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Vous trouverez ici quelques élémets du cours de mathématiques de première S, qu'il coviet de maîtriser pour aborder sas trop d'agoisse la classe de Termiale. Ce documet e préted pas à l'ehaustivité, et quelques erreurs peuvet subsister, malgré ue relecture attetive. Efi, ce documet récapitule des savoirs, mais les savoir-faire, les démostratios, les astuces de calcul, les eercices-types, bref tout ce qui fait le sel de la classe de première est ici occulté. Vous savez qu'il 'est plus suffisat de compiler des savoirs! Ceci peut quad même vous aider pour retrouver u résultat du cours (comme ue formule, ue défiitio, u théorème ) u peu oublié. N'oubliez pas que le bac se prépare sur deu as (première et Termiale)! Thierry Joffredo Pour votre culture mathématique : Bibliographie: Les ouvrages de Deis GUEDJ, d'accès aisé et très itéressats quat à l'histoire de cette disciplie (tous chez Seuil, collectio Poits): Les cheveu de Béréice (histoire de la première mesure du rayo terrestre par Eratosthèe) Le théorème du perroquet (véritable abrégé de as d'histoire des mathématiques) Le mètre du mode (histoire de la créatio du mètre et du système décimal) Deu ouvrages de culture géérale mathématique, à peie plus difficiles d'accès: La vie rêvée des maths de David BERLINSKI (histoire du calcul différetiel) chez Sait-Simo L'œil et le compas de MLODINOW (histoire complète de la géométrie, de Thalès à Eistei) chez le même éditeur. (à coseiller) U peu plus difficiles, mais toujours abordables, cocerat les mathématiques plus "actuelles": Le derier théorème de Fermat de Simo SINGH, chez Hachette Littératures, collectio Pluriel. Histoire des codes secrets du même auteur, Le Livre de Poche (cryptographie) Les mathématiques de Ia STEWART Gödel, Escher, Bach de Douglas HOFSTADTER chez IterEditios (mathématiques, art et musique) Sur le Web : Vous pouvez cosulter avec grad profit les sites suivats : Le site Bacamaths de Gilles Costatii à l adresse http://perso.waadoo.fr/gilles.costatii/ (cours, fiches d eercices, devoirs, aales de bac, méthodes ) Le site Xmaths à l adresse http://maths.free.fr/ (même type de coteu ) Le site Bibmaths à l adresse http://www.bibmath.et/ (plus de coteu culturel et historique) Memeto mathématiques ère S
. GENERALITES SUR LES FONCTIONS O appelle foctio umérique f tout procédé qui, à u ombre, associe u uique ombre y appelé image de par f, et oté y = f(). O dit égalemet que est u atécédet de y par la foctio f. L'esemble, oté D f, des valeurs du ombre pour lesquelles eistet ue image y par la foctio f est appelé esemble de défiitio de la foctio f. La courbe représetative de la foctio f das u repère du pla est l'esemble des poits du pla de coordoées ( ; f() ) où D f. Aisi, "le poit M(;y) appartiet à la courbe représetative de f" est ue propositio équivalete à " D f et y = f()". O dit alors que "y = f()" est ue équatio de cette courbe das le repère du pla. Dire que la foctio f est strictemet croissate (respectivemet décroissate) sur u itervalle I D f sigifie que, pour tous réels u et v das I, tels que u < v, o a f(u) < f(v) (respectivemet f(u) > f(v) ). O dit qu'ue foctio strictemet croissate coserve l'ordre (alors qu'ue foctio strictemet décroissate, elle, iverse l'ordre). Soit I u itervalle iclus das D f ; O dira que f admet u miimum e I (respectivemet u maimum) si, pour tout réel das I, o a f() f( ) (resp. f() f( ) ). Ue foctio f sera dite miorée sur I D f si et seulemet si il eiste u ombre réel m tel que, pour tout I, o ait f ( ) m. Le ombre m est alors appelé u miorat de f sur I, et tout ombre iférieur à m sera u autre miorat de f sur I. Ue foctio f sera dite majorée sur I D f si et seulemet si il eiste u ombre M tel que, pour tout I, o ait f ( ) M.. Le ombre M est alors appelé u majorat de f sur I, et tout ombre supérieur à M sera u autre majorat de f sur I. Ue foctio à la fois majorée et miorée sur I est dite borée. Ue foctio f, défiie sur D f, sera dite paire (respectivemet impaire) si: D f est cetré sur zéro (i.e. pour tout D f, o a D f égalemet). Pour tout D f, f( ) = f() (respectivemet f( ) = f() ). La courbe représetative de la foctio f admet alors l'ae des ordoées comme ae de symétrie (respectivemet l'origie du repère comme cetre de symétrie) Soit T u ombre strictemet positif; ue foctio f défiie sur D f sera dite T-périodique (ou périodique de période T) si, pour tout réel D f o a f( + T) = f(). La courbe représetative de cette foctio sera alors ivariate par toute traslatio de vecteur T i avec. Défiitio : Soiet deu foctios u et v défiies respectivemet sur D u et D v, tels que les images par u soiet das D v. O défiit la foctio composée de v par u, otée u v, par : u v : u v () = u [ v() ] D v Théorème : ses de variatio d ue foctio composée. Soiet u et v deu foctios, v défiie sur I et u défiie sur J telles que v(i) J (les images par v sot das J). Soit w = u v la composée de v par u. Alors : Memeto mathématiques ère S
