Exercice 8 [ ] [Correction] Soit α R. Quel est le rayon de convergence de n 1 cos(nα)

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1 [ édité le 28 décembre 26 Eocés Séries etières Calcul de rayo de covergece cocret Exercice [ 97 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : Exercice 6 [ 2842 ] [Correctio] Quel est le rayo de covergece de π 2 +2 x 2? Exercice 7 [ 284 ] [Correctio] O ote a la -ième décimale de 3. Quel est l itervalle de défiitio de + a x? a) z b) e 2 z c) l 2 z 2 d)! z3 Exercice 8 [ 2843 ] [Correctio] Soit α R. Quel est le rayo de covergece de cosα) x? Exercice 2 [ 354 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece de : a)!z b) ) z 2 c) 3)! z!) 3 d) + ) + z Exercice 9 [ 973 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates : d)z et s)z où d) et s) désiget respectivemet le ombre de diviseurs supérieurs à de l etier et la somme de ceux-ci. Exercice 3 [ 972 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece des séries etières : a) z 2 b) si)z c) si) z 2 Exercice 4 [ 3298 ] [Correctio] a) Détermier les rayos de covergece des séries etières ) + l x et sie )x b) Ue série etière coverge-t-elle ormalemet sur so disque ouvert de covergece? Exercice 5 [ 3383 ] [Correctio] Détermier le rayo de covergece de la série etière a x où a ) est la suite détermiée par a α, a β et N, a +2 2a + a avec α, β) R 2. Exercice [ 3483 ] [Correctio] Soit α u réel irratioel fixé. O ote R α le rayo de covergece de la série etière a) Démotrer que R α. b) O cosidère la suite u ) défiie par Démotrer que pour tout etier x siπα) u 2 et, u + u ) u u u + + ) E déduire que la série de terme gééral /u coverge. Das la suite, o pose α et o admet que α est irratioel. u Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 2 c) Démotrer qu il existe ue costate C strictemet positive telle que, pour tout etier : πu C u k d) Démotrer que R α. k+ u u e) Questio subsidiaire : démotrer que α est effectivemet irratioel. Éocé fouri par le CENTRALE-SUPELEC CC)-BY-NC-SA Calcul de rayo de covergece abstrait Exercice [ 977 ] [Correctio] Soiet a z ue série etière de rayo de covergece R et z C. O suppose que a z est semi-covergete. Détermier R. Exercice 2 [ 975 ] [Correctio] O suppose que a l R + {+ }. Détermier le rayo de covergece de a z. Exercice 6 [ 339 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R >. Détermier le rayo de covergece de a! z Exercice 7 [ 2523 ] [Correctio] Soit ue série etière a z de rayo de covergece o ul. a) Motrer qu il existe u réel r > tel que a /r à partir d u certai rag. b) Quel est le rayo de covergece de la série etière a! z? c) O ote S k a k. Quel est le rayo de covergece de la série etière S! z? Exercice 8 [ 3484 ] [Correctio] Soit a ) ue suite de réels tous o uls. Quelle relatio lie les rayos de covergece des séries etières ci-dessous a z et z a Exercice 3 [ 978 ] [Correctio] Motrer que pour tout α R les séries etières a z et α a z ot même rayo de covergece. Exercice 4 [ 974 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Détermier le rayo de covergece de la série etière a z 2. Exercice 5 [ 33 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. Détermier le rayo de covergece de a 2 z Exercice 9 [ 976 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R. O pose b a + a et o ote R le rayo de covergece de b z. a) Motrer que R max, R) b) Établir que si R > alors R R. c) Exprimer alors R e foctio de R. Exercice 2 [ 979 ] [Correctio] Soiet a z et b z deux séries etières de rayo de covergece R a et R b. O suppose que pour tout N, a b. Motrer que le rayo de covergece de a + b )z est R mir a, R b ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 3 Domaie de covergece Exercice 2 [ 2855 ] [Correctio] Pour N, o pose a) Détermier la limite de I ). b) Doer u équivalet de I ). I e t dt c) Détermier le rayo de covergece R de la série etière de terme gééral I x. Étudier sa covergece e R et e R. Exercice 22 [ 36 ] [Correctio] Pour p, q N, o pose a) Calculer Ip, q). Ip, q) t p t) q dt b) La série de terme gééral u I, ) est-elle covergete ou divergete? c) Doer le domaie de défiitio réel de la série etière de u x. Étude de la somme d ue série etière cocrète Exercice 23 [ 337 ] [Correctio] Soit f ) la suite des foctios doée par 2, x R, f x) ) l)x a) Détermier le rayo de covergece de la série etière f. O ote S sa somme. b) Motrer que x ] ; [, S x) + x c) E déduire que S admet ue limite e et que lim x S x) 2 ) + l + ) x + ) + l + ) d) Calculer la limite ci-dessus e utilisat la formule de Wallis Exercice 24 [ 38 ] [Correctio] 3 2 ) lim ) a) Étudier la covergece et préciser la limite évetuelle de a ) défiie par b) Rayo de covergece de a x a + l + a ) et a > c) Étudier la covergece de a x ) sur le bord de l itervalle de covergece o pourra étudier la limite de /a + /a et utiliser le théorème de Cesaro) Exercice 25 [ 3653 ] [Correctio] Pour x réel, o pose f x) x a) Détermier le rayo de covergece R de la série etière défiissat f. b) Étudier la covergece de la série etière e et e. c) Établir la cotiuité de f e. d) Détermier la limite de f e. Exercice 26 [ 389 ] [Correctio] a) Doer l itervalle de défiitio I de la foctio s qui au réel x associe sx) x b) Quel est le sige de s sur I R +? Quelle est la limite de s e l extrémité droite de I R +? c) Écrire x)s x) sous forme d ue série et e déduire le sige de s sur I. d) Étudier la covexité de f défiie sur R + par E déduire que la foctio s est covexe. f x) x + x ) x π Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 4 Exercice 27 [ 32 ] [Correctio] Soit f : x ) si x a) Détermier le rayo de covergece R de la série etière défiissat f. b) Étudier la covergece e R et e R. c) Détermier la limite de f x) quad x. d) Motrer que quad x x) f x) Exercice 28 [ 3663 ] [Correctio] O pose Motrer que z C, cz) ) ) 2)! z2 et sz) 2 + )! z2+ z C, cz) 2 + sz) 2 Étude de la somme d ue série etière abstraite Exercice 29 [ 98 ] [Correctio] Soit a z ue série etière de rayo de covergece R > et de somme f. a) Exprimer + a 2 z 2 e foctio de f pour z < R. b) Même questio avec + a 3 z 3. Exercice 3 [ 983 ] [Correctio] Soit a ) ue suite o ulle et T périodique avec T N ). a) Détermier le rayo de covergece de la série etière a x. b) Simplifier T k a k x k. E déduire que + a x est, pour tout x ] ; [, ue fractio ratioelle e x. a) Détermier le rayo de covergece de la série etière défiissat g. b) Pour tout x ] ; [, exprimer gx) e foctio de f x). Exercice 32 [ 982 ] [Correctio] Soit a ) ue suite de réels strictemet positifs. O pose S k a k et o suppose S + et a /S Détermier le rayo de covergece des séries etières a x et S x puis former ue relatio etre leur somme. Exercice 33 [ 984 ] [Correctio] Soit S x) + a x de rayo de covergece R >. O suppose qu il existe α > tel que sur [ ; α] o ait S x). Motrer que S. Exercice 34 [ 2854 ] [Correctio] Soit ue série etière a z de rayo de covergece R > et de somme f z). a) Motrer que pour < r < R, a 2 r 2 2π 2π b) Que dire de f si f admet u maximum local e? f r e iθ ) 2 dθ c) O suppose maiteat que R + et qu il existe P R N [X] tel que f z) P z ) pour tout z complexe. Motrer que f C N [X]. Exercice 3 [ 98 ] [Correctio] Soit f x) + a x la somme d ue série etière de rayo de covergece. O pose pour tout N S a k et gx) S x k Exercice 35 [ 2856 ] [Correctio] Soiet B {z C, z } et f ue foctio cotiue de B das C dot la restrictio à B est somme d ue série etière. Motrer qu il existe ue suite P k ) k de polyôme covergeat uiformémet vers f sur B. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 5 Comportemet e ue extrémité de l itervalle de covergece Exercice 36 [ 368 ] [Correctio] Soit I l esemble des réels x tels que la série etière l)x coverge. O ote f x) la somme de cette série etière. a) Détermier I. b) O pose Détermier le domaie de défiitio de c) Trouver ue relatio etre f et g. a et a l ) pour 2 g: x d) Doer u équivalet de f x) quad x. e) Doer la limite de f x) quad x + Exercice 37 [ 3783 ] [Correctio] Doer u équivalet simple quad x de Exercice 38 [ 2844 ] [Correctio] f x) x 2 a) Soit a ) ue suite complexe. O suppose que la série etière a x a pour rayo de covergece R. Détermier les rayos de covergece de a l )x et a k x a x b) Doer u équivalet simple de + l)x quad x. k Exercice 39 [ 2852 ] [Correctio] Domaie de défiitio et étude aux bores de Exercice 4 [ 3747 ] [Correctio] a) Doer l esemble de défiitio de f x) l + ) x l + ) x b) Calculer f ) et ) E/x) x dx où E est la foctio partie etière. c) Doer u équivalet de f e x Exercice 4 [ 2853 ] [Correctio] O pose pour N. a a) Étudier la covergece de la série + a x etière pour x réel. O ote f x) la somme de cette série etière. b) La foctio f est-elle cotiue e? c) Doer u équivalet simple de f e. Exercice 42 [ 58 ] [Correctio] a) Détermier le rayo de covergece R de la série etière a x où la suite a ) est défiie par a + l + a ) et a > b) Étudier la covergece de a x e x R. th t t 2 c) Détermier la limite de la suite u ) de terme gééral d) E déduire u équivalet simple de a ). dt u a + a Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 6 e) Doer u équivalet de quad x R. Exercice 43 [ 367 ] [Correctio] Soit u ) ue suite réelle borée et pour N S k a x a) Quels sot les rayos de covergece des séries etières u k u S! x et! x? b) O ote u et S leurs sommes respectives. Former ue relatio etre S, S et u. c) O suppose que la suite S ) coverge vers u réel l. Détermier lim x + e x S x) d) Das cette questio, o choisit u ). Détermier lim x + e x S x) Exercice 44 [ 2394 ] [Correctio] Soit a x ue série etière de rayo de covergece R. Pour x ] ; [, o défiit S x) O suppose que la suite a ) est à termes réels positifs et que la foctio S est borée sur [ ; [. a) Motrer que a est ue série covergete. b) Motrer que lim x a x a x ) a Exercice 45 [ 3245 ] [Correctio] Soit a x ue série etière de rayo de covergece R avec Pour x ] ; [, o pose N, a S x) et o suppose que la foctio S est borée. a) Motrer que la série a est covergete. b) Motrer que a x lim S x) x Exercice 46 [ 3246 ] [Correctio] Soit a x ue série etière de rayo de covergece R et de somme x ] ; [ f x) O suppose que la série umérique a coverge, motrer que la foctio f est défiie et cotiue e. a a x Exercice 47 [ 3244 ] [Correctio] Soit f la foctio somme das le domaie réel d ue série etière a x de rayo de covergece R. O suppose l existece d u réel l lim x f x) a) Peut-o affirmer que la série umérique a coverge et que sa somme vaut l? b) Que dire si l o sait de plus a o/)? [Théorème de Tauber] Exercice 48 [ 985 ] [Correctio] Soiet a x et b x deux séries etières de sommes respectives f x) et gx) avec pour tout N, b >. O suppose que le rayo de covergece de b x est R et que cette série diverge e R. a) O suppose que a ob ). Motrer que f x) ogx)) quad x R. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 7 b) O suppose que a b. Que dire de f x) et gx) au voisiage de R? Exercice 49 [ 2452 ] [Correctio] Soit p ) ue suite strictemet croissate d etiers aturels telle que op ). O pose f x) x p a) Doer le rayo de covergece de la série etière x p et étudier la limite de x) f x) quad x ted vers par valeurs iférieures. b) Ici p q avec q N et q 2. Doer u équivalet simple de f e. Exercice 5 [ 2483 ] [Correctio] Soit α >. a) Doer le rayo de covergece R de f α x) α x O désire trouver u équivalet de f α lorsque x R. b) O suppose que α est u etier p. Calculer f, f. Doer avec u logiciel de calcul formel l expressio de f 2,..., f 5. Trouver les équivalets recherchés. Motrer qu il existe Q p R[X] tel que f p x) Q px) x) p+ o calculera f p). E déduire l équivalet recherché. c) O suppose α > quelcoque. Doer le développemet e série etière de x) +α O otera b ses coefficiets. Motrer qu il existe Aα) > tel que α Aα)b. O étudiera la ature de la série de terme gééral l + )α b + l α b E déduire que f α x) est équivalete à quad x ted vers R. Exercice 5 [ 3989 ] [Correctio] O pose f x) Aα) x) +α l )x et gx) 2 a) Détermier les rayos de covergece de f et de g. b) Motrer que g est défiie et cotiue sur [ ; [. l ) x c) Trouver ue relatio etre x) f x) et gx) pour x ] ; [. d) Motrer que f peut être prologée e ue foctio cotiue sur [ ; [. e) Trouver des équivalets de f et g e. Foctios développables e série etière Exercice 52 [ 992 ] [Correctio] Soiet a > et f : [ a ; a] R de classe C pour laquelle il existe A, K > vérifiat pour tout N f ) K!A Motrer que f est développable e série etière sur u itervalle ouvert cetré e. Exercice 53 [ 333 ] [Correctio] Soit f : ] R ; R[ R avec R > ) de classe C vérifiat Motrer la covergece de la série pour tout x ] R ; R[. N, x [ ; R[, f ) x)! f ) )x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 8 Exercice 54 [ 285 ] [Correctio] Soiet a > et f C ] a ; a[, R) telle que a) Si x < r < a, motrer N, x ] a ; a[, f ) x) f x) k f k) ) x k k! x r + f r) b) Motrer que f est développable e série etière sur ] a ; a[. c) Motrer que x ta x est développable e série etière sur ] π/2 ; π/2[. Exercice 55 [ 994 ] [Correctio] Soiet a > et f : ] a ; a[ R de classe C telle que f ) pour tout N. Motrer que f est égale à la somme de sa série de Taylor e. Exercice 56 [ 993 ] [Correctio] [Foctio absolumet mootoe] Soit f : R R de classe C telle que f ) pour tout N. Motrer que f est développable e série etière e. Exercice 57 [ 3358 ] [Correctio] Motrer que la foctio f : x x 2 + x + admet u développemet e série etière de rayo de covergece R. Exercice 58 [ 332 ] [Correctio] Établir que la foctio x sh x est développable e série etière et préciser le rayo de covergece. a) Motrer que la foctio f est défiie et de classe C sur R. b) Observer que le rayo de covergece de sa série de Taylor e est ul. Exercice 6 [ 2975 ] [Correctio] État doé ue suite complexe a ) N de carré sommable, o pose où la variable t est réelle. f t) a) Préciser le domaie de défiitio de f. a t b) Motrer que f est développable e série etière autour de. c) Motrer que si f est idetiquemet ulle sur [ /2 ; /2], la suite a ) N est idetiquemet ulle. Exercice 6 [ 256 ] [Correctio] Soit a ] ; [. O pose a) Motrer que f est défiie sur R. f x) sia x) b) Motrer que f est de classe C et que pour tout k N et tout x R, f k) x) a c) Motrer que f est développable e série etière. Calcul de développemet e série etières Exercice 59 [ 3687 ] [Correctio] Pour x R, o pose f x) cos2 x)! Exercice 62 [ 987 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de la foctio x lx 2 + x + ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 9 Exercice 63 [ 988 ] [Correctio] Soiet a, b > avec a b. Calculer c, le -ième coefficiet du développemet e série etière e de Exprimer x ax) bx) c 2 x b) Motrer que le rayo de covergece R de la série etière a z est au mois égal à. c) Établir que pour tout z < R, a z d) E déduire que pour tout x ] R/2 ; R/2[, ta x p 2 e z + ) p+ a 2p+ 2 2p+ x 2p+ Exercice 64 [ 989 ] [Correctio] Pour t ] ; π[, former le développemet e série etière e de la foctio e) Établir R π x Exercice 65 [ 99 ] [Correctio] Former le développemet e série etière de pour z < et t ] ; π[. x 2 2x cos t + x 2 z cos t 2z cos t + z 2 Exercice 66 [ 3485 ] [Correctio] Former le développemet e série etière de + x f : x x Exercice 67 [ 3346 ] [Correctio] [Développemet e série etière de la foctio tagete] Soit a ) N la suite réelle détermiée par les coditios a) Calculer a, a 2, a 3. a et, a + k a k k! Exercice 68 [ 995 ] [Correctio] Réaliser le développemet e série etière e de x dt et recoaître cette t 2 +x 2 foctio. Exercice 69 [ 2859 ] [Correctio] a) Motrer, si t R : eit k it) k k! t + + )! b) Soit f C R, R) telle que t f t) dt ) soit borée. Motrer que F : x eitx f t) est développable e série etière e. Exercice 7 [ 376 ] [Correctio] Pour x ] ; [, o pose a) Justifier f x) π/2 x ] ; [, f x) dθ x 2 si 2 θ b) E déduire u équivalet de f x) quad x. [ ] 2 π 2)! x 2 2 2!) 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 28 décembre 26 Eocés Exercice 7 [ 377 ] [Correctio] a) Pour quel réel x, l itégrale suivate existe-t-elle b) Doer alors sa valeur. c) Motrer que f x) dt x + e t? dt x + e t est développable e série etière et exprimer ce développemet. Exercice 72 [ 252 ] [Correctio] a) Quel est le domaie de défiitio de pour a ] ; [? S x) a x + b) Détermier la limite et u équivalet de S e +. c) Développer e série etière Exercice 73 [ 3878 ] [Correctio] Pour α [ ; [ et x R o pose S x) S x) x shα x) a) Motrer que la foctio S est défiie et cotiue sur R. b) Former ue relatio egageat S αx) et S x). c) Établir que la foctio S est développable e série etière sur R et exprimer ce développemet. Exercice 74 [ 3899 ] [Correctio] Soiet a C et p N. Former le développemet e série etière de Exercice 75 [ 265 ] [Correctio] Soit α ] ; [. x x a) p+ a) Motrer, pour tout x R, la covergece de la suite de terme gééral P x) vers ue limite que l o otera Px). α k x ) b) Soit f : R R cotiue vérifiat l équatio foctioelle Motrer, pour tout x R, k E): x R, f x) x) f αx) f x) f )Px) c) Motrer que la foctio x Px) est développable e série etière sur R. Exercice 76 [ 252 ] [Correctio] Pour z C et N, o pose P z) z ) 2 k k a) Motrer que P z) P z ). E déduire que la suite P z)) N est borée. Idice : o pourra peser à itroduire l P z ). b) E étudiat la covergece de la série P + z) P z)), établir la covergece de la suite P z)) N. O itroduit la foctio f : z lim + P z) c) Motrer que f est cotiue e. d) Motrer que f est l uique foctio cotiue e vérifiat z C, f z) z) f z/2) et f ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [ édité le 28 décembre 26 Eocés e) Motrer que f est développable e série etière. Exercice 77 [ 393 ] [Correctio] [Idetité biomiale] Établir que pour tout x ] ; [ et a R x) a aa + )... a + ) x! Calcul de développemet par dérivatio itégratio Exercice 78 [ 986 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de la foctio Exercice 82 [ 99 ] [Correctio] Pour α ] ; π[, former le développemet e série etière e de la foctio + x f : x arcta x ta α ) 2 Exercice 83 [ 2848 ] [Correctio] Pour x ] ; [ et α R, établir x ) x si α siα) arcta x cos α Calcul de développemet par équatio différetielle Exercice 79 [ 2857 ] [Correctio] Développer e série etière x lx 2 5x + 6) x x dt + t + t 2 Exercice 84 [ 3 ] [Correctio] Soiet p N et f x) ) + p x p a) Détermier le rayo de covergece de la série etière défiissat cette foctio. b) Calculer f x) e étudiat x) f x). Exercice 8 [ 78 ] [Correctio] Soit x R et θ ] ; π/2[. a) Calculer la partie imagiaire du complexe si θ e iθ x si θ e iθ b) E déduire le développemet e série etière de f x) arcta x ) ta θ Exercice 8 [ 2525 ] [Correctio] Motrer que f x) arcta + x) est développable e série etière au voisiage de et doer so rayo de covergece. Calculer cette série etière. Exercice 85 [ 937 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de x a) e procédat à ue itégratio terme à terme. e t2 sitx) dt b) e détermiat ue équatio différetielle dot la foctio est solutio. Exercice 86 [ 2858 ] [Correctio] Développer e série etière f : x Exercice 87 [ 4 ] [Correctio] Soit f défiie sur ] ; [ par x + + x 2 au voisiage de. f x) arcsi x x 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 2 a) Justifier que f est développable e série etière sur ] ; [. b) Motrer que f est solutio de l équatio différetielle x 2 )y xy. c) Détermier le développemet e série etière de f sur ] ; [. Exercice 88 [ 3699 ] [Correctio] a) Quel est l esemble de défiitio de f x) arcsi x x 2? b) Motrer que f est solutio d ue équatio différetielle à détermier. c) Justifier que f est développable e série etière et doer ce développemet. Exercice 93 [ 9 ] [Correctio] a) Former de deux faços le développemet e série etière e de x f : x e x2 e t2 dt b) Motrer que f est solutio d ue équatio différetielle liéaire du premier ordre avec pour coditio iitiale f ). c) Motrer que f est développable e série etière et e doer le rayo de covergece. b) E déduire la relatio k ) k ) ) 2 2k + k ) Exercice 89 [ 5 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de la foctio Exercice 9 [ 7 ] [Correctio] Soiet α R et f : x arccos x x 2 f : x cosα arcsi x) a) Détermier ue équatio différetielle d ordre 2 dot f est solutio. b) E déduire u développemet e série etière de f. Exercice 9 [ 8 ] [Correctio] Former le développemet e série etière e de Exercice 92 [ 3694 ] [Correctio] a) Étudier la parité de x sh arcsi x) f : x e x2 /2 x e t2 /2 dt Exercice 94 [ 3659 ] [Correctio] a) Former ue équatio différetielle vérifiée par f : x > e t x + t dt b) E déduire le développable e série etière e de f. Exercice 95 [ 33 ] [Correctio] Développer f x) chx) cosx) e série etière e l exprimat à l aide de foctios expoetielles. Retrouver le résultat e remarquat que f est solutio de l équatio différetielle y 4) + 4y. Exercice 96 [ 25 ] [Correctio] Soiet k > et f x) a) Motrer que f est cotiue sur R. b) Motrer que f est dérivable sur R et vérifie t k sixt) dt x R, x f x) + k + ) f x) si x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 3 c) Détermier toutes les foctios développables e série etière e solutios de xy + k + )y si x e précisat le rayo de covergece. Exercice 97 [ 2498 ] [Correctio] O cosidère l équatio différetielle E): ty + y 3t 2 cost 3/2 ) a) Motrer qu il existe ue uique solutio v de E) développable e série etière sur u voisiage de. b) Trouver l esemble des solutios de E) sur R + et e déduire ue expressio plus simple de v. Exercice [ 3648 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de ) + x 2+ Exercice 2 [ 2845 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de x Calcul de sommes de séries etières Exercice 98 [ 997 ] [Correctio] Soit f : x 2 a) Détermier l itervalle de covergece de f. ) ) x b) Exprimer la foctio f à l aide des foctios usuelles sur ] ; [ c) Calculer f ) et f ). Exercice 3 [ 999 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de Exercice 4 [ ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de x ) x 2 + Exercice 99 [ 996 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de x! Exercice 5 [ ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de x Exercice [ 998 ] [Correctio] Rayo de covergece et somme de + ) 2) x! Exercice 6 [ 2448 ] [Correctio] Pour >, o pose a) Trouver la limite de a ). a π/4 b) Trouver ue relatio simple etre a +2 et a. ta t dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

14 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 4 c) O pose u x) a α x Doer la ature de la série de terme gééral u x) e foctio de x et de α. d) O pose f x) Exprimer f à l aide des foctios usuelles. Exercice 7 [ 2449 ] [Correctio] Soit a ) la suite défiie par a et a! a) Rayo de covergece de a x. b) Somme de a x. Exercice 8 [ 2847 ] [Correctio] a x t k) dt pour N k a) Détermier le rayo de covergece R de! ) x b) Pour x ] R ; R[ calculer la somme précédete. Exercice 9 [ 2559 ] [Correctio] a) Détermier le rayo de covergece de la série etière ) x. b) Calculer sa somme. Exercice [ 75 ] [Correctio] Calculer S x) x 3 3)! o pourra calculer S k x) + x 3+k 3+k)! pour k {,, 2}) Exercice 2 [ 244 ] [Correctio] Soiet a x et b x deux séries etières de rayos de covergece R et R. a) Détermier le rayo de covergece et la somme de c x avec c k a kb k. b) Détermier le rayo de covergece et la somme de Exercice 3 [ 2565 ] [Correctio] Trouver le rayo de covergece de ) x Calculer la somme das le bo itervalle. Exercice 4 [ 255 ] [Correctio] Calculer a sh + ) x t t) dt pour N. Calculer le rayo de covergece de la série etière a x. Calculer la somme de cette série etière sur l itervalle ouvert de covergece. Exercice [ 379 ] [Correctio] Étude et expressio de la série ) x Exercice 5 [ 267 ] [Correctio] Pour, o pose a) Trouver la limite de la suite a ). a π/4 ta t dt Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

15 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 5 b) Doer ue relatio simple etre a +2 et a. c) O pose f x) la somme de la série etière Détermier l itervalle de défiitio de f. d) Exprimer f à l aide des foctios usuelles. a x Exercice 6 [ 2534 ] [Correctio] O pose θ R, N, a cosθ) a) Calculer + a x pour tout x ] ; [. b) Motrer que pour tout θ kπ, la série a d ue itégrale. c) Calculer cette itégrale pour θ ] ; π[. + coverge et exprimer sa somme à l aide Applicatio à la détermiatio du terme gééral d ue suite Exercice 7 [ 285 ] [Correctio] O pose a puis pour tout N a + k ) a k a k k Calculer les a e utilisat la série etière de terme gééral a! x. Exercice 8 [ ] [Correctio] a) Former le développemet e série etière e de b) Soit u ) C N vérifiat x x) x 2 ) N, u +3 u +2 + u + u Exprimer le terme gééral de la suite u ) e foctio de ses premiers termes. Exercice 9 [ ] [Correctio] O pose a et pour tout N, a + a k a k k a) Doer ue formule permettat de calculer b) Calculer S x). c) Calculer les a. d) Doer u équivalet de la suite a ). S x) Exercice 2 [ 245 ] [Correctio] O ote N, p) le ombre de permutatios de ; qui ot exactemet p poits fixes. O pose e particulier D) N, ), puis a) relier N, p) et D p). f x) a x D) x! b) Justifier la défiitio de f sur ] ; [ puis calculer f. c) Calculer N, p). d) Étudier la limite de! N, p)) quad ted vers +. Exercice 2 [ 2849 ] [Correctio] Ue ivolutio d u esemble E est ue applicatio f : E E vérifiat f f Id E. Pour, o ote I le ombre d ivolutios de ;. O coviet : I. a) Motrer, si 2, que I I + )I 2 b) Motrer que la série etière I! x coverge si x ] ; [. O ote S x) sa somme. c) Motrer, pour x ] ; [, que S x) + x)s x) d) E déduire ue expressio de S x), puis ue expressio de I. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

