Terminale S Chapitre 10 «Loi Normale» 21/03/2013

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1 Termiale S Chapitre «Loi Normale» /3/3 I) Itroductio O fait ue étude statistique de la taille des idividus d'ue populatio. Das chaque cas, la taille moyee est de 7 cm, avec u écart type de cm. O trace les histogrammes de la taille, avec des classes de 5cm de large. Echatillo de idividus Echatillo de idividus taille (cm) taille (cm) Echatillo de idividus Echatillo de. idividus taille (cm) taille (cm) o m b r e d i d i v i d u s 6 4 Echatillo de. idividus taille (cm) Au fur et à mesure que la taille de l'échatillo augmete (et que la taille des classes dimiue), l'histogramme deviet de plus e plus régulier et se rapproche d'ue courbe e cloche, appelée loi ormale. O parle de loi ormale lorsque l o a ue variable aléatoire cotiue dépedat d u grad ombre de causes idépedates dot les effets s additioet et dot aucue est prépodérate (coditios de Borel). Historiquemet, cette loi acquiert sa forme défiitive avec Gauss (e 89) et Laplace (e 8). C est pourquoi elle porte égalemet les oms de : loi de Laplace, loi de Gauss ou loi de Laplace- Gauss. La distributio ormale est ue distributio théorique, e ce ses qu'elle est ue idéalisatio mathématique qui e se recotre jamais eactemet das la ature. Mais de ombreuses distributios réellemet observées s e rapprochet et ot cette fameuse forme de «cloche» (beaucoup d idividus autour de la moyee, de mois e mois au fur à mesure qu o s e éloige, et ceci de faço symétrique).

2 II) La loi biomiale pour u grad ombre d épreuves Rappel : = et σ = p( p) O cosidère ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B, p. associe le ombre de succès lors de répétitios d'ue épreuve de Beroulli de paramètre p. Das ce cas, Eercice : E p O cosidère ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale (,.3) Costruire u tableau de la loi de. Réaliser u histogramme de cette loi. E faisat varier : B. La "cloche" se décale de gauche à droite Pour élimier cet effet de décalage, il suffit d'ôter l'espérace µ = p. La variable est alors cetrée. E faisat varier p : La "cloche" est plus ou mois large et haute. Pour élimier cette dispersio, il suffit de diviser par l'écart type σ = p ( p) Propriété : ] [ E ( ) Z = σ ( ) σ Etat doés N et p,, o cosidère ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B, p. O lui associe la variable cetrée réduite. O a alors N, E Z = et Z =. Pour des grades valeurs de l histogramme de la variable Z décrit ue courbe e cloche. Cette courbe est la desité de la loi ormale cetrée réduite. O le démotrera plus tard, c est le théorème de Moivre-Laplace.

3 III) Loi ormale cetrée réduite Défiitio : Soit Z ue variable aléatoire cotiue à valeurs das l'itervalle R. O appelle loi ormale cetrée réduite, otée N (, ) sur Z la loi ayat pour desité f ( ) = e. π O a alors P a Z b = Remarques : π b a e d. La foctio de desité est paire. Sa représetatio graphique est appelée courbe e cloche. Elle est symétrique par rapport à l ae des ordoées. C est bie ue foctio de desité. Elle est cotiue, positive et o admettra que + e d =. π Il est pas possible de détermier ue forme eplicite des primitives de la foctio e. π O utilise des tables ou la calculatrice pour détermier des valeurs approchées des itégrales. p Z = e d.68 ) Avec la calculette : Pour tracer la foctio de desité : NormPD La foctio ormalpdf ormpdf casio TI TI spire Pour calculer ue probabilité : NormCD La foctio ormalcdf ormcdf casio TI TI spire permet de tracer permet de calculer ( ) ( ) NormPD f = e ormalpdf π ormpdf pour calculer l itégrale. NormCD, ( a b) ( a b) P a b = ormalcdf a, b. ormcdf, O peut doer à a et le b des valeurs ifiis avec ou + Eemple : P, P, P 3 3. Calculer Doer le résultat sous forme de pourcetage troqué à l etier Eercice : Si ue variable aléatoire suit la loi N (,) 3 près de P(.3.6) P(.5 ) et P(.), utiliser la calculatrice pour détermier des valeurs approchées à

4 ) Graphiquemet à partir de la courbe de desité : Eemple : Soit Z ue variable aléatoire suivat la loi N (,) dot la foctio de desité est tracée ci-cotre. Estimer graphiquemet à 5% près : ) P( ) ) P( ) 3) Avec ue table : O appelle Π la foctio qui à R associe Π ( ) = P( ) Propriété : Si Z suit la loi N (, ) alors a, b R, Π ( ) =, Π ( a) = Π ( a) P Z b = Π b, P a Z b = Π b Π a, P a Z = Π a et P a Z a = Π a Remarque : Avat l utilisatio massive des calculatrices, o utilisait des tables de valeurs de la foctio Π pour calculer des probabilités avec la loi ormale. Eemple : Cette table doe les valeurs de la foctio P( Z ) Z N π : < où suit la loi,.. Utiliser cette table pour calculer doer des valeurs approchées de : P( Z <.4) P(.6 < Z <.4) et P(.6 < Z ) 4) Calculs d atécédets pour la foctio : Etat doée u réel ],[, o peut aussi chercher la valeur telle que π ( ) Pour cela o peut utiliser la foctio IvNormCD ivnorm casio TI et spire permet de calculer Eemple : Détermier a tel que Π ( a) =.75 puis b tel que P( b Z b) =.5 =. ( ) ( ) IvNormCD = ivnorm

5 5) Espérace et écart type Propriété : Espérace et Variace V ( Z ) Si est ue variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite N ;, alors E Z = et =. Dem : + + E ( ) = e d = e = lim e lim e = ( ) = π π π + π V E E E d π + = = = e = ( se démotre avec ue IPP) IV) Le cas gééral : La loi ormale Défiitio : Soit ue variable aléatoire cotiue à valeurs das l'itervalle R. O dit que suit la loi ormale de paramètres µ et σ otée N µ, σ Z µ si la variable aléatoire associée Z = suit la loi N (, ). σ a µ b µ P( a b) = P Z σ σ ) Avec la calculette : Pour calculer des probabilités : NormCD la foctio ormalcdf ormcdf casio TI TI spire permet de calculer NormCD,, ( a b σ, µ ) ( µ σ ) ( a b, µ, σ ) P a b = ormalcdf a, b,, ormcdf, Attetio à l'ordre des paramètres!!!! O peut doer à a et le b des valeurs ifiis avec ou Eemples : ) Si N ( 5, ), détermier P( 4 6) ) Si N ( 7,3 ), détermier P( 8) 3) Si N (, ), détermier P( ) Eercice 3 : O ote la variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille e cetimètres. O suppose que suit la loi ormale de moyee 78 et d'écart-type. Détermier la probabilité de chacu des évéemets suivats : ) A : «U homme iterrogé au hasard a ue taille supérieure ou égale 8» ) B : «U homme iterrogé au hasard a ue taille strictemet iférieure à 5» 3) C : «U homme iterrogé au hasard a ue taille comprise etre 6 et 85» Eercice 4 : Détermier σ coaissat ue valeur Soiet et Z des variables aléatoires suivat respectivemet les lois (, ) 5 > < = P Z < σ ) Motrer que σ, P( 5) < = ) Doer le réel tel que P( Z ).8 N σ et N (,)

6 3) E déduire la valeur de σ telle que P( < 5) =.8 Eercice 5 : Détermier µ coaissat ue valeur Soiet et Z des variables aléatoires suivat respectivemet les lois (,4 ) µ µ P > = P Z > 4 ) Motrer que R, ( ) > = ) Doer le réel tel que P( Z ). 3) E déduire la valeur de µ telle que P( > ) =. ) Avec ue table : N µ et N (,) π : < où suit la loi,.. O utilise ecore ue table de valeurs de la foctio P( Z ) Z N Par eemple : Si ue variable aléatoire qui suit la loi ormale de paramètres µ = et σ = 3., pour calculer la, o pose Z = qui suit la loi ormale cetrée et réduite. 3. Comme Z.4 3. P 7 5 = P.4 Z.4 = Π.4 Π.4 =.89.8 =.78 probabilité P( 7 5) 3) Espérace et écart type Propriété : V ( ) alors E et. ( σ ) Si est ue variable aléatoire qui suit la loi ormale N µ,, = µ = σ µ Dem : O pose Z =. D'après le cours, la variable Z suit la loi N (, ) et E ( Z ) = et V ( Z ) =. σ Comme σ Z + µ, par liéarité E = E σ Z + µ = σ E Z + µ = µ. = ( σ ) σ σ E ( Z ) µ E ( Z ) µ µ E ( Z ) µ E ( Z ) = = = = O a V = E E = E Z + µ µ = E Z + µ Z + µ µ = σ + σ + σ = σ + σ = σ car E Z et V Z E Z E Z E Z A coaitre : N ( µ σ ) Z N Si, et, alors ( [ σ + σ ]) = ( [ ]) ( [ σ + σ ]) = ( [ ]) ( [ σ + σ ]) = ( [ ]) P µ, µ P Z,.683 P µ, µ P Z,.954 P µ 3, µ 3 P Z 3,3.997

7 µ Dem : Si est ue variable aléatoire qui suit la loi ormale N ( µ, σ ), alors Z = suit la loi N (, ). σ µ i σ µ µ µ + i σ µ O a alors : µ iσ µ + iσ i Z i pour i N. σ σ σ Eercice 6 : O suppose que la glycémie est distribuée ormalemet das la populatio avec ue moyee de g/l et u écart-type de.3 g/l. O mesure la glycémie chez u idividu. ) Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit iférieure à.6. ) Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit comprise etre.94 et.8. 3) O mesure la glycémie chez idividus. Doer le ombre moye d idividus dot la glycémie est supérieure à.99. 4) Doer le tau moye de la glycémie das la populatio. Eercice 7 : Ue usie utilise ue machie automatique pour remplir des flacos coteat u certai produit e poudre. Par suite de variatios aléatoires das le mécaisme, le poids de poudre par floco est ue variable aléatoire de loi ormale de moyee m et d écart type. mg. Les flacos sot vedus comme coteat mg de produit. ) La machie est réglée sur m =. mg. Quelle est la probabilité que le poids de produit das u flaco soit iférieur au poids aocé de mg? ) Doer ue valeur approchée de la valeur de m sur laquelle il faut régler la machie pour qu au plus 4 % des flacos aiet u poids iférieur au poids aocé de mg? ère méthode : O pourra tracer la courbe de la foctio P ( ) ème méthode : O pourra utiliser la démarche de l eercice 5. V) Théorème de Moivre-Laplace ) Covergece de la loi biomiale Théorème de Moivre - Laplace : E ( ) ( ). N,. ] [ Pour tous N et p ;, o cosidère ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale B, p. et Z = σ la variable cetrée réduite associée. Alors a, b R, tels que a b, o a lim P ( a Z b b < ) e. a π d + = Applicatio pratique : O cosidère que la limite das la théorème de Moivre-Laplace est pratiquemet atteite lorsqu o a simultaémet p ( p) 3, 5 et 5. C est-à-dire u échatillo de taille supérieure ou égale à 3 avec ue espérace de posséder ou pas le caractère supérieure ou égale à 5. Das ces coditios Eemple : p P a b P a Z b p ( p) où Z N (,).

8 B p ( p) ( 8 ) = ( = 8) + ( = 9) + ( = ) + ( = ) + ( = ) Avec 6,.5, o a bie : = 6 3, = 6.5 = 5 5 et = 6.75 = P P P P P P = O a p = 5 p( p) = et Z = N (,) P( 8 ) = P = P(.89 Z 9.84) = Eercice 8 : (BTS biochimie 994) O effectue des cotrôles d alcoolémie d automobilistes das ue régio doée, u jour doé, pedat ue période horaire doée. Les statistiques permettet d établir que la probabilité pour qu u automobiliste choisi au hasard das les coditios précédetes présete u cotrôle positif est. O cosidère u échatillo de la 5 populatio costitué de automobilistes dot o veut cotrôler le tau d alcoolémie das les coditios précédetes. O appelle la variable aléatoire comptat le ombre de cotrôles positifs parmi ces. ) Quelle loi suit la variable? E doer les paramètres. Calculer l espérace et l écart type de. ) Calculer la probabilité que soit compris etre 33 et 43. 3) Est-il raisoable d utiliser ue approimatio ormale pour calculer cette probabilité? Quels sot alors ses paramètres. 4) E utilisat cette loi ormale calculer les probabilités P( ) P( ) 36 et Eercice 9 : (BTS biochimie 998) Das u pays d Afrique, 5% de la populatio est atteite du virus du sida. Partie A : La stratégie de dépistage met e place u test biologique qui doit être égatif si la sujet est sai, et positif si le sujet est cotamié. La probabilité qu u test soit positif sachat que le sujet est sai est.4. La probabilité qu u test soit égatif sachat que le sujet est cotamié est.4. O choisit u idividu au hasard das ce pays. ) Calculer la probabilité que le test soit positif et l idividu sai. ) Calculer la probabilité que le test soit égatif et l idividu cotamié. 3) E déduire la probabilité que le résultat soit erroé. Partie B : Ue campage de dépistage est mise e place sur u échatillo de 5 persoes prises au hasard das la populatio. O suppose que l effectif de la populatio est très grad. O suppose que les risques d erreur du test sot égligeables et o admet que la probabilité qu u test réalisé sur ue persoe prise au hasard soit positif est.5. O appelle la variable aléatoire qui compte le ombre de tests positifs sur les 5 tests effectués. ) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire? Calculer so espérace et so écart type. ) Par quelle loi peut-o approcher la loi défiie ci-dessus? 3) E utilisat cette approimatio, calculer la probabilité que plus de 8 idividus soiet positifs au test. Eercice : U revedeur de téléphoes désire s implater das ue galerie marchade. Il estime qu il pourra vedre 4 appareils par jour et les vetes sot deu à deu idépedates. Ue étude lui a motré que, parmi les différetes marques dispoibles, la marque A réalise 38.6 % du marché. ) O appelle la variable aléatoire qui compte le ombre d appareils de marque A vedus ce jour-là. ) a) Epliquer pourquoi suit ue loi biomiale. Préciser ces paramètres. b) Calculer la probabilité que, sur 4 appareils vedus par jour, soiet de marque A. Calculer l espérace de. Calculer l écart type à. près.

