Econométrie. F. Karamé

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1 Economére F. Karamé

2 Inroducon Qu es-ce que l économére?. Défnon Léralemen : c es la mesure en économe. Mas un peu large car cela nclu alors oues les défnons d agrégas macro-économque de la compablé naonale. Une aure défnon donnée par Maddala (un vénérable économère) : «Il s ag de l ensemble des méhodes sasques e mahémaques applquées à l analse de données économques. Son bu consse à fournr un conenu emprque au héores économques en les vérfan ou en les réfuan.» L analse économque es basée sur des représenaons héorques qu décrven le comporemen des agens e les mécansmes à l orgne des phénomènes observés. Ce son des énoncés logques qu reposen sur des hpohèses plus ou mons réalses e qu condusen à des conclusons don la porée peu êre posve ou normave. Ces énoncés héorques doven êre confronés à la «réalé», ces-à-dre les données, pour êre valdés ou nvaldés. C es à l économére qu l reven de procéder à cee confronaon, par l applcaon de méhodes sasques ssues de la héore des probablés.. Hsorque - C es une scence jeune : apparon de la dscplne en 930 avec la créaon de la socéé d Economére (Frsh e I. Fsher). - Mas les méhodes emploées esen depus les XVIIIème e XIXème sècles : méhode des mondres carrés par Legendre [805], la droe de régresson par Galon [886], dfférens ravau sur l esmaon des foncons d offre e de demande de blé au USA

3 enre 90 e 930. Les ous premers ravau sur la consommaon daen de 699 par Davenan : publcaon de la revue de la socéé d Economére : Economerca : avènemen de l économére moderne avec l négraon de l approche probablse dans la démarche économérque : arcle fondaeur de Haavelmo dans Economerca. Ulsaon de la sasque nférencelle pour spécfer la relaon enre les los économques e les données observées..3 Le rôle de l économére Deu foncons essenelles : - eser les héores économques : ben que découlan de rasonnemens rgoureu, les héores reposen égalemen sur des hpohèses plus ou mons vrasemblables e donc dscuables. D où la coesence de dfférenes héores parfos conradcores. L économére do donc permere de rancher. - Evaluer les paramères d nérê dans les relaons économques : l dée es auss d avor une foncon d évaluaon des paramères. Epl : le cas de la foncon de consommaon du pe C α + βr. Quand le revenu vare, quel es l mpac sur la consommaon? Epl : obenr des prévsons pour C. Capurer e eplquer la «réalé» au moen d un modèle économérque es donc le bu de l économére. Le plan de cee nroducon générale es donc le suvan. Dans un premer emps, nous allons donc nous néresser à ce qu es cee réalé au ravers des données. Ensue, nous éuderons la noon de modèle économérque, qu es l oul qu nous permera de capurer cee réalé. Enfn, nous verrons commen spécfer, esmer e évaluer un modèle économérque. Les données Les données son au cenre de la réfleon économérque. En effe, ce son elles qu von permere de mesurer le phénomène éudé e ses déermnans. C es la «réalé» que le modèle économérque cherche à représener. Dès lors, un vra raval de recherche, de consrucon quand c es possble, mas surou de sélecon, d nerpréaon, de compréhenson e d analse crque des données do êre mené en préalable à oue éude, afn de connaîre les rchesses e les lmes des données que l on ulse. Nous verrons égalemen plus ard qu elles condonneron les cho méhodologques effecués. On consdérera c la convenon suvane : les données son des ableau avec les observaons en lgne e les varables en colonnes. Il ese dfférens pes de données permean dfférens pes d analse.. La naure des observaons - Les séres emporelles ou chronologques corresponden à des observaons répéées de varables (généralemen des agrégas macro-économques) à nervalles emporels régulers (le mos, le rmesre, le semesre, l année). On les noe généralemen avec un ndce fasan référence à la dae (avec,, ). - Les coupes nsananées ou ransversales ou encore en coupe corresponden à l observaon à un momen donné de dfférens ndvdus (enreprses, ménages, seceurs, pas, ). On les noe généralemen avec un ndce fasan référence au numéro de l ndvdu observé dans l échanllon (avec,, N). - Enfn, les données de panel ou encore ndvduelles-emporelles nègren les deu dmensons ndvduelles e emporelles e permeen le suv des varables caracérsan 4

4 des ndvdus au cours du emps. Les données son double-ndcées en pour les ndvdus e en pour les daes (avec,, e,, N). La premère e dernère caégores de données feron l obje de echnques spécfques. Ceranes données, comme les données fnancères, peuven ne pas êre observées à nervalles régulers. Elles feron égalemen l obje de méhodes spécfques.. La naure des varables Beaucoup de varables son quanaves, c es-à-dre mesuren des phénomènes en prenan des valeurs numérques réelles. Par eemple, le monan de consommaon, de l nvesssemen, D aures son qualaves e mesuren les phénomènes au moen de valeurs numérques enères. Par eemple, le see : codage à pour les hommes e pour les femmes. Une varable qualave peu rès ben êre ulsée pour eplquer un phénomène quanaf. Par eemple, la dsparé de salares s eplque en foncon du see, du dplôme, Cela ne soulève pas de problème parculer d un pon de vue méhodologque. A l nverse, on peu auss chercher à eplquer une varable qualave. Par eemple, les déermnans de l obenon d un CDI. Cela pose alors des problèmes spécfques qu seron raés avec des méhodes spécfques..3 Collece e consrucon des données Les données ndvduelles peuven concerner des ndvdus, ménages ou enreprses. Elles peuven êre ehausves (obenues par recensemen) ou d enquêes. Dans ce derner cas, l fau s nerroger sur la sgnfcaon des réponses, à mere en relaon avec - la rédacon du quesonnare e le pe de quesons posées : quesons parfos sensbles du pe salares, mpôs, qu von condonner l honnêeé de la réponse - la méhode d échanllonnage ulsée e la fréquence des nerrogaons : par eemple problème de l mpô sasque pour les pees enreprses. - le mode d nervew ulsé : face à face, éléphone, courrer, Enfn, on s epose au problème de raemen, lourd selon la alle de l échanllon, coûeu en emps d eploaon e économquemen, au problèmes de non réponses, d erreur de mesure,. Ces dfférens pons feron l obje d un cours spécfque de héore des sondages au second semesre. Les données agrégées peuven êre à la fos emporelles ou en coupe, e concerner des agrégas macro-économques (producon, nvesssemen, eporaons ou mporaons, ) ou des regroupemens d ndvdus (régons, seceurs, ). A ce nveau, on peu s néresser à des modèles macro-économques permean d effecuer des smulaons de polques économques. Cependan pluseurs nconvénens apparassen. D une par, les données agrégées son mons précses (e mons poenellemen mons rches pusque qu en somman sur les ndvdus, on perd l nformaon capurée par l héérogénéé ndvduelle). D aure par, on s epose à des bas d agrégaon dans la mesure où les comporemens des ndvdus agrégés son héérogènes. 3 La noon de modèle économérque Prenons le cas de deu varables : C la consommaon e R le revenu. E supposons que l on observe ces nformaons pour N ndvdus, noés générquemen. 3. Les dfférens pes de relaons enre varables On peu dre qu l ese ros pes de relaons possbles enre ces deu varables. La premère es la relaon fonconnelle déermnse : à une valeur de R correspond une valeur de C. La représenaon graphque assocée dans le cas où la relaon es lnéare, es alors : 5

5 5 4 3 C 0 Graphque : relaon déermnse fonconnelle La deuème es l absence de oue relaon enre les deu varables. On parle alors d ndépendance. La représenaon graphque donne alors : R 3 C R Graphque : ndépendance A oue valeur de R peu correspondre une nfné de valeurs de C. Le rosème pe de relaon se sue enre les deu. On fa l hpohèse d une relaon fonconnelle, mas celle-c n es pas parfaemen vérfée pour chaque observaon parce que la réalé économque es rop complee à appréhender. La représenaon graphque es alors : C R Graphque 3 : corrélaon lnéare posve 6

6 On d alors que les deu varables son corrélées. Le graphque précéden monre que la relaon représenée par la droe ne passe pas eacemen par ous les pons de l échanllon, mas que les varables semblen monrer «un ceran degré de dépendance» e que la droe passe «au mleu du nuage de pons». Il ese deu pes de corrélaons : la corrélaon lnéare e la corrélaon non lnéare. Le graphque 3 fourn une représenaon de corrélaon lnéare posve. Le graphque 4 présene une corrélaon non lnéare posve Graphque 4 : corrélaon non lnéare posve Il ese ben évdemmen les cas de corrélaon négave (lnéare e non lnéare). Le graphque représene un cas de corrélaon nulle. Le graphque représene le cas d une corrélaon lnéare parfae. Pour mesurer la corrélaon lnéare enre deu varables e, on ulse le coeffcen de corrélaon lnéare smple : r, Cov(, ) n n ( ( ) )( n ) ( ) Ce coeffcen es comprs enre e. Ans, pour un coeffcen de corrélaon lnéare smple proche de, les deu varables son rès lnéaremen corrélées posvemen (quand une varable évolue dans un sens, l aure évolue dans le même sens). Pour un coeffcen de corrélaon lnéare smple proche de, les deu varables son rès lnéaremen corrélées négavemen (quand une varable évolue dans un sens, l aure évolue dans le sens conrare). Enfn, pour un coeffcen de corrélaon lnéare nul, les deu varables son non corrélées lnéaremen. Quand une varable évolue dans un sens, on ne peu ren dre sur le sens d évoluon de l aure varable (dans le cadre d une relaon lnéare). Il conven de noer qu une corrélaon lnéare nulle ne sgnfe pas l absence de corrélaon non lnéare enre les deu varables. Auremen d, l absence de corrélaon lnéare n mplque pas l ndépendance. 7

7 3. Implcaons Plaçons-nous dans le cas de la corrélaon, qu perme de rerouver les cas erêmes de relaon mahémaque e d ndépendance. On consdère que chaque ménage es c un cas parculer d une règle générale spécfée dans l équaon suvane : C f( R ) + u On observe R e C pour chaque ménage (ou plus généralemen observaon ), la foncon f(.) es supposée. On a égalemen supposé que C es la varable à eplquer e R la varable eplcave. Un modèle peu comporer pluseurs varables eplcaves. Ic, on a fa un pas supplémenare vers un schéma eplcaf pusque conraremen à la corrélaon qu es une relaon smérque, on suppose un sens de causalé de la varable R vers la varable C. Pour gérer les erreurs e l ncerude nhérenes au modèle que l on s es donné, on ulse une approche probablse qu consdère u comme une varable aléaore appelée perurbaon aléaore. u représene e capure : l oubl de varables dans le modèle, l absence de varables eplcaves remplacées par des appromaons, ous les faceurs du second ordre qu ne son pas prs en compe dans le schéma eplcaf de nore modèle, les erreurs de mesure sur les varables, l ncerude sur la forme du modèle f, en un mo, ou ce qu nous élogne de la vrae équaon du processus qu on cherche à eplquer. u es un processus héorque, non observable e l en ese une réalsaon parculère pour chaque observaon. On fera ceranes propréés de u. Ans, lorsqu on spécfe comme lo des perurbaons, une lo normale N (0, ) par eemple, on qualfe l approche de paramérque. Dans le cas conrare, elle es sem-paramérque. Remarques : - Comme u es aléaore, C l es auss d après le modèle. On consdère alors que l observaon de la consommaon de l observaon es fourne par la réalsaon de la varable aléaore C lors du rage aléaore de nore échanllon dans la populaon. - S on connassa oues les varables eplcaves de C, on pourra en héore consrure la relaon fonconnelle déermnse, c es-à-dre non aléaore. Même s de oues façons cela n es pas possble, on ne le voudra pas forcémen, dans la mesure où on recherche une appromaon accepable de la réalé. D où un premer essa de défnon 3.3 Défnon d un modèle économérque Un modèle économérque es une équaon don le rôle es «d eplquer» un phénomène grâce à des varables que l on juge déermnanes au premer plan. L objecf en es de capurer le ou les fas les plus marquans de la réalé qu l cherche à représener. Le modèle économérque es une «hsore» qu s applque à chacune des observaons de l échanllon, à une erreur possble près représenée par la perurbaon aléaore. Les paramères nconnus du modèle mesuren l mpac des varables eplcaves sur la varable à eplquer. C es l économére qu va permere une évaluaon de ces 8

8 paramères en ulsan l nformaon conenue dans oues les observaons de l échanllon e donc d analser e d ulser les résulas obenus. Du fa des dfférenes sources d ncerude qu l enouren, l fau comprendre e acceper que ou modèle économérque es une représenaon smplfée vore smplse d une réalé complee. On pourra donc le consdérer dès le dépar e quels que soen nos effors, comme erroné. L dée éan cependan que cee représenaon so accepable au regard de crères echnques e nerpréafs. Le bu éan, au ravers du modèle économérque e de son évaluaon, de «raconer une hsore convancane» pour eplquer le phénomène éudé. 3.4 Dscusson sur la noon de modèle économérque Un modèle économérque es donc une représenaon forcémen smplfée d un phénomène (epl : la consommaon d orange dépend du pr des oranges). En effe, on pourra dre auss que cela dépend de la consommaon de café, du pr des pommes, du emps pour la récole, du pr de l essence Cee approche smplfée dépend auss de façon crucale des données don on dspose ou don on peu dsposer. Il fau nclure oues celles don on pense qu elles jouen un rôle vramen mporan e ne pas s occuper des aures. Ces dernères son alors ncluses dans la perurbaon aléaore. Une queson se pose alors concernan la fablé d un modèle économérque pour raconer des hsores e s l peu consuer une représenaon accepable de la «réalé». Selon Popper [959] e Fredman [953], un modèle es forcémen quelque chose de smple car c es plus facle à comprendre, à fare comprendre e à eser. Mas cela condu cependan à deu crques mporanes. - La sur-smplfcaon : dans l eemple précéden, la spécfcaon du modèle économérque es rop smplse. En règle générale, deu écoles s affronen pour spéfcer un modèle : - la premère d qu l fau commencer par un modèle smple e le complquer progressvemen (Koopmans [957], concepon ascendane de la modélsaon). - La seconde d qu l fau parr d un modèle rès général e le smplfer progressvemen sur la base des données ulsables e de ess sasques (Sargan pus Hendr, concepon descendane de la modélsaon). - Les deu s accorden pour reenr le modèle présenan un arbrage accepable enre parcmone e réalsme. - Les hpohèses rréalses : sur ce pon, Fredman réplque en soulgnan que la queson n es pas an de savor s les hpohèses formulées par les héores son réalses sur le plan descrpf (ce qu elles son raremen) mas pluô s elles consuen des appromaons suffsammen bonnes pour répondre à la queson que l on se pose. E l on ne peu répondre qu en regardan s une héore fonconne, c es-à-dre s elle fourn des prédcons suffsammen précses. 4 Le modèle lnéare La premère éape de l analse économérque consse à dégager les mécansmes héorques à l œuvre pour eplquer le phénomène qu nous néresse. La deuème éape de l analse consse ensue à en dédure la forme de la relaon enre les varables eplcaves supposées e la varable à eplquer. C es généralemen une forme lnéare qu es reenue, du fa de sa smplcé. Nore modèle s écr donc : C a + br + u 9

