Corrigé : EM Lyon 2016

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1 Exercice : Parie I : Éude de la marice A A 2 = 2 ai +ba+ca 2 = Corrigé : EM Lyon 26 Opion économique 2 On cherche ous les réels a, b, c els que ai +ba+ca 2 = On a : a+c b c b a+2c b = c b a+c a+c = b = c = a+2c = a = b = c = La famille (I,A,A 2 ) es donc libre 3 a La marice A es une marice symérique réelle donc elle es diagonalisable b Valeurs propres : On cherche les réels λ els que la marice A λi n es pas inversible : λ A λi = λ λ λ L L 2 λ L 2 L 3 λ L 3 L λ λ λ 2 λ L 3 L 3 +λl λ λ λ(2 λ 2 ) L 3 L 3 +(λ 2 )L 2 Les valeurs propres de A son les racines de λ(2 λ 2 ), c es-à-dire, 2 e 2 Veceurs propres : X = es un veceur propre associé à la valeur propre X 2 = 2 es un veceur propre associé à la valeur propre 2 X 3 = 2 es un veceur propre associé à la valeur propre 2 2 On a donc A = PDP avec D = e P = On peu facilemen remarquer que D 3 = 2D Or A 3 = (PDP ) 3 = PD 3 P Donc on a bien A 3 = 2A EML 26 Page Corrigé

2 Parie II : Éude d une applicaion définie sur E 5 On a facilemen E = Vec(I,A,A 2 ) Donc E es un sous-espace vecoriel de M 3 (R) (car c es un sous-espace engendré) e de plus la famille (I,A,A 2 ) es une famille générarice de E De plus, on a déjà monré que la famille (I,A,A 2 ) es une famille libre Donc (I,A,A 2 ) es une base de E e dim(e) = 3 6 Soi M = ai +ba+ca 2 E On a alors : Donc AM E AM = aa+ba 2 +ca 3 = aa+ba 2 +2cA = (a+2c)a+ba 2 7 On vien de monrer que f es une applicaion de E dans E Monrons mainenan que f es une applicaion linéaire Soien M e N deux marices de E e x un réel On a alors : f(m +xn) = A(M +xn) = AM +xan = f(m)+xf(n) f es donc une applicaion linéaire de E dans E, c es-à-dire un endomorphisme de E 8 On a f(i) = A = I +A+A 2, f(a) = A 2 = I +A+A 2 e f(a 2 ) = A 3 = I +2A+A 2 Donc F = 2 9 a Pour ou M E, (f f f)(m) = A(A(AM)) = A 3 M = 2AM = 2f(M) On a donc bien f f f = 2f b Soi λ une valeur propre de f e M λ E \{} un veceur propre associé On a alors (f f f)(m λ ) = λ 3 M λ e, d après la quesion précédene, (f f f)(m λ ) = 2f(M λ ) = 2λM λ On obien donc (λ 3 2λ)M λ = e comme M λ, on a bien λ 3 = 2λ c Les seules valeurs propres possibles son donc, 2 e 2 Pour vérifier si ces réels son bien des valeurs propres de f, nous allons uiliser F la marice de f On considère M = ai +ba+ca 2 On a : a f(m) = M F b = c { a = 2c b = Donc es une valeur propre de f (car on a obenu une infinié de soluions) e E (f) = { 2cI +A+cA 2 /c R} = Vec(A 2 2I) On a : f(m) = a 2M F b = a { 2 b a = b = 2c c c Donc 2 es une valeur propre de f e E 2 (f) = Vec( 2A+A 2 ) On a : f(m) = a 2M F b = a { 2 b a = b = 2c c c Donc 2 es une valeur propre de f e E 2 (f) = Vec( 2A+A 2 ) EML 26 Page 2 Corrigé

