Exercice 8 [ ] [Correction] Soit α R. Quel est le rayon de convergence de n 1 cos(nα)

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1 [ édité le 28 décembre 26 Eocés Séries etières Calcul de rayo de covergece cocret Exercice [ 97 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : Exercice 6 [ 2842 ] [Correctio] Quel est le rayo de covergece de π 2 +2 x 2? Exercice 7 [ 284 ] [Correctio] O ote a la -ième décimale de 3. Quel est l itervalle de défiitio de + a x? a) z b) e 2 z c) l 2 z 2 d)! z3 Exercice 8 [ 2843 ] [Correctio] Soit α R. Quel est le rayo de covergece de cosα) x? Exercice 2 [ 354 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece de : a)!z b) ) z 2 c) 3)! z!) 3 d) + ) + z Exercice 9 [ 973 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates : d)z et s)z où d) et s) désiget respectivemet le ombre de diviseurs supérieurs à de l etier et la somme de ceux-ci. Exercice 3 [ 972 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : a) z 2 b) si)z c) si) z 2 Exercice 4 [ 3298 ] [Correctio] a) Détermier les rayos de covergece des séries etières ) + l x et sie )x b) Ue série etière coverge-t-elle ormalemet sur so disque ouvert de covergece? Exercice 5 [ 3383 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece de la série etière a x où a ) est la suite détermiée par a α, a β et N, a +2 2a + a avec α, β) R 2. Exercice [ 3483 ] [Correctio] Soit α u réel irratioel fixé. O ote R α le rayo de covergece de la série etière a) Démotrer que R α. b) O cosidère la suite u ) défiie par Démotrer que pour tout etier x siπα) u 2 et, u + u ) u u u + + ) E déduire que la série de terme gééral /u coverge. Das la suite, o pose α et o admet que α est irratioel. u Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 2 c) Démotrer qu il existe ue costate C strictemet positive telle que, pour tout etier : πu C u k d) Démotrer que R α. k+ u u e) Questio subsidiaire : démotrer que α est effectivemet irratioel. Éocé fouri par le CENTRALE-SUPELEC CC)-BY-NC-SA Calcul de rayo de covergece abstrait Exercice [ 977 ] [Correctio] Soiet a z ue série etière de rayo de covergece R et z C. O suppose que a z est semi-covergete. Détermier R. Exercice 2 [ 975 ] [Correctio] O suppose que a l R + {+ }. Détermier le rayo de covergece de a z. Exercice 6 [ 339 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R >. Détermier le rayo de covergece de a! z Exercice 7 [ 2523 ] [Correctio] Soit ue série etière a z de rayo de covergece o ul. a) Motrer qu il existe u réel r > tel que a /r à partir d u certai rag. b) Quel est le rayo de covergece de la série etière a! z? c) O ote S k a k. Quel est le rayo de covergece de la série etière S! z? Exercice 8 [ 3484 ] [Correctio] Soit a ) ue suite de réels tous o uls. Quelle relatio lie les rayos de covergece des séries etières ci-dessous a z et z a Exercice 3 [ 978 ] [Correctio] Motrer que pour tout α R les séries etières a z et α a z ot même rayo de covergece. Exercice 4 [ 974 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Détermier le rayo de covergece de la série etière a z 2. Exercice 5 [ 33 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Détermier le rayo de covergece de a 2 z Exercice 9 [ 976 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. O pose b a + a et o ote R le rayo de covergece de b z. a) Motrer que R max, R) b) Établir que si R > alors R R. c) Exprimer alors R e foctio de R. Exercice 2 [ 979 ] [Correctio] Soiet a z et b z deux séries etières de rayo de covergece R a et R b. O suppose que pour tout N, a b. Motrer que le rayo de covergece de a + b )z est R mir a, R b ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 3 Domaie de covergece Exercice 2 [ 2855 ] [Correctio] Pour N, o pose a) Détermier la limite de I ). b) Doer u équivalet de I ). I e t dt c) Détermier le rayo de covergece R de la série etière de terme gééral I x. Étudier sa covergece e R et e R. Exercice 22 [ 36 ] [Correctio] Pour p, q N, o pose a) Calculer Ip, q). Ip, q) t p t) q dt b) La série de terme gééral u I, ) est-elle covergete ou divergete? c) Doer le domaie de défiitio réel de la série etière de u x. Étude de la somme d ue série etière cocrète Exercice 23 [ 337 ] [Correctio] Soit f ) la suite des foctios doée par 2, x R, f x) ) l)x a) Détermier le rayo de covergece de la série etière f. O ote S sa somme. b) Motrer que x ] ; [, S x) + x c) E déduire que S admet ue limite e et que lim x S x) 2 ) + l + ) x + ) + l + ) d) Calculer la limite ci-dessus e utilisat la formule de Wallis Exercice 24 [ 38 ] [Correctio] 3 2 ) lim ) a) Étudier la covergece et préciser la limite évetuelle de a ) défiie par b) Rayo de covergece de a x a + l + a ) et a > c) Étudier la covergece de a x ) sur le bord de l itervalle de covergece o pourra étudier la limite de /a + /a et utiliser le théorème de Cesaro) Exercice 25 [ 3653 ] [Correctio] Pour x réel, o pose f x) x a) Détermier le rayo de covergece R de la série etière défiissat f. b) Étudier la covergece de la série etière e et e. c) Établir la cotiuité de f e. d) Détermier la limite de f e. Exercice 26 [ 389 ] [Correctio] a) Doer l itervalle de défiitio I de la foctio s qui au réel x associe sx) x b) Quel est le sige de s sur I R +? Quelle est la limite de s e l extrémité droite de I R +? c) Écrire x)s x) sous forme d ue série et e déduire le sige de s sur I. d) Étudier la covexité de f défiie sur R + par E déduire que la foctio s est covexe. f x) x + x ) x π Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 4 Exercice 27 [ 32 ] [Correctio] Soit f : x ) si x a) Détermier le rayo de covergece R de la série etière défiissat f. b) Étudier la covergece e R et e R. c) Détermier la limite de f x) quad x. d) Motrer que quad x x) f x) Exercice 28 [ 3663 ] [Correctio] O pose Motrer que z C, cz) ) ) 2)! z2 et sz) 2 + )! z2+ z C, cz) 2 + sz) 2 Étude de la somme d ue série etière abstraite Exercice 29 [ 98 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R > et de somme f. a) Exprimer + a 2 z 2 e foctio de f pour z < R. b) Même questio avec + a 3 z 3. Exercice 3 [ 983 ] [Correctio] Soit a ) ue suite o ulle et T périodique avec T N ). a) Détermier le rayo de covergece de la série etière a x. b) Simplifier T k a k x k. E déduire que + a x est, pour tout x ] ; [, ue fractio ratioelle e x. a) Détermier le rayo de covergece de la série etière défiissat g. b) Pour tout x ] ; [, exprimer gx) e foctio de f x). Exercice 32 [ 982 ] [Correctio] Soit a ) ue suite de réels strictemet positifs. O pose S k a k et o suppose S + et a /S Détermier le rayo de covergece des séries etières a x et S x puis former ue relatio etre leur somme. Exercice 33 [ 984 ] [Correctio] Soit S x) + a x de rayo de covergece R >. O suppose qu il existe α > tel que sur [ ; α] o ait S x). Motrer que S. Exercice 34 [ 2854 ] [Correctio] Soit ue série etière a z de rayo de covergece R > et de somme f z). a) Motrer que pour < r < R, a 2 r 2 2π 2π b) Que dire de f si f admet u maximum local e? f r e iθ ) 2 dθ c) O suppose maiteat que R + et qu il existe P R N [X] tel que f z) P z ) pour tout z complexe. Motrer que f C N [X]. Exercice 3 [ 98 ] [Correctio] Soit f x) + a x la somme d ue série etière de rayo de covergece. O pose pour tout N S a k et gx) S x k Exercice 35 [ 2856 ] [Correctio] Soiet B {z C, z } et f ue foctio cotiue de B das C dot la restrictio à B est somme d ue série etière. Motrer qu il existe ue suite P k ) k de polyôme covergeat uiformémet vers f sur B. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 5 Comportemet e ue extrémité de l itervalle de covergece Exercice 36 [ 368 ] [Correctio] Soit I l esemble des réels x tels que la série etière l)x coverge. O ote f x) la somme de cette série etière. a) Détermier I. b) O pose Détermier le domaie de défiitio de c) Trouver ue relatio etre f et g. a et a l ) pour 2 g: x d) Doer u équivalet de f x) quad x. e) Doer la limite de f x) quad x + Exercice 37 [ 3783 ] [Correctio] Doer u équivalet simple quad x de Exercice 38 [ 2844 ] [Correctio] f x) x 2 a) Soit a ) ue suite complexe. O suppose que la série etière a x a pour rayo de covergece R. Détermier les rayos de covergece de a l )x et a k x a x b) Doer u équivalet simple de + l)x quad x. k Exercice 39 [ 2852 ] [Correctio] Domaie de défiitio et étude aux bores de Exercice 4 [ 3747 ] [Correctio] a) Doer l esemble de défiitio de f x) l + ) x l + ) x b) Calculer f ) et ) E/x) x dx où E est la foctio partie etière. c) Doer u équivalet de f e x Exercice 4 [ 2853 ] [Correctio] O pose pour N. a a) Étudier la covergece de la série + a x etière pour x réel. O ote f x) la somme de cette série etière. b) La foctio f est-elle cotiue e? c) Doer u équivalet simple de f e. Exercice 42 [ 58 ] [Correctio] a) Détermier le rayo de covergece R de la série etière a x où la suite a ) est défiie par a + l + a ) et a > b) Étudier la covergece de a x e x R. th t t 2 c) Détermier la limite de la suite u ) de terme gééral d) E déduire u équivalet simple de a ). dt u a + a Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 6 e) Doer u équivalet de quad x R. Exercice 43 [ 367 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle borée et pour N S k a x a) Quels sot les rayos de covergece des séries etières u k u S! x et! x? b) O ote u et S leurs sommes respectives. Former ue relatio etre S, S et u. c) O suppose que la suite S ) coverge vers u réel l. Détermier lim x + e x S x) d) Das cette questio, o choisit u ). Détermier lim x + e x S x) Exercice 44 [ 2394 ] [Correctio] Soit a x ue série etière de rayo de covergece R. Pour x ] ; [, o défiit S x) O suppose que la suite a ) est à termes réels positifs et que la foctio S est borée sur [ ; [. a) Motrer que a est ue série covergete. b) Motrer que lim x a x a x ) a Exercice 45 [ 3245 ] [Correctio] Soit a x ue série etière de rayo de covergece R avec Pour x ] ; [, o pose N, a S x) et o suppose que la foctio S est borée. a) Motrer que la série a est covergete. b) Motrer que a x lim S x) x Exercice 46 [ 3246 ] [Correctio] Soit a x ue série etière de rayo de covergece R et de somme x ] ; [ f x) O suppose que la série umérique a coverge, motrer que la foctio f est défiie et cotiue e. a a x Exercice 47 [ 3244 ] [Correctio] Soit f la foctio somme das le domaie réel d ue série etière a x de rayo de covergece R. O suppose l existece d u réel l lim x f x) a) Peut-o affirmer que la série umérique a coverge et que sa somme vaut l? b) Que dire si l o sait de plus a o/)? [Théorème de Tauber] Exercice 48 [ 985 ] [Correctio] Soiet a x et b x deux séries etières de sommes respectives f x) et gx) avec pour tout N, b >. O suppose que le rayo de covergece de b x est R et que cette série diverge e R. a) O suppose que a ob ). Motrer que f x) ogx)) quad x R. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 7 b) O suppose que a b. Que dire de f x) et gx) au voisiage de R? Exercice 49 [ 2452 ] [Correctio] Soit p ) ue suite strictemet croissate d etiers aturels telle que op ). O pose f x) x p a) Doer le rayo de covergece de la série etière x p et étudier la limite de x) f x) quad x ted vers par valeurs iférieures. b) Ici p q avec q N et q 2. Doer u équivalet simple de f e. Exercice 5 [ 2483 ] [Correctio] Soit α >. a) Doer le rayo de covergece R de f α x) α x O désire trouver u équivalet de f α lorsque x R. b) O suppose que α est u etier p. Calculer f, f. Doer avec u logiciel de calcul formel l expressio de f 2,..., f 5. Trouver les équivalets recherchés. Motrer qu il existe Q p R[X] tel que f p x) Q px) x) p+ o calculera f p). E déduire l équivalet recherché. c) O suppose α > quelcoque. Doer le développemet e série etière de x) +α O otera b ses coefficiets. Motrer qu il existe Aα) > tel que α Aα)b. O étudiera la ature de la série de terme gééral l + )α b + l α b E déduire que f α x) est équivalete à quad x ted vers R. Exercice 5 [ 3989 ] [Correctio] O pose f x) Aα) x) +α l )x et gx) 2 a) Détermier les rayos de covergece de f et de g. b) Motrer que g est défiie et cotiue sur [ ; [. l ) x c) Trouver ue relatio etre x) f x) et gx) pour x ] ; [. d) Motrer que f peut être prologée e ue foctio cotiue sur [ ; [. e) Trouver des équivalets de f et g e. Foctios développables e série etière Exercice 52 [ 992 ] [Correctio] Soiet a > et f : [ a ; a] R de classe C pour laquelle il existe A, K > vérifiat pour tout N f ) K!A Motrer que f est développable e série etière sur u itervalle ouvert cetré e. Exercice 53 [ 333 ] [Correctio] Soit f : ] R ; R[ R avec R > ) de classe C vérifiat Motrer la covergece de la série pour tout x ] R ; R[. N, x [ ; R[, f ) x)! f ) )x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 8 Exercice 54 [ 285 ] [Correctio] Soiet a > et f C ] a ; a[, R) telle que a) Si x < r < a, motrer N, x ] a ; a[, f ) x) f x) k f k) ) x k k! x r + f r) b) Motrer que f est développable e série etière sur ] a ; a[. c) Motrer que x ta x est développable e série etière sur ] π/2 ; π/2[. Exercice 55 [ 994 ] [Correctio] Soiet a > et f : ] a ; a[ R de classe C telle que f ) pour tout N. Motrer que f est égale à la somme de sa série de Taylor e. Exercice 56 [ 993 ] [Correctio] [Foctio absolumet mootoe] Soit f : R R de classe C telle que f ) pour tout N. Motrer que f est développable e série etière e. Exercice 57 [ 3358 ] [Correctio] Motrer que la foctio f : x x 2 + x + admet u développemet e série etière de rayo de covergece R. Exercice 58 [ 332 ] [Correctio] Établir que la foctio x sh x est développable e série etière et préciser le rayo de covergece. a) Motrer que la foctio f est défiie et de classe C sur R. b) Observer que le rayo de covergece de sa série de Taylor e est ul. Exercice 6 [ 2975 ] [Correctio] État doé ue suite complexe a ) N de carré sommable, o pose où la variable t est réelle. f t) a) Préciser le domaie de défiitio de f. a t b) Motrer que f est développable e série etière autour de. c) Motrer que si f est idetiquemet ulle sur [ /2 ; /2], la suite a ) N est idetiquemet ulle. Exercice 6 [ 256 ] [Correctio] Soit a ] ; [. O pose a) Motrer que f est défiie sur R. f x) sia x) b) Motrer que f est de classe C et que pour tout k N et tout x R, f k) x) a c) Motrer que f est développable e série etière. Calcul de développemet e série etières Exercice 59 [ 3687 ] [Correctio] Pour x R, o pose f x) cos2 x)! Exercice 62 [ 987 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de la foctio x lx 2 + x + ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 9 Exercice 63 [ 988 ] [Correctio] Soiet a, b > avec a b. Calculer c, le -ième coefficiet du développemet e série etière e de Exprimer x ax) bx) c 2 x b) Motrer que le rayo de covergece R de la série etière a z est au mois égal à. c) Établir que pour tout z < R, a z d) E déduire que pour tout x ] R/2 ; R/2[, ta x p 2 e z + ) p+ a 2p+ 2 2p+ x 2p+ Exercice 64 [ 989 ] [Correctio] Pour t ] ; π[, former le développemet e série etière e de la foctio e) Établir R π x Exercice 65 [ 99 ] [Correctio] Former le développemet e série etière de pour z < et t ] ; π[. x 2 2x cos t + x 2 z cos t 2z cos t + z 2 Exercice 66 [ 3485 ] [Correctio] Former le développemet e série etière de + x f : x x Exercice 67 [ 3346 ] [Correctio] [Développemet e série etière de la foctio tagete] Soit a ) N la suite réelle détermiée par les coditios a) Calculer a, a 2, a 3. a et, a + k a k k! Exercice 68 [ 995 ] [Correctio] Réaliser le développemet e série etière e de x dt et recoaître cette t 2 +x 2 foctio. Exercice 69 [ 2859 ] [Correctio] a) Motrer, si t R : eit k it) k k! t + + )! b) Soit f C R, R) telle que t f t) dt ) soit borée. Motrer que F : x eitx f t) est développable e série etière e. Exercice 7 [ 376 ] [Correctio] Pour x ] ; [, o pose a) Justifier f x) π/2 x ] ; [, f x) dθ x 2 si 2 θ b) E déduire u équivalet de f x) quad x. [ ] 2 π 2)! x 2 2 2!) 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 28 décembre 26 Eocés Exercice 7 [ 377 ] [Correctio] a) Pour quel réel x, l itégrale suivate existe-t-elle b) Doer alors sa valeur. c) Motrer que f x) dt x + e t? dt x + e t est développable e série etière et exprimer ce développemet. Exercice 72 [ 252 ] [Correctio] a) Quel est le domaie de défiitio de pour a ] ; [? S x) a x + b) Détermier la limite et u équivalet de S e +. c) Développer e série etière Exercice 73 [ 3878 ] [Correctio] Pour α [ ; [ et x R o pose S x) S x) x shα x) a) Motrer que la foctio S est défiie et cotiue sur R. b) Former ue relatio egageat S αx) et S x). c) Établir que la foctio S est développable e série etière sur R et exprimer ce développemet. Exercice 74 [ 3899 ] [Correctio] Soiet a C et p N. Former le développemet e série etière de Exercice 75 [ 265 ] [Correctio] Soit α ] ; [. x x a) p+ a) Motrer, pour tout x R, la covergece de la suite de terme gééral P x) vers ue limite que l o otera Px). α k x ) b) Soit f : R R cotiue vérifiat l équatio foctioelle Motrer, pour tout x R, k E): x R, f x) x) f αx) f x) f )Px) c) Motrer que la foctio x Px) est développable e série etière sur R. Exercice 76 [ 252 ] [Correctio] Pour z C et N, o pose P z) z ) 2 k k a) Motrer que P z) P z ). E déduire que la suite P z)) N est borée. Idice : o pourra peser à itroduire l P z ). b) E étudiat la covergece de la série P + z) P z)), établir la covergece de la suite P z)) N. O itroduit la foctio f : z lim + P z) c) Motrer que f est cotiue e. d) Motrer que f est l uique foctio cotiue e vérifiat z C, f z) z) f z/2) et f ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [ édité le 28 décembre 26 Eocés e) Motrer que f est développable e série etière. Exercice 77 [ 393 ] [Correctio] [Idetité biomiale] Établir que pour tout x ] ; [ et a R x) a aa + )... a + ) x! Calcul de développemet par dérivatio itégratio Exercice 78 [ 986 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de la foctio Exercice 82 [ 99 ] [Correctio] Pour α ] ; π[, former le développemet e série etière e de la foctio + x f : x arcta x ta α ) 2 Exercice 83 [ 2848 ] [Correctio] Pour x ] ; [ et α R, établir x ) x si α siα) arcta x cos α Calcul de développemet par équatio différetielle Exercice 79 [ 2857 ] [Correctio] Développer e série etière x lx 2 5x + 6) x x dt + t + t 2 Exercice 84 [ 3 ] [Correctio] Soiet p N et f x) ) + p x p a) Détermier le rayo de covergece de la série etière défiissat cette foctio. b) Calculer f x) e étudiat x) f x). Exercice 8 [ 78 ] [Correctio] Soit x R et θ ] ; π/2[. a) Calculer la partie imagiaire du complexe si θ e iθ x si θ e iθ b) E déduire le développemet e série etière de f x) arcta x ) ta θ Exercice 8 [ 2525 ] [Correctio] Motrer que f x) arcta + x) est développable e série etière au voisiage de et doer so rayo de covergece. Calculer cette série etière. Exercice 85 [ 937 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de x a) e procédat à ue itégratio terme à terme. e t2 sitx) dt b) e détermiat ue équatio différetielle dot la foctio est solutio. Exercice 86 [ 2858 ] [Correctio] Développer e série etière f : x Exercice 87 [ 4 ] [Correctio] Soit f défiie sur ] ; [ par x + + x 2 au voisiage de. f x) arcsi x x 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 2 a) Justifier que f est développable e série etière sur ] ; [. b) Motrer que f est solutio de l équatio différetielle x 2 )y xy. c) Détermier le développemet e série etière de f sur ] ; [. Exercice 88 [ 3699 ] [Correctio] a) Quel est l esemble de défiitio de f x) arcsi x x 2? b) Motrer que f est solutio d ue équatio différetielle à détermier. c) Justifier que f est développable e série etière et doer ce développemet. Exercice 93 [ 9 ] [Correctio] a) Former de deux faços le développemet e série etière e de x f : x e x2 e t2 dt b) Motrer que f est solutio d ue équatio différetielle liéaire du premier ordre avec pour coditio iitiale f ). c) Motrer que f est développable e série etière et e doer le rayo de covergece. b) E déduire la relatio k ) k ) ) 2 2k + k ) Exercice 89 [ 5 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de la foctio Exercice 9 [ 7 ] [Correctio] Soiet α R et f : x arccos x x 2 f : x cosα arcsi x) a) Détermier ue équatio différetielle d ordre 2 dot f est solutio. b) E déduire u développemet e série etière de f. Exercice 9 [ 8 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de Exercice 92 [ 3694 ] [Correctio] a) Étudier la parité de x sh arcsi x) f : x e x2 /2 x e t2 /2 dt Exercice 94 [ 3659 ] [Correctio] a) Former ue équatio différetielle vérifiée par f : x > e t x + t dt b) E déduire le développable e série etière e de f. Exercice 95 [ 33 ] [Correctio] Développer f x) chx) cosx) e série etière e l exprimat à l aide de foctios expoetielles. Retrouver le résultat e remarquat que f est solutio de l équatio différetielle y 4) + 4y. Exercice 96 [ 25 ] [Correctio] Soiet k > et f x) a) Motrer que f est cotiue sur R. b) Motrer que f est dérivable sur R et vérifie t k sixt) dt x R, x f x) + k + ) f x) si x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 3 c) Détermier toutes les foctios développables e série etière e solutios de xy + k + )y si x e précisat le rayo de covergece. Exercice 97 [ 2498 ] [Correctio] O cosidère l équatio différetielle E): ty + y 3t 2 cost 3/2 ) a) Motrer qu il existe ue uique solutio v de E) développable e série etière sur u voisiage de. b) Trouver l esemble des solutios de E) sur R + et e déduire ue expressio plus simple de v. Exercice [ 3648 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de ) + x 2+ Exercice 2 [ 2845 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de x Calcul de sommes de séries etières Exercice 98 [ 997 ] [Correctio] Soit f : x 2 a) Détermier l itervalle de covergece de f. ) ) x b) Exprimer la foctio f à l aide des foctios usuelles sur ] ; [ c) Calculer f ) et f ). Exercice 3 [ 999 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de Exercice 4 [ ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de x ) x 2 + Exercice 99 [ 996 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de x! Exercice 5 [ ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de x Exercice [ 998 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de + ) 2) x! Exercice 6 [ 2448 ] [Correctio] Pour >, o pose a) Trouver la limite de a ). a π/4 b) Trouver ue relatio simple etre a +2 et a. ta t dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

14 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 4 c) O pose u x) a α x Doer la ature de la série de terme gééral u x) e foctio de x et de α. d) O pose f x) Exprimer f à l aide des foctios usuelles. Exercice 7 [ 2449 ] [Correctio] Soit a ) la suite défiie par a et a! a) Rayo de covergece de a x. b) Somme de a x. Exercice 8 [ 2847 ] [Correctio] a x t k) dt pour N k a) Détermier le rayo de covergece R de! ) x b) Pour x ] R ; R[ calculer la somme précédete. Exercice 9 [ 2559 ] [Correctio] a) Détermier le rayo de covergece de la série etière ) x. b) Calculer sa somme. Exercice [ 75 ] [Correctio] Calculer S x) x 3 3)! o pourra calculer S k x) + x 3+k 3+k)! pour k {,, 2}) Exercice 2 [ 244 ] [Correctio] Soiet a x et b x deux séries etières de rayos de covergece R et R. a) Détermier le rayo de covergece et la somme de c x avec c k a kb k. b) Détermier le rayo de covergece et la somme de Exercice 3 [ 2565 ] [Correctio] Trouver le rayo de covergece de ) x Calculer la somme das le bo itervalle. Exercice 4 [ 255 ] [Correctio] Calculer a sh + ) x t t) dt pour N. Calculer le rayo de covergece de la série etière a x. Calculer la somme de cette série etière sur l itervalle ouvert de covergece. Exercice [ 379 ] [Correctio] Étude et expressio de la série ) x Exercice 5 [ 267 ] [Correctio] Pour, o pose a) Trouver la limite de la suite a ). a π/4 ta t dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

15 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 5 b) Doer ue relatio simple etre a +2 et a. c) O pose f x) la somme de la série etière Détermier l itervalle de défiitio de f. d) Exprimer f à l aide des foctios usuelles. a x Exercice 6 [ 2534 ] [Correctio] O pose θ R, N, a cosθ) a) Calculer + a x pour tout x ] ; [. b) Motrer que pour tout θ kπ, la série a d ue itégrale. c) Calculer cette itégrale pour θ ] ; π[. + coverge et exprimer sa somme à l aide Applicatio à la détermiatio du terme gééral d ue suite Exercice 7 [ 285 ] [Correctio] O pose a puis pour tout N a + k ) a k a k k Calculer les a e utilisat la série etière de terme gééral a! x. Exercice 8 [ ] [Correctio] a) Former le développemet e série etière e de b) Soit u ) C N vérifiat x x) x 2 ) N, u +3 u +2 + u + u Exprimer le terme gééral de la suite u ) e foctio de ses premiers termes. Exercice 9 [ ] [Correctio] O pose a et pour tout N, a + a k a k k a) Doer ue formule permettat de calculer b) Calculer S x). c) Calculer les a. d) Doer u équivalet de la suite a ). S x) Exercice 2 [ 245 ] [Correctio] O ote N, p) le ombre de permutatios de ; qui ot exactemet p poits fixes. O pose e particulier D) N, ), puis a) relier N, p) et D p). f x) a x D) x! b) Justifier la défiitio de f sur ] ; [ puis calculer f. c) Calculer N, p). d) Étudier la limite de! N, p)) quad ted vers +. Exercice 2 [ 2849 ] [Correctio] Ue ivolutio d u esemble E est ue applicatio f : E E vérifiat f f Id E. Pour, o ote I le ombre d ivolutios de ;. O coviet : I. a) Motrer, si 2, que I I + )I 2 b) Motrer que la série etière I! x coverge si x ] ; [. O ote S x) sa somme. c) Motrer, pour x ] ; [, que S x) + x)s x) d) E déduire ue expressio de S x), puis ue expressio de I. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

16 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 6 Applicatio à la régulatité d u prologemet cotiu Exercice 22 [ 2 ] [Correctio] a) Motrer que la foctio x si x x se prologe e ue foctio de classe C sur R. b) Motrer qu il e est de même de la foctio x si x e x Exercice 23 [ 338 ] [Correctio] Pour x o pose f x) 2x x cos t t a) Motrer que f peut être prologée par cotiuité e. b) Motrer que ce prologemet est développable e série etière sur R. Applicatio au calcul de sommes Exercice 24 [ 3 ] [Correctio] Motrer que pour tout a >, E déduire les sommes Exercice 25 [ 7 ] [Correctio] dt dt + t a ) a + ) + et ) 2 + a) Développer e série etière e la foctio arcsi et préciser le domaie de covergece. b) E étudiat détermier k π/2 arcsisit)) dt 2k + ) puis 2 k 2 k Exercice 26 [ 9 ] [Correctio] a) O ote γ la costate d Euler. Établir l égalité b) E déduire que Exercice 27 [ 288 ] [Correctio] Calculer γ γ l + )) k2 ) k ζk) k 3 + 2) 3 Itégratio terme à terme de séries etières Exercice 28 [ 4 ] [Correctio] Motrer l + x) dx x Exercice 29 [ 5 ] [Correctio] Établir l idetité arcta x dx x Exercice 3 [ 6 ] [Correctio] Motrer ) 2 + )2 + 2) E déduire la valeur de cette somme. ) 2 ) 2 + ) 2 arcta x dx Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

17 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 7 Exercice 3 [ 8 ] [Correctio] Observer que pour tout x ] ; [, π/2 Exercice 32 [ 3 ] [Correctio] Soit f : [ ; ] R ue foctio cotiue. l + x si 2 t) dt π + x ) si 2 t a) Détermier la limite de la suite de terme gééral b) Détermier la limite de v u Exercice 33 [ 2865 ] [Correctio] Étudier la limite de la suite de terme gééral I t f t) dt l + t ) f t) dt l + t ) dt Exercice 34 [ 2597 ] [Correctio] Motrer que g: t + ) t est de classe C sur R. 2 2!) 2 E déduire que h: t gt)e t est de classe C sur R. Motrer que ht) dt existe et calculer so itégrale. Exercice 35 [ 46 ] [Correctio] O cosidère ue série etière complexe a z de rayo de covergece R >. O ote f sa somme défiie pour z < R par f z) a) Rappeler la défiitio du rayo de covergece d ue série etière et motrer que a z coverge ormalemet sur le disque D, r) {z C, z r} si < r < R. a z b) Soit r u réel tel que < r < R, motrer que la foctio 2π Im f r e iθ ) ) z dθ r z e iθ est développable e série etière et exprimer la somme de cette série etière e foctio de f z) et de f ). c) Détermier les foctios f, développables e série etière sur D, R), et qui e preet que des valeurs réelles sur u esemble de la forme {z C, z r} pour < r < R. Applicatios variées des séries etières Exercice 36 [ 2422 ] [Correctio] a) Détermier la décompositio e élémets simples de avec m, deux etiers o uls. X + ) m X ) b) Détermier deux polyômes U et V tels que X + ) m UX) + X ) VX) Exercice 37 [ 374 ] [Correctio] Soit ue série etière a z de rayo de covergece R >. a) Détermier le rayo de covergece de la série etière a! z O pose doc, pour t das R, f t) a! t b) Motrer qu il existe r > tel que pour tout x > r, t f t)e xt soit itégrable sur [ ; + [ et exprimer cette itégrale sous forme de série etière e /x. Exercice 38 [ 77 ] [Correctio] Soit S x) a x le développemet e série etière de x + x. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

18 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 8 a) Pour N N, o pose S N N a x et R N N+ a x Motrer que S N x)) 2 x est u polyôme dot la plus petite puissace de x est de degré N +. b) Soit A M C) ilpotete. Justifier l existece d ue matrice B M C) telle que B 2 I + A Exercice 39 [ 3932 ] [Correctio] [Formule de Chu-Vadermode] Pour α R, o pose ) α αα )... α + ) α N,! Établir a, b R, k ) ) a b k k ) a + b Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

19 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 9 Correctios Exercice : [éocé] a) u z) z. Pour tout z, u +z) u z) z doc R 3. b) u z) z e 2. Pour tout z C, 2 u z) doc R +. c) u z) l z 2. Pour tout z, u +z) 2 u z) l+) 2 l z 2 z 2 doc R. +) 2 d) u z)! z3. Pour tout z, u +z) u z) +) z 3 e z 3 doc R e /3. Exercice 2 : [éocé] a) u z)!z. Pour tout z, u + z) u z) + ) z + doc R. b) u z) 2 ) z. Pour tout z, doc R /4. u + z) u z) c) u z) 3)!!) 3 z. Pour tout z, d) doc R /27. or e l u + z) u z) )2 + ) + ) 2 z 4 z 3 + 3)3 + 2)3 + ) + ) 3 z 27 z ) + + e + l+) e l e l e l+) + l doc Par suite R. l + ) + l l l + /) + + ) + l +. 2 Exercice 3 : [éocé] a) Posos si est u carré a sio a ) e ted par vers doc R mais a ) est boré doc R. Fialemet R. b) Posos a si. a ) e ted par vers doc R mais a ) est boré doc R. Fialemet R. c) Posos a si )/ 2. a ) est borée doc R. Pour z >, la suite si z ) e ted pas vers car la suite si ) e ted pas 2 vers. O e déduit R et fialemet R. Exercice 4 : [éocé] a) O a ) + l doc le rayo de covergece de la première série etière vaut. Aussi si e ) e doc le rayo de covergece de la deuxième série etière vaut e. b) O sait qu ue série etière coverge ormalemet sur tout compact iclus das so disque ouvert de covergece, mais e revache elle e coverge pas ormalemet sur ce disque. La série etière z est u cotre-exemple car R et z z,d,) Exercice 5 : [éocé] La suite a ) est ue suite récurrete liéaire d ordre 2. So terme gééral est doé par Si α, β), ) alors R. Si α, β), ) alors R +. a α + β α) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

20 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 2 Exercice 6 : [éocé] Pour x, posos u π 2 +2 x 2. Après calculs doc R / π. u + u πx 2 + Exercice 7 : [éocé] La suite a ) est borée mais e ted par vers car 3 est pas u ombre décimal). Par coséquet, pour tout x <, la série umérique a x coverge car so terme est domié par le terme sommable x. E revache a diverge car a ) e ted par. O peut coclure que le rayo de covergece de la série etière vaut. O viet de voir que la série diverge grossièremet pour x, il e est de même pour x. O coclut que l itervalle cherché est ] ; [ Exercice 8 : [éocé] Série etière et série etière dérivée ot même rayo de covergece. Étudios alors le rayo de covergece de cos + )α)x. cos + )α)) est borée doc R et e ted pas vers doc R et fialemet R. a) Puisque siπα) la série etière x siπα) diverge grossièremet e et doc R α. b) Par ue récurrece facile, o motre u + pour tout N. O a alors c) O a k+ u k u + + u u + u u + ) k+ et puisque la suite u ) est croissate avec O e déduit k+ u k u + + πu K + k+ + u k+ u + k+ k k+ k + ) k u + k + ) k u k Kπu u + Kπ u u d) Cosidéros m u N. Quad +, o a pour x > k + ) k u k K u + Exercice 9 : [éocé] d) doc R d d) et le rayo de covergece de z état égal à o a aussi R d. O peut coclure R d. De même, e exploitat s) et o a R s. s) ) 2 Exercice : [éocé] Souligos que les termes sommés pour défiir la série etière ot u ses car l irratioalité de α doe N, siπα) E effet Or et doc d où u k u k mα u k x m simπα) + u u k k u k+ k u u u + uk+ + 2N u k u k u 2 u k simπα) si πu u k+ k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

21 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 2 puis simπα) C u u x m simπα) C xu ) u + u O e déduit que x siπα) diverge pour tout x > et doc R α. e) Par l absurde, supposos α Q. Il existe alors u etier q N tel que qα N. Pour tout N, o a alors qu α N or avec comme vu ci-dessus O e déduit Or C est absurde. qu α qu + qu u k k u k qu < qu k+ k+ u k N u k N u k+ k u k < qku u + Exercice : [éocé] Par la covergece de a z o a déjà R z. Si R > z alors il y a absolue covergece e z ce qui est exclu par hypothèse. O coclut R z. Exercice 2 : [éocé] Pour z, o observe que a z l z. Or il est cou que pour u série à termes positifs, si u m [ ; [ alors la série coverge et si u m > alors la série diverge ce résultat s obtiet par comparaiso avec ue suite géométrique). Si l alors z C, a z doc a z coverge e z et doc R +. Si l ] ; + [ alors z C tel que z < /l, a z coverge tadis que pour z > /l, a z diverge. O e déduit R /l Si l + alors z C, a z diverge. Exercice 3 : [éocé] Posos b α a et comparos R a et R b. Cas α : ok Cas α > : o a a ob ) et doc R a R b Pour z C tel que z < R a, e cosidérat, ρ ] z ; R a [, o peut écrire b z α a z a ρ α z ρ oa ρ ) Puisque a ρ coverge absolumet, la série b z coverge et doc R b z. Or ceci pour tout z tel que z < R a doc Fialemet R b R a R a R b Cas α < : o écrit a α b et o exploite ce qui précède. Exercice 4 : [éocé] Notos R le rayo de covergece de a z 2. Pour z < R, z 2 < R et doc a z 2 ) a z 2 est absolumet covergete. Pour z > R, z 2 > R et doc a z 2 ) a z 2 est grossièremet divergete. O e déduit R R. Exercice 5 : [éocé] Motros par double iégalité que le rayo de covergece R de a 2 z vaut R R 2 Soit z < R. Puisque la série umérique a z est absolumet covergete, o a a z et doc a 2 z 2. Or pour Z > R, o sait que la suite a 2 Z ) est pas borée. O e déduit z 2 R et doc R R Soit z < R. O a z 2 < R et doc a 2 z 2 puis a z. O e déduit z R et doc R R Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

22 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 22 Exercice 6 : [éocé] Soit r ] ; R[. La série umérique a r est absolumet covergete. Pour tout z C, a! z a r z ) o a r )! r car par croissace comparée z )! r + Par comparaiso de séries absolumet covergetes, o peut affirmer que la série umérique a z! est absolumet covergete pour tout z C. Le rayo de covergece de la série etière étudiée est +. Exercice 7 : [éocé] a) Pour r ] ; R[, la série umérique a r coverge doc a r et à partir d u certai rag N, o a a r b) O a alors Posos Pour z, o a a z! ) z O r! u z) u + z) u z) z r! + Par la règle de d Alembert, la série umérique u z) coverge absolumet. Par comparaiso, la série umérique a z /! coverge aussi absolumet. O peut doc la série etière a z /! est de rayo de covergece +. c) O a et doc S O/r ) puis S a k k S z! N k a k + N r z ) O r )! Comme ci-dessus, la série etière S z /! est de rayo de covergece +. Exercice 8 : [éocé] Notos R et R les deux rayos de covergece de séries etières itroduites. Soit z C. Si z < R alors la série umérique a z coverge et doc a z. O e déduit que a z + et doc /z > R d où z < /R. O e déduit R /R puis RR O e peut affirmer mieux puisque, pour 2 si est pair a sio o obtiet RR /2. Exercice 9 : [éocé] a) O a b a doc R R. O a b doc R b) Si R > alors b et puisque b a + a doe a b b, o obtiet a O b ) doc R R. Par suite R R d où R max, R). c) Si R alors R et R max, R). Exercice 2 : [éocé] Par sommatio de séries etière, o sait déjà R mir a, R b ) De plus, puisque a b o peut affirmer a a + b et doc R R a et de même R R b et doc R mir a, R b ) puis R mir a, R b ). Exercice 2 : [éocé] a) Pour t >, e t avec e t e t. Par covergece domiée I. b) Par le chagemet de variable u t qui est u C -difféomorphisme, I u e u du Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

23 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 23 Par covergece domiée, doc u e u e u du + u du I e u u du c) Par l équivalet précédet R et la série etière diverge e. Par applicatio du critère spécial des séries alterées, la série etière coverge e. Exercice 22 : [éocé] a) Par itégratio par parties b) puis u doc u coverge. Ip, q)!)2 2 + )! et Ip, q) u + u p Ip, q + ) q + p!q! p + q + )! + ) )2 + 3) 4 < c) Par le calcul ci-dessus R 4 doc ] 4 ; 4[ D [ 4 ; 4]. Par la formule de Stirlig : et doc u 2π2+ e 2 e 2+ 2π2 + )2 + ) 2+) ) 2+ exp 2 + ) l π u π e )) 2 + e ) 2+ 4 u π/2 et par comparaiso de séries à termes positifs, 4 u diverge. 4 D. v 4) u, v ) est alterée, v et v + v 4 + ) )2 + 3) < doc v ) est décroissate. Par applicatio du critère spécial des séries alterées, v coverge et doc 4 D. Fialemet D [ 4 ; 4[. Exercice 23 : [éocé] a) R. b) Pour x ] ; [, o a + x)s x) 2 ) l)x + 2 Après décalage d idice et réuio des deux sommes + x)s x) ce qui coduit à la relatio demadée. c) Posos ) l)x + ) + l + ) l)) x + g x) ) + l + ) x + ce qui défiit g : [ ; ] R cotiue. À l aide du critère spécial des séries alterées, o motre que la série de foctios g coverge uiformémet sur [ ; ] ce qui assure que sa somme est cotiue. O e déduit par opératios sur les limites lim x S x) 2 ) + l + ) d) E regroupat les termes d idices impairs et pairs cosécutifs k 2 k ) k+ l + ) k k k ) l + l + ) 2k 2k et doc 2 ) k+ l + ) 2k 2k l k 2k 2k + l 2k k k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

24 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 24 Efi par la formule du Wallis, o obtiet Exercice 24 : [éocé] lim x S x) 2 l π 2 a) La foctio x l + x) est défiie sur R + et à valeurs das R +. Puisque a >, la suite récurrete a ) est bie défiie et à termes das R +. Sachat l + x) x, o peut affirmer que la suite a ) est décroissate. Or elle est miorée par, doc elle coverge vers ue limite l. E passat la relatio a + l + a ) à la limite, o obtiet l l + l) ce qui etraîe l car l + x) < x pour tout x > ). Fialemet a +. b) O a alors a + a a + l + a ) a a a a et doc le rayo de covergece de la série etière a x vaut. c) Pour x, la série umérique a ) coverge e vertu du critère spécial des séries alterées car a ) décroît vers. Pour x, détermios la ature de la série umérique a O a Par le théorème de Césaro et doc O e déduit a l + a ) a + a a a + ) a k+ a k 2 k ) a a 2 a 2 Par équivalece de séries à termes positifs, a diverge. Exercice 25 : [éocé] 2 a2 + oa 2 ) a a + oa )) 2 a) Pour x, posos u x /. O a u + /u x doc R. b) E x, f est pas défiie car il y a divergece de la série de Riema /. E x, f est défiie car il y a covergece de la série alterée ) / satisfaisat le critère spécial. c) Posos u x) x / pour x [ ; ]. Chaque foctio u est cotiue et la série de foctios u coverge simplemet sur [ ; ] e vertu du critère spécial des séries alterées. O a de plus R x) u + x) x et il y a doc covergece uiforme de la série de foctios u sur [ ; ]. O e déduit que sa somme est cotiue sur [ ; ] et doc f est otammet cotiue e. d) Pour tout, o a doc pour tout x [ ; [ f x) Doc f ted vers + e. Exercice 26 : [éocé] x l x) x + a) s est la somme d ue série etière de rayo de covergece R. La série diverge e x par série de Riema avec /2 ) et coverge e x par applicatio du critère spécial des séries alterées. O coclut I [ ; [. b) Puisque s est la somme d ue série etière, o peut dériver terme à terme sur ] ; [ et s x) x + x Sur I R +, cette somme est positive. La foctio s est doc croissate sur [ ; [. Si celle-ci était majorée par u réel M, ous aurios pour tout N N x [ ; [, N x E passat à la limite quad x, o obtiet N M x M Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

25 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 25 Ceci est absurde car la série à termes positifs / diverge et e peut doc avoir ses sommes partielles majorées. La foctio s est doc croissate et o majorée, elle diverge doc vers + e. c) Pour x ] ; [ x)s x) + x x x Pour x, o peut écrire x t avec t et alors x)s x) ) a t + ) x avec a +. O vérifie que la suite a ) est décroissate de limite ulle et doc le critère spécial s applique à la série alterée ) a t. Sa somme est doc du sige de so premier terme ce qui fourit x)s x). O e déduit x ] ; ], s x) Figure Allure de la foctio s d) Après étude u peu lourde) du sige de f x), o peut affirmer que f est cocave et croissate. Pour x [ ; [, o a clairemet s x). Pour x ] ; ], cosidéros puis x)s x) ) x) x)s x) ) f )x f + )x f + ) f )) x Posos b f + ) f ). O vérifie b et b + b car la cocavité de f fourit b + b +2 2 b + Le critère spécial de série alterée s applique à ouveau, la somme est du sige de so premier terme et cela fourit puis s x) car o sait s x). Fialemet s est covexe. x) x)s x) ) Exercice 27 : [éocé] a) Posos a si Puisque a + /a, o peut affirmer R. b) La suite a ) décroît vers doc par le critère spécial des séries alterée, la série etière coverge e x. Puisque a /, par équivalece de séries à termes positifs, la série etière diverge e x. c) Par positivité des termes sommés, o a pour x [ ; ], Or Puisque N f x) N ) si x x N ) si x N ) si ) si + N + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

26 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 26 Pour tout M R, il existe u rag N tel que et pour x au voisiage de puis O peut doc affirmer que d) O a et par décalage d idice Puisque x) f x) N N x) f x) si)x + ) si M + ) si x M f x) M f x) x + ) ) si x si x + 2 [ ) )] si si x ) ) ) si si O 3/2 la série etière e secod membre est défiie et cotiue e par covergece ormale de la série de foctios associée. O e déduit [ ) )] x) f x) si) + si si x Il est aussi possible de procéder par les e ε exploitat si ε pour assez grad et 2 x x Exercice 28 : [éocé] Les rayos de covergeces des séries etières défiissats c et s sot ifiis et o recoaît x R, cx) cos x et sx) si x de sorte qu o a déjà x R, cx) 2 + sx) 2 Par opératios sur les séries etières, o sait qu il existe ue suite a ) C N telle que et l o peut doc écrire z C, cz) 2 + sz) 2 x R, a x a z Par uicité des coefficiets d u développable e série etière doc Exercice 29 : [éocé] + a et N, a z C, cz) 2 + sz) 2 a) 2 f z) + f z)) 2 a z + ) z ) + p a 2p z 2p. b) 3 f z) + f jz) + f j 2 z) ) + 3 a + j + j 2) z + p a 3p z 3p. Exercice 3 : [éocé] a) a O) doc R. La suite a ) e ted pas vers doc R et aisi R. b) E réorgaisat les termes sommés et doc T k T a k x k k p a x T a pt+k x pt+k k T x T a k x k k a k x k xt x T Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

27 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 27 Exercice 3 : [éocé] a) Notos R le rayo de covergece de g. Pour x ] ; R[, S x est absolumet covergete doc la série de terme gééral a x S x xs x b) l est aussi et doc x. Par suite R. Pour x ] ; [, S x a k x k or k a k x k est absolumet covergete doc S x ) est borée. Par suite x R et doc R. Fialemet R. N+ x ] ; [, a x N+ k N+ S x x S x S N+ x N+ + x) À la limite quad N +, o obtiet f x) x)gx) et doc gx) f x) x N S x Exercice 32 : [éocé] Puisque S +, o a R a. Comme a S, o a aussi R a R s. Efi S /S + a + /S + permet par la règle de d Alembert d obteir R s. O coclut R a R s. Pour x <, S x k a k x k x k a x x a x x Exercice 33 : [éocé] O a a S ) )! compte teu de l hypothèse. O peut coclure que S. Exercice 34 : [éocé] a) Pour < r < R, il y a absolumet covergece de a r. O a f r e iθ ) 2 a r e iθ a r e iθ Par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes, o obtiet f r e iθ ) 2 k a k a k e i2k )θ r Puisque a r et a r sot absolumet covergetes, par produit de Cauchy, o peut affirmer que k a k a k r coverge. O e déduit que la série des foctios cotiues θ k a ka k e i2k )θ r est ormalemet covergete et doc o peut permuter somme et itégratio : 2π f r e iθ ) 2 dθ 2π a k a k e i2k )θ r dθ Or 2π e ipθ dθ pour tout p Z doc, après simplificatio des termes uls, 2π 2π b) Pour < r < R suffisammet petit a 2 r 2 k f r e iθ ) 2 dθ a m 2 r 2m a r 2 a 2 2π m 2π f r e iθ ) 2 f ) 2 dθ Par itégratio, d ue foctio égative, o obtiet + a 2 r 2. Or il s agit d ue somme de termes positifs, ils sot doc tous uls et o e déduit La foctio f est alors costate. c) Posos Pour tout r >, N+ a 2 r 2 a 2 r 2 N, a f N z) N N a z a 2 r 2 2π 2π f r e iθ ) f N r e iθ ) 2 dθ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

28 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 28 Pour p N +, o obtiet Or doc 2π Pour p N +, avec N+ a 2 r2 r 2π f r e iθ ) f N r e iθ ) 2 dθ 2p 2π r 2p f r e iθ ) f N r e iθ ) 2 dθ 2π Pr))2 + N a r ) 2 Or2N ) r 2p r 2p r 2p 2π 2π N+ f r e iθ ) f N r e iθ ) 2 r 2p a 2 r2 r 2p a N+ 2 + N+2 N+2 a 2 r 2 N ) r 2 N+2 dθ r + a 2 r 2 N ) a 2 r + O e déduit a N+ puis, e repreat la démarche avec p N + 2,..., o obtiet successivemet a N+2,... et fialemet f f N C N [X] Exercice 35 : [éocé] Notos a z la série etière dot la somme est égale à f sur B. La foctio f est cotiue sur u compact doc uiformémet cotiue. Pour tout ε >, il existe δ > vérifiat z, z B, z z δ f z) f z ) ε Cosidéros alors r δ et g r : z f rz). Pour tout z B, z rz δ z δ doc f z) gz) ε. Aisi f g,b ε Puisque la série etière a z coverge uiformémet vers f sur tout compact iclus das B, la série etière a r z coverge uiformémet vers g sur B. Il existe doc u polyôme P vérifiat P g,b ε puis f P,B 2ε ce qui permet de coclure. Exercice 36 : [éocé] a) α l pour 2. α + α doc le rayo de covergece de la série etière l)x vaut. De plus, la série etière est grossièremet divergete e et. O e déduit I ] ; [. b) a doc 2 a + 2 a le rayo de covergece de la série etière a x vaut. De plus, la série etière est absolumet covergete e et -. La foctio g est doc défiie sur l itervalle [ ; ]. c) Pour 2, a l l ) / doc E sommat pour allat de 2 à +, a x l)x l )x x gx) x) f x) + l x) d) Puisque a 2 2, la série a est covergete et doc la foctio g est défiie et cotiue sur le segmet [ ; ]. Par suite, la foctio g coverge e et puisque le terme l x) diverge quad x, o obtiet e) Puisque o obtiet quad x +, Il reste à calculer g )... Or g ) + 2 x) f x) l x x f x) f x) gx) l x) x g ) l2) 2 ) l l )) ) l 2 et e regroupat les termes pairs et impairs cosécutifs 2N+ 2 ) l l )) N p 2 l 2p 2p 2 ) l2n+) l ) 2 4N N!) 4 2N + )!2N)! l π 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

29 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 29 e vertu de la formule de Stirlig. Fialemet g ) l π 2 + l2) O e déduit f x) x + 2 l π 2 Exercice 37 : [éocé] Commeços par oter que f est la somme d ue série etière de rayo de covergece R et est doc défiie sur ] ; [. Pour x [ ; [, la foctio t x t2 e t2 l x est décroissate et doc + x t2 dt x 2 x t2 dt E sommat Or x t2 dt x t2 dt f x) + x t2 dt Posos le chagemet de variable u t l x Or l x x quad x doc Exercice 38 : [éocé] e t2 l x dt f x) x e t2 l x dt avec l x < + e u2 du l x π/2 x a) O sait que les séries etières a x et a x ot le même rayo de covergece R otammet car ue série etière et sa série dérivée ot le même rayo de covergece). Puisque a oa l ) et a l oa ) o peut affirmer par ecadremet que la série etière a l )x a aussi pour rayo de covergece R. De plus a k a l k doc la série etière a k k ) x a ecore pour rayo de covergece R. b) Notos que l x a pour rayo de covergece R. O sait l + γ + o) k doc le terme géérale est boré par u certai M. Par suite l)x quad x. Or par produit de Cauchy doc k k x k k l l)x k k Mx l x) k x x x) l x x Mx x O Exercice 39 : [éocé] R, il y a divergece e x et covergece par le CSSA e x. La foctio somme est défiie sur [ ; [. Par applicatio du critère spécial des séries alterées sur [ ; ], l + ) x k l + k,[ ;] ) + k+ x il y a doc covergece uiforme sur [ ; ] et doc cotiuité de la somme e puis fialemet sur [ ; [. Pour étudier la foctio e, o peut exploiter l ecadremet + l O e déduit pour x [ ; [, + x + ) l + ) l + l + ) x x dt t ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

30 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 3 Or Fialemet et Exercice 4 : [éocé] x + x x l x) l x) x) l x) x l + ) x l x) x a) f est la somme d ue série etière de rayo de covergece R. Puisque l + /) /, la série est pas défiie pour x. E revache, o vérifie aisémet la covergece de la série e x e vertu du critère spécial des séries alterées. Fialemet f est défiie sur [ ; [. b) Calculos la somme partielle 2N l + ) ) Par la formule de Stirlig N 2p + l 2p p ) l f ) l 2 π 2p 2p ) l 2N + ) [2N)!]2 [ 2N N! ] 4 Par le chagemet de variable u /x C bijectif, o e modifie par la ature de l itégrale et o a Puisque ) E/x) x Ex) x ) Eu) u dx ) Eu) x du Ex) du u u du x + la ature de l itégrale et sa valeur sot doées par la limite de + ) Eu) O peut coclure u du k k+ k ) E/x) x ) k du u dx l 2 π k ) k l + ) k c) O peut écrire O a alors D ue part et d autre part O peut doc coclure l + ) ) + ε avec ε O 2 f x) x x + ε x l x) x + ε x ε < + f x) l x) x Exercice 4 : [éocé] Notos que l itégrale défiissat a coverge car th t. a) Pour t, th t 2 th t t 2 t 2 E itégrat et e exploitat th, o obtiet a. O e déduit que R. Pour x, a x coverge e vertu du critère spécial des séries alterées car a ) décroît vers. Pour x, a x diverge par l équivalet précédet. La foctio somme est défiie sur [ ; [. b) Pour x [ ; ], o peut appliquer le critère spécial des séries alterées à la série a x et affirmer a k x k a + x + a + k+ ce qui assure la covergece uiforme de la série. Par suite la foctio somme est cotiue e. c) O a a th Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

31 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 3 doc pour x [ ; [, Or a x x th x x l x) + et 2 th 2 e 2 doc th est absolumet covergete et la somme de la série etière th est défiie et cotiue e. O e déduit Exercice 42 : [éocé] f x) l x) x a) La foctio x l + x) est défiie sur R + et à valeurs das R +. Puisque a >, la suite récurrete a ) est bie défiie et à termes das R +. Sachat l + x) x, o peut affirmer que la suite a ) est décroissate. Or elle est miorée par, doc elle coverge vers ue limite l. E passat la relatio a + l + a ) à la limite, o obtiet l l + l) ce qui etraîe l car l + x) < x pour tout x > ). Aisi a +. O a alors a + a a + l + a ) a a a a et doc le rayo de covergece de la série etière a x vaut. b) Pour x, la série umérique c) a ) coverge e vertu du critère spécial des séries alterées car a ) décroît vers. d) Par le théorème de Césaro et doc u a l + a ) 2 a2 + oa 2 ) a + a a a + a a + oa )) 2 ) a k+ a k 2 k ) a a 2 x O e déduit a 2 e) O a a x 2 ε a + x + x avec ε. Soit ε >. Il existe N N tel que ε ε pour tout N. O a alors ε N x ε x + ε l x) puis pour x suffisammet proche de ε x 2ε l x) O e déduit Exercice 43 : [éocé] a) u O) doc + u a x 2 l x) )! O. +! Or la série etière expoetielle x! est de rayo de covergece R +. O e déduit que la série etière u! x est aussi de rayo de covergece +. Puisque u O), S O) et doc + + S! O + )! Comme ci-dessus, o peut coclure que S! x est de rayo de covergece +. b) Pour x R, S S + x) x! doc S x) S x) ). S + S x u +!! x u x) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

32 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 32 c) Pour tout x R, e x S x) l e x S l x! Soit ε >, il existe N N tel que pour tout N, S l ε. O a alors, pour x e x S x) l N e x S l x! + ε! x Or N ε ε! x! x ε e x et, puisqu u polyôme est égligable devat ue expoetielle e l ifii Pour x assez grad Aisi d) Si u ) alors Par suite et doc Exercice 44 : [éocé] N S l x! o x + ex ) N e x S x) l e x ε e x + ε e x ) 2ε e x S x) x + l. si est pair S sio S x) p 2p)! x2p chx) e x S x) x + 2. a) Soit M R tel que S x) M pour tout x [ ; [. Soit N N. Par sommatio de termes positifs, N a x S x) M E passat à la limite quad x, o obtiet N a M La séries à termes positifs a ayat ses sommes partielles borées, elle coverge. b) La foctio S est croissate sur [ ; [ et est borée. O peut doc affirmer qu elle coverge e et itroduire lim x a x De plus, cette valeur majore S sur [ ; [, de sorte qu e repreat l étude ci-dessus avec cette valeur pour M, o obtiet Iversemet, pour tout x [ ; [, o a et doc à la limite quad x a lim lim x puis fialemet l égalité demadée. Exercice 45 : [éocé] x a x a a x a x a) Soit M R tel que S x) M pour tout x [ ; [. Soit N N. Par sommatio de termes positifs, a N a x S x) M E passat à la limite quad x, o obtiet N a M La séries à termes positifs a ayat ses sommes partielles borées, elle coverge. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

33 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 33 b) La foctio S est croissate sur [ ; [ et est borée. O peut doc affirmer qu elle coverge e et itroduire lim x S x) De plus, cette valeur majore S sur [ ; [, de sorte qu e repreat l étude ci-dessus avec cette valeur pour M, o obtiet Iversemet, pour tout x [ ; [, o a et doc à la limite quad x puis fialemet l égalité demadée. a lim x S x) a x a lim S x) x Exercice 46 : [éocé] La foctio f est évidemmet défiie e. Pour étudier sa cotiuité, itroduisos O peut écrire pour x [ ; [ et N avec f x) k k+ a k R k+ a k a k x k ) + k a k x k Puisque x < et R, o peut écrire k+ a k x k k+ k+ a k+ R k R k )x k R k x k k+ a k x k R R k x k avec covergece des deux sommes itroduites. Par décalage d idice, o obtiet et aisi f x) k k+ a k a k x k k+ a k x k ) + x ) k Soit ε >. Puisque R, pour assez grad o a doc R k x k x ) + R x + k, R k ε x ) R k x k x) k+ Pour u tel fixé, o a quad x, k+ k+ R k x k + R x + ) εx k ε a k x k ) et R x + ) k doc pour x suffisammet proche de, a k x k ) ε et R x + ) ε doc Exercice 47 : [éocé] k f x) a k 3ε a) Pour a ), o a f x) / + x), l /2 et la série a diverge. b) Pour N N et x [ ; [, o peut écrire k N a l A N + B N C N Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

34 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 34 avec A N f x) l, B N N N a a x et C N Pour ε >, il existe u rag au-delà duquel et alors pour tout N Posos alors et o a D autre part C N ε N a ε N+ x x N C N ε ε N x) N B N N a x ) x) a N E vertu du théorème de Cesaro N N a et doc il existe N tel que pour N B N ε N+ a x N a Efi, puis f ted vers l e, il existe 2 N tel que pour N 2 A N f /N) l ε Fialemet, pour N max,, 2 ) N a l 3ε O peut doc affirmer que la série a coverge et a l Exercice 48 : [éocé] a) O peut écrire a b ε avec ε et alors f x) b ε x Pour tout ε >, il existe N N tel que pour tout N, o ait ε ε. O peut alors écrire N f x) b ε x ε b x εgx) puis Quad x R, doc pour x assez proche de R puis N N f x) εgx) + b ε x N N gx) + et b ε x b ε R C te N b ε R εgx) f x) 2εgx) Cela permet de coclure que f x) ogx)) quad x R. b) Si a b alors a b + ob ) doc f x) gx) + ogx)) gx) e vertu de a). Exercice 49 : [éocé] a) Notos a le coefficiet géérale de la série etière étudiée a m s il existe tel que m p et a m sio. O observea O) doc R et a doc R puis R. Soit ε >, il existe u rag N N tel que pour N, εp. O a alors : N x) f x) x) x p + x) x /ε N Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

35 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 35 Quad x, et x) N x) x p N doc pour x suffisammet proche de, x /ε x x /ε ε x) f x) 2ε Cela permet d affirmer x) f x). x b) Ici, il faut peser à ue comparaiso série-itégrale... Pour x ] ; [, la foctio t x tq est décroissate. Par la démarche classique, o obtiet x tq dt f x) + x tq dt Or x tq dt avec a q l x doc x tq dt a e tq l x dt et o e calculera pas cette derière itégrale. Par l ecadremet qui précède, o peut affirmer sachat l x x Exercice 5 : [éocé] a) R. x x x) 2. f x) e uq du + q e uq du x e aq t q dt b) f x) x, f x) O obtiet les expressios de f 2,..., f 5 par seqormalsumˆk*xˆ,..ifiity)), k2..5); C O peut présumer u équivalet de la forme α. x) +α O peut obteir les premières valeurs de C α par seqevalsimplifysumˆk*xˆ,..ifiity)*-x)ˆk+)), x), k..5); Cela laisse présumer C α ) α+ α!. Pour x ] ; [, f px) + p+ x doc x f px) f p+ x). E raisoat par récurrece sur p N, o défiit la suite Q p ) de polyômes de sorte que Q X et Q p+ X) X X)Q px) + p + )XQ p X). O observe Q p+ ) p + )Q p ) de sorte que Q p ) p!. O peut alors affirmer f p x) x p! x) +p. c) À partir du développemet cou de + u) α, o obtiet b α+)α+2)...α+) l +)α b + l α b α l + l b + b O ) doc la série l +) α 2 b + absolumet covergete. O e déduit que la suite de terme gééral l α b costate Aα) >. O peut alors coclure e exploitat le résultat suivat : a b avec a >, R et a diverge etraie +!. l α b est coverge puis que α b ted vers ue a x x + b x. Pour établir ce résultat : - d ue part, o motre que + a x +, x - d autre part, o écrit + a x + b x N a b + ε + a x e choisissat N de sorte que a b εa pour N. O peut alors coclure que f α x) Exercice 5 : [éocé] Aα) x) +α. a) Par applicatio de la règles de d Alembert, les rayos de covergece de séries etières défiissat f et g sot égaux à. b) g est assurémet défiie et cotiue sur ] ; [ e tat que somme de série etière. La série etière défiissat g coverge aussi sur [ ; ] par applicatio du critère spécial et x [ ; ] l ) x k l k ) + k+ Il y a doc covergece uiforme de la série de foctios cotiues défiissat g sur [ ; ]. Aisi g est défiie et cotiue sur [ ; [. O peut aussi souliger que g est pas défiie e car l ) + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

36 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 36 c) Pour x ] ; [, x) f x) 2 l l )) x gx) d) La foctio f est cotiue sur ] ; [ e tat que somme de série etière de rayo de covergece. O peut prologer f par cotiuité e via e) O a doc pour x ] ; [ et doc gx) f x) gx) x g ) x 2 l ) ) 2 + o x gx) l x) )) 2 + o x 2 2 )) 2 + o x 2 2 Le terme sommatoire défiit ue foctio cotiue sur [ ; ] par covergece ormale) et doc gx) l x) x puis x) f x) l x x Exercice 52 : [éocé] Par la formule de Taylor avec reste itégral f k) ) x f x) x k x t) + f +) t) dt k!! avec k x x t) f +) t) dt! Posos r mi {a, /A} >. Pour x < r, o a x x t)! x + + )! f +) K xa + f +) t) dt car xa < et doc xa + et o peut écrire. O e déduit + k f k) ) x k f x) k! + f x) f ) ) x! La foctio f est doc égale à la somme d ue série etière sur ] r ; r[. Exercice 53 : [éocé] Pour x [ ; R[, la série! f ) )x est ue série à termes positifs. Par la formule de Taylor reste itégrale f k) ) x f x) x k x t) + f +) t) dt k!! k et puisque le reste itégrale est positif, o a k f k) ) x k f x) k! Puisque ses sommes partielles sot majorées, la série à termes positifs! f ) )x est covergete. Pour x ] R ; ], o a f ) ) x f ) ) x!! et la série! f ) )x est absolumet covergete doc covergete. Exercice 54 : [éocé] a) Par la formule de Taylor avec reste itégrale f k) ) x f x) x k x t) f +) t) dt k!! k Par le chagemet de variable t xu, o obtiet f x) k f k) ) x k x+ k!! u) f +) xu) du Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

37 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 37 Puisque x x r, o a xu ru puis f +) xu) f +) ru) car f +) est croissate puisque de dérivée f +2). O e déduit f x) k f k) ) x k k! x + r + f r) k f k) ) r k k! Or la somme f k) ) k k! r k est à termes positifs et est majorée par f r) e vertu de la formule de Taylor iitiale. O a doc f x) f k) ) x k x + k! r f r) k b) Puisque x/r <, la majoratio précédete doe k f k) ) x k f x) k! + Aisi f est développable e série etière sur ] a ; a[ car égale à la somme de sa série de Taylor sur ] a ; a[. c) Posos f x) ta x. Par récurrece sur N, o motre que f ) x) P ta x) avec P u polyôme dot la parité est celle de + car o a la relatio de récurrece P + X) + X 2 )P O e déduit alors que f ) x) pour tout x [ ; π/2[. E repreat l étude qui précède, o obtiet f x) + f ) )! x pour tout x [ ; π/2[. Par imparité de f, f 2p) ) et par imparité de f, o a la relatio pour tout x ] π/2 ; π/2[. Exercice 55 : [éocé] Pour tout x ] a ; a[, f x) k f x) p f 2p+) ) 2p + )! x2p+ f k) ) x x k x t) + f +) t) dt k!! Posos R x) x x t) f +) t) dt! Par le chagemet de variable t xu, o peut écrire R x) x + u) f +) xu) du! Choisissos y tel que x < y < a. Puisque f +) est croissate, o a et doc u [ ; ], f +) xu) f +) yu) R x) x + u) f +) yu) du x/y + R y)! De plus R y) f y) car les termes de la somme partielle de Taylor e y sot tous positifs et doc R x) x/y + f y) + Fialemet f est aussi égale à la somme de sa série de Taylor e sur ] a ; a[. Exercice 56 : [éocé] Pour tout a et x R, f x) k f k) a) x x a) k x t) + f +) t) dt k! a! Pour x a, la série umérique de terme gééral f k) a) k! x a) k est ue série majorée par f x) et à termes positifs, elle est doc covergete ce qui assure f ) a) x a)! Pour x, x x t) f +) t) dt! t x)! x f +) ) dt x)+ + )! f +) ) e exploitat la remarque iitiale avec et x pour a et x. Pour x, x x t) f +) t) dt! x+ + )! f +) x) e exploitat la remarque iitiale avec x et 2x pour a et x. Fialemet f est égale à la somme de sa série de Taylor e sur R. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

38 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 38 Exercice 57 : [éocé] O a doc pour x ] ; [, f x) x) + x + x 2 ) x 3 x 3 x x 3 ) /2 x) /2 est développable e série etière sur ] ; [ par produit de foctios qui le sot. Exercice 58 : [éocé] Posos f x) sh x La foctio f est défiie et de classe C sur ] ; R[ avec R argsh. Soit x ] R ; R[. Puisque sh x <, o peut écrire f x) sh x sh x Chacue des foctios x sh x est développable e série etière sur R ce qui permet d écrire sh x k a,k x k Puisque les coefficiets du développemet e série etière de la foctio sh sot tous positifs, o a aussi a,k pour tout, k. Pour x ] R ; R[, o peut doc écrire f x) k a,k x k Puisque la série k a,k x k k a,k x k coverge et puisque la série + a,k k x k sh x ) coverge aussi, o peut par le théorème de Fubii échager les deux sommes ce qui doe k f x) a,k xk k Aisi la foctio f est développable e série etière sur ] R ; R[. Le rayo de covergece de la série etière aisi itroduite est alors au mois égale à R et e fait exactemet égal à R car f diverge vers + e R et e peut doc être prologée par cotiuité e R. Exercice 59 : [éocé] a) Posos u : x R cos2 x)! Les foctios u sot de classe C et pour tout k N u k) x) 2 k! Puisque le majorat est le terme gééral de la série expoetielle e 2 k, il est sommable et il y a doc covergece ormale de la série de foctios u k). O e déduit que la foctio f est défiie et de classe C sur R. b) Par l étude qui précède f k) ) u k) ) Si k est impair, u k) x) s exprime e foctio de si2 x) et doc u k) ) puis f k) ). Si k est pair, o peut écrire k 2p et alors puis u 2p) x) ) p 2 2p cos2 x)! f 2p) ) La série de Taylor de f e est alors Pour x, posos O a u p+ x) u p x) ) p 22p! ) p e22p 2p)! x2p ) p e 22p u p x) ) p e22p 2p)! x2p e 3.22p x 2 2p + )2p + 2) + Le rayo de covergece de la série de Taylor étudiée est doc ul. Exercice 6 : [éocé] Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

39 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 39 a) Pour t R \ N, a t 2 a 2 + ) t) 2 doc a t est absolumet covergete. La foctio f est défiie sur R \ N. b) Pour t <, Puisque la série m a t m m+ f t) a t/ m a t m m+ coverge pour tout et puisque m a t m m+ a t coverge, peut appliquer le théorème de Fubii pour itervertir les deux sommes. f t) m a m+ tm La foctio f apparaît alors comme développable e série etière sur ] ; [. c) Si f t) sur [ /2 ; /2] alors le développemet e série etière de f sur ] ; [ est ul et o e déduit que f est ulle sur ] ; [. Or f t) a t + 2 a t avec t + 2 a t défiie et cotiue au voisiage de. O e déduit que a. O peut alors repredre l étude du b) et, sachat a, o peut affirmer que f est développable e série etière sur ] 2 ; 2[. Or ce derier développemet état ul, o obtiet comme ci-dessus a 2 etc. Au fial, la suite a ) N est ulle. Exercice 6 : [éocé] a) sia x) x a, il y a doc covergece absolue de la série défiissat f x). b) f : x sia x) est C et f k) a k terme gééral d ue série absolumet covergete doc f est de classe C et f k) a k a k a c) Par la formule de Taylor-Laplace, avec f x) k f k) ) x x k x t) + f +) t) dt k!! x x t) f +) t) dt! x + a + )! Aisi la série de Taylor de f coverge sur R vers f et doc f est développable e série etière. Exercice 62 : [éocé] O peut écrire doc sur ] ; [, avec l x 3 ) l x) + l + x + x 2 ) l + x + x 2 ) Exercice 63 : [éocé] Par décompositio e élémets simples avec R mi /a, /b). O a alors doc c 2 x x3 + x a x a si [3] et a a/a b) b/b a) + ax) bx) ax bx c 2 x b a) 2 b 2 b a) 2 b 2 x 2ab abx + a 2 ) a 2 x b + a + b a b 2+2 2a + b + + a 2+2 )x x + abx a 2 x) abx) b 2 x) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

40 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 4 Exercice 64 : [éocé] Par décompositio e élémets simples Sachat o obtiet pour tout x ] ; [. Exercice 65 : [éocé] Par décompositio e élémets simples doc puis x 2 2x cos t + x + 2 xe it + xe it xe it e it x pour x < x 2 2x cos t + x + 2 cost)x 2 z cos t 2z cos t + z 2 2 Exercice 66 : [éocé] La foctio f est défiie sur ] ; [ et ) e it z) + e it z) z cos t 2z cos t + z e it + e it )z 2 2 z cos t 2z cos t + z cost)z 2 f x) + x) x 2 puis Exercice 67 : [éocé] f x) 2)! 2 2!) 2 x2 + x 2+ ) a) 2a + a doe a /2. 2a 2 + a + a /2 doe a 2. 2a 3 + a 2 + a /2 + a /6 doe a 3 /24. b) Par récurrece, o motre e exploitat qui doe 2 a N, a 2a k k a k k! k! e 2 O e déduit que le rayo de covergece R est au mois égal à. c) Par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes, o obtiet + e z ) a z d) Pour x ] R/2 ; R/2[, o a 2ix < R et ta x a + k a k k! z eix e ix ie ix + e ix ) ) 2 i e 2ix + i a 2ix) Pour x <, o a + u)α x 2 Puisque la foctio ta est à valeur réelles, o peut affirmer p N, a 2p avec u x 2 ] ; [ et α /2 doc 2)! x 2 2 2!) 2 x2 et doc ta x p ) p+ a 2p+ 2 2p+ x 2p+ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

41 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 4 e) Puisque la foctio tagete e peut être prologée par cotiuité e π/2, o a assurémet R π. Par récurrece, o motre que les dérivées successives de la foctio tagete sot des polyômes à coefficiets positifs de la foctio tagete. O e déduit N, x [ ; π/2[, ta) ) x) Les coefficiets du développemet e série etière de la foctio tagete sot ceux de sa série de Taylor p N, a 2p+ 2 2p+ ) p+ ta)2p+) ) 2p + ) La formule de Taylor avec reste-itégrale doe alors x [ ; π/2[, ta x p et puisque le reste itégral est positif, o obtiet x ) p+ a 2p+ 2 2p+ x 2p+ x t) ) ta)2+2) t) dt ) p+ a 2p+ 2 2p+ x 2p+ ta x p Aisi, la série à termes positifs ) p+ a 2p+ 2 2p+ x 2p+ coverge pour tout x [ ; π/2[. O e déduit que le rayo de covergece de cette série etière est au mois égal à π/2 puis que le rayo de covergece de a 2p+ x 2p+, qui est aussi celui de a x, est au mois égal à π. Fialemet R π. Exercice 68 : [éocé] O a dt t 2 + x 2 u/t Pour x <, il y a covergece ormale sur [ ; ] doc Exercice 69 : [éocé] du + ux) ) u 2 x 2 du 2 dt t 2 + x ) x2 arcta x x a) Appliquer l iégalité de Taylor-Lagrage à la foctio t e it qui est de classe C + sur R. b) La covergece de l itégrale défiissat F proviet de la covergece supposée de + f t) dt. O a itx) k itx) k Fx) f t) dt + k! eitx k! f t) dt avec et eitx k itx) k f t) dt k! k k compte teu des hypothèses. O peut alors affirmer k itx) k k! f t) dt + )! Fx) k it) k k! avec covergece sur R de la série etière cosidérée. Exercice 7 : [éocé] a) O sait doc avec k it) k f t) k! ) f t) dt x k ) dt x k t + f t) dt u ] ; [, + u) /2 ) 2)! + u 2!) 2 u f x) u θ) π/2 u θ) dθ 2)! 2!) 2 x2 si 2 θ Les foctios u sot cotiues par morceaux, la série de foctios u coverge simplemet sur [ ; π/2] et sa somme est cotiue par morceaux. Les foctios u sot aussi itégrables sur [ ; π/2] et π/2 u θ) dθ π/2 u θ) dθ π 2 [ ] 2 2)! x 2 2!) 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

42 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 42 car o sait calculer à l aide d ue formule de récurrece obteue par itégratio par parties les itégrales de Wallis I 2 Par la formule de Stirlig π/2 si 2 θ dθ 2 2 I 2 2 2)! π 2!) 2 2 π/2 u θ) dθ x2 2 Ce terme est sommable et l o peut doc procéder à ue itégratio terme à terme doat la relatio proposée. b) O a obteu O peut écrire f x) a x 2 avec a 2 a + ε) avec ε) 2 + et avec covergece des sommes itroduites Or f x) a + x a 2 l x2 ) a 2 l + x) 2 et pour coclure il ous suffit d établir ε)x 2 a 2 2 l x2 ) + ε)x 2 2 Soit ε >. Il existe u rag N tel que et alors o l x)) x N, ε) ε ε)x 2 2 l x) l x) x 2 ε)x 2 2 N ε)x ε 2 l x2 ) Le premier terme de la somme réalisat la majoratio est polyomiale doc N ε)x 2 2 o l x 2 ) ) x et doc, pour x suffisammet proche de, ε)x 2 2 ε l x2 ) Aisi Fialemet Exercice 7 : [éocé] ε)x 2 2 o l x 2 ) ) o l x 2 ) ) x f x) l x) x 2 a) Si x >, la foctio t /x + e t ) est défiie et cotiue par morceaux sur [ ; + [ et itégrable car t 2 /x + e t ) t + Si x, la foctio t /x + e t ) est pas défiie e et e t t + t La foctio est doc pas itégrable et, puisque elle est positive, so itégrale diverge. Si x <, la foctio t /x + e t ) est pas défiie e t l x) ] ; + [. Par dérivabilité e t, o obtiet et ecore ue fois l itégrale diverge. b) Pour x e t + x e t e t t t t t )e t dt x + e t e t dt Pour x, posos le chagemet de variable u e t qui défiit ue bijectio de classe C dt + du x + e t ux + u) Par décompositio e élémets simples dt x + e t /x u /x x + u du Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

43 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 43 et fialemet c) Pour x ] ; [, o a O e déduit Exercice 72 : [éocé] a) S est défiie sur R \ Z. l + x) dt l + x) x + e t x f x) ) ) + x b) Par covergece ormale sur [ ; + [, o peut itervertir limites et sommes ifiies pour justifier, lim S x) x + et de sorte que c) Pour x < ; x lim xs x) a x + a S x) x S x) a)x a x + m ) m a xm m+ Or ) m a x m coverge et + ) m a m+ m x m coverge. Par le théorème de m+ Fubii, o peut permuter les sommes ifiies et affirmer Exercice 73 : [éocé] S x) x ) m m a m+ xm a) Posos u x) shα x). La foctio u est défiie et cotiue sur R. Pour a, o a sup u x) shaα ) x [ a;a] avec 2 shaα ) 2 aα + La série de foctios u coverge doc ormalemet sur [ a ; a] pour tout a. Par covergece ormale sur tout segmet, la foctio S est défiie et cotiue sur R. b) Pour x R Aisi S αx) shα x) S x) shx) x R, S x) S αx) shx) c) Aalyse : Supposos S développable e série etière sur R avec S x) L égalité S x) S αx) shx) fourit a α )x a x 2 + )! x2+ par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, o obtiet N, a 2+ Sythèse : Cosidéros la foctio défiie par Tx) α 2+ )2 + )! et a 2 x 2+ α 2+ )2 + )! Le rayo de covergece de la série etière défiissat T est + et par les calculs qui précèdet x R, Tx) Tαx) shx) Il reste à motrer T S pour coclure. Soit x R. Pour tout N, o a Tα x) Tα + x) shα x) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

44 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 44 E sommat Tx) Tα x) Tα k x) Tα k+ x) ) shα k x) k Sachat que T est cotiue e avec T), o obtiet quad + Exercice 74 : [éocé] Pour x < a, Par dérivatio à l ordre p Aisi ) p p! x a) p+ Tx) lim shα k x) S x) + k x a a x/a x a+ x a) p+ k ) + p) + p )... + ) x a +p+ ) p a +p+ + p)! x p!! O peut aussi obteir ce développemet à partir de celui de + u) α. Exercice 75 : [éocé] a) Sachat α k x k +, o peut affirmer que pour N assez grad k N, α k x > Cosidéros alors la suite défiie par la portio de produit au-delà du rag N α k x) O a kn l α k x) kn N l α k x) kn avec l α k x) Oα k ). La série de terme gééral α k est absolumet covergete et doc, par comparaiso, la série l α k x) est aussi absolumet covergete. O e déduit la covergece de la suite l α k x) kn N puis, e composat avec la foctio expoetielle, la covergece de la suite α k x) kn N Efi, e teat compte de la portio iitiale du produit défiissat P x), o obtiet la covergece de la suite P x)) b) Si f est solutio de E) alors Par récurrece, o obtiet f x) αx) f αx) αx) α 2 x) f α 2 x)... f x) α k x) f α + x) P x) f α + x) k Quad, f α + x) f ) car f est cotiue et doc f x) f ) + k α k x) f )Px) c) Soit a x ue série etière de rayo de covergece R +. La somme de cette série etière est solutio de E) si, et seulemet si, a x a α x a α x Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, ceci équivaut à, a α α a Iversemet, cosidéros alors la série etière a x avec ) α k a α k k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

45 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 45 de sorte que a α α a Cette série etière est de rayo de covergece R + car a a α α et l étude qui précède assure que sa somme x + a x est solutio de E) preat la valeur e. E vertu de la questio précédete, o peut affirmer α k x R, α k x Px) Exercice 76 : [éocé] a) Puisque z + z 2 k 2 k l iégalité P z) P z ) est immédiate. Par produit à facteurs strictemet positifs, o a P z ) > et o peut doc itroduire l P z ) l + z ) 2 k Or k k l + z ) 2 + et ce terme est doc sommable. O peut alors écrire puis l P z ) M P z) e M z 2 l + z ) 2 b) O a z z P + z) P z) P z) em Le majorat est sommable, la série télescopique P + z) P z) est doc covergete et la suite P z)) est de même ature. c) Pour z, o a et doc P + z) P z) em 2 avec M l + 2 ) + sup P + z) P z) em z 2 + Ce terme est sommable, la série télescopique P + z) P z) coverge doc ormalemet, et doc uiformémet, sur le domaie défii par la coditio z. O e déduit que la suite de foctios P z)) N coverge uiformémet sur ce même domaie. Or chaque foctio P est cotiue e et doc sa limite simple f est cotiue e. d) La foctio f vérifie évidemmet les coditios éocées. Iversemet, si ue foctio g vérifie les coditios proposées alors Par récurrece gz) z)gz/2) z) z/2)gz/4)... gz) P z)gz/2 + ) Par cotiuité de g e, u passage à la limite doe gz) f z). e) Par aalyse-sythèse, la recherche d ue foctio somme de série etière a z solutio coduit à a 2 2 k et u rayo de covergece ifii. Exercice 77 : [éocé] O sait pour tout u ] ; [ et α R + u) α k αα )... α + ) u! Il suffit alors de cosidérer u x et a α pour obteir la formule proposée sachat a) a )... a + )! aa + )... a + ) )! Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

46 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 46 Exercice 78 : [éocé] E dérivat et e décomposat e élémets simples doc lx 2 5x + 6)) 2x 5 x 2)x 3) x 2 + x 3 2 lx 2 5x + 6) l ) 3 x avec u rayo de covergece R 2. O peut aussi trouver ce développemet e série etière e factorisat lx 2 5x + 6) l2 x) + l3 x) x/2 3 x/3 Exercice 79 : [éocé] Posos x dt f x) + t + t 2 O vérifie aisémet la covergece de cette itégrale et la foctio f est défiie et dérivable sur R avec Pour x <, avec E itégrat, avec Pour calculer cette itégrale, o écrit Après calculs f x) + x + x 2 f x) x x x) x 3 3 dt + t + t 2 a 3, a 3+ et a 3+2 f x) f ) + f ) dt ) t a + x+ dt + t + t 2 f ) 4π 3 3 a x 2 3 [ arcta 2t + 3 ] Exercice 8 : [éocé] a) Pour x R, o peut affirmer x si θ e iθ et par multiplicatio par la quatité cojuguée si θ e iθ x si θ e si θ eiθ x si θ e iθ ) iθ x si θ e iθ 2 O e déduit si θ e iθ ) Im x si θ e iθ si 2 θ 2x si θ cos θ + x 2 si 2 θ b) La foctio f est défiie et de classe C sur R et, après calculs Pour x si θ <, o a O e déduit f si 2 θ x) 2x si θ cos θ + x 2 si 2 θ si θ e iθ si θ eiθ x si θ e iθ ) si θ) + e i+)θ x x si θ eiθ f x) si θ) + si + )θ) x puis, par itégratio de développemet e série etière, avec f x) f ) + ) f ) arcta ta θ car θ π/2 ] π/2 ; π/2[. Exercice 8 : [éocé] La foctio f est dérivable et f x) si θ) siθ) x arcta taθ π/2)) θ π/2 + + x) 2 x 2 + 2x + 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

47 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 47 est ue fractio ratioelle dot est pas pôle. La foctio f puis f sot développables e série etière et les rayos de covergece des séries etières correspodates sot égaux. avec x 2 + 2x + 2 /2i x + i /2i x + + i Re i ) x + i x + i i + x i avec u rayo de covergece R 2. Comme i 2 e iπ/4 o a puis avec R 2. x 2 + 2x + 2 f x) π 4 + Im ) x i) + cos 3+)π 4 2 +)/2 x cos 3+)π 4 x+ + )2 +)/2 Exercice 82 : [éocé] E dérivat f 2 ta α 2 x) x) x) 2 ta 2 α 2 Par les formules de trigoométrie relatives à la tagete de l agle moitié f si α x) 2x cos α + x 2 Par décompositio e élémets simples f x) ) 2i x e iα x e iα Pour x ] ; [, o obtiet f x) 2i e i+)α x x + i e i+)α x x si + )α Efi, e itégrat ce développemet e série etière sur ] ; [, f x) α 2 + siα) x ) Exercice 83 : [éocé] Pour x <, o a d arcta dx Par décompositio e élémets simples x si α x cos α si α 2x cos α + x 2 2i )) si α 2x cos α + x 2 ) e iα x e iα x O recoaît ue écriture e Z Z ) /2i, c est doc ue partie imagiaire Par sommatio géométrique et doc ) si α 2x cos α + x Im 2 e iα x )) d x si α arcta dx x cos α e iα x e iα e i+)α x Im si + )α)x e iα x e iα Par itégratio de série etière, o obtiet alors la relatio proposée. Exercice 84 : [éocé] a) O a ) + p p doc le rayo de covergece de f vaut. b) Sur ] ; [ f est de classe C et Doc x) f x) )... p + ) p! f x) ) + p x p ) + p + + ) x p p! p ) siα)x ) + p x p α x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

48 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 48 avec qui doe Par suite ) ) + p + + p α + ) p p ) ) ) + p + p + p α + p + ) p + ) p p p x) f x) p + ) f x) Les solutios de l équatio différetielle liéaire d ordre sur ] ; [ sot avec C R. Sachat f ), o obtiet Exercice 85 : [éocé] a) O a sitx) À l aide d itégratio par parties x)y p + )y yx) f x) k C x) p+ x) p+ ) k 2k + )! t2k+ x 2k+ t 2k+ e t2 k! 2 Or ) k 2k + )! t2k+ x 2k+ dt k! 22k + )! x 2k+ qui est terme gééral d ue série covergete. O peut doc appliquer le théorème d itégratio terme à terme de Fubii et affirmer pour tout x R. e t2 sitx) dt k ) k k! 22k + )! x2k+ b) La foctio t e t2 sitx) est cotiue et itégrable sur R + et d e t 2 sitx) ) te t2 dx avec t te t2 itégrable sur R +. La foctio est de classe C et f : x f x) À l aide d ue itégratio par parties e t2 sitx) dt te t2 costx) dt f x) 2 2 x f x) et aisi f est solutio sur R de l équatio différetielle 2y + xy De plus f vérifie la coditio iitiale f ). Si ue somme de série etière est solutio de l équatio différetielle 2y + xy et vérifiat y), c est, après calculs, la foctio g: x k ) k k! 22k + )! x2k+ de rayo de covergece R +. Puisque f et g sot solutios sur R à l équatio différetielle liéaire 2y + xy vérifiat la coditio iitiale y) et puisque le théorème de Cauchy assure l uicité d ue solutio à u tel problème, o peut idetifier f et g. Fialemet ) k k! f x) 22k + )! x2k+ pour tout x R. Exercice 86 : [éocé] La foctio f est de classe C sur u voisiage de avec k f x) 2 + x f x) 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

49 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 49 et f x x) 2 + x 2 ) f x) + 3/2 2 + x f x) 2 La foctio f est doc solutio de l équatio différetielle + x 2 )y x) + xy x) 4 yx) avec les coditios iitiales y) et y ) /2. Aalyse : Soit a x ue série etière de rayo de covergece R > dot la somme S est solutio de l équatio différetielle précédete. Pour tout x ] R ; R[, o a et S x) S x) 2 a x, S x) )a x 2 La relatio + x 2 )S x) + xs x) S x)/4 doe a x + 2) + )a +2 x [ + 2) + )a /4)a ] x Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, o obtiet la relatio N, a )2 ) 4 + 2) + ) a E adjoigat les coditios iitiales S ) et S ) /2, o parviet à a 2p )p 2 4p 4p 2)! 2p)!)2p )!) et a 2p+ )p 2 4p 4p )! 2p + )!2p )! Sythèse : Cosidéros la série etière détermiée au terme de l aalyse. Celle-ci se compred comme la somme de deux séries etières a 2p x 2p et a 2p+ x 2p+ chacue de rayo de covergece car a +2 a 2 + )2 ) 4 + 2) + ) Cette série etière est doc de rayo de covergece R et, compte teu des calculs de l aalyse, sa somme est solutio de l équatio différetielle + x 2 )y x) + xy x) 4 yx) Elle vérifie de plus les coditios iitiales y) et y ) /2. Puisque la foctio f est aussi solutio de ce problème de Cauchy et que ce derier possède ue solutio uique, o peut idetifier f et la somme de la série etière. Exercice 87 : [éocé] a) x x 2 est développable e série etière sur ] ; [ et par suite la primitive x arcsi x l est aussi. Par produit de foctios développable e série etière sur ] ; [, f l est aussi. b) f est dérivable sur ] ; [ et doc f x) x + x arcsi x 2 x 2 ) 3/2 x 2 ) f x) x f x) c) Puisque f est impaire, le développemet e série etière de f est de la forme f x) + a x 2+. O a f x) )a x 2 puis doc x 2 ) f x) x f x) x 2 ) f x) x f x) a )a x )a x )a )a )x 2+2 Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière d où Puisque pour x o obtiet R. a et N, a a a 22!) )! a + x 2+3 a x ) 2 x )2 + 2) x2 a x 2+2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

50 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 5 Exercice 88 : [éocé] a) La foctio f est défiie sur ] ; [. b) O vérifie x 2 ) f x) x f x) et f ). c) x x 2 est développable e série etière sur ] ; [ et par suite la primitive x arcsi x l est aussi. Par produit de foctios développable e série etière sur ] ; [, f l est aussi. Puisque f est impaire, le développemet e série etière de f est de la forme f x) O a f x) )a x 2 puis doc x 2 ) f x) x f x) x 2 ) f x) x f x) a )a x 2 a x )a x )a )a )x 2+2 Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière d où Puisque pour x o obtiet R. a et N, a a a 22!) )! a + x 2+3 a x ) 2 x )2 + 2) x2 a x 2+2 Exercice 89 : [éocé] f admet u développemet e série etière e par produit foctios développables e série etière. De plus so rayo de covergece vérifie R. O peut doc écrire f x) a x sur ] ; [ f est dérivable et f est solutio de l équatio différetielle Or Par idetificatio x 2 )y + xy x 2 ) f x) + x f x) a + ) + De plus a f ) π/2 doc a 2p 2p ) 2p Exercice 9 : [éocé] a) f est solutio de l équatio a et, a + a + )a + ) x + a 2 a 2p)! 2 p p!) 2 π 2 et a 2p+ 2p 2p a 2p p!) 2 2p + )! x 2 )y xy + α 2 y b) f est solutio de l équatio différetielle ci-dessus et vérifie les coditios iitiales y) et y ). Aalyse : Soit a x ue série etière de rayo de covergece R > et de somme S. La foctio S vérifie sur ] R ; R[ l équatio différetielle proposée et les coditios iitiales imposées si, et seulemet si, a, a et 2 α 2 N, a ) + ) a O e déduit que a 2p+ et a 2p 4p2 α 2 )... 4 α 2 ) 2p)! Soit a x la série etière détermiée par les coefficiets précédemmet proposés. Das le cas où α 2Z, les a 2p ) sot uls à partir d u certai rag, doc la série etière a x a u rayo de covergece R +. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

51 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 5 Das le cas où α 2Z, pour x et u p a 2p x 2p, o a u p+ u p x 2 doc la série etière a x a u rayo de covergece R. Das les deux cas, les calculs qui précèdet assure que la foctio somme de cette série etière est solutio de l équatio différetielle x 2 )y xy + α 2 y vérifiat y) et y ). Par uicité des solutios à u tel problème différetiel, o peut coclure que f est égale à la somme des cette série etière. Exercice 9 : [éocé] Posos f : x sh arcsi x) f vérifie l équatio différetielle x 2 )y xy y avec les coditios iitiales y) et y ). Aalyse : Soit a x ue série etière de rayo de covergece R > et de somme S. La foctio S vérifie sur ] R ; R[ l équatio différetielle proposée et les coditios iitiales imposées si, et seulemet si, Ceci doe a, a et N, a +2 p k ) + ) a 2p ) 2 + ) a 2p et a 2p+ 2p + )! Sythèse : Soit a x la série etière détermiée par les coefficiets précédemmet proposés. Pour x et u p a 2p+ x 2p+ ; o a u p+ u p x 2 doc le rayo de covergece de la série etière étudiée vaut. Par les calculs qui précèdet o peut alors affirmer que sa somme S est solutio de l équatio différetielle x 2 )y xy y vérifiat les coditios iitiales y) et y ). Par uicité des solutios à u tel problème différetiel, o peut coclure que f est la somme des la série etière itroduite sur ] ; [. Exercice 92 : [éocé] a) La foctio f est impaire car produit d ue foctio paire par la primitive s aulat e d ue foctio paire. b) f est solutio de l équatio différetielle y xy + c) La foctio t e t2 /2 est développable e série etière sur R, ces primitives le sot doc aussi et, par produit de foctios développable e série etière, o peut affirmer que f est développable e série etière sur R. Par imparité, o peut écrire ce développemet et l équatio différetielle doe O e déduit Exercice 93 : [éocé] f x) a x 2+ N, 2 + )a a et a a a) Pour x R, o sait par la série expoetielle e x2 2! 2 + )! ) La foctio x x et2 dt est la primitive s aulat e de x e x2 doc par itégratio de série etière x e t2 dt! x 2!2 + ) x2+ Par produit de Cauchy de séries absolumet covergete. x f x) e x2 e t2 dt k De plus f est solutio de l équatio différetielle f x) + 2x f x) ) k k)!k!2k + ) x2+ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

52 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 52 avec la coditio iitiale f ). E écrivat f x) + a x car o sait que f est développable e série etière sur R comme o l a vu ci-dessus) et e ijectat das l équatio différetielle o obtiet x R, a + + )a + x + 2 a x Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, o obtiet Sachat a f ), o parviet à a et N, + )a + + 2a a 2 et a a 2 ) 4! 2 + )! b) Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière d où k puis la relatio voulue. Exercice 94 : [éocé] k ) k 4! k)!k!2k + ) ) 2 + )! ) k ) 4!) 2 2k + ) k 2 + )! ) ) 2 a) Posos ux, t) e t /x + t) défiie sur ] ; + [ [ ; + [. Pour chaque x >, t ux, t) est cotiue par morceaux sur [ ; + [ et t 2 ux, t) t +. La foctio f est doc bie défiie sur ] ; + [. Pour chaque t, x ux, t) est dérivable et u x, t) e t x x + t) 2 La foctio u x est cotiue par morceaux e t, cotiue e x et pour tout a > x, t) [a ; + [ [ ; + [, u x, t) x e t a + t) ϕ at) 2 avec ϕ a : [ ; + [ R + cotiue par morceaux et itégrable par des argumets aalogues aux précédets. O e déduit que f est de classe C et f x) Par itégratio par parties, o obtiet e t x + t) 2 dt f x) f x) e x + b) Aalyse : Soit a x ue série etière de rayo de covergece R > solutio de l équatio différetielle précédete. Pour tout x ] R ; R[, o a + )a + a ) x ) + e x Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, o a N, + )a + a + ) + e Après résolutio de la relatio de récurrece N, a a! + e k ) k) k!! Sythèse : Soit a x la série etière détermiée par les coefficiets précédets. O a a a + e )! a + e! k La suite a ) est borée doc le rayo de covergece R de la série etière est au mois égal à et, par les calculs qui précédet, o peut affirmer que la somme S de la série etière est solutio de l équatio différetielle sur ] ; [. E ajoutat la coditio iitiale a f ), o peut affirmer que f x) S x) sur ] ; [ par uicité d ue solutio à u problème de Cauchy pour ue équatio différetielle liéaire d ordre. Exercice 95 : [éocé] O a f x) e x + e x) e ix + e ix) 4 4 e +i)x + e i)x + e +i)x + e i)x) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

53 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 53 doc pour tout x R f x) + i) + i) + + i) + i) O a + i 2 e iπ/4 etc, doc + i) + i) + + i) + i) 2 2 cos π ) 3π + cos π ) π ) 2 cos cos 4 2 Fialemet f x) p 4! 2 p cos pπ 2 ) x 2p 2p)! q ) q 2 2q x 4q 4q)! Retrouvos ce résultat, e exploitat l équatio différetielle y 4) + 4y. La foctio f est développable e série etière sur R par produit de telles foctios. De plus, la foctio f est paire doc le développemet e série etière de f est de la forme f x) a x Par l équatio différetielle y 4) + 4y, o obtiet + 4) + 3) + 2) + )a a Puisque a, a a 3 par imparité) et a 2 par calculs), o obtiet a 4q )q 4 q 4q)! ce qui coduit au développemet précédet. Exercice 96 : [éocé] et a 4q+ a 4q+2 a 4q+3 a) x, t) t k sixt) est cotiue sur R [ ; ] doc, par itégratio sur u segmet, f est cotiue. b) x, t) d dx tk sixt)) est cotiue sur R [ ; ] doc par itégratio sur u segmet, f est de classe C avec O e déduit f x) x f x) + k + ) f x) xt k cosxt) dt x d t k sixt) ) dt si x dt c) Par aalyse sythèse, o obtiet ue seule foctio solutio : x de rayo de covergece +. Exercice 97 : [éocé] ) 2 + )! k) x2+2 a) Soit v la somme d ue série etière a x de rayo de covergece R >. La foctio v est de classe C sur ] R ; R[ et Parallèlemet, sur R tv t) + vt) 3t 2 cost 3 /2) + )a t ) 2)! 3t3+2 Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, v est solutio de E) sur ] R ; R[ si, et seulemet si, a 3 a 3+ et a 3+2 ) 2)! + Aisi la foctio v est détermiée de maière uique et de plus celle-ci existe puisque le rayo de covergece de la série etière défiie par les a ci-dessus est R +. b) E) est ue équatio différetielle liéaire d ordre défiie sur ] ; + [. La solutio géérale homogèe est yt) λ/t. Par la méthode de la variatio de la costate, o peut proposer la solutio particulière yt) 2 cost3/2 ) + 2t 3/2 sit 3/2 ) t et fialemet la solutio géérale yt) 2 cost3/2 ) + 2t 3/2 sit 3/2 ) t Parmi les solutios, la seule pouvat être prologée par cotiuité e, et doc correspodre à v, est celle obteue pour λ 2. + λ t Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

54 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 54 Exercice 98 : [éocé] a) Notos D l itervalle de covergece de cette série etière. Le rayo de covergece état o e déduit : ] ; [ D [ ; ]. De plus doc f ) et f ) existe. Aisi D [ ; ]. 2 ) ) b) Sur ] ; [, f est de classe C et c) Doc f x) 2 Puisque f ), o coclut sur ] ; [. ) x ) + x l + x) l + x) dx + x) l + x) x + C f x) + x) l + x) x x [ ; ], ) ) x ) 2 doc la série de foctios défiissat f coverge ormalemet sur [ ; ] et par suite f est cotiue. et Exercice 99 : [éocé] Pour x, doc R +. Pour x R, f ) lim x f x) lim + x) l + x) x) 2 l 2 x f ) lim f x) lim + x) l + x) x) x )! x! x x /! x + x )! x x )ex! Exercice : [éocé] Clairemet R +. + ) 2) x! doc Exercice : [éocé] Pour x, doc R. Pour x ] ; [ doc puis + ) 2) x! 2 ) +2 + ) ) x! x 2)! 2 x 2+3 x 2+ x 2 f x) + x ) x x f x x) + x) ) x 2 ) + x 2+ x 2 ) x + x 2 ) 2 Exercice 2 : [éocé] Pour x, posos u x u + u x 2 doc R. La foctio somme S est impaire, o se limite alors à x >. or doc S x) x 4/3 x 2/3 t xs x 3/2 ) x ) 2 x! x! x2 2)e x x 3 + x 2 ) 2 x 3+2 x x t 3+ t dt t dt 3 dt et il e reste plus qu à décomposer e élémets simples etc. t 3 2x 2/3 ) + arcta π ) 3 6 S x) 6x 4/3 l x4/3 + x 2/3 + x 4/3 2x 2/3 + x 4/3 3 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

55 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 55 Exercice 3 : [éocé] Pour x, posos u Puisque u + u o obtiet R. Sachat d dx x2 2 + x 2 x x 2 x 2 o obtiet par itégratio de développemet e série etière x 2+ x 2 + dt t 2 2 l + x x puis, pour x, Pour x, la somme vaut. Exercice 4 : [éocé] Par la règle de d Alembert, o obtiet R. Posos O a O e déduit Sachat d dx x x l + x x S x) ) x 2 + xs x 2 ) arcta x S x) arcta x x pour x > x x 2 x 2 o obtiet par itégratio de développemet e série etière x 2+ x 2 + dt t 2 2 l + x x O e déduit doc Efi, pour x, S ). Exercice 5 : [éocé] Clairemet R. Posos xs x 2 ) x l + x x S x) 2 x l + x x si x < S x) Par décompositio e élémets simples Sachat d dx x ) x x 2 x 2 o obtiet par itégratio de développemet e série etière O e déduit S x) 2 Exercice 6 : [éocé] x 2+ x 2 + dt t 2 2 l + x x x 2 2 x x2 l + x 4x x a) Par covergece domiée par la foctio ϕ: t, o obtiet a. b) O a a + a +2 π/4 ta t) ta t) dt + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

56 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 56 c) Par mootoie a + a +2 2a a + a 2. O e déduit a 2 puis u x) Le rayo de covergece de la série etière a x est doc égale à. Pour x, u x) coverge si, et seulemet si,α >. Pour x, u x) diverge grossièremet si α. Pour α >, 2 k Or ) α +) ) k k α ) k k α a k α + k a k + a k+2 ) + o) coverge par applicatio de critère spécial des séries alterées car α +) décroît vers pour assez grad) doc u x) coverge. d) Puisque a + a +2 +, o a O e déduit puis Exercice 7 : [éocé] a) O a doc R. a! a! a +2 x + a x l x) x f x) + f x) π 4 l 2 2 x l x) x 2 x f x) x l x) + π 4 + x l 2 2 x 2 + doc R. Fialemet R. b) Soit x ] ; [. S x) t k t) dt! k k2 k dt k t t) k ) dt 4 ) a x! k t k)x dt or par covergece uiforme de la suite de foctios de la variable t sur [ ; ] covergece uiforme obteue par covergece ormale grâce à x < ) o peut permuter somme et itégrale. S x)! k t k)x dt [ + x) + x) t t dt l + x) ] t t x. 2 α+ x l + x) Exercice 8 : [éocé]! a) Posos a 3 2+). a + a R 2. b) O sait que π/2 si 2+ 2! t) dt ) doc Par covergece uiforme, Aisi π/2 puis si x > alors Si x < alors a x π/2 x 2 si2+ t) dt x π/2 x π/2 2 si2+ t) dt 2 si2+ t) dt Exercice 9 : [éocé] a x π/2 si t 2 x) + x cos 2 t dt du 2 x) + xu 2 a x a x 2 x arcta x2 x) 2 x 2 x argth x2 x) 2 x 2 si t 2 x si 2 t dt a) Puisque la suite )) e ted pas vers, la série umérique ) x diverge grossièremet pour x et doc le rayo de covergece R vérifie R. D autre part ) et l o sait ou o le vérifie rapidemet) que le rayo de covergece de la série etière x vaut. Par comparaiso, o obtiet R puis R. b) Puisque la série etière diverge grossièremet e x et e x, le domaie de défiitio de la somme est ] ; [. Pour x ] ; [, u argumet d absolue covergece assure que l o peut séparer la somme e deux selo la parité de. ) x p 2px 2p + p 2p + x2p+ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

57 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 57 Puisque o a De plus doc p py p d ) dy y y) 2 p p 2px 2p 2x 2 x 2 ) 2 2p + x2p+ argthx ) x 2x 2 x 2 ) 2 + argthx Pour x C, o a O a aussi et S x) + S x) + S 2 x) S x) + js x) + j 2 S 2 x) S x) + j 2 S x) + js 2 x) E sommat ces trois relatios, o obtiet S x) 3 x! expx) jx)! exp jx) j 2 x) exp j 2 x)! expx) + exp jx) + exp j 2 x) ) Exercice : [éocé] Posos u x) ) x Pour x [ ; [, o a u x) et pour x ±, u x)) e ted pas vers. Le rayo de covergece de cette série etière vaut doc R et l itervalle de covergece est ] ; [. Pour x ] ; [, o peut décomposer la somme e deux D ue part et d autre part p u x) p p 2p)x 2p + p 2p + x2p+ argthx) 2p + x2p+ 2p)x 2p x d ) 2x 2 dx x 2 x 2 ) 2 Exercice : [éocé] Les séries etières défiissat S, S et S 2 sot de rayos de covergece R +. Exercice 2 : [éocé] a) Par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes, pour x < mir, R ), c x est absolumet covergete et c x ) ) a x b x Aisi le rayo de covergece R de c x vérifie R mir, R ). E revache, o e peut facilemet rie dire de plus de faço géérale. Par exemple x et x se développet e série etière de rayos de covergece + et et leur produit de Cauchy est de rayo de covergece +... b) Puisque l, o obtiet facilemet R. Si l o pose a k k pour k et b k pour k alors Par suite, pour x <, a k b k k ) x k x k x l x) x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

58 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 58 Exercice 3 : [éocé] Par la règle de d Alembert, R /e. Sur [ /e ; /e], Or sur ] ; [, y + ) sh + ) x 2 y ex) + ) x/e) + ) y + l y) + l y) + y) y Cette idetité pouvat être prologée e et e par cotiuité. Cela permet alors d expliciter la somme cherchée. Exercice 4 : [éocé] Par itégratio par parties successives a Puisque a + a 4 o a R 4. Pour x < 4, par covergece ormale Si x ] ; 4[, Si x ] 2 ; [, Si x, f x). Exercice 5 : [éocé] f x) f x) f x) t t) dt!)2 2 + )! dt t t)x dt xt 2 xt + 4 x arcta x4 x) 4 x 4 x argth xx 4) x 4 a) Par covergece domiée par la foctio ϕ: t, o obtiet a. b) O a a + a +2 π/4 ta t) ta t) dt + c) Par mootoie a + a +2 2a a + a 2. O e déduit a 2 Le rayo de covergece de la série etière a x est doc égale à. Pour x, a diverge e vertu de l équivalet précédet et par comparaiso de séries à termes positifs. Pour x, ) a e vertu du critère spécial des séries alterées, la suite a ) état otammet décroissate. Aisi la foctio f est défiie sur [ ; [. d) Puisque a + a +2 +, o a pour x [ ; [. Or doc a+2 x + + a x +) x l x) a+2 x + + a x +) x f x) a a x) + x f x) f x) π x l 2 ) x x l x) 2 pour x et aussi pour x par cotiuité. O peut aussi procéder à ue permutatio somme itégrale pour parveir à Exercice 6 : [éocé] π/4 dt x ta t a) Comme la suite a ) est borée, o peut écrire a x Ox ). Or la série x coverge absolumet pour x < et doc, par comparaiso, la série a x est absolumet covergete. Puisque cosθ) Re e iθ), o peut écrire a x Re ) xe iθ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

59 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 59 Par sommatio géométrique possible puisque xe iθ < ) ) a x Re xe iθ x cos θ x 2 2x cos θ + b) La covergece de la série étudiée est pas immédiate. Exprimos ses sommes partielles N cosθ) N + cosθ)x dx Par le calcul au dessus, o peut écrire N cosθ) + x cos θ x 2 2x cos θ + dx Puisque Rez) z, o peut écrire cosθ)x e iθ x N+ N+ ce qui doe par u calcul aalogue au précédet cosθ)x x N+ xe iθ Par coséquet N+ N+ cosθ)x dx O e déduit que la série cosθ) + coverge et cosθ) + x N+ N+ Imxe iθ ) cosθ)x dx xn si θ x N si θ dx N + ) si θ x cos θ x 2x cos θ + dx c) O décompose l itégrale étudiée e deux itégrales directemet calculables x cos θ 2x cos θ + x 2 dx si2 θ et l o obtiet x cos θ [ 2x cos θ + x dx si θ arcta x cos θ 2 si θ dx x cos θ) 2 + si 2 θ cos θ 2 ] cos θ 2 2x 2 cos θ x 2 2x cos θ + [ l x 2 2x cos θ + )] O simplifie e exploitat arcta cos θ ) arcta taθ π/2)) θ π/2 si θ ) cos θ 2 si 2 θ/2 arcta arcta si θ 2 si θ/2 cos θ/2 θ 2 et l 2 2 cos θ) l 4 si 2 θ/2 ) O obtiet au fial Exercice 7 : [éocé] Posos b a!, o a b et cosθ) + π θ 2 + )b + si θ cos θ l 2 si θ ) 2 b k b k Notos S la somme de la série etière b x et posos R so rayo de covergece. Par récurrece, o peut affirmer b et doc R >. Sur ] R ; R[, la relatio précédete doe a k S x) S 2 x) Après résolutio, sachat que S ), o obtiet d où l o tire a!. Exercice 8 : [éocé] a) Pour x <, S x) x x x 2 x x 2 Par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes, avec x) x 2 ) a x a Card { k, l) N 2 k + 2l } /2 + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

60 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 6 b) Aalyse : Itroduisos la série etière u x de somme S et de rayo de covergece R. Pour tout N, u +3 x +3 u +2 x +3 + u + x +3 u x +3 E sommat, o obtiet pour x < R, S x) u + u x + u 2 x 2) x S x) u u x) + x 2 S x) u ) x 3 S x) O e déduit x x 2 ) S x) u x) x 2 ) + u x x + u 2 2 x) x 2 ) Sythèse : Cosidéros la foctio x x 2 ) f : x u x) x 2 ) + u x x + u 2 2 x) x 2 ) f est ue foctio ratioelle doc est pas pôle, elle est développable e série etière sur ] ; [. Puisque cette foctio vérifie la relatio f x) u + u x + u 2 x 2) x f x) u u x) + x 2 f x) u ) x 3 f x) les coefficiets u de so développemet e séries etières vérifiet x ] ; [, u +3 x +3 x 2 x 2 u +2 + u + u )x +3 Par idetificatio des coefficiets de séries etières de sommes égales sur ] ; [, o obtiet N, u +3 u +2 + u + u Ceci détermie alors etièremet la suite u ) moyeat la coaissace des coefficiets u, u, u 2. Pour exprimer u, il e reste plus qu à former le développemet e série etière de f. x x 2 ) x) x 2 ) x 3 x) x 2 ) a x +3 x x x 2+ x 2 et 2 x) x 2 ) a x +2 O e déduit que pour 3, avec ε si est impair et sio. u u a 3 + u ε + u 2 a Exercice 9 : [éocé] a) Si la série etière S est de rayo de covergece R >, alors pour tout x ] R ; R[ o a S x) a + a + x + + x a k a k x k Par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes, o obtiet b) Pour x, o obtiet, après résolutio Posos εx) tel que O a S x) + xs 2 x) S x) ± 4x 2x pour x < /4 S x) + εx) 4x 2x εx) 2xS x) 4x La foctio ε est cotiue sur ] R ; [ ], mir, /4)[ et e pred que les valeurs ou. O e déduit que cette foctio ε est costate et puisque S coverge quad x +/, o peut affirmer que ε est costate égale à car égative au voisiage de. Fialemet S x) 4x et S ) 2x c) Après développemet e série etière de 4x, o obtiet avec et R /4. Puisque la foctio 4x 2x b ) 2 + b x T : x 4x 2x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

61 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 6 vérifie l équatio xt 2 x) Tx), la reprise des calculs précédets sachat R > ) assure que les coefficiets b vérifiet b, N, b + b k b k O e déduit a b pour tout N car les coditios qui précèdet détermiet ue suite de faço uique. d) Par la formule de Stirlig Exercice 2 : [éocé] a) b) D)! doc D)! c) a N, p) 22 π 3/2 k ) D p) p qui implique R. D p) d où par produit de Cauchy O a p N, p)! doc p p! p)! e x f x) x puis f x) e x x doc puis d) Fialemet e x x D! k ) k k! ) k k k! x N, p)! p ) k p! k! k N, p)! + p!e a) Ue ivolutio de {,..., } peut fixer l élémet ou o. Il y a exactemet I ivolutios de {,..., } fixat. Si ue ivolutio e fixe pas, elle l échage avec u autre élémet a de {,..., }. Il y a valeurs possibles pour a, l ivolutio alors obteue evoyat sur a et a sur réalise aussi par restrictio ue ivolutio sur {,..., } \ {a, } : il y e a exactemet )I 2. Au fial, o obtiet I I + )I 2 b) Ue ivolutio est bijective et il y a exactemet! permutatios de {,..., }. O a doc I!. Puisque I /! O), le rayo de covergece de la série etière est supérieur à. c) Par décalage d idice + x)s x) E combiat les deux sommes + x)s x) + I I! x + )! x E vertu de la relatio obteue précédemmet + x)s x) + I I x! I +! x S x) d) La résolutio de cette équatio différetielle liéaire, sachat S ), doe Or puis, par produit de Cauchy I 2p S x) e x+ 2 x2 e x+ 2 x2 e x e 2 x2 p k 2k)! 2 k k! ) 2p et I 2p+ 2k x! p k x 2 2! 2k)! 2 k k! ) 2p + 2k Exercice 2 : [éocé] Exercice 22 : [éocé] Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

62 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 62 a) Pour tout x R, doc pour x. Or si x si x x x ) x )! ) x )! ) x )! est défiie et de classe C sur R, cela permet de coclure. b) U raisoemet semblable, permet d établir que x ex x se prologe e e ue foctio de classe C e s aulat pas. Par opératio, le prologemet cotiue de x si x e x si x x x e x est de classe C. Exercice 23 : [éocé] a) Pour t, o peut écrire cos t cos t + t t t Posos alors gt) cos t t La foctio g est cotiue sur R et se prologe par cotiuité e e posat g). O a alors pour tout x f x) 2x avec G ue primitive de g sur R. O e déduit x gt) dt + l 2 G2x) Gx) + l 2 f x) x l 2 et o peut doc prologer f par cotiuité e e posat f ) l 2. b) Pour t et aussi pour t o a gt) ) 2)! t2 O peut alors poser primitive de g et o obtiet pour tout x R. Exercice 24 : [éocé] Pour tout t [ ; [ o sait doc aussi Gx) f x) l 2 + ) x 2 2)! 2 ) 2)! + t ) t + t a ) t a 4 2 x2 Soit F ue primitive de la foctio cotiue t +t sur [ ; ]. a Sur ) t a+ [ ; [, Ft) + F) a + Or F est cotiue sur [ ; ] et la série de foctios covergece uiformémet sur [ ; ]. Par passage à la limite e, Par suite O e déduit et F) ) a + + F) dt + t a F) F) ) a + ) + dt + t l 2 ) 2 + dt + t π 2 4 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

63 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 63 Exercice 25 : [éocé] a) E itégrat le développemet e série etière de sa dérivée, o obtiet arcsi x 2)! 2 + 2!) 2 x2+ avec u rayo de covergece R. Par la formule de Stirlig ) 2)! 2 + 2!) O 2 3/2 ce qui assure la covergece ormale de la série de foctios sur [ ; ]. b) D ue part π/2 arcsisit)) dt D autre part, e itégrat terme à terme π/2 arcsisit)) dt π/2 2)! 2 + 2!) 2 t dt π2 8 π/2 si 2+ t) dt car il y a covergece ormale de la série de foctios sur [ ; π/2]. O coaît l itégrale de Wallis et o obtiet doc Or doc puis k π/2 si 2+ t) dt 2!) )! k k k k 2k + ) π k) + 2 k 2 k k k k π k + ) 2 2k + ) 2 Exercice 26 : [éocé] a) Par télescopage Or doc b) Puisque o obtiet or γ k2 2 N k2 [ l + )] N N N l N + γ + o) [ l + )] γ ln + ) l + ) ) k k k k2 ) k k ) k k k k k2 k2 ) k + k 2 k2 + dx k x k k2 ) k k k kk ) < + doc o peut appliquer le théorème d échage de Fubii et affirmer et efi 2 k2 γ Exercice 27 : [éocé] Soit ) k k2 k k ) k + k k2 2 k2 S x) somme de série etière défiie sur ] ; [. S x) ) k k k k2 ) k ζk) ) k x x 3+ x x 3 ) k ζk) ) k k2 ) k ζk) k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

64 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 64 doc 3 + 2) 3 3 9S 3 3 ce qui doe u résultat assez mostrueux : 9 /3) 3 fouri par Maple. ) 3 / t dt t 3 2 3arcta 9 32/3) + 3 ) 3)+ 6 l3)+ 6 l3+3/3) +3 2/3) ) 3 l 32/3) +3)+ 3π) 8 Exercice 28 : [éocé] O a l + x) x ) x avec ue covergece uiforme sur [ ; ] par majoratio du reste d ue série vérifiat le critère spécial. O a alors l + x) ) x ) dx dx x O peut motrer que cette vaut π 2 /2 si l o sait Exercice 29 : [éocé] Pour tout x [ ; ], o a arcta x x π2 2 6 ) x e cosidérat que la valeur du premier membre e est, valeur du prologemet par cotiuité). Il y a covergece uiforme de la série e secod membre sur [ ; ] par majoratio du reste d ue série satisfaisat le critère spécial. Puisque les foctios sommées sot cotiues arcta x x dx ) x dx 2 ) 2 + ) 2 O e sait pas exprimer cette valeur à l aide des costates usuelles, o l appelle ombre de Catala. Exercice 3 : [éocé] O a arcta x ) x avec covergece uiforme sur [ ; ] par majoratio du reste d ue série vérifiat le critère spécial. O peut doc itégrer terme à terme arcta x dx Par itégratio par parties, Exercice 3 : [éocé] O a ) x dx arcta x dx π 4 l 2 2 l + u) avec covergece ormale sur [ x ; x ] doc l + x si 2 t) k k avec covergece ormale sur [ ; π/2]. Par suite π/2 l + x si 2 t) dt si 2 t avec puis Or π/2 I π/2 l + x si 2 t) dt si 2 t ) k u k k ) k x k si 2k t k k si 2 t dt k ) k x 2k k 2)! π 2!) 2 2 ) k x 2k ) /2 + u x k k k k ) 2 + )2 + 2) I k 2k 2)! π 2 k k )!) 2 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

65 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 65 avec ) /2 )k 2k 2)! k 2 2k kk )!) 2 d où π/2 l + x si 2 t) dt π + x ) si 2 t Exercice 32 : [éocé] a) Par le chagemet de variable s t +, o obtiet u f s /+) ) ds + Posos alors f s) f s /+) ). Les foctios f sot cotiues par morceaux et coverget simplemet sur ] ; ] vers la foctio costate égale à f ) elle-même cotiue par morceaux. O a de plus la domiatio f s) max t [;] f t) Par covergece domiée, o a doc u f ) ds f ) + b) O réalise le chagemet de variable s t et o obtiet v l + s) f s / )s Posos alors g la foctio défiie par l itégrade, o peut à ouveau appliquer le théorème de covergece domiée sachat l + s) l + s) g s) f ) et g s) f ) + s s et l o obtiet l + s) v f ) ds + s Pour calculer l itégrale, il suffit esuite d écrire l + s) s ) s ds et de procéder à ue itégratio terme à terme sachat la sommabilité de ) s ds 2 O obtiet Exercice 33 : [éocé] Par développemet e série etière l + s) s ds l + t ) dt [;[ k ) 2 π2 2 ) k t k dt k Pour, il y a covergece de la série des itégrales des valeurs absolues doc o peut doc itégrer terme à terme par le théorème de Fubii O a alors avec doc avec car o sait k l + t ) dt ) k kk + ) k k k ) k k 2 k + ) l + t ) dt k ) k kk + ) ) k k 2 k ) k k k 2 k π2 2 6 k k π2 2 k 2 ) k k 2 ) k k 2 k + ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

66 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 66 Exercice 34 : [éocé] g est la somme d ue série etière de rayo de covergece R +, c est doc ue foctio de classe C et h l est aussi par produit. ht) + f t) avec f t) ) t e t 2 2!)! pour tout t [ ; + [ Les foctios f sot cotiues par morceaux sot itégrables sur R +. Puisque o obtiet t e t dt! f 2 2! et doc la série [;+ [ f coverge. Puisque f coverge simplemet sur R + vers h cotiue par morceaux, o peut par théorème affirmer que h est itégrable sur R + et Exercice 35 : [éocé] ht) dt f t) dt a) R est la bore supérieure das R {+ } de l esemble ) 2 2! e /4 {r [ ; + [ a r ) N est borée} Soit < r < R. O peut itroduire ρ tel que r < ρ et a ρ ) N soit ue suite borée. Pour tout z D, r), o a ) ) r r a z a r a ρ ρ) O ρ Ce majorat uiforme état sommable car r/ρ < ), o obtiet la covergece ormale voulue. b) Pour z < r, o peut décomposer e série géométrique r z e e iθ iθ z r+ Sachat la foctio f borée sur le compact {z C z r}, il y a covergece de la série 2π Im f r e iθ )) e iθ z dθ ce qui permet ue itégratio terme à terme 2π Im f r e iθ ) ) dθ r z e iθ r + 2π Im f r e iθ ) ) ) z e iθ dθ r + O obtiet aisi u développemet e série etière sur D, r). Pour l expliciter, o calcule le terme itégral e procédat à ue itégratio terme à terme justifiée par l absolue covergece de a r avec I k Rea k ) 2π 2π Im f r e iθ ) ) e iθ dθ sikθ) e iθ dθ + Ima k ) Pour k, les deux itégrales sots ulles. Pour k, Pour k, 2π 2π 2π O peut alors coclure 2π sikθ) e iθ + dθ et sikθ) e iθ dθ i coskθ) e iθ dθ π 2π 2π Im f r e iθ ) ) dθ 2π Ima ) + π r z e iθ r iπ ) f ) f z) r k 2π I k r k coskθ) e iθ dθ coskθ) e iθ dθ 2π si 2 kθ) dθ iπ et Ima ) i Rea ) ) z c) Si f est ue telle foctio, l itégrale au-dessus est ulle et doc f z) f ) pour tout z < r O e déduit a R et a pour. La foctio f est alors costate réelle. r Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

67 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 67 Exercice 36 : [éocé] a) E posat Y X, Pour Y ] /2 ; /2[, Y + 2) m 2 m ) + Y m 2 m Après simplificatios X + ) m X ) Y Y + 2) m 2 Y + 2) m k k ) k 2 m+k m m )... m k + ) Y k k! 2 k m + k O e déduit que la partie polaire relative au pôle est avec k ) Y k a X ) + + a X a Y + + a Y a k )k 2 m+k ) m + k De même, e posat Z X +, la partie polaire relative au pôle est avec b X + ) m + + b m X + b Z m + + b m Z b k ) 2 +k k ) + k Efi, puisque de partie etière ulle, la fractio ratioelle étudiée est la somme des deux parties polaires proposées. b) E réduisat chaque partie polaire au même déomiateur, o obtiet X + ) m X ) k a kx ) k m k X ) + b kx + ) k X + ) m Par coséquet, o posat m UX) a k X ) k et VX) b k X + ) k k la poursuite de la réductio au même déomiateur du calcul précédet doe k k X + ) m UX) + X ) VX) Exercice 37 : [éocé] a) Soit r ] ; R[. La série umérique a r est absolumet covergete. Pour tout z C, a! z a r z ) o a r )! r car par croissace comparée z )! r + Par comparaiso de séries absolumet covergetes, o peut affirmer que la série umérique a z est absolumet covergete pour tout z C. Le rayo de covergece de la série etière étudiée est +. b) O a f t)e xt a! t e xt f t) avec f t) a! t e xt La série de foctios f coverge simplemet sur [ ; + [. Les foctios f et la foctio t f t)e xt sot cotiues par morceaux sur [ ; + [. Les foctios f sot itégrables sur [ ; + [ car t 2 f t) et t + f t) dt a! Par itégratio par parties gééralisées successives et doc t e xt dt! x + f t) dt a x + t e xt dt Si x > /R alors la série a /x + est covergete et, par le théorème de Fubii, o peut affirmer que la foctio t f t)e xt est itégrable et Exercice 38 : [éocé] a) O a f t)e xt dt a x + S N x) 2 x S N x) 2 S x) 2 R N x)s x) + S N x)) C est doc ue série etière dot le premier terme o ul est au mois u x N+. D autre part S N x)) 2 x est u polyôme. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

68 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 68 b) Pour N tel que A N, S N A)) 2 I A O doc B S N A) coviet. Exercice 39 : [éocé] Pour x <, o a le développemet e série etière O peut écrire + x) α ) α x + x) a+b + x) a + x) b Par produit de Cauchy de développemets e série etière + x) a+b k ) a k b k Par uicité des coefficiets d u développemet e série etière, o obtiet e étudiat le coefficiet d idice ) ) ) a b a + b k k k ) x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd