SUITES et SERIES DE FONCTIONS

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1 UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio de E das È ou  otée f Pour x fixé das E, (f (x)) est ue suite de ombres réels ou complexes Exemples f (x) = x, + x, + x, Arcta(x), e ix, Défiitio de la covergece simple Soit (f ) ue suite de foctios umériques défiies sur E : ) O dit que la suite (f ) coverge e u poit x E lorsque la suite umérique (f (x)) coverge 2) Si A est u sous-esemble de E, o dit que la suite (f ) coverge simplemet sur A si, pour tout x A, la suite (f (x)) coverge Si (f ) coverge simplemet sur A «E o ote, pour tout x A, f(x) la limite de la suite (f (x)) et o défiit aisi sur A ue foctio f : f(x) appelée limite simple de la suite (f ) sur A vérifiat : () x A, > 0, 0, 0, f (x) - f(x) Cette limite simple sur A est bie sûr uique (si elle existe) puisque pour chaque x A, la limite de (f (x)) est uique Exemples ) f (x) = + x coverge simplemet sur È vers f costate égale à 2) f (x) = x coverge simplemet sur ]-, ] vers f défiie par f(x) = 0 si x ]-, [ et f() = Elle e coverge pas pour les x ]-, ] 3) f (x) = + x coverge simplemet sur È vers f défiie par f(x) = e x 4) f (x) = x 2 coverge simplemet sur È vers la foctio ulle

2 Défiitio de la covergece uiforme Soit (f ) ue suite de foctios umériques sur E Soit A u sous-esemble de E O dit que la suite (f ) coverge uiformémet sur A s'il existe ue foctio f de A das È (ou Â) telle que : (2) > 0, 0, 0, x A, f (x) - f(x) ou, ce qui est équivalet : (2') Sup f (x) - f(x) = 0 x A Remarque La différece etre covergece simple et covergece uiforme sur A, c'est-à-dire etre () et (2), est que das () le 0 déped de et de x alors que pour que (2) soit vérifié, il faut u 0 dépedat de mais commu à tous les x A Propositio Si (f ) coverge uiformémet vers f sur A, (f ) coverge simplemet vers f sur A La défiitio (2') fourit ue méthode pour prouver ue covergece uiforme sur A (resp ue covergece o uiforme sur A) : a) Etude de la covergece simple pour trouver f b) Calcul de a = Sup x A f (x) - f(x) c) Démostratio que la suite (a ) coverge vers 0 (resp e coverge pas vers 0) Il sera parfois plus rapide de majorer (resp miorer) a par ue suite a' qui ted vers 0 (resp qui e ted pas vers 0) Exemples ) La suite f (x) = x coverge uiformémet vers la foctio ulle sur [a,b] «]-, [ mais e coverge uiformémet i sur [0, ] i même sur [0, [ car : Sup x [0, [ x = pour tout 2) La suite f (x) = x coverge uiformémet vers la foctio ulle sur È

3 car f est impaire, de dérivée du sige de - 2 x 2 et Sup x È f (x) = 2 3) La suite f (x) = + x coverge uiformémet sur [-a, a], a quelcoque positif, mais pas sur È O sait qu'ue suite de ombres réels ou complexe coverge si et seulemet si c'est ue suite de Cauchy, ce qui coduit au résultat : Théorème Soit (f ) ue suite de foctios umériques sur E Soit A u sous-esemble de E Pour que (f ) coverge uiformémet sur A il faut et il suffit qu'elle soit uiformémet de Cauchy sur A, c'est-à-dire que : (3) > 0, 0 0, p 0, x A, f (x) - f p (x) Remarque sur les otatios Das la défiitio précédete, o peut toujours supposer que p et écrire p = + q avec q 0 de sorte que (3) s'écrit ecore : > 0, 0 0, q 0, x A, f (x) - f +q (x) II Cotiuité, itégratio, dérivatio de la limite d'ue suite de foctios L'exemple de f (x) = x sur [0, ] motre que la covergece simple e suffit pas à assurer la cotiuité de la limite Par cotre : Théorème de cotiuité Soiet I u itervalle de È o réduit à u poit et (f ) ue suite de foctios de I das È (ou Â) Soit a I O suppose que : a) Pour tout, f est cotiue e a (resp sur I) b) (f ) coverge uiformémet vers f sur I Alors f est cotiue e a (resp sur I) Remarque Ce théorème peut permettre de prouver qu'ue covergece sur I 'est pas uiforme e

