Un corrigé du concours Centrale-supélec Math-II a k ) = , la série de Riemann 1. n + n r

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1 Cerale-supélec - 5 U corrigé du cocours Cerale-supélec Mah-II- 5 Filière MP I- Représeaio iégrale de sommes de séries Proposé par Mr : HAMANI Ahmed I-A. I-A-, a = d = + l = + o Doc a e par suie la série a coverge comme celle de Riema I-A- - La série a coverge, soi L = lim + a k = k=. d lim H + = l, ce qui eraie que H = l + A + o où A = L +. - A + o = ol, doc de l égalié précédee, o obie H l. I-B Par équivalece la série H + es de même aure que la série l. r r - Si r =, alors l = l diverge grossiéreme. r I-C - - Si r =, alors = o l es de même pour la série l. - Si r, alors 3 l r = l r 3, la série de Riema, doc l = o + r lim H + éa divergee doc par comparaiso, il e coverge e par comparaiso, il e ai de même pour la série l. 3 r O coclu par équivalece que la série H coverge si, e seuleme si, r. + r I-C- ], [, l = 3 de rayo de covergece R =. + ], [, = de rayo de covergece R =. = I-C- - Les deu focios l e produi de Cauchy assure que leur produi ], [., or 3 >, doc la série de Riema so développables e série eière sur ], [, doc le l es développable e série eière sur au mois - Posos a =,, a = eb l =, alors ], [, = où c = a k b k = = H, doc k k= k= l ], [, = H I-D - I-D- - La focio p l q es coiue sur ], ] e au voisiage de, p l q = o, doc la focio p l q es iégrable sur ], ]. I-D- - Les focios p+ p + e lq so de classe C sur le segme [ε, ], ce qui perme ue iégraio par paries I ε p+ [ ] p,q = l q p+ l q d = q p l q d = q p + p + p + p + Iε p,q εp+ lε q p + ε I-D-3 L iégrale l égalié ε ε = c p l q d éa covergee, ce qui perme le passage à la limie ε, o obie I p,q = q p + I p,q / 7

2 Cerale-supélec - 5 I-D-4 La relaio de récurrece qui précède codui à I p,q = q p + q p +... p + I p, = q q! p + I q p, = q q! p + q+ I-E Posos f = a l r. Alors - N, f es coiue iégrable sur [, [. - La série a coverge simpleme sur [, [, doc aussi a l r. a - N, f d = r!, doc la série f + r d es covergee. Le héoème de la covergece domiée es appliqué, ce qui perme de permuer iégrale e série I-F - l r fd = = f d = = a l r d = = a I,r = r a r! + r I-F- O pose ], [, f = H l =. r, doc d après la quesio I B, la série H es covergee, ce qui eraie d après la + r quesio précédee I E c es à dire S r = l r fd = r r! H + r = r r! l r l I-F- O pose pour ], [ u = l r e v = l. - Au voisiage de, uv lr +. d H + r - Au voisiage de, uv r r l. Doc le croche [uv] es ul, ce qui doe par ue iégraio par paries S r = r r! uv d = r r! u vd = r r! = l r l d I-F-3 E prea r = das l égalié précédee, o obie S = l d e le chageme de variables u = aboui à l égalié S = l + d O pose ], [, f = =. = La série coverge absolume, ce qui perme l égalié de la quesio I E e pariculier + r avec r = 3 qui s écri E coclusio S = ζ3. II-La focio β II-A - La focio Γ l + d = + = ζ3 3 II-A- La focio e es coiue sur ], + [. - Au voisiage de, e =, doc e es iégrable au voisiage de comme la focio de Riema grâce à la codiio <. - Au voisiage de +, e = o, doc par comparaiso la focio e es iégrable au voisiage de +. O coclu que la focio e es iégrable sur ], + [ pour ou >. II-A- Le chageme de variable = αu das l epressio de Γ doe >, Γ = α u e αu du, doc cee derière iégrale eise e o = e α d = α Γ / 7