16 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 6 Applicatio à la régulatité d u prologemet cotiu Exercice 22 [ 2 ] [Correctio] a) Motrer que la foctio x si x x se prologe e ue foctio de classe C sur R. b) Motrer qu il e est de même de la foctio x si x e x Exercice 23 [ 338 ] [Correctio] Pour x o pose f x) 2x x cos t t a) Motrer que f peut être prologée par cotiuité e. b) Motrer que ce prologemet est développable e série etière sur R. Applicatio au calcul de sommes Exercice 24 [ 3 ] [Correctio] Motrer que pour tout a >, E déduire les sommes Exercice 25 [ 7 ] [Correctio] dt dt + t a ) a + ) + et ) 2 + a) Développer e série etière e la foctio arcsi et préciser le domaie de covergece. b) E étudiat détermier k π/2 arcsisit)) dt 2k + ) puis 2 k 2 k Exercice 26 [ 9 ] [Correctio] a) O ote γ la costate d Euler. Établir l égalité b) E déduire que Exercice 27 [ 288 ] [Correctio] Calculer γ γ l + )) k2 ) k ζk) k 3 + 2) 3 Itégratio terme à terme de séries etières Exercice 28 [ 4 ] [Correctio] Motrer l + x) dx x Exercice 29 [ 5 ] [Correctio] Établir l idetité arcta x dx x Exercice 3 [ 6 ] [Correctio] Motrer ) 2 + )2 + 2) E déduire la valeur de cette somme. ) 2 ) 2 + ) 2 arcta x dx Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

17 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 7 Exercice 3 [ 8 ] [Correctio] Observer que pour tout x ] ; [, π/2 Exercice 32 [ 3 ] [Correctio] Soit f : [ ; ] R ue foctio cotiue. l + x si 2 t) dt π + x ) si 2 t a) Détermier la limite de la suite de terme gééral b) Détermier la limite de v u Exercice 33 [ 2865 ] [Correctio] Étudier la limite de la suite de terme gééral I t f t) dt l + t ) f t) dt l + t ) dt Exercice 34 [ 2597 ] [Correctio] Motrer que g: t + ) t est de classe C sur R. 2 2!) 2 E déduire que h: t gt)e t est de classe C sur R. Motrer que ht) dt existe et calculer so itégrale. Exercice 35 [ 46 ] [Correctio] O cosidère ue série etière complexe a z de rayo de covergece R >. O ote f sa somme défiie pour z < R par f z) a) Rappeler la défiitio du rayo de covergece d ue série etière et motrer que a z coverge ormalemet sur le disque D, r) {z C, z r} si < r < R. a z b) Soit r u réel tel que < r < R, motrer que la foctio 2π Im f r e iθ ) ) z dθ r z e iθ est développable e série etière et exprimer la somme de cette série etière e foctio de f z) et de f ). c) Détermier les foctios f, développables e série etière sur D, R), et qui e preet que des valeurs réelles sur u esemble de la forme {z C, z r} pour < r < R. Applicatios variées des séries etières Exercice 36 [ 2422 ] [Correctio] a) Détermier la décompositio e élémets simples de avec m, deux etiers o uls. X + ) m X ) b) Détermier deux polyômes U et V tels que X + ) m UX) + X ) VX) Exercice 37 [ 374 ] [Correctio] Soit ue série etière a z de rayo de covergece R >. a) Détermier le rayo de covergece de la série etière a! z O pose doc, pour t das R, f t) a! t b) Motrer qu il existe r > tel que pour tout x > r, t f t)e xt soit itégrable sur [ ; + [ et exprimer cette itégrale sous forme de série etière e /x. Exercice 38 [ 77 ] [Correctio] Soit S x) a x le développemet e série etière de x + x. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

18 [ édité le 28 décembre 26 Eocés 8 a) Pour N N, o pose S N N a x et R N N+ a x Motrer que S N x)) 2 x est u polyôme dot la plus petite puissace de x est de degré N +. b) Soit A M C) ilpotete. Justifier l existece d ue matrice B M C) telle que B 2 I + A Exercice 39 [ 3932 ] [Correctio] [Formule de Chu-Vadermode] Pour α R, o pose ) α αα )... α + ) α N,! Établir a, b R, k ) ) a b k k ) a + b Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

19 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 9 Correctios Exercice : [éocé] a) u z) z. Pour tout z, u +z) u z) z doc R 3. b) u z) z e 2. Pour tout z C, 2 u z) doc R +. c) u z) l z 2. Pour tout z, u +z) 2 u z) l+) 2 l z 2 z 2 doc R. +) 2 d) u z)! z3. Pour tout z, u +z) u z) +) z 3 e z 3 doc R e /3. Exercice 2 : [éocé] a) u z)!z. Pour tout z, u + z) u z) + ) z + doc R. b) u z) 2 ) z. Pour tout z, doc R /4. u + z) u z) c) u z) 3)!!) 3 z. Pour tout z, d) doc R /27. or e l u + z) u z) )2 + ) + ) 2 z 4 z 3 + 3)3 + 2)3 + ) + ) 3 z 27 z ) + + e + l+) e l e l e l+) + l doc Par suite R. l + ) + l l l + /) + + ) + l +. 2 Exercice 3 : [éocé] a) Posos si est u carré a sio a ) e ted par vers doc R mais a ) est boré doc R. Fialemet R. b) Posos a si. a ) e ted par vers doc R mais a ) est boré doc R. Fialemet R. c) Posos a si )/ 2. a ) est borée doc R. Pour z >, la suite si z ) e ted pas vers car la suite si ) e ted pas 2 vers. O e déduit R et fialemet R. Exercice 4 : [éocé] a) O a ) + l doc le rayo de covergece de la première série etière vaut. Aussi si e ) e doc le rayo de covergece de la deuxième série etière vaut e. b) O sait qu ue série etière coverge ormalemet sur tout compact iclus das so disque ouvert de covergece, mais e revache elle e coverge pas ormalemet sur ce disque. La série etière z est u cotre-exemple car R et z z,d,) Exercice 5 : [éocé] La suite a ) est ue suite récurrete liéaire d ordre 2. So terme gééral est doé par Si α, β), ) alors R. Si α, β), ) alors R +. a α + β α) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

