PSI / TD G1 - Correction. 4. Une simple loi des mailles permet d'obtenir, avec i L orienté de l'entrée vers la sortie : 1 dt L 1

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1 PSI - 202/203 TD G - Correcion 7 Réponse indicielle d'un lre 4. Une simple loi des mailles perme d'obenir, avec i L oriené de l'enrée vers la sorie : s() = e() L di L d En remplaçan dans l'équaion diérenielle de la quesion, on obien, après simplicaion : d 2 i L d 2 + di L τ d = de [ d L ] τr Pour 0, e() = E s consan, cee équaion devien donc : d2 i L d 2 + di L τ d = 0 Pour la résoudre, on inrodui l'équaion caracérisique : r 2 + r τ = τ 2 > 0, e de racines r = 0 e r 2 =. On obien donc τ = 0, de discriminan i L () = B + Ce τ où B e C son des consanes. Or, d'après la coninuié du couran à = 0, i L ( = 0 + ) = 0, donc C = B. De plus, lorsque, la bobine es équivalene à un l car la limie revien à ω 0. La résisance R 2 es alors parcourue par le même couran que celui de la bobine, e ce couran es donné par i L = E R ; on en dédui donc que B = E R 2. Finalemen : i L () = E e τ R 2 5. D'après la relaion lian i L, s e e, on en dédui qu'à = 0 + : s( = 0 + ) = e( = 0 + ) L di L, soi s( = 0 + ) = E LE d R 2 τ. Finalemen, A = LE R 2 τ e =0 + R s() = E (R + R 2 ) e τ

2 2 TD G - Correcion 4 Filre de Buerworh

3 PSI - 202/ Éude d'un lre acif. Noons pour commencer que ce monage conien une réroacion négaive. On supposera donc que l'ao foncionne en régime linéaire : V s = µ ε. En supposan que l'ao es idéal (µ ), on a alors ε = 0 soi V = V +, avec ici V + = 0 (l'enrée non-inverseuse E + es reliée à la masse). En rès basse fréquence, le condensaeur es équivalen à un inerrupeur ouver, le monage es alors équivalen au circui représené ci-conre. Le héorème de Millman (loi des n uds en erme de poeniels), appliqué au noeud N, s'écri donc : E V 2R E Il vien V = 2R + S 2R I 2R + = E + S 2 2R d'où S = E, soi : + S V 2R I = 0 H = S E = (avec I = 0 pour un AO idéal) avec V = 0 Le gain en basse fréquence es égal à : G = H ω 0 : ce lre laisse passer les basses fréquences. En rès haue fréquence, le condensaeur es équivalen à un inerrupeur fermé, d'où le circui équivalen ciconre. Tou se passe alors comme si un l reliai alors la sorie de l'ao e son enrée E d'où S = V = 0 H = S E = 0 : le gain en haue fréquence es nul : G = H ω 0. Ce lre aénue les haues fréquences. On dédui de cee éude asympoique que Le lre éudié es probablemen un lre passe-bas 2. Soi A le n ud commun aux branches R, R e 2C. Le héorème de Millman appliqué à l'enrée E de l'ao s'écri : V A R + S I Z eq V A V R + S V Z eq I = 0 soi V = avec I = 0 (AO idéal), V = 0 e Z eq = Il vien R + Z eq 2R /j C 2 ω 2R + 2/j C 2 ω = 2R + jrcω. S = Z eq R V 2 A = + jrcω V A

4 4 TD G - Correcion An de déerminer V A, on applique le héorème de Millman en A : soi V A = E V A R + V V A R + 0 V A /2jCω = 0 E R + V R + 2jCω 0 R + = E + V R + 2jCω 2 + 2jRCω = E 2 ( + jrcω) 2 On a donc nalemen S = + jrcω V E A = + jrcω ( + jrcω) d'où H = S E = ( + jx) 2 avec x = ω ω 0 e ω 0 = RC. Noe : on a bien une expression homogène (x es sans dimension) e on rerouve bien les valeurs limies obenues précédemmen : G = H e G = H 0 x 0 x 3. Le module de cee foncion de ransfer es G = H = + jx + jx = = + x 2 + x 2 + x 2 On a donc : pour x ( ω ) RC : G d'où G db = 20 log (G) 0 la courbe G db ( = f (log (x)) présene donc en x une asympoe horizonale à 0 db. pour x ω ) : G RC x 2 d'où G db = 20 log (G) 40 log (x) d'où une asympoe ( oblique de pene -40 db/décade e passan par l'origine. pour x = ω = ) : G RC 2 d'où G db = 20 log (G) 6, 0 db. On en dédui la courbe suivane : 4. La pulsaion de coupure ω c es elle que G (ω c ) = G max 2 soi, en posan x c = RCω c e avec G max = ici : G (x c ) = 2 + x 2 = c 2 Il vien x c = 2 2 ( 0, 64) soi ωc = < ω 0 pour ce lre d'ordre 2. RC

5 PSI - 202/ Amplicaeur opéraionnel non idéal

6 6 TD G - Correcion 8 Calcul de réponses indicielles. Le calcul de la foncion de ransfer en uilisan un pon diviseur de ension condui à : H(ω) = s e = R 2 ( + jr Cω) R 2 + R + jr R 2 Cω On en dédui l'équaion diérenielle qui régi le sysème : (R + R 2 ) s() + R R 2 C ds d = R 2e() + R R 2 C de d Pour calculer la réponse indicielle, on résou cee équaion pour > 0, pour lequel e() = E. On se ramène donc à : ds d + R + R 2 R R 2 C s() = E R C En posan τ = R R 2 C R + R 2, la résoluion condui à : s() = τe R C + A e τ On peu alors uiliser la coninuié de la ension aux bornes du condensaeur. Or, celui-ci es iniialemen déchargé de sore que u c ( = 0 + ) = 0, ce qui revien à remplacer le condensaeur par un l, e donc s( = 0 + ) = e( = 0 + ) = E. En uilisan cee condiion iniiale, on obien : s() = E + Eτ ( ) e τ R C Ce lre es d'ordre d'après la foncion de ransfer. De plus, la sorie es disconinue en = 0, le lre a donc un caracère passe-hau. Par ailleurs, la valeur nale es non nulle, le lre a donc égalemen un caracère passe-bas. Ce lre se rapproche pluô d'un lre déphaseur que d'un simple passe-bas ou passe-hau. 2. En uilisan un pon diviseur de ension ou en appliquan le héorème de Millman au niveau de la sorie, on obien la foncion de ransfer qui perme d'obenir : Pour > 0, on résou : s() + (R + R 2 )C ds d = R 2C de d ds d + s() (R + R 2 )C = 0 En posan τ = (R + R 2 )C, cee équaion s'inègre en : s() = A e τ Or, à = 0, par coninuié de la ension aux bornes du condensaeur (iniialemen non chargé), u c ( = 0 + ) = 0. On peu donc remplacer le condensaeur par un l, pour obenir à l'aide d'un pon diviseur de ension : u s ( = 0 + R 2 ) = E, sachan que u e ( = 0 + ) = E. R + R 2 On a donc nalemen : s() = ER R + R 2 e τ Ce lre es d'ordre. La sorie es disconinue en = 0, e le lre a donc un caracère passe-hau. De plus, la sorie end vers 0 lorsque end vers l'inni, donc il ne possède pas de caracère passe-bas. C'es donc un lre passe-hau, ce qu'on vérie aisémen en faisan une éude asympoique du lre.

7 PSI - 202/203 7 Tracé de réponses de lres ) H() 2) H() 3) H() 4) H() 5) H()

PSI / TD G1 - Correction. 9 Tracé de réponses de ltres. H(t) H(t) H(t) H(t) t 5) H(t)

PSI / TD G1 - Correction. 9 Tracé de réponses de ltres. H(t) H(t) H(t) H(t) t 5) H(t) PSI - 03/04 TD G - Correcion 9 Tracé de réponses de lres 3 4 5 TD G - Correcion 5 Éude d'un lre acif. Noons pour commencer que ce monage conien une réroacion négaive. On supposera donc que l'ao foncionne

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