si u et v ot des ses de variatios idetiques, alors w est croissate sur I. si u et v ot des ses de variatios cotraires, alors w est décroissate sur I. Foctios associées: Théorème : u est ue foctio défiie sur u itervalle I, Γ est sa courbe représetative das u repère du pla, et λ est u ombre réel doé. La courbe de la foctio f : u ( + λ) s obtiet par traslatio de la courbe Γ de vecteur λ i. La courbe de la foctio f : u ()+ λ s obtiet par traslatio de la courbe Γ de vecteur λ j. La courbe Γ de la foctio f : u(λ) s obtiet à partir de la courbe Γ de la faço suivate : Pour ue même ordoée, o multiplie l abscisse du poit de Γ par /λ pour obteir l abscisse du poit correspodat de Γ. La courbe Γ de la foctio f : u() s obtiet à partir de la courbe Γ de la faço suivate : Sur les itervalles où u() est positif, Γ et Γ sot cofodues. Sur les itervalles où u() est égatif, Γ et Γ sot symétriques par rapport à l ae des abscisses. Elémets de symétrie d'ue courbe: La droite d'équatio ( = a) est ae de symétrie pour la courbe représetative de la foctio f si et seulemet si h, a + h et a h sot das D f et f(a h) = f(a + h) Le poit de coordoées (a ; b) est cetre de symétrie pour la courbe représetative de la foctio f si et seulemet si h, a + h et a h sot das D f et f(a h) + f(a + h) = b. POLYNOMES DU SECOND DEGRE Défiitio-Théorème: Ue foctio P défiie sur est appelée foctio polyôme lorsqu'il eiste u etier aturel et des ombres réels a, a,, a, a tels que, pour tout I, R, o ait: P() = a + a + + a + a Toute foctio polyôme s'écrit de maière uique sous cette forme (appelée forme réduite du polyôme); le ombre s'appelle degré du polyôme, les réels a, a,, a, a sot ses coefficiets (le coefficiet a est appelé coefficiet domiat de P). Le terme (ou moôme) a i i (pour i ) est appelé terme de degré i du polyôme Propriété: O doe deu polyômes o uls P et Q défiis pour par: P() = a + a + + a + a et Q() = b p p + b p p + + b + b Ces polyômes sot dits égau si et seulemet si, pour tout réel, o a P() = Q(). Cela équivaut à dire qu'ils ot le même degré: = p, et que les coefficiets des termes de mêmes degré sot égau: a = b, a = b,, a = b. Soit P u polyôme. O appelle racie du polyôme P tout ombre réel α tel que P(α) =. Théorème (admis): Factorisatio d'u polyôme Soit P u polyôme de degré,. Si α est ue racie du polyôme P, alors o peut factoriser l'epressio de P() par ( α). Il eiste doc u polyôme Q de degré tel que, pour tout réel, P() = ( α) Q(). Résultats cocerat les polyômes du secod degré: Memeto mathématiques ère S
b P() = a² + b + c est u triôme du secod degré (a ), et = b² 4ac est so discrimiat. Sa forme caoique est P( ) = a + a 4a b La courbe représetative de P das u repère est ue parabole, image de la parabole d'équatio (y = a²) par la traslatio de vecteur i j a 4a Si > Si = Si < Si a > Si a < Si a > Si a < Si a > Si a < ALLURE DE LA COURBE J oo I J oo I J oo I J oo I J oo I J oo I b a 4 a SOMMET Le sommet S de la parabole a pour coordoées ( ; ) VARIATIONS DE P Si a > alors P est décroissate sur ] ; b ], croissate sur [ b ; [ a +. Si a < alors P est croissate sur ] ; b ] a, décroissate sur [ b ; + [ a a RACINES deu racies: b = a b + = a b ue racie: α = pas de racie a FACTORISATION P() = a( )( ) P() = a( α)² Pas de factorisatio + α + + TABLEAUX DE SIGNES Sige de P() sige de a opposé du sige de a sige de a Sige de P() sige de a sige de a Sige de P() sige de a Memeto mathématiques ère S
3. NOMBRE DERIVE Si a et b sot deu réels de l'itervalle I avec a<b, le tau de variatio t de f etre a et b (ecore f ( b) f ( a) appelé accroissemet moye) est doé par t = b a Iterprétatio graphique: Si A( a; f ( a )) est le poit de d'abscisse a, et B( b; f ( b )) est le poit de d'abscisse b, alors le tau de variatio t est le coefficiet directeur de la corde ( AB ) : Soit h u réel tel que a + h soit das I. f ( a + h) f ( a) f ( a + h) f ( a) Le tau de variatio de f etre a et a + h est doé par t( h) = = ( a + h) a h Si, quad h ted vers, cet accroissemet admet pour limite u réel l, alors o dit que la foctio f est dérivable e a. df Cette limite est appelée ombre dérivé de f e a, et est otée f '(a) (ou parfois ( a) ) d f ( a + h) f ( a) O a f '( a) = lim t( h) = lim h h h Théorème: tagete f '( a ) est le coefficiet directeur de la droite tagete à la courbe au poit A de coordoées ( a; f ( a )). L'équatio réduite de cette tagete est doée par y = f '( a)( a) + f ( a) Théorème: approimatio affie d'ue foctio Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I, et soit a I tel que f soit dérivable e a. Alors pour tout réel h tel que a + h I, o a: f ( a + h) = f ( a) + hf '( a) + hε ( h) où ε est ue foctio qui ted vers lorsque h ted vers 4. FONCTION DERIVEE Soit f ue foctio dot l'esemble de défiitio sera désigé par das f D f. Soit I u itervalle iclus D, sur lequel f est dérivable (c'est-à-dire que f admet u ombre dérivé e tout a I ). Alors o peut défiir ue foctio qui, à tout de I associe le ombre dérivé de f e, oté f '( ). Cette foctio est appelée foctio dérivée de f sur I, et est otée f '. Memeto mathématiques ère S
Dérivées des foctios usuelles: Si f ( ) = alors f est dérivable sur et f '( ) = k (costate réelle) ²,, ² + Dérivée et opératios: u et v sot deu foctios défiies et dérivables sur u itervalle I, k est u réel quelcoque. * + Si f ( ) = alors f est dérivable sur et f '( ) = u( ) + v( ) I u '( ) + v '( ) ku( ) I ku '( ) u( ) v( ) I u '( ) v( ) + u( ) v '( ) v( ) u( ) v( ) I, mois les réels tels que v( ) = I, mois les réels tels que v( ) = v '( ) v( )² u '( ) v( ) u( ) v '( ) v( )² u( a + b) I au '( a + b) Par eemple: ( a + b) a( a + ) b Par eemple: a + b ] b ; + [ a a a + b cos si si cos π ta \ + kπ, k + ta ² = cos ² Memeto mathématiques ère S