20 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 2 Exercice 6 : [éocé] Pour x, posos u π 2 +2 x 2. Après calculs doc R / π. u + u πx 2 + Exercice 7 : [éocé] La suite a ) est borée mais e ted par vers car 3 est pas u ombre décimal). Par coséquet, pour tout x <, la série umérique a x coverge car so terme est domié par le terme sommable x. E revache a diverge car a ) e ted par. O peut coclure que le rayo de covergece de la série etière vaut. O viet de voir que la série diverge grossièremet pour x, il e est de même pour x. O coclut que l itervalle cherché est ] ; [ Exercice 8 : [éocé] Série etière et série etière dérivée ot même rayo de covergece. Étudios alors le rayo de covergece de cos + )α)x. cos + )α)) est borée doc R et e ted pas vers doc R et fialemet R. a) Puisque siπα) la série etière x siπα) diverge grossièremet e et doc R α. b) Par ue récurrece facile, o motre u + pour tout N. O a alors c) O a k+ u k u + + u u + u u + ) k+ et puisque la suite u ) est croissate avec O e déduit k+ u k u + + πu K + k+ + u k+ u + k+ k k+ k + ) k u + k + ) k u k Kπu u + Kπ u u d) Cosidéros m u N. Quad +, o a pour x > k + ) k u k K u + Exercice 9 : [éocé] d) doc R d d) et le rayo de covergece de z état égal à o a aussi R d. O peut coclure R d. De même, e exploitat s) et o a R s. s) ) 2 Exercice : [éocé] Souligos que les termes sommés pour défiir la série etière ot u ses car l irratioalité de α doe N, siπα) E effet Or et doc d où u k u k mα u k x m simπα) + u u k k u k+ k u u u + uk+ + 2N u k u k u 2 u k simπα) si πu u k+ k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

21 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 2 puis simπα) C u u x m simπα) C xu ) u + u O e déduit que x siπα) diverge pour tout x > et doc R α. e) Par l absurde, supposos α Q. Il existe alors u etier q N tel que qα N. Pour tout N, o a alors qu α N or avec comme vu ci-dessus O e déduit Or C est absurde. qu α qu + qu u k k u k qu < qu k+ k+ u k N u k N u k+ k u k < qku u + Exercice : [éocé] Par la covergece de a z o a déjà R z. Si R > z alors il y a absolue covergece e z ce qui est exclu par hypothèse. O coclut R z. Exercice 2 : [éocé] Pour z, o observe que a z l z. Or il est cou que pour u série à termes positifs, si u m [ ; [ alors la série coverge et si u m > alors la série diverge ce résultat s obtiet par comparaiso avec ue suite géométrique). Si l alors z C, a z doc a z coverge e z et doc R +. Si l ] ; + [ alors z C tel que z < /l, a z coverge tadis que pour z > /l, a z diverge. O e déduit R /l Si l + alors z C, a z diverge. Exercice 3 : [éocé] Posos b α a et comparos R a et R b. Cas α : ok Cas α > : o a a ob ) et doc R a R b Pour z C tel que z < R a, e cosidérat, ρ ] z ; R a [, o peut écrire b z α a z a ρ α z ρ oa ρ ) Puisque a ρ coverge absolumet, la série b z coverge et doc R b z. Or ceci pour tout z tel que z < R a doc Fialemet R b R a R a R b Cas α < : o écrit a α b et o exploite ce qui précède. Exercice 4 : [éocé] Notos R le rayo de covergece de a z 2. Pour z < R, z 2 < R et doc a z 2 ) a z 2 est absolumet covergete. Pour z > R, z 2 > R et doc a z 2 ) a z 2 est grossièremet divergete. O e déduit R R. Exercice 5 : [éocé] Motros par double iégalité que le rayo de covergece R de a 2 z vaut R R 2 Soit z < R. Puisque la série umérique a z est absolumet covergete, o a a z et doc a 2 z 2. Or pour Z > R, o sait que la suite a 2 Z ) est pas borée. O e déduit z 2 R et doc R R Soit z < R. O a z 2 < R et doc a 2 z 2 puis a z. O e déduit z R et doc R R Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

22 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 22 Exercice 6 : [éocé] Soit r ] ; R[. La série umérique a r est absolumet covergete. Pour tout z C, a! z a r z ) o a r )! r car par croissace comparée z )! r + Par comparaiso de séries absolumet covergetes, o peut affirmer que la série umérique a z! est absolumet covergete pour tout z C. Le rayo de covergece de la série etière étudiée est +. Exercice 7 : [éocé] a) Pour r ] ; R[, la série umérique a r coverge doc a r et à partir d u certai rag N, o a a r b) O a alors Posos Pour z, o a a z! ) z O r! u z) u + z) u z) z r! + Par la règle de d Alembert, la série umérique u z) coverge absolumet. Par comparaiso, la série umérique a z /! coverge aussi absolumet. O peut doc la série etière a z /! est de rayo de covergece +. c) O a et doc S O/r ) puis S a k k S z! N k a k + N r z ) O r )! Comme ci-dessus, la série etière S z /! est de rayo de covergece +. Exercice 8 : [éocé] Notos R et R les deux rayos de covergece de séries etières itroduites. Soit z C. Si z < R alors la série umérique a z coverge et doc a z. O e déduit que a z + et doc /z > R d où z < /R. O e déduit R /R puis RR O e peut affirmer mieux puisque, pour 2 si est pair a sio o obtiet RR /2. Exercice 9 : [éocé] a) O a b a doc R R. O a b doc R b) Si R > alors b et puisque b a + a doe a b b, o obtiet a O b ) doc R R. Par suite R R d où R max, R). c) Si R alors R et R max, R). Exercice 2 : [éocé] Par sommatio de séries etière, o sait déjà R mir a, R b ) De plus, puisque a b o peut affirmer a a + b et doc R R a et de même R R b et doc R mir a, R b ) puis R mir a, R b ). Exercice 2 : [éocé] a) Pour t >, e t avec e t e t. Par covergece domiée I. b) Par le chagemet de variable u t qui est u C -difféomorphisme, I u e u du Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

23 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 23 Par covergece domiée, doc u e u e u du + u du I e u u du c) Par l équivalet précédet R et la série etière diverge e. Par applicatio du critère spécial des séries alterées, la série etière coverge e. Exercice 22 : [éocé] a) Par itégratio par parties b) puis u doc u coverge. Ip, q)!)2 2 + )! et Ip, q) u + u p Ip, q + ) q + p!q! p + q + )! + ) )2 + 3) 4 < c) Par le calcul ci-dessus R 4 doc ] 4 ; 4[ D [ 4 ; 4]. Par la formule de Stirlig : et doc u 2π2+ e 2 e 2+ 2π2 + )2 + ) 2+) ) 2+ exp 2 + ) l π u π e )) 2 + e ) 2+ 4 u π/2 et par comparaiso de séries à termes positifs, 4 u diverge. 4 D. v 4) u, v ) est alterée, v et v + v 4 + ) )2 + 3) < doc v ) est décroissate. Par applicatio du critère spécial des séries alterées, v coverge et doc 4 D. Fialemet D [ 4 ; 4[. Exercice 23 : [éocé] a) R. b) Pour x ] ; [, o a + x)s x) 2 ) l)x + 2 Après décalage d idice et réuio des deux sommes + x)s x) ce qui coduit à la relatio demadée. c) Posos ) l)x + ) + l + ) l)) x + g x) ) + l + ) x + ce qui défiit g : [ ; ] R cotiue. À l aide du critère spécial des séries alterées, o motre que la série de foctios g coverge uiformémet sur [ ; ] ce qui assure que sa somme est cotiue. O e déduit par opératios sur les limites lim x S x) 2 ) + l + ) d) E regroupat les termes d idices impairs et pairs cosécutifs k 2 k ) k+ l + ) k k k ) l + l + ) 2k 2k et doc 2 ) k+ l + ) 2k 2k l k 2k 2k + l 2k k k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

