Chapitre 1 Nombres complexes 11 Expressions d un nombre complexe 111 Point de cours Définitions et propriétés : il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes : 1 L ensemble des nombres réels R est inclus dansc L addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul sont les mêmes Il existe un nombre complexe, noté i,telquei = 1 4 Tout nombre complexe s écrit de manière unique sous a + ib avec a et b réels L écriture z = a + ib avec a et b réels est la forme algébrique du nombre complexe z a est la partie réelle de z, elle est notée Re(z) b est la partie imaginaire de z, elle est notée Im(z) Le nombre complexe a ib est appelé conjugué de z et noté z L écriture : z = r cosθ + irsinθ est appelée forme trigonométrique de z,où r = z = a + b désigne le module du nombre complexe z et θ désigne un argument de z : arg(z) = θ[π] L écriture : z = r e iθ est appelée forme exponentielle de z 11 Exercices d application du cours EXERCICE 1 Ecrirelesexpressionssuivantessouslaformealgébrique: 1 z = ( + 5i ) + (8 + 9i ) 5 z = ( i ) ( + 4i ) z = (9 i ) + ( + 6i ) 6 z = ( + 5i ) (8i 9) z = ( + 5i ) + (8i 9) 7 z = ( + 5i ) + (8 + 9i ) 4 z = ( + 5i ) (8 + 9i ) 8 z = (9 i ) + 5( + 6i ) 9 z = ( i ) ( + 4i ) 10 z = 9( + 5i ) 5(8 + 9i ) 11 z = (9 i ) ( + 6i ) 1 z = ( i ) + ( + 4i )
10 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES EXERCICE Déterminerleconjuguédechaquenombrecomplexe: 1 z = 1 + i 5 z = i ( 4i ) z = + i z = 6 z = ( i )(1 + i ) i 7 z = 1 i 4 z = i 8 z = EXERCICE Ecrirelesexpressionssuivantessousleurformealgébrique: 1 z = + 5i + i z = 8 + 9i i i z = i + 4i 4 z = 1 + i EXERCICE 4 1 Calculer i, i, i 4 et i 5 Calculer i n en fonction de n En déduire l expression algébrique de Z = i 016 i 019 5minutes 15minutes 5 z = 1 + i 1 i ( + 5i )(8 9i ) 6 z = i ( i ) EXERCICE 5 Déterminer le module des nombres complexes suivants : 1 z = 1 + i 5 z = 5 9 z = 6i z = 1 i 6 z = 7i 10 z = i 7 z = 1 + i 7 z = 5i 7 11 z = 9 4 z = 4 i 8 z = 6 + 8i 1 z = 19 i 6 EXERCICE 6 Démontrer les propriétés suivantes : 1 z = z 1 z 1 z = z 1 z z = 1 z 4 z = z 5 z 1 z = z 1 z 6 z n = z n EXERCICE 7 Déterminer le module des nombres complexes suivants : 1 z = (1 + i )( i ) 1 + i z = ( 5 + i ) z = i 4 z = (5i 7)( + 7i )( i ) EXERCICE 8 Déterminer un argument des nombres complexes suivants : 1 z = 1 + i 4 z = 5 z = i 5 z = 7i z = 1 6 z = + i i 5 z = (6 + 8i ) (8 6i ) 6i 6 z = 1 + i 7 z = 1 i 8 z = 9 9 z = i
11 EXPRESSIONS D UN NOMBRE COMPLEXE 11 EXERCICE 9 Démontrer les propriétés suivantes : 1 arg( z) ( ) = arg(z) + π 1 arg = arg(z) z arg(z 1 z ) = arg(z 1 ) + arg(z ) 4 arg( ( z) = arg(z) ) z1 5 arg = arg(z 1 ) arg(z ) z 6 arg(z n ) = n arg(z) EXERCICE 10 Déterminer un argument des nombres complexes suivants : ( ) ( )( ) 1 1 z = + i 6 z = i 1 i ( ) 7 ( ) z = i 7 z = + i ( z = 1 )( + i 1 ) ( ) 6 i 8 z = 4 z = ( 5 ) + i 4 9 z = ( 9) 7 5 z = (7i ) 10 z = ( i ) 9 EXERCICE 11 Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : 1 z = 1 + i 5 z = 6 6 z = i z = 1 6 z = i 9 z = + i 5 + i 7 5 7 z = i 10 z = 5 + i 5 4 z = i 8 z = 5 i 5 11 z = 1 z = i EXERCICE 1 Ecrire les expressions suivantes sous la forme trigonométrique, puis sous la forme exponentielle : 1 z = z = 1 + i z = i 4 z = 1 5 z = 5i 6 z = i ( 1 i ) 7 z = 5 + i 5 8 z = 4 + 4i 9 z = 5 5i EXERCICE 1 Ecrire les expressions suivantes sous la forme trigonométrique : 6 1 z = i 4 z = e i π 7 z = i z = i ( ( π ) ( π )) 5 z = cos + i sin 8 z = e i π 6 5 z = 9 z = i ( ( π ) ( π )) cos i sin 6 z = 9 6 6
1 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 14 Ecrirelesexpressionssuivantessouslaformealgébrique: ( ( π ) ( π )) 1 z = cos + i sin 5 z = ( ( 5 cos π ) ( + i sin π )) ( ( 4 ) 4 ( )) 5π 5π z = 6 cos + i sin 6 6 6 z = 1 ( ( cos π ) ( + i sin π )) 6 6 z = e i π 4 z = 7 z = e i π 4 e π 4 8 z = e i 5π 6 EXERCICE 15 Ecrire les expressions suivantes sous la forme exponentielle : 1 z = i ( + i ) ( ( π ) ( π ))( ( π ) ( π )) z = ( + i ) 5 z = cos + i sin cos + i sin ( 4 ( ) 4 ( ))( ( ) ( )) z = i ( i ) π π 5π 5π 6 z = i cos + i sin cos + i sin 4 4 8 8 4 z = e i π 4 i e i π 5 7 z = ie i π 5 e i 5π 7 e iπ 11 Exercices d approfondissement EXERCICE 16 Soit le nombre complexe z = 1 + i Donner la valeur exacte de (z) 016 sous forme exponentielle puis sous forme algébrique EXERCICE 17 A tout point M d affixe z du plan, on associe le point M d affixe z par l application f qui admet pour écriture complexe : z ( + 4i)z + 5z = 6 1 On considère les points A, B, C d affixes respectives z A = 1 + i, z B = 1etz C = i Déterminer les affixes des points A,B,C images respectives de A, B, C par f On pose z = x + iy(avec x et y réels) Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z en fonction de x et y EXERCICE 18 On considère les points A, B et C d affixes respectives z A, z B et z C où : z A = 1 + i, z B = z A, et z C = 1 + + i Calculer z B z C et donner le résultat sous forme algébrique z A z C EXERCICE 19 On considère les points A et B d affixes respectives : z A = 1 i et z B = + + i 1 Déterminer le module et un argument de z A Ecrire z B sous forme algébrique z A Montrer que z B z A = ( 1 + ) e i π En déduire la forme exponentielle de z B
11 EXPRESSIONS D UN NOMBRE COMPLEXE 1 EXERCICE 0 On appelle f l application qui à tout point, d affixe z 0, associe le point d affixe z définie par : z = z + i 1 z On considère les points A et B d affixes respectives a = ietb = e i π 6 et leurs images A et B par f d affixes respectives a et b 1 Calculer a et b Démontrer que b b b = i Soit θ un réel Démontrer que si z = e iθ alors z = (sinθ + 1)i EXERCICE 1 Soit les nombres complexes z 1 = e ia et z = e ib (a et b réels) 1 Donner la forme trigonométrique des nombres complexes z 1 et z En utilisant les résultats de la question précédente, calculer z 1 z Déterminer la forme exponentielle de z 1 z, puis en déduire sa forme trigonométrique 4 En utilisant les questions précédentes, retrouver les formules d addition de cosinus et sinus EXERCICE Soit le nombre complexe z 1 = ( cos π ) 6 + isinπ 6 complexe conjugué de z 1, z = z 1, z 4 = z 1 e iπ Onpose:z = z 1,oùz 1 désigne le nombre 1 Déterminer la forme algébrique des nombres complexe z 1, z et z Déterminer le module et un argument des nombres complexes z et z Montrer que z 4 = e 5iπ 6 4 Endéduirelemoduleetunargumentdunombrecomplexez 4 5 Quelle est la forme algébrique de z 4? EXERCICE Soit les nombres complexes : z 1 = + i 6,, z = + i et Z = z 1 z 1 Ecrire Z sous forme algébrique Donner les modules et arguments de z 1, z et Z En déduire cos π 1 et sin π 1 4 Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe Z 016 EXERCICE 4 On considère les trois nombres complexes suivants : z 1 = e i π 1 ; z = 1 i ; z = z 1 z 1 Ecrire z sous forme exponentielle a Ecrire z sous forme exponentielle
14 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES b En déduire que z = 1 + i a En remarquant que z 1 = z z, donner l écriture de z 1 sous forme algébrique b En déduire les valeurs exactes de cos π 1 et sin π 1 EXERCICE 5 0 minutes On considère les points A, B et C d affixes respectives z A, z B,etz C définies par : z A = + i, z B = + i, z C = + i, où i désignelenombrecomplexedemodule1et d argument π 1 Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z A, z B et z C Calculer z A z B et z A z C On considère la transformation f (z) = ze i π a Soit z A = f (z A) Calculer sous forme exponentielle l affixe z A b Préciser le module et un argument de z A c Déterminer la forme algébrique de z A ( d Déduire des questions b et c les valeurs exactes de cos π ) ( et sin π ) 1 1 EXERCICE 6 On considère les nombres complexes suivants : z A = + i 6, et z B = i 0 minutes On pose z = z A z B 1 Ecrire z sous forme algébrique a Calculer le module et un argument de z A et de z B b Endéduirelemoduleetunargumentdez c Ecrire z sous forme trigonométrique Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes les valeurs exactes de cos 7π et de 1 sin 7π 1 EXERCICE 7 0 minutes On considère les nombres complexes z A = 5 5i et z B de module égal à 5 etd argumentégal à 7π, d images respectives A et B 1 1 Calculer le module et un argument de z A Montrer par le calcul que z B = z A e i π Exprimer e i π sous forme algébrique 4 Calculer z B sous forme algébrique ( ) ( ) 7π 7π 5 En déduire les valeurs exactes de cos et sin 1 1
11 EXPRESSIONS D UN NOMBRE COMPLEXE 15 EXERCICE 8 On pose z 0 = et, pour tout entier naturel n, z n+1 = 1 + i z n 1 Calculer z 1, z, z, z 4 et vérifier que z 4 est un nombre réel Pour tout entier naturel n,onposeu n = z n Justifier que la suite ) (u n ) est une suite géométrique puis établir que, pour tout entier naturel n, u n = ( 1 n A partir de quel rang n 0, zn0 < 0,1? 4 Etablir que, pour tout entier naturel n, z n+1 z n = i z n+1 5 On note l n la longueur de la ligne brisée A 0 A 1 A A n 1 A n Onaainsi:l n = A 0 A 1 + A 1 A + + A n 1 A n Exprimerl n,enfonctionden Quelle est la limite de la suite (l n )? EXERCICE 9 0 minutes Soient A, B et I les points d affixes respectives 1+i, i et A tout point M d affixe z, on associe le point M d affixe z telle que z = z 4zLepointM est appelé l image de M 1 Calculer les affixes des points A et B, images respectives des points A et B Que remarquet-on? Déterminer les points qui ont pour image le point d affixe 5 Vérifier que pour tout nombre complexe z,ona:z + 4 = (z ) 4 En déduire une relation entre z + 4 et z et, lorsque z est différent de, une relation entre arg ( z + 4 ) et arg(z ) 5 Soient E le point d affixe + e i π, J le point d affixe 4etE l image de E a Calculer z E z I, donner la forme exponentielle, puis la forme algébrique b Calculer z E z J, donner la forme algébrique puis la forme exponentielle EXERCICE 0 Partie A Restitution organisée de connaissances 0 minutes Prérequis : on rappelle les deux résultats suivants : i si z est un nombre complexe non nul, on a l équivalence suivante : { z = r arg z = θ àπprès ii pour tous nombres réels a et b : { z = r (cosθ + i sinθ) r > 0 { cos(a + b) = cos a cosb sin a sinb sin(a + b) = sin a cosb + sinb cos a Soient z 1 et z deux nombres complexes non nuls Démontrer les relations : z 1 z = z 1 z et arg(z 1 z ) = arg(z 1 ) + arg(z )àπ près
16 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES Partie B Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse 1 Si z = 1 + 1 i,alorsz4 est un nombre réel Si z + z = 0, alors z = 0 Si z + 1 = 0, alors z = i ou z = i z 4 Si z =1etsi z + z =1, alors z = 0 1 Equations du second degré 11 Point de cours Propriété Soit P le polynôme défini par P(z) = az + bz + c,oùa, b etc sont des nombres réels et a 0, (E) l équation P(z) = 0 de discriminant Δ = b 4ac Signe de Δ Racines de P Factorisation de P Δ > 0 z 1 = b Δ, z = b + Δ a a racines réelles distinctes P(z) = a(z z 1 )(z z ) Δ = 0 z 0 = b a racine double P(z) = a(z z 0 ) Δ < 0 z 1 = b i Δ et z = b + i Δ a a racines complexes conjuguées P(z) = a(z z 1 )(z z ) 1 Exercices d application du cours EXERCICE 1 Résoudre dans C les équations suivantes (on donnera les solutions sous forme algébrique) : 1 z + i = 0 z + 8i = 0 iz+ z = + i 4 i z = 0 5 iz+ = 0 6 iz+ i = 0 7 iz+ 4 = 4z i 8 z + z = 0 9 z i z =