Vendredi 20 octobre CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N 2 Classe de TERM 07. En salle 206, deux heures de 8 h à 10 h : LES SUITES et PROBABILITES.

Transcription

1 Vedredi 0 octobre 07. CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N Classe de TERM 07. E salle 06, deux heures de 8 h à 0 h : LES SUITES et PROBABILITES. La première feuille de ce devoir doit être ue feuille double. Lisez bie l éocé. Vous pouvez faire les exercices das l ordre que vous souhaitez, mais e mélagez pas deux exercices différets. Le soi apporté à la présetatio, la clarté de la rédactio, sot des critères importats das l évaluatio de la copie. Bo travail. Exercice : (8 poits) O cosidère l algorithme suivat : ) Reproduire sur votre copie le tableau ci-dessous et le compléter, e faisat foctioer cet algorithme pour a 4, b 9 et N ; Les valeurs successives de u et v serot arrodies au millième. Das la suite de ce problème, a et b sot deux réels tels que 0 a b. O cosidère les suites u et v défiies par u0 a et v0 b et, pour tout etier aturel : u v et u u v v. ) a) Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel o a u 0 et v 0. b) Démotrer que, pour tout etier aturel o a etier aturel o a u v, 3 ) a) Etudier les variatios de la suite u. b) Comparer v v et v, puis e déduire le ses de variatio de la suite v 4 ) Démotrer que les suites et u v u, puis e déduire que, pour tout u v sot covergetes, puis cojecturer ue valeur approchée la limite de ces deux suites e utilisat votre calculatrice et e preat a 4, b 9. 6 à 0 près, de

2 Exercice : (6 poits) Ue etreprise fabrique des lecteurs MP3, dot 6 % sot défectueux. Chaque lecteur MP3 est soumis à ue uité de cotrôle dot la fiabilité est pas parfaite. Cette uité de cotrôle rejette 98 % des lecteurs MP3 défectueux et 5% des lecteurs MP3 foctioat correctemet. O ote : D l évéemet : «Le lecteur MP3 est défectueux». R l évéemet : «L uité de cotrôle rejette le lecteur MP3». Toutes les réposes, sauf pour la quatrième questio, devrot être doées sas approximatio. ) Recopier puis compléter l arbre podéré ci-dessous sur lequel o idiquera les doées qui précèdet. ) a) Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et e soit pas rejeté. b) O dit qu il y a ue erreur de cotrôle lorsque le lecteur MP 3 est rejeté alors qu il est pas défectueux, ou qu il est pas rejeté alors qu il est défectueux. Calculer la probabilité qu il y ait ue erreur de cotrôle. 3 ) Calculer la probabilité qu u lecteur MP 3 e soit pas rejeté. 4 ) Calculer, à 3 0 près par excès, la probabilité qu u lecteur MP 3 soit défectueux sachat qu il a été rejeté.

3 Exercice 3 : (6 poits) U même idividu peut être atteit de surdité uilatérale (c est-à-dire portat sur ue seule oreille) ou bilatérale (c est-à-dire portat sur les deux oreilles). O admet que das ue populatio doée, les deux évéemets suivats sot idépedats et de même probabilité 0,05 : D : «Etre atteit de surdité à l oreille droite». G : «Etre atteit de surdité à l oreille gauche». Doc o a P D PG 0,05. O cosidère égalemet les évéemets ci-dessous : B : «Etre atteit de surdité bilatérale». U : «Etre atteit de surdité uilatérale». S : «Etre atteit de surdité sur ue oreille au mois». O doera les probabilités demadées sous forme décimale approchées à 4 0 près ) Exprimer les évéemets B et S A l aide de G et de D, puis calculer les probabilités P B et P S. ) E déduire la probabilité PU. 3 ) Sachat qu u sujet pris au hasard das la populatio cosidérée est atteit de surdité, quelle est la probabilité : a) Pour qu il soit atteit de surdité à droite? b) Pour qu il soit atteit de surdité bilatérale? 4 ) O cosidère u échatillo de dix persoes prises au hasard das la populatio, qui est suffisammet grade pour que les choix puisset être assimilées à des choix successifs et idépedats. a) Calculer la probabilité pour qu il y ait aucu sujet atteit de surdité das l échatillo. b) Quelle est la probabilité pour qu au mois u sujet soit atteit de surdité das l échatillo? Exercice 4 : BONUS (5 poits) Première partie : Les deux parties de ce problème sot idépedates.. Soit PA B 0,5, PB A 0,3 puis P B P A 0,3. Calculer les probabilités des évéemets A, B, A B et A B. Deuxième partie : Das u restaurat, o a costaté que : 80 % des cliets preet u café. 40 % des cliets preet u dessert, dot les 3 4 preet aussi u café. ) O choisit u cliet du restaurat au hasard. a) Quelle est la probabilité qu il pree u dessert et u café? b) Quelle est la probabilité qu il e pree i dessert, i café? ) O choisit u cliet qui a pris u café. Quelle est la probabilité qu il ait pas pris de dessert? 3 ) Sachat qu u cliet a pas pris de café, quelle est la probabilité qu il ait pas pris de dessert? 3

4 Vedredi 0 octobre 07. CONTRÔLE DE MATHEMATIQUES N Classe de TERM 07. E salle 06, deux heures de 8 h à 0 h : LES SUITES et PROBABILITES. CORRECTIONS. Exercice : (8 poits) ) E faisat tourer cet algorithme «à la mai» o trouve : Explicatio : Au départ o a : a 4, b 9 et N Doc u 4, v 9 et 0 TANT QUE (oui) alors ; u 6,5 ; v 6,964 ; a 6, 5 et b 6,964 4 (oui) alors u 6, 73( a) ; v 6, 736( b) (o) alors o affiche u 6, 73 puis v 6, 736 Ce qui doe : AVEC LE LOGICIEL ALGOBOX : 4

5 PUIS AVEC LA CALCULATRICE T.I. : 5

6 Das la suite de ce problème, a et b sot deux réels tels que 0 a b. O cosidère les suites u et v défiies par u0 a et v0 b et, pour tout etier aturel : u u v u v. et v ) a) O démotre par récurrece que, pour tout etier aturel o a u 0 et v 0. INITIALISATION. Pour 0, o a bie u0 0 et v0 0 car das l éocé o a a et b sot deux réels tels que 0 a b. Et o cosidère les suites u et v défiies par u0 a 0 et v0 b 0. Doc la relatio est vraie pour 0. HEREDITE. Supposos que la relatio est vraie au rag c est-à-dire que u 0 et v 0 et il faut doc démotrer cette relatio au rag, soit démotrer que u 0 et v 0? u v O comme u 0 et v 0 o peut e déduire de faço évidete que 0 u 0 d autre part u v u v u 0 et v 0 u 0 et v 0 u v v 0 Doc la relatio est démotrée au rag. CONCLUSION. D après le théorème de récurrece, o peut doc e déduire que u 0 et v 0. b) Démotrer que, pour tout etier aturel o a etier aturel o a u v, v v v u v u, puis e déduire que, pour tout u v u v u v u u v v u u v v u v u 4 4 4, coclusio u v u u v u 0 Doc comme o viet de démotrer que o a v (u carré) cela implique v u 0 v u v u 0 v u 0 v u v u, coclusio que, u v 6

7 3 ) a) Variatios de la suite u. u v v u O calcule u u u = 0 croissate. d après la questio précédete, doc la suite u est u v b) o a 0 u v u v u v v v v v, doc o peut e déduire, les deux suites état strictemet positives, v v, doc la suite v est décroissate. 4 ) E résumé, o a doc motré que : La suite u est croissate doc u0 u pour tout etier aturel. La suite v est décroissate doc v v0 pour tout etier aturel. Pour tout etier aturel, u v. O e déduit que pour tout etier aturel, u0 u v v0, soit e particulier : u v0, doc v u0 La suite u est croissate et majorée par v 0, doc d après u des théorèmes du cours, cette suite est covergete, ce qui sigifie que Limu l quad avec l. De même La suite v est décroissate et miorée par u 0, doc d après u des théorèmes du cours, cette suite est covergete, ce qui sigifie que Limv l ' quad avec l '. Avec la calculatrice, e preat a 4, b 9 et N o obtiet pour de très grades valeurs l l 6 ' 6, à 0 près 7

8 Exercice : (6 poits) ) L arbre podéré peut être le suivat : ) a) Avec l arbre, o obtiet P D R P R PD 0,0 0,06 Ce qui doe P D R 0,00. D b) Il y a ue erreur de cotrôle pour les évéemets disjoits suivats D R et D R, la probabilité de cet évéemet oté E est doc P E PD R PD R 0,060,0 0,94 0,05, soit P E 0,048 3 ) La probabilité qu u lecteur MP 3 e soit pas rejeté est égale à, e utilisat la formule des probabilités totales P R P D R P D R 0,060,0 0,94 0,95 soit P R 0,894 P D R 0, 060,98 4 ) O demade PR D, soit PR D 0,556 à près par excés PR 0,894 8

9 Exercice 3 : (6 poits) U même idividu peut être atteit de surdité uilatérale (c est-à-dire portat sur ue seule oreille) ou bilatérale (c est-à-dire portat sur les deux oreilles). O admet que das ue populatio doée, les deux évéemets suivats sot idépedats et de même probabilité 0,05 : D : «Etre atteit de surdité à l oreille droite». G : «Etre atteit de surdité à l oreille gauche». Doc o a P D PG 0,05. O cosidère égalemet les évéemets ci-dessous : B : «Etre atteit de surdité bilatérale». U : «Etre atteit de surdité uilatérale». S : «Etre atteit de surdité sur ue oreille au mois». O doera les probabilités demadées sous forme décimale approchées à ) Exprimer les évéemets B et S A l aide de et de 4 0 près G D, puis calculer les probabilités et. P B P S. B : «Etre atteit de surdité bilatérale», doc les deux oreilles ce qui doe B D G Les évèemets D et G état idépedats, o a P B PD G PD P G 0,05 0,05, soit P B PD G 0,005 S «Etre atteit de surdité sur ue oreille au mois». doc l oreille droite ou la gauche ou les deux ce qui doe S D G Les évèemets D et G état idépedats, o a P S P D G P D P G P D G P D P G P D P G, 0,05 0,05 0,05 0,05 soit P S PD G 0,0975 ) E déduire la probabilité PU. U : «Etre atteit de surdité uilatérale», cela sigifie ue seule oreille doc c est la probabilité de l évèemet S mois B, ce qui doe P U P S PB 0,0975 0,005 soit P U 0,095 3 ) Sachat qu u sujet pris au hasard das la populatio cosidérée est atteit de surdité, quelle est la probabilité : a) Pour qu il soit atteit de surdité à droite? O demade doc PS D P D 0, PS D soit PS D 0,58 à 0 près P S P S 0, b) Pour qu il soit atteit de surdité bilatérale? P S B P B 0, 005 Doc PS B P S P S 0, soit S P 5 B 0, 056 à 0 près 9

10 4 ) O cosidère u échatillo de dix persoes prises au hasard das la populatio, qui est suffisammet grade pour que les choix puisset être assimilées à des choix successifs et idépedats. a) Calculer la probabilité pour qu il y ait aucu sujet atteit de surdité das l échatillo. O cosidère la variable aléatoire X qui doe le ombre de persoes atteites de surdité das cet échatillo. Le choix des 0 persoes état effectué au hasard et de faço idépedate, et P S d être atteite de surdité, cette situatio chacue d elles ayat la même probabilité correspod alors à u schéma de BERNOULLI et doc la variable aléatoire X suit ue loi 0 et p P S 0,0975 soit biomiale de paramètres 0 X B p P S P X k k Et o demade pour cette questio 0 0 0, , P X 0 0,905 0 soit 0 P X 0 0,905 0,3585 à 0 près k 0; 0, 0975 et doc 0, , k b) Quelle est la probabilité pour qu au mois u sujet soit atteit de surdité das l échatillo? Pour cette questio o obtiet 0 0 0, , P X P X 0 0, P X 0,905 0,645 à 0 près Soit 0 4 0

11 Exercice 4 : BONUS (5 poits) Première partie : Soit PA B 0,5, PB A 0,3 puis P B P A 0,3. Calculer les probabilités des évéemets A, B, A B et A B. Soit PA B 0,5, PB A 0,3 puis P B P A 0,3. Calculer les probabilités des évéemets A, B, A B et A B. Par défiitio des probabilités coditioelles o a P A B P A B P A B P A B PA B 0,5 P A et PB A 0,3 P B P A 0,5 P B 0,3 Et comme P B P A 0,3 o e déduit que P A B P A B P A B P A B P B P A 0,3 0,3 0,3 0,3 0,5 0,3 0,5 0,5 P A B 0,3 P A B 0, P A B 0,3 0,5 0,3 0,3 P A B 0,3 0,5 0,3 0,5 0,5 0, Doc P A B 0,5 P A B 0, 5 O e déduit alors P A soit P A 0, 45 0,5 0,5 P A B 0, 5 Puis P B soit P B 0,75 0,3 0,3 Efi P A B P A PB P A B 0, 45 0,75 0,5 soit P A B 0,975 Deuxième partie : ) a) P C D P C PD 0,4 0,75 0,3, soit P C D 0,3 D, doc P C D 0, b) P C D P C PD PC D 0,9 P C D 5 C, doc P C 8 ) P D P D C 5 PC D 0,65. 8 P C D 3 ) PC D, doc C P C O peut s aider de l arbre ci-cotre. P D 0,5