24 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 24 Efi par la formule du Wallis, o obtiet Exercice 24 : [éocé] lim x S x) 2 l π 2 a) La foctio x l + x) est défiie sur R + et à valeurs das R +. Puisque a >, la suite récurrete a ) est bie défiie et à termes das R +. Sachat l + x) x, o peut affirmer que la suite a ) est décroissate. Or elle est miorée par, doc elle coverge vers ue limite l. E passat la relatio a + l + a ) à la limite, o obtiet l l + l) ce qui etraîe l car l + x) < x pour tout x > ). Fialemet a +. b) O a alors a + a a + l + a ) a a a a et doc le rayo de covergece de la série etière a x vaut. c) Pour x, la série umérique a ) coverge e vertu du critère spécial des séries alterées car a ) décroît vers. Pour x, détermios la ature de la série umérique a O a Par le théorème de Césaro et doc O e déduit a l + a ) a + a a a + ) a k+ a k 2 k ) a a 2 a 2 Par équivalece de séries à termes positifs, a diverge. Exercice 25 : [éocé] 2 a2 + oa 2 ) a a + oa )) 2 a) Pour x, posos u x /. O a u + /u x doc R. b) E x, f est pas défiie car il y a divergece de la série de Riema /. E x, f est défiie car il y a covergece de la série alterée ) / satisfaisat le critère spécial. c) Posos u x) x / pour x [ ; ]. Chaque foctio u est cotiue et la série de foctios u coverge simplemet sur [ ; ] e vertu du critère spécial des séries alterées. O a de plus R x) u + x) x et il y a doc covergece uiforme de la série de foctios u sur [ ; ]. O e déduit que sa somme est cotiue sur [ ; ] et doc f est otammet cotiue e. d) Pour tout, o a doc pour tout x [ ; [ f x) Doc f ted vers + e. Exercice 26 : [éocé] x l x) x + a) s est la somme d ue série etière de rayo de covergece R. La série diverge e x par série de Riema avec /2 ) et coverge e x par applicatio du critère spécial des séries alterées. O coclut I [ ; [. b) Puisque s est la somme d ue série etière, o peut dériver terme à terme sur ] ; [ et s x) x + x Sur I R +, cette somme est positive. La foctio s est doc croissate sur [ ; [. Si celle-ci était majorée par u réel M, ous aurios pour tout N N x [ ; [, N x E passat à la limite quad x, o obtiet N M x M Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

25 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 25 Ceci est absurde car la série à termes positifs / diverge et e peut doc avoir ses sommes partielles majorées. La foctio s est doc croissate et o majorée, elle diverge doc vers + e. c) Pour x ] ; [ x)s x) + x x x Pour x, o peut écrire x t avec t et alors x)s x) ) a t + ) x avec a +. O vérifie que la suite a ) est décroissate de limite ulle et doc le critère spécial s applique à la série alterée ) a t. Sa somme est doc du sige de so premier terme ce qui fourit x)s x). O e déduit x ] ; ], s x) Figure Allure de la foctio s d) Après étude u peu lourde) du sige de f x), o peut affirmer que f est cocave et croissate. Pour x [ ; [, o a clairemet s x). Pour x ] ; ], cosidéros puis x)s x) ) x) x)s x) ) f )x f + )x f + ) f )) x Posos b f + ) f ). O vérifie b et b + b car la cocavité de f fourit b + b +2 2 b + Le critère spécial de série alterée s applique à ouveau, la somme est du sige de so premier terme et cela fourit puis s x) car o sait s x). Fialemet s est covexe. x) x)s x) ) Exercice 27 : [éocé] a) Posos a si Puisque a + /a, o peut affirmer R. b) La suite a ) décroît vers doc par le critère spécial des séries alterée, la série etière coverge e x. Puisque a /, par équivalece de séries à termes positifs, la série etière diverge e x. c) Par positivité des termes sommés, o a pour x [ ; ], Or Puisque N f x) N ) si x x N ) si x N ) si ) si + N + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

26 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 26 Pour tout M R, il existe u rag N tel que et pour x au voisiage de puis O peut doc affirmer que d) O a et par décalage d idice Puisque x) f x) N N x) f x) si)x + ) si M + ) si x M f x) M f x) x + ) ) si x si x + 2 [ ) )] si si x ) ) ) si si O 3/2 la série etière e secod membre est défiie et cotiue e par covergece ormale de la série de foctios associée. O e déduit [ ) )] x) f x) si) + si si x Il est aussi possible de procéder par les e ε exploitat si ε pour assez grad et 2 x x Exercice 28 : [éocé] Les rayos de covergeces des séries etières défiissats c et s sot ifiis et o recoaît x R, cx) cos x et sx) si x de sorte qu o a déjà x R, cx) 2 + sx) 2 Par opératios sur les séries etières, o sait qu il existe ue suite a ) C N telle que et l o peut doc écrire z C, cz) 2 + sz) 2 x R, a x a z Par uicité des coefficiets d u développable e série etière doc Exercice 29 : [éocé] + a et N, a z C, cz) 2 + sz) 2 a) 2 f z) + f z)) 2 a z + ) z ) + p a 2p z 2p. b) 3 f z) + f jz) + f j 2 z) ) + 3 a + j + j 2) z + p a 3p z 3p. Exercice 3 : [éocé] a) a O) doc R. La suite a ) e ted pas vers doc R et aisi R. b) E réorgaisat les termes sommés et doc T k T a k x k k p a x T a pt+k x pt+k k T x T a k x k k a k x k xt x T Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

27 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 27 Exercice 3 : [éocé] a) Notos R le rayo de covergece de g. Pour x ] ; R[, S x est absolumet covergete doc la série de terme gééral a x S x xs x b) l est aussi et doc x. Par suite R. Pour x ] ; [, S x a k x k or k a k x k est absolumet covergete doc S x ) est borée. Par suite x R et doc R. Fialemet R. N+ x ] ; [, a x N+ k N+ S x x S x S N+ x N+ + x) À la limite quad N +, o obtiet f x) x)gx) et doc gx) f x) x N S x Exercice 32 : [éocé] Puisque S +, o a R a. Comme a S, o a aussi R a R s. Efi S /S + a + /S + permet par la règle de d Alembert d obteir R s. O coclut R a R s. Pour x <, S x k a k x k x k a x x a x x Exercice 33 : [éocé] O a a S ) )! compte teu de l hypothèse. O peut coclure que S. Exercice 34 : [éocé] a) Pour < r < R, il y a absolumet covergece de a r. O a f r e iθ ) 2 a r e iθ a r e iθ Par produit de Cauchy de séries absolumet covergetes, o obtiet f r e iθ ) 2 k a k a k e i2k )θ r Puisque a r et a r sot absolumet covergetes, par produit de Cauchy, o peut affirmer que k a k a k r coverge. O e déduit que la série des foctios cotiues θ k a ka k e i2k )θ r est ormalemet covergete et doc o peut permuter somme et itégratio : 2π f r e iθ ) 2 dθ 2π a k a k e i2k )θ r dθ Or 2π e ipθ dθ pour tout p Z doc, après simplificatio des termes uls, 2π 2π b) Pour < r < R suffisammet petit a 2 r 2 k f r e iθ ) 2 dθ a m 2 r 2m a r 2 a 2 2π m 2π f r e iθ ) 2 f ) 2 dθ Par itégratio, d ue foctio égative, o obtiet + a 2 r 2. Or il s agit d ue somme de termes positifs, ils sot doc tous uls et o e déduit La foctio f est alors costate. c) Posos Pour tout r >, N+ a 2 r 2 a 2 r 2 N, a f N z) N N a z a 2 r 2 2π 2π f r e iθ ) f N r e iθ ) 2 dθ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

28 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 28 Pour p N +, o obtiet Or doc 2π Pour p N +, avec N+ a 2 r2 r 2π f r e iθ ) f N r e iθ ) 2 dθ 2p 2π r 2p f r e iθ ) f N r e iθ ) 2 dθ 2π Pr))2 + N a r ) 2 Or2N ) r 2p r 2p r 2p 2π 2π N+ f r e iθ ) f N r e iθ ) 2 r 2p a 2 r2 r 2p a N+ 2 + N+2 N+2 a 2 r 2 N ) r 2 N+2 dθ r + a 2 r 2 N ) a 2 r + O e déduit a N+ puis, e repreat la démarche avec p N + 2,..., o obtiet successivemet a N+2,... et fialemet f f N C N [X] Exercice 35 : [éocé] Notos a z la série etière dot la somme est égale à f sur B. La foctio f est cotiue sur u compact doc uiformémet cotiue. Pour tout ε >, il existe δ > vérifiat z, z B, z z δ f z) f z ) ε Cosidéros alors r δ et g r : z f rz). Pour tout z B, z rz δ z δ doc f z) gz) ε. Aisi f g,b ε Puisque la série etière a z coverge uiformémet vers f sur tout compact iclus das B, la série etière a r z coverge uiformémet vers g sur B. Il existe doc u polyôme P vérifiat P g,b ε puis f P,B 2ε ce qui permet de coclure. Exercice 36 : [éocé] a) α l pour 2. α + α doc le rayo de covergece de la série etière l)x vaut. De plus, la série etière est grossièremet divergete e et. O e déduit I ] ; [. b) a doc 2 a + 2 a le rayo de covergece de la série etière a x vaut. De plus, la série etière est absolumet covergete e et -. La foctio g est doc défiie sur l itervalle [ ; ]. c) Pour 2, a l l ) / doc E sommat pour allat de 2 à +, a x l)x l )x x gx) x) f x) + l x) d) Puisque a 2 2, la série a est covergete et doc la foctio g est défiie et cotiue sur le segmet [ ; ]. Par suite, la foctio g coverge e et puisque le terme l x) diverge quad x, o obtiet e) Puisque o obtiet quad x +, Il reste à calculer g )... Or g ) + 2 x) f x) l x x f x) f x) gx) l x) x g ) l2) 2 ) l l )) ) l 2 et e regroupat les termes pairs et impairs cosécutifs 2N+ 2 ) l l )) N p 2 l 2p 2p 2 ) l2n+) l ) 2 4N N!) 4 2N + )!2N)! l π 2 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

29 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 29 e vertu de la formule de Stirlig. Fialemet g ) l π 2 + l2) O e déduit f x) x + 2 l π 2 Exercice 37 : [éocé] Commeços par oter que f est la somme d ue série etière de rayo de covergece R et est doc défiie sur ] ; [. Pour x [ ; [, la foctio t x t2 e t2 l x est décroissate et doc + x t2 dt x 2 x t2 dt E sommat Or x t2 dt x t2 dt f x) + x t2 dt Posos le chagemet de variable u t l x Or l x x quad x doc Exercice 38 : [éocé] e t2 l x dt f x) x e t2 l x dt avec l x < + e u2 du l x π/2 x a) O sait que les séries etières a x et a x ot le même rayo de covergece R otammet car ue série etière et sa série dérivée ot le même rayo de covergece). Puisque a oa l ) et a l oa ) o peut affirmer par ecadremet que la série etière a l )x a aussi pour rayo de covergece R. De plus a k a l k doc la série etière a k k ) x a ecore pour rayo de covergece R. b) Notos que l x a pour rayo de covergece R. O sait l + γ + o) k doc le terme géérale est boré par u certai M. Par suite l)x quad x. Or par produit de Cauchy doc k k x k k l l)x k k Mx l x) k x x x) l x x Mx x O Exercice 39 : [éocé] R, il y a divergece e x et covergece par le CSSA e x. La foctio somme est défiie sur [ ; [. Par applicatio du critère spécial des séries alterées sur [ ; ], l + ) x k l + k,[ ;] ) + k+ x il y a doc covergece uiforme sur [ ; ] et doc cotiuité de la somme e puis fialemet sur [ ; [. Pour étudier la foctio e, o peut exploiter l ecadremet + l O e déduit pour x [ ; [, + x + ) l + ) l + l + ) x x dt t ) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

30 [ édité le 28 décembre 26 Correctios 3 Or Fialemet et Exercice 4 : [éocé] x + x x l x) l x) x) l x) x l + ) x l x) x a) f est la somme d ue série etière de rayo de covergece R. Puisque l + /) /, la série est pas défiie pour x. E revache, o vérifie aisémet la covergece de la série e x e vertu du critère spécial des séries alterées. Fialemet f est défiie sur [ ; [. b) Calculos la somme partielle 2N l + ) ) Par la formule de Stirlig N 2p + l 2p p ) l f ) l 2 π 2p 2p ) l 2N + ) [2N)!]2 [ 2N N! ] 4 Par le chagemet de variable u /x C bijectif, o e modifie par la ature de l itégrale et o a Puisque ) E/x) x Ex) x ) Eu) u dx ) Eu) x du Ex) du u u du x + la ature de l itégrale et sa valeur sot doées par la limite de + ) Eu) O peut coclure u du k k+ k ) E/x) x ) k du u dx l 2 π k ) k l + ) k c) O peut écrire O a alors D ue part et d autre part O peut doc coclure l + ) ) + ε avec ε O 2 f x) x x + ε x l x) x + ε x ε < + f x) l x) x Exercice 4 : [éocé] Notos que l itégrale défiissat a coverge car th t. a) Pour t, th t 2 th t t 2 t 2 E itégrat et e exploitat th, o obtiet a. O e déduit que R. Pour x, a x coverge e vertu du critère spécial des séries alterées car a ) décroît vers. Pour x, a x diverge par l équivalet précédet. La foctio somme est défiie sur [ ; [. b) Pour x [ ; ], o peut appliquer le critère spécial des séries alterées à la série a x et affirmer a k x k a + x + a + k+ ce qui assure la covergece uiforme de la série. Par suite la foctio somme est cotiue e. c) O a a th Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd