformant à l aide d autres changements de variable, commencer par écrire a + b = a + b a b en une a intégrale d une des formes suivantes: R t, t, R t, t, R t, + t Ces intégrales peuvent être transformées en intégrales de fonctions trigonométriques ou hyperboliques à l aide de changements de variable: t = sin u, t = cos u, t = tan u, t = cos u t = shu, t = chu, t = thu Les intégrales de fonctions trigonométriques ou hyperboliques feront l objet d un chapitre dans la suite.

25 5.. Eemples Calculer l intégrale + ++ On a a > 0, alors on peut poser + + = + t, ce qui donne = t t et = t t t + En remplaçant dans l intégrale par sa valeur en t on obtient t = t + t 5t + = t t + = t+ ln t ln t +c En revenant à la variable initiale on obtient = ln + + ln + + +c Calculer l intégrale + On a c > 0 alors on peut poser = + t, ce qui donne = t+ t + = t + t t + En remplaçant dans l intégrale, par sa valeur en t on obtient = t + t + t + t + t + t = = ln t + ln t + arctan t + ln t. et t + t + t + + t En revenant à la variable on obtient = + ln + ln + arctan + ln Calculer l intégrale L intégrant est défini sur ], ] [, + \ { }.Le polynôme sous le signe du radical admet comme racines = et =. Alors on peut poser + = t. Ce qui donne = t t, = t t, t = + En remplaçant dans l intégrale par sa valeur en t on obtient + + t + = t + t + t + = t + t + + = t + ln t + ln t +

26 En revenant à la variable initiale on obtient = + + ln + + ln + + +c Calculer l intégrale 5+ L intégrale peut s écrire sous la forme 5 + = = 5 En posant t = 5 on obtient 5 + = t + 5 t = t t + 5 t Ce qui donne 5 + = t En revenant à la variable initiale on obtient + 5 arg ch 5 + = arg ch t 5 5 Calculer l intégrale + + Faisons le changement de variable: + = t, duquel on déduit Par suite on obtient + + = = t, = t + 5 t = t + 5 t arg ch En revenant à la variable initiale on obtient + + = arg ch 5. Intégrales de la forme P n a +b+c Une telle intégrale peut être calculée à l aide des changements de variable d Euler, mais souvent ça demande de longs calculs. On propose une méthode de calcul qui dans certains cas est plus 5

27 simple que la méthode qui utilise le changement de variable d Euler. On cherche l intégrale sous la forme: avec P n a + b = P n a + b + α P n = a n n + a n n a + a 0 P n = b n n + b n n b + b 0 les n + coeffi cients b i, i = 0,,,..., n et a sont à déterminer. En dérivant les deu membres de l égalité initiale on obtient a + b P n a + b = P n a + b + P n a + b a + b + α a + b ce qui est équivalent à P n = P n a + b + P n a + b + α En remplaçant dans l égalité précédente P n et P n par leurs valeurs on obtient: a n n + a n n a + a 0 = a + b [ n b n n +...kb k k b ] + a + b b n n b k k b + b 0 + α En identifiant les coeffi cients de même puissance en on obtient un système linéaire de n + équations à n + inconnues. Les inconnues en question sont: b i, i = 0,,,..., n et a. a 0 = cb + bb 0 + α a = bb b + ab 0 + bb... a k = k ab k + kbb k + k + cb k+ + ab k + bb k... a n = n ab n + n bb n + ab n + bb n a n = n ab n + ab n De ce système on déduit les valeurs des coeffi ents b i, i = 0,,,..., n et a et puis on calcule l intégrale pour remplacer toutes les inconnues par leurs valeurs dans le membre de a +b+c droite de l égalité initiale et obtenir l intégrale recherchée. 5.. Eemples Calculer l intégrale

28 Dans ce cas on a deu choi de changements de variable, car on a > 0 et c > 0. Posons + + = t En élevant au carré les deu membres de cette égalité, après simplification on obtient + t = t Ce qui donne = t t = t + t + t t + En remplaçant dans l intégrale on obtient = t + t t t + t t + t+ t + t + = t + t + t + = = ln t + + ln t + + ln t + t + + t + t + En revenant à la variable initiale on obtient = ln ln ln Calculer l intégrale + + En posant = z, = dz l intégrale s écrit sous la forme + + = z z z + z + dz Pour calculer l intégrale obtenue on peut poser z + z + = t z ce qui donne après avoir élevé au carré les deu membres de l égalité z = t + t, dz = t + 6t + + t, z = t t, + t z + z + = t + t + + t En remplaçant la variable z par la variable t dans l intégrale on obtient z z z + z + dz = t t. t +t+ +t +t t. t +t+ +t +t t t t = t + t = t + t + t = + t t = ln + t + ln t + t = ln + t t + t 7

29 En revenant à la variable z on obtient z z z + z + dz = ln z + z + + z + z + z + + z + z + z + + z Enfin en revenant à la variable on déduit + + = ln Il est à remarquer qu on aurait pu poser Calculer l intégrale z + z + = tz + On cherche l intégrale sous la forme = A + B + C K En dérivant les deu membres de cette égalité on obtient = A + B A + B + C K En réduisant au même dénominateur on déduit + = A + B A + B + C + + K En identifiant les coeffi cients de même puissance on obtient le système 6A = 5A + B = 0 0A + B + C = 0B + C + K = dont la solution est: A =, B = 5, C = 89, K = 79 6 Il nous reste à calculer l intégrale. On a = = = arg sinh + 9 Par suite on obtient = arg sinh Calculer l intégrale

30 Dans ce cas le coeffi cient de et celui de la constante sont tous deu négatifs, mais le polynôme sous le radical admet comme solutions 5 et. Donc on peut poser par eemple = 5 = 5 t En élevant au carré les deu membres de cette égalité on déduit = 5 t, = + 5t t +, = 6 t t t, 5 t = + t + Par suite en remplaçant ces valeurs dans l intégrale initiale on obtient 5t = + = 5 + t = 5t 9 t 9 9 t En revenant à la variable initiale on trouve = Calculer l intégrale + + Cette intégrale peut s écrire sous la forme Par suite on cherche l intégrale sous la forme = a + b α + + En dérivant les deu membres de cette égalité on obtient = a a + b α + + En réduisant tous les termes au même dénominateur on peut déduire = a a + b α En identifiant les coeffi cients de même puissance on btient le système 6a = 8 9a + 8b = 6 a + b + α = 9

31 dont la solution est: [ a =, b = 6, α = ]. L intégrale est donc de la forme: = Il nous reste à calculer l intégrale. ++ On a = = = arg sinh Finalement on obtient + + = arg sinh Intégrales du binôme différentiel On appelle binôme différentiel l epression de la forme f = m a + b n p On va donner la méthode qui permet de trouver l intégrale de f dans le cas où a et b sont des nombres réels, et m, n et p des nombres rationnels. En posant = t n on obtient = n t n et m a + b n p = n avec q = m+ n On étudie séparement les trois cas suivants: a + bt p t m+ n = n a + bt p t q 5.. Cas où p est un entier relatif Soit q = r s avec r et s des entiers. D après ce qu on a déjà vu, il suffi t de poser z = t s transformer cette intégrale en une intégrale de fonction rationnelle. pour 5.. Cas où q est un entier relatif Soit p = r s avec r et s des entiers. De même que précedemment, d après ce qu on a déjà vu, il suffi t de poser z = a + bt s pour transformer cette intégrale en une intégrale de fonction rationnelle. 0

32 5.. Cas où p + q est un entier relatif Soit p = r s avec r et s des entiers. L intégrale à calculer peut s écrire sous la forme p a + bt a + bt p t q = t p+q t De nouveau il suffi t de poser z = a+bt s t fonction rationnelle. pour transformer cette intégrale en une intégrale de Il a été montré que si m, n et p ne vérifient aucun des cas précédents, l intégrale du binôme différentiel ne peut pas être calculée à l aide des fonctions usuelles. 5.. Eemples Calculer l intégrale + On a p =, m =, n = et q = m+ = + n = 5. En posant = t, on obtient = t, + = + t t 5 En posant de nouveau t = u, on obtient = u du, + t t 5 = + u u 7 du = 8 u8 + 6 u + u En revenant au variables initiales on obtient + = t 8 + t + 7 t = Calculer l intégrale + On a: m =, n = et p = obtient, alors q = + + = =. Si on pose = t, = t, on t + t Si de nouveau on pose + t = u, = u du on obtient t u u = du = + t u 5 u5 u En revenant au variables initiales on déduit + = 5 + t + t =

33 Calculer l intégrale + Cette intégrale peut s écrire sous la forme + = + On a donc m =, n =, p =, q = m+ = + n = et p + q = 0. En posant = t, =, on obtient + = + tt = + t t En posant de nouveau +t = u, t = u, = du on obtient t u u + t t = u u du = Il reste à chercher la valeur de l intégrale a du. u ud u = u u du u C est une intégrale de fonction rationnelle. On du u = du u u + u + u + du = ln u 6 ln u + u + = ln u 6 ln u + u + du u + = + = ln u 6 ln u + u + arctan u + du u + u + En revenant au variables initiales on déduit + = +t t +t 6 ln + t t + ln + t + t + + t t t + 6 arctan + t + t = ln + + ln arctan + + Calculer l intégrale +

34 On a m =, n =, p = et q = + =. En posant = t, = t, on peut écrire + = t + t Si de nouveau on pose + t = u, = u du, on obtient t u + t = u du = 7 u7 u En revenant au variables initiales on obtient + = 7 + t 7 + t = Calculer l intégrale + On a m =, n = obtient + =, p = et q = + =. En posant = t, = t on [ t + t = t + t ] = ln t + t t + + t + Par suite on peut écrire + = ln Intégrales de fonctions transcendentes 6. Intégrale de la forme R sin, cos En général pour calculer une intégrale de la forme R sin, cos il suffi t de poser u = tan, π < < π pour transformer une telle intégrale en une intégrale de fonction rationnelle. En effet dans ce cas on obtient sin = sin cos cos +sin cos = cos sin cos +sin = arctan u, = tan +tan = tan +tan = du +u Après avoir remplacé ces valeurs dans l intégrant on trouve R sin, cos = R = u +u = u +u u + u, u + u du + u Dans certains cas particuliers les calculs se simplifient en faisant d autres changements de variable: Si la fonction R sin, cos est impaire par rapport à la première variable:

35 R sin, cos = R sin, cos, on pose cos = t Si la fonction R sin, cos est impaire par rapport à la deuième variable: R sin, cos = R sin, cos, on pose sin = t Si la fonction R sin, cos est paire par rapport au deu variables: R sin, cos = R sin, cos, on pose tan = t 6.. Eemples Calculer l intégrale sin +cos En posant t = tan, on déduit sin = Par suite on obtient sin os = t t, cos =, = + t + t + t t + t + = = ln t + t t + En revenant à la variable initiale on obtient sin os = ln tan + tan Calculer l intégrale +sin t + L intégrant est une fonction paire par rapport au sin et au cos, alors on peut poser t = tan = ; ce qui nous conduit à +t + sin = + t = +t En revenant à la variable initiale on obtient + sin = = Calculer l intégrale sin cos + t = + t = arctan tan arctan t L intégrant est une fonction paire par rapport au sin et au cos donc on peut poser t = tan,. Après avoir fait ce changement de variable on obtient +t sin cos = sin cos cos + sin cos = t + t + t = t

36 En revenant à la variable initiale on déduit sin cos = tan Calculer l intégrale cos sin L intégrant est une fonction impaire par rapport au sin donc on peut poser t = cos, = sin. Ce changement de variable nous donne cos sin = cos sin sin = t t En développant en éléments simples l intégrant de la dernière intégrale on obtient t t = t t + + t + t + = ln t t + t t + En revenant à la variable initiale on déduit le résultat cos sin = ln cos cos + cos cos + 5 Calculer l intégrale +sin cos L intégrant est une fonction impaire par rapport au cos donc on peut poser t = sin, = cos. A l aide de ce changement variable l intégrale se ramène à + sin + sin cos = + t cos = cos t En développant en éléments simples l intégrant de la dernière intégrale on obtient + t t = t + t + + t = ln t + ln t + t +c En remplaçant t par sa valeur en on obtient + sin cos = ln sin + ln sin + 6. Intégrale de la forme sin p cos q sin On étudie le cas où p et q sont des nombres rationnels. L intégrale sin p cos q peut se ramener à une intégrale du binôme différentiel à l aide des changements de variable u = sin ou u = cos. En effet en posant par eemple u = sin on obtient: cos = u, du = cos, = u du 5

37 et donc on aura sin p cos q = u p u q du Dans le cas où p et q sont des nombres entiers relatifs l intégrale devient plus simple si on utilise un changement de variable choisi selon la parité de ces deu nombres: si p est impair on pose u = cos si q est impair on pose u = sin si p et q sont impairs on pose u = cos si p et q sont pairs on pose u = tan ou bien on linéarise l intégrant en utilisant les formules sin = 6.. Eemples cos et cos = Calculer l intégrale sin cos +cos L intégrant est une fonction paire par rapport au sin et au cos, alors on peut éliminer une des deu fonctions en la remplaçant par sa valeur en fonction de l autre: sin cos = cos cos 6 En linéarisant la partie droite de cette dernière égalité on obtient: os os cos cos 6 = = cos cos os + 8 Par suite on peut écrire sin cos = + os 8 sin sin cos Après intégration on trouve sin cos = 8 Calculer l intégrale sin cos On a sin cos = + sin 8 sin sin + 6 sin sin cos = sin cos 5 cos En posant t = sin, = cos on obtient sin cos = t t 5 6

38 En posant t = u, = u du on obtient sin cos = u u 5 du = 5 u u du u De nouveau en posant u u = v, u = v + du = v v + dv on obtient 5 u u du = v 5 v dv u v + v dv = + v = v En revenant respectivement au variables antérieures on obtient le résultat suivant u sin cos = u = t Calculer l intégrale sin 5 cos On pose t = sin, t = sin sin = cos. Alors l intégrale s écrit sous la forme sin 5 cos = t 5 t = tan De nouveau on pose t = u, = u du. Par suite on obtient sin 5 cos = u u du Enfin on pose u = v, u = v, du = v dv. Ainsi on obtient u u du = v v v dv = v 8 8 v5 5 + v En revenant successivement au variables antérieures on aboutit au résultat sin 5 cos = u 8 u 5 + u 8 5 = cos 6 0 cos os 8 5 Calculer l intégrale tan En posant t = sin, = cos, on obtient cos = = tan sin t t En posant de nouveau t = u, = u du on obtient = tan u u du u 7

39 Enfin en posant u u = v, u = v + du = v v + dv on aboutit au résultat suivant u u du = + v v v u + v dv = v + v dv En développant en éléments simples l intégrant de la dernière intégrale on obtient v + = tan 8 v v + v + v + dv v + = ln v v + 8 v + v + + v v + + v + dv v + = 8 ln v v + v + v + + arctan v + arctan v + + C En revenant au variables initiales on retrouve l intégrale en fonction de. 5 Calculer l intégrale sin cos 5 Dans cet eemple on peut éviter de transformer l intégrale en une intégrale d un binôme différentiel mais utiliser d autres changements de variables. En effet on a sin cos 5 = cos cos tan = + sin cos + tan tan cos = d tan tan = + tan tan 6. Intégrale de la forme sin α cos β L intégrant qui est un produit de deu fonctions trigonométriques peut être transformé en une somme de fonctions trigonométriques en utilisant une des formules suivantes 6.. Eemples Calculer l intégrale: sin α cos β = [sin α + β + sin α β ] sin α sin β = [cos α β cos α + β ] cos α cos β = [cos α + β os α β ] sin cos En linéarisant le sinus on obtient 8