3 es une valeur propre de f donc f n es pas bijecif f adme rois valeur propres disinces e E es de dimension 3, donc f es diagonalisable D après le calcul fai à la quesion 6, f(m) = (a+2c)a+ba 2 Donc Im(f) = Vec(A,A 2 ) La famille (A,A 2 ) es générarice de Im(f) e libre (deux veceurs non proporionnels) donc c es une base de Im(f) ker(f) = E (f) = Vec(A 2 2I) La famille (A 2 2I) es générarice de ker(f) e libre (un seul veceur non nul) donc c es une base de ker(f) 2 a L équaion f(m) = I +A 2 n adme pas de soluions car I +A 2 Im(f) b Soi N = xi +ya+za 2 On a f(n) = A+A 2 (x+2z)a+ya 2 = A+A 2 { x+2z = y =, car la famille (A,A 2 ) es libre Les soluions de l équaion f(n) = A+A 2 son les marices de la forme ( 2z)I +A+zA 2, où z R Exercice 2: Parie I : Éude de la foncion f Les foncions, 2 e ln() son coninues sur ];[, donc par produi e différence, f es coninue sur ];[ On sai que lim ln() =, donc lim f() = = f() + + f es donc coninue en En conclusion f es coninue sur [;[ 2 Les foncions, 2 e ln() son de classe C 2 sur ];[, donc par produi e différence, f es de classe C 2 sur ];[ De plus, >, f () = 2 ln() e f () = 2 3 Grâce à f (), on a le ableau de variaions de f suivan : f () f () 2 + ln(2) On voi donc que pour ou >, f () > On obien donc le ableau de variaions de f : f () f() ( Pour la limie de f en, on a écri f() = 2 ln() ) d après les croissances comparées 4 a On a, pour ou >, f() f() = ln() donc lim + e on a uilisé le fai que lim f() f() = + f n es pas dérivable en mais sa courbe adme une demi-angene vericale en O ln() = EML 26 Page 3 Corrigé

4 b Un poin d inflexion es un poin de C d abscisse el que f ( ) = e f change de signe en Il y a une seule valeur de vérifian ces propriéés : = ( 2 C adme un unique poin d inflexion : le poin I 2, 4 + ) 2 ln(2) c y I x 5 La foncion f es coninue e sricemen croissane sur [; [ donc, d après le héorème de bijecion monoone, elle réalise une bijecion de [;[ sur f([;[) = [;[ Or, [;[, donc l équaion f() = adme une unique soluion dans [;[ De plus f() = donc es l unique soluion de cee équaion Parie II : Éude d une foncion F de deux variables réelles 6 F(x,y) = ln(y) y x e 2F(x,y) = x y ln(x) 7 a (x,y) es un poin criique de F si, e seulemen si : { F(x,y) = 2 F(x,y) = ln(y) y x = x y ln(x) = ln(y) y x = y = x ln(x) Commey >,ladeuxième équaionimposex > Enremplaçan alorsdanslapremière équaion, on obien : ( ) x ln = ln(x) ln(ln(x)) ln(x) ln(x) ln(x) = ln(x) 2 ln(x)ln(ln(x)) = f(ln(x)) = b Nous avons vu que l unique soluion de l équaion f() = es =, donc (x,y) es un poin { ln(x) = criique de F si, e seulemen si, y = x x = y = e ln(x) 8 On a F(e,e) = Les dérivées parielles secondes de F son : F(x,y) = y x 2 22 F(x,y) = x y 2 2 F(x,y) = y x ( ) e La marice hessienne de F en (e,e) es donc 2 F(e,e) = e Cee marice es diagonale donc ses valeurs propres se lisen sur la diagonale : e > e e < Donc F n adme pas d exremum local en (e,e) EML 26 Page 4 Corrigé

5 Parie III : Éude d une suie récurrene 9 Monrons par récurrence que la propriéé P(n) : u n [/2;] es vraie pour ou n N D après l énoncé, P() es bien vraie Soi n N fixé Supposons que P(n) es vraie Comme la foncion f es croissane, on a f(u n ) [f(/2);f()] Or, f() = e f(/2) = ln(2) > 2, car ln(2) > 2 Donc on a bien u n+ [/2;], c es-à-dire P(n+) es vraie Grâce au principe de récurrence, on a monré que pour ou n N, u n [/2;] Monrons par récurrence que la propriéé P(n) : u n u n+ es vraie pour ou n N On a u = f(/2) = ln(2) >, donc P() es vraie 2 Soi n N fixé Supposons que P(n) es vraie Comme la foncion f es croissane, on a u n u n+ f(u n ) f(u n+ ), c es-à-dire u n+ u n+2 Donc P(n+) es vérifiée Grâce au principe de récurrence, on a monré que la suie (u n ) es croissane La suie (u n ) es croissane e majorée par donc elle es convergene Noons l [/2;] sa limie En passan à la limie dans la relaion u n+ = f(u n ), on obien : l = f(l), car la foncion f es coninue On a alors l = f(l) = l ln(l) car l Noons g la foncion ln() On a, pour >, g () =, donc la foncion g es sricemen décroissane sur ]; ] Comme g es aussi coninue, g réalise une bijecion de ]; ] dans [g(); [= [; [ Donc l équaion g() = adme une unique soluion sur ];], e cee soluion es = En conclusion la suie (u n ) converge vers 2 u=5 N= while -u>^(-4) u=u*u-u*log(u) N=N+ end disp(n) Exercice 3: Parie I : Éude d une variable aléaoire Pour ou R, R e f( ) = f es bien une foncion paire e (+e ) 2 = e 2 e e 2 (+e ) 2 = e (e +) 2 = f() 2 f es une foncion définie sur R (dénominaeur non nul) e à valeurs posiives Par opéraion sur les foncions coninues, f es coninue sur R Monrons mainenan que Comme f es paire, il suffi de monrer que f()d es convergene e vau f()d es convergene e vau 2 EML 26 Page 5 Corrigé

6 L inégrale Or lim Donc A f()d es impropre en Soi A >, on a : A +e A 2 = 2 = 2 [ f()d = +e ] A = +e A 2 f()d es convergene e vau 2, ce qui signifie que f()d es convergene e vau f es donc bien une densié de probabilié 3 Par définiion, pour ou x R, F X (x) = F X (x) = lim A x En conclusion, pour ou réel x, F X (x) = 4 a L inégrale A x f()d = lim A +e x f()d On a donc : +e x +e = A +e x f()d es impropre en car la foncion f() es coninue sur [;[ De plus, grâce aux croissances comparées, lim 2 f() = donc, au voisinage de, ( ) f() = o 2 Or, on sai que d es convergene (inégrale de Riemann avec α = 2 > ), donc d après 2 les crières de comparaisons sur les inégrales de foncions posiives, l inégrale convergene E comme il n y a pas de problème sur [;], l inégrale f() d es convergene b Afin de monrer que X adme une espérance, il fau vérifier que l inégrale absolumen convergene Nous avons déjà monré que Monrons mainenan que f() d = f() d = f() d es convergene f()d (car f() > ) es convergene f()d es f()d es Comme la foncion f es paire, la foncion f() es impaire Donc la convergence de Donc f() d nous donne auomaiquemen la convergence de f()d = E(X) = f()d f()d e on sai aussi que f()d es absolumen convergene, ce qui signifie que X adme une espérance e : f()d = f()d+ f()d = f()d+ f()d = EML 26 Page 6 Corrigé

7 Parie II : Éude d une aure variable aléaoire 5 Par composée, ϕ es une foncion de classe C sur R (pour ou réel x, +e x > ) De plus, pour ou réel x, ϕ (x) = ex > donc ϕ es sricemen croissane sur R +ex D après le héorème de bijecion monoone, ϕ réalise une bijecion de R sur 6 On a, pour ou y > : I = ϕ(r) =] lim ϕ(x); lim ϕ(x)[=];[ x x ϕ(ϕ (y)) = y ln(+e ϕ (y) ) = y e ϕ (y) = e y ϕ (y) = ln(e y ) 7 Nous avons vu dans la quesion 5 que ϕ es à valeurs dans ];[ L événemen [ϕ(x) ] es donc impossible, e par conséquen, P(Y ) = 8 Pour ou y >, on a : P(Y y) = P(ϕ(X) y) = P(X ϕ (y)) car ϕ es croissane Donc, d après la quesion 3, pour ou y >, F Y (y) = F X (ln(e y )) = { e y si y > En conclusion F Y (y) = sinon 9 Y sui donc la loi exponenielle de paramère, e ainsi, E(Y) = V(Y) = Parie III : Éude d une convergence en loi a Pour ou x R, on a : + e y = e y F T (x) = P(T x) = P(max(X,,X n ) x) = P ([X x] [X n x]) Or, les variables X,, X n son muuellemen indépendanes, donc : F T (x) = P(X x) P(X n x) = F X (x) n = En conclusion, pour ou x R, F T (x) = b Pour ou n N e ou x réel, Pour ou x R, calculons lim ) On sai que ln (+ e x n (+e x ) n P(U n x) = P(T n x+ln(n)) = n n (+ e x (+e x ln(n) ) n = ) n = lim n e nln(+e x /n) (+e x ) n (+ e x n e x, donc lim n n nln(+e x /n) = e x n ) n Ainsi, pour ou réel x, lim P(U n x) = e e x n On pose G : x e e x Vérifions que G es bien la foncion de répariion d une variable à densié La foncion G es de classe C sur R, croissane sur R (car G (x) = e x e e x > ) e de plus lim x G(x) = e lim x G(x) = G es bien la foncion de répariion d une variable à densié La suie (U n ) n N converge donc en loi vers une variable U don une foncion de répariion es G : x e e x, e une densié es g : x e x e e x EML 26 Page 7 Corrigé