9 3) O décide d approcher cette loi par ue loi ormale de paramètres µ et σ a) Epliquer pourquoi µ = 5.44 et σ = 3 b) O ote Y la variable aléatoire qui suit la loi ormale N ( 5.44,3). Doer ue valeur approchée à. près de P( 9.5 Y.5) c) Détermier la probabilité de l évéemet : «u jour doé, au mois des appareils vedus sot de marque A». d) Détermier ue valeur approchée de l évéemet : «u jour doé, le ombres d appareils de marque A vedus est compris etre 5 et 5». ) Itervalles de fluctuatio La populatio O étudie u caractère das ue populatio. Chacu des idividus possède ce caractère ou pas. O ote p la proportio du caractère das la populatio. L échatillo U échatillo de taille de cette populatio est costitué des résultats de répétitios idépedates de la même epériece. O ote la variable aléatoire qui compte de ombre de succès (l idividu possède le caractère). Cette variable suit ue loi biomiale (, ) B p d espérace p et d écart type p( p). Propriété : N ] [ u P( u Z u ) Si Z est ue variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite ;, alors pour tout,, il eiste u uique réel tel que =. Dem : = ( ) = + O défiit la foctio g sur R par g P f d. O rappelle que la foctio f d est la primitive sous forme itégrale de f qui s'aule e. La foctio g est doc cotiue et dérivable de dérivée f. Comme R, f >, la foctio g est doc strictemet croissate. + + La foctio g est cotiue, strictemet croissate sur R et F = et lim g = e d =. + π D'après le TVI, comme est compris etre F et lim g, + il eiste u uique réel u R tel que g u =. Eemple : Détermier u.5.96 et u Avec la calculette : + = = = ère méthode : O utilise P( Z ) π ( ) π ( )

10 la foctio IvNormCD ivnorm casio TI et spire permet de calculer = IvNormCD ivnorm + + ème méthode : O trace le graphe R + P( ) NormCD la foctio ormalcdf ormcdf casio TI TI spire permet de tracer ( ) ( ) NormCD, P Z = ormalcdf, ormcdf, Eercice : Si la variable aléatoire suit la loi ormale N(,), détermier u.. Propriété : Corollaire du théorème de Moivre-Laplace Si la variable aléatoire suit ue biomiale B(, p), alors la fréquece des succès F = p( p) p( p) vérifie pour tout ], [, lim P p u F p + u = + où u vérifie P u Z u = avec Z N,. ( ) ( ) p p p p L'itervalle I = p u, p + u est appelé itervalle de fluctuatio asymptotique de F. Démostratio : Si suit la loi biomiale B, p alors d'après le théorème de Moivre-Laplace : E ( ) ( ) lim P u u = P( u Z u ) où Z N (, ). + σ O ote F = : E p u u u u u p( p) + p u p( p) + p σ ( ) p( p) ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p p p p u F p + u + p p u F p + u ( ) ( ) ( ) lim + σ ( ) p p p p E Doc lim P p u F p + u = P u u + = P u Z u = A coaitre : u.5.96 et u..58 E pratique : O rappelle que la limite du théorème de Moivre-Laplace est pratiquemet atteite quad p ( p) 3, 5 et 5. a) Applicatio pratique : «Itervalles de fluctuatios asymptotiques à 95 %» O souhaite, par eemple détermier les itervalles de fluctuatio au seuil.95 (c est-à-dire avec =.5 ).

11 O a vu que u.5.96 : Itervalles de fluctuatio au seuil 95 % Si la variable aléatoire suit ue biomiale B, p, ( ) ( ) p p p p alors la fréquece des succès F fluctue das l'itervalle I = p.96, p +.96 avec ue probabilité d'autat plus proche de.95 que est grad. Eemple : Si o repred l eemple du dé avec.5 p =, o a p ( p) 3 et = = 3.5 = 5 5 et : I = [.4,.6] I = [.47,.53] I4 = [.48,.5] La fréquece d apparitio du pile appartiet doc à l itervalle [.48,.5] avec ue probabilité proche de.95. b) Versio simplifiée (programme de secode) Si la variable aléatoire suit ue biomiale B, p, ] [ alors pour tout p,, il eiste u etier tel que, F fluctue das l'itervalle p, p + avec ue probabilité supérieure à 95 %. Dem: ( p) p p p p ) Motros d'abord que p, p + p, p + E étudiat la foctio ( ) sur [, ], o motre qu'elle admet u maimum égal à. 4 p O e déduit que et doc l'iclusio. ) Preos u =, o calcule alors.45. ( ) ( ) p p p p D'après le corallaire du Théorème de Moivre-Laplace lim P p F p Il eiste doc u etier p p p p tel que dès que : P p F p + >.95 ( ) ( ) p p p p Comme P p F p + P p F p + >.95. Eercice : du livre page 47 U fabricat de diodes électrolumiescetes (LED) garatit que la probabilité qu ue diode e foctioe pas vaut au plus.3. Pascal s est fait livrer 5 diodes. O ote le ombre de diodes défectueuses parmi les 5 diodes et F leur fréquece. ) Quelle est la loi suivie par? ) D après Moivre-Laplace, das quel itervalle fluctue F avec ue probabilité.95? 3) E déduire que fluctue à plus de 95% das l itervalle [7,74]. Pascal a costaté que 7 diodes e foctioaiet pas das le lot de 5 qu il a commadé. Il trouve que ce ombre est trop élevé. Peut-il cosidéré que le lot est «o coforme»? 4) Quelle est la probabilité pour qu u lot e soit pas coforme? 5) Si le lot de Pascal avait coteu aucue diode défectueuse, aurait-il été cosidéré comme coforme?