9 Dans la naure, l n a absolumen aucune rason qu une relaon so lnéare en foncon des coeffcens. En effe, les mplcaons d une elle hpohèse son fores. Ic, s le revenu vare posvemen d une uné, la consommaon vare de b unés. Inversemen, s le revenu vare négavemen d une uné, alors la consommaon vare de b. Reenr une elle spécfcaon mplque donc une réponse smérque de la consommaon à une varaon du revenu, ce que l on pourra consdérer comme une hpohèse fore. Cependan, reenr une forme lnéare pour la spécfcaon du modèle économérque a auss le mére d éver d avor recours à des méhodes économérques plus complees, ou en n nerdsan pas forcémen de s néresser à des phénomènes foremen non lnéares. L mporan pour la sue éan que le modèle so lnéare en les coeffcens ; ren n nerd de fare apparaîre des varables aan sub des ransformaons non lnéares Epl : la relaon enre la formaon du salare e l epérence professonnelle. w as + béude + c ep + d + u Un modèle lnéare pour cee représenaon n es pas réalse dans la mesure où l reven à dre qu une année d epérence supplémenare en débu ou en fn de carrère va ndure une augmenaon denque du salare. Or on sa que le rendemen margnal de l epérence es décrossan : ans, les salares crossen rapdemen avec l epérence en débu de carrère e de façon beaucoup plus lene par la sue. Ans, le modèle esmé sera pluô : ) w as + béude + c ep + c (ep + d + u On consae qu l s ag encore d un modèle lnéare sur le logarhme du salare. On conclura c que le rendemen margnal de l epérence es décrossan s l esmaon de c es négave. Epl : L effe sur le nveau de consommaon des ménages du nombre des enfans. C α + βr + γnenf + u Il n a aucune rason de supposer qu un enfan supplémenare va avor un effe denque s l en a déjà ou 8. Mas commen prendre en compe ce effe non lnéare car l ese probablemen des effes de dsconnués rendan la prse en compe de ces effes par une forme quadraque dffcle (acha d une voure plus grande, d une mason plus grande, ). Une possblé es c de poser les varables nenf0 égale à pour des ménages n aan pas d enfan e à 0 snon, nenf égale à pour les ménages aan ou enfans e à 0 snon e nenf3 égal à pour les ménages aan 3 enfans e plus e à 0 snon. Le modèle deven alors : C βr + γ nenf nenf 3 + u 0 + γnenf + γ3 Le modèle es oujours lnéare en ces coeffcens, alors qu on a modélsé pluseurs dsconnués dans les données. Les effes dfférencés poren sur le nveau moen de la consommaon e son prs en charge par les esmaons de γ, γ e γ3 (vor eercce du D). Epl3 : la foncon de producon de Cobb-Douglas : c es une relaon non lnéare enre le nveau du produ Q e les faceurs de producon capal K e raval L : Q α β ALK Ce modèle non lnéare es équvalen à un modèle lnéare lorsqu on en prend le logarhme : ln Q ln( A) + αln( L ) + βln( K ) + u 0

10 Cependan, l eemple suvan monre que se ramener à une forme lnéare n es pas oujours possble. Epl4 : l esmaon d une foncon de producon CES : Q ρ ρ [ µ L + ( µ ) ] ρ K Il n a pas de raducon lnéare de ce modèle. Il faudra donc avor recours à d aures méhodes que celles présenées c pour l esmer. 5 L esmaon des paramères nconnus La queson posée, les données ulsées e la compleé de la spécfcaon du modèle à esmer condonnen la méhode d esmaon à ulser. Plaçons-nous dans un cas smple e supposons que l on cherche à présen à esmer le modèle suvan : a + b + u On dspose des données concernan la consommaon e le revenu pour N ménages à une dae donnée. Les données don on dspose son en réalé un échanllon supposé représenaf ré dans une populaon don on cherche à caracérser les comporemens de consommaon au moen des paramères nconnus a e b. Ans cee populaon peu êre l ensemble des ménages belges de Los Angeles, des célbaares de Clermond-Ferrand, Pour cee populaon, on suppose qu l ese une lo qu l s ag de connaîre le meu possble au ravers de l échanllon ré. Pour cela, on va calculer des esmaons des paramères nconnus a e b à parr des observaons de ce échanllon. 5. La méhode d esmaon des MCO Les esmaons son obenues grâce à une méhode d esmaon. Ic, on reendra la méhode des mondres carrés ordnares (MCO ou Ordnar Leas Squares en anglas) car le modèle es lnéare en les coeffcens. S ça n ava pas éé le cas, on aura chos une aure méhode plus adapée (mondres carrés non lnéares, mamum de vrasemblance, méhode des momens généralsée,...). Le prncpe de la méhode es le suvan. Pour une droe permean d ajuser le nuage de pons, on va mnmser la dsance enre chaque pon de la varable à eplquer e le modèle. On va donc chercher une valeur pour les paramères qu confère un rôle (oal quadraque) mnmum au perurbaons aléaores à chaque observaon. Le crère d esmaon es donc de rouver a e b els que : N N { a, b } arg mnu arg mn a, b a, b ( a b ) Les esmaons son obenues à parr de formules héorques qu dépenden des varables aléaores caracérsan le problème éudé (en parculer ) : ce son des esmaeurs, qu son donc eu-mêmes des varables aléaores. En effe, comme u es aléaore, l es auss, e comme l esmaeur es foncon de On pourra noer les esmaeurs A e B. La valeur des esmaons, qu on noe a eb, dépend des observaons de l échanllon. Avec un aure échanllon, l applcaon des formules des esmaeurs donnera des esmaons numérquemen dfférenes mas d un ordre de grandeur relavemen comparable s les deu échanllons son représenafs.

