* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable e x 2 x dx 6) (**) +

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1 Eo7 Intégrtion Eercices de Jen-Louis Rouget. Retrouver ussi cette fiche sur * très fcile ** fcile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournble Eercice Etudier l eistence des intégrles suivntes (** ( d (** ( + e ( + d 3 (** ln +e d 4 (*** ( d 5 (** + e d 6 (** ln d 7 (** (** sin(5 sin(3 d 8 (** ln 5/3 d 9 (** e d (+ d (** 3 d (*** 3 rccos( d. [573] Eercice Etudier l eistence des intégrles suivntes. (*** I d (Intégrles de BERTRAND (** / ln b (tn d 3 (** ( + ( + + b d 4 (*** (+ b d [574] Eercice 3 (Hors progrmme Etudier l convergence des intégrles impropres suivntes : sin. (** d sin. (** d 3. (** 4. (** 5. (** 6. (**** e i d 3 sin( 8 d cos(e d + 3 sin d

2 [575] Eercice 4 Eistence et clcul de : (** I I n 3 (** I 5(*** 7 (** 9 (** I d (très long ( + n 3 + d 4 (*** d 6 (** ( (+ ( 3 ( 4 + d (+(+...(+n d (e +(e + d 5ch+3sh+4 d 8 (*** ( ( + (t + 3ln t+ t+4 dt rctn d (I très long (+ (*** / tn d (*** I + e t e bt t dt ( < < b ln d (clcul pour { 3 ( +,,3} [576] Eercice 5 Deu clculs de I / ln(sin d. (** I En utilisnt J / ln(cos d, clculer I (et J. (*** I Clculer P n n k k sin n (commencer pr P n et en déduire I. [577] Eercice 6 ** I En utilisnt un développement de t, clculer t dt. [578] Eercice 7 *** I Clculer t dt (en écrivnt t dt t dt dt. [579] Eercice 8 (** I Trouver un équivlent simple qund tend vers + de e + e t dt. (*** Montrer que cos d ln. 3 (* Montrer que d [57] Eercice 9 *** Etude complète de f : dt. [57] Eercice *** (Hors progrmme Convergence et clcul de ( E( d. [57] Eercice *** Soit f définie, continue, positive et décroissnte sur [,+ [, intégrble sur [,+ [.

3 . Montrer que f ( tend vers qund tend vers +.. Eistence et clcul de ( f ( + f (d. [573] Eercice ***. Soit f de clsse C sur R + à vleurs dns R telle que l intégrle f ( d converge en +. Montrer que f ( d converge en + si et seulement si f ( tend vers qund tend vers +.. ( On suppose que f est une fonction de clsse C sur R + à vleurs dns R telle que f et f dmettent des limites réelles qund tend vers +. Montrer que f tend vers qund tend vers +. (b En déduire que si les intégrles f ( d et f ( d convergent lors f tend vers qund tend vers +. [574] Eercice 3 *** Soit f de clsse C sur R à vleurs dns R telle que f et ( f soient intégrbles sur R. Montrer que f est intégrble sur R et que ( f ( d ( + f ( d ( f ( d. Cs d églité? [575] Retrouver cette fiche et d utres eercices de mths sur eo7.emth.fr 3

