Cours de Mathématiques 2

Cours de Mthémtiques 2 première prtie : Anlyse 2 DEUG MIAS 1 e nnée, 2 e semestre. Mximilin F. Hsler Déprtement Scientifique Interfcultire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fx : 0596 72 73 62 e-mil : mhsler@univ-g.fr version du 21 vril 2002

TABLE DES MATIÈRES Tble des mtières Préfce 3 Préfce à l deuxième édition 4 1 Clcul intégrl 5 1.1 Intégrle de Riemnn.......................... 5 1.1.1 Subdivisions et sommes de Drboux.............. 5 1.1.2 Fonctions Riemnn intégrbles, intégrle de Riemnn.... 7 1.1.3 Sommes de Riemnn...................... 8 1.2 Propriétés de l intégrle de Riemnn.................. 9 1.3 Intégrle de Riemnn et primitives................... 12 1.3.1 Primitive d une fonction continue............... 12 1.4 Prtique du Clcul intégrl....................... 14 1.4.1 Intégrle indéfinie....................... 14 1.4.2 Primitives des fonctions usuelles................ 14 1.4.3 Intégrtion pr prties..................... 15 1.4.4 Formule de Tylor vec reste intégrl............. 16 1.4.5 Chngement de vrible d intégrtion............. 17 1.4.6 Formule de l moyenne générlisée............... 19 1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples 20 1.5.1 Division euclidienne...................... 20 1.5.2 Polynômes irreductibles.................... 20 1.5.3 Pôles et éléments simples................... 21 1.5.4 Clcul des coefficients d une décomposition en éléments simples 23 1.5.5 Appliction u clcul de primitives.............. 25 1.5.6 Primitives des fonctions rtionnelles de sin x et cos x..... 27 1.5.7 Autres frctions rtionnelles.................. 27 2 Fonctions négligebles et équivlentes ; développements limités 29 2.1 Fonctions négligebles......................... 29 2.2 Fonctions équivlentes......................... 31 2.3 Développements limités : définition et propriétés........... 32 2.3.1 D.L. d ordre n en x 0...................... 32 2.3.2 Unicité du D.L.......................... 33 2.3.3 Existence des D.L. Formules de Tylor........... 34 2.3.4 Appliction : D.L. de quelques fct élémentires........ 35 2.4 Opértions sur les D.L.......................... 36 2.4.1 Combinison linéire, produit et quotient de D.L........ 36 2.4.2 Intégrtion d un D.L....................... 36 2.4.3 Composée de D.L........................ 37 2.5 Appliction des D.L. : Etude locle d une courbe........... 37 2 M. Hsler: Anlyse 2

TABLE DES MATIÈRES 2.6 D.L. en ±............................... 37 2.6.1 Appliction : étude d une brnche infinie en ±....... 38 3 Equtions différentielles 39 3.1 Introduction définitions générles.................. 39 3.2 Equtions différentielles du 1 er ordre.................. 39 3.2.1 Eq.diff. à vribles séprées.................. 39 3.2.2 Détermintion de l cte. d intégrtion............. 40 3.3 Equtions différentielles linéires.................... 40 3.3.1 Principe de superposition.................... 41 3.4 Equtions différentielles linéires du 1 er ordre............. 42 3.4.1 Structure de l ens. de solutions................. 42 3.4.2 Résolution de l éqution homogène ssociée......... 42 3.4.3 Solution prticulière pr vrition de l constnte....... 43 3.5 Equtions différentielles linéires du 2 e ordre à coefficients constnts. 44 3.5.1 Définitions........................... 45 3.5.2 Résolution de l éqution homogène ssociée (E.H.)..... 45 3.5.3 Solution prticulière à (E)................... 47 4 Fonctions à vleur dns R 2 : courbes prmétrées 49 4.1 Pln d étude d une courbe prmetrée................. 49 4.2 Etude des brnches infinies....................... 50 4.3 Etude de points prticuliers....................... 51 4.3.1 Tngente en un point sttionnire M(t 0 )............ 51 4.3.2 Position de C/T et nture d un point M(t 0 ).......... 51 4.3.3 Points doubles (ou multiples)................. 52 4.4 Etude d un exemple........................... 53 3

TABLE DES MATIÈRES Préfce Ces notes de cours sont issues de l enseignement du module de Mthémtiques 2 (U.E. MIP2) du DEUG MIAS, u Déprtement Scientifique Interfcultire de l Université Antilles Guyne (cmpus de Schoelcher), u printemps 2001. L première prtie «Anlyse 2» de ce cours trite des sujets 1. Clcul intégrl, 2. Fonctions équivlentes et développements limités, 3. Equtions différentielles du 1 er et 2 nd ordre, 4. Fonctions à vleur dns R 2 et courbes prmétrées. Cette prtie est l suite du cours de Mthémtiques 1 du premier semestre, qui tritit des sujets 0. Eléments de logique élémentire, 1. Clcul dns R, 2. Suites réelles (convergence, limite,...), 3. Clcul dns C et fonctions circulires, 4. Fonctions numériques de l vrible réelle, 5. Fonctions usuelles et fonctions réciproques. Dns le présent cours, on fer éventuellement ppel à des notions fisnt prtie de ces sujets, qui devrient donc être mîtrisés. Le chpitre sur le clcul intégrl est de loin le plus volumineux. Il commence pr une introduction à l intégrle de Riemnn. Cette notion ne figure ps explicitement u progrmme, on peut donc psser directement à l notion de primitive et insi définir l intégrle indéfinie et définie. (Dns ce cs, le théorème fondmentl du clcul infinitésiml devient trivil, et seules les fonctions continues sont intégrbles.) Le chpitre termine sur l décomposition en éléments simples, qui en constitue presque l moitié. Dns cette prtie plutôt lgébrique, on dmet quelques résultts concernnt l décomposition de polynômes. Etnt limité dns le temps (ce cours devrit être enseigné en un totl de 16 heures), on peut dmettre quelques utres démonstrtions un peu techniques (intégrbilité de fonctions continues, théorème de Tylor-Young). Les chpitres sont presque indépendnts, mis on utilise l intégrtion pour les équtions différentielles, et les développements limités pour l nlyse des points singuliers des courbes prmétrées. Notons ussi que nous fisons le lien vec l lgèbre linéire (notion de sous-espce vectoriel, ppliction linéire, noyu) lors de l intégrtion et dns le cdre des équtions différentielles linéires. En cette nnée 2001, le cours mgistrl commencé vec le 2 e chpitre, pour pouvoir donner plus rpidement des exercices clcultoires ux étudints (pr rpport u chpitre sur l intégrtion, qui comprend une prtie théorique vnt de donner les techniques pour des clculs ppliqués. En ce qui concerne les équtions différentielles, on se limite à celles du 1er ordre qui sont à vribles séprées ou lors linéires, et celles du 2nd ordre qui sont linéires, à coefficients constnts. Schoelcher, mi 2001 4 M. Hsler: Anlyse 2

TABLE DES MATIÈRES Préfce à l deuxième édition L structure globle du cours n ps chngée, mis quelques modifictions concernnt l mise en pge et l présenttion ont été fites. Les fonctions négligebles et équivlentes constituent mintennt des souschpitres indépendntes précédnt celui des développements limités. Quelques notions concernnt l intégrle de Riemnn sont présentés un peu différemment, et une figure été joutée. Les pssges trop sommires dns le chpitre tritnt des développements limités ont été complétés. Quelques erreurs typogrphiques ont été éliminées et une figure joutée dns le dernier chpitre. Schoelcher, vril 2002 5

1 CALCUL INTÉGRAL 1 Clcul intégrl Ce chpitre donne une introduction à l intégrle de Riemnn, et de quelques propriétés fondmentles qui sont conséquence des définitions. Ensuite, on étblit le lien entre cette intégrle et les primitives, pour enfin se dédier à l prtique du clcul intégrl vec quelques recettes. Une grnde prtie du cours est conscrée ux méthodes de l décomposition en éléments, pour l intégrtion des frctions rtionelles. 1.1 Intégrle de Riemnn Le progrmme ne précise ps si l définition de l intégrle de Riemnn doit figurer dns le cours. Certins collègues commencent ce cours directement vec l définition de l primitive d une fonction, et b f(x) dx := F (b) F (). Ainsi, le théorème fondmentl de l nlyse, qui étblit le lien entre l intégrtion et l dérivtion, devient trivil. A mon vis, ce cours est qund même l occsion ou jmis de définir l intégrle de Riemnn. Même si on psse sur les détils, on peut donner les trois définitions de ce premier chpitre et évoquer l interpréttion géométrique qui est très liée à l définition des sommes de Drboux. 1.1.1 Subdivisions et sommes de Drboux Définition 1.1.1 Une subdivision d ordre n d un intervlle [, b] est une prtie finie X = {x 0, x 1,..., x n } [, b] telle que = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. On noter S,b l ensemble des subdivisions de [, b]. Exemple 1.1.2 (subdivision équidistnte) Lorsque x i = + i h vec h = b n, on prle de l subdivision équidistnte d ordre n de [, b] ; on l note prfois [, b] n. Le nombre h est le ps (uniforme) de cette subdivision. Définition 1.1.3 L somme de Drboux inférieure resp. supérieure de f : [, b] R reltivement à une subdivision X = {x 0,..., x n } sont définies pr s(f, X) := n h i inf f(i i ) resp. S(f, X) := i=1 n h i sup f(i i ), où h i = x i x i 1 est l longueur du i e sous-intervlle I i = [x i 1, x i ]. i=1 Les sommes de Drboux sont des réels bien définis ssi l fonction f est bornée, c est-à-dire M R : f([, b]) [ M, M]. 6 M. Hsler: Anlyse 2

1.1 Intégrle de Riemnn Suf mention du contrire, dns tout ce qui suit, les fonctions considérées seront toujours bornées sur l intervlle en question, sns que celà soit nécessirement dit explicitement. Remrque 1.1.4 Etudier l interpréttion géométrique des sommes de Drboux comme ire des rectngles de bse [x i 1, x i ], encdrnt l épigrphe de f de endessous resp. u-dessus. '() $%! & "! # FIG. 1 Somme de Drboux inférieure (hchurée) et supérieure (hchuré plus blnc) de f(x) pour une subdivision équidistnte d ordre 4 de [, b]. Exercice 1.1.5 Montrer qu en joutnt un point x (entre x i 1 et x i ) à X, l somme de Drboux inférieure (resp. supérieure) croît (resp. décroît). En déduire qu on X, Y S,b : X Y = s(f, X) s(f, Y ) et S(f, X) S(f, Y ). Utiliser le résultt précédent et l subdivision Z = X Y pour montrer que X, Y S,b : s(f, X) S(f, Y ). Solution : s(f, X) s(f, Z) S(f, Z) S(f, Y ). Remrque 1.1.6 Lorsque X Y pour X, Y S,b, on dit que Y est plus fine que X. (C est une reltion d ordre prtiel sur S,b.) 7

1 CALCUL INTÉGRAL 1.1.2 Fonctions Riemnn intégrbles, intégrle de Riemnn Définition 1.1.7 L fonction f est Riemnn intégrble sur [, b] ssi les deux nombres s b (f) := sup s(f, X), S(f) b := inf S(f, X). X S,b X S,b coïncident ; ce nombre est lors ppellé l intégrle de Riemnn de f sur [, b] (ou de à b), et noté b f(x) dx. L ensemble des fonctions Riemnn intégrbles sur [, b] est noté R,b. Remrque 1.1.8 L existence de s b (f) et S b (f) est évidente : il suffit de constter que les ensembles {s(f, X); X S,b } et {S(f, X); X S,b } sont non-vides (prendre {, b} S,b ) et mjorés resp. minorés d près l exercice précédent. On peut ussi montrer que s b (f) et S b (f) sont tteints lorsque le ps de l subdivision, X = mx x i x i 1 tend vers zéro. L tille de ce ps induit l structure d une bse de filtre sur S,b, permettnt de considérer l limite de s(f, X) et S(f, X) en X. Remrque 1.1.9 Revenir sur l interpréttion géométrique de s b (f) et S b (f), en considérnt l limite de subdivisions de plus en plus fines. Remrque 1.1.10 L vrible d intégrtion x dns b f(x) dx est une vrible muette, c est-à-dire elle peut être remplcée pr n importe quelle utre vrible (qui n intervient ps déjà illeurs dns l même formule). Donnons encore une propsition d ordre plutôt technique, vnt d énoncer une condition d intégrbilité suffisnte dns tous les cs que nous llons rencontrer. Proposition 1.1.11 (Critère d intégrbilité de Riemnn.) Une fonction f est Riemnn intégrble sur [, b] ssi pour tout ε > 0 il existe une subdivision X S,b telle que S(f, X) s(f, X) < ε. Démonstrtion. Pr déf. de s b (f) et S(f), b ε > 0, X, X S,b : S(f, X ) S(f) b < ε/2 et s b (f) s(f, X ) < ε/2. Avec X = X X, il vient que S(f, X) s(f, X) < S(f, X ) s(f, X ) < ε+s(f) s b b (f). Donc si f R,b S(f) b = s b (f), on l subdivision souhitée. Réciproquement, si une telle subdivision existe pour tout ε > 0, lors S b et s b coïncident évidemment. Théorème 1.1.12 Toute fonction monotone ou continue sur un intervlle [, b] est Riemnn intégrble. Démonstrtion. Si f est monotone, le sup et inf est tteint u bord de chque sous-intervlle I i. On donc S(f, X) s(f, X) = h i f(x i ) f(x i 1 ) X f(x i ) f(x i 1 ) = X f(b) f(). Il suffit donc de choisir le ps de l subdivision ssez petit, X < ε/ f(b) f(), pour que ceci soit inférieur à un ε donné, d où l intégrbilité d près le critère de Riemnn. 8 M. Hsler: Anlyse 2

1.1 Intégrle de Riemnn Pour une fonction continue, l démonstrtion est dmise dns le cdre de ce cours. A titre indictif : f(x i ) f(x i 1 ) est à remplcer pr f(ξ sup i ) f(ξi inf ), où ξ sup i, ξi inf sont les points de l intervlle fermé et borné I i en lesquels l fonction continue f tteint son mximum et minimum. On utilise mintennt le fit qu une fonction continue sur [, b] R y est uniformément continue, c est-à-dire pour ε > 0 donné il existe η > 0 (indépendnt du point x) tel que x y < η = f(x) f(y) < ε. Donc, pour X < η, on S(f, X) s(f, X) < η n ε. Ceci devient ussi petit que voulu, cr on peut prendre des subdivisions équidistntes pour lesquelles n = (b )/ X (b )/η, il suffit donc de prendre ε ssez petit. Pour montrer qu une fonction continue est uniformément continue sur un intervlle borné [, b], on peut utiliser que l ensemble des boules ouvertes B η (x) telles que y B η (x) = f(y) B ε (f(x)), est un recouvrement ouvert de [, b], dont on peut extrire un recouvrement fini d près le théorème de Heine Borel. Le minimum de ces η correspond u η de l continuité uniforme (u pire pour 2ε u lieu de ε). (Pour une démonstrtion du théorème de Heine Borel, voir illeurs...) Corollire. De même, une fonction (bornée!) continue suf en un nombre fini de points, ou monotone sur chque sous-intervlle d une prtition finie de [, b], est Riemnn intégrble. (On peut en effet utiliser l dditivité des sommes de Drboux, s(f, X Y ) = s(f, X)+s(f, Y ) pour X S,c, Y S c,b qui entrîne celle de s b (f) et de même pour S b (f).) Remrque 1.1.13 (fonction de Dirichlet) L fonction de Dirichlet, { 1 x Q χ Q (x) = 0 x Q n est ps Riemnn intégrble, cr on X S,b : s(f, X) = 0, S(f, X) = b. En effet, sur chque I = [x i 1, x i ] il existe un point irrtionnel, donc inf I f = 0, mis ussi un point rtionnel, d où sup I f = 1. Ainsi s(f, X) = 0 et S(f, X) est somme des longeurs des sous-intervlles et donc égle à b. Remrque 1.1.14 Le ps uniforme des subdivisions équidistntes simplifie beucoup l expression des sommes de Drboux (exercice!). On peut montrer que pour f R,b, on b f(x) dx = lim n s(f, [, b] n) = lim n S(f, [, b] n) L réciproque est vrie si f est continue. 1.1.3 Sommes de Riemnn Les sommes de Drboux ne sont ps très utiles pour le clcul effectif d une intégrle, pr exemple à l ide d un ordinteur, cr il est en générl ssez difficile de trouver les inf et sup sur les sous-intervlles. On considère plutôt s n (f) = n (x i x i 1 ) f(x i 1 ) ou S n (f) = i=1 9 n (x i x i 1 ) f(x i ). i=1

1 CALCUL INTÉGRAL Plus générlement, si ξ = (ξ 1,..., ξ n ) vérifie i {1,..., n}, ξ i [x i 1, x i ], on ppelle (X, ξ) une subdivision pointé et n S(f, X, ξ) = (x i x i 1 ) f(ξ i ) i=1 l somme de Riemnn ssociée à l subdivision pointée (X, ξ). Si on pose de plus x i = x i x i 1, on S(f, X, ξ) = n f(ξ i ) x i, i=1 c est de là que vient l nottion f(x) dx. Théorème 1.1.15 Si f R,b, lors les sommes de Riemnn S(f, X, ξ) tendent vers f(x) dx, independmment du choix des ξ i, lorsque l subdivision devient de plus en plus fine. Démonstrtion. Pr définition, il est évident que s(f, X) S(f, X, ξ) S(f, X). Soit f R,b et X tel que S(f, X) s(f, X) < ε. Alors on ussi S(f, X, ξ) s b < ε, quel que soit le choix des ξ i, et fortiori pour tout X X. D où le résultt. Si f est continue, f tteint son minimum et mximum sur chque [x i 1, x i ] en un certin ξi min et ξi mx. On obtient donc les sommes de Drboux comme cs prticulier des sommes de Riemnn, en ssocint à chque X des points ξ min, ξ mx tels que s(f, X) = S(f, X, ξ min ), S(f, X) = S(f, X, ξ mx ). En prticulier, lorsque l fonction est monotone, pr exemple croissnte, sur un sous-intervlle I i, lors ξi min = x i 1 et ξi mx = x i. Les sommes de Riemnn s n et S n données en début de ce prgrphe coïncident donc vec les sommes de Drboux inférieure et supérieure pour une fonction croissnte. 1.2 Propriétés de l intégrle de Riemnn Proposition 1.2.1 Pour f R,b, on X S,b : s(f, X) En prticulier, on (b ) inf f([, b]) b b f(x) dx S(f, X). f(x) dx (b ) sup f([, b]). (sis) (iis) Démonstrtion. L inéglité (sis) est conséquence immédite de l définition de s b 10 M. Hsler: Anlyse 2

1.2 Propriétés de l intégrle de Riemnn resp. S b. Pour montrer (iis), il suffit de prendre X = {, b}. Théorème 1.2.2 (de Chsles) Soit c b. Alors, f R,b ( f R,c f R c,b ) et on l reltion de Chsles : b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx. Démonstrtion. Pour tout X S,c, Y S c,b, on évidemment X Y S,b et s(f, X Y ) = s(f, X) + s(f, Y ). Ceci entrîne s b (f) = s c (f) + s b c(f). Le même s pplique à S(f). b Ainsi l intégrbilité sur [, c] et [c, b] implique celle sur [, b], et l reltion de Chsles. Réciproquement, tout Z S,b qui contient c se décompose en X Y vec X S,c, Y S c,b, et on les mêmes reltions pour les sommes de Drboux. Pour psser à s b (f) et S(f), b on peut toujours supposer c Z, quitte à l jouter, sns perte de générlité. On en déduit le théorème. (Exercice : détiller cette démonstrtion.) Définition 1.2.3 Pour b <, on définit b et pour b =, f(x) dx = 0. f(x) dx = b f(x) dx, Remrque 1.2.4 Avec ces conventions, l reltion de Chsles est vlble quel que soit l ordre de, b, c (pr exemple ussi pour < b < c). C est en effet l principle motivtion pour ces définitions, ce qui lisse deviner l utilité et importnce de cette reltion dns les pplictions. Il convient d être très vigilnt concernnt cette générlistion lorsqu on utilise des inéglités (telles que celles de l Prop. 1.2.6), qui ne sont générlement vlbles que pour < b. Proposition 1.2.5 R,b est un sous-espce vectoriel du R espce vectoriel R [,b] des fonctions de [, b] dns R, et I : R,b R, f b f(x) dx est une forme linéire sur R,b. Autrement dit, o R,b et surtout f, g R,b, α, β R : α f + β g R,b et b (α f(x) + β g(x)) dx = α b f(x) dx + β b g(x) dx. Démonstrtion. Les sommes de Drboux ne sont ps linéires (cr sup et inf ne sont ps dditives). Pssons donc pr les sommes de Riemnn, dont l linérité, S(αf + βg, X, ξ) = αs(f, X, ξ) + βs(g, X, ξ), est évidente, ce qui donne, pr pssge à l 11

1 CALCUL INTÉGRAL limite X 0, le résultt souhité. (Exercice : détiller ceci...) Proposition 1.2.6 Pour f, g R,b, ( < b), on : f 0 = f g = f R,b et b b b f(x) dx 0, (1) f(x) dx f(x) dx b b g(x) dx, (2) f(x) dx. (3) Démonstrtion. (1) : f 0 = X S,b : s(f, X) 0, et s(f, X) b f(x) dx. (2) : g f = g f 0 = (1) (g f) 0 (lin) = g f. (3) : on f f f, vec le (2) donc f f et f f. Remrque 1.2.7 L réciproque du (1) est évidemment fusse, c est-à-dire f 0 n implique ps f 0. (Contre-exemple : sin x sur [ π, π].) Remrque 1.2.8 Dns le cs f R,b, f 0, on que b f(x) dx est l ire de l épigrphe E = { (x, y) R 2 x [, b] et 0 y f(x) }. Théorème 1.2.9 (de l moyenne) Soit f C([, b]) (fonction continue de [, b] R). Alors 1 b c [, b] : f(x) dx = f(c) b } {{ } moyenne de f sur [, b] Démonstrtion. f étnt continue, on D près l éq. (iis), x i, x s [, b] : f(x i ) = inf f([, b]), f(x s ) = sup f([, b]). f(x i ) 1 b b f(x) dx f(x s ). D près le thm. des vleurs intermédiires ppliqué à f (continue) entre x i et x s, on c ]x i, x s [ (ou ]x s, x i [) tel que f(c) = 1 b b f(x) dx. 12 M. Hsler: Anlyse 2

1.3 Intégrle de Riemnn et primitives 1.3 Intégrle de Riemnn et primitives En principe il est possible de clculer des intégrles en utilisnt simplement l définition en terme des sommes de Drboux. Or, ceci est générlement ssez lourd et difficile. De plus, ynt fit le clcul de l intégrle sur un intervlle, il fut le refire pour chque utre intervlle à lquelle on s intéresse (à moins de pouvoir fire un chngement de vribles plus ou moins compliqué). Exemple 1.3.1 Clculer J k = 1 0 xk dx pour k = 1 et k = 2, en utilisnt des subdivisions équidistntes de [0, 1]. Solution. Comme x k est une fonction croissnte sur R +, elle est intégrble et les sommes de Drboux coïncident vec les sommes de Riemnn n s n = 1 1 ( ) k i ; S n = s n + 1 n n n = 1 n n k+1 i k. i=0 Pour k = 1, cette somme est bien connue : n i=1 i = 1 2n(n + 1), et donc S n = 1 2 (1 + 1 n ), J 1 = lim n S n = 1 2 Pour k = 2, il fut utiliser n i=1 i2 = 1 6n(n + 1)(2n + 1), d où S n = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) n 3 = J 2 = 1 3. (Pour trouver l vleur de i 2, on peut utiliser i 2 = i(i 1) + i, et observer que l pemière expression est l vleur de (x i ) en x = 1. En permutnt somme et dérivées, on clcule lors l 2 e dérivée de l somme géométrique égle à (1 x n+1 )/(1 x), puis s limite en x = 1.) On voit que l méthode se générlise à n importe quel k N, mis pour k R les choses se compliquent. Aussi, pour clculer b xk dx vec [, b] [0, 1], il fut fire des chngements de vribles pour se rmener u cs ci-dessus. L objet de ce chpitre est d introduire l notion de primitive d une fonction, qui permettr d éviter ce genre de clcul, en utilisnt les conclusions du présent et les méthodes des suivnts chpitres. i=1 1.3.1 Primitive d une fonction continue Soit D R et f : D R une fonction numérique définie sur D. Définition 1.3.2 Une fonction F : D R est une primitive de f dns D ssi F est dérivble sur D, et F = f dns D. Proposition 1.3.3 Si F et G sont deux primitives de f, lors F G est une constnte sur tout intervlle I D. 13

1 CALCUL INTÉGRAL Démonstrtion. Soit, x I. On pplique le théorème des ccroissements finis à l fonction h = F G, dérivble sur [, x] I comme somme de fonctions dérivbles. On donc c ], x[ : (F G)(x) (F G)() = (x ) (F G) (c) } {{ } =f(c) f(c)=0 Donc F (x) G(x) = F () G(), ce qui est une constnte, indépendnte de x qui peut prcourir l ensemble des points de I. Remrque 1.3.4 Le mot «intervlle» est essentiel dns cette proposition : si D est réunion d intervlles (ouverts) disjoints, F G peut être différent sur chcun des intervlles. Existence d une primitive Théorème 1.3.5 Toute fonction continue f : [, b] R possède une primitive, donnée pr F (x) = x f(t) dt. Démonstrtion. Vérifions que l fonction F (x) = x f(t) dt convient. D bord, cette intégrle existe pour tout x [, b] cr f continue sur [, b] donc f R,b. Clculons [ F (x + h) F (x) lim = 1 x+h ] x f(t) dt f(t) dt h 0 h h = 1 h x+h x f(t) dt D près le thm. de l moyenne, ξ [x, x + h] tel que 1 h x+h x f(t) dt = f(ξ). (reltion de Chsles) Donc F (x + h) F (x) lim = lim f(ξ) = f(x). h 0 h ξ x (NB : Si x = ou x = b on ne peut considérer que l limite à guche ou à droite, c est-à-dire h > 0 ou h < 0.) Remrque 1.3.6 Ce résultt permet d identifier l intégrtion comme une ntidifférentition (à une constnte près), puisque F = f pour F (x) = x f(x) dx. Intérêt de l primitive D près le thm précédent, F (x) = x f(t) dt est une primitive de f, et d près l proposition 1.3.3, toute primitive de f est égle à F, à une constnte près. Donc, si F est une primitive quelconque de f, lors F = F + c, et F (b) F () = F (b) F () = b f(x) dx, 14 M. Hsler: Anlyse 2

1.4 Prtique du Clcul intégrl en utilisnt l reltion de Chsles. Ainsi, l connissnce d une primitive quelconque F d une fonction f sur un ensemble D permet de clculer l intégrle de f sur n importe quel intervlle [, b] D, en ppliqunt l formule b f(x) dx = [ ] b F (x) F (b) F (). Ainsi, bien que cel soit possible, on n utilise dns l prtique qusiment jmis l définition de l intégrle de Riemnn en terme de sommes de Drboux, pour l clculer. Suf exceptions, on chercher toujours une primitive de f pr les méthodes qui seront développées dns l suite, pour ppliquer l formule ci-dessus. 1.4 Prtique du Clcul intégrl Nous llons ici border quelques méthodes pour clculer des primitives d une lrge clsse de fonctions. 1.4.1 Intégrle indéfinie Soit f : D R continue. On note f(x) dx l une quelconque des primitives de f, définie à une constnte près que l on joute toujours explicitement. Exemple 1.4.1 1 x dx = ln x + C. Ici, D f = R \ {0}, on peut donc voir des constntes différentes sur ], 0[ et sur ]0, [. Autrement dit, C est une fonction constnte sur chque sous-intervlle de D. On dit que f(x) dx est l intégrle indéfinie de f, lors que b f(x) dx s ppelle intégrle définie. Remrque 1.4.2 On utilise l notion d intégrle indéfinie comme synonyme de primitive. On pourrit fire une distinction plus rigoureuse en définissnt l intégrle indéfinie f(x) dx comme l une quelconque des fonctions de l forme x f(x) dx, ou D n est ps spécifié. (C est insi qu on l détermine et qu on l utilise, dns l esprit du sous-chpitre qui précède.) Les deux définitions sont équivlentes u détil près qu on n obtient lors ps toutes les primitives pr les intégrles indéfinies : en effet, en chngent l borne inférieure on ne peut ps obtenir toutes les constntes, si x D est borné ou si les primitives de f sont bornées, c est-à-dire si lim x ± f(x) dx est finie. 1.4.2 Primitives des fonctions usuelles Pr dérivtion, on vérifie isément l vlidité des reltions données dns le tbleu 1. De même, on vérifie pr dérivtion (règle de chîne!) que u (x) f(u(x)) dx = F (u(x)) vec F (t) = f(t) dt. 15

1 CALCUL INTÉGRAL x α dx = xα+1 α + 1 + C 1 (α R \ { 1}) dx = ln x + C x cos x dx = sin x + C sin x dx = cos x + C e x dx = e x + C ch x dx = sh x + C (rppel : ch x = 1 2 (ex + e x )) sh x dx = ch x + C (rppel : sh x = 1 2 (ex e x )) 1 dx = rctn x + C 1 + x2 1 dx = rcsin x + C ( 1 x 1) 1 x 2 1 dx = Arsh x + C = ln(x + 1 + x 2 ) + C 2 1 + x 2 TAB. 1 Primitives des fonctions usuelles Cette formule ser étudiée plus en détil dns le prgrphe 1.4.5. Elle permet d utiliser les formules élémentires ci-dessus pour toute une clsse de fonctions élémentires «composées». Son ppliction notmment u cs u(x) = x + b (et donc u = ) est immédite et donne : f( x + b) dx = 1 F ( x + b) Exercice 1.4.3 Générliser le formulire précédent, en remplçnt x dns l intégrnd pr x + b. 1.4.3 Intégrtion pr prties Proposition 1.4.4 Pour f, g C 1 (I R), on f (x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx ou encore, vec I = [, b] et en utilisnt les intégrles définies : b f (x) g(x) dx = [ ] b f(x) g(x) b f(x) g (x) dx 16 M. Hsler: Anlyse 2

1.4 Prtique du Clcul intégrl Démonstrtion. On f(x) g(x) (+C) = (fg) (x) dx = = [f (x) g(x) + f(x) g (x)] dx f (x) g(x) dx + f(x) g (x) dx, D où (en bsorbnt l constnte d intégrtion dns les intégrles indéfinies) l première prtie de l proposition. L deuxième prtie s obtient en prennt l vleur en b moins l vleur en. Remrque 1.4.5 Cette reltion est souvent utilisé pour diminuer successivement le degré d un polynôme g(x) qui multiplie une fonction f (x) que l on sit intégrer. Elle sert ussi pour l intégrtion des expressions fisnt intervenir les fonctions trigonometriques, où l on retombe sur l fonction d origine près deux intégrtions. Exemple 1.4.6 Clculons l primitive x 2 e x dx. On poser deux fois successivement f = e x = f : x 2 e x dx = x 2 e x 2 x e x dx = x 2 e x 2 x e x + 2 e x dx = x 2 e x 2 x e x + 2 e x + C Exemple 1.4.7 Clculons l primitive sin x e x dx. On poser successivement f = sin x, puis f = cos x : sin x e x dx = sin x e x cos x e x dx [ ] = sin x e x cos x e x ( sin x) e x dx = (sin x cos x) e x sin x e x dx On met tous les dns le membre de guche et obtient près division pr 2 : sin x e x dx = 1 2 (sin x cos x) ex ( + C ) 1.4.4 Formule de Tylor vec reste intégrl Comme ppliction importnte de l intégrtion pr prties, démontrons le Théorème 1.4.8 (formule de Tylor vec reste intégrl) Pour, x R et f C n+1 ([, x]), on f(x) = f()+f () (x )+ + 1 n! f (n) () (x ) n + 1 n! x f (n+1) (t) (x t) n dt. (4) 17

1 CALCUL INTÉGRAL (Rppel : on note C k (I) les fonctions k fois continûment dérivbles sur I.) Cette formule de Tylor vec reste intégrl est historiquement l première prmi les différentes formules de Tylor (cf. chp. 2.3.3, pge 34), trouvée pr Monsieur Brook Tylor (1685 1731). Elle sert pour le clcul de développements limités qui seront étudiés u chpitre suivnt. Elle donne une pproximtion polynômile de l fonction f u voisinge de : en effet, si x est proche de, lors les termes de l forme (x ) k deviennent très petits, d utnt plus que k est élevé. Le dernier terme, ppelé «reste intégrl» du développement, tend encore plus vite vers zéro que (x ) n (comme on le démontre u chpitre 2.3.3). Démonstrtion. Pour n = 0, l formule est vrie : en effet, elle s écrit dns ce cs f(x) f() = x f (t) dt, ce qui exprime simplement le fit que f est une primitive de f, lorsque f C 1 ([, x]). Supposons mintennt (4) vrie pour un certin n N, et que f (n+1) dmette une dérivée f (n+2) continue sur [, x]. Ainsi, les deux fcteurs dns le reste intégrl vérifient les conditions suffisntes pour pouvoir fire une intégrtion pr prtie, vec u = f (n+1) = u = f (n+2) et v (t) = (x t) n = v(t) = 1 n+1 (x t)n+1. Alors x = f (n+1) (t) (x t) n dt [ f (n+1) (t) 1 n+1 (x t)n+1] x 1 n+1 x f (n+2) (t) (x t) n+1 dt. L borne supérieure du crochet donne zéro et pour l borne inférieure les signes ( ) se compensent, on donc x f (n+1) (t) (x t) n dt = 1 n+1 f (n+1) () (x ) n+1 + 1 n+1 x et en reportnt ceci dns (4), on trouve l formule u rng n + 1. f (n+2) (t) (x t) n+1 dt 1.4.5 Chngement de vrible d intégrtion Proposition 1.4.9 Soit f : I R continue et ϕ : J I un difféomorphisme, c est-à-dire une bijection telle que ϕ et ϕ 1 soient continûment dérivbles. Dns ce cs, f(x) dx = F (ϕ 1 (x)) vec F (t) = f(ϕ(t)) ϕ (t) dt ( + C ). Autrement dit, F ϕ 1 est une primitive de f. En terme d intégrles définis, on ϕ(b) ϕ() f(x) dx = b f(ϕ(t)) ϕ (t) dt. 18 M. Hsler: Anlyse 2

1.4 Prtique du Clcul intégrl Démonstrtion. Il fut et il suffit de montrer que F ϕ 1 comme dérivée f. Or, d près l règle de chîne, on (F ϕ 1 ) = F ϕ 1 (ϕ 1 ) Or, F = f ϕ ϕ et (ϕ 1 ) = 1/(ϕ ϕ 1 ) (ce qui se montre en dérivnt ϕ(ϕ 1 (x)) = x). Donc (F ϕ 1 ) = f ϕ ϕ 1 1/(ϕ ϕ 1 ) = f. Pour une intégrle définie, on donc β α f(x) dx = F (ϕ 1 (β)) F (ϕ 1 (α)) = ϕ 1 (β) ϕ 1 (α) f(ϕ(t)) ϕ (t) dt ce qui revient u même que l formule donnée dns l énoncé vec = ϕ 1 (α) et b = ϕ 1 (β). Applictions Disposition prtique : Ce théorème permet de clculer f si l on sit clculer f ϕ ϕ, ou réciproquement. Il est à l bse de tout «l rt de l intégrtion», qui consiste à trouver les bons chngements de vribles x = ϕ(t). Dns l prtique, on écrit lors x = ϕ(t) = dx dt = ϕ (t). On écrit symboliquement dx = ϕ (t)dt, et on substitue ces deux équtions dns l intégrle en question : f(x) dx = f(ϕ(t) ) ϕ (t)dt }{{} } {{ } =x =dx Puis, ynt trouvé l primitive F (t) du membre de droite, on retourne à l vrible x en substitunt t = ϕ 1 (x). Exemple 1.4.10 Clculons l primitive sin x cos x dx sur l intervlle ] 1, 1[. Posons sin x = t = cos xdx = dt. C est justifié cr sin est une bijection différentible de [ π 2, π 2 ] sur [ 1, 1], et l fonction réciproque x = rcsin t est églement dérivble à l interieur de cette intervlle. D où sin }{{} x cos } {{ xdx } = t dt = 1 2 t2 + C = 1 2 (sin x)2 + C. =t =dt N.B. : En terme des définitions de l proposition, on trvillé vec ϕ 1 plutôt qu vec ϕ ; c est souvent plus insi qu on procède dns l prtique. Remrque 1.4.11 Il fut s ssurer que l fonction ϕ est effectivement une bijection, générlement en considérnt ses propriétés de monotonie. Dns le cs echént, il fut découper l intervlle d intégrtion en des sous-intervlles sur lesquels ϕ est monotone. 19

1 CALCUL INTÉGRAL 1.4.6 Formule de l moyenne générlisée. Comme ppliction intéressnte des chngements de vrible, considérons le Théorème 1.4.12 (de l moyenne, générlisé.) Soient f, g C([, b]) et g > 0 sur ], b[. Alors, ξ [, b] : b f(x) g(x) dx = f(ξ) b g(x) dx. Exercice 1.4.13 Démontrer ce théorème, en étudint l fonction G(x) = x g(t) dt pour justifier le chngement de vrible u(x) = + G(x) (b )/G(b). Solution : L fonction G est bien définie (g intégrble cr continue) et dérivble sur [, b], vec G = g > 0 sur ], b[. Donc G est strictement croissnte sur ], b[, et idem pour u, qui est donc bijection de [, b] sur [u(), u(b)] = [, b]. u est dérivble et u = g (b )/G(b). Ainsi on peut fire le chngement de vrible pour psser de x à u : b b f(x) g(x) dx = f(x(u)) du G(b) b. En utilisnt le théorème de l moyenne pour u f(x(u)), ũ [, b] : b f(x(u)) du = (b ) f(x(ũ)), on le résultt cherché, vec ξ = x(ũ) (puisque G(b) = b g(t) dt). 20 M. Hsler: Anlyse 2

1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples 1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples Dns ce (long) chpitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute frction rtionnelle f(x) = A(x) B(x), où A, B sont de polynômes. On procède pr étpes, en illustrnt l théorie à l ide de l exemple f(x) = A(x) B(x) = 2 x6 + 3 x 5 3 x 4 3 x 3 3 x 2 18 x 5 x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x + 2 L première prtie de ce chpitre est plutôt lgébrique : nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importnts d lgèbre sns démonstrtion, qui n ps s plce dns ce cours d nlyse. 1.5.1 Division euclidienne 1 e étpe : On utilise le Théorème 1.5.1 (et définition : division euclidienne) Soient A, B R[X], B 0. Alors il existe un unique couple (Q, R) de R[X] tel que A = B Q + R et deg R < deg B On dit que Q est le quotient et R le reste de l division euclidienne de A pr B. Ainsi on peut écrire f(x) = A(x) B(x) Q(x) + R(x) = = Q(x) + R(x) B(x) B(x) B(x) vec deg R < deg B. Le polynôme Q(x) s ppelle prtie entière de l frction rtionnelle. Exemple 1.5.2 On effectue l division euclidienne comme suit : 2 x 6 + 3 x 5 3 x 4 3 x 3 3 x 2 18 x 5 x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x + 2 2 x 6 + 2 x 5 4 x 4 2 x 3 2 x 2 + 4 x 2x + 1 x 5 + x 4 x 3 x 2 22 x 5 x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x + 2 x 3 21 x 7 On donc f(x) = 2x + 1 + x 3 21 x 7 x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x + 2. 1.5.2 Polynômes irreductibles 2 e étpe : On considère donc dorénvent une frction rtionnelle R(x)/B(x) telle que deg R < deg B. Pour procéder, on pose 21

1 CALCUL INTÉGRAL Définition 1.5.3 Les polynômes irréductibles (sur R) sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 sns rcine réelle (c est-à-dire X 2 + b X + c vec = b 2 4 c < 0). Un polynôme est unitire ssi le coefficient du terme de plus hut degré est 1. On se servir du Théorème 1.5.4 Tout polynôme de R[X] se décompose de mnière unique en un produit de l forme P (X) = (X r 1 ) m1 (X r p ) mp (X 2 + b 1 X + c 1 ) n1 (X 2 + b q X + c q ) nq c est à dire d une constnte qui est le coefficient du terme de plus hut degré de P, et de polynômes irréductibles unitires : r i sont les rcines (distinctes) de P, m i leurs multiplicités, et les fcteurs de degré 2 sont sns rcine réelle (c est-à-dire vec = b 2 j 4 c j < 0). On utilise cette décomposition pour le polynôme B(x) u dénominteur de l frction rtionnelle. On suppose de plus que le numérteur n ps de fcteur commun vec le dénominteur, sinon on simplifie pr ce fcteur commun. Exemple 1.5.5 Pour trouver l fctoristion B(x), on commence pr chercher des rcines évidentes en tâtonnnt (i.e. en essynt pour x les vleurs 0, ±1,...). On trouve que B(1) = 0 et B( 2) = 0, donc (x 1)(x + 2) = x 2 + x 2 divise B(x). On effectue l division euclidienne x 5 + x 4 2 x 3 x 2 x + 2 x 2 + x 2 x 5 + x 4 2 x 3 x 3 1 0 x 2 x + 2 x 2 x + 2 0 Or, x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1), pr conséquent, B(x) = (x + 2)(x 1) 2 (x 2 + x + 1) En effet, x 2 + x + 1 est un trinôme du 2 nd degré à discriminnt négtif. 1.5.3 Pôles et éléments simples 3 e étpe 22 M. Hsler: Anlyse 2

1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples Définition 1.5.6 On dit que f(x) := A(x) B(x), A, B R[X], est une frction rtionnelle irréductible ssi les polynômes A et B sont sns fcteur commun. On ppelle pôles de l frction rtionnelle irréductible les rcines du polynôme B. Soit B(X) = (X r 1 ) m1 (X r p ) mp (X 2 +b 1 X+c 1 ) n1 (X 2 +b q X+c q ) nq l décomposition irréductible de B. On ppelle éléments simples de 1 e espèce reltifs ux pôles r i, les m i fonctions rtionnelles du type A 1 x r i, A 2 (x r i ) 2,..., A mi (x r i ) mi, où les A k sont des constntes réelles. On ppelle éléments simples de 2 e espèce reltifs ux polynômes irréductibles X 2 + b j X + c j, les n j fonctions rtionnelles du type B 1 x + C 1 x 2 + b j x + c j, où les B k, C k sont des constntes réelles. B 2 x + C 2 (x 2 + b j x + c j ) 2,..., B nj x + C nj (x 2 + b j x + c j ) nj, Exemple 1.5.7 Décrire les éléments simples de R(x) B(x) = x 3 21 x 7 (x + 2)(x 1) 2 (x 2 + x + 1) éléments simples de 1 e espèce : le pôle x = 1 de multiplicité 2 2 éléments simples : A 1 x 1, A 2 (x 1) 2, A 3 pôle x = 2 de multiplicité 1 1 éléments simple : x + 2. éléments simples de 2 e espèce : 1 seul, ssocié u fcteur irreductible x 2 + x + 1 : B 1 x + C 1 x 2 + x + 1. Attention : il fut toujours d bord s ssurer de l décomposition complète du dénominteur! Pr exemple, B(x) urit pu être écrit comme B(x) = (x 1)(x+2)(x 3 1) ; ce qui ne permet ps de voir imméditement les éléments simples. Théorème 1.5.8 Soit f(x) = A(x)/B(x) une fct. rtionnelle irréducitble. Alors 1. Si A = BQ + R, deg R < deg B (div.euclidienne de A pr B), on f = A B = Q + R B dns D f. R 2. B se décompose de mnière unique comme somme de tous les éléments simples reltifs à B : R(x) B(x) = i k A ik (x r i ) k + j l B jk x + C jk (x 2 + b j x + c j ) k. (des) 23

1 CALCUL INTÉGRAL Exercice 1.5.9 Donner l structure de l décomposition en éléments simples de f(x) = R(x)/B(x). On R(x) B(x) = x 3 21 x 7 (x + 2)(x 1) 2 (x 2 + x + 1) = A 1 x 1 + A 2 (x 1) 2 + + A 3 x + 2 + B 1 x + C 1 x 2 + x + 1. (*) NB : qund on ne demnde que l structure de l décomposition, on peut lisser les A i, B j, C j indéterminées. 1.5.4 Clcul des coefficients d une décomposition en éléments simples 4 e étpe : (l plus dure...) () : POUR LES PÔLES SIMPLES DE MULTIPLICITÉ 1 On multiplie l éq. (des) pr (x r i ), et on prend x = r i : dns le membre de droite ne survit que A i, dont l vleur est donné pr le membre de guche, R(r i )/B (r i ) vec B (x) = B(x)/(x r i ) (simplifié). Pr exemple, ppliquons ceci u clcul de A 3 : En multiplint (*) pr (x + 2), on x 3 ( 21 x 7 A1 (x 1) 2 (x 2 = (x + 2) + x + 1) x 1 + A ) 2 (x 1) 2 + A 3 + (x + 2) B 1 x + C 1 x 2 + x + 1 et en posnt x = 2, 8 + 21 2 7 9 3 = A 3 A 3 = 1. (b) : LES COEFF. A imi DES PÔLES DE MULTIPLICITÉ m i Pour trouver le coefficient A i,mi qui correspond à un pôle d ordre m i, on multiplie pr (x r i ) mi, puis on prend x = r i : de mnière nlogue à ce qui précède, on trouve le coeff. recherché. Dns notre exemple, on détermine insi A 2 en multiplint pr (x 1) : x 3 ( 21 x 7 (x + 2)(x 2 + x + 1) = (x 1) A A3 1 + A 2 + (x 1) x + 2 + B ) 1 x + C 1 x 2 + x + 1 et en prennt x = 1, A 2 = (1 21 7)/(3 3) = 3. (c) : LES COEFF. B jnj, C jnj DES FACTEURS QUADRATIQUES On peut ppliquer l même méthode, mis vec les rcines complexes de ces fcteurs x 2 + b j x + c j. Pour celà, on multiplie pr le fcteur (x 2 + b j x + c j ) nj, puis on prend x égl à une des rcines complexes du fcteur, pour trouver (vec l prtie réelle et imginire) les coeff. B j et C j : Dns notre cs, x 2 + x + 1 = x3 1 x 1, 24 M. Hsler: Anlyse 2

1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples les rcines sont donc les 2 rcines 3 es non-triviles de l unité, j = exp 2 π i 3. (En effet, il convient de vérifier que x = j est vriment un pôle en clculnt R(j) = 1 21 j 7 0.) En multiplint (*) pr x 2 + x + 1 x 3 21 x 7 (x 1) 2 (x + 2) = (x2 + x + 1) et en prennt x = j, on trouve insi ( A1 x 1 + A 2 (x 1) 2 + A 3 x + 2 1 21 j 7 j 3 + 2 j 2 2 j 2 4 j + j + 2 = B 1 j + C 1 ) + B 1 x + C 1 6 21 j B 1 j + C 1 = = 2 + 7 j 3 3 j 1 j ce qui donne (prtie réelle et imginire) les coefficients B et C près un petit clcul. Cependnt, ici ce clcul de nombres complexes est un peu lourd et on utiliser plutôt une utre méthode, pr exemple celle des limites. (d) : LES AUTRES COEFF. A ik DES PÔLES DE MULTIPLICITÉ m i > 1 Ces coefficients peuvent ussi se clculer pr l méthode du chngement de vrible t = x r i. Ceci nous rmène à un pôle en t = 0. Pour clculer les coefficients ssociés à ce pôle, on fit l division pr les utres fcteurs de B(t + r i ) suivnt les puissnces croissntes en t, à l ordre m i -1 ; c est-à-dire on s rrête lorsque le reste ne contient que des termes de degré supérieur ou égle à m i, de fçon à pouvoir mettre en fcteur t mi. Le quotient donne lors tous les coefficients ssociés u pôle r i. Exemple 1.5.10 Dns notre exemple, le chngement de vrible est t = x 1 x = t + 1, donc x 3 21 x 7 (x 1) 2 (x + 2)(x 2 + x + 1) = t3 + 3 t 2 18 t 27 t 2 (t + 3)(t 2 + 3 t + 3). On divise lors t 3 + 3 t 2 18 t 27 pr (t + 3)(t 2 + 3 t + 3) = 9 + 12 t + 6 t 2 + t 3 suivnt les puissnces croissntes, à l ordre 1 : D où : 27 18 t + 3 t 2 + t 3 9 + 12 t + 6 t 2 + t 3 27 36 t 18 t 2 3 t 3 3 + 2 t 18 t + 21 t 2 + 4 t 3 18 t + 24 t 2 + 12 t 3 + 2 t 4 3 t 2 8 t 3 2 t 4 27 18 t + 3 t 2 + t 3 = ( 3 + 2 t)(9 + 12 t + 6 t 2 + t 3 ) + ( 3 t 2 8 t 3 2 t 4 ) En divisnt pr t 2 (t + 3)(t 2 + 3 t + 3), on donc 27 18 t + 3 t 2 + t 3 t 2 (t + 3)(t 2 + 3 t + 3) = 3 + 2 t 3 8 t 2 t2 t 2 + (t + 3)(t 2 + 3 t + 3), et on déduit du premier terme que A 1 = 2 et A 2 = 3. NB : cette méthode est surtout intéressnte s il y un pôle de multiplicité élevée ( 4) et peu d utres fcteurs dns B(x), ou lors s il s git dès le début d un pôle en x = 0 (ce qui évite le chngement de vrible).. 25