40 sin cos = cos cos cos = cos 5 cos cos Calculer l intégrale: sin cos = sin 0 sin 5 sin En utilisant les formules ci-dessus on obtient sin cos = sin 7 + sin 7 = 6 cos 7 os Calculer l intégrale sin cos En linéarisant l intégrant on obtient sin cos = cos os = cos = os = 8 sin Calculer l intégrale tan. tan + π On a tan. tan + π sin. sin + π = cos. cos + π cos. cos + π + sin. sin + π = cos. cos + π = cos. cos = + π cos + π + En posant dans la dernière intégrale t = + π on obtient cos = + π + cos t + En posant tan t = u on obtient cos t + = u + u = ln u + u En revenant à la variable initiale on obtient tan. tan + π = ln tan + π 6 + tan + π 6 9

41 5 Calculer l intégrale sin. sin. sin On a sin. sin. sin = = sin. sin. sin = sin sin 5 6 = cos cos Intégrale de la forme f sh, ch sin sin 6 sin 6 cos 6 cos 5 6 cos 6 + cos 6 Tous les types d intégrales, qu on a vu concernant les fonctions trigonométriques, peuvent être concidérées pour les fonctions hyperboliques. Il suffi t de faire les changements de variables correspondants en utilisants les formules hyperboliques correspondantes au formules trigonométriques. Pour retrouver les formules hyperboliques correspondantes au formules trigonométriques, il suffi t de remplacer dans les formules trigonométriques: cos par ch et sin par ish 6.. Remarque L intégrale d une fonction rationnelle en et a + b peut toujours à l aide d un changement de variable se ramener à l une des trois formes suivantes: a R, p t + q b R, p t q c R, q p t De telles intégrales peuvent être transformées en intégrales de fonctions trigonométriques ou hperboliques en posant respectivement a t = q p tan z ou t = q p sinh z b t = q p sec z ou t = q p cosh z c t = q p sin z ou t = q p tanh z 6.. Eemples Calculer l intégrale sinh. cosh 0

42 On a sinh. cosh = sinh sinh = cosh cosh Calculer l intégrale sinh. cosh L intégrale peut s écrire sous la forme cosh sinh. cosh = sinh sinh. cosh = sinh cosh Ce qui donne sinh. cosh Calculer l intégrale + + On a + + = + Par suite en posant = = cot anh tanh + = = u du = on peut écrire = u + du En posant de nouveau u = sinh t on obtient + + = = t 8 + sinh t cosh t = + sinh t 6 cosh t = 8 osh t En revenant à la variable initiale on déduit le résultat. Calculer l intégrale On a = + + En posant u = + on obtient = du u u + Si on pose de nouveau u = sinh t, du = cosh t, on aura = sinh t = coth t

43 En revenant à la variable initiale on déduit + sinh = t + u = sinh t u = + 5 Calculer l intégrale + On a En posant = sinh u + = + = + = cosh udu on obtient = du + cosh u = tanh u En revenant à la variable initiale on obtient = Intégrale de la forme e a P En intégrant plusieurs fois par parties n fois, n étant le degré de P on obtient [ P e a P = e a P + P ] n P n a a a a n+ Dans la pratique il suffi t de poser e a P = e a Q avec Q un polynôme de même degré que P. Pour trouver les coeffi cients du polynôme Q il suffi t de dériver les deu membres de l égalité et d identifier les coeffi cient de même puissance en Eemples Calculer l intégrale e En appliquant la formule précédente on obtient e = e = e