3 Cerale-supélec - 5 II-B La focio β e so équaio focioelle II-B- La focio y es coiue sur ], [. - Au voisiage de, elle es équivalee à, doc iégrable au voisiage de grâce à la codiio >. - Au voisiage de, elle es équivalee à y, doc elle es iégrable au voisiage de grâce à la codiio y >. E coclusio β, y eise pour ous >, y >. II-B- Le chageme de e, eraie que β, y = βy,. II-B-3 >, y >, alors + >, ce qui assure l eisece de β +, y = y d. Pour le calcul de yb +, y, o pose u = e v = y, alors le croche [uv] es ul, ce qui perme ue iégraio par paries yβ +, y = uv d = y d = β, y + or y + y = y + = y, doc β +, y + β, y + = β, y, ce qui doe avec yβ +, y = β, y + l égalié β +, y = β, y. + y II-B-4 De l égalié précédee, o obie e remplaca y par y +, β +, y + = β, y + + y + y βy,, doc par symérie de β, o aura β, y + = + y e e iversa les rôles, βy +, = y β, y, e e remplaca cee derière das l égalié β +, y + = + y obie y β +, y + = β, y + y + y + II-C Relaio ere la focio β e la focio Γ β, y +, o + y + II-C- Supposos que la relaio R es vraie pour >, y > e soi >, y >, alors + >, y + >, Γ + Γy + yγγy doc β +, y + = = Γ + y + + y + + yγ + y e par l égalié précédee, o aura β, y = ΓΓy Γ + y. II-C- O effecue le chageme de variable = β, y = u, alors d = + u + u du = du + u y u du + + u + u + u = u du + u II-C-3 La codiio >, y > eraie que + y >, ce qui assure l eisece de Γ + y. La focio e es coiue posiive, doc F,y : sur R +, e par suie >, F,y u lim F,y = Γ + y. + II-C-4 O pose ga, u = F,y + ua. + u - a R +, g es coiue R + R + par opéraios sur les focios coiues. u e par suie e u u du es croissae - a, u R + R +, ga, u Γ + y, cee focio domiae es idépedae + u de a e coiue iégrable d après II C. - O coclu la défiiio e la coiuié de G sur R +, par le h éorème de coiuié sous le sige iégral. II-C-5 - a, u u F,y + ua es coiue sur ], + [. + u u - u ], + [, lim a + + u F,y + ua = + u Γ + y qui es coiue sur R +. u - a, u > + u F u,y + ua Γ + y e la focio domiae es selo + u II C, coiue iégrable sur ], + [. Le héorème de la covergece domiée gééralisé perme d ierverire limie e iégrale e o aura lim Ga = a + u u Γ + ydu = Γ + yβ, y + u 3/ 7

4 Cerale-supélec - 5 u II-C-6 O pose a, u R + R +, ga, u = F,y + ua. + u - O a déjà a R +, u ga, u es coiue iégrable sur R +. - La focio g adme ue dérivée parielle par rappor à a e o a a, u g u a, u = a + u e +ua + ua = a u e +ua es coiue par rappor au deu variables. - a, u [c, d] R +, g a a, u d u e +uc = φu. La focio domiae φ es coiue sur R + iégrable selo II A. O coclu par le héorème de Leibiz la classe C de G sur [c, d]. Soi a R +, alors c, d > el que a [c, d], doc G es dérivable e a, ce qui eraie que G es de classe C e ou poi de R +. II-C-7 a >, G a = Γ a doc g a a, udu = a e a a >, u e ua du, or d après II A, G a = a y e a Γ u e ua du = II-C-8 De l égalié précédee, e e eploia que G es coiue e avec G =, o aura a >, Ga = G + Γ a y e d = Γ a y e d. E eda a vers +, o obie avec la quesio II C 5 III- La focio digamma a >, Γ + yβ, y = ΓΓy III-A >, ψ + ψ = lγ + lγ = lγ + lγ = Γ + = l = l = Γ. III-B Ses de variaio de ψ III-B- - >, la focio y R +. - >, y > Γy Γ + y es dérivable sur R +, ce qui jusifie l eisece de β y sur β Γ y, y = Γ y Γ + y ΓyΓ + y = β, yψy ψ + y. Γ + y III-B- Le héorème de Leibiz appliqué à β, y = y d more que β, y = l d, doc de sige égaif sric e par suie y β, y es y décroissae sur R +. III-B-3 De l égalié >, y > β, y = β, yψy ψ + y o obie y >, y >, ψy ψ + y <, doc ψ es croissae sur R +. III-C Ue epressio de ψ comme somme d ue série de focios III-C- Soi k [[, ]], alors e appliqua l égalié de III A à k + e à k, o obie ψk + + ψk + = k + e ψk + ψk = k, doc ψk + ψk + + ψk ψk + = k k + ce qui doe par éléscopage que ψ + ψ + + ψ ψ + = c es à dire ψ + ψ = ψ + + ψ + + k= k. k + k= k k + III-C- Par défiiio de p, o a p < p, doc + p + + < + p + e par croissace de ψ ψ + p ψ + + ψ + p + e par suie +p ψ + pψ ψ + + ψ ψ + p + ψ = ψk + ψk = = +p k= k = H +p H +p k= = p + k= 4/ 7

5 Cerale-supélec - 5 III-C-3 -La série coverge, de plus de l iégalié précédee o obie + ψ + + ψ + = ψ + + ψ + ψ ψ + p + = p Le passage à la limie + das l égalié de III C eraie que >, ψ + = ψ + k k + k= + III-D U développeme e série eière III-D- O pose, >, g = +. -, les focios g so de classe C sur ], + [ e o a >,, k N, g k = k k! +. k+ - La série g coverge simpleme sur ], + [. - >,, k N, g k k! e le erme domia es idépeda de e c es k+ celui d ue série covergee vers k!ζk +. O coclu par le héorème de dérivaio sous le sige que g es de classe C sur ], + [ e e pariculier sur, +, e o a >, k N, g k = doc = g k = k k!ζk + g k = k k! k= =. + k+, III-D- g éa de classe C sur ], [, o lui applique la formule de Taylor-Lagrage ere e, ce qui g k doe l eisece de c ere e el que < c < avec g k = + k! +! g+ c. or c ], [, doc N, g + c = +! p= p + c, ce qui eraie que + p p + c +! + + g k= g k k k! p= +!ζ e par suie p + +! g+ c + ζ ], [, +, doc l iégalié précédee assure le développeme e série eière de + g sur ], [ e o a vu que g = ], [, g = III-D-3 ], [, ψ + = ψ + g =! + + = e g = ], [, ψ + = ψ +!ζ + = ζ +! + = ψ + g ζ +, doc ζ + + = ψ + IV- Ue epressio de S r e focio de valeurs eières de ζ IV-A Ue relaio ere B e ψ +, or ζ +. >, β, y = ΓΓy Γ + y, doc y β, y es de classe C sur R +, ce qui jusifie la défiiio de B. E dériva par rappor à y la relaio de III B, o obie β β, y = y y, yψy ψ + y + β, yψ y ψ + y or β, = β e, y = β, yψy ψ + y, doc avec y = o obie y >, B = ψ + ψ ψ ψ + ψ = Γ Γ e Γ es de classe C, doc ψ es de classe C e par suie B l es aussi comme produi de e la focio ψ + ψ ψ ψ +. 5/ 7

6 Cerale-supélec - 5 IV-B Epressio de S r à l aide de la focio B IV-B- Moros que y β, y = y d es de classe C sur ], + [. Posos pour > fié, y >, ], [, hy, = y - y >, la focio hy, es coiue iégrable sur ], [. - Les focios y, h y y, e y, h y, so coiues sur ], + [ ], [. y - Soi c >. - y, [c, + [ ], [, h y y, = l hy, l c e h y y, = l hy, l c. or pour k =,, l k c k+ = o e l k c l k c = o doc les focios domiaes so coiues iégrables. O coclu par le héorème de Leibiz que y β, y es de classe C sur ], + [ e o a y >, >, β, y = l y d, ce qui eraie qu e pariculier e y =, y B = IV-B- Pour ou p N e ou réel >, B p = IV-B-3 D après I F, r, S r = r r! l d l p l d. l r l d. Moros que lim Br = lim l r l d = + + O pose ], [, >, b, = l r l - ], [, lim b, = lr l = c. + La focio c es coiue iégrable sur ], [. -, ], + [ ], [, b, c. l r l d. Le héorème de la covergece domiée gééralisé perme d ierverir limie e iégral, ce qui doe lim Br = + cd = e par suie r, S r = r lim r! Br. + l r l d IV-B-4 E pariculier pour r =, o obie S = lim B = l d e le chageme + u = aboui à S = l d. L égalié de IV A, >, B = ψ + ψ ψ + ψ. e d après III D 3 ψ + ψ = ζ + o, doc ψ + ψ = o e e dériva la formule de III D 3 e obie ψ + ψ = ζ3, doc B = ζ3 + o e par suie S = lim B = ζ3. IV-C. IV-C- - D après IIII C 3 e III D o a > ψ + = ψ g. or d après II D, la focio g es de classe C e de même pour, doc ψ+ + es de classe C. - La quesio III D 3, la focio ψ + es développable e série eière sur ], [, doc elle coïcide avec sa série de Fourier. ψ k ], [, ψ + ψ = k, doc par produi de Cauchy, o obie k! ], [, ψ + ψ = k= De même ], [, ψ + ψ = c avec c = k= ψ k ψ k k! k!. ψ +, ce qui eraie que! 6/ 7

7 Cerale-supélec - 5 ], [, φ = φ =! k= c ψ+! ψ k ψ k ψ+ k! k!!. O obie doc par uicié du développeme = C k ψ k ψ k ψ + IV-C- La formule de Leibiz eraie >, r 3, φ r = B r = B r + r B r e par passage à la limie e doe φ r = r lim B r, doc S r = r or φr r! = k= k= r φ r = r r! r r! φr ψ k ψ r k k! r k! ψr e d après III D 3, r! ψ k k, = k+ ζk +, doc k! r S r = r k+ ζk + r k ζr k r+ rζr + k= r = rζr+ k= ζk+ζr k 7/ 7