Rappels. A-Oukhai Suites géométriques 2 e Science

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1 A-Oukhai Suites géométriques e Sciece Rappels Pour motrer que u est ue suite géométrique : Soit o exprime u +1 e foctio de u et o doit trouver ue relatio de la forme u +1 qu où q est u réel qui e déped pas de q est alors la raiso de la suite Soit o costate que le terme gééral u est de la forme u a b avec a et b deux réels qui e dépedet pas de et das ce cas u est ue suite géométrique de raiso b Pour motrer qu ue suite u est pas géométrique O motre par exemple que : Ou si l u des termes est ul o peut motrer que : u 1 u 0 u u 1 u 0 u u 1 Pour motrer que a, b, c sot,das cet ordre, trois termes cosécutifs d ue suite géométrique O peut motrer que Pour exprimer u e foctio de O utilise la formule b a c u u p q -p où q est la raiso de la suite et u p pouvat être u 0, u 1, u etc Pour calculer la somme S des termes cosécutifs d ue suite géométrique : Si la raiso q 1 : Si la raiso q 1 : Les itérêts composés S ombre de termes das S 1 er terme de S S 1 er ombre de termes das S raiso terme de S raiso Quad u capital est placé à itérêts composés, l itérêt produit à la fi de la première aée est ajouté au capital, ce qui forme u deuxième capital qui produit u itérêt pedat la deuxième aée Cet itérêt ajouté à so capital forme u troisième capital qui produit u itérêt pedat cette troisième aée ; cet itérêt s ajoute à so capital et aisi de suite Soit u capital C 0 placé à x% Au bout d ue aée le capital deviet C 1 C 0 + x 100 C x 100 )C 0 Soit C le capital au bout de -aées, au bout de +1)- aées le capital est C +1 C + Aisi C x ) C 100 x 100 C L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 1/ 1

2 Suites géométriques Exercices et problèmes 1 Cocher la boe répose 1 La suite u ) défiie par u 5 +1 est ue suite : Arithmétique Géométrique i arithmétique, i géométrique La suite u ) défiie par u est ue suite : Arithmétique Géométrique i arithmétique, i géométrique La suite u ) défiie par u 1 est ue suite + 1 Arithmétique Géométrique i arithmétique, i géométrique La liste des termes cosécutifs d ue suite sot les suivats : 00, 000, 0000 Il s agit alors des termes cosécutifs d ue suite : Arithmétique Géométrique i arithmétique, i géométrique 5 u ) est ue suite géométrique de raiso q et de premier terme u 1 1 alors : u 6 8 u 6 8 u t est ue suite géométrique de raiso et de premier t 1 alors la suite v défiie par v t t +1 est ue suite géométrique de raiso : 6 Soit u ) la suite défiie par : 1 Calculer u, u, u, u 5 Motrer que la suite de terme gééral est ue suite géométrique v u N ) u 1 1 u u E déduire l expressio de v e foctio de puis celle de u Soit la suite u défiie par u 1 1 u ) u + ) + + 1), N 1 a Calculer u, u, u b La suite u est elle arithmétique? est elle géométrique? O pose pour N, v u ) a Motrer que v est ue suite géométrique b Exprimer v puis u e foctio de Soit u ue suite géométrique de premier terme u 0 1 et de raiso r Soit v la suite défiie par : v 0 et pour tout N ; v +1 v + u 1 Calculer v 1, v et v Pour tout N ; o pose w v u a Motrer que la suite w est arithmétique b E déduire l expressio de v e foctio de 5 Soit la suite u ) défiie par : pour tout N, u Calculer : u 0, u 1, u et u Soiet les suites umériques de termes gééraux,v et w défiies par : Pour tout N, v et w 5 6 a Nature des suites v et w b Calculer les sommes suivates : T v 0 + v v 9, R w 0 + w 1 + w + + w 9 S u 0 + u 1 + u + + u 9 6 Soit u la suite défiie par : u 0 0, et pour tout 0, u +1 + u 1 + u 1 a Calculer : u 1, u et u b u est elle arithmétique? est elle géométrique? O pose v u 1 u + 1 a Motrer que v ) est géométrique b Exprimer alors v puis u e foctio de 7 Soit u la suite défiie par : u 0 0, et pour tout 0, u +1 1 u + 1 a Calculer u 1 et u b La suite u est-elle arithmétique? Géométrique? Soit v la suite défiie par v u a Motrer que v est géométrique b Exprimer v puis u e foctio de L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page / 1