44 Calculer l intégrale e + L intégrale est de la forme: En dérivant on obtient e α + β + γ + δ e α + β + γ + δ = e α + α + β + β + γ + γ + δ = e + En identifiant les coeffi cients de même puissance en on obtient le système α = α + β = 0 β + γ = 0 γ + δ = dont la solution est [ α =, β =, γ =, δ = ] L intégrale est donc égale à: e Calculer l intégrale e + En utilisant l intégration par parties on peut écrire e + = e + e = e + 9 e = e + 9 e Calculer l intégrale e lne + On calcule cette intégrale par parties, en posant: u = ln e +, du = e e +, dv = e v = e Par suite on obtient e lne + = e ln e + + e + = e ln e + + = e ln e + + ln e + 5 Calculer l intégrale ln e + e e +

45 On calcule cette intégrale par parties, en posant: u = ln, dv = du =, v = Par suite on obtient + 5 ln = = ln ln Intégration par parties de certaines fonctions particulières Certaines intégrales se calculent en les intégrant une ou plusieurs fois par parties. Parmi elles on peut énumérer les intégrales suivantes e a cos b, e a sin b, n cos b, n sin b n e a, n arcsin, n arccos, n arctan n arcc tan, n ln, n est un entier naturel 6.6. Eemples Calculer l intégrale e a cos b En utilisant la méthode d intégration par parties on peut écrire u = e a, du = ae a, dv = cos b v = sin b b Par suite on obtient e a cos b = b ea sin b a b e a sin b En utilisant de nouveau la méthode d intégration par parties on aura u = e a, du = ae a, dv = sin b v = cos b b

46 Et donc on peut écrire e a cos b = b ea sin b a b b ea cos b + a b Ce qui donne = b ea sin b + a b ea cos b a b e a cos b = Calculer l intégrale + Calculons par parties l intégrale + e a cos b e a cos b bea sin b + a a + b b cos b u =, + dv = du = +, v = En appliquant la formule d intégration par parties on obtient + = = + + = De la dernière égalité on déduit que + = + + = arctan Calculer l intégrale sin n En intégrant par parties on obtient sin n = sin n d cos = cos. sin n + n = cos. sin n + n sin n n sin n. cos sin n De cette égalité on obtient sin n = n cos. sinn + n n sin n * Il suffi t de calculer les intégrales sin et sin pour en déduire par induction, en utilisant la formule *, la valeur de l intégrale sin n. Calculer l intégrale ln 5

47 Intégrons par parties en posant: u = ln dv = ln = ln ln On intègre de nouveau par parties l intégrales du second membre ln = ln = ln Par suite on obtient ln = ln ln + 5 Calculer les intégrales I = sinln et I = cosln En intégrant par parties on obtient I = sin ln cos ln I = cos ln + sin ln Ce système peut s écrire sous la forme I + I = sin ln I I = cos ln En résolvant ce dernier système on obtient I = sin ln cos ln I = cos ln + sin ln 7 Intégrales qui ne peuvent pas s eprimer à l aide des fonctions usuelles Nous venons de voir des fonctions usuelles dont les primitives sont des fonctions usuelles. Cependant il eiste des fonctions usuelles dont les primitives ne peuvent pas s eprimer à l aide des fonctions usuelles.ce type de fonctions nous l avons déjà rencontré dans l intégration du binôme différentiel. Pour ceraines valeurs des paramètres m, n et p l intégrale du binôme différentiel ne peut pas s eprimer à l aide des fonctions usuelles. Par eemple il est aussi possible de montrer que les intégrales suivantes ne peuvent pas être eprimées à l aide des fonctions usuelles: e, sin, cos, n n e n R, P, P est un polynôme de troisième ou quatrième degré 6