4 Théorème d'iterversio de limite et d'itégratio Soiet [a, b] u itervalle fermé de È et (f ) ue suite d'applicatios cotiues de [a, b] das È ou Â, qui coverge uiformémet sur [a, b] vers f (cotiue d'après ce qui précède) Alors la suite b a f (x) dx a ue limite et o a : b a b f (x) dx = a f(x) dx Remarque O dit aussi que la covergece uiforme de (f ) sur [a, b] permet d'itervertir limite et itégratio Là ecore la covergece simple e permet pas d'obteir le résultat précédet : Cotre-exemple La suite (f ) de foctios affies par morceaux représetée ci-cotre pour 2 et avec f (x) = 0 si x [2/, ], coverge simplemet vers la foctio ulle sur [0, ] mais f (x) dx = e 0 coverge pas vers 0 0 / 2/ Théorème de dérivatio Soiet I u itervalle de È o réduit à u poit et (f ) ue suite de foctios de I das È (ou Â) O suppose que : a) Pour tout, f est dérivable (resp C ) sur I b) La suite (f ' ) coverge uiformémet sur tout itervalle fermé, boré [a, b] coteu das I et o ote g la limite de la suite (f ' ) sur I c) Il existe x 0 I tel que la suite f (x 0 ) coverge Alors : ) La suite (f ) coverge uiformémet sur tout itervalle fermé boré [a, b] coteu das I O ote f la limite de la suite (f ) sur I 2) f est dérivable (resp C ) sur I et f ' = g

5 Cotre-exemple f (x) = x 2 + Les foctios f sot C sur È et la suite (f ) coverge uiformémet vers f(x) = x sur È car : x È, 0 x x = x + x 2 + Pourtat f 'est pas dérivable e 0 Ici le théorème e peut être appliqué que sur I = ]0, +[ ou ]-, 0[ Exercice Etudier et justifier les tableaux suivats : f (x) E Graphique de f avec idicatio de sa bore supérieure (la Covergece flèche idique commet évolue le graphique ) uiforme das tout segmet de I Covergece o uiforme vers 0 x ]-, [ ]-, [ f (x) E Graphique de f avec idicatio de sa bore supérieure (la Covergece flèche idique commet évolue le graphique ) uiforme das tout segmet de II Covergece o uiforme vers 0 e - x ]0, [ ]0, [

6 f (x) E Graphique de f avec idicatio de sa bore supérieure (la Covergece flèche idique commet évolue le graphique ) uiforme das tout segmet de III Covergece o uiforme vers 0 x [0, [ [0, [ f (x) E Graphique de f avec idicatio de sa bore supérieure (la Covergece flèche idique commet évolue le graphique ) uiforme das tout segmet de IVa Covergece uiforme vers 0 x e - x [0, [ [0, [ /e / IVb Covergece o uiforme vers 0 x e - x [0, [ /e ]0, [

7 IVc Covergece o uiforme vers 0 2 x e - x [0, [ ]0, [ /e / Exercice 2 O cosidère pour les foctios : f (x) = x, g (x) = x -, h (x) = x - 2, ƒ si x (x) = x Discuter la covergece simple et uiforme de ces suites de foctios Exercice 3 Ue suite (f ) de foctios coverge uiformémet sur chacu des itervalles [a,b] et ]b,c] Motrer qu'elle coverge uiformémet sur [a,c] Exercice 4 O cosidère ue foctio f dot la dérivée est uiformémet cotiue sur u itervalle [a, + [ Motrer que la suite de terme gééral f x + - f (x) coverge uiformémet vers f ' sur le même itervalle Exercice 5 (Partiel 99) Motrer que la suite de foctios défiie par f (x) = Arctg x + - Arctg x - coverge uiformémet sur È

8 Exercice 6 Etudier la covergece uiforme sur ]0, + [ de la suite f (x) = mi, x Exercice 7 Covergece simple et uiforme (et sur quels itervalles?) des suites de terme gééral : si x + 4π 2 2 x,,, 2 x( - x) + x + x [0, ] Exercice 8 (Partiel 993) O cosidère la suite de foctios de I = [0, + [ das È défiie par f (x) = Arctg + x + x ) Etudier la covergece simple de la suite f sur I 2) Pour tout etier 0 o pose : x I, g (x) = f (x) + Arctg x π 2 Motrer que pour tout 0, g est ue foctio croissate sur I E déduire que la suite (f ) coverge uiformémet sur I Exercice 9 Etudier la covergece de la suite de foctios défiies sur [0,] par f (x) = e -x + x 2 + x [0,] La covergece est-elle simple? uiforme? E déduire la ature de la suite umérique u = e -x + x 2 dx + x 0, x Exercice 0 Etudier la covergece uiforme sur È de la suite (f ) défiie par : f (x) = Log x si x < 0 ou x > 0 si 0 x,

9 Exercice Soit (f ) la suite de foctios défiie par : f (x) = x 2 si + pour x È - {0} x pour x = 0 Motrer que f coverge uiformémet sur tout itervalle de È, mais e coverge pas uiformémet sur È III Séries de foctios Soit (f ) ue suite de foctios d'u esemble E das È (ou Â) La série de foctios (S ) défiie par : f de terme gééral f est, par défiitio, la suite de foctios x E, S (x) = k = 0 f k (x) Défiitio ) La série f est dite simplemet covergete sur ue partie A de E lorsque la suite (S ) est simplemet covergete sur A 2) La série f est dite uiformémet covergete sur ue partie A de E lorsque la suite (S ) coverge uiformémet sur A Notatio Lorsque la série f coverge simplemet sur A, la limite de la suite (S ) est appelée somme de la série sur A et otée, pour x A, S(x) ou ecore f (x) = 0 Pour les séries, o dispose d'ue autre otio de covergece, souvet d'utilisatio

10 Ue série de foctios f défiie sur E est dite ormalemet covergete sur A «E lorsqu'il existe ue série a, à termes réels positifs, telle que : i) x A, f (x) a ii) la série a coverge Remarque Cette défiitio équivaut à dire que les f sot borées sur A et que la série umérique Sup x A f (x) est covergete Exemples ) si(x) 2 coverge ormalemet sur È car si(x) 2 2 pour tout x È 2) e - x + 2 coverge ormalemet sur È + car 0 e - x pour tout x 0 Théorème Toute série f ormalemet covergete sur A est uiformémet covergete sur A Attetio : ue série peut être uiformémet covergete sur A sas y être ormalemet covergete Cotre-exemple Si x [0, ], la série (-) x 'est pas ormalemet covergete sur [0, ] puisque Sup (-) x = terme gééral d'ue série divergete

11 R (x) (-)+ x pour tout x [0, ] ce qui sigifie que R (x) coverge uiformémet vers zéro sur [0, ] Les théorèmes vus au paragraphe III peuvet être appliqués aux suites des sommes partielles de séries de foctios et coduiset aux résultats suivats : Théorème de cotiuité Soiet I u itervalle de È o réduit à u poit et das È (ou Â) Soit a I O suppose que : f ue série de foctios de I a) Pour tout, f est cotiue e a (resp sur I) b) f coverge uiformémet sur I Alors S(x) = f (x) est cotiue e a (resp sur I) = 0 Théorème d'iterversio de b et a Soit (f ) ue suite de foctios cotiues de [a, b] das È (ou Â) telle que la série f soit uiformémet covergete sur [a, b] La série b a f (x) dx est covergete et o a : = 0 b a b f (x) dx = a = 0 f (x) dx Théorème de dérivatio Soiet I u itervalle de È o réduit à u poit et (f ) ue suite de foctios de I das È (ou Â) O suppose que : a) Pour tout, f est dérivable (resp C ) sur I b) La série f ' coverge uiformémet sur tout itervalle fermé, boré [a, b]