3 A-Oukhai Suites géométriques e Sciece Calculer, e foctio de, les sommes S v 1 + v + v + + v T u 1 + u + u + + u u 0 8 Soit la suite u défiie par u u + 1 a Calculer : u 1, u et u b u est elle arithmétique? est elle géométrique? Soit v la suite défiie sur N par v u + a a Détermier a de faço que la suite v soit géométrique b Exprimer v e foctio de c Calculer S v + v v +1 Détermier P u + u u +1 O pose w v ; Motrer que w est ue suite arithmétique u Soit la suite u défiie par u u + 1 Soit v la suite défiie par v u Motrer que v est ue suite géométrique Exprimer v e foctio de puis motrer que u Motrer que u t + w où t ) et w ) sot resp suite arithmétique et géométrique Calculer T t 0 +t 1 + +t et W w 0 +w 1 + +w puis e déduire U u 0 + u u 10 Soit la suite u défiie sur N par u 0 0 u +1 u + 1 O cosidère la suite v défiie par : v u + u 1 Motrer que v est ue suite géométrique a Calculer S v 0 + v v -1 b E déduire u e foctio de 11 Questios idépedates 1 Soit u ue suite géométrique de raiso q Calculer : a u ; u 5 ; u 7 ; u 0 sachat que u 0 et q b S u u 6 sachat que u 0 5 et q c u 1 et S u u sachat que q et u 5 a Calculer S b E déduire B Soit T ) N la suite défiie par : T 1 et ) v la suite défiie par : v T N Motrer que v est ue suite géométrique dot o précisera la raiso Soit T ue suite géométrique de raiso q q ) N 0) et de premier terme T 0 a Détermier q et T sachat que : T 0 1 et T b Détermier T T -, sachat que T + + c Détermier T 1 et T 6 sachat que q 1 et T T Soiet u et v deux suites défiies sur N : u 0 0 et u u et v 0 et v v 1 Calculer u 1, u, u, v 1, v, v Soiet s et d les suites défiies sur N par : s u + v et d v u a Calculer s 0 b O suppose que s, démotrer alors que s +1 c Que peut o coclure? a Démotrer que d est ue suite géométrique b Exprimer d e foctio de c Déduire alors u et v e foctio de 1 O cosidère la suite u défiie par : u 0 1 et u +1 1 u + 1) 1 a Calculer u 1, u, u et u b La suite u est-elle arithmétique? est elle géométrique? Soit v u + a Calculer v 0, v 1, v b Motrer que u +1 1 v + c Motrer que v est ue suite géométrique d Calculer S v 0 + v v 9 et P v 0 v 1 v 99 a Motrer que u + u +1 v L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page / 1

4 Suites géométriques b E déduire la somme T u 0 + u 1 + u + + u 99 1 O cosidère la suite u défiie par u 0 1 u u u u Calculer u 1, u, u, u O cosidère les suites v et w défiies par : v u ; Nw u + 1 ; N Motrer que v et w sot deux suites géométriques Exprimer v et w e foctio de, déduire u et u + 1 e foctio de Calculer S u 0 + u u Le pla est rapporté à u repère orthoormé O; #» ı, #» j ) O cosidère das ce repère les poits : A 1 ; 5), B5 ; ) et I le milieu de [AB] Soit G ) N la suite de poits défiie par : G 0 O Pour etier aturel, G +1 est le barycetre de {G ; ), A ; 1), B ; 1)} O appelle x ; y ) les coordoées de G 1 a Costruire G 1, G et G b Motrer que G 1, G et G sot aligés c Motrer que quel que soit, G +1 est l image de G par l homothétie de cetre I et de rapport k à préciser O a cosidère la suite u ) N défiie par u x a Motrer que u est ue suite géométrique de premier terme et de raiso 1 b Exprimer u e foctio de c Déduire que pour tout, x 1 ) 16 U jeue homme se préparait à l exame du baccalauréat ; so père, pour l ecourager, lui demada ce qu il désirait e récompese Mo exame devat avoir lieu le 0 jui, répod-t-il, doe moi seulemet 1 millime le 1er jui, millimes le ledemai, millimes le surledemai, e doublat chaque jour jusqu au 0 iclusivemet J emploierai cet arget à faire u voyage pedat les vacaces Le père pesa qu avec cette somme so fils irait pas loi ; mais au bout de quelques jours, il commeça à s apercevoir de so erreur Avec quelle somme le fils va-t-il pouvoir partir e vacaces? 17 Partie A Au 1 er javier 001, ue ville avait ue populatio de habitats U bureau d étude fait l hypothèse qu à partir du 1 er javier 001 : le ombre d habitats de la ville augmete chaque aée de 5 % du fait des aissaces et des décès du fait des mouvemets migratoires, 000 persoes supplémetaires vieet s istaller chaque aée das cette ville PARTIE A : Pour tout etier aturel, o ote u le ombre d habitats de cette ville au 1er javier de l aée ) Calculer u 0, u 1, et u ) Justifier que, pour tout etier aturel, u +1 1,05 u ) Pour tout etier aturel, o pose v u a / Calculer v 0 b / Motrer que v ) est ue suite géométrique c / Exprimer v e foctio de d /Déduire que u ,05) PARTIE B Le but de cette partie est de prévoir l évolutio de la populatio jusqu à 010 E utilisat le modèle étudié à la partie A 1) Détermier le ombre d habitats de cette ville au 1 er javier 010 ) À partir de quelle aée la populatio de cette ville dépassera-t-elle habitats? 18 Ue ville emprute TD qu elle doit rembourser e 5 paiemets auels égaux, dot le premier aura lieu u a après l emprut, le taux de l itérêt état,50% Quelle est la somme à payer chaque aée? L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page / 1

5 A-Oukhai Suites géométriques e Sciece Correctio des exercices et problèmes 1 1 La suite u ) défiie par u 5 +1 est ue suite : Arithmétique ; Géométrique ; i arithmétique, i géométrique E effet : u Aisi u est de la forme a b avec a 5 et b 5 d où u est ue suite géométrique de raiso q b 5 La suite u ) défiie par u est ue suite : Arithmétique Géométrique i arithmétique, i géométrique E effet : u Aisi u est de la forme a + b avec a 1 et b 1 r b 1 d où u est ue suite arithmétique de raiso La suite u ) défiie par u 1 est ue suite + 1 Arithmétique Géométrique i arithmétique, i géométrique E effet : u 0 1 u 1 1 u 1 Par suite u u 0 u u 1 et u 1 u, aisi la suite u 0 u 1 u est i arithmétique i géométrique La liste des termes cosécutifs d ue suite sot les suivats : 00, 000, 0000 Il s agit alors des termes cosécutifs d ue suite : Arithmétique Géométrique i arithmétique, i géométrique E effet : , Aisi 00, 000, 0000 sot trois termes cosécutifs d ue suite géométrique 5 u ) est ue suite géométrique de raiso q et de premier terme u 1 1 alors : u 6 8 u 6 8 u 6 16 E effet : u u p q p u 6 u 1 ) ) 8 6 t est ue suite géométrique de raiso et de premier t 1 alors la suite v défiie par v t t +1 est ue suite géométrique de raiso : 6 E effet : v +1 t +1 t + t t +1 t t +1 v Aisi v est ue suite géométrique de raiso q Soit la suite u la suite défiie par : u 1 1 u u 1 a Calcul de u, u, u, u 5 O a : u O a : u O a : u 1 u u u L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 5/ 1

6 Suites géométriques 5 O a : u 5 u b O a u u 1 9 et u u 5 81 d où u u u u Aisi u est pas arithmétique O a u u 1 et u 1 u, d où, aisi u u u 1 u u est pas géométrique O pose pour N, v u Motros que la suite v est ue suite géométrique u +1 O a : v u u 1 v D où v est ue suite géométrique de raiso q 1 et de premier terme v 1 u Expressio de v e foctio de O a : v v 1 q 1 1 ) 1 1 ) 1 Expressio de u e foctio de : O a a v u sigifie u v 1 Soit la suite u défiie par u 1 1 u ) u + ) + + 1), N 1 a Calculos u, u, u Calcul u u 1 u Calcul u Calcul u u u u u u u 1 b O a u u d où u u 1 u u d où la suite u est pas arithmétique u u O a 1 u d où u u u 1 u u d où la suite u est pas géométrique O pose pour tout : N, v ) u a Motros que v est ue suite géométrique : v ) u +1 ) + 1) + 1) u + )) + ) + 1) + 1) 6 + 1) u + ) + 1) u 1 u ) 1 v Aisi v est ue suite géométrique de raiso 1 et de premier terme v 1 u 1 ) b Exprimos v e foctio de : O a : v v 1 q Exprimos u e foctio de : O a : v u ) L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 6/ 1

7 A-Oukhai Suites géométriques e Sciece sigifie u v 1 1 Aisi : u 1 1 b Déduisos l expressio de v e foctio de O a w w 0 + r + 1 Or w v d où u v u w + 1 Soit u ue suite géométrique de premier terme u 0 1 et de raiso r Soit v la suite défiie par : v 0 et pour tout N ; v +1 v + u 1 Calculos v 1, v et v Calcul de v 1 : 5 Soit la suite u ) défiie par : pour tout N, u Calculos : u 0, u 1, u et u Calcul de u 0 : u Calcul de v : v 1 v 0 + u Calcul de u 1 : u v v 1 + u Calcul de u : u Calcul de v : v v + u 10 + Pour tout N ; o pose w v u a Motros que la suite w est arithmétique v +1 v +1 u +1 v + u u v u + 1 w + 1 d où w + w 1, aisi w est ue suite arith- métique de raiso 1 et de premier terme w 0 v 0 u 0 Calcul de u : Calcul de u : u u Soiet les suites umériques de termes gééraux,v et w défiies par : Pour tout N, v et w 5 6 a Nature des suites v et w O a v, c est de la forme a b avec a 1 et b, doc v est ue suite géométrique de raiso b et de premier terme v 0 1 O a w 5 6, c est de la forme a + b avec a 5 et b 6, doc w est ue suite arithmétique de raiso a 5 et de premier terme w 0 6 L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 7/ 1

8 Suites géométriques Calcul de T v 0 + v v 9 Il s agit de la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique d où : T v Calcul de R w 0 + w w 9 Il s agit de la somme des termes cosécutifs d ue suite arithmétique d où : R 0 w 0 + w 9 ) ) Calcul de S u 0 + u 1 + u + + u 9 O doit remarquer que : u v w S u 0 + u 1 + u + + u 9 v 0 w 0 ) + v w 1 ) + + v 9 w 9 ) v 0 + v v 9) w 0 + w w 9) a Motros que v ) est géométrique T R Soit u la suite défiie par : u 0 0, et pour tout 0, u +1 + u 1 + u 1 a Calculos : u 1, u et u Calcul de u 1 u 1 + u u Calcul de u u u 1 + u b u est elle arithmétique? est elle géométrique? u u 0 O a u u 1 6 d où u u 0 u u 1 5 doc u est pas arithmétiques { u0 u O a 0 u 1 d où u 0 u u 1 doc u est pas géométrique O pose v u 1 u + 1 u +1 u + 1 u u u + u u u + u 1 u 1 u v Aisi v est ue suite géométrique de raiso q 1 et de premier terme v 0 1 b Exprimos alors v puis u e foctio de Calcul de u u 5 + u u Exprimos alors v e foctio de : v v p q p v 0 q 1 ) L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 8/ 1

9 A-Oukhai Suites géométriques e Sciece Exprimos u e foctio de : O a v u 1 u + 1 sigifie v u + 1) u 1 sigifie sigifie sigifie v u u v u v 1) v u 1 + v v sigifie u 1 ) ) D où v est ue suite géométrique de raiso q 1 et de premier terme v 0 u 0 b Exprimos v puis u e foctio de Exprimos v e foctio de v v p q p v 0 q 1 ) Exprimos u e foctio de : 7 Soit u la suite défiie par : u 0 0, et pour tout 0, u +1 1 u + 1 a Calculos u 1 et u Calcul de u 1 Calcul de u u 1 1 u u 1 u b La suite u { est-elle arithmétique? Géométrique? u u O a 0 u u 1 1 d où u u 0 u u 1 doc u est pas arithmétiques { u0 u O a 0 u 1 d où u 0 u u 1 doc u est pas géométrique Soit v la suite défiie par v u a Motros que v est géométrique v +1 u + 1 u + O a v u sigifie u v + 1 sigifie u Calculos, e foctio de, les sommes S v 1 + v + v + + v T u 1 + u + u + + u Calcul de S Calcul de T S v 0 + v v ) +1 1 v ) T u 0 + u u v 0 + ) + v 1 + ) + + v + ) v 0 + v v ) ) S + + 1) ) 8 ) + ) 1 ) 1 u 1 u ) 1 v 8 Soit la suite u défiie par 1 a Calculos : u 1, u et u u 0 u u + L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 9/ 1

10 Suites géométriques Calcul de u 1 b Exprimos v e foctio de u 1 1 u Calcul de u u 1 u Calcul de u u 1 u v v p q p v 0 q 1 1 ) ) 1 c Calculos S v + v v +1 Il s agit de la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso q 1 1 dot le ombre des termes est + S v q + q ) 1 1 ) ) ) ) 1 1 ) 1 Détermios P u + u u +1 b u est elle arithmétique? est elle géométrique? u u 0 O a u u 1 d où u u 0 u u 1 doc u est pas arithmétiques { u0 u O a 17 u 1 5 d où u 0 u u 1 doc u est pas géométrique Soit v la suite défiie sur N par v u + a a Détermios a de faço que la suite v soit géométrique v +1 u +1 + a 1 u + + a 1 u a) Doc v est ue suite géométrique si et seulemet si 1 + a a sigifie a 6 Par suite la suite v défiie par v u 6 est ue suite géométrique de raiso 1 et de premier terme v 0 u 0 6 P u + u u +1 v + 6) + v ) + + v ) v + v v +1 ) ) S + + ) 6 1 ) 1 1 ) ) O pose w v ; Motros que w est ue suite arithmétique w w v 1 ) 1 ) ) ) ) 1 Aisi w est de la forme a + b avec a et b, d où w est ue suite arithmétique de raiso r a u Soit la suite u défiie par u u + 1 Soit v la suite défiie par v u L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 10/ 1

11 A-Oukhai Suites géométriques e Sciece 1 Moteros que v est ue suite géométrique v +1 u ) + 15 ) 1 u ) + 15 u + 5 Calculos T t 0 + t t et W w 0 + w w puis déduisos U u 0 + u u Calcul de T Il s agit de la somme des termes cosécutifs d ue suite arithmétique doc : 1 u ) 1 v D où v est ue suite géométrique de raiso q 1 et de premier terme v 0 u Exprimos v e foctio de puis motros que u Exprimos v e foctio de Motros que u 19 v v p q p v 0 q ) O a v u sigifie u v sigifie u 1 v ) sigifie u 1 v sigifie u 19 ) Motrer que u t + w où t ) et w ) sot resp suite arithmétique et géométrique Posos t 6 15, c est de la forme a + b avec a 6 et b 15, doc t est ue suite arithmétique de raiso r a Posos w 19 avec a 19 1, c est de la forme a b doc w est ue suite géométrique de raiso q b 1 Aisi u t + w où t ) et w ) sot resp suite arithmétique et géométrique T t 0 + t t + 1 t 0 + t ) Calcul de W : ) ) 5) 15 Il s agit de la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique doc : Calcul de U : W w 0 + w w q +1 w 0 q ) +1 1 ) +1 U u 0 + u u t 0 + w 0 ) + t 1 + w 1 ) + + t + w ) t 0 + t t ) + w 0 + w w ) T + W + 1) 5) Soit la suite u défiie sur N par u 0 0 u +1 u ) +1 O cosidère la suite v défiie par : v u + u L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 11/ 1

12 Suites géométriques 1 Motros que v est ue suite géométrique b Calculos S u 1 + +u 6 sachat que u 0 5 v u + u 1 ) 1 Doc v est de la forme ab avec a 1 et b 1, d où v est ue suite géométrique de raiso 1 a Calculos S v 0 + v v -1 Il s agit de la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique : S v 0 + v v 1 q v 0 q 1 1 ) 1 ) ) 1 b Déduisos u e foctio de S v 0 + v v 1 u u 0 ) + u u 1 ) + + u u 1 ) u 1 + u + + u 1 + u ) u 0 + u u 1 ) u 1 + u + + u 1 + u ) u 0 + u u 1 ) u u 0 u Aisi u S 1 11 Questios idépedates 1 Soit u ue suite géométrique de raiso q a Calculos u ; u 5 ; u 7 ; u 0 sachat que u 0 et q u u p q p u u 0 q 18 u 5 86 u 7 7 u et q O a u 1 q u 0 5 ) 75 S u 1 + u + + u 6 q 6 u 1 q ) ) c Calculos u 1 et S u u sachat que q et u 5 Calcul de u 1 O a u 1 u q calcule de S u u S u 1 + u + + u u 1 q q ) 1 a Calculos S Il s agit de la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso q 1 d où : S ) ) 1 ) ) Aisi S 1 ) +1 1 ) +1 1 ) +1 L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 1/ 1

13 A-Oukhai Suites géométriques e Sciece b Déduisos B Calcul de T : B ) ) ) 1 10 T T p q p T T 0 q 1 8 S ) 11 1 ) ) 11 1 b Détermios T T -, sachat que T + + Soit T ) N la suite défiie par : T 1 et v ) N la suite défiie par : v T Motros que v est ue suite géométrique dot o précisera la raiso : O a T est de la forme a + b avec a et b 1 doc T est ue suite arithmétique de raisos v T v +1 T +1 T + T 9 v Aisi v est ue suite géométrique de raiso q 9 et de premier terme v Soit T ue suite géométrique de raiso q q ) N 0) et de premier terme T 0 a Détermier q et T sachat que : T 0 1 et T Calcul de q : sigifie sigifie T T p q p T T 0 q 1 q q 8 q ) q Nature de la suite T T Aisi T est ue suite géométrique de raiso de Calcul de S T T - Il s agit de la somme des termes cosécutif d ue suite géométrique dot le ombre de termes et 6 d où q 6 S T 5 q ) 6 ) 6 ) c Détermios T 1 et T 6 sachat que q 1 et T T 6 6 L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 1/ 1

14 Suites géométriques Calcul de T 1 T 1 + T + + T 6 T 1 q 6 sigifie q 6 T 1 ) 6 1 a Démotrer que d est ue suite géométrique b Exprimer d e foctio de c Déduire alors u et v e foctio de sigifie 1 6 T 1 1 ) 6 sigifie T ) T 1 Calcul de T 6 O a T 6 T 1 q 5 T Soiet u et v deux suites défiies sur N : u 0 0 et u u et v 0 et v v 1 Calculos u 1, u, u, v 1, v, v u u u 1 + u u 1 + u v v v 1 + v v 1 + v Soiet s et d les suites défiies sur N par : s u + v et d v u a Calculer s 0 b O suppose que s, démotrer alors que s +1 c Que peut o coclure? L-P-ARIANA Aées scolaire 01/01 Page 1/ 1