11 Remarque : On manpule donc ros pes de paramères : - a e b les «vras» paramères nconnus que l on n observe jamas, mas qu peuven êre ulsés dans les calculs héorques. - A e B les esmaeurs, qu son des varables aléaores. - a eb les esmaons des paramères nconnus, c es-à-dre des valeurs numérques parculères assocées à l échanllon, des réalsaons parculères des esmaeurs assocées à l échanllon. Dans les cours d économére radonnels e à l nverse des cours de probablés, on fa raremen la dfférence dans les noaons enre les esmaons e les esmaeurs. Ce sera donc à vous de ben fare aenon lors des calculs concernan les propréés héorques des esmaeurs de savor quel obje vous manpulez. 5. Les propréés des esmaeurs Les esmaeurs que l on ulse pour évaluer les paramères nconnus son assocés à la méhode d esmaon chose e son néressans pour les propréés qu ls possèden e qu peuven varer d une méhode d esmaon à une aure. Ans : - lorsqu ls fournssen en moenne la valeur des paramères nconnus, on d alors qu ls son sans bas (unbased). Défnon : l esmaeur  es sans bas s E ( A ) a. - Les esmaons son réalsées avec des marges d erreur dues au mprécsons assocées au ncerudes enouran le modèle. Ces marges d erreur dmnuen avec la alle de l échanllon, e on pourra même dre que lorsque la alle de l échanllon end vers l nfn (c es-à-dre la alle de la populaon), on pourra connaîre parfaemen la valeur des paramères nconnus. On d alors que les esmaeurs son convergens (conssen). Défnon : l esmaeur  es convergen s V ( A) 0. N - Lorsque parm deu esmaeurs du même paramère, un possède une marge d erreur nféreure à l aure, on d qu l es melleur (bes). Défnon : l esmaeur  es melleur que  s V ( A) < V( A). - Enfn, s dans une classe d esmaeurs sans bas, un esmaeur possède la plus pee varance possble, on d qu l es effcace (effcen). S la méhode des MCO es plus ulsée que les aures, c es parce que ses esmaeurs possèden, sous ceranes condons, les melleures propréés possbles. 6 La démarche économérque Dans l absolu, la démarche économérque do êre la suvane. ) Formuler claremen la queson que l on se pose. ) Consrure ou parr d une héore eplquan les dfférens mécansmes que l on cherche à mere en évdence. 3) Séleconner les données don on a beson, les consrure e les éuder. 4) Formuler le modèle économérque à parr de la héore, de la dsponblé des données e de ses propres a pror (neracons avec l éape 3 pour ce qu es de la collece e de la consrucon des données don on a beson). 5) Esmer le modèle. 6) eser la pernence (sasque e logque) du modèle. S l es rejeé par les ess sasques, revenr à l éape 4 e évenuellemen à l éape 3.

12 7) S l es accepé, l ulser pour fare de la prévson ou des recommandaons. Cee éape perme donc de «valder» la héore ulsée pour formuler le modèle, e évenuellemen d orener les évoluons héorques à parr de ce que dsen les données. On es alors en présence d une vrae neracon enre la héore e l économére applquée. 3

13 Chapre Le modèle de régresson lnéare Inroducon e noaons So le modèle de régresson lnéare mulple fourn par la héore économque, e dans le cadre de la démarche économérque énoncée précédemmen : a + b + b b + u,, k k, - es la réalsaon observée en de la varable à eplquer, appelée encore varable endogène ou varable dépendane. -,,, k son les réalsaons observées en des varables eplcaves, encore appelées encore varables eogènes ou varables ndépendanes. Le modèle es mulple s l en a plus d une. - u es la réalsaon non observée en de la perurbaon aléaore. - a e b, bk son les paramères nconnus don on recherche la valeur. On a vu dans l nroducon générale que ce modèle es consdéré comme lnéare, car es une foncon lnéare des paramères nconnus. Il es qualfé de smple lorsqu l ne compore qu une seule varable eplcave. a + b + u Dans ce cas parculer, on va donc ajuser le nuage des observaons par une droe dans le plan (, ) e les paramères nconnus s nerprèen donc comme la pene de la droe pour b e comme l ordonnée à l orgne pour a. 4

14 6 5 4 C R Dans le cas du modèle de régresson lnéare mulple, ce modèle compore k varables eplcaves ( comprs la consane) e l ajusemen du nuage des observaons se fera par un (hper-)plan de dmenson k (le nombre des varables eplcaves). L objecf es c de fournr une esmaon pour les paramères a, b,, bk. Pour cela nous ulserons la méhode des MCO pour dédure les formules des esmaeurs e leurs propréés. Le plan du chapre es le suvan. Nous allons envsager les dfférenes écrures possbles du modèle e parculèremen l écrure générale marcelle (secon ). Il sera ensue nécessare de formuler dfférenes hpohèses concernan les perurbaons aléaores. Nous allons donc les énumérer e les nerpréer (secon ). Nous allons ensue rouver la soluon du problème des MCO e l epresson des esmaeurs (secon 3). Nous en éuderons ensue les propréés héorques à dsance fne (secon 4) pus asmpoquemen (secon 5) en ulsan les dfférenes hpohèses formulées sur les perurbaons aléaores. Nous éuderons la possblé d esmaeurs alernafs comme celu du mamum de vrasemblance e ses relaons avec l esmaeur des MCO (secon 6) pour nous convancre que c es le melleur esmaeur possble. Enfn nous dscuerons des prévsons dans un modèle économérque (secon 7). Les dfférenes formulaons du modèle de régresson lnéare mulple Pour passer au noaons marcelles, l es nécessare d applquer l écrure générque du modèle pour chaque observaon : a + b + b b + u,, k k, a + b + b b + u,, k k,... a + b + b b + u,, k k,... a + b + b b + u,, k k, On peu réécrre vecorellemen le modèle lnéare en gardan ben à l espr les formas des veceurs : 5

15 , k, u, k, u a + b bk +, k, u u, k, On peu donc réécrre le modèle lnéare mulple comme une combnason lnéare dans IR : a e + b b + u k k ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) avec - le veceur des observaons de la varable à eplquer. - e le veceur de dmenson ne comporan que des. C es une «varable» qu prend la même valeur pour oues les observaons. Elle capure donc ce qu es commun à oues les observaons dans le phénomène à eplquer. -, k les (k ) veceurs des observaons des varables eplcaves. Chaque varable prend des valeurs dfférenes enre les observaons. C es ce qu caracérse l héérogénéé enre les observaons dans le phénomène à eplquer. - L nfluence de chaque varable eplcave sur le phénomène à eplquer es mesurée par les k paramères nconnus a, b, bk don on recherche la valeur. C es l héérogénéé des déermnans dans l ensemble des observaons qu va eplquer l héérogénéé du phénomène à eplquer. - u le veceur des réalsaons non observées de la perurbaon aléaore. Posons à présen la marce X composée des observaons des k varables eplcaves ( comprs la consane) ans que β le veceur conenan les paramères nconnus à esmer : X, k, a b e β b k, k,, k, ( k) ( k ) Il es mporan à ce sade d envsager les deu sens de lecure de la marce X : - d une par, une lgne correspond à une observaon, caracérsée dans l espace des varables IR k (pusque c une observaon se défn avec k coordonnées). L ajusemen du nuage de pons des observaons se fera dans l espace des varables, comme on l a vu dans le cadre du modèle de régresson lnéare smple. - D aure par, une colonne correspond à une varable, caracérsée dans l espace des observaons IR (pusque c une varable se défn avec coordonnées). Ce son ces varables qu on éude dans ce espace lors de l nerpréaon géomérque des MCO. Le modèle se réécr alors : X β + u ( ) ( k) ( k ) ( ) On a présené précédemmen la marce X, so de façon encore condensée sous sa forme en colonne : 6

16 X e... k ( k) (,) (,) (,) Sous cee forme, une colonne correspond à oues les observaons d une varable. Dans la léraure, on pourra égalemen renconrer l écrure de en lgne : X X (, k)... X... X (, k) ( k) (, k) Sous cee forme, une lgne correspond à la réalsaon de oues les varables pour une observaon : X..., k, (, k) (,) (,) (,) Sous cee forme, le modèle s écr encore de façon générque : X β + u (,) (, k) ( k,) (,) Pour la sue, l es nécessare de ben savor manpuler ces dfférenes écrures e de ben garder à l espr le forma des marces afn d éver les erreurs, même s dans la sue nous nous concenrerons majoraremen sur l écrure la plus compace. Les premères hpohèses sur les perurbaons aléaores Avan de pouvor rer une concluson quelconque sur la queson que l on se pose grâce au modèle économérque que l on a formulé, l fau avor dépassé les éapes echnques de spécfcaon du modèle. Sur le plan echnque, une fos le modèle formulé, la démarche es la suvane : Enoncer un ceran nombre d hpohèses concernan les perurbaons aléaores (non observées). Ulser une méhode d esmaon sous ces hpohèses. eser la valdé des hpohèses formulées une fos l esmaon du modèle réalsée, à parr d une esmaon des perurbaons. Envsager la melleure méhode d esmaon lorsque elle ou elle hpohèse n es pas vérfée. Déallons la lse e l nerpréaon des hpohèses sur les perurbaons.. La perurbaon es d espérance nulle H : E ( u X) 0 (,) (,) 7

17 L espérance des perurbaons condonnellemen au varables eplcaves es nulle pour chaque réalsaon. L ensemble des déermnans non reenus dans le modèle (e regroupés dans les perurbaons) es d espérance nulle, c es-à-dre que leurs effes sur la varable à eplquer des varables de second ordre se compensen enre eu à chaque observaon. Auremen d, l appromaon consuée par le modèle correspond à la lo moenne de la varable aléaore à eplquer : E ( X) X β Dans le cas conrare, on fera le modèle fera une erreur ssémaque à chaque observaon pour eplquer.. Les varables eogènes son des varables ceranes H : E ( X u) 0 Cee hpohèse mplque que X e u ne son pas lnéaremen corrélés. Cela sgnfe que l appromaon consuée par le modèle es elle que les déermnans de seconde mporance de que l on a néglgés e qu fguren donc dans la perurbaon aléaore ne son pas lés au varables eplcaves de premère mporance X reenues dans le modèle. C es cee mplcaon qu es essenelle e qu do êre respecée s X es fnalemen une marce consuée de varables aléaores, car elle perme d obenr des esmaeurs non basés. Pour smplfer les calculs qu von suvre sans avor d mpac fondamenal sur les résulas, on supposera : H -bs : X es une marce de varables ceranes..3 X es une marce de plen rang colonne H 3 : X es une marce de rang égal à k c es-à-dre de plen rang colonne. On fa c l hpohèse que les colonnes de la marce X (c es-à-dre les varables) son lnéaremen ndépendanes enre elles. Dans le cas conrare, cela sgnfera qu au mons une varable eplcave pourra s écrre comme une combnason lnéare d aures varables eplcaves du modèle. Dans un el cas de fgure, cee varable sera alors redondane e n apporera ren au modèle. De plus, cela nous empêchera même d esmer ses paramères pusque le même phénomène nervendra deu fos dans l eplcaon. On es alors dans le cas de mulcolnéaré srce e le modèle n es pas denfable. Dans le cas du modèle de régresson lnéare smple, cela sgnfe que les observaons possèden une varance ( s ( ) 0.e. elles ne son pas oues égales à ) e se comporen de façon dfférene de la consane. Elles apporen donc une nformaon supplémenare e non redondane relavemen à la consane du modèle (ce pon sera plus compréhensble dans la secon sur l nerpréaon géomérque du modèle lnéare smple). C es cee varablé de comporemen de la varable qu va permere d eplquer la varable..4 L hpohèse d homoscédascé e de non covarance des perurbaons H 4 : E( u u ) I. (,) (, ) 8

18 La marce de varances-covarances des perurbaons es une marce scalare, c es-à-dre qu elle s écr comme le produ d un scalare par la marce dené. En effe, pour H vérfée : u... uu... uu u V ( u ) ( E u u ) E u ( ) u... u... u E uu (,) u uu (,) (, ) u uu... uu... u E( u )... E( uu )... E( uu ) Euu ( ) E( u ) Euu ( ) Euu ( )... E( uu )... E( u ) Envsageons plus précsémen ces deu hpohèses. L homoscédascé des perurbaons : la varance des perurbaons es denque pour ou. En effe,, V( u ) E[ u Eu ( )] E( u ) Cela reven à dre que l ampleur des erreurs (ou l appromaon réalsée par le modèle) es consane pour oue observaon. Cela reven encore à dre que cee ampleur ne dépend pas d une varable ou d un faceur aan rappor avec l observaon, auquel cas le modèle «oublera» d eplquer quelque chose de ssémaque qu demeure dans l erreur e ne sera donc pas accepable. C es dès lors l hpohèse la plus smple à formuler concernan la varance des erreurs, pusqu elle ne peu pas êre supposée nulle. On ne formule donc pas d hpohèse concernan la valeur de ². C es un paramère nconnu supplémenare, mas on sen ben que les résulas de l esmaon seron d auan plus précs que ² sera fable. La non-auocorrélaon des perurbaons :, Covu (, u ) E[ u Eu ( )] [ u Eu ( )] E[ u u ] 0 I Une erreur fae sur une observaon ne dépend lnéaremen d aucune aure erreur fae sur une aure observaon. Dans le cas conrare, cela sgnfera en effe que le modèle «oublera» ssémaquemen un faceur eplcaf mporan de dans la pare de la perurbaon aléaore e ne sera donc pas accepable. De façon rgoureuse, cela sgnfe qu l n ese pas de relaon lnéare enre les perurbaons. On a vu en effe en nroducon que le coeffcen de corrélaon lnéare enre deu varables s eprme comme le rappor de la covarance enre les varables e le produ des écar-pes de varables (c la varance pusqu on es sous l hpohèse d homoscédascé). Pour une covarance nulle, le coeffcen de corrélaon lnéare es nul. Cependan, cela n mplque pas forcémen l ndépendance enre les perurbaons, comme on l a vu en nroducon e dans le cours de probablés (à mons ben sûr que les perurbaons soen normalemen dsrbuées). 9

19 3 L esmaon par la méhode des mondres carrés ordnares Il fau à présen rechercher une méhode d esmaon qu fourn des esmaeurs pour le veceur de paramères nconnus possédan des propréés néressanes (non basés, convergens, ). Nous allons donc commencer par éuder la méhode des mondres carrés ordnares (MCO). 3. Le crère des MCO Le modèle lnéare mulple s écr : a + b + b b + u,, k k, On es en présence d un nuage de pons (que l on ne peu représener) dans IR k, l espace des varables. En effe, chaque pon a beson de k coordonnées pour êre défn dans ce espace. L ajusemen du nuage dans IR k se fera donc par un hperplan don l équaon s écr : a + b + b b,, k k, e qu passe le plus près possble de ous les pons de l échanllon. La généralsaon du programme des MCO se fa dans la droe lgne du cas de la régresson lnéare smple : on recherche les paramères a, b, b,...e bk els que : { a b b k },,..., arg mn Sa (, b,..., b ) k ( ab,,..., b ) k arg mn ( ab,,..., bk ) ( ab,,..., bk ) u,, bk k, arg mn ( a b b... ) On es en présence d une foncon scalare à k paramères que l on chercher à mnmser. On do donc résoudre le ssème formé par les k équaons du premer ordre (CPO) calculées en les soluons a, b, b,... b k, c es-à-dre la valeur parculèremen permean d égaler chaque CPO à 0. (,,..., k ) a a a b, bk k, a b b... b b Sa b b k k 0 (... ) 0 (,,..., bk ) a a a b, bk k,, b b b... b b Sa b... k k 0 (... ) 0 0

20 (,,..., k ) a a a b, bk k, k, bk b b... b b Sa b b k k 0 (... ) 0 Ensue, on do valder cee soluon en calculan les condons du second ordre (CSO) pour caracérser un mnmum. Mas écrvons drecemen la soluon pour le cas général. 3. Epresson marcelle de l esmaeur des MCO On peu égalemen calculer l epresson marcelle de l esmaeur des MCO. Pour cela, l suff d écrre le programme des MCO sous forme marcelle. Ans, en reparan du modèle X β + u ( ) ( k) ( k ) ( ) le programme précéden se réécr : β argmn S( β ) argmn( uu) argmn( Xβ)( Xβ ) β β β Développons l epresson à mnmser : S( β ) ( X β) ( X β ) ( β X ) ( X β ) X β β X+ βx X β ( ) ( k) ( k ) ( ) ( k) ( k ) ( ) ( ) ( ) ( ) Comme X βe β X son des scalares e qu ls son la ransposée l un de l aure, ls son ( ) ( ) égau. Le crère se réécr donc : S( β ) X β+ βx X β ( ) ( ) ( ) Dérvons le crère afn d obenr les CPO. La foncon S(β) es mnmum en β s : S( β) β ββ 0 Pour pouvor résoudre ce programme, l es nécessare de connaîre les règles de dérvaon marcelle des combnasons lnéares e des formes quadraques. Rappels : pour une forme lnéare du pe az za az, avec a e z deu veceurs n colonnes de alle n, la dérvaon par rappor au veceur de varables z donne : ( az) ( za) a z z Pour une forme quadraque zaz avec A une marce carrée smérque, la dérvaon oujours par rappor au veceur z donne :

21 ( zaz) Az z On a alors : X + X X β 0 ( k ) ( ) ( k )( k) ( k ) ( k ) En réécrvan l epresson, on oben : X X β X ( k k) ( k ) ( k ) Ce ssème correspond au ssème de k équaons évoqué au pon précéden. C es le ssème des équaons normales. Il adme une soluon unque s la marce X X es nversble (c es-à-dre s elle es de rang égal à k), ce qu es une mplcaon de l hpohèse H 3. Le veceur β se défn donc comme : β ( X X) X ( k ) ( k k) ( k ) C es l epresson marcelle de l esmaeur des MCO dans le cadre de la régresson lnéare mulple. L epresson de la dérvée seconde (X X) du programme éan une marce défne posve, on es ben à un mnmum en le pon soluon du programme fourn par les condons du premer ordre. On en dédu alors la valeur ajusée par le modèle : X β ( ) ( k) ( k ) qu es donc une combnason lnéare des varables eplcaves, ans que le veceur des résdus esmés : u ( ) ( ) ( ) 3.3 Remarques - D aures crères pourraen êre envsagés pour mnmser la dsance enre l hperplan esmé e les observaons. Cela pourra êre par eemple la somme de la valeur absolue des écars (pluô que des carrés comme c) ou une dsance de projecon orhogonale des observaons sur la droe esmée (pluô que vercale comme c). Cependan, on va benô vor que c es le crère des MCO qu perme de fournr les esmaeurs possédan les melleures propréés. - β ( a, b,..., ) es l esmaeur des mondres carrés ordnares du veceur de bk paramères nconnus β ( a, b,..., bk ). β es un veceur de varables aléaores pusque c es une foncon lnéare du veceur, qu dépend lu-même du veceur des perurbaons aléaores u, les pods de la combnason lnéare éan rassemblés dans la marce ( XX) X. - On appelle esmaons les valeurs parculères prses par les foncons β ( a, b,..., bk ) pour les réalsaons des varables de l échanllon. Comme pour les varables aléaores,

22 on ne dsnguera pas formellemen la varable aléaore de sa réalsaon parculère, mas l s ag ben de deu choses dfférenes. a + b es la valeur ajusée ou prédcon ou encore valeur esmée de la varable - dans le cadre de la régresson lnéare smple C es la droe de régresson de sur. Ce erme es dû à Sr Francs Galon pour ses ravau concernan la relaon enre la alle des parens e de leurs enfans. Il a en effe observé que plus (mons) les parens éaen grands, plus (mons) leurs enfans l éaen, mas plus ls se rapprochaen de la moenne. D où le erme de régresson (vers le pon moen de l échanllon) mas qu désgne aujourd hu courammen l esmaon générale d un modèle lnéare. - On a vu que la perurbaon aléaore u, encore appelée aléa ou erreur, es une varable aléaore don on a supposé ceranes propréés e don les réalsaons ne son pas observées. En revanche, on peu calculer : u appelé résdu ou résdu esmé. On a donc : X β + u X β + u + u La premère formulaon sera ulsée pour démonrer les propréés héorques des esmaeurs sous les hpohèses à 6 formulées. - Lorsque l hpohèse H 3 n es pas vérfée, le ssème n a pas de soluon unque. On d que le modèle n es pas denfable : l a une nfné de soluons β e l nfluence de chaque varable eplcave sur la varable à eplquer ne peu êre mesurée. 4 Propréés de l esmaeur des MCO à dsance fne On va s néresser au propréés du veceur aléaore β dans le cadre du modèle de régresson lnéare mulple : X β + u ( ) ( k) ( k ) ( ) On a monré que c es un veceur aléaore comme foncon de la varable aléaore. On va donc éuder comme au chapre précéden s l vérfe les propréés sandards qu on recherche chez un esmaeur lorsque les hpohèses classques H, H, H 3 e H 4 son vérfées. On a vu que H 3 éa déjà forcémen vérfée, pusqu elle nous a perms de fournr l epresson de l esmaeur. 4. L espérance de l esmaeur des MCO L esmaeur se défn comme : β ( X X) X ( k ) ( k k) ( k ) Monrons qu l es sans bas. Pour cela, développons selon l epresson de : β ( X X) X ( X β + u) ( X X) X X β + ( X X) X u I β + ( X X) X u k Prenons l espérance de cee epresson : l es facle en ulsan les hpohèses pus de vor que : 3

23 E( β ) E[ β + ( X X) X u] β + ( X X) X E { ( u) β Concluson : sous H, H e H3, l esmaeur des MCO es sans bas. 4. La varance de l esmaeur 4.. Calcul de la varance On s néresse à présen à la mesure de la précson de l esmaeur. Comme l s ag d un veceur, on sera en présence d une marce de varances-covarances carrée, smérque, de alle k. On par donc de la défnon de la varance : I X X X ( k k) 0 { } V ( β ) E[( β E( β)) ( β E( β ))] E [( X X) X u] [( X X) X u] E[( X X) X u u X ( X X) ] ( X X) X E[ u u ] X ( X X) ( X X) X ( ) ( X X) X X ( X X) I ( X X) k sous les hpohèses H, H, H 3 e H 4. On pourra vérfer que cee marce correspond à la marce : + ( ) ( ) ( ) ( ) dans le cas du modèle de régresson lnéare smple. 4.. Esmaon de la varance Comme le paramère scalare ² es nconnu, l es nécessare de l esmer afn de dsposer d une esmaon de la marce de varances-covarances de β. L esmaeur reenu es le suvan : SCR uu k k Remarque : le leceur prendra ben garde de s nerroger sur la dfférence enre V( u ), e V( u ). 4

24 4.3 Le héorème de Gauss-Markov héorème : So un modèle de régresson smple X β + u avec les hpohèses assocées à 4. L esmaeur β des MCO es l esmaeur le plus précs dans l ensemble des esmaeurs lnéares sans bas de β. * Dans ce cas, ou esmaeur β fournra une esmaon mons précse que celu des MCO. Pour radure cela dans le cadre d un veceur e donc d une marce de varancescovarances, cela sgnfe que la dfférence enre la marce de varances-covarances de ou esmaeur concurren avec celle de l esmaeur des MCO donnera une marce sem-défne posve, c es-à-dre une marce don les élémens dagonau (correspondan à la dfférence des varances) seron ous posfs ou nuls : * * * * * V( a ) Cova (, b )... Cova (, b ) k V( a ) Cova (, b)... Cova (, bk ) * * * * Cova (, b) V( b) Cova (, b) V( b) V ( β ) V ( β ) * * * Cova (, bk ) V( bk ) Cova (, bk ) V( bk ) ce qu mplque : * V( a ) V( a ) > 0 V( b ) V( b ) > 0... * V( b ) ( ) > 0 * k V bk L esmaeur des MCO es donc le précs pour oues les composanes de β. Preuve : comme précédemmen, posons qu l ese un esmaeur données e el que : * β lnéare en les * β H ( k ) ( k ) ( ) H es une marce non aléaore que l on cherche à déermner. Eprmons ce esmaeur en foncon de l esmaeur des MCO : * H ( ( ) ) β β β + β + H XX X β + L L es une marce non aléaore comme combnason de marces non aléaores. L esmaeur * β es défn comme éan sans bas : on a donc : * E( β ) E( β + L ) E( β ) + E( L ) β + L E( ) β + L E( Xβ + u) β + L ( Xβ + E { ( u)) β + L Xβ 0 De la propréé du sans bas, on dédu que LX β 0 L X 0 (oues les aures possblés pour jusfer la nullé de LXβ (L 0 qu mplque que l esmaeur recherché es 5

25 celu des MCO, Xβ ou β nuls, ce qu mplque que le modèle n a ren à chercher) n éan pas * néressanes). L epresson de β se réécr donc : * β β + L ( X β + u) β + L u ( XX) X + L u ( XX) X ( X β + u) + L u β + ( XX) X u + L u β + [( XX) X + L] u De cela on peu dédure la varance de l esmaeur : { } * * * V ( β ) E[( β β) ( β β )] E [(( XX) X + L) u] [(( XX) X + L) u] Il es facle de développer cee epresson : Or d après H 4, D où : { } { } L * V ( β ) E [( X X) X + L] u u [ X( X X) + L] [( XX) X + L] E u u [ X( X X) + ] V ( β ) [( XX) X + L] I [ X( XX) + L] * [( XX) X X( XX) + ( XX) X L + L{ X ( XX) + LL] I 0 0 k [( XX) + LL] V( β ) + LL * V ( β ) V( β ) LL avec posf e LL une marce sem-défne posve. On a donc démonré le héorème. Concluson : l esmaeur β des MCO es l esmaeur le plus précs dans l ensemble des esmaeurs lnéares sans bas de β. Il fourn donc la melleure nformaon possble sur ce veceur de paramères nconnus à dsance fne. 5 Propréés asmpoques de l esmaeur des MCO Que devennen l esmaeur des MCO e ses propréés lorsque la alle de l échanllon end vers l nfn? Commençons par des pes rappels de cours. 5. Rappels sur les dfférens pes de convergence Consdérons une sue de varables aléaores non nécessaremen ndépendanes X,, Xn. Vers quo converge cee sue lorsque n end vers l nfn? Do-on s néresser au valeurs vers lesquelles convergen les momens de cee sue lorsque n end vers l nfn? A sa lo lme? A la convergence de la sue des réalsaons de cee sére? 5.. La convergence en probablé Défnon Une sue de varables aléaores X, Xn défnes sur le même espace fondamenal converge en probablé vers le nombre ceran a s, éan donné ε e η deu nombres 6