12 6) Pascal trouve cette règle de décisio absurde, il propose ue autre règle : si le lot cotiet mois de 7 diodes défectueuses, alors il est jugé coforme. Suivat cette ouvelle règle, qu elle est la probabilité qu u lot e soit pas coforme? 7) Quelle règle de décisio vous parait plus adaptée au problème : celle de fabricat ou celle de Pascal? 8) Selo sa règle de décisio, le lot reçu par Pascal est-il coforme? ) Estimatio du paramètre p d ue loi B(,p) Situatio : Cosidéros ue epériece à deu issues cotraires dot o e coait pas la probabilité p. O désire estimer au mieu p à partir e epérieces idépedates. E otat le ombre de succès, il est aturel de proposer comme estimatio F =. A quel poit peut-o se fier à cette estimatio? Propriété : Lorsque est assez grad ( e pratique 3, p 5 et ( p) 5 ), P p F, F O dit que F, F + est u itervalle de cofiace à 95 %. Admis. Eemple : Lors d u scruti électoral, o souhaite coaître la proportio p de fraçais qui voterot pour u cadidat «A». U istitut de sodages mèe ue equête auprès de persoes tirées au hasard. Le résultat idique de 49% d etre-elles voterot pour le cadidat «A». ) Quelle est la loi suivie par le ombre de persoes votat «A» das cette equête? ) Etat doé le résultat de l equête, doer u itervalle de cofiace à 95 % pour la proportio p. 3) Peut-o affirmer d après l equête que le cadidat «A» aura pas la majorité des votes? Eercices résolus 4 et 5 page 39-

13 A savoir Rappel de secode : E secode, o a vu que pour > 5 et. < p <.8, l'itervalle p, p + costitue u itervalle de fluctuatio au seuil 95 %. O veut tester l hypothèse selo laquelle la pièce est équilibrée, c est-à-dire que p =.5. O a = 44 et l'itervalle de fluctuatio au seuil 95% est doc [.48,.5 ]. 48 La fréquece du pile das l échatillo est f = Cette fréquece appartiet à l itervalle de fluctuatio, o peut doc accepter l hypothèse «la pièce est équilibrée». Rappel de première : E supposat que la pièce est équilibrée, la variable aléatoire qui déombre les résultats pile obteus das B 44,.5. l échatillo suit ue loi biomiale O a vu e première que l itervalle de fluctuatio à 95% associé à est l itervalle ( ) k est le plus petit des etiers k vérifiat P k >.5 k est le plus grad des etiers k vérifiat P k.975 O détermie k et k e réalisat des simulatio sur tableur : k k, où ( Nbsuccès Nbtirages proba ) = LOI.BINOMIALE ; ; ; O obtiet k = 958 et k = L'itervalle de fuctuatio est doc ; = [.4847;.553] Ce qui est assez proche des valeurs approchées obteues e secode.