DS 2 Correction. (question de cours 2 points) Énoncer le théorème de Rolle. 1 n n n. lim u n = 1.

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1 DS 2 Aalyse Exercice 1 (questio de cours 2 poits Éocer le théorème de Rolle. Soiet a, b deux réels avec a < b, soit f ue foctio à valeurs réelles, cotiue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, telle que f(a = f(b. Alors il existe u réel c das ]a, b[ tel que f (c =. Remarque : il y a pas besoi d avoir f(a = f(b =! Exercice 2 (5 poits Détermier, e justifiat, les limites e + des suites suivates : u = , v = e (si( + cos(, w = + 1. La première limite se calcule e factorisat : u = ( = ( = Comme lim = 1 et lim 1 1 = 1, o e déduit que 2 lim u = La secode limite se calcule e utilisat le théorème des gedarmes. O sait que pour tout, 1 si( 1 et 1 cos( 1. Doc 2 si( + cos( 2. Comme e, 2e v 2e. Or, lim 2e = et lim 2e =, doc, par le théorème des gedarmes, lim v =. Efi, pour la derière limite, o utilise la quatité cojuguée : w = + 1 = ( ( + 1 = = Or, lim = +, doc lim w =. Exercice 3 (6 poits Soit (u N la suite défiie par récurrece par { u = 1 u +1 = u Feuilles de TD dispoibles sur icolas.laillet/

2 a. Calculer u 1, u 2, u 3. b. Étudier le sige de x 2 x + 1 sur R. c. E déduire le ses de variatio de (u N. d. O suppose que u est borée. (i Motrer qu alors u coverge, vers ue limite otée l. (ii E utilisat la relatio de récurrece, détermier l équatio vérifiée par l, et aboutir à ue cotradictio. O a doc motré que u est pas borée. e. E déduire lim + u. a. O utilise la relatio de récurrece : u 1 = = 2, u 2 = = 5, u 3 = = 26. b. Deux méthodes étaiet possibles : le calcul du discrimiat ou celui de la dérivée. Je propose celle utilisat le discrimiat. Le discrimiat de x 2 x + 1 est = 1 4 = 3 <. Doc x 2 x + 1 e s aule pas, et est de sige costat, égal au sige du coefficiet domiat, c est-à-dire positif. Doc x R, x 2 x + 1 >. c. Étudios le sige de u +1 u : u +1 u = u u = u 2 u + 1 >, par la questio précédete. Doc u +1 u > quel que soit, doc u est croissate. d. (i O sait que (u N est croissate et majorée (car borée. Elle coverge doc. (ii O sait que u coverge vers l quad ted vers +. Or, u +1 = u 2 + 1, soit, e passat à la limite et par cotiuité de x 2 1, o obtiet l = l 2 + 1, soit l 2 l + 1 =. Cette équatio a pas de solutio par la questio b. D où ue cotradictio. e. O sait doc que u est croissate et o borée. O e déduit que lim u = +. + Feuilles de TD dispoibles sur icolas.laillet/

3 Algèbre Exercice 4 (exercice théorique 5 poits a. Rappeler le théorème du rag (c est-à-dire la relatio etre la dimesio du oyau et de l image d ue applicatio liéaire. b. Soit u etier aturel supérieur ou égal à 2. Ue forme liéaire est ue applicatio liéaire de R das R. (i O suppose que f est pas ulle. Quelle est alors la dimesio de Im(f? (ii E déduire la dimesio de Ker(f. (iii Soit u u vecteur de R tel que f(u. Motrer que Ker(f et Vect(u sot supplémetaires das R. a. Soiet E et F deux espaces vectoriels. Soit f ue applicatio liéaire de E das F. Alors dim(ker(f + dim(im(f = dim(e. b. (i O sait que Im(f est u sous-espace vectoriel de l espace d arrivée, c est-à-dire de R. Doc dim(im(f = ou 1. Comme f est pas idetiquemet ulle, dim(im(f. Doc dim(im(f = 1, c est-à-dire que Im(f = R. (ii Par le théorème du rag Doc dim(ker(f + dim(im(f = dim(e =. dim(ker(f = dim(im(f = 1. (iii O sait que f(u. Doc u / ker(f, doc Vect(u ker(f = {}. De plus, dim Vect(u + dim ker(f = =. O e déduit que Vect(u et ker(f sot supplémetaires das R. Exercice 5 (12 poits Soit f l applicatio liéaire défiie par f(x, y, z = ( 2x + 5y 2z, 3x + 6y 3z, x + y z. a. Doer la matrice A de f das la base caoique de R 3 au départ et à l arrivée. b. Détermier u système d équatios du oyau et de l image de f. c. O cosidère les vecteurs suivats : u = 1 1, v = 1, w = (i Motrez que (u, v, w est ue base de R 3. (ii Quelle est la matrice P de passage de la base caoique à la base (u, v, w? (iii Détermier e foctio de (u, v, w les images par f des vecteurs (u, v, w. (iv E déduire sas calculer P 1 la valeur de B = P 1 AP. Feuilles de TD dispoibles sur icolas.laillet/

4 d. O cosidère la matrice C défiie par C = 3 1. e. (i Calculer C 2. (ii Calculer C pour tout. (i Calculer P 1. (ii E déduire l expressio de A pour tout. a. La matrice A de f das la base caoique de R 3 au départ et à l arrivée est ( b. Pour détermier u système d équatios du oyau et de l image de f, écheloos ( ( x z L1 L y y z x ( z 3 y 3z L 2 L 2 3L 1 3 x 2z L 3 L 3 2L 1 ( z 3 y 3z x y + z L 3 L 3 L 2 O e déduit qu u système d équatios du oyau est { x + y z =, 3y =, soit { x + z =, y =. E lisat les coditios de compatibilité, o obtiet pour équatio de l image x y + z =. c. (i Soyos malis! Plutôt que de simplemet écheloer la matrice ( , 1 3 Feuilles de TD dispoibles sur icolas.laillet/

5 iversos-là! (cela permettra de répodre à la questio e.(i. ( ( L 2 L 2 L ( L1 L 1 + L L 3 L 3 L 2 ( 1 L1 L 1 L L 2 L 2 2L 3 1 ( L 2 L 2 1 Doc (u, v, w est bie ue base de R 3. (ii La matrice de passage de la base vaoique à (u, v, w est ( P = (iii O calcule f(u = (3, 3, 3 = 3u, f(v =, f(w = (1,, 1 = v. (iv Par défiitio, B = P 1 AP est la matrice de f das la base (u, v, w au départ et à l arrivée. Doc B = 1. d. (i O calcule : C 2 = 1 1 = (ii Motros par récurrece que pour tout supérieur ou égal à 2, C =. Iitialisatio. O a motré das la questio précédete que C 2 = Hérédité. Supposos que C =. Alors C +1 = C C = 1 ( 9. ( =. Feuilles de TD dispoibles sur icolas.laillet/

6 e. Héréditaire et vraie au rag 2, la propriété est vraie pour tout etier 2. Coclusio : C = I 3, C 1 = 1, 2, C =. (i O a déjà calculé P 1 e questio c.(i : P 1 = ( (ii O sait que B = P 1 AP, doc A = P BP. Doc (récurrece que vous avez le droit de e pas faire parce que c est assez classique A = P B P 1. Or, B = C, doc pour 2, B =. Doc, pour 2, A = = ( = 3 ( 1 1 = 3 ( ( ( ( Coclusio : A = I 3, A 1 = ( ( , 2, A = 3. Feuilles de TD dispoibles sur icolas.laillet/