Recueil d exercices d analyse pour une remise à niveau

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1 Recueil d exercices d analyse pour une remise à niveau Suies e Séries numériques Exercice (Cesaro e sinus iéré). Théorème de Cesaro Soi (u n ) n une suie réelle convergene de limie l. Monrer que la suie (M n ) définie par M n = u u n n converge vers l. La réciproque es-elle vraie?. Applicaion : On suppose que (v n ) es une suie asympoiquemen arihméique, ie (v n+ v n ) es convergene. Donner un équivalen simple de v n. Même quesion si (v n ) es asympoiquemen géomérique. 3. Eude du sinus iéré Soi (u n ) la suie définie par u n+ = sinu n e u ],π[. (a) Monrer que (u n ) converge, déerminer la limie. (b) Déerminer un réel α pour lequel la suie (u α n) es asymoiquemen arihméique. En déduire un équivalen de u n. (c) Complémens : i. Eudier la convergence de la suie (v n ) définie par v n+ = sin vn. ii. Monrer que sinus es -lipschizienne mais n es pas conracane (rappel : f es conracane sur I s il exise k ],[ elle que pour ous x e y dans I, on a f(x) f(y) k x y ). En pariculier la suie du sinus iéré ne vérifie pas le héorème de poin fixe de Picard e a une convergence vers bien plus lene que (k n ). Le héorème de Cesaro di que si une suie converge vers l, il en es de même de sa moyenne arihméique. On généralise facilemen(preuve idenique) au cas d une moyenne pondérée. Il y a aussi des versions coninues de Cesaro. La preuve demande une "belle découpe" d une somme. Dans l exercice, nous verrons que Cesaro es inimemen lié aux résulas sur les sommaions des relaions de comparaison. La echnique de la quesion 3 es assez classique. On pourra essayer de l appliquer à u n+ = ln( + u n ) avec u > ou bien u n+ = u n e un avec u >. Exercice (Sommaion des relaions de comparaison e... Cesaro). v n désigne une série à ermes posiifs, u n une série à ermes complexes vérifian u n = O(v n ). (a) Si ( v n converge, monrer que u k = O v k ). (b) v n diverge, monrer que k=n k=n ( n n u k = O v k ). (c) Que deviennen ces résulas si l on remplace l hypohèse "u n = O(v n )" par "u n = o(v n )", "u n v n "?

2 . Applicaions : (a) Redémonrer le héorème de Cesaro. n (b) Donner un équivalen de les séries de Riemann. k= k α si α <, de k=n n si α >, e de kα k=. On aura reconnu k C es l occasion de manipuler les relaions de comparaison. On y déermine des équivalens simples des séries de Riemann (on peu les déerminer direcemen par une comparaision série inégrale). Il es bon de connaîre la version coninue de ce exercice. Exercice 3 (Equivalen d une suie divergene) Soi (u n ) la suie définie par u n+ = u n + nu n e u >.. Monrer que la suie (u n ) diverge.. Déerminer un équivalen simple de u n+ u n, en déduire un équivalen de u n. Ce exercice illusre bien la echnique "ransformaion suie série" combinée avec "la sommaion des relaions d équivalence". Pour chercher de l informaion sur une suie (v n ), on peu éudier la série (vn+ v n ) qui a la même naure que (v n ). Si on rouve un équivalen simple de v n+ v n, en le somman, on obiendra un équivalen de n k= (v k+ v k ) (dans le cas où (v n ) diverge) e donc de v n. Exercice 4 (La suie des diviseurs) Si n es un enier, on noe d n le nombre de diviseurs de n.. Monrer que l ensemble des valeurs d adhérence de la suie (d n ) es l ensemble des eniers supérieurs ou égaux à.. Monrer que d d n lnn (on pourra remarquer que d d n = ). n d n m n d La suie (d n ) es un exemple élémenaire de suie qui possède une infinié de valeurs d adhérence. Elle a donc un compremen assez erraique. En revanche, on voi que si l on moyenne, les choses se passen mieux. Si n es grand, le nombre moyen de diviseurs de n es de l ordre de lnn. Analyse réelle Exercice 5 (Auour du héorème de la limie de la dérivée). Soi f une foncion à valeurs réelles coninue sur [a,b] e dérivable sur ]a,b]. Monrer que si f adme une limie finie l en a, alors f es dérivable sur [a,b] e f (a) = l. Un corollaire immédia de ce résula es : Théorème (héorème de prolongemen de classe C ) Si f es une foncion à valeurs réelles coninue sur [a,b] e de classe C sur ]a,b] e si f adme une limie finie l en a, alors f es de classe C sur [a,b] e f (a) = l. APPLICATIONS :. Consrucion de foncions C à suppor ( compac ) Soi f : R R définie par f(x) = exp pour x > e f(x) = sinon. x (a) Monrer que f es de classe C sur R. On pourra monrer qu il exise un polynôme P k el que ( ) f (k) (x) = P k e x. x

3 (b) f es-elle développable en série enière au voisinage de? (c) Consruire une foncion posiive de classe C sur R e nulle en dehors de [,]. 3. Caracérisaion des foncions de classe C par morceaux On rappelle qu une foncion définie sur un segmen [a,b] es die C par morceaux s il exise une subdivision (a,...,a n ) de [a,b] elle que pour ou i {,...,n }, f ]ai,a i+[ adme un prolongemen C à [a i,a i+ ]. Donner une caracérisaion "praique" des foncions C par morceaux puis donner un exemple de foncion : non coninue par morceaux coninue par morceaux e C par morceaux coninue par morceaux mais pas C par morceaux. 4. Prolongemen d une soluion maximale On considère l équaion différenielle (E) : x = cos + cos x. (a) Jusifier que (E) possède une soluion maximale x définie sur un inervalle ouver ]a, b[. (b) Supposons que b soi un réel, ie b n es pas +. Monrer que x adme une limie finie en b. (c) En déduire que x peu êre prolongée en une soluion sur ]a,b]. Que peu-on en conclure?. Le héorème de la limie de la dérivée es une jolie applicaion du héorème des accroissemens finis.. On propose la consrucion de foncions C à suppor compac. Elles son un exemple de foncions C mais non développables en série enière. Ces foncions son aussi inéressanes car elles permeen d approcher uniformémen sur R via la convoluion des foncions coninues à suppor compac. 3. Perme de mere au clair la noion de C par morceaux que l on rerouve dans les hypohèses de cerains héorèmes sur les séries de Fourier. On pourra d ailleurs raier l exercice Un pei exercice insrucif où l on uilise le crière de Cauchy pour prouver l exisence d une limie. Le leceur pourra généraliser le résula à x = f(x,) dans le cas où f es C e bornée. Exercice 6 (Un calcul de l inégrale de Dirichle). Monrer que l inégrale de Dirichle I = +. Monrer que la foncion ϕ : [, π foncion de classe C sur [, π ]. sin d es convergene. ] R définie par ϕ() = sin pour ], π 3. Monrer le lemme de Lebesgue : si g es de classe C sur un segmen [a,b], alors b lim λ + a 4. Monrer que la suie (J n ) définie par J n = π 5. Complémens : sin(λ)g() d =. ] se prolonge en une sin(n+) sin d es consane. En déduire la valeur de I. (a) La foncion sin es-elle inégrable sur ], + [? (b) Le lemme de Lebesgue es-il valable avec des hypohèses de régularié sur f plus faibles? On propose à l aide du lemme de Lebesgue un calcul de l inégrale de Dirichle. Elle consiue cerainemen l exemple le plus simple d inégrale semi-convergene (ce sera l occasion de praiquer la comparaison sérieinégrale). Enfin, on verra une peie applicaion du héorème de Sone Weiersrass. Exercice 7 (Un vrai-faux). On peu faire une somme d équivalens.. On peu faire un produi d équivalens. 3. Si f es une foncion dérivable sur un inervalle I e que a I es un exremum de f, alors f (a) =. 3

4 4. Si f es une foncion dérivable sur un inervalle I e que f adme un exremum en un poin a de I, alors f (a) =. 5. Les soluions sur R de l équaion différenielle xy y = formen un R-espace vecoriel de dimension. 6. Parmi les nombres complexes, il exise plus de nombres ranscendans que de nombres algébriques. 7. La série de erme général u n = ( )n ( ) n + n es divergene. Exercice 8 (Sous-groupes addiifs de R e quelques applicaions). Monrer que les sous-groupes addiifs de R son soi de la forme az, soi denses dans R.. Groupe des périodes 3. Valeurs d adhérence de cos n 4. Sous-groupes compacs de C. (Cf [Al] p 44) Exercice 9 (Régularié de foncions convexes) 3 Inégraion Exercice (Convergence uniforme e inégraion). Soi (f n ) es une suie de foncions coninues sur [a,b]. Monrer que si (f n ) converge uniformémen sur [a,b] vers une foncion f, alors f es inégrable sur [a,b] e b lim n + a f n (x) dx = b. Le résula es-il vrai si l inervalle n es plus un segmen? a f(x) dx. Exercice (Uilisaion du héorème de convergence dominée). Déerminer la limie de la suie (u n ) définie par u n =. Déerminer la limie de la suie (w n ) définie par w n = + π dx + x + x n e x. cos n x dx (inégrale de Wallis). 3. Enoncer e redémonrer le héorème de cours qui éabli la coninuié d une inégrale à paramère. Le héorème de convergence dominée es rès puissan, il foncionne quelque soi l inervalle d inégraion. Il perme aussi de démonrer le héorème de dérivaion de Leibniz pour les inégrales à paramères. Exercice (Un calcul de l inégrale de Gauss). Monrer que la foncion e es inégrable sur R.. Monrer que l applicaion (r,θ) (r cos θ,r sin θ) es un difféomorphisme enre deux ouvers de R que l on précisera. Calculer son jacobien. 3. On noe I = + e d. Calculer I, en déduire la valeur de I. 4. Généralisaion : Calculer e q(x) dx où q es une forme quadraique définie posiive sur R n e dx R la mesure de Lebesgue sur R n n. C es cerainemen une des façons les plus rapides de calculer l inégrale de Gauss. C es aussi l occasion de manipuler le héorème de changemen de variable pour des inégrales muliples. Exercice 3 (Un calcul de l inégrale de Gauss bis) 4

5 ( ) n. Pour n N, on défini sur [,+ [ la foncion f n par f n (x) = x n si x < n e fn (x) = sinon. Déerminer la limie simple de la suie de foncions (f n ).. En déduire que I = + e d = lim n J n où J n = n 3. Monrer que J n s exprime à l aide des inégrales de Wallis W n = ) n ( x dx. n à la valeur de I. On pourra uiliser libremen que pour n au voisinage de +, W n Exercice 4 (Eude d une inégrale à paramère). Monrer que la foncion f : x + π e ch(x) d es définie sur R. sin n d puis conclure quan π n.. Monrer que f es dérivable sur R e es soluion d une équaion différenielle du premier ordre. En déduire une expression simple de f. Ce exercice perme la praique du héorème de dérivaion de Leibniz, e noammen de la dominaion locale. En complémen ou pluô en modèle, il es impéraif de savoir éudier la foncion Gamma. Exercice 5 (Un vrai-faux). Le produi de deux foncions inégrables es inégrable.. Soi f une foncion inégrable sur [,+ [, la limie de f en + vau. 3. Il exise des foncions non bornées inégrables sur [, + [. 4. Soi f posiive e coninue sur [,+ [. S il exise une suie de réels (u n ) qui diverge vers + e elle que la suie ( u n f ) converge, alors f es inégrable sur [,+ [. n Un exerce à raier absolumen qui peu enlever ceraines idées reçues. On pourra consuler Pommele p 5 pour plus de complémens, ou le cours d Arnaudies Tome p Suies e séries de foncions Exercice 6 (Eude d une série de Fourier) Soi f la foncion π périodique, paire définie sur [,π] par f(x) = x. x sin. Pour x, on pose F(x) = d. Monrer que F es bien définie e qu elle adme une limie finie en +.. Calculer les coefficiens de Fourier de f. On pourra les exprimer à l aide de F. 3. Monrer la série de Fourier de f es normalemen convergene sur R. 4. Monrer la série de Fourier de f converge vers f. Ce exercice propose une siuaion où l on ne peu appliquer les héorèmes de convergence dis "de Dirichle" e "convergence normale". C es l occasion aussi de renconrer la foncion sin qui n es pas inégrable sur ], + [ mais don l inégrale converge. Exercice 7 (Approximaions de π à l aide de séries de Grégory) Soi a ],]. On appelle série de Grégory de paramère a, la série G a = n ( ) n a n n +. 5

6 Lorsque G a converge, on noe G(a) sa somme e G n,a =. Eudier la convergence de G a. k=n+ ( ) k a k k + son rese de rang n.. Donner le développemen en série enière de arcan, préciser son rayon de convergence R. En déduire une expression relian arcan e les séries de Gregory. 3. Une première approximaion (a) Monrer que la série enière définissan arcan converge uniformémen sur [ R, ]. (b) En déduire que + ( ) n π = 4 n +. n= Donner une majoraion de l erreur commise. Combien fau-il faire d iéraions pour obenir 6 décimales exaces? 4. Formule de John Machin Pour cee parie, on pourra uiliser la formule suivane de rigonomérie : an(u + v) = (a) Ecrire an ( 4arcan 5) sous forme de raionnels. (b) Eablir la formule de John Machin an u + an v an u an v. π 4 = 4arcan 5 arcan 39. En déduire 4 réels posiifs λ,λ,a,a els que π = λ G(a ) λ G(a ). (c) Déerminer un enier K el que pour ou n N, π (λ G n,a λ G n,a ) K 5 n+. Combien d iéraions fau-il pour obenir 6 décimales exaces? Comparer avec l aure approximaion. Cee méhode d approximaion de π uilisée par John Machin (68-75) permi à ce dernier de calculer "à la main" décimales exaces de π en 76. Les approximaions de π à l aide de séries de Grégory permiren d obenir à l aide d ordinaeurs un million de décimales en 974. (J. Guilloud e M.Bouyer) Aujourd hui, les mahémaiciens on rouvé d aures ypes de echniques encore plus performanes, qui leur permeen de calculer plusieurs milliards de décimales. Exercice 8 (Dérivaion d une limie). Démonrer le héorème suivan : Théorème Si (f n ) n es une suie de foncions de I dans K de classe C qui converge simplemen vers f sur I e si (f n) n converge uniformémen sur les segmens de I vers h, alors f es de classe C sur I e f = g.. Applicaion à la foncion zêa de Riemann + Si I =],+ [, on pose pour x I, ζ(x) = n x. n= Monrer que ζ es de classe C sur I. 3. Monrer pour x >, que x ζ + x. 4. Déerminer le ableau de variaion comple de ζ. Exercice 9 (Un calcul de rayon) Si n es un enier, on noe a n la n-ième décimale de π. Déerminer le rayon de la série enière a n x n. 6

7 5 Un peu de opologie Exercice (Poin fixe e compacié). Monrer qu une suie bornée qui adme une unique valeur d adhérence converge. E si la suie n es pas bornée?. Applicaion : héorème de poin fixe d Edelsein? ou du graphe fermé compac Exercice (Topologie des espaces vecoriels). Soi un E un espace vecoriel normé. Monrer que ou sous-espace vecoriel sric de E es d inérieur vide. Exercice (Un Banach imporan). Soi X un compac de R n, monrer que B(X, R)l ensemble des foncions bornées de X dans R muni de la norme infinie es un espace de Banach.. En déduire que C (X, R) muni de la norme infinie es un espace de Banach. Exercice 3 (Pour la norme, il n es plus comple) Soi n N e f n la foncion coninue sur [,] qui vau sur [ ] [ ],, affine sur, + n+ e qui vau ailleurs.. Monrer que la suie (f n ) n es de Cauchy pour la norme.. Monrer que l espace C([,], R) muni de la norme n es pas comple (si f es la limie de (f n ) pour, on pourra déerminer l expression de f sur [ + ε,]). Exercice 4 (Une boule unié non compace) On muni R[X] de la norme N définie par N(P) = max k a k si P = a + a X a n X n. Monrer que l ensemble des P de R[X] els que N(P) = es une parie fermée bornée de (R[X],N) mais n es pas compace. Exercice 5 (Il y a peu de suies convergenes parmi les suies bornées) On muni B l ensemble des suies réelles bornées de la norme infinie définie par u = sup{ u n, n N}. Monrer que l ensemble des suies convergenes es une parie fermée d inérieur vide de B. Cf mon aricle sur la généricié. Exercice 6 (foncions coercives e minimum global). Soien un E un espace vecoriel normé de dimension finie e f : E R coninue. Monrer que si f es coercive ie f(x) = +, alors f es minorée sur C e aein son minimum. lim x +. Soien (E, ) un espace vecoriel normé (évenuellemen de dimension finie), E un sous-espace vecoriel de F de dimension finie. Pour ou x F, monrer qu il exise x E el que x x = inf x y. y E 3. Monrer que si la norme sur F es sricemen convexe alors le poin réalisan le minimum es unique. Donner un exemple où le minimum n es pas unique. 7