4 Correction de l eercice. Pour, et donc l fonction f : est continue sur [,+ [. Qund tend vers +, Comme l fonction 3 est positive et non intégrble u voisinge de +, f n?est ps intégrble sur [;+ [.. Pour, + est défini et strictement positif. Donc l fonction f : e ( + est définie et continue sur [,+ [. Qund tend vers +, ( + e ln(+ e +o( e e + o( puis f ( e +. Puisque l fonction e est positive et non intégrble u voisinge de +, f n est ps intégrble sur [,+ [. 3. L fonction f : ln +e est continue et positive sur ],+ [. ( ln En, +e ln et donc f ( o. Comme <, l fonction est intégrble sur un voisinge de et il en est de même de l fonction f. En +, f ( ln e o (. Comme >, l fonction est intégrble sur un voisinge de + et il en est de même de l fonction f. Finlement, f est intégrble sur ],+ [. 4. L fonction ( est continue et strictement positive sur [,+ [. Donc l fonction f : est continue sur [,+ [. En +, ln ( ( ( 3 ln + ln + /3 3 ln + ln( 3 + O( 3 ln ln3 + O ( (. Pr suite, ln ln ln3 + o(. Mis lors f ( ep ( + 3 ln ln3 + ln + o( et donc lim + f (. Finlement f ( est négligeble devnt en + et f est intégrble sur [,+ [. 5. L fonction f : e est continue sur [,+ [. ( Qund tend vers +, f ( ep + ln ep( + o( et donc f (. + f ( est insi négligeble devnt u voisinge de + et donc f est intégrble sur [,+ [. 6. L fonction f : ln est continue sur ],+ [. Qund tend vers, ln e ln. L fonction f se prolonge pr continuité en et est en prticulier intégrble sur un voisinge de. Qund tend vers +, f ( ep ( ln + ln. Donc f est négligeble devnt qund tend vers + et f est intégrble sur un voisinge de +. Finlement, f est intégrble sur ],+ [. 7. L fonction f : sin(5 sin(3 est continue sur ],+ [. 5/3 Qund tend vers, f ( /3 >. Puisque /3 3 <, l fonction est positive et /3 intégrble sur un voisinge de et il en est de même de l fonction f. En +, f ( et puisque 5 5/3 3 >, l fonction f est intégrble sur un voisinge de +. Finlement, f est intégrble sur ],+ [. 8. L fonction f : ln En, f ( ln o( ln est continue sur ],[ ],+ [.. Donc f est intégrble sur un voisinge de à droite. En, f ( (. L fonction f se prolonge pr continuité en et est en prticulier intégrble sur un voisinge de à guche ou à droite. En +, 3/ f ( ln o(. Donc f ( est négligeble devnt qund tend vers + et donc 3/ intégrble sur un voisinge de +. Finlement, f est intégrble sur ], [ ], + [. 9. L fonction f : e est continue sur ],[ ],+ [ et pire. Il suffit donc d étudier l intégrbilité de f sur ],+ [. 4

5 f est positive et équivlente en à droite à et négligeble devnt en + d près un théorème de croissnces comprées. f est donc intégrble sur ],+ [ puis pr prité sur ],[ ],+ [. On en déduit que e d eiste dns R et vut pr prité. L fonction f : (+ de à droite à. L fonction f : e d. est continue et positive sur ],[, pire et équivlente u voisinge. f est donc intégrble sur ],[. 3 3 est continue et positive sur ],[, équivlente u voisinge de à droite à et u voisinge de à guche à. f est donc intégrble sur ],[. /3 ( /3. L fonction f : rccos( est continue et positive sur ],]. En, rccos( o(. Donc rccos( sin(rccos( (. Donc f ( et f est intégrble sur ],[. Correction de l eercice. Pour tout couple de réels (,b, l fonction f : est continue et positive sur [,+ [. Etudions ln b l intégrbilité de f u voisinge de +. er cs. Si >, (+/ f ( cr ( / ln b + > et d près un théorème de croissnces ( comprées. Donc f ( o. Comme + + (+/ >, l fonction est intégrble sur un (+/ voisinge de + et il en est de même de f. Dns ce cs, f est intégrble sur [,+ [. ème cs. Si <, (+/ f ( ( / ln b comprées. Donc f ( est prépondérnt devnt + cr + > et d près un théorème de croissnces en +. Comme + (+/ <, l fonction (+/ n est ps intégrble sur un voisinge de + et il en est de même de f. Dns ce cs, f n est ps intégrble sur [,+ [. 3ème cs. Si. Pour > fié, en posnt t ln et donc dt d on obtient d ln ln b ln dt. t b Puisque ln tend vers + qund tend vers + et que les fonctions considérées sont positives, f est intégrble sur [,+ [ si et seulement si b >. En résumé, l fonction est intégrble sur [,+ [ si et seulement si > ou ( et b >. ln b (En prticulier, l fonction ln n est ps intégrble sur voisinge de + bien que négligeble devnt en +.. Pour tout réel, l fonction f : (tn est continue et strictement positive sur ], [. De plus, pour tout réel de ], [ (, on f f (. Etude en à droite. f (. Donc f est intégrble sur un voisinge de à droite si et seulement si >. Etude en à guche. f ( f( guche si et seulement si <. En résumé, f est intégrble sur ], [ si et seulement si < <. (. Donc f est intégrble sur un voisinge de à 3. Pour, + est défini et strictement positif. Donc pour tout couple (,b de réels, l fonction f : ( + + b est continue sur [,+ [. En +, ( + ( ( ( ln O( + O(. Donc 5

