Fonctions vectorielles, courbes.

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1 Fonctons vectorelles courbes Ca 5 : cours comlet Dérvablté des onctons de varable réelle à valeurs vectorelles Dénton : dérvablté en un ont d une oncton de varable réelle à valeurs vectorelles Dénton : dérvablté à drote et à gauce en un ont Téorème : len entre dérvablté à drote à gauce et dérvablté en un ont Téorème : caractérsaton de la dérvablté à l ade d un déveloement lmté Téorème 3 : cas d une comosée avec une alcaton lnéare ou blnéare Dénton 3 : dérvablté sur un ntervalle oncton dérvée oncton de classe C Téorème 4 : utlsaton d une base onctons comosantes Téorème 5 : caractérsaton des onctons dérvables constantes sur un ntervalle Téorème 6 : cas d une comosée avec une alcaton de dans «règle de la caîne») Dénton 4 : oncton de classe C n C Téorème 7 : oératons sur les onctons de classe C n C Arcs aramétrés Dénton : arc aramétré Dénton : trajectore ou suort géométrque d un arc aramétré Téorème : réducton du domane d étude d un arc aramétré lan Remarque : vércaton des réductons du domane d étude Dénton 3 : ont réguler Dénton 4 : dem-tangente tangente à un arc aramétré en un ont réguler Téorème : tangente en un ont réguler vue comme «drote lmte» Dénton 5 : brance nne d un arc aramétré lan Dénton 6 : ont smle double multle d un arc aramétré Remarque : ont lmte Dénton 7 : longueur d un arc aramétré 3 Courbes et suraces mlctes Dénton 3 : courbe mlcte ont réguler Téorème 3 : équaton de la tangente à une courbe mlcte en un ont réguler Dénton 3 : surace mlcte ont réguler Dénton 33 et téorème 3 : lan tangent en un ont réguler d une surace mlcte Dénton 34 : courbe tracée sur une surace Exemle 3 : courbes coordonnées d une surace exlcte Téorème 33 : tangentes à une courbe régulère tracée sur une surace mlcte Catre 5 : Fonctons vectorelles courbes Cours comlet - -

2 Fonctons vectorelles courbes Ca 5 : cours comlet Dérvablté des onctons de varable réelle à valeurs vectorelles Dénton : dérvablté en un ont d une oncton de varable réelle à valeurs vectorelles Sot une oncton d un ntervalle I de dans et sot a un réel élément de I a + On dt que est dérvable en a s et seulement s lm exste dans x a Cette lmte est alors notée ' Dénton : dérvablté à drote et à gauce en un ont Sot une oncton d un ntervalle I de dans et sot a un réel élément de I a + On dt que est dérvable à drote en a s et seulement s lm exste dans et x a dérvable à gauce en a s et seulement s x a < > a + lm exste dans On note alors ces lmtes lorsqu elles exsten resectvement ' d et ' g Téorème : len entre dérvablté à drote à gauce et dérvablté en un ont Sot une oncton d un ntervalle I de dans et sot a un réel ntéreur à I est alors dérvable en a s et seulement s est dérvable à drote et à gauce avec : ' d ' g Dans ce cas on a : ' ' ' d g La démonstraton est ormellement dentque à celle our les onctons de dans Remarque : Dans toute la sute our : a I on notera I a un ntervalle contenant a et nclus dans I Téorème : caractérsaton de la dérvablté à l ade d un déveloement lmté Sot une oncton d un ntervalle I de dans et sot a un réel élément de I est dérvable en a s et seulement s l exste : α F et une oncton telle que : I a a + + α + avec : lm De lus s est dérvable en a elle est contnue en a [ ] S est dérvable en a alors s on ose : a + I a ' ) alors on a ben : lm et : I a on a : a + + α + [ ] S admet le déveloement lmté récédent alors : a + I a α et cette quantté tend vers quand tend vers a + autrement dt lm exste et vaut α donc est dérvable en a et : ' α x a De lus s est dérvable en a alors en asant tendre vers dans le déveloement lmté récédent on a mmédatement : lm a + et est alors ben contnue en a Catre 5 : Fonctons vectorelles courbes Cours comlet - -