1 CALCUL INTÉGRAL (e) : MÉTHODES GÉNÉRALES POUR LES COEFF. RESTANTS (i) : méthode des limites Cette méthode consiste à multiplier d bord pr l plus bsse puissnce qui intervient dns l décomposition en éléments simples, et de prendre l limite x (où il suffit de grder les puissnces les plus élevées). Ainsi, on dns le membre de droite l somme des coefficients qui correspondent à cette puissnce, qui permet de déterminer un coefficient en terme des utres. Exemple 1.5.11 Dns notre exemple, on multiplie pr x, l limite donne lors lim x4 x 5 = 0 = A 1 + A 3 + B 1 et donc B 1 = A 1 A 3 = 2 1 = 3. (ii) : méthode des vleurs prticulières Une utre méthode consiste à simplement prendre des vleurs prticulières pour x (différents des pôles) et insi d voir un système d équtions qui permettr de déterminer les coefficients mnqunts. Exemple 1.5.12 Dns notre exemple, prenons x = 0 : 7 2 = A 1 + A 2 + A 3 2 + C 1 et donc C 1 = 7 2 + A 1 A 2 A3 2 = 7 2 + 2 + 3 1 2 = 4 + 5 = 1. Remrque : dns le cs générl, il fut insi créer un système d utnt d équtions (indépendntes) qu il reste de coefficients à déterminer. (iii) : pr identifiction L méthode générique qui mrche toujours mis qui n est ps toujours ps l plus rpide, consiste à réécrire l somme des éléments simples sur le dénominteur commun qui est B(x), et d identifier les coeff. des mêmes puissnces de x du membre de guche (coefficients de R(x)) et du membre de droite (les A, B, C multipliés pr une prtie des fcteurs de B(x)). Ainsi on obtient un système d équtions linéires dont l solution donne les coefficients (mnqunts). 1.5.5 Appliction u clcul de primitives Avec l technique étudiée dns ce chpitre, on peut intégrer toute fonction rtionnelle f(x) = A(x) B(x). En effet, on commence pr simplifier A(x) pr les fcteurs irréductibles de B(x) pour désormis pouvoir supposer f(x) irréductible. Ensuite, u cs ou deg A deg B, on effectue l division euclidienne pour voir f(x) = Q(x) + R(x) B(x) vec deg R < deg B. 26 M. Hsler: Anlyse 2

1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples Enfin, on décompose R(x) B(x) en éléments simples. On n donc plus qu à trouver les primitives pour les deux types d éléments simples, dx A x + B (x r) k et (x 2 + b x + c) k dx. L première intégrle ne pose ps de problème, s primitive est (x r) k+1 k + 1 si k 1 et ln x r si k = 1. Considérons donc le 2e type d intégrle. On l écrit d bord sous l forme A x + B (x 2 + b x + c) k = D 2 x + b (x 2 + b x + c) k + E (x 2 + b x + c) k vec D = A 2 et E = B b D. Ainsi, le premier terme est de l forme D u u k, vec D l primitive k+1 u k+1 (resp. D ln u pour k = 1). Tout ce qui reste donc à clculer est l primitive dx ( < 0). (x 2 +b x+c) k Pour ce fire, on se rmène pr un chngement de vrible à cette intégrle vec b = 0 et vec c = 1, en posnt successivement u = x + b 2, puis t = c b 2 /4 u). Pour clculer dt, on pose t = tn θ, θ ] π (t 2 +1) k 2, [ π 2, dt = (1 + tn 2 θ)dθ. [justifier ce chgt de vrible!] Alors dt (1 + tn 2 (t 2 + 1) k = θ)dθ (1 + tn 2 θ) = k dθ (1 + tn 2 θ) = (cos θ) 2k 2 dθ k 1 (rppel : 1/ cos 2 θ = 1 + tn 2 θ). Pour k = 1, une primitive est θ = rctn t. Sinon, on fit une intégrtion pr prtie d un fcteur cos x pour diminuer l exposnt de 2 : cos 2k 2 x dx = [cos 2k 3 x sin x] (2k 3) cos 2k 4 x( sin x) sin x dx = [cos 2k 3 x sin x] + (2k 3) cos 2k 4 x(1 cos 2 x) dx = 1 2k 2 ( [cos 2k 3 x sin x] + (2k 3) ) cos 2k 4 x dx où l dernière ligne est obtenue en fisnt psser toutes les cos 2k 2 x dx dns le membre de guche puis en divisnt pr le coefficient 4 2k. Avec cos 2k 3 x sin x = cos 2k 2 x tn x et cos 2 x = 1 + tn 2 x, on enfin dt I k := (t 2 + 1) k = 1 2k 2 ([ t (1 + t 2 ) k 1 ] ] + (2k 3)I k 1 ) ce qui permet, vec I 1 = rctn t, de clculer I k pour tout k N. Remrque 1.5.13 Dns l prtique, on effectue le chngement de vribles pour psser de x 2 + b x + c à 1 + tn 2 θ en une seule fois. 27

1 CALCUL INTÉGRAL Exemple 1.5.14 On écrir pr exemple vec tn θ = ( x 2 + x + 1 = x + 1 ) 2 1 ( 2 4 + 1 = x + 1 ) 2 + 3 2 4 [ = 3 ( 4 x + 1 ) ] 2 + 1 = 3 4 3 2 4 (tn2 θ + 1), ( 4 3 x + 1 2). 1.5.6 Primitives des fonctions rtionnelles de sin x et cos x Définition 1.5.15 On dit que f(x) est une fonction rtionnelle de sin x et cos x s il existent des polynômes (en 2 vribles) A, B R[X, Y ] (c est-à-dire A = ij X i Y j, idem pour B) tels que f(x) = A(sin x, cos x)/b(sin x, cos x). Exemple 1.5.16 f(x) = cos x sin x sin x cos 2 x : ici, A = Y X, B = X Y 2. Méthode d intégrtion : On distingue 3 cs (ide mnémotechnique : l nouvelle vrible est chque fois invrinte sous l trnsformtion considérée) si f( x) = f(x), on pose t = cos x (invrint, or sin( x) = sin(x)) si f(π x) = f(x), on pose t = sin x (invr., or cos(π x) = cos(x)) si f(π + x) = f(x), on pose t = tn x (invr., mis sin, cos chgt de signe) sin x Exemple 1.5.17 f(x) = cos 3 x + sin 2. On pose t = cos x, dt = sin xdx, donc x dt f(x) dx = t 3 + (1 t 2 ), on rrive insi à une simple frction rtionnelle à intégrer, et on substituer finlement t = cos x dns le résultt. 1.5.7 Autres frctions rtionnelles Dns les cs suivnts, on peut encore se rmener à l recherche d une primitive d une frction rtionnelle : ) f(e x, sh x, ch x, th( x) : on pose t = e x, x = ln t, dx = 1 t dt. Avec sh x = 1 2 (t t 1 ), ch x = ) 1 2 t + t 1, on retrouve une frction rtionnelle en t. ) b) f (x, n vec d bc 0 : on pose x+b c x+d y = n x + b c x + d b d yn x = c y n, dx = d b c (c y n ) 2 n yn 1 dy. et on retrouve encore une frction rtionnelle en y. 28 M. Hsler: Anlyse 2

1.5 Intégrtion de frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples c) f(x, x 2 + b x + c) : On trnsforme l rcine en une des formes suivntes : t 2 + 1 : on pose lors t = sh u = t 2 + 1 = ch u t 2 1 : on pose lors t = ± ch u (u > 0) = t 2 1 = sh u 1 t 2 : on pose lors t = sin u ou t = cos u Dns chcun des cs, on retombe sur une frction rtionnelle d un des types qui précèdent (vec ch, sh ou sin, cos). Exemple 1.5.18 f(x) = x x2 + 4 x + 5 : on x2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1, on poser donc x + 2 = sh u, d ou x 2 + 4 x + 5 = ch u, dx = ch u du et sh u 2 f(x) dx = ch u du = (sh u 2) du ch u = ch u 2 u = x 2 + 4 x + 5 2 Arsh (x + 2). 29

2 FONCTIONS NÉGLIGEABLES ET ÉQUIVALENTES ; DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 2 Fonctions négligebles et équivlentes ; développements limités L notion de fonctions équivlentes devrit être connue du cours d Anlyse 1, sous f l forme f g lim () g = 1. On l réintroduit ici en utilisnt l nouvelle notion de fonctions négligebles, qui est très utile notmment dns le cdre des développements limités. 2.1 Fonctions négligebles Dns ce qui suit, on considère des fonctions f, g,... à vleurs dns R, définis sur un voisinge pointé V d un point R = R {± }, c est-à-dire u voisinge de suf eventuellement en ce point même. (On rppelle que {]M, [ ; M R} constitue une bse de voisinges de = ). Pour ne ps trop lourdir les nottions, on convient qu une églité entre fonctions sous-entend l restriction à l intersection des domines de définition. Définition 2.1.1 L fonction f est dite négligeble devnt g u voisinge de, ss il existe un voisinge pointé V de et une fonction ε : V R de limite nulle en, telle que f = ε g (dns V ). On écrit f g f = () o(g) def ε : V R t.q. f = ε g et lim ε = 0, On ppelle f = o(g) l nottion de Lndu et f g l nottion de Hrdy. Exemple 2.1.2 On f = o(1) lim f = 0. Exemple 2.1.3 L fonction nulle o : x 0 est négligeble devnt toute fonction en tout point (prendre ε = 0). D utre prt, f = o(f) = f = ε f (1 ε)f = o = f = o (cr lim ε = 0 = (1 ε) 0) dns un voisinge de. Remrque 2.1.4 Alors que l nottion de Hrdy prît plus «logique», on utilise dns l prtique plus souvent celle de Lndu, cr elle permet l bus de nottion très prtique qui consiste à écrire f(x) = g(x) + o(h(x)) (x ) u lieu de f g = () o(h). Lorsqu on utilise cette nottion, chque terme o(h(x)) représente une fonction quelconque de x, négligeble devnt h, mis à priori inconnue et différente d un éventuel utre terme o(h(x)). On prendr ussi grde de toujours préciser le point uquel l reltion de négligence s pplique. Ainsi on peut voir f g mis g b f pour, b différents. Exemple 2.1.5 Si f est bornée et g tend vers l infini, lors f = o(g). 30 M. Hsler: Anlyse 2

2.1 Fonctions négligebles Exemple 2.1.6 On x m = ( ) o(x n ) ssi m < n (cr lors ε = x m n 0), et l opposé u voisinge de 0. Exemple 2.1.7 On x α = o(e βx ) et (ln x) α = o(x β ) (x ) pour tout α, β > ( ) ( ) 0. (Exercice : pourquoi?) L proposition suivnte permet de trouver utnt d exemples que l on souhite : Proposition 2.1.8 Si l fonction f/g est définie dns un voisinge pointé de, lors f = o(g) lim f/g = 0. Démonstrtion. Exercice. (Il suffit d utiliser ε = f/g). Remrque 2.1.9 Le seul cs ou f/g n est ps défini dns un voisinge de est celui ou g une infinité de zéros dns chque voisinge (c est-à-dire ussi près que l on veut) de, pr exemple pour g(x) = h(x) sin 1 x. Proposition 2.1.10 L reltion est trnsitive, f g, g h = f h, et comptible vec l multipliction, c est-à-dire f g = f h g h, et f g, h k = f h g k pour toutes fonctions f, g, h, k : V R. Démonstrtion. Exercice. (Il suffit de substituer f = ε 1 g, g = ε 2 h, etc.) Remrque 2.1.11 Attention : l reltion n est ps comptible vec l ddition! Pr exemple, x x 3 et x 2 x 3, mis x + x 2 x 3 + ( x 3 ) = o. Remrque 2.1.12 Dns l prtique, on utilise donc l nottion o(g) (voire o(g(x))) pour représenter une fonction f quelconque, à priori inconnue, telle que f g. On écrit insi pr exemple x n o(x m ) = o(x n+m ), o(x n ) + o(x m ) = o(x mx(m,n) ) (x )... Attention : Il convient de grder en mémoire que le symbole o( ) correspond, chque fois qu il pprît, à une nouvelle (utre) fonction ε. On insi pr exemple o(λf(x)) = o(f(x)) λ R, mis o(f(x)) = o(λf(x)) seulement λ R. Noter ussi que pour m > n, o(x n ) = o(x m ) (x ), mis mlgré cette «églité», o(x m ) o(x n )! 31

2 FONCTIONS NÉGLIGEABLES ET ÉQUIVALENTES ; DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 2.2 Fonctions équivlentes Définition 2.2.1 On dit que f est équivlent à g u voisinge de ssi f g est négligeble devnt g ; on écrit f g f g g. Proposition 2.2.2 Si f/g est défini dns un voisinge pointé de, lors f g lim f/g = 1. Démonstrtion. Exercice (utiliser l déf. pour m.q. f = (1 + ε)g). Remrque 2.2.3 L présente définition de fonctions équivlentes est donc plus générle que celle en terme de limite, cr elle s pplique ussi dns les cs ou f/g n est ps bien défini, voir Rem. 2.1.9. Proposition 2.2.4 L reltion est une reltion d équivlence, c est-à-dire elle est reflexive (f f), symétrique (f g = g f) et trnsitive : f g et g h = f h. Démonstrtion. Exercice (encore vec f = (1 + ε)g etc.). Proposition 2.2.5 (limites) Si f g, lors lim g existe ssi lim f existe, et si elles existent, ces deux limites sont égles. Proposition 2.2.6 (produit, quotient, puissnce) On peut prendre le produit, quotient (lorsqu il est défini) et une puissnce quelconque d équivlences. Démonstrtion. Exercice (vec f = (1 + ε)g etc.). Remrque 2.2.7 Dns le cs générl, on ne peut dditionner des équivlences : f(x) = x 2 x 0 x, g(x) = x 0 x mis f + g 0. Proposition 2.2.8 (composée) Soit f f ϕ g ϕ. b g et ϕ : I R t.q. lim b ϕ = lors Démonstrtion. exercice (comme vnt, on trouve ε = ε ϕ 0). Proposition 2.2.9 (comment trouver des équivlents) i) f(x) f() f ()(x ) si f () 0 ii) f g > 0 = x f(t) dt x g(t) dt, pour g continue dns un voisinge (pointé) de. 32 M. Hsler: Anlyse 2

2.3 Développements limités : définition et propriétés Démonstrtion. D près l définition, si lim f = c R\0, lors f c = o(1) = o(c), donc f c. Utilisons ceci vec l définition de l dérivée : f(x) f() x f (), et en multiplint cette équivlence pr x, il vient le (i). Le (ii) est équivlent à f g = o(g) = x (f g) = o( x g). Montrons que h = o(g) = x h = o( x g). Soit donc h = εg ; on. Or, ε 0 = mx [,x] ε 0, donc εg g εg g 0 et x h = o( x g). 2.3 Développements limités : définition et propriétés mx ε g g Les développements limités consistent grosso modo à trouver une pproximtion polynômile à une fonction plus compliquée, u voisinge d un point choisi. Ils ont de nombreuses pplictions dns d utres sciences (physique,...), mis ussi dns les mthémtiques elles-mêmes, en prticulier en nlyse numérique. 2.3.1 D.L. d ordre n en x 0 Définition 2.3.1 On dit que f : I R dmet un DL n (x 0 ) ssi il existe un polynôme P R n [X] et une fonction ε : I R t.q. x I : f(x) = P (x x 0 ) + (x x 0 ) n ε(x) et lim x0 ε = 0. On ppelle lors P (x x 0 ) l prtie régulière du DL, et (x x 0 ) n ε(x) le reste d ordre n, que l on note ussi o((x x 0 ) n ). Exemple 2.3.2 (fondmentl) f : ] 1, 1[ R; f(x) = 1 1 x = 1 + x + x2 + x 3 + x 3 x 1 x, donc f dmet un DL n(0) de prtie régulière P (x) = 1 + x + x 2 + x 3 et de reste x 3 ε(x) = x 3 x 1 x. Remrque 2.3.3 On permet le cs x 0 I, mis les seuls cs utiles sont ceux ou x 0 I (dhérence de I), pr exemple I = [, b] \ {x 0 } ou I = ]x 0, b[. Remrque 2.3.4 Il fut insister sur le fit qu un développement limité est une stricte églité mthémtique, il ne fut donc jmis «oublier» le reste en fveur de l prtie régulière. D illeurs, dns certins cs le reste peut être plus intéressnt que l prtie régulière. Remrque 2.3.5 Comme l formule simplifie pour x 0 = 0, on se rmène souvent à ce cs en considérnt g(t) = f(x 0 +t), c est-à-dire en fisnt un chngement de vribles x = x 0 + t, puis un DL(t = 0), dns lequel on resubstitue finlement t = x x 0. Corollire. (Conséquences de l définition.) On se limite ici ux cs ou I est un intervlle, éventuellement privé du point x 0. Si f dmet un DL en x 0 Ī, lors f dmet une limite en x 0, égle à 0 = P (0). Si x 0 I, cel implique que f est continue en x 0. Sinon, f dmet un prolongement pr continuité en x 0 (en posnt f(x 0 ) = 0 ), dont le DL coïncide vec celui de f. 33

2 FONCTIONS NÉGLIGEABLES ET ÉQUIVALENTES ; DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Si f dmet DL n (x 0 ), n 1 et x 0 I, lors f est dérivble en x 0 et f (x 0 ) = 1 = P (0). Exemple 2.3.6 Pour n N, k N, f(x) = x n+1 sin x k n est ps définie en 0 mis dmet un DL n (0) (de prtie régulière nulle et vec ε = x sin x k ) et donc une limite (nulle) et donc un prolongement pr continuité en 0. Pour n 1, ce prolongement f est dérivble en 0 (2 e prtie du corrolire) (vec f (0) = 0), mis l dérivée n est ps continue en 0 si n k : en effet f (x) = (n + 1)x n sin x k k x n k cos x k (x 0) n dmet ps de limite en 0 pour n k. Remrque 2.3.7 L exemple précédent montre que même si f dmet un DL à un ordre ussi élevé qu on veut, cel n implique jmis que l dérivée soit continue, et donc encore moins que l fonction soit deux fois dérivble! (Prendre k = n rbitrirement grnd dns l exemple 2.3.6.) 2.3.2 Unicité du D.L. Lemme (troncture). Si f dmet un DL n (x 0 ) de prtie régulière P, lors f dmet DL m (x 0 ) m {0,..., n}, dont l prtie régulière sont les termes de degré m de P. Démonstrtion. Exercice fcile : il suffit de montrer que les termes k (x x 0 ) k vec k > m peuvent s écrire comme reste d ordre m : vec n k (x x 0 ) k + (x x 0 ) n ε(x) = (x x 0 ) m η(x) k=m+1 n η = k (x x 0 ) k m + (x x 0 ) n m ε(x) 0 (x x 0 ). k=m+1 Théorème 2.3.8 (unicité) Si f dmet un DL, il est unique, c est-à-dire P et ε sont uniques. Démonstrtion. (pr recurrence). Pour n = 0, P = 0 = lim x0 f et ε(x) = f(x) 0 sont déterminés de fçon unique. Supposons que le DL n (x 0 ) de f est unique, et que f dmet un DL n+1 (x 0 ), f = n+1 0 i (x x 0 ) i + (x x 0 ) n+1 ε(x). D près le Lemme qui précède, 0 + + n (x x 0 ) n + (x x n ) n η(x) vec η(x) = n+1 (x x 0 )+(x x 0 )ε(x) est un DL n (x 0 ) de f. D près l hypothèse de récurrence, 0,..., n 1 insi que le reste η sont uniques. Or, lim x x0 x x 0 η(x) = n+1. Ce coefficient, et ε = 1 x x 0 η(x) n+1 sont donc églement uniques. Remrque 2.3.9 Autre démonstrtion : soit f(x) = P (x x 0 ) + (x x 0 ) n ε(x) = Q(x x 0 ) + (x x 0 ) n η(x), vec P = 0 + + n X n et Q = b 0 + + b n X n. En considérnt lim(x x 0 ) de l éqution précédente, on 0 = b 0. Si n > 0, on peut lors soustrire 0 = b 0 de cette éqution, l diviser pr (x x 0 ) (pour x x 0 ), et on reprt du début vec une éqution du même type mis vec n diminué d un rng, de lquelle on déduit 1 = b 1, etc... Qund enfin on rrive à n = 0, ynt identifié le 34 M. Hsler: Anlyse 2

2.3 Développements limités : définition et propriétés terme constnt et soustrit des deux membres, l éqution devient ε(x) = η(x), d où églement l unicité des restes. Corollire. f pire (pr rpport u pt. x 0 ) = P pir, c est-à-dire P = P ( X) P = 1 2 (P + P ( X)) P = 0 + 2 X 2 + + 2k X 2k. Démonstrtion. f pire f(x 0 + t) = f(x 0 t), donc P (t) = P ( t) (en comprnt prtie régulière du DL(x 0 ) de f et de f(x 0 (x x 0 ))). 2.3.3 Existence des D.L. Formules de Tylor Dns ce prgrphe, on ffirme l existence du D.L. pour les fonctions suffisment dérivbles, et on précise en même temps une expression explicite des coefficients de l prtie régulière en terme des dérivées de l fonction u point du D.L. Théorème 2.3.10 (de Tylor Lgrnge) Si f est n+1 fois continûment dérivble sur [x 0, x], lors f dmet un DL n (x 0 ) de prtie régulière P = f(x 0 ) + f (x 0 ) X + + f (n) (x 0 ) n! X n. (de coefficient k = 1 k! f (k) (x 0 )), vec le reste de Lgrnge d ordre n, c ]x 0, x[ : f(x) P (x x 0 ) = f (n+1) (c) (n + 1)! (x x 0 ) n+1. Remrque 2.3.11 A titre mnemotechnique, le reste d ordre n donc l même expression qu un terme d ordre n + 1 de l prtie régulière, suf que le «coefficient» n est ps une constnte dns l mesure ou le point c ci-dessus dépend de x. Démonstrtion. Avec l hypothèse de ce théorème, nous vons déjà démontré l formule de Tylor f(x) = f() + f () (x ) + + 1 n! f (n) () (x ) n + R n (f,, x) vec le reste intégrl d ordre n, R n (f,, x) = 1 n! x f (n+1) (t) (x t) n dt, dns le chpitre 1.4.4 (pge 16), comme ppliction de l intégrtion pr prties. Pour que cette formule corresponde effectivement à un D.L., il fut montrer que R n (f,, x) est négligeble devnt (x ) n, lorsque x. Pour cel, utilisons le théorème 1.4.12 de l moyenne générlisée, vec g(t) = (x t) n > 0 pour t ], x[. Il existe donc c ], x[ tel que R n (f,, x) = 1 n! f (n+1) (c) x (x t) n dt. Cette dernière intégrle vut [ ] x 1 (x t)n+1 = 1 n + 1 n + 1 (x )n+1, 35