12 c) Il existe x 0 I tel que f (x 0 ) coverge Alors : ) La série f coverge uiformémet sur tout itervalle fermé, boré [a, b] coteu das I 2) La somme S(x) = f (x) est dérivable (resp C ) sur I et o a S '(x) = f = 0 = 0 ' (x) Exemples de mise e oeuvre des théorèmes précédets ) - x e Si f (x) = + 2 o a déjà vu que la série 0 f coverge ormalemet sur - x e È +, et comme f est cotiue, o e déduit que la foctio S(x) = + 2 est = 0 cotiue sur È + O a par ailleurs f ' (x) = - e - x + 2 et la série 0 f ' (qui diverge e x = 0) coverge ormalemet sur tout itervalle [a, +[ si a > 0 car : f ' (x) e - a + 2 pour tout x a Le théorème de dérivatio motre alors que S(x) est de classe C sur ]0, +[ avec S '(x) = - = 0 e - x + 2 2) Si f (x) = (-) ] et par suite S(x) = x o a vu que la série = (-) Les f sot C, f ' (x) = (-) x - x est cotiue sur [0, ] et la série f coverge uiformémet sur [0, coverge ormalemet sur tout itervalle [0, a] avec a ]0, [ car : f ' (qui diverge e x = ) (-) x - a - pour tout x [0, a]

13 () S '(x) = = (-) x - = - + x pour tout x [0, ] O a doc S(x) + ( + x) costat sur [0, [ et, e regardat x = 0 : S(x) = - ( + x) sur [0, [ Efi, S état cotiue sur [0, ] o a : S() = = (-) = lim - S(x) = lim (- ( + x)) = Remarque Si o part de la formule () avec covergece ormale de la série sur [0, a] o peut appliquer le théorème d'itégratio des sommes de série et o obtiet : a a ]0, [, 0 - dx a + x = 0 (-) x - dx = = = a 0 (-) x - dx soit - ( + a) = (-) a = Le théorème de cotiuité sur [0, ] doe alors, comme ci-dessus : S() = = (-) = - 2 Exercice 2 Covergece uiforme de la série de foctios : u (x) = -å x 2 e -x2 ; å > 0, x È Exercice 3 Même questio pour : u (x) = x å ( x) ; å >, 0 x Quelques méthodes pour démotrer qu'il 'y a pas de covergece uiforme

14 ) u (x) = x ( x), 0 x x 2 2) u (x) = ( + x 2 ), x È O pourra comparer la régularité de la foctio somme avec celle de u (x) Exercice 5 O cosidère la série de foctios : u (x) = ( ) x2 + 2, x È Motrer qu'il existe ue suite (a ) de réels telle que la suite umérique de terme gééral u (a ) e coverge pas vers 0 Covergece simple, uiforme de la série de foctios Cotiuité Dérivabilité Itégrabilité Exercice 6 (Partiel 989) Nature de la série de foctio u (x) avec u (x) = 2 e x2 3 + Etudier la cotiuité de la somme de cette série sur È* Exercice 7 (Partiel 990) Etudier la covergece de la série de foctios u (x) avec u (x) = x ( + 2 x 2 ), Motrer que la somme de cette série est ue foctio cotiue sur È et dérivable sur ], 0[ Ù ]0, + [ Exercice 8 (Partiel 992) Soit t È O pose f(t) = t lorsque la série est covergete = Motrer que la foctio f est défiie cotiue et dérivable das l'itervalle ], [ Exercice 9 Covergece simple et uiforme de f(x) = si x 3 pour x È

15 Exercice 20 x O défiit, pour x 0, f(x) par : f(x) = ( + 2 x) = Etudier la dérivabilité de f, otammet e 0, à droite Exercice 2 Motrer que la foctio f(x) = si (2 x) est de classe C = Exercice 22 ) Quel est le domaie de défiitio, fl, de la foctio f : = 0 Motrer que f est cotiue sur fl + 2) Quel est le domaie de défiitio fl, de la foctio g : Motrer que g est de classe C sur fl = 0 (- ) e x +? ( ) e x 2 +? Exercice 23 Nature et somme de la série de terme gééral u = ( ) 0 π / 2 cos x dx