3 Dénton 3 : dérvablté sur un ntervalle oncton dérvée oncton de classe C Sot une oncton d un ntervalle I de dans On dt que est dérvable sur I s et seulement s est dérvable en tout ont de I La oncton ans déne est alors aelée oncton dérvée de On dt que est de classe C sur I s et seulement s est dérvable sur I et est contnue sur I Téorème 3 : dérvablté d une combnason lnéare Soent et g des onctons d un ntervalle I de dans et sot a un réel élément de I S et g sont dérvables en a alors our tout : λµ) λ + µ g) est dérvable en a et : λ + µ g)' λ ' + µ Plus généralement s et g sont dérvables sur I ou de classe C sur I) alors λ + µ g) est dérvable sur I ou de classe C sur I) On a donc : I a a + + ' + et : a avec : lm lm λ + µ g) a + λ + µ ) + λ ' + µ ) + λ + µ Donc : I a et on a clarement : lm λ + µ ) Donc λ + µ g) est dérvable en a et : λ + µ g)' λ ' + µ La orme obtenue our la dérvée en a de λ + µ g) ermet de dédure les deux autres onts ndqués dans l énoncé du téorème Téorème 4 : cas d une comosée avec une alcaton lnéare ou blnéare Sot une oncton d un ntervalle I dans a un réel élément de I tel que sot dérvable en a S : L L q ) alors Lo est dérvable en a et : L o )' L ' ) De même soent et g des onctons de I dans a un réel élément de I et une alcaton blnéare de dans q S et g sont dérvables en a la oncton : x a x) x)) est dérvable en a et : g))' ) + ' ) Plus généralement s ou et g) est son dérvables) ou de classe C sur I alors Lo ou g) ) le sont auss On utlse à nouveau des déveloements lmtés On a donc : I a a + + α + avec : lm Donc : Lo a + L ) + L α ) + L ) Or L étant lnéare de dans q esaces vectorels de dmenson ne elle est contnue et : lm L ) Llm ) L) Donc le déveloement lmté obtenu montre que L o )' L α) L ' ) Catre 5 : Fonctons vectorelles courbes Cours comlet Lo est dérvable en a et que : On eut rerendre le même rnce qu au-dessus our et on a donc : I a a + + ' + et : a avec : lm lm Donc : a + a + ) ) + [ ) + ' )] + avec : [ ) + )] + [ ' ) + ' ) + ) + ) Pus est blnéare entre esaces de dmenson ne donc contnue en tout ont et comme : - x x) - y q et : ) ))

4 on en dédut que : lm Fnalement est ben dérvable en a et : g))' ) + ' ) La dérvablté ou le caractère C découle de la orme des dérvées qu on vent d obtenr Téorème 5 : utlsaton d une base onctons comosantes Sot une oncton d un ntervalle I de dans et sot a un réel élément de I On note n ) les onctons comosantes de dans la base canonque de sot : Alors est dérvable en a s et seulement s les onctons comosantes de sont dérvables en a et : ' ' e Catre 5 : Fonctons vectorelles courbes Cours comlet e Plus généralement est dérvable ou de classe C ) sur I s et seulement s ses onctons comosantes sont dérvables ou de classe C ) sur I Le remer ont est évdemment une conséquence mmédate sur l exstence d une lmte our une oncton à valeurs dans Exemle : dérvablté d un rodut scalare d un rodut mxte détermnan dans Soent et g des onctons dérvables d un ntervalle I dans mun de sa structure eucldenne canonque La oncton g) rodut scalare de et de g est dérvable sur I et : a I g)' ' ) + ) De même la oncton : g)) det g) rodut mxte de et de g ou détermnant dans la base canonque de et de g est dérvable sur I et : a I g))' det ' ) det ) + Les alcatons de dans déne ar : x a x et : x a x ) det x sont blnéares donc g) et : g)) det g) sont dérvables sur I et leur dérvée est donnée ar le téorème 4 Téorème 6 : cas d une comosée avec une alcaton de dans «règle de la caîne») Soent I et J des ntervalles de soent ϕ une oncton de I dans J et une oncton de J dans S ϕ est dérvable en : a I et s est dérvable en : b ϕ alors o ϕ est dérvable en a et : oϕ )' ϕ' ' oϕ) Plus généralement s ϕ est dérvable de classe C ) sur I et s est dérvable de classe C ) sur J alors o ϕ est dérvable de classe C ) sur I S : e dans la base canonque de alors : oϕ oϕ) e Dans ce cas l est clar en utlsant les téorèmes sur les onctons de dans que s ϕ et sont dérvables resectvement en a et b ou dérvables sur I et J ou de classe C sur I et J) alors toutes les onctons oϕ) sont dérvables en a ou dérvables sur I ou de classe C sur I) Donc o ϕ) a les mêmes rorétés d arès le téorème récédent De lus : a I oϕ )' ϕ' ' oϕ) et : a I oϕ )' oϕ)' e ϕ' ' oϕ) e ϕ' ' oϕ) e ϕ' ' oϕ

5 La généralsaton à la dérvablté ou au caractère C s obtent comme récédemment à artr de la orme de la dérvée obtenue Dénton 4 : oncton de classe C n C Sot une oncton d un ntervalle I dans Pour : k on dt que est de classe C k sur I s et seulement s est dérvable sur I et est de classe C k- sur I On dt de même que est de classe C sur I s et seulement s est de classe C k our tout : k Téorème 7 : oératons sur les onctons de classe C n C Soent I un ntervalle de et sot : n {+ } Les rorétés vérées our les onctons dérvables se généralsent aux onctons de classe C n de la açon suvante : s est déne de I dans et s écrt : e dans la base canonque de alors est de classe C n sur I s et seulement s ses onctons comosantes sont de classe C n sur I et dans ce cas : a I k n k ) k ) e s et g sont de classe C n de I dans alors : λµ) λ + µ g) est de classe C n sur I et : k n λ + µ k ) k ) k ) + µ g) λ g Tous ces ensembles sont nclus dans FIK) sont non vdes usque la oncton nulle de I dans K aartent à cacun d entre eux et ls sont stables en utlsant notamment le téorème 4 La lnéarté de la dérvaton n ème des onctons de classe C n est sot également une conséquence de ces deux téorèmes sot obtenu drectement ar récurrence sur n Arcs aramétrés Dénton : arc aramétré On aelle arc aramétré de classe C k un coule I) où I est un ntervalle de et une alcaton de I dans de classe C k où k est un enter : k ou : k + Dénton : trajectore ou suort géométrque d un arc aramétré Sot I) un arc aramétré de classe C k avec : k ou : k + La trajectore ou le suort géométrque de l arc aramétré est l ensemble : Γ {m t I Om } Téorème : réducton du domane d étude d un arc aramétré lan Sot I) un arc aramétré de classe C k dans avec : k ou : k + et : t I x On eut examner ce que devennent les coordonnées x et d un ont lorsque l on transorme t de la açon suvante ce qu donne alors leu aux réductons du domane ndquées : t cangé en t + T) : domane rédut à un ntervalle de longueur T ex : rédut à [αα+t]) t cangé en t : domane rédut à sa arte ostve ex : rédut à + ) t cangé en t : domane rédut à sa arte dans [-+] ex : rédut à [-+]) On constate alors que : x et y nvarants : l arc est globalement nvarant x nvarant et y cangé en son oosé : arc nvarant dans la symétre ar raort à Ox y nvarant et x cangé en son oosé : arc nvarant dans la symétre ar raort à O x et y cangés en leur oosé : arc nvarant dans la symétre ar raort à O x et y écangés : arc nvarant dans la symétre ar raort à la remère bssectrce sot la drote d équaton : x Catre 5 : Fonctons vectorelles courbes Cours comlet - 5 -

6 x cangé en x + et y nvarant : arc nvarant dans la translaton de vecteur a même cose en l adatant s x est ncangé et y cangé en y + b)) La luart des résultats sont mmédats Tratons ar exemle le cas où en cangent t en t x et y sont écangés La symétre ortogonale s ayant our axe la remère bssectrce drote d équaton : x a our x' y exresson cartésenne : Mx M x y ) sm)) y' x S mantenant on connaît l arc aramétré sur le domane : D + D + D étant suosé symétrque ar raort à ) la orton Γ + de l arc obtenue a our mage ar la symétre ortogonale récédente un autre arc Γ - et cette orton corresond aux onts obtenus lorsque le aramètre vare dans : D - D - En eet s on note our : t D + M Mx son mage ar s est M de coordonnées x qu est donc ben le ont Mx-- Remarque : vércaton des réductons du domane d étude Dans tous les cas lorsqu on eectue une ou luseurs réducton du domane d étude d un arc aramétré l est rudent d eectuer les transormatons nverses qu condusent à rédure le domane our s assurer que le domane retenu à la n ermet ben d étuder tout l arc et de noter en arallèle les transormatons géométrques du lan qu ermettent d obtenr la totalté de son dessn Dénton 3 : ont réguler Sot I) un arc aramétré de classe C k avec : k ou : k + Pour : t I on dt que le ont m de l arc est réguler s et seulement s : ' Dans le cas contrare on dt que le ont est snguler ou statonnare S tous les onts d un arc aramétré sont régulers on arle alors d arc réguler Dénton 4 : dem-tangente tangente à un arc aramétré en un ont réguler Sot I) un arc aramétré de classe C k avec : k ou : k + Pour : t I corresondant à un ont réguler on aelle tangente au ont mt ) à l arc la drote assant ar mt ) et drgée ar t ) ' Lorsque n est déne qu à drote ou à gauce de t ou n admet qu une dérvée à drote ou à gauce en t on arle de dem-tangente à l arc en mt ) Téorème : tangente en un ont réguler vue comme «drote lmte» Sot I) un arc aramétré de classe C k avec : k ou : k + Sot : t I tel mt ) sot un ont réguler de l arc Alors t ) corresond à la drecton lmte du vecteur m m t ) lorsque t tend vers t ' La tangente ou dem-tangente) corresond alors à la «drote lmte» ou la «dem-drote lmte») obtenue «lmte» des cordes [mt )m] lorsque t tend vers t La corde entre mt ) et m corresond à la drecton : r r r r t I avec : t t + m t ) m t ) ' t ) + o et : r m t ) m ' t ) + o ' t ) r ± m t ) m ' t ) + o ' t ) autrement dt l y a ben la drecton lmte est ben donnée ar t ) ' Dénton 5 : brance nne d un arc aramétré lan Sot I) un arc aramétré lan de classe C k avec : k ou : k + sot : t I x On dt que l arc résente une brance nne lorsque x ou y ou les deux) tendent vers ± quand t tend vers t ou vers ± Catre 5 : Fonctons vectorelles courbes Cours comlet - 6 -

7 On étude alors la lmte en t ou en ± ) du raort x s ce raort admet une lmte nne en cette valeur t éventuellement en ± ) on dt que l arc résente une brance arabolque dans la drecton O s ce raort admet une lmte nulle en cette valeur t éventuellement en ± ) on arle de brance arabolque dans la drecton Ox s ce raort admet une lmte ne m non nulle on dt que l arc résente une drecton asymtotque d équaton : y mx Dans ce derner cas on étude alors [ mx] en la valeur t consdérée ou en ± ) et s cette oncton admet une lmte ne alors l arc résente une asymtote d équaton : y mx + Dénton 6 : ont smle double multle d un arc aramétré Sot I) un arc aramétré de classe C k avec : k ou : k + Pour : t I on dt que le ont m de cet arc est smle s et seulement s : t I t t ) m mt )) On dt de même que le ont m est double our : t I s et seulement s :! t I t t m mt ) Enn lus généralement on dt que le ont m our : t I est multle s et seulement m n est as un ont smle de l arc aramétré Remarque : ont lmte Sot I) un arc aramétré lan de classe C k avec : k ou : k + sot : t I x Lorsque x et y tendent vers des lmtes nes x et y en t ou ± on dt que l arc résente un ont lmte m de coordonnées x et y Dans ce cas on eut également étuder la drecton lmte de m m ) quand t tend vers t ou vers ± t Dénton 7 : longueur d un arc aramétré Sot I) un arc aramétré lan réguler de classe C k avec : k ou : k + étant mun de rovenant de la structure eucldenne canonque On aelle longueur de l arc entre les onts de aramètre t et t la quantté : t L t t ) ' dt Lorsque l arc est lan cette valeur vaut donc : L t t ) x' + y' dt où : x 3 Courbes et suraces mlctes Dénton 3 : courbe mlcte ont réguler On aelle courbe du lan déne ar une équaton mlcte un ensemble : Γ {x x } où est une oncton de classe C d un ouvert U de dans On dra qu un ont : mx Γ d une telle courbe est réguler lorsque : d x ) t t t Téorème 3 : équaton de la tangente à une courbe mlcte en un ont réguler Sot : Γ {x x } et mx y ) un ont réguler de cette courbe Alors la courbe est localement un arc aramétré et la tangente à la courbe en ce ont a our équaton : x x ) x y ) + y y ) x y ) Pusque grad x y ) est non nul alors l une de ses deux comosantes au mons est non nulle S : x y ) alors on admettra téorème des onctons mlctes dont la démonstraton est assez dcle) qu l exste des ntervalles ouverts I et J et ϕ de classe C de I dans J tels que : x y ) I J Catre 5 : Fonctons vectorelles courbes Cours comlet - 7 -

8 I J U ϕ x ) y x I J x ) y ϕx) ) Autrement dt la relaton : x dént localement y comme oncton de x Mas alors : x I x ϕ x)) et en dérvant : x ϕ x)) + ϕ' x) x ϕ x)) et en x y ) artculer our : x x on obtent : x y ) + ϕ ' x ) x y ) d où : ϕ ' x ) x y ) L arc aramétré ans dén admet our tangente en m la drote d équaton : y y ) ϕ ' x ) x ) ce qu s écrt encore arès smlcaton : x x ) x y ) + y y ) x y ) On sut le même rasonnement et on aboutt au même résultat s : x y ) x Remarque : S est une oncton de classe C d un ouvert U de dans alors en tout ont réguler m x y ) d une lgne de nveau de déne ar : x λ avec : λ le gradent grad x y ) de en ce ont est ortogonal à la lgne de nveau en ce ont c'est-à-dre qu l est ortogonal à la tangente à la lgne de nveau au ont m On eut également démontrer que grad x y ) est orenté dans le sens crossant des valeurs de Dénton 3 : surace mlcte ont réguler On aelle surace de l esace déne ar une équaton mlcte un ensemble : Σ {x 3 x } où est une oncton de classe C d un ouvert U de 3 dans On dra qu un ont : mx Σ d une telle surace est réguler lorsque : d x ) On dra qu une surace est régulère lorsque tous ses onts sont régulers Dénton 33 et téorème 3 : lan tangent en un ont réguler d une surace mlcte Soent : Σ {x 3 x } une surace de 3 où est une oncton de classe C d un ouvert U de 3 dans et sot m x y z ) un ont réguler de Σ On aelle lan tangent à Σ en m le lan assant ar m et ortogonal à grad x y ) z Ce lan a our équaton : x x ) x y z ) + y y ) x y z ) + z z ) x z ) z Sot : mx 3 S on note P T m ) le lan cercé on a donc : m P T m )) m m grad x y z ) ) x x ) x y z ) + y y ) x y z ) + z z ) x z ) ) z Dénton 34 : courbe tracée sur une surace Sot : Σ {x 3 x } une surace de 3 où est une oncton de classe C d un ouvert U de 3 dans On aelle courbe tracée sur cette surace un arc aramétré Iϕ) où I est un ntervalle de et ϕ une oncton de classe C de I dans 3 et telle que : t I oϕ Catre 5 : Fonctons vectorelles courbes Cours comlet - 8 -

9 Exemle 3 : courbes coordonnées d une surace exlcte Sot g une oncton de classe C d un ouvert U de dans Alors : Σ {x 3 z x } est un cas artculer de surace décrte dans la dénton 33 et cette surace est régulère On aelle alors courbes coordonnées tracées sur cette surace les arcs aramétrés déns ar : t a t a t ) avec : a t a a t a avec : a Elles corresondent à l ntersecton de Σ avec les lans «vertcaux» Π x et Π y d équatons resectves : Π x : x a Π y : y a On eut commencer ar constater qu en osant : x 3 x x z alors : x 3 x Σ) g x z ) x ) g g De lus Σ est ben régulère car : x Σ grad x x + x j k Sot mantenant : m t ) t a t )) a t a t ) t t Alors on a ben : et : mt ) Σ Téorème 33 : tangentes à une courbe régulère tracée sur une surace mlcte Sot : Σ {x 3 x } une surace régulère de 3 où est une oncton de classe C d un ouvert U de 3 dans Sot un arc aramétré réguler Iϕ) où I est un ntervalle de et ϕ une oncton de classe C de I dans 3 corresondant à une courbe tracée sur la surace Σ Pour tout ont m de l arc la tangente en m est une drote ncluse dans le lan tangent à Σ en m Notons : t I ϕ t ) x z où x y et z sont donc tros onctons de classe C de I dans Pusque Iϕ) est un arc tracé sur Σ alors : t I oϕ En dérvant alors cette relaton on obtent : t I x' x z + y' x z + z' x z z Donc en tout ont de l arc le vecteur x ' y' z' est ortogonal à grad x z Autrement dt la tangente à l arc en m asse ar un ont du lan tangent P T m à Σ et est ortogonale au vecteur grad x z lu-même ortogonal à P T m Donc la tangente est ben ncluse dans le lant tangent P T m Catre 5 : Fonctons vectorelles courbes Cours comlet - 9 -