SERIE S EPREUVE DE MATHEMATIQUES. Durée : 4h Coefficient : 7 ou 9
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- Thérèse Jolicoeur
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1 BACCALAUREAT BLANC 2014 LYCEE DES ILES SOUS LE VENT SERIE S EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : 4h Coefficiet : 7 ou 9 La calculatrice est autorisée, mais est pas échageable de cadidat e cadidat. La qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies Le cadidat doit traiter les quatre exercices. Exercice 1 Commu à tous les cadidats Das cet exercice, les résultats serot arrodis à 10 4 près. 5 poits Partie A E utilisat sa base de doées, la sécurité sociale estime que la proportio de Fraçais présetat, à la aissace, ue malformatio cardiaque de type aévrisme est de 10%. L étude a égalemet permis de prouver que 30% des Fraçais présetat, à la aissace, ue malformatio cardiaque de type aévrisme, serot victimes d u accidet cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportio atteit plus que 8% pour ceux qui e souffret pas de cette malformatio cogéitale. O choisit au hasard ue persoe das la populatio fraçaise et o cosidère les évèemets : M : «La persoe présete, à la aissace, ue malformatio cardiaque de type aévrisme» C : «La persoe est victime d u accidet cardiaque au cours de sa vie». 1. a. A l aide d u arbre, motrer que P(M C)= 0,03. b. Calculer P(C). 2. O choisit au hasard ue victime d u accidet cardiaque. Quelle est la probabilité qu elle présete ue malformatio cardiaque de type aévrisme? Partie B La sécurité sociale décide de lacer ue equête de saté publique, sur ce problème de malformatio cardiaque de type aévrisme, sur u échatillo de 400 persoes, prises au hasard das la populatio fraçaise. O ote X la variable aléatoire comptabilisat le ombre de persoes de l échatillo présetat ue malformatio cardiaque de type aévrisme. 1. Défiir la loi de la variable aléatoire X. 2. Détermier P(X = 35). 3. Détermier la probabilité que 30 persoes de ce groupe, au mois, présetet ue malformatio cardiaque de type aévrisme. 4. E moyee, combie de persoes devraiet préseter ue malformatio cardiaque de type aévrisme parmi les 400 persoes? Partie C 1. O cosidère la variable aléatoire F, défiie par F = X, X état la variable aléatoire de la partie B. 400 Détermier la formule de l itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95%, et détermier cet itervalle. Rappel : la sécurité sociale estime que la proportio de Fraçais présetat, à la aissace, ue malformatio cardiaque de type aévrisme est de 10%. 2. Das l échatillo cosidéré, 60 persoes présetet ue malformatio cardiaque de type aévrisme. Qu e pesez-vous?
2 Exercice 2 Commu à tous les cadidats 5 poits
3 Exercice 3 Commu à tous les cadidats 5 poits
4 Exercice 4 Pour les cadidats ayat pas choisi la spécialité mathématique 5 poits Tout résultat uiquemet doé par la calculatrice et sas autre justificatio e rapportera aucu poit. Le pla complexe est mui d u repère (0 ; u, v) et o ote i le ombre complexe (habituel) de module 1 et d argumet π 2 1 ) Résoudre l équatio 2z² - 2z 3 = 0 2 ) Soit f la foctio défiie sur l esemble C des ombres complexes par f(z) = z+3 2z 1 a) La foctio f admet-elle des valeurs iterdites? b) Détermier l image par f de z 1 = 1+ i et de z 2 = 4i c) Détermier les poits ivariats par f, c est-à-dire ceux qui sot égaux à leur image 3 ) a) Détermier u atécédet de 0 par f b) Détermier u atécédet de 1 par f c) Le ombre ½ a-t-il u atécédet par f? (Justifier) 4 ) E posat z = x + iy, détermier la partie réelle et la partie imagiaire de f(z). a) E déduire l esemble E des poits M(z) tel que f(z) soit réel. b) Puis l esemble F des poits M(z) tels que f(z) soit imagiaire pur. 5 ) a) Costruire u repère orthoormé (0 ; u, v) et y placer les poits A et B d affixe respectives z A = 2 2i et z B = - 1 i 3 b) Ecrire z A et z B sous forme trigoométrique c) Calculer la distace AB
5 Exercice 4 Pour les cadidats ayat choisi la spécialité mathématique 5 poits O étudie la populatio d'ue île das u archipel. Au 1 er javier 2013, cette île comptait habitats dot 70% résidaiet à la campage et 30% e ville. L'exame des doées statistiques de plusieurs aées permet de supposer que : L'effectif de la populatio est globalemet costat. Chaque aée, 5% de ceux qui résidaiet e ville vot s'istaller à la campage et 1% de ce qui résidaiet à la campage vot s'istaller e ville. Pour tout etier aturel, o ote d'habitats de cette île qui résidet à la campage. 1) a) Calculer v 0; c 0;v1 et c 1 v le ombre d'habitats de cette île qui résidet e ville et c le ombre b) Exprimer, pour tout etier aturel, v 1 et c e foctio de 1 v et c 2) a) Soit la matrice 0,95 0, 01 A 0, 05 0,99 O pose a X, où a et b sot deux réels fixés et o pose Y b AX. Eprimer les coefficiet des la matrice coloe Y e foctio de a et b. Les résultats précédets permettet d'écrire que X 1 AX avec v1 X 1 c1 et v X c 3) Démotrer par récurrece qu'o a alors X A X pour tout etier aturel. 0 4) Soit les matrices P et Q a) Calculer PQ et QP. E déduire la matrice 1 P, iverse de la matrice P, e foctio de Q b) Vérifier que 1 P AP D où D est ue matrice diagoale à préciser. 5) O admet que l'o peut démotrer par récurrece que pour tout etier aturel : A PD P 1 Démotrer alors que : v ,94 v 1 1 0,94 c
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Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
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