II- La héorie des cycles réels La héorie des cycles réels a pour objecif de rendre compe des flucuaions de l'acivié économique en considéran la réponse opimale des agens à un (ou une succession ) de choc(s) réel(s).
Le cadre d'analyse Il s'agi d'un problème d'opimisaion dynamique rès proche des modèles de croissance opimale. Cela di il exise deux différences majeures avec les modèles de croissance : 1- La foncion d'uilié incorpore le loisir de façon a déerminer égalemen le emps de ravail opimal de façon à rendre compe des variaions de l'emploi. 2- On inrodui dans la echnologie ou (e) dans les dépenses publiques un erme aléaoire qui écare emporairemen la echnologie ou (e) les dépenses publiques de leur endance de long erme.
Les hypohèses du modèle canonique : Hypohèse #1 : à chaque période un agen représenaif dispose d'un revenu issue de son ravail de façon à consommer. De plus il dispose à chaque période d'une unié de emps qu'il parage enre emps de ravail (l ) e emps de loisir (1-l ). Ainsi, sa foncion d'uilié ineremporelle es : u u c ; 1l U u c ;1l 0 Où β représene la préférence pour le présen
Hypohèse #2 : La producion es déerminée par les faceurs de producion qui son au nombre de 3 : Le capial K Le ravail L La echnologie A La foncion de producion es une foncion néoclassique de ype COBB DOUGLAS 1 0 1 Y A K L Où : L l Hypohèse #3 : La producion ser à la consommaion, à l'invesissemen e aux dépenses publiques Y C I G
Hypohèse #4 : La populaion augmene au aux n, ln N N n. Les individus son ous ideniques e la foncion d'uilié sociale es une foncion d'uilié uiliarise. Ainsi la foncion d'uilié sociale es : s ;1 0 U u c l N Hypohèse #5 : la echnologie croî à un ryhme exogène g mais es "perurbée" par des chocs à chaque période. ln A ~ Tradui l'effe des chocs. ~ A A g. A Ln(A )
On suppose que les chocs suiven un processus auo régressif d'ordre 1: ~ A A. A A ~ 1 0 1 Choc aléaoire suivan une loi normale L'inérê de faire l'hypohèse d'un el processus es que selon la valeur de ρ A Si ρ A = 0 le choc disparai dès la période suivane Si ρ A < 1 le choc e un cerain emps à disparaîre Si ρ A = 1 le choc es persisan. 0 0,5 1 A A A 0,012 0,012 0,012 0,01 0,01 0,01 0,008 0,008 0,008 0,006 0,006 0,006 0,004 0,004 0,004 0,002 0,002 0,002 0 0 5 10 15 20 25 0 0 5 10 15 20 25 0 0 5 10 15 20 25
Hypohèse #6 : Les dépenses publiques croissen à un ryhme exogène n+g mais son "perurbées" par des chocs à chaque période. ln ~ G ~ G G n g. G G. G G ~ 1 0 1 Choc aléaoire suivan une loi normale Le problème de l'agen représenaif es de résoudre : Max Sous la conraine : s ;1 0 U u c l N I Y C G DK A K N l c N G 1 En choisissan le niveau de consommaion c e le emps de ravail l.
Résoluion du problème Ce ype de modèle ne peu pas êre résolu analyiquemen comme l'a monré cambell [1994]. La raison es double : D'une par il condui à un sysème d'équaions de récurrence qui ne perme que de faire des simulaions numériques, D'aure par parce qu'il mêle des élémens linéaires comme l'égalié emplois-ressources e des élémens non linéaires comme la foncion de producion ou d'uilié.
Le comporemen des ménages Il es imporan de bien comprendre le comporemen des ménages pour comprendre les propriéés générales d'un modèle de cycles réels.
1 période, e pas d'inceriude Supposons un ménage qui ne vi qu'une période, qui n'a pas de richesse iniiale, e ne comprend qu'une seule personne. On suppose que sa foncion objecif es simplemen : u c b.ln l ln 1 Par ailleurs, son salaire es déerminé par le aux de rémunéraion e le emps de ravail. Il dépense l'inégralié de son salaire pour consommer des biens de consommaion don le prix es uniaire. Ainsi sa conraine budgéaire es : w. l c
La soluion Le programme de l'agen consise à maximiser sa foncion d'uilié en respecan sa conraine budgéaire. Le lagrangien es : c b.ln1 l c wl L ln. L c L l Les condiions d'opimalié son : 0 e 0 La soluion es : l* 1 1 b Le emps de ravail ne dépend pas du aux de salaire. e c* w 1 b Ainsi dans ce cas pariculier, le aux de salaire n'a pas d'influence sur l'offre de ravail.
2 périodes e pas d'inceriude Supposons un ménage qui ne vi 2 périodes, qui n'a pas de richesse iniiale, e ne comprend qu'une seule personne. On suppose que sa foncion objecif es simplemen : u ln c b.ln 1 l ln c b.ln 1 l 0 0 1 1 Par ailleurs, son salaire es déerminé par le aux de rémunéraion e le emps de ravail. A la dae 0 il peu consommer ou épargner. A la dae 1, il consomme ou son revenu. Ainsi sa conraine budgéaire acualisée es : c 0 c 1 1 r w 0. l 0 w1. l1 1 r La somme des consommaions acualisées es égale à la somme des revenus acualisés
La soluion Le programme de l'agen consise à maximiser sa foncion d'uilié en respecan sa conraine budgéaire. Les condiions d'opimalié son : L L 0 e 0 i 0, 1 c l La soluion donne : i i 1 l0 1 w1 c0 1 e 1 l 1 r w c 1 r 1 0 1
Commenaires Effe d'une augmenaion de salaire à une dae : Le emps de ravail dépend du aux de salaire relaif enre la dae 0 e la dae 1. Ainsi, si le salaire augmene à une dae, alors le emps de ravail augmene égalemen. Effe d'une augmenaion du aux d'inérê à une dae : Si le aux d'inérê augmene à une dae, l'offre de ravail augmene. Un aux d'inérê élevé rend le ravail immédia plus ineressan que le ravail fuur. Les réacions de l'offre de ravail à une variaion du aux de salaire e à une variaion du aux d'inérê son connus sous le nom de subsiuion ineremporelle de l'offre de ravail (Lucas e Rapping [1969] )
Opimisaion des ménages sous inceriude Mainenan, l'agen ne connaî plus avec ceriude ni le aux d'inérê fuur ni le salaire fuur à cause des chocs possibles sur la echnologie e sur les dépenses publiques. Il ne peu plus décider d'un senier déerminise à chaque dae. Il doi donc décider de sa consommaion e de son ravail à chaque dae sachan qu'il peu inervenir des chocs. Cela complique considérablemen le problème d'opimisaion. Or on sai d'un poin de vue héorique qu'il exise une équaion relian la consommaion présene aux anicipaions concernan le aux d'inérê e la consommaion de la période suivane.
Supposons que la foncion d'uilié ineremporelle soi : s ;1 ln ln 1 0 0 U u c l N c b l N Si l'agen renonce à de rès faibles uniés de consommaion aujourd'hui pour augmener la consommaion de demain, il a une pere d'uilié aujourd'hui qui doi êre compensée par l'augmenaion de la consommaion à la période suivane.
Calcul de la pere d uilié à la dae : La pere d'uilié es égale à : Umc. c Soi en dérivan par rappor à c : pere. N 1 c c Umc Uilié Umc. c c Consommaion
Calcul du gain poeniel à la dae +1 : À la dae +1, il y a eu une augmenaion du nombre d'agens au aux n. On rerouve donc : N 1 N.1 n Par ailleurs le fai d'avoir renoncé à de la consommaion à la dae procure une épargne disponible en +1 égale à l épargne supplémenaire augmenée du rendemen : 1 1 r 1 c où c es l'épargne supplémenaire (renonciaion à la consommaion à la dae ) r es le rendemen de l'épargne
Mais socialemen comme il y a N +1 agens à la dae +1 von «se parager» l'épargne faie en. Ils auron chacun un supplémen de consommaion égal à : 1 1 1 1 N 1 n N r c r c 1 1 c L'uilié oale en +1 augmene de : 1 Umc c N c N 1 1 1 1 1 1 1 c 1 1 n c 1 1 r Mais comme il y a inceriude sur le rendemen de l épargne à la dae +1, le gain en erme d uilié es : 1 c Espérance de gain d'uilié en + 1 = E N 1 1 r c 1 1 1 c 1 1 n
Egalisons la pere e le gain d uilié : pere 1 1 1 1 r 1. N c E N 1 c c c 1 1 n gain En simplifian e en réarrangean cee égalié peu s'écrire : 1 1 E 1 r 1 Umc E Umc 1 1 r 1 c c 1 En uilisan le fai que l espérance du produi de deux variables aléaoires es égal au produi de l espérance des deux variables aléaoires plus la covariance enre les deux variables aléaoires, on obien : X. Y EX. EY CovX Y E ;
Soi : 1 1 1 E E 1 r 1 Cov ; 1 r 1 c c 1 c 1 Comme on a uilisé une foncion d uilié logarihmique : 1 c Umc On peu écrire le résula suivan : Um C = Espérance Um C +1. Espérance du aux d'inérê + covariance enre Um C +1 e le aux d'inérê L'arbirage enre la consommaion présene e fuure ne dépend pas seulemen des anicipaions de l'uilié marginale fuure (1/c +1 ) e du aux d'inérê fuur (1+r +1 ), mais aussi de leur ineracion (covariance).
Inuiion de ce résula 1/4 Premier cas : Supposons que le aux d'inérê réel soi élevé. Cela a priori rend l'épargne renable. Premier sous cas : Mais si la consommaion à la dae +1 es rès élevée cela enraîne une uilié marginale faible (1/c +1 ). Cela enraîne que la covariance enre (1/c +1 ) e (1+r +1 ) es négaive réduisan ainsi l'inérê de l'épargne (à quoi bon épargner encore plus puisque cee épargne me fournira un faible uilié supplémenaire!). Donc l'uilié marginale de la consommaion à la dae es réduie donc la consommaion présene augmene. Par exemple, si les agens anicipen le paiemen d'une reraie conforable, cela rédui leur inérê pour l'épargne alors que le aux d'inérê es élevé.
1 cov ; 1 Umc E Umc E r Umc r 1 1 1 1
Inuiion de ce résula suie 2/4 Deuxième sous cas : Si mainenan la consommaion à la dae +1 es faible cela enraîne une uilié marginale pluô élevée (1/c +1 ). La covariance enre (1/c +1 ) e (1+r +1 ) es posiive augmenan encore plus l'inérê de l'épargne. L'uilié marginale de la consommaion présene doi augmener donc la consommaion présene se rédui. Ainsi l'épargne augmene. Si les agens n'on pas de reraie mais que le aux d'inérê es élevé, cela les incie encore plus à épargner.
Inuiion de ce résula suie 3/4 Deuxième cas : Supposons mainenan que le aux d'inérê réel soi faible. Cela rend l'épargne peu renable (dans les années 70-80 le aux d'inérê réel éai négaif!). Premier sous cas : Si la consommaion à la dae +1 es élevée cela enraîne une uilié marginale faible (1/c +1 ). Donc la covariance enre (1/c +1 ) e (1+r +1 ) es posiive augmenan l'inérê de l'épargne. Mais aenion : E(1/c +1 ) es faible ainsi que E(1+r +1 ). Son produi es faible, la covariance le rend un peu moins faible. Au oal l'uilié marginale de la consommaion présene doi êre faible. Donc la consommaion présene rese quand même élevée.. Si les agens on l'assurance du paiemen d'une reraie e qu'en plus le aux d'inérê es faible, il on globalemen une inciaion à consommer à la dae présene.
Inuiion de ce résula suie 4/4 Deuxième sous cas : Si la consommaion à la dae +1 es faible cela enraîne une uilié marginale élevée (1/c +1 ). Cela enraîne que la covariance enre (1/c +1 ) e (1+r +1 ) es négaive réduisan l'inérê de l'épargne. Si les agens n'on pas de reraie, ils on une inciaion à épargner bien que le aux d'inérê soi faible. Mais la covariance enre (1/c +1 ) e (1+r +1 ) end à réduire cee inciaion.
Arbirage enre consommaion e offre de ravail Imaginons mainenan qu'en l'agen augmene son emps de ravail d'un faible monan l e qu'il uilise le revenu supplémenaire pour augmener sa consommaion duran cee période. La désuilié engendrée par un emps de ravail plus imporan doi êre exacemen compensée par l'augmenaion de l'uilié via l'augmenaion de la consommaion. Uml. l Umc. w l désuilié du ravail 1 b l l uilié de la consommaion 1 c w l c 1 l w b La consommaion e le loisir à la dae son liés au aux de salaire
Le emps de Loisir Ainsi on peu exprimer le emps de loisir en foncion de la consommaion présene c e du aux de salaire w : 1 l b Le emps de loisir es d'auan plus élevé que la consommaion es élevée e que le aux de salaire es faible. c w
Ineracion avec la consommaion fuure e le aux d'inérê Comme nous l'avons vu, les valeurs anicipées du aux d'inérê e du niveau de consommaion à la dae +1 déerminen la consommaion à la dae. Le emps de loisir dépend donc du aux d'inérê anicipé, de la consommaion anicipée e du aux de salaire présen. Les diverses configuraions possibles son rop nombreuses à éudier mais on peu illusrer quelques résulas.
Effe de revenu e effe de subsiuion Lorsqu'il y a un choc posiif sur la echnologie l'agen en adopan un comporemen opimisaeur change sa consommaion e son emps de ravail ce qui affece la producion, e les aures variables. De façon générale le choc de echnologie fai augmener le aux d inérê. Le aux de salaire lui peu augmener ou diminuer. (déplacemen vers le hau de la foncion de producion). Hausse du aux d inérê e hausse de w Hausse du aux d inérê e baisse de w
Effe de revenu e effe de subsiuion Dans le cas de la hausse du aux d inérê : Un effe de revenu : L agen se sen plus riche (une même épargne rapporera plus), il veu consommer plus e prendre plus de loisir. Un effe de subsiuion : Comme le aux d inérê es plus élevé il rend la consommaion fuure moins chère, e l invesissemen plus renable. Il cherche donc à diminuer sa consommaion pour invesir plus e a augmener son loisir pour compenser la baisse de la consommaion.
Effe de revenu e effe de subsiuion suie Dans le cas de la hausse du aux de salaire : Un effe de revenu : L agen se sen plus riche, il veu consommer plus e prendre plus de loisir. Un effe de subsiuion : Comme le aux de salaire es plus élevé (plus faible) momenanémen, il cherche à ravailler plus (moins), e a augmener (baisser) sa consommaion pour compenser la baisse (hausse)du loisir.