Théorème: Soit f ue foctio défiie et dérivable sur I Si f est croissate sur I alors la foctio dérivée f ' est positive sur I. Si f est décroissate sur I alors la foctio dérivée f ' est égative sur I. Théorème: Soit f ue foctio défiie et dérivable sur u itervalle I ouvert. Si la foctio dérivée f ' est strictemet positive sur I, alors f est strictemet croissate sur I. Si la foctio dérivée f ' est strictemet égative sur I, alors f est strictemet décroissate sur I. Si la foctio dérivée f ' est ulle sur I, alors f est costate sur I. Soit f ue foctio défiie sur u itervalle ouvert I, et soit c I. O dira que f admet u maimum local M e c si, pour tout réel d'u certai itervalle ouvert J iclus das I, o a f ( ) f ( c) = M O dira que f admet u miimum local m e c si, pour tout réel d'u certai itervalle ouvert J iclus das I, o a f ( ) f ( c) = m Théorème: Soit f ue foctio défiie et dérivable sur u itervalle ouvert I. Si f présete u etremum local e c I, alors f '( c ) = Théorème réciproque: Soit f ue foctio défiie et dérivable sur u itervalle ouvert I. Soit c I. Si f '( c ) = et si f ' chage de sige e c alors f admet u etremum local e c. 5. COMPORTEMENTS ASYMPTOTIQUES DE FONCTIONS a) Limites e + et Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I du type [ α ; + [ où α. O se fie u ombre réel A aussi grad que l'o veut. Supposos qu'il est alors possible de trouver u réel a tel que f ( ) > A pour tout > a (au fial, cela peut se traduire par " f ( ) est aussi grad que l'o veut dès lors que est assez grad"). Das ce cas o dira que f ( ) ted vers + lorsque ted vers + (ou ecore que f admet + comme limite e + ), et o otera lim f ( ) = + O défiit de maière tout à fait aalogue: lim f ( ) = lim f ( ) = + lim f ( ) = A reteir: limites des foctios de référece: Limites e + : lim = + lim ² = + lim = + lim Limites e : lim = lim ² = + lim = + si est pair lim = si est impair = + Memeto mathématiques ère S
Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I du type [ α ; + [ où α. O se fie u ombre réel positif ε aussi petit que l'o veut. Supposos qu'il eiste u réel L tel qu'il soit possible de trouver u réel a tel que f ( ) L < ε pour tout > a (au fial, cela peut se traduire par " f ( ) est aussi proche de L que l'o veut dès lors que est assez grad": les valeurs de la foctio f vieet s'accumuler autour de L). Das ce cas o dira que f ( ) ted vers L lorsque ted vers + (ou ecore que f admet L comme limite e + ), et o otera lim f ( ) = L O défiit de maière tout à fait aalogue lim f ( ) = L A reteir: limites des foctios de référece: Limites e + : lim = lim ² = lim = lim = Limites e : lim = lim ² = lim = 3 asymptote horizotale Lorsque lim f ( ) = L (ou lim f ( ) = L ) o dit que la droite d'équatio ( y = L) est asymptote à la courbe représetative de f e + (resp. e ). asymptote oblique Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I du type [ α ; + [ où α. Supposos que f admette ue limite ifiie e + (i.e. lim f ( ) = + ou lim f ( ) = ). O dira que la droite d'équatio ( y = a + b), avec a, est asymptote oblique à la courbe représetative de f e + lorsque lim [ f ( ) ( a + b)] =. b) Limites e u réel a Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I du type ] ; a[ ou ] b; a[. Si les valeurs de f ( ) devieet aussi grades que l'o veut dès lors que est assez proche de a (tout e restat das l'itervalle I ), alors o dira que f ( ) ted vers + lorsque ted vers a par valeurs iférieures (ou ecore que f admet + comme limite à gauche e a ), et o otera lim f ( ) = + ou lim f ( ) = + a < a Soit f ue foctio défiie sur u itervalle I du type ] a; + [ ou ] a; b[. Si les valeurs de f ( ) devieet aussi grades que l'o veut dès lors que est assez proche de a (tout e restat das l'itervalle I ), alors o dira que f ( ) ted vers + lorsque ted vers a par valeurs supérieures (ou ecore que f admet + comme limite à droite e a ), et o otera lim f ( ) = + ou lim f ( ) = + a + > a a O défiit de maière totalemet aalogue lim f ( ) = ou lim f ( ) = a asymptote verticale Lorsque lim f ( ) = ± (ou lim f ( ) = ± ) o dit que la droite d'équatio ( = a) est asymptote à a a > a la courbe représetative de f. < a a + a Memeto mathématiques ère S
A reteir: limites des foctios de référece: Limites e + : lim > = + lim ² > = + Limites e : lim = < lim ² = + < lim = + > < < lim = + > lim = + si est pair lim = si est impair c) Opératios sur les limites: Produit d'ue foctio par u réel o ul lim f L + lim ( kf ) avec k > kl + lim ( kf ) avec k < kl + Somme de deu foctios lim f L L L + lim f lim g L' + + + ( g ) + L+L' + +??? Produit de deu foctios lim f L L < L < L > L > lim g L' + + + ou ( g ) lim f L L ' + +??? Quotiet de deu foctios Si lim g est o ulle: lim f L L < L < L > L > + ou lim g L ' + + + ou lim ( f g ) Si lim g est ulle: L L ' + +??? lim f L < L < L > L > lim g + + lim ( f g ) + +??? Pour lever les idétermiatios : Théorème: La limite d'u polyôme e ± est la limite de so terme de plus haut degré. La limite d'ue foctio ratioelle e ± est la limite du quotiet des termes de plus haut degré du umérateur et du déomiateur. Memeto mathématiques ère S
6. SUITES NUMERIQUES Ue suite u est ue foctio u : u( ) = u dot l'esemble de défiitio est (ou ue partie de ): à chaque etier aturel o associe u ombre réel otéu, appelé terme de rag (ou d'idice ) de la suite u ( u) = Modes de géératio d'ue suite: soit par ue défiitio eplicite du terme de rag, du type u = f ( ) où f est ue foctio défiie sur u itervalle du type [ a ; + [ où a est u réel. soit par ue relatio dite de récurrece du typeu = + f ( u), avec u foctio défiie sur u itervalle I telle que f ( I) I = a, où f est ue Dire qu'ue suite u = ( u) est: strictemet croissate à partir du rag p sigifie que, p, o a u + u strictemet décroissate à partir du rag p sigifie que, p, o a u + u statioaire à partir du rag p sigifie que, p, o a u = + u E particulier: Soit ( ) ue suite défiie par u = f ( ), avec f défiie sur [; + [ ; u Si f est strictemet croissate, alors ( u ) Si f est strictemet décroissate, alors ( u ) Si jamais tous les termes de la suite ( u ) le quotiet u+ u à est strictemet croissate est strictemet décroissate sot strictemet positifs, o peut égalemet comparer Ue suite ( ) u u Ue suite ( ) Ue suite ( u ) est dite miorée s'il eiste u réel m tel que, o ait u est dite majorée s'il eiste u réel M tel que, o ait u est dite borée si elle est à la fois miorée et majorée. m M Suites arithmétiques: Dire que ( u ) est ue suite arithmétique sigifie qu'il eiste u réel r, appelé raiso de cette suite, telle que, pour tout etier aturel, o ait: u = u + + r Pour recoaître ue suite arithmétique: Ue suite ( u ) est ue suite arithmétique si et seulemet si,, u+ u est u réel fie. Si ( u) est ue suite arithmétique de er terme u et de raiso r, alors,, o a u = u + r et pour tous, p, o a u = u p + ( p) r ( + ) La somme des premiers etiers aturels o uls est doée par : + +... + = La somme S de N termes cosécutifs d'ue suite arithmétique, de premier terme a et de derier a + b terme b est doée par : S = N Memeto mathématiques ère S
Suites géométriques: Dire que ( u ) est ue suite géométrique sigifie qu'il eiste u réel q, appelé raiso de cette suite, telle que, pour tout etier aturel, o ait: u = + qu Pour recoaître ue suite géométrique: Ue suite ( u ) est ue suite géométrique si et seulemet si elle est à termes o uls et si,, u+ u est u réel fie. Si ( u) est ue suite géométrique de er terme u et de raiso r, p alors,, o a u = uq et pour tous, p, o a u = u pq La somme des premiers termes d'ue suite géométrique de raiso q et de premier terme est + q doée par : + q + q +... + q = q La somme S de N termes cosécutifs d'ue suite géométrique de premier terme a, de derier terme b N q et de raiso q est doée par : S = a q limite ifiie O se fie u ombre réel A positif aussi grad que l'o veut. Supposos qu'il est alors possible de trouver u etier aturel N tel que u > A pour tout N (au fial, cela peut se traduire par " u est aussi grad que l'o veut dès lors que est assez grad"). Das ce cas o dira que la suite ( u ) a pour limite +, et o otera lim u = + O défiit de maière aalogue lim u + = A reteir: limites ifiies de suites de référece: 3 4 Les suites de termes géérau,,,, ot pour limite +. limite fiie O se fie u ombre réel positif ε aussi petit que l'o veut. Supposos qu'il eiste u réel L tel qu'il soit possible de trouver u etier aturel N tel que u L < ε pour tout N (autremet dit + tel que L ε < u < L + ε pour tout N ). Cela peut se traduire - au choi - par: u est aussi proche de L que l'o veut dès lors que est assez grad; Les valeurs des termes la suite ( u ) vieet s'accumuler autour de L; Tout itervalle ouvert cetré sur L cotiet tous les termes de la suite ( u ) à partir d'u certai rag. Das ce cas o dira que la suite ( u ) est covergete, et qu'elle ted vers L (ou ecore qu'elle admet L comme limite), o otera lim u = L. + A reteir: limites fiies de suites de référece: Les suites de termes géérau,,,, 3 4 ot pour limite. Propriété Soit ( u ) ue suite dot o coaît ue défiitio eplicite u = f ( ), où f est ue foctio défiie sur u itervalle du type [ a ; + [. Si f admet ue limite fiie ou ifiie e +, alors la suite ( u ) admet la même limite. Memeto mathématiques ère S
Théorème des gedarmes: Soiet ( u ), ( v ), ( w ) trois suites telles que, à partir d'u certai rag p, o ait: u v w. Si ( u ) et ( w ) sot toutes les deu covergetes, de limite commue L, alors la suite ( v ) est elle aussi covergete, de limite L. Opératios sur les limites Les résultats éocés à propos de la limite e + d'ue somme, d'u produit ou d'u quotiet de foctios restet vrais pour les suites: Limites des suites arithmétiques et géométriques: De maière évidete, toute suite arithmétique est divergete: vers + si sa raiso r est strictemet positive vers si sa raiso r est strictemet égative. De maière évidete: Si q alors la suite ( u ) est divergete (et 'admet pas de limite). Si < q < alors lim q = et doc ( ) + u Si q = alors la suite ( ) Si q > alors lim q (si u < ) + u coverge vers : lim u = + est costate, et doc ( u) coverge vers u : lim u = u + = + et doc ( u) diverge: lim u = + (si u > ) ou lim u = + + 7. GEOMETRIE DANS L'ESPACE Si deu droites et sot situées das u même pla, elles sot dites coplaaires Défiitios: parallélisme Deu droites sot dites strictemet parallèles etre elles lorsqu'elles sot coplaaires et sas poit commu Deu plas sot dits strictemet parallèles etre eu lorsqu'ils 'ot aucu poit commu. Ue droite et u pla sot dits strictemet parallèles lorsqu'ils 'ot aucu poit commu. Défiitios: orthogoalité Deu droites d et d' (o écessairemet coplaaires) sot dites orthogoales etre elles sigifie que les parallèles à d et d' meées par u poit O quelcoque de l'espace sot perpediculaires das le pla qu'elles formet. Soit d ue droite sécate à u pla (P). O dira que la droite d est orthogoale au pla (P) si d est perpediculaire à toutes les droites de (P). Positios relatives de deu droites Deu droites coplaaires peuvet être soit sécates ( u seul poit commu ), soit strictemet parallèles ( aucu poit commu ) soit cofodues ( tous leurs poits e commu ). Positios relatives de deu plas. Deu plas peuvet être Memeto mathématiques ère S