2 FONCTIONS NÉGLIGEABLES ET ÉQUIVALENTES ; DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS d où l formule du reste de Lgrnge (vec = x 0 ). f n+1 étnt continue donc bornée sur ], b[, on que R n (f,, x)/(x ) n tend vers zéro, c est-à-dire R n (f,, x) = o(x ) n. Remrque 2.3.12 On peut montrer que le théorème reste vri sous l condition moins forte que f (n) (x 0 ) existe et f soit n + 1 fois dérivble sur ]x 0, x[. Pr exemple, f(x) = x, dmet un DL 0 (0) de prtie régulière nulle et de reste R 0 (f, 0, x) = x = o(x 0 ). L dérivée f (x) = 1 2 x 1/2 n est ps définie en 0, mis le reste peut nénmoins s exprimer comme f (ξ) x vec ξ = 1 4 x. L formule vec reste intégrl reste en effet vrie dns ces conditions, mis le R(f,, x) est en générl une intégrle impropre, définie comme x dt = x lim w dt, qui converge (c est-à-dire cette limite existe et elle est finie), cr w l primitive s exprime en termes de f (n) qui est continue pr hypothèse. (Dns l exemple précédent, on l intégrle impropre x 0 t 1/2 dt qui converge cr l primitive 2 x dmet une limite en 0.) Remrque 2.3.13 Dns le cs prticulier (mis fréquent) où x 0 = 0, et en posnt c = θ x vec θ [0, 1], l formule de Tylor-Lgrnge s ppelle formule de McLurin : θ ]0, 1[ : f(x) = f(0) + + f (n) (0) n! x n + f (n+1) (θ x) (n + 1)! x n+1. Une utre version de l formule de Tylor, nécessitnt une hypothèse moins forte, mis donnnt un résultt plus fible, est le Théorème 2.3.14 (Tylor Young) Si f (n) (x 0 ) existe, lors f dmet DL n (x 0 ) de prtie régulière P = f(x 0 ) + f (x 0 ) X + + f (n) (x 0 ) n! X n. Nous en dmettons ici l démonstrtion, on peut p.ex. consulter [Rmis & l, Cours de Mth Spé, III]. 2.3.4 Appliction : D.L. de quelques fct élémentires En utilisnt l formule de Tylor, on obtient les DL(0) des fonctions élémentires exp, cos, sin, (1 + x) α donnés ci-dessous, où o(x n ) représente une fonction inconnue 36 M. Hsler: Anlyse 2

2.4 Opértions sur les D.L. de l forme x n ε(x), vec lim x 0 ε(x) = 0. e x = exp x = 1 + x + 1 2 x2 + + 1 n! xn + o(x n ) sin x = x 1 6 x3 + + ( 1)n (2 n + 1)! x2 n+1 + o(x 2 n+1 ) cos x = 1 1 2 x2 + + ( 1)n (2 n)! x2 n + o(x 2 n ) ln(1 + x) = x 1 2 x2 + + ( 1)n+1 x n + o(x n ) n 1 1 x = 1 + x + x2 + + x n + o(x n ) (1 + x) α = 1 + αx + + α 1 α 1 2 α 2 3 α n + 1 n x n + o(x n ) Les fonctions ch x = ex +e x 2 et sh x = ex e x 2 ont comme DL les termes en puissnces pires resp. impires de e x, ce sont donc ceux de cos x, sin x, mis vec des signes + prtout. (En effet, cos x = Re e i x = ch(i x) et sin x = Im e i x = 1 i sh(i x).) 2.4 Opértions sur les D.L. 2.4.1 Combinison linéire, produit et quotient de D.L. Proposition 2.4.1 Si f, g dmettent des DL n (x 0 ) de prtie régulière P resp. Q, lors λf + µg et f g dmettent des DL n (x 0 ) de prtie régulière λp + µq resp. des termes de degré n de P Q. Si Q(0) 0, f/g dmet un DL n (x 0 ) de prtie régulière obtenue pr division P/Q selon les puissnces croissntes, à l ordre n. Démonstrtion. Il suffit de remplcer f, g pr leur D.L. et de développer les expressions. (Exercice : détiller ceci!) Exemple 2.4.2 Obtenir le DL 5 (0) de tn(x) pr division des DL 5 (0) de sin et cos. Solution : on trouve (x 1 6 x3 + 1 120 x5 ) : (1 1 2 x2 + 1 24 x4 ) = x + 1 3 x3 + 2 15 x5 + o(x 5 ) = tn x. 2.4.2 Intégrtion d un D.L. Proposition 2.4.3 Si f est dérivble et f dmet un DL n (x 0 ), de prtie régulière 0 + 1 X + + n X n, lors f dmet un DL n+1 (x 0 ) de prtie régulière P = f(x 0 ) + 0 X + + n n+1 Xn+1. 37

2 FONCTIONS NÉGLIGEABLES ET ÉQUIVALENTES ; DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Remrque 2.4.4 On ne peut en générl dériver un DL, même si f dérivble. Ex : f(x) = x 2 sin 1 x dmet DL 1(0) mis f n ps de limite en 0 donc ps de DL à ucun ordre. 2.4.3 Composée de D.L. Proposition 2.4.5 Si f dmet un DL n (x 0 ) de prtie régulière P et g dmet un DL n (P (0)) de prtie régulière Q, lors g f dmet un DL n (x 0 ) de prtie régulière obtenue pr les termes de degré n de Q(P ) (polynôme composé). Exemple 2.4.6 ϕ(x) = (1 + x) x = f g(x) vec f(x) = exp x, g(x) = x ln(1 + x). 2.5 Appliction des D.L. : Etude locle d une courbe On considère f définie sur I = ]x 0 α, x 0 + α[ dmettnt un DL p (x 0 ) de prtie régulière P = 0 + 1 X + p X p, p 2 t.q. p 0. Alors l tngente t à l courbe C f de f pour éqution y = 0 + 1 (x x 0 ), et l position de C f pr rpport à t est donnée pr le signe de p (x x 0 ) p : 1 er cs : p pir. le point P = (x 0, f(x 0 )) est dit ordinire p > 0 = C f u dessus de t, p < 0 = C f en-dessous de t, Si 1 = 0 = extremum ; dns ce cs : p > 0 = minimum et f convexe, et p < 0 = mximum et f concve u voisinge de x 0. 2 e cs : p impir. P = (x 0, f(x 0 )) est un pt. d inflexion, C f trverse t en P. Convexité et concvité à droite et à guche de P selon le signe de p (x x 0 ) p (cf. ci-dessus). Exercice 2.5.1 Fire un dessin représenttif pour chcun des 4 cs possibles (p pir/impir, p > 0 et p < 0) 2.6 D.L. en ± Définition 2.6.1 On dit que f : I R, I = ]α, [ (resp. I = ], α[), dmet un DL n ( ) (resp. DL n ( )) ssi P R n [X] t.q. x I : f(x) = P ( 1 x ) + o(1/xn ) (x ± ) (vec toujours o(1/x n ) une fonction de l forme ε(x)/x n, ε 0). Donc f dmet un DL n (± ) ssi g(t) = f(1/t) dmet un DL n (±0) ; c est insi qu on détermine dns l prtique les DL(± ) (même si on n écrit ps explicitement le chngement de vribles t = 1/x). Corollire. Si f dmet un DL(± ), lors f dmet une limite finie en ± (comme dns le cs d un DL(), R). 38 M. Hsler: Anlyse 2

2.6 D.L. en ± Remrque 2.6.2 Si f s écrit comme différence de deux fonctions qui n dmettent ps une limite finie, f peut qund même dmettre un DL( ) lorsque ces deux fonctions sont équivlentes en l infini. Pour le trouver, on met en fcteur une fonction équivlente (générlement une puissnce de x), pour pouvoir fire un D.L. de l utre fcteur (différence de deux DL). Si suffissment de termes des deux DL s nullent, il est possible que le produit soit un D.L. u sens strict (sinon c est un D.L. générlisé). Exemple 2.6.3 DL 2 (± ) de f(x) = x 2 1 x 2 x : Séprément les deux rcines n dmettent ps de DL( ). Or, f(x) = x ( 1 1/x 2 1 1/x), et en utilisnt 1 1/x = 1 + 1 2 ( 1/x) 1 8 ( 1/x)2 + o(1/x) 2, on f(x) = x (1+ 1 2 ( 1/x2 )+o(1/x 2 ) 1+ 1 2 x + 1 8 x ) = x ( 1 2 2 x 3 8 x +o(1/x 2 )), 2 En développnt, on f(x) = sgn(x)( 1 2 3 1 8 x + o(1/x)), d où le résultt cherché. 1 1 1 1 2.6.1 Appliction : étude d une brnche infinie en ± Pour trouver l symptote (si elle existe) à l courbe C d une fonction f, on cherche un DL 1 ( ) de l fonction g := x 1 xf(x). Si g(x) = + b/x + o(1/x), lors f(x) = x g(x) = x + b + o(1) (x ), donc l droite d éqution y = x + b est symptote à C. Remrque 2.6.4 On peut renoncer à l introduction de l fonction g, et fire le «DL( )» directement à prtir de l fonction f. Cependnt, l expression f(x) = x + b + o(1) (x ) n est ps un DL( ) u sens strict de l définition, à cuse du premier terme qui n est ps un polynôme en 1/x. L position de C pr rpport à u voisinge de l infini se déduit du signe de f(x) ( x + b). Pour le connître, on peut chercher le prochin terme non-nul dns le DL( ) de g. Si g(x) = + b/x + p /x p + o(1/x p ) vec p 0, lors on f(x) = x + b + p /x p 1 + o(1/x p 1 ). Le signe de p indique donc l position de C pr rpport à : pour p > 0, C est u-dessus de u voisinge de +, sinon endessous. Le même risonnement s pplique u voisinge de, en tennt compte du signe de x p 1 : ici c est sgn p ( 1) p 1 qui indique si C est u-dessus ou en-dessous de. Si l courbe C une convexité ou concvité définie u voisinge de ±, est convexe ssi elle est u-dessus de, sinon concve ; c est tout à fit nlogue à l étude locle en un point R, suf que l symptote joue le rôle de l tngente. Notons que 1 x f peut ne ps dmettre de DL p vec p ssez grnd pour déterminer l position pr rpport à, comme c est le cs pour f = x x + 1 x sin2 x ; ici on peut toutefois ffirmer que f est u-dessus de : y = x. 39

3 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3 Equtions différentielles 3.1 Introduction définitions générles Une éqution différentielle (ED) d ordre n est une éqution fisnt intervenir une fonction y insi que ses dérivées y (k) jusqu à l ordre n. Pr exemple, une telle éqution pourrit être y (t) = 2 y(t) ou y = 1 2 x2 y 5 x. Dns le 2e exemple, il est sous-entendu que y est fonction de x, ou plutôt que x signifie l ppliction id = (x x) : c est en effet une églité entre fonctions. L éqution différentielle d ordre n l plus générle peut toujours s écrire sous l forme F (x, y, y,..., y (n) ) = 0. (ED) ou F est une fonction de (n+2) vribles. Nous ne considérons que le cs ou x et y sont à vleurs dns R. Une solution à une telle éqution différentielle sur l intervlle I R est une fonction y C n (I; R) (une fonction y : I R qui est n fois continûment dérivble) telle que pour tout x I, on it F (x, y(x), y (x),..., y (n) (x)) = 0. Exercice 3.1.1 Vérifier que y(t) = C e 2 t est une solution à l 1e éqution sur tout R, pour tout C R fixé ; y(x) = m x 2 5x est une solution à l 2e éqution, sur R, pour tout m R. Remrque 3.1.2 Pour des risons qui seront développés dns l suite, on dit ussi intégrer l ED u lieu de trouver une solution à l ED. Dns ce chpitre, on donner des méthodes pour trouver l ensemble de toutes les solutions à une certine clsse d équtions différentielles. 3.2 Equtions différentielles du 1 er ordre Une éqution différentielle est du 1er ordre si elle ne fit intervenir que l première dérivée y. 3.2.1 Eq.diff. à vribles séprées Une éqution différentielle de 1er ordre est dite à vribles séprées si elle peut s écrire sous l forme f(y) y = g(x) (vs) Une telle éqution différentielle peut s intégrer fcilement : En effet, on écrit y = dy dx, puis, symboliquement, f(y) dy = g(x) dx f(y) dy = g(x) dx + C. (On écrit ici explicitement l constnte d intégrtion rbitrire C R (qui est déjà implicitement présente dns les l intégrles indéfinies) pour ne ps l oublier.) 40 M. Hsler: Anlyse 2

