Terminales S7 et S8 DTL N 3 Mathématiques Corrigé

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1 Corrigé Ercic :. FAUX On a (cf. cours) : Im( ). VRAI =. Posons : = + iy. Im i = Im i + iy = Im i + y = = R On a alors : ( ) ( ) ( ) ( ) 3. FAUX Un point M d affi st situé sur l a ds ordonnés si, t sulmnt si, son absciss st null, c'st-à-dir si la parti réll d son affi st null. 4. VRAI Un point M d affi st situé sur l a ds abscisss si, t sulmnt si, son ordonné st null, c'st-à-dir si la parti imaginair d son affi st null. Or, on a classiqumnt (cf. l cours) : Im( ) =. D où : Im( ) = = 0 = FAUX Un infinité d compl ont un modul égal à un modul donné non nul : c sont ls affis d points situés sur l crcl d cntr O t d rayon c modul donné (par mpl : + i, i t ont l mêm modul). En rvanch, on a : = ' = '. 6. FAUX On a : ( ) ( )( ) i i i ( i)( i) 3+ i+ i i 3+ i+ i+ 5+ 3i 5+ 3i i 5 5i+ 3i+ 3 8 i = = = = = = = 4 i Il vint donc : R( ) = 4 t ( ) Im =. ATTENTION : rapplons (pour la nièm fois!) qu la parti imaginair d un compl st un rél! Lycé Fénlon Saint-Mari / Lundi janvir 00

2 7. VRAI On a : ( a+ ib)( b+ ia) ( )( ) a+ ib ab = = b ia b ia b+ ia + ia + ib ab i( a + b ) = = i a + b a + b Non sulmnt l compl st l affi d un point situé sur l a ds ordonnés mais n plus il st constant t égal à i! 8. FAUX On a : i i i i = = = Rmarqu : crtain()s élèvs, d bonn foi, ont lu au numératur «l conjugué du produit i», la barr d conjugaison t l point du i ayant fusionné à la photocopi. L dmi point a été attribué à cu(clls) ayant répondu «VRAI» n donnant un ptit phras d précision à c sujt sur lur copi. 9. VRAI Posons : = + iy. On a : ( ) ( ) + = + iy + iy = + iy y + iy y = ( y ) 0. VRAI Posons : = + iy 0. L affi du vctur OM st : = iy t cll du vctur ON : = =. On a donc : ON = OM. Ls vcturs OM t ON sont colinéairs. Ls points O, m t N sont donc alignés. Ercic :. Sachant qu i =, on aura succssivmnt : = ( + i) =+ i + i =+ i, d où = i. 3 = = ( + i)i = i + i, d où 3 = + i. 4 = ( ) = (i), d où 4 = = 4 () 50 = ( 4) 50 i = 4 50 i = 004 i, d où 00 = 005 i. Lycé Fénlon Saint-Mari / Lundi janvir 00

3 00. Posons S = k = k= 0 S st la somm ds 0 prmirs trms d un suit géométriqu d prmir trm t d raison. On a donc : ( + i)0 ( + i)(+ i)00 S = = = (+ i)(005 i) = ( 005 i 005 i )i = i 005 i 005 i 3 ( + i) ( + i) i ( i)i, d où S = i( 005 +). Ercic 3 : = + iy t = 3 + 6i.. On sait qu i = t qu = + y, d où la form algébriqu d st : = 3( + iy) + + y 6i = 3( + iy y ) + + y 6i = 3 + 6iy 3y + + y 6i = 4 + 6iy y 6i = 4 y + i(6y 6 ). D où, n idntifiant parti réll t parti imaginair dans la form algébriqu d, il vint : R( ) = 4 y t Im( ) = 6y i = 0 = 0 R( ) = 0 t Im( ) = 0. R( ) = 0 t Im( ) = 0 4 y = 0 6y 6 = 0 c qui st impossibl pour la scond proposition. y = 0 y = ( y)( + y) = 0 y = y = y = ou y = y = y = y = ou = = Lycé Fénlon Saint-Mari 3/ Lundi janvir 00

4 D où : R( ) = 0 t Im( ) = 0 y = = y = = y = y = ou = = y = y = ou = = Finalmnt, l nsmbl ds solutions d l équation proposé st : S = { + i ; i }. Ercic 4 : = 3i 7 ( 3i) 3i imaginair pur R( ) = 0. Mttons sous form algébriqu. D où : 3i( + iy) 7 = = 3i + 3i y 7 3i 3y 7 = + iy 3i + i(y 3) + i(y 3) R( ) = [ i(y 3) ](3i 3y 7) = + i(y 3) [ ][ i(y 3) ] = 3i 3y 7 + 3y + 3iy + 7iy 9 9iy i = 6 + i(3 + 3y y ) + (y 3) + (y 3) 6 + (y 3), t R( ) = 0 6 = 0 = 0. Donc l nsmbl ds points chrchés st la droit d équation = 0, càd l a imaginair, privé du point d affi 3i. Lycé Fénlon Saint-Mari 4/ Lundi janvir 00

5 Ercic 5 :. La fonction g st dérivabl n tant qu produit d du fonctions dérivabls (la fonction f, d un part, t la fonction composé d la fonction linéair t d la fonction ponntill, d autr part) t on a : ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) g' f f ' f f ' Suivant un argumnt similair, la fonction Il vint alors : g ' st ll-mêm dérivabl t on a : ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) = f ( ) f '( ) + f ''( ) g'' f ' f '' f f ' ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = f ( ) f '( ) + f ''( ) 5f ( ) + 5 f '( ) = f ''( ) + 3 f '( ) 4 f ( ) g'' 5 g' f f ' f '' 5 f f ' La fonction f étant solution d l équation différntill ( E ), l prssion a l intériur du crocht st null t il vint finalmnt : ( ) ( ) g'' + 5 g' = 0 La fonction g ' st bin solution d l équation différntill : y' + 5y = 0 ( E' ).. L équation différntill ( ) 5 solutions s écrivnt alors : y ( ) k E' st d la form classiqu : y' + ay = 0 avc a = 5. Ss = où k st un constant réll. 3. En tant qu solution d l équation différntill ( E' ), la fonction obtnu à la qustion précédnt : ( ) 5 g' = k. A la qustion précédnt, on a obtnu : '( ) = ( ) + '( ) 5 On a donc : ( ) ( ) ( ) g' = f + f ' = k. En particulir pour 0 Avc f ( ) f ( ) g f f. g'0 = f 0 + f '0 = k, soit : = : ( ) ( ) ( ) ( 0 ) '( 0) f + f = k 0 = ' 0 =, il vint immédiatmnt : k = 0. g ' st aussi d la form Lycé Fénlon Saint-Mari 5/ Lundi janvir 00

6 En définitiv, on a : g' ( ) = 0. Il vint immédiatmnt : ( ) ( ) D où : f ( ) = C. La condition : f ( 0) = nous donn nfin : C =. g = f = C où C st un constant réll. La fonction f st la fonction ponntill! Ercic 6 : èr parti : étud d la fonction f. Comm on a :, > 0, il vint :, + > > 0. L dénominatur d f st défini sur t n s y annul pas. Par aillurs, l numératur d f st la composé d la fonction ponntill t d la fonction polynôm : + + 5, touts du définis sur. En définitiv, la fonction f st défini sur t il convint d détrminr ss limits n t n +. Limit n On a d abord la limit classiqu (cours) : lim = 0. Or, ( ) lim = + + =. On n déduit alors (composition) : ( ) On a aussi (somm) : ( ) lim = 5. 0 lim + = 0 + =. 5 lim = = 5 Finalmnt (rapport) : f ( ) On n déduit : ( ) lim f = 5 La courb rprésntativ C d la fonction f admt au voisinag d un asymptot horiontal d équation : y = 5. Lycé Fénlon Saint-Mari 6/ Lundi janvir 00

7 Limit n + Nous procédons comm précédmmnt n tnant compt ctt fois d : lim + =+. lim = lim =+. On a d abord : ( ) + + D où (composition) : lim ( 5) =+. Par aillurs, on a immédiatmnt (somm) : lim ( ) + + =+. Nous avons donc affair à un form indétrminé du typ. Nous factorisons pour lvr l indétrmination : f = = = ( ) A partir d lim + = + on a facilmnt lim = lim = 0 d où (somm) : lim + + lim + = + = + Il vint nfin (produit) : lim f ( ) lim = + =+ + lim + f ( ) +. La fonction ponntill st, par définition, dérivabl sur. La fonction st égalmnt dérivabl sur n tant qu fonction polynôm. L numératur d f st donc dérivabl sur n tant qu composé d du fonctions dérivabls sur ct nsmbl. L dénominatur d f st dérivabl sur n tant qu somm d du fonctions dérivabls sur ct nsmbl : la fonction ponntill t la fonction constant. Lycé Fénlon Saint-Mari 7/ Lundi janvir 00

8 La fonction f, défini sur, st donc dérivabl sur n tant qu rapport d du fonctions dérivabls sur ct nsmbl. En tnant compt du fait qu la dérivé d la fonction il vint : f ' ( ) On a bin : ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) st la fonction :, ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = f ( + 3) ( + ) ': 3. Il convint d étudir l sign d f '( ). On a : ( ) f ' = + 3. ( + ) ( ) Comm :, > 0 t 0 L sign d f '( ) st donc clui d + + >, il vint immédiatmnt : ( ) >. Posons : X =. On a alors : X X + 3= + 3. On constat qu X = st racin évidnt (la somm ds cofficints st null) t on put donc factorisr par X + X 3= X X + 3. D où : On a :, + 3 > 3 > 0 X. On obtint : ( )( ) ( )( ) + 3= + 3. L sign du produit ( )( 3) + st donc clui d. Lycé Fénlon Saint-Mari 8/ Lundi janvir 00

9 En tnant compt d il vint : 0 = t d la croissanc strict d la fonction ponntill sur, ] ;0 [, < 0 t ( ) f '0 ( ) = 0; ] 0; + [, > 0 t ( ) f ' < 0 ; f ' > 0. La fonction f st strictmnt décroissant sur t strictmnt croissant sur +. On déduit d c qui précèd qu la fonction f admt un minimum global pour = 0. C minimum vaut : ( 0) f = = = Ls résultats précédnts t cu d la qustion nous prmttnt d construir l tablau suivant : 0 + f '( ) f 7 7, > 0 : 4. D après c qui précèd, on a : f ( ) La fonction f prnd ds valurs strictmnt positivs sur. èm parti : étud d un primitiv d la fonction f. 5. La fonction f st continu sur puisqu ll y st dérivabl (cf. qustion ). Ell admt donc ds primitivs sur ct intrvall. 6. La fonction F étant un primitiv d f sur, on a, par définition :, F' ( ) = f ( ) Or, à la qustion 4, nous avons obtnu : f ( ), > 0. On n déduit immédiatmnt : La fonction F st strictmnt croissant sur.. Lycé Fénlon Saint-Mari 9/ Lundi janvir 00

10 7. La fonction G st dérivabl sur n tant qu somm d du fonctions dérivabls sur ct nsmbl : la fonction F t la fonction (ll-mêm dérivabl n tant qu somm d du fonctions dérivabls sur ). On a alors, pour tout rél : G' F' + + ( ) = ( ) = f ( ) = = ( + ) ( ) ( ) = = = = + Comm :, + > 0, il vint immédiatmnt : 4 > 0. + La fonction G st strictmnt croissant sur. Bin qu non dmandé, nous fournissons ici l sign d G sur n justifiant. 0 On a d abord : G( 0) F( 0) 0 F( 0) la valur n 0. On a donc : G( 0) = F( 0) = = 0. = =. Or, d après l énoncé, la fonction F prnd La fonction G s annulant n 0 t étant strictmnt croissant sur, on a immédiatmnt : *, G < 0 *, G > 0. ( ) t ( ) D où l tablau : G ( ) D après la qustion précédnt, on a : *, G ( ) < 0, soit : *, F( ) Or : lim = 0 t lim Finalmnt (comparaison) : lim F( ) =. D où (somm) : lim ( ) =. lim F( ) = + =. < +. Lycé Fénlon Saint-Mari 0/ Lundi janvir 00

11 On procèd d façon similair pour détrminr la limit n +. Toujours d après la qustion 7 : *, G ( ) > 0, soit : *, F( ) + > +. + Or : lim + =+ t lim + =+. D où (somm) : lim ( ) + + =+. Finalmnt (comparaison) : lim F( ) + = +. lim F( ) + = + A titr d complémnt, nous donnons la primitiv F (son prssion fait intrvnir la fonction logarithm népérin ) : ( ) F: 4ln ln Nous fournissons ci-dssous ls courbs rprésntativs ds fonctions f (n blu) t F (n roug) : Lycé Fénlon Saint-Mari / Lundi janvir 00