soit strictemet parallèles ( s'ils 'ot aucu poit e commu ), soit sécats ( selo ue droite ), soit cofodus ( s'ils ot tous leurs poits e commu ). Positios relatives d'ue droite et d'u pla. Ue droite d et u pla (P) peuvet être soit: strictemet parallèles ( sas aucu poit commu ), soit sécats ( u seul poit commu ). La droite d peut égalemet être icluse das le pla (P). Théorème du toit: Soiet deu plas (P) et (P') sécats selo ue droite. Si l'o suppose que (P) cotiet ue droite d, que (P') cotiet ue droite d', telles que ces deu droites d et d' soiet parallèles, alors o peut dire que est parallèle à d et d'. Théorème des plas parallèles: Si deu plas sot parallèles, alors tout pla qui coupe l'u coupe l'autre, et les deu droites d'itersectio obteues sot parallèles. Propriété: parallélisme d'ue droite et d'u pla Soit u pla (P) coteat ue droite d. Toute droite d' parallèle à d est parallèle au pla (P) tout etier. Propriété: parallélisme de deu droites Soiet d et d' deu droites parallèles das l'espace. Alors: tout pla parallèle à d est parallèle à d'. toute droite parallèle à d est parallèle à d'; Propriété: parallélisme de deu plas Soiet (P) et (P') deu plas parallèles das l'espace. Alors: toute droite parallèle à (P) est parallèle à (P'). tout pla parallèle à (P) est parallèle à (P'). Théorème de la porte: Pour qu'ue droite d et u pla (P) soiet orthogoau, il suffit que d soit orthogoale à deu droites sécates du pla (P). d est alors orthogoale à toutes les droites coteues das (P). Propriétés: orthogoalité d'ue droite et d'u pla Deu plas orthogoau à ue même droite sot parallèles. Deu droites orthogoales à u même pla sot parallèles etre elles. Si deu plas sot parallèles, alors toute droite orthogoale à l'u est orthogoale à l'autre. Si deu droites sot parallèles, alors tout pla orthogoal à l'ue est orthogoal à l'autre Soiet A et B deu poits disticts de l'espace; l'esemble des poits M tels que MA = MB (poits équidistats de A et B) forme u pla, orthogoal à la droite (AB) passat par le milieu de [AB]. Ce pla est appelé pla médiateur du segmet [AB]. Memeto mathématiques ère S
8. VECTEURS DE L'ESPACE Etesio de la otio de vecteur à l'espace. La otio de vecteur du pla s'éted aturellemet à l'espace: aisi, leur défiitio leur caractérisatio par directio, ses et orme L'égalité de deu vecteurs l'additio de deu vecteurs ( + relatio de Chasles ) la multiplicatio d'u vecteur par u ombre réel sot des otios qui restet ichagées, que l'o se place das le pla ou das l'espace. vecteurs coliéaires O dit que deu vecteurs u et v o uls sot coliéaires lorsque u et v ot même directio, c'est à dire quad il eiste u réel k o ul tel que v = ku. vecteurs coplaaires Trois vecteurs u, v et w sot dits coplaaires lorsque, ayat choisi u poit O quelcoque, et défii les poits A, B et C par u = OA, v = OB et w = OC, o trouve que les poits O, A, B et C sot coplaaires (situés das u même pla). Théorème: caractérisatio de la coplaarité u, v et w sot trois vecteurs tels que u et v e sot pas coliéaires. Alors dire que les vecteurs u, v et w sot coplaaires équivaut à dire qu'il eiste deu réels α et β tels que w = αu + β v. U repère de l'espace est la doée d'u poit O appelé origie du repère, et de trois vecteurs o coplaaires i, j et k format ce que l'o appelle ue base.,k Soiet I, J et K les trois poits de l'espace tels que i = OI, j = OJ et k = OK ( O; i, j, k) est dit repère orthogoal de l'espace si les droites (OI), (OJ) et (OK) sot perpediculaires deu à deu. Si de plus OI = OJ = OK = le repère est dit orthoormal O Théorème-défiitio: Das u repère ( O; i, j, k) de l'espace, à tout poit M o peut associer u ( et u seul ) triplet de ombres ( ; y; z ) tel queom = i + y j + zk. O ote M ( ; y; z) où est l'abscisse, y est l'ordoée et z la cote du poit M. Le triplet ( ; y ; z ) est appelé triplet de coordoées cartésiees de M das le repère ( O; i, j, k) Soit u u vecteur. Das u repère ( O; i, j, k) de l'espace, otos M le poit tel que OM = u. M a pour coordoées ( ; y; z ) das ce repère, d'où. u = OM = i + y j + zk O dit que le vecteur u a pour coordoées ( ; y; z) das ce repère. O ote u y. z,i,j Propriétés: Memeto mathématiques ère S
' Dire que u y et v y ' sot égau reviet à dire que = ', y = y ' et z = z ' z z ' ' k + ' u y et v y ' sot deu vecteurs. Alors pour tout k, o a ku ky et u + v y + y ' z z ' kz z + z ' ' Si M ( ; y; z ) et M '( '; y '; z ') sot deu poits de l'espace, alors MM ' y ' y z ' z Si M ( ; y; z ) et M '( '; y '; z ') sot deu poits de l'espace, alors le milieu I de [ MM '] a pour coordoées + ' y + y ' z + z ' I ; ; Théorème: Das u repère orthoormal, si o a M ( ; y; z ) et M '( '; y '; z '), alors MM '² = ( ' )² + ( y ' y)² + ( z ' z)². Si le pla ou l'espace est mui d'u repère, alors ue équatio cartésiee d'ue figure F est ue relatio vérifiée par les coordoées de tous les poits de F, et seulemet par les coordoées des poits de F. Théorème: Tout pla parallèle au pla ( Oy) admet ue équatio cartésiee du type ( z = a), où a Tout pla parallèle au pla ( yoz ) admet ue équatio cartésiee du type ( = b) où b Tout pla parallèle au pla ( Oz ) admet ue équatio cartésiee du type ( y = c), où c Défiitio-théorème: La sphère S de cetre O (origie du repère) et de rayo R > est l'esemble des poits M de l'espace vérifiat OM = R. Ue équatio cartésiee de cette sphère est ² + y² + z² = R² Théorème: Ue équatio cartésiee du cylidre de rayo R> ayat ( O) pour ae de révolutio est: y² + z² = R² Ue équatio cartésiee du cylidre de rayo R> ayat ( Oy) pour ae de révolutio est: ² + z² = R² Ue équatio cartésiee du cylidre de rayo R> ayat ( Oz) pour ae de révolutio est: ² + y² = R² Théorème: Ue équatio cartésiee du côe de sommet O ayat ( O) pour ae de révolutio est: y² + z² a² = où a est u réel strictemet positif Ue équatio cartésiee du côe de sommet O ayat ( Oy) pour ae de révolutio est: ² + z² ay² = où a est u réel strictemet positif Ue équatio cartésiee du côee de sommet O ayat ( Oz) pour ae de révolutio est: ² + y² az² = où a est u réel strictemet positif Memeto mathématiques ère S
9. BARYCENTRES Par la suite E désigera idifféremmet le pla ou l'espace Si A est u poit de E, et si α est u réel, alors le couple (A;α) est appelé poit podéré de poids α, ou ecore poit affecté du coefficiet α. Théorème : barycetre de deu poits Si (A;α) et (B;β) sot deu poits podérés tels que α + β, alors il eiste u uique poit G vérifiat la relatio vectorielle α,ga + β,gb =,, appelé barycetre du système de poits podérés {(A;α);(B;β)} β Formule de placemet: das ce cas o a AG = AB α + β Si α = β, alors le poit G est appelé isobarycetre des poits A et B. G est ici le milieu du segmet [AB]. Propriété d'homogééité: Soit k *. Si G est le barycetre de {(A;α);(B;β)}, alors G est le barycetre de {(A;kα);(B;kβ)}. Propriété de réductio d'ue epressio vectorielle: Si G est le barycetre de {(A;α);(B;β)}, alors, pour tout poit M de E, o a α MA + β MB = ( α + β ) MG Théorème: barycetre de trois poits Si (A;α),(B;β) et (C;γ) sot trois poits podérés tels que α + β + γ, alors il eiste u uique poit G vérifiat la relatio vectorielle αga + βgb + γ GC =, appelé barycetre du système de poits podérés {(A;α);(B;β);(C;γ)} Formule de placemet: o a alors AG β γ = AB + AC α + β + γ α + β + γ lorsque α = β = γ, G est appelé isobarycetre des poits A, B et C. G est ici le cetre de gravité du triagle ABC. Propriété d'homogééité: Soit k *. Si G est le barycetre de {(A;α);(B;β);(C;γ)}, alors G est le barycetre de {(A;kα);(B;kβ);(C;kγ)}. Propriété: réductio d'ue epressio vectorielle: Si G est le barycetre de {(A;α);(B;β);(C;γ)}, alors, pour tout poit M de E, o a α MA + β MB + γ MC = ( α + β + γ ) MG Propriété d'associativité du barycetre Soit G le barycetre de {(A;α);(B;β);(C;γ)}. Supposos que α + β, et que l'o appelle H le barycetre de {(A;α);(B;β)}. Alors G est le barycetre de {(H;α+β);(C;γ)} O gééralise de faço aturelle les résultats établis pour les barycetres de deu ou trois poits: Memeto mathématiques ère S
Théorème: coordoées du barycetre Das u repère ( O; i, j) du pla (resp. ( O; i, j, k) de l'espace, si G est le barycetre de {(A ;α );(A ;α ); ;(A N ;α N )} où les poits A i, i N, ot pour coordoées ( i ;y i ) (resp. ( i ;y i ;z i )), alors G a pour coordoées: i= N i= N αi i αi yi i= i= G = y i= N G = i= N zg = αi α i i= i= Pour N = α A + β B α y Si G est le barycetre de {(A;α);(B;β)} alors G = yg = α + β α Pour N = 3 α A + β B + γ C Si G est le barycetre de {(A;α);(B;β);(C;γ)} alors G = α + β + γ z G α z + β z + γ z = α + β + γ A B C i= N α z α i i i i= i= N i= + β y + β α z + β z α + β A B A B,, zg = α y + β y + γ y α + β + γ A B C, yg =,. ANGLES ORIENTES Orieter u cercle, c'est choisir u ses de parcours sur ce cercle appelé ses positif ( ou direct).l'autre ses est appelé ses égatif ( ou idirect, ou rétrograde). Orieter le pla, c'est orieter tous les cercles du pla das le même ses. L'usage est de choisir pour ses direct le ses cotraire des aiguilles d'ue motre ( appelé aussi ses trigoométrique ) Soiet u et v deu vecteurs o uls du pla orieté, O u poit quelcoque et le cercle trigoométrique de cetre O ( qui est u cercle orieté de rayo ). Soiet A ' et B ' les poits défiis par OA' = u et OB ' = v. Les demi-droites [OA') et [OB') coupet le cercle trigoométrique respectivemet e A et e B. Les vecteurs OA = u et OB = v sot uitaires ( c'est-à-dire de orme égale à ), u v respectivemet coliéaires à u et v et de même ses qu eu. Au couple ( OA; OB) o associe ue famille de ombres de la forme α + kπ, k ( où α est la logueur de l'arc AB parcouru de A vers B das le ses direct ). Chacu de ces ombres est ue mesure e radias l'agle orieté de vecteurs ( u; v). Si α est ue mesure de l'agle ( u; v), alors toute autre mesure de ( u; v) est de la forme α kπ, O écrira ( u; v) = α (π) + k. Ue seule des mesures de l agle orieté de vecteurs ( u; v) appartiet à l'itervalle ] -π ; π ]. O l'appelle mesure pricipale de l agle orieté de vecteurs ( u; v) Memeto mathématiques ère S
Agles et coliéarité, agles et orthogoalité Soiet u et v deu vecteurs o uls du pla orieté. Dire que u et v sot coliéaires reviet à dire que la mesure pricipale de ( u; v) est égale à ( π ). ( si u et v sot de même ses ) ou alors que la mesure pricipale de ( u; v) est égale à π ( π ) ( siu et v sot de ses opposés ) Dire que u et v sot orthogoau reviet à dire que la mesure pricipale de ( u; v) est égale à π π ( π ) ou à ( π ). Relatio de Chasles: Pour tous vecteurs u, v, w o uls o a ( u; v) + ( v; w) = ( u; w) (π) Propriétés: ( v; u) = ( u; v) ( π ) ( u; v) = π + ( u; v) ( π ) ( u; v) = π + ( u; v) ( π ) ( u; v) = ( u; v) ( π ) rotatio Soiet O u poit du pla, et α u réel. La rotatio de cetre O et d'agle α est l'applicatio du pla das lui-même qui, à tout poit M distict de O, associe le poit M ' défii par: OM ' = OM ( OM ; OM ') = α( π ) est le cercle trigoométrique. TRIGONOMETRIE; REPERAGE POLAIRE A tout réel t correspod u uique poit M de tel que ( i; OM ) = t (π). Le cosius du ombre réel t, oté cos t, est l'abscisse de M das ( O; i; j) Le sius du ombre réel t, oté si t, est l'ordoée de M das ( O; i; j). Efi La tagete du ombre réel t, pour t π + kπ, k, otée ta t, est le quotiet de si t par cos t. De plus, si N est le poit d'itersectio de (OM) avec l'ae ( A; j), ta t est l'ordoée du poit N das ( O; i; j) Si t désige ue mesure e radias d'u agle orieté de vecteurs ( u; v), alors toute autre mesure s'écrit t + kπ, k. Toute cette famille de ombres est associée au poit M, et, pour tout k : cos(t + kπ) = cos t et.si(t + kπ) = si t Aisi o défiit le cosius (resp. le sius) de l'agle orieté de vecteurs ( u; v), oté cos ( u; v) (resp. si ( u; v) ), comme le cosius (resp. le sius) de l'ue quelcoque de ses mesures e radias.. Memeto mathématiques ère S
Valeurs remarquables: t π/6 π/4 π/3 π/ π cos t 3 si t 3 Propriétés: t, cos ² t + si ² t = Agles associés: t cos( t) = cost si( t) = si t cos( π t) = cost si( π t) = si t cos( π + t) = cost si( π + t) = si t π cos si t = t π si cos t = t π π cos + t= si t si + t= cost Formules d'additio a, b cos( a + b) = cos a cosb si asi b si( a + b) = si a cosb + si bcos a a, b cos( a b) = cos a cosb + si asi b si( a b) = si a cosb si bcos a Formules de duplicatio a cos( a) = cos ² a si ² a = cos ² a = si ² a si( a) = si a cos a Défiitio : repérage polaire Pour tout poit M du pla, distict de l'origie O, u couple de coordoées polaires de M est u couple ( ρ; θ ), avec ρ > et θ, tel que ρ = OM et θ = ( i; OM )( π ). O otera M[ ρ; θ ]. Propriété : Passage des coordoées polaires au coordoées cartésiees, et vice-versa: Si M ( distict de l'origie O )a pour coordoées polaires [ ρ; θ ], alors les coordoées = ρ cosθ cartésiees de M sot doées par y = ρ siθ Si M ( distict de l'origie O )a pour coordoées cartésiees (;y), alors u couple de ρ = ² + y² coordoées polaires de M est[ ρ; θ ], avec cosθ = ² + y² siθ = y ² + y² Memeto mathématiques ère S
. PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN Soiet u et v deu vecteurs o uls du pla. Le produit scalaire de deu vecteurs u et v, oté u v, est le ombre réel défii par: u v = u v cos ( u; v) Si u et v sot coliéaires de même ses, alors o a u v = u v car cos ( u; v ) =. Si u et v sot coliéaires de ses cotraires, alors o a u v = u v cos u; v =. car ( ) Produit scalaire et projetés orthogoau: Soiet u et v deu vecteurs o uls du pla. Soiet A, B et C les poits tels que u = AB, v = AC, et H est le projeté orthogoal de C sur (AB), alors AB AH si AB et AH sot de meme ses u v = AB AC = AB AH = AB AH si AB et AH sot de ses opposés Plus gééralemet, si A, B, C, D sot les poits du pla tels que u = AB et v = CD, et si H et K sot les projetés orthogoau respectifs de C et D sur (AB), alors o a: AB HK si AB et HK sot de meme ses u v = AB CD = AB HK = AB HK si AB et HK sot de ses cotraires Propriétés: Pour tous vecteurs u et v du pla Le produit scalaire est symétrique: u v = v u Le produit scalaire est liéaire: Pour λ u ( λv) = ( λu) v = λ( u v) et u ( v + w) = u v + u w Egalités remarquables: ( u + v) = ( u + v) ( u + v) = u + u v + v ( u v) = ( u v) ( u v) = u u v + v u + v u v = u v ( ) ( ) Autremet dit u + v = u + v + u v Autremet dit u v = u + v u v u + v u v = u v Autremet dit ( ) ( ) Remarque: Ceci ous fourit ue troisième epressio du produit scalaire u v : ( ) u v = u + v u v Théorème: Deu vecteurs u et v sot orthogoau si et seulemet si leur produit scalaire est ul. u v u v = Propriété: le pla est rapporté à u repère orthoormal ( O; i; j) ; Soiet u et v deu vecteurs ' du pla, de coordoées respectives et y y '. O a u v = ' + y y ' ' Aisi, deu vecteurs u et v sot orthogoau si et seulemet si. ' + y y ' = y y ' Memeto mathématiques ère S
Relatios d'al-kashi: C'est ue gééralisatio du théorème de Pythagore: Soit ABC u triagle quelcoque; o pose AB = c, BC = a et AC = b. O a les relatios suivates: a² = b² + c² bc cosa b² = a² + c² ac cos B c² = a² + b² ab cosc Formule des sius: Soit ABC u "vrai" triagle (ie o aplati), d'aire S. O pose AB = c, BC = a et AC = b. O a les égalités suivates: si si si a b c abc S = bc A = ac B = ab C et = = = sia si B si C S Formules de la médiae: Soiet M, A et B trois poits du pla; soit I le milieu de [AB]. O a les égalités suivates: MA² + MB² = MI ² + AB² MA² MB² = MI BA MA MB = MI ² IA² Applicatio du produit scalaire au équatios cartésiees de droites et de cercles Soit d ue droite du pla, et u vecteur o ul. O dira que est u vecteur ormal à d si et seulemet si est orthogoal à u vecteur directeur u de la droite d. Théorème: Das u repère quelcoque du pla, toute droite admet ue équatio du type a + by + c =, où a, b et c sot trois réels. Réciproquemet, l'esemble des poits M ( ; y ) du pla tels que a + by + c =, avec a et b réels b o simultaémet uls, est ue droite de vecteur directeur u. a Théorème: Si o se place das u repère orthoormal: Toute droite d'équatio cartésiee a + by + c = avec ( a; b) (;) admet pour vecteur a ormal le vecteur. b Si u vecteur a o ul de coordoées est ormal à ue droite d, alors cette droite admet b ue équatio cartésiee de la forme a + by + c =. Propriété: Si deu droites d et, das u repère orthoormal, ot pour équatios cartésiees respectives a + by + c = et a ' + b' y + c ' =, alors d si et seulemet si a a ' + b b' =. Propriété: Si deu droites d et o parallèles à (Oy), das u repère orthoormal, ot pour équatios cartésiees réduites respectives y = m + p et y = m' + p ', alors d mm ' =. Memeto mathématiques ère S
Théorème: Le cercle C de cetre Ω ( a; b) de rayo R est l'esemble des poits M ( ; y ) du pla tels que ( ) ( ) a + y b = R. Ceci costitue ue équatio cartésiee du cercle C, qui peut être doée sous forme développée par ² + y² + α + β y + γ = Réciproquemet, l'esemble des poits M ( ; y ) du pla vérifiat l'équatio cartésiee ² + y² + α + β y + γ = α β avec α ² + β ² 4γ > est u cercle de cetre Ω ; et de rayo R = ( α ² + β ² 4 γ ) 4 Remarque: Le cercle C de diamètre [AB] est l'esemble des poits M ( ; y ) du pla tels que l'o ait MA MB = 3. TRANSLATIONS ET HOMOTHETIES Soit u u vecteur. La traslatio de vecteur u, otée t u, est l'applicatio de l'espace das lui-même défiie qui, à tout poit M, associe le poit M ' tel que MM ' = u. t ( M ) = M ' MM ' = u Premières coséqueces: Ue traslatio de vecteur o ul 'admet aucu poit ivariat (u poit ivariat est u poit qui est cofodu avec sa propre image) La traslatio de vecteur ul est l'idetité de l'espace (tous les poits sot cofodus avec leur propre image) Tout poit de l'espace admet u uique atécédet par la traslatio t u (e fait, o a t ( M ) = M ' u M = t ( M ') u ) Si t ( M ) = M ' et t ( N ) = N ', alors M ' N ' = MN u u Soit O u poit de l'espace, et k u réel o ul. L'homothétie de cetre O et de rapport k, otée h O, k, est l'applicatio de l'espace das lui-même défiie qui, à tout poit M, associe le poit M ' tel que OM ' = kom h, ( M ) = M ' OM ' = kom O k Premières coséqueces: Ue traslatio de rapport égal à est l'idetité de l'espace (tous les poits sot cofodus avec leur propre image). Ue homothétie de rapport égal à est la symétrie de cetre O. Ue homothétie de rapport différet de 'admet qu'u seul poit ivariat (u poit ivariat est u poit qui est cofodu avec sa propre image): so cetre. Si h, ( M ) = M ' avec M distict de O alors O, M et M ' sot aligés. O k Tout poit de l'espace admet u uique atécédet par l'homothétie h O, k (e fait, o a ho, k ( M ) = M ' M = h ( M ') ) O, k Si h, ( M ) = M ' et h, ( N) = N ', alors M ' N ' = kmn O k O k u Memeto mathématiques ère S
4. PROBABILITES Défiitios: Chaque résultat possible et prévisible d'ue epériece aléatoire est appelé évetualité liée à l'epériece aléatoire. L'esemble formé par les évetualités liées à ue epériece aléatoire est appelé uivers de l'epériece; il est très souvet oté Ω. U évéemet de l'epériece aléatoire est ue partie quelcoque (u sous-esemble) de l'uivers. U évéemet e compreat qu'ue seule évetualité est qualifié d'évéemet élémetaire. L'évéemet qui e cotiet aucue évetualité est qualifié d'évéemet impossible, et est oté. L'évéemet qui est composé de toutes les évetualités (c'est-à-dire Ω lui-même) est appelé évéemet certai. Soiet A, B deu évéemets. L'évéemet A et B est l évéemet qui se réalise lorsque A et B se réaliset simultaémet. O le ote A B. L'évéemet A ou B est l évéemet qui se réalise lorsque au mois l u des évéemets A et B se réalise. O le ote A B. Deu évéemets A et B d'ue epériece aléatoire serot dits icompatibles lorsqu'ils 'ot aucue évetualité e commu (c'est-à-dire lorsque l'itersectio des sous-esembles A et B est vide: A B = ). Pour tout évéemet A il eiste u évéemet oté A, et appelé évéemet cotraire de A, qui est composé des élémets de Ω qui e sot pas das A. O a e particulier A A = Ω Propriétés: U évéemet A et so évéemet cotraire A sot icompatibles: A A =. Le cotraire de l'évéemet A est A lui-même: A = A. Le cotraire de l'évéemet impossible est l'évéemet certai: = Ω. Défiir ue loi de probabilité sur l'uivers Ω = { ω; ω;...; ω} d'ue epériece aléatoire, c'est associer à chaque évetualité ωi Ω u ombre pi [;] de telle sorte que p + p +... + p = Chaque ombre p i est appelé probabilité de l'évetualité ω i. O doe souvet ue loi de probabilité sous la forme d'u tableau: ω ω ω 3 ω 4 ω évetualités p p p 3 p 4 p probabilités Défiitio : Ue situatio d'équiprobabilité est ue situatio das laquelle à chaque évetualité de l'uivers Ω = { ω; ω;...; ω} o a associé la même probabilité p i ; das ce cas o a alors. p = p =... = p =. O dit aussi que la loi de probabilité est équirépartie. Défiitio : Si les évetualités ω, ω,..., ω de l'epériece aléatoire sot des ombres réels, alors o peut défiir: l'espérace de cette loi par E = pω + pω +... + pω Memeto mathématiques ère S
la variace de cette loi P par V = p ( ω E)² + p( ω E)² +... + p ( ω E)² l'écart-type de cette loi P par σ = V Supposos qu'ue loi de probabilité soit défiie sur l'uivers Ω = { ω; ω;...; ω} associé à ue epériece aléatoire. La probabilité d'u évéemet A, otée p( A ), est alors défiie comme la somme des probabilités p i des évetualités ω i qui le composet. U cas particulier: l'équiprobabilité Das ce cas o peut calculer la probabilité de 'importe quel évéemet A par : ombre d'élémets de A p( A ) = ombre d'élémets de Ω que l'o peut aussi écrire ombre de cas favorables p( A ) = ombre de cas possibles Propriétés: Pour tout évéemet A o a p( A). La probabilité de l'évéemet certai Ω est égale à, celle de l'évéemet impossible est égale à : p( Ω ) = et p( ) =. A B P( A) P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) ; e particulier: Si A et B sot deu évéemets icompatibles, alors o a p( A B) = p( A) + p( B) Si A est u évéemet, dot l'évéemet cotraire est A, alors o a p( A) = p( A). La loi des grads ombres: " La fréquece epérimetale d'apparitio d'u évéemet lors d'ue répétitio d'epérieces aléatoires se rapproche de la probabilité de réalisatio de cet évéemet lorsque le ombre d'epérieces réalisées est grad " Soit Ω l'uivers associé à ue epériece aléatoire. Ue variable aléatoire est ue foctio X défiie sur Ω et à valeurs das Lorsqu'à chaque valeur i prise par ue variable aléatoire X, o associe la probabilité p = p( X = ), o dit que l'o défiit la loi de probabilité de X. i i Si X est ue variable aléatoire (V.A.) défiie sur Ω, o peut défiir: l'espérace de cette V.A. par E( X ) = p( X = ) + p( X = ) +... + p( X = ) la variace de cette V.A. par V ( X ) = ( E( X ))² p( X = ) + ( E( X ))² p( X = ) +... + ( E( X ))² p( X = ) l'écart-type de cette V.A. par σ ( X ) = V ( X ) Memeto mathématiques ère S