26 posfs arbraremen fables e choss à l avance, l es possble de rouver un seul N lé à ε e η el que : n { X a > ε } η > N( ε, η) Pr < n Ans, lorsque n end vers l nfn, la varable aléaore Xn end vers le nombre ceran a avec une probablé égale à : Pr( X Pr( X n n a) a) n n 0 En d aures ermes, à parr du seul N, la probablé que Xn prenne une valeur parculère en dehors de l nervalle a ± ε es rès fable. Cela s écr encore : n p X a ou p lm Xn a Cee noon de convergence en probablé vérfe des propréés rès praques découlan du héorème de Slusk. héorème de Slusk S deu sues de varables aléaores X,, Xn e Y,, Yn convergen en probablé respecvemen vers X e Y, f(xn,yn) converge en probablé vers f(x,y), avec f une foncon défne e connue sur IR². p lm( X p lm( Y n n ) X ) Y p lm[ f( X n, Y n )] f( X, Y) Une applcaon ule es fourne par les eemples suvans : pour deu sues de varables aléaores X,, Xn e Y,, Yn convergean en probablé respecvemen vers X e Y. On a alors : n n p X + Y X + Y, n p λx λ X, n n p X Y X Y, Remarque : la convergence en probablé n mplque pas la convergence des momens. 5.. La convergence en lo Défnon Ean donnée une varable aléaore X de foncon de réparon F(), on d que la sue de varables aléaores X,, Xn converge en lo vers X lorsque n end vers l nfn s Fn() converge vers F() : F ( ) n n F( ) X n L X Un eemple pque d applcaon es le héorème cenral-lme. Ce héorème précse les condons pour qu une varable aléaore converge vers une lo normale. héorème cenral-lme So une sue de varables aléaores X,, Xn muuellemen ndépendanes e 7

27 denquemen dsrbuées, d espérance e de varance fnes noées X n défne comme la moenne arhméque de la sue X,, Xn µ X e X. La sue X n n X n converge en lo vers la varable normale cenrée rédue lorsque n : n( X n µ ) N(0, X L X ) 5..3 La convergence en moenne quadraque Défnon Une sue de varables aléaores X,, Xn converge en moenne quadraque vers a s l espérance du carré de l écar enre Xn e a converge vers 0 lorsque n augmene ndéfnmen : mq.. E[( X a) ] 0 X a n n n Propréé : pour deu sues de varables aléaores X,, Xn e Y,, Yn convergean en moenne quadraque respecvemen vers X e Y, on a alors : On en dédu que : mq.. mq.. ( mq.. Xn + Yn X + Y, E( Xn) E( X), E Xn ) E ( X ), X mq n.. X X n P X X n L X 5. Une hpohèse supplémenare : H 5 Au quare premères hpohèses sandards ulsées jusqu à présen, on en ajoue une nouvelle. H 5 : lms lm X X V, X X ( kk, ) avec VX une marce fne défne posve e nversble. Il suff de poser la srucure de la marce X X. Cee hpohèse sgnfe que lorsque end vers l nfn :. les moennes, les varances e les covarances son fnes. En effe, en présence d une consane dans le modèle, cee marce conen des élémens égau à, j à la (j + )ème de la premère colonne (avec j, k ), j, à l nersecon de la dagonale prncpale e de la (j + ) ème lgne (avec j, k ), e 8

28 enfn, j, sur les élémens non dagonau de la marce, à l nersecon, k, j, k e j ). enre ( + ) ème lgne e la (j + ) ème colonne (avec. les varables eplcaves resen lnéaremen ndépendanes. On a alors la conservaon de l hpohèse H 3 lorsque end vers l nfn. L dée es donc comme précédemmen que les varables eplcaves conserven oujours une cerane varance lorsque end vers l nfn. Parons du fa que les varables son des varables aléaores ndépendammen e denquemen dsrbuées de varances. L dée es c que les varables conserven oujours une cerane varance lorsque la alle de l échanllon end vers l nfn ( s lm lm ( ) 0). En effe, dans le cas conrare, cela voudra dre que les convergen vers leur moenne à parr d une cerane dae. Dès lors, une observaon supplémenare n apporera aucune nformaon. Ans, dsposer d observaons supplémenares appore de l nformaon. N oublons pas que même s l paraî paradoal de parler des eplcaves comme une varable aléaore au regard de l hpohèse H, cee hpohèse n es là que pour smplfer les calculs e permere de modélser condonnellemen au observés dans l échanllon. 5.3 Convergence en probablé de l esmaeur des MCO L esmaeur se défn à présen comme β : β ( X X ) X k ( ) ( k )( k) ( k ) ( ) e dépend de la alle de l échanllon. On s néresse donc à la sue de varables aléaores β, β e sa convergence lorsque end vers l nfn. +,... Preuve : monrons que l esmaeur des MCO converge en probablé vers la vrae valeur du paramère nconnu. On sa que la convergence en moenne quadraque es une condon suffsane de la convergence en probablé. Auremen d, la convergence en moenne quadraque mplque la convergence en probablé. Pour que β converge en moenne quadraque vers β, l fau que : E[( β β) ( β β)] 0 + ( k k ) Comme β es un esmaeur sans bas, cela reven à monrer que : V( β ) 0 + ( k k ) On a déjà calculé l epresson de la marce de varances-covarances de β : X X X ( k k) + ( k k) V ( β ) ( X X) ( ) 0 ( V ) 0 d après H 5. 9

29 Concluson : l esmaeur des MCO converge en moenne quadraque donc en probablé vers la vrae valeur du paramère nconnu. Remarque : Cee hpohèse H 5 peu êre consdérée comme resrcve dans la mesure où elle ne perme pas d nclure des varables elles que le emps dans le modèle de régresson, car la moenne e la varance d une elle varable augmenen avec le nombre d observaons. A la formulaon de cee hpohèse, on pourra préférer par eemple : H 5bs : lm( X X) 0. ( kk, ) 5.4 La normalé asmpoque de l esmaeur des MCO Pour pouvor éuder la convergence en lo de l esmaeur des MCO, on va ulser le héorème cenral-lme. Pour cela, on va redéfnr H 4 en nrodusan l hpohèse d ndépendance des perurbaons. H 4bs : Les perurbaons u son ndépendammen e denquemen dsrbuées (d) d espérance 0 e de varance ². On en dédu donc le résula suvan. Sous les hpohèses H, H, H 3, H 4bs e H 5, l esmaeur cenré dlaé asmpoquemen une lo normale : ( β β ) su ( L β β) N(0, ( V ) ) X Preuve : applquons le héorème cenral lme. On a vu que l esmaeur des MCO es une combnason lnéare avec des pods non aléaores de los ndépendanes : ( ) β β + XX X u On peu donc avor recours au héorème cenral-lme. On a vu au pon précéden qu l es nécessare de dlaer β β, pusque ce esmaeur converge en probablé vers 0 (dans le cas conrare, sa dsrbuon asmpoque sera dégénérée pusque égale à une consane). L epresson de l espérance e de la varance de ce esmaeur éan connue : E[ ( β β )] [ E( β ) β ] 0 X X X X + X V[ ( β β )] V( β ) ( ) ( ) ( V ) On en dédu donc le résula énoncé précédemmen. Concluson : - A dsance fne ( es fé), les MCO fournssen des esmaeurs sans bas e les plus précs parm l ensemble des esmaeurs lnéares sans bas. - Au nveau asmpoque ( end vers l nfn), les MCO fournssen des esmaeurs convergens en probablé e les esmaeurs cenrés-dlaés suven asmpoquemen une lo normale. 6 L hpohèse de normalé des perurbaons e ses conséquences Envsageons à présen les conséquences d une sème hpohèse : 30