6 f ( + ( + b + O (. Si, f une limite réelle non nulle en + et n est donc ps intégrble sur [,+ [. Si et b, f (. En prticulier, f est de signe constnt sur un voisinge de + et b + n est ps intégrble sur [,+ [. Si b, f ( O ( + et dns ce cs, f est intégrble sur [,+ [. En résumé, f est intégrble sur [,+ [ si et seulement si b. 4. Pour tout couple (,b de réels, l fonction f : est continue et positive sur ],+ [. (+ b Etude en. -Si b >, f (, et donc f est intégrble sur un voisinge de si et seulement si <, -si b, f (, et donc f est intégrble sur un voisinge de si et seulement si <, -si b <, f (, et donc f est intégrble sur un voisinge de si et seulement si + b <. +b Etude en +. -Si b >, f (, et donc f est intégrble sur un voisinge de + si et seulement si + b >, +b -si b, f (, et donc f est intégrble sur un voisinge de + si et seulement si >, -si b <, f (, et donc f est intégrble sur un voisinge de + si et seulement si >. En résumé, f est intégrble sur ],+ [ si et seulement si ((b et < ou (b < et + b < et ((b > et + b > ou (b et > ce qui équivut à (b > et + b > et < ou (b < et > et + b <. Représentons grphiquement l ensemble des solutions. L zone solution est l zone colorée. b 3 Correction de l eercice 3. Soient et deu réels tels que < <. Les deu fonction cos et sur le segment [,]. On peut donc effectuer une intégrtion pr prties et on obtient sont de clsse C sin d [ cos ] + cos d cos cos + cos L fonction cos cos est continue sur ],+ [, est prolongeble pr continuité en cr lim d. et donc intégrble sur un voisinge de, est dominée pr en + et donc intégrble sur un voisinge de +. L fonction cos est donc intégrble sur ],+ [ et cos d une limite réelle qund tend vers et tend vers +. cos et donc lim + cos. cos et donc lim cos. On en déduit que sin d est une intégrle convergente et de plus sin d cos d sin (/ d sin (u du sin (u 4u du. u 6

7 L intégrle sin d converge et de plus sin d cos d sin d.. L fonction f : sin est continue sur ],+ [. Sur ],[, l fonction f est de signe constnt et l eistence de lim f ( d équivut à l intégrbilité de l fonction f sur ],]. Puisque f est équivlente en à, l intégrle impropre f ( d converge en si et seulement si >. On suppose dorénvnt >. Soit >. Les deu fonction cos et sont de clsse C sur le segment [,]. On peut donc effectuer une intégrtion pr prties et on obtient sin d [ cos ] cos d cos + + cos cos d. + Mintennt, cos et puisque + >, l fonction cos est intégrble sur un voisinge de On en déduit que l fonction cos d une limite réelle qund tend vers +. Comme + d utre prt, l fonction cos + cos une limite réelle qund tend vers +, on montré que l intégrle impropre f ( d converge en +. Finlement l intégrle sin d converge si et seulement si >. 3. Soit un réel strictement positif. Le chngement de vribles t suivi d une intégrtion pr prties fournit : ei d ( e it t dt i ei + e i e it dt t 3/ e Mintennt, lim i + cr ei. D utre prt, l fonction t eit est intégrble sur [,+ [ t 3/ cr eit t. Ainsi, 3/ t 3/ e i d est une intégrle convergente et puisque d utre prt l fonction e i est continue sur [,+ [, on montré que l intégrle e i d converge. On en déduit encore que les intégrles cos( d et sin( d sont des intégrles convergentes (intégrles de FRESNEL. 4. L fonction f : 3 sin( 8 est continue sur [,+ [. Soit >. Le chngement de vribles t 4 fournit 3 sin( 8 d ( 4 4 sin(t dt 4 Im 4 e it dt D près 3, e it dt est une intégrle convergente et donc 3 sin( 8 d converge. 5. L fonction f : cos(e est continue sur [,+ [. Soit >. Le chngement de vribles t e fournit cos(e d e On montre l convergence en + de cette intégrle pr une intégrtion pr prties nlogue à celle de l question. L intégrle impropre cos(e d converge. 6. Pour tout réel, + 3 sin > et donc l fonction f : est continue sur [,+ [. + 3 sin L fonction f étnt positive, l convergence de l intégrle proposée équivut à l intégrbilité de l fonction f sur [, + [, intégrbilité elle-même équivlente à l convergence de l série numérique de terme générl u n (n+ n d. + 3 sin Soit n N. On u n et d utre prt cost t dt.. 7

8 u n (n+ n / d + 3 sin du / +n 3 3 sin +(u+n 3 sin u du +n 3 3 sin u du +n 3 3 ( u du (pr concvité de l fonction sinus sur [,] (n 3/ n 3/ dv +v n 3/ +v dv n 3/. Donc, pour n N, u n et l série de terme générl u n 3/ n converge. On en déduit que l fonction f : est intégrble sur [,+ [. + 3 sin Correction de l eercice 4 Eistence et clcul de : (** I I n 3 (** I 5(*** 7 (** 9 (** I d (très long ( + n 3 + d 4 (*** d 6 (** ( (+ ( 3 ( 4 + d (+(+...(+n d (e +(e + d 5ch+3sh+4 d 8 (*** ( ( + (t + 3ln t+ t+4 dt rctn d (I très long (+ (*** / tn d (*** I + e t e bt t dt ( < < b ln ( + d (clcul pour { 3,,3} Correction de l eercice 5 L fonction f : ln(sin est continue sur ], ] (. De plus, qund tend vers, ln(sin ln o. Pr suite, f est intégrble sur ], ].. Soient I / ln(sin d et J / ln(cos d. Le chngement de vribles t fournit J eiste et J I. Pr suite, / I I + J ln + ln(sincos d ln ( I + ln(sinu du / / + ln ln(sin( d ln + + ( I + ln(sin( t ( dt / Pr suite, I ln. / ln(sin d / ln(cos d ln. ln(sinu du ln. Pour n, posons P n n k sin( k n. Pour k n, on < k ( n < et donc P n >. D utre prt, sin (n k n sin ( k n et sin n n. On en déduit que + I. 8

9 puis P n n k sin( k n, P n n e ik/(n e ik/(n k i (i n ( n (e i/ n (i n n ( e k n ik/(n k n ( e ik/(n k n ( e ik/(n n ( e ik/(n k Mintennt, le polynôme Q unitire de degré n dont les rcines sont les n rcines n-èmes de l unité distinctes de est n n et donc n ( k e ik/(n Q( n. Finlement, n k sin( k n Pn n n n n. Pour [ ] k n, posons lors k k n de sorte que < <... < n est une subdivision de, à ps constnt égl à n. Puisque l fonction ln(sin est continue et croissnte sur ], ], pour k n, on k+ k ln(sin d puis en sommnt ces inéglités, on obtient n ln(p n / /(n ln(sin d De même, pour k n, k+ k ln(sin d n ln(sin( k+ et en sommnt / ln(sin d n ln(p n. n ln(sin( k Finlement, n, n ln(p n + /(n ln(sin d I n ln(p n. Mis ln(p n lnn (n ln et donc n ln(p n tend vers ln qund n tend vers + et comme d utre prt, /(n ln(sin d tend vers qund n tend vers + (puisque l fonction : ln(sin est intégrble sur ], ], on redémontré que I ln. Correction de l eercice 6 L fonction f : t t est continue et positive sur ],[, négligeble devnt t qund t tend vers et prolongeble pr continuité en. L fonction f est donc intégrble sur ];[. ère solution. (à l min, sns utilistion d un théorème d intégrtion terme à terme Pour t ],[ et n N, t t n k tk + tn+ t Pour t ],] et n N, posons f n (t t n. Soit n N. Chque fonction f k, k n, est continue sur ],] et négligeble en devnt t. Donc chque fonction f k est intégrble sur ],] et donc sur ],[. Mis lors, il en est de même de l fonction t tn+ t + n k tk et t dt n k tk dt + tn+ t dt t L fonction g : t t t est continue sur ],[ et prolongeble pr continuité en et en. Cette fonction est en prticulier bornée sur ],[. Soit M un mjornt de l fonction g sur ],[. Pour n N, tn+ t dt tn g(t dt M tn dt M n+. 9

10 Pr suite, lim n + tn+ t dt. On en déduit que l série de terme générl tk dt converge et que t dt + k ( tk dt. Soit ],[. Pour k N, une intégrtion pr prties fournit [ ( tk dt tk+ k+ ] + k+ Qund tend vers, on obtient ( tk dt (k+. Finlement, tk dt k+ ln k+ + k+ (k+. t dt + k (k+ + n n 6. t dt + n n 6. ème solution. (utilistion d un théorème d intégrtion terme à terme Chque fonction f n est continue et intégrble sur ],[ et l série de fonctions de terme générl f n converge simplement vers l fonction f sur ],[ et de plus, l fonction f est continue sur ],[. Enfin D près un théorème d intégrtion terme à terme, + n f n(t dt + n < +. (n+ f (t dt + n f n(t dt 6. Correction de l eercice 7 L fonction f : t t est continue sur ],[, prolongeble pr continuité en et et donc est intégrble sur ],[. Soit ],[. Chcune des deu fonctions t t et t se prolonge pr continuité en et est insi intégrble sur ],]. On peut donc écrire t dt t dt dt. Dns l première intégrle, on pose u t et on obtient t dt t dt dt dt t ln(t dt dt. On note lors que, puisque ],[, <. Pour t [,], on t < et donc pr croissnce de l intégrle, t dt dt t dt et donc Mintennt, Qund tend vers, on obtient t dt dt t dt lnu du et donc t t dt ln ln( ln ln ln et on montré que, pour tout réel de ],[, ln t dt ln t dt ln. t t ln t puis Correction de l eercice 8. L fonction t e t est continue, positive et intégrble sur [,+ [. De plus, qund t tend +,

11 e t ( + ( t d dt t e t. D près un théorème de sommtion des reltions de comprison, qund tend vers +, e t dt ( + t e t dt e, et donc. Pour > fié, cos e + e t dt +. d converge (se montre en intégrnt pr prties (voir eercice 3 puis cos tend vers qund tend vers. Pr suite, l fonc- Mintennt, cos tion cos cos d cos d + d + cos et en prticulier, cos cos d d + O( ln + d + O( cos d + O(. est continue sur ],] et se prolonge pr continuité en. Cette fonction est donc intégrble sur ],] et en prticulier, cos d une limite réelle qund tend vers. On en déduit que cos d ln + O( et finlement cos d ln. 3. Soit >. d ( 3 + d d ( Donc, d + o ( ou encore d Correction de l eercice 9 Domine de définition. Soit R. Si <, l fonction t n est ps définie sur [,[ [, ] et f ( n est ps défini. Si < <, [,] ],[. Donc l fonction t est continue sur [,]. Dns ce cs, f ( eiste et est de plus strictement positif cr < pour tout t de ],[. Si >, [, ] ],+ [. Donc l fonction t est continue sur [, ]. Dns ce cs ussi, f ( eiste et est strictement positif. Enfin, f ( et f ( n ont ps de sens. f est définie sur D ],[ ],+ [ et strictement positive sur D. Dérivbilité. Soit I l un des deu intervlles ],[ ou ],+ [. L fonction t est continue sur I. Soit F une primitive de cette fonction sur I. Si ],[, on [,] ],[ et donc f ( F( F(. De même, si ],+ [. On en déduit que f est de clsse C sur D. De plus, pour D, f ( F ( F ( ln( ln ln.

12 Vritions. f est strictement positive sur ],[ ],+ [ et donc f est strictement croissnte sur ],[ et sur ],+ [ (mis ps nécessirement sur D. Etude en. Soit ],[. On < < < et de plus l fonction t est décroissnte sur [,] ],[ en tnt qu inverse d une fonction strictement négtive et strictement croissnte sur ],[. Donc, ln dt ln( puis ],[, ln f ( ln. On en déduit que lim + f ( et on peut prolonger f pr continuité en en posnt f ( (on note encore f le prolongement. Qund tend vers pr vleurs supérieures, f ( ln tend vers. Ainsi, - f est continue sur [,[, - f est de clsse C sur ],[, - f une limite réelle qund tend vers à svoir. D près un théorème clssique d nlyse, f est de clsse C sur [,[ et f (. Etude en. On vu à l eercice 7 que lim f ( ln (l limite à droite en se trite de mnière nlogue. On prolonge f pr continuité en en posnt f ( ln (on note encore f le prolongement obtenu. Ensuite qund tend vers, f ( tend vers. Donc f est de clsse C sur R + et f (. En prticulier, f est continue sur R + et d près plus hut f est strictement croissnte sur R +. Etude en +. Pour >, f ( ln. Donc f ( et f ( tendent vers + qund tend vers +. L courbe représenttive de f dmet en + une brnche prbolique de direction (Oy. ln Conveité. Pour D, f (. ln En, en posnt + h où h tend vers, on obtient f ( + h (+hln(+h h (+hln (+h ( (+h h h +o(h h h +o(h + o(. f est donc de clsse C sur ],+ [ et f (. Pour, f ( est du signe de g( ln + dont l dérivée est g (. L fonction g est stictement décroissnte sur ], ] et strictement croissnte sur [, + [. Donc pour, g( > g(. On en déduit que pour tout ],+ [, f ( > et donc que f est strictement convee sur R +. Grphe dt ln t y 3 4 5

13 Correction de l eercice L fonction f : ( E( est continue pr morceu sur [,+ [ et donc loclement intégrble sur [,+ [. Soient un réel élément de [,+ [ et n E(. Or, ( E( n ( E( d n k+ ( E( k k d + ( E( n d n k ( k ln ( + k + n d n n E( ( E(. Cette dernière epression tend vers qund le réel tend vers + et donc lim ( E( + n d. D utre prt, l suite ( ( k ln ( + k est de signe lternée et s vleur bsolue tend vers en décroissnt. k L série de terme générl ( k ln ( + k, k, converge en vertu du critère spécil u séries lternées ou encore, qund le réel tend vers +, n k ( k ln ( + k une limite réelle. Il en est de même de ( E( d et l intégrle ( E( d converge. De plus ( E( d + n ( n ln ( + n. Clcul. Puisque l série converge, on + k ( k ln ( + k limn + n k ( k ln ( + k. Pour n N, n k ( ( k ln + n ( ( k ln + ( + ln + k k k ( ( 3... (n (n + ln ( 4... (n D près l formule de STIRLING, ( (n! 4n (n! (n + n + Donc + n ( n ln ( + n ln ( et on montré que n k ln ( n e 4n ( 4n 4n d. ( (k (k + ln (k ( ( (n! 4n (n! (n +. ( n e 4n ( n 4 (n. ( E( d + n ( n ln ( + n ln (. Correction de l eercice. Puisque f est continue, positive et décroissnte sur [,+ [, pour on f ( ( f ( / f (t dt ( /dint/+ f (t dt f (t dt Cette dernière epression tend vers qund tend vers + cr f est intégrble sur [,+ [. Donc si f est continue, positive, décroissnte et intégrble sur [,+ [ lors f ( o ( +.. L fonction ( f ( f ( + est continue et positive sur [, + [. Soit. ( f ( f ( + d + f ( d f ( d + ( f ( d + f ( d + f ( d. + + f ( d f ( d + f ( d Mintennt + f ( d ( + ( + f ( f (. D près, cette dernière epression tend vers qund tend vers +. Donc, qund tend vers +, ( f ( f ( + d tend vers f ( d + f ( d. 3

14 Puisque l fonction ( f ( f (+ est continue et positive sur [,+ [, on sit que ( f ( f ( + est intégrble sur [,+ [ si et seulement si l fonction ( f ( f ( + d une limite réelle qund tend vers +. Donc l fonction ( f ( f ( + est intégrble sur [,+ [ et ( f ( f ( + d f ( d + f ( d. Correction de l eercice. Puisque f est de clsse C sur R +, pour, f (t dt f ( f (. Donc l intégrle f (t dt converge en + si et seulement si f une limite réelle l qund tend vers +. Si de plus l intégrle f (t dt converge, il est eclus d voir l et réciproquement si l lors f (t dt tend vers f ( qund tend vers +. Donc l intégrle f (t dt converge si et seulement si lim + f (.. ( Soit. D près l formule de TAYLOR-LAGRANGE, il eiste un réel θ ], + [ f ( + f ( + ( + f ( + f (θ. ce qui s écrit encore f ( f (+ f ( f (θ. Qund tend vers +, f (+ f ( tend vers et d utre prt, θ tend vers +. Ainsi, si f et f ont une limite réelle qund tend vers +, f églement une limite réelle et de plus lim + f ( lim + f (. Ensuite, puisque pour, f (t dt f ( f ( et f (t dt f ( f (, les intégrles f (t dt et f (t dt convergent et d près, lim + f ( ( lim + f (. (b Soit F : f (t dt. F est de clsse C3 sur R +. De plus, F( f (t dt tend vers f (t dt et F ( f ( f ( + f (t dt tend vers f ( + f (t dt. Donc F et F ont des limites réelles en +. D près, f F tend vers qund tend vers +. Correction de l eercice 3 L inéglité f f ( f + f montre que l fonction f f est intégrble sur R puis, pour et Y tels que Y, une intégrtion pr prties fournit Y f ( d [ f ( f (] Y Y f ( f ( d. Puisque l fonction f est positive, l intégrbilité de f sur R équivut à l eistence d une limite réelle qund tend vers + et Y tend vers de Y f ( d et puisque l fonction f f est intégrble sur R, l eistence de cette limite équivut, d près l églité précédente, à l eistence d une limite réelle en + et pour l fonction f f. Si f n est ps intégrble sur R + lors f (d + et donc lim + f ( f ( +. En prticulier, pour suffisment grnd, f ( f ( puis pr intégrtion ( f ( f ( contredisnt l intégrbilité de l fonction f sur R. Donc l fonction f est intégrble sur R + et l fonction f f une limite réelle qund tend vers +. De même l fonction f est intégrble sur R et l fonction f f une limite réelle qund tend vers. Si cette limite est un réel non nul l, supposons pr eemple l >. Pour suffisment grnd, on f ( f ( l puis pr intégrtion ( f ( f ( l contredisnt de nouveu l intégrbilité de l fonction f. Donc l fonction f f tend vers en + et de même en. Finlement, l fonction f est intégrble sur R et f ( d f ( f ( d. D près l inéglité de CAUCHY-SCHWARZ, on ( f ( d ( f ( f ( d ( f ( d ( f ( d. Puisque les fonctions f et f sont continues sur R, on l églité si et seulement si l fmille ( f, f est liée. 4

15 Donc nécessirement, ou bien f est du type Ach(ω + Bsh(ω, ω réel non nul, qui est intégrble sur R si et seulement si A B, ou bien f est ffine et nulle encore une fois, ou bien f est du type Acos(ω + Bsin(ω et nulle encore une fois. Donc, on l églité si et seulement si f est nulle. 5