3.3 Equtions différentielles linéires Il s git donc d bord de trouver des primitives F et G de f et de g, et ensuite d exprimer y en terme de x (et de C) : F (y) = G(x) + C y = F 1 (G(x) + C). C est pour cette rison que l on dit ussi «intégrer» pour «résoudre» une éqution différentielle. Exemple 3.2.1 Résoudre sur I = ]1, [ l éqution différentielle xy ln x = (3 ln x + 1)y. On peut «séprer les vribles» (x et y) en divisnt pr yx ln x, ce qui est permis ssi y 0 (cr x ln x > 0 d près l énoncé). On y y = 3 ln x + 1 x ln x 1 y dy = 3 ln x + 1 x ln x dx + C 3 ln x+1 vec C R, soit ( x ln x = 3 x + 1 x ln x ) ln y = 3 ln x + ln ln x + C = ln x 3 ln x + C. (On simplifié ln... = ln(...) en utilisnt que x I x > 1.) En prennt l exponentielle de cette eqution, on finlement y = C 2 x 3 ln x vec C 2 R : en effet, le signe de C 2 (= ±e C ) tient compte des deux possibilités pour y, et on vérifie que C 2 = 0 = y = 0 est ussi solution (mis pour lquelle le clcul précédent, à prtir de l division pr y, n est ps vlble.) 3.2.2 Détermintion de l cte. d intégrtion L constnte d intégrtion C est fixée lorsqu on demnde que pour un x = x 0 donnée, on it une vleur donnée de y(x) = y(x 0 ) = y 0. (On prle d un problème ux vleurs initiles.) On rrive u même résultt en trvillnt dès l intégrtion de l éqution différentielle vec des intégrles définis : f(y) y = g(x) y(x 0 ) = y 0 y x f(η) dη = g(ξ) dξ. y 0 x 0 L fonction y insi obtenue est directement telle que y(x 0 ) = y 0, sns psser pr l détermintion de l constnte d intégrtion. 3.3 Equtions différentielles linéires Définition 3.3.1 Une éqution différentielle d ordre n est linéire ssi elle est de l forme L(y) = f(x) ( ) vec L(y) = 0 (x) y + 1 (x) y + 2 (x) y + + n (x) y (n). 41

3 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Proposition 3.3.2 L ppliction L : C n C 0 qui à l fonction y ssocie l nouvelle fonction L(y), est une ppliction linéire. Démonstrtion. En effet, L(y + z) = = n i (x)(y + z) (i) i=0 n i (x)y (i) + i=0 i=0 = L(y) + L(z) et pour tout λ R, n L(λ y) = i (x)(λ y) (i) = λ i=0 n i (x)z (i) n i (x)y (i) = λ L(y) i=0 Définition 3.3.3 L éqution différentielle L(y) = 0 (E.H.) s ppelle éqution homogène ssociée à ( ). Proposition 3.3.4 L ensemble S 0 des solutions à (E.H.) est le noyu de l ppliction linéire L, c est donc un sous-espce vectoriel de C n (R). L ensemble S des solutions à ( ) est donné pr S = y p + S 0 = {y p + y h ; y h S 0 } vec L(y p ) = f(x) c est-à-dire les solutions sont de l forme y = y p + y h, ou y p est une solution prticulière de ( ), et y h prcourt toutes les solutions de l éqution homogène (E.H.). Démonstrtion. L première prtie est évidente. En ce qui concerne l 2 e prtie, d une prt toute fonction de l forme y p + y h est solution de ( ) : en effet, L(y p + y h ) = L(y p ) + L(y h ) = f(x) + 0 = f(x). D utre prt, soient y 1 et y 2 solutions à ( ), lors on peut voir y 1 comme l solution prticulière y p et toute utre solution y 2 vérifie L(y 2 y 1 ) = L(y 2 ) L(y 1 ) = f(x) f(x) = 0, donc l différence y h = y 2 y 1 est bien une solution à (E.H.), donc un élément de S 0. 3.3.1 Principe de superposition Si f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), une solution prticulière est donnée pr y = y 1 + y 2, où y i est une solution à L(y i ) = f i (x) (pour i = 1, 2). 42 M. Hsler: Anlyse 2

3.4 Equtions différentielles linéires du 1 er ordre C est une conséquence directe (voire l définition) de l linérité de l opérteur L. On reviendr sur ce principe très importnt (voire fondmentl notmment en ce qui concerne les lois de l nture) dns les cs prticuliers des équtions différentielles linéires du 1er et du 2nd ordre. 3.4 Equtions différentielles linéires du 1 er ordre Une éqution différentielle linéire (EDL) du 1er ordre est une éqution différentielle qui peut s écrire sous l forme (x) y + b(x) y = c(x) (E) ou, b, c sont des fonctions continues sur un même intervlle I R, et on demnder x I : (x) 0. A cette éqution différentielle on peut ssocier l même éqution vec c = 0 : (x) y + b(x) y = 0 (E 0 ) C est l éqution homogène ssociée à (EDL), ou éqution sns second membre. (On l note ussi (E h ) ou (E.H.).) 3.4.1 Structure de l ens. de solutions Proposition 3.4.1 L ensemble des solutions S 0 à (E 0 ) est un sev. des fonctions C 1 (I). L ensemble des solutions S à (E) est obtenu en joutnt à toutes les solutions de (E 0 ) une solution prticulière quelconque de (E). Démonstrtion. C est un cs prticulier de l proposition 3.3.4, mis on peut vérifier explicitement que l fonction nulle et toute combinison linéire λy 1 +µy 2 de solutions à (E 0 ) sont toujours solutions à (E 0 ), donc c est un s.e.v. De même, si on deux solutions y 1 et y 2 à (E), lors leur différence est solution à (E 0 ). Réciproquement, on obtient donc tous les y 2 S en joutnt à un quelconque y 1 S tous les y 0 S 0 3.4.2 Résolution de l éqution homogène ssociée En effet, (E.H.) est une éqution différentielle à vr.séprées, en l écrivnt y b(x) (x). En l intégrnt, on obtient et vec K { ±e C, 0 } ln y = b(x) (x) dx + C y = K e F (x), K R, F (x) = b(x) (x) dx. y = 43

3 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3.4.3 Solution prticulière pr vrition de l constnte On cherche l solution prticulière sous l forme y = K(x) e F (x), vec K une fonction à déterminer ( vrition de l constnte ). On trouve que y est solution ssi K (x) = c(x) c(x) (x) e F (x) K(x) = (x) e F (x) dx. (on peut intéger cr c est une composée de fct.continues, et on peut oublier l constnte cr elle correspond à une solution de (E.H.)). Une solution prticulière est donc c(x) y = e F (x) (x) e F (x) dx, et l solution générle est donc ) c(x) y = e (K F (x) + (x) e F (x) dx, K R, F (x) = Exemple 3.4.2 Résoudre sur I = ] 0, π 2 [ l éqution différentielle b(x) (x) dx (sin x) y (cos x) y = x. (E) Solution : Résolvons d bord sur I l éqution homogène (sin x) y (cos x) y = 0. (EH) On obtient y y = cos x sin x L solution générle de (EH) est donc = ln y = ln sin x + k, k R y = K sin x, K R (vec K = ±e k pour tenir compte des vleurs bsolues, et K = 0 étnt solution ussi). Cherchons ensuite une solution prticulière de (E) sous l forme y = K(x) sin x, K C 1 (I) (c est-à-dire K est ici une fonction continûment dérivble sur I). On lors y (x) = K (x) sin x + K(x) cos x ce qui donne dns (E) : (sin x) [K (x) sin x + K(x) cos x] (cos x) K(x) sin x = x et comme dns l théorie générle (et c est toujours insi pr construction), il ne reste que le terme en K (x), soit : x I : K (x) sin 2 x = x K (x) = x x sin 2 K(x) = x sin 2 x dx. On intègre pr prtie, en posnt u(x) = x, v (x) = 1 sin 2 x et u (x) = 1, v(x) = 1 tn x, 44 M. Hsler: Anlyse 2

3.5 Equtions différentielles linéires du 2 e ordre à coefficients constnts ce qui donne K(x) = x tn x + 1 tn x dx = x cos x tn x + sin x dx = x + ln sin x + C. tn x Sur I, sin x > 0 ; une solution prticulière est donc obtenue pour C = 0, y = x cos x + (sin x) ln sin x et l solution générle de (E) est donné pr y = x cos x + (K + ln sin x) sin x, K R. Remrque 3.4.3 Si y 1 et y 2 sont deux solutions prticulières à ( ), lors y 1 y 2 est solution de (E.H.), et l solution générle à ( ) est y = y 1 + c(y 1 y 2 ), c R rbitrire. Chngement de vrible De fçon générle, pour résoudre une éqution différentielle du 1er ordre, il fut trouver un moyen d rriver à une éqution différentielle à vribles séprées. L méthode de l vrition de l constnte est en effet un moyen de psser de l éqution différentielle linéire inhomogène (qui n est ps à vr.séprées) à une éqution pour l nouvelle fonction k(x) = y(x)/y h (x) (où y h, solution homogène, est une fonction connue, lorsqu on résolu (EH)) qui est en effet à vribles séprées. C est donc en fit un chngement de vrible qui fit psser de l éqution pour y à une éqution plus simple pour k, que l on sit intégrer, et dont l solution permet de remonter à y. De fçon nlogue, il existe souvent un chngement de vrible qui permet de psser d une éqution différentielle quelconque pour y à une éqution différentielle linéire pour une nouvelle fonction u, que l on sit résoudre, et qui permet ensuite de trouver y. Exemple 3.4.4 L éqution de Bernoulli y cos x + y sin x + y 3 = 0 devient une éqution linéire (u 2 u tn x = 2/ cos x) pour u = 1 y. 2 L éqution de Rictti y = (y 1)(xy y x) dmet l solution évidente y = 1, et on trouve les utres solutions en posnt y = 1 + 1 u ; ce qui donne en effet une éqution linéire (u u = 1 x) pour u. (Exercice : resoudre ces deux équtions différentielles.) 3.5 Equtions différentielles linéires du 2 e ordre à coefficients constnts On s intéresse minennt ux équtions différentielles du 2e ordre, mis seules ux EDL ou les coefficients 0, 1, 2 sont des constntes réelles. 45

3 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3.5.1 Définitions Définition 3.5.1 Une EDL du 2 nd ordre à coeff. constnts est une éqution différentielle de l forme y + b y + c = f(x), (E) ou, b, c R ( 0), et f C 0 (I) (I ouvert de R). L éqution homogène (ou sns second membre) ssociée est y + b y + c = 0, (E.H.) D près les résultts générux on sit que l ensemble des solutions à (E.H.) est un e.v., et que l solution générle à (E) est de l forme y = y p + y h (...). Nous dmettons les résultts supplémetires : Proposition 3.5.2 1. Pour tout x 0 I et (α, β) R 2, (E) dmet une unique solution y telle que y(x 0 ) = α, y (x 0 ) = β. 2. Les solutions à (E.H.) sur I forment un e.v. de dimension 2 (sur R), noté S 2 (I). 3. Si y 1, y 2 sont deux solutions indépendntes de (E.H.) ({y 1, y 2 } libre dns S 2 (I)), lors {y 1, y 2 } est une bse de S 2 (I), c est-à-dire S 2 (I) = {α y 1 + β y 2 ; α, β R}. 4. Pour y 1, y 2 S 2 (I), on définit le wronskien w : I R, x w(x) = y 1(x) y 2 (x) y 1(x) y 2(x) y 1(x) y 2(x) y 1(x) y 2 (x). Si w(x 0 ) 0 pour un x 0 I, lors w(x) 0 pour tout x I, et c est une CNS pour que {y 1, y 2 } soit linéirement indépendnt et donc une bse de S 2 (I). 3.5.2 Résolution de l éqution homogène ssociée (E.H.) On cherche l solution sous l forme y = e rx, r R. On donc y y = r 2 y, donc (E) devient y( r 2 + b r + c) = 0. = r y et Définition 3.5.3 L éqution r 2 + b r + c = 0 (EC) se nomme éqution crctéristique de (E.H.). 46 M. Hsler: Anlyse 2

3.5 Equtions différentielles linéires du 2 e ordre à coefficients constnts Proposition 3.5.4 Suivnt le signe de = b 2 4c, on les résultts suivnts : > 0 : (EC) dmet 2 rcines réelles distinctes r 1 r 2, et y 1 (x) = e r1 x, y 2 (x) = e r2 x est une bse de S 2 (I). = 0 : (EC) dmet 1 rcine double r R, et y 1 (x) = e r x, y 2 (x) = x e r x une bse de S 2 (I). < 0 : (EC) dmet 2 rcines complexes conjuguées r 1 = α + i β et r 2 = α i β (α, β R, β 0), et y 1 (x) = e α x cos βx, y 2 (x) = e α x sin βy est une bse de S 2 (I). Dns chcun des cs, l solution générle à (E.H.) est donc y = A y 1 + B y 2 vec A, B R. est Démonstrtion. > 0 : Il est clir que y 1, y 2 (x) sont solutions à (E.H.). Leur wronskien est égl à e r1 x e r2 x r 1 e r1 x r 2 e r2 x = (r 2 r 1 )e (r1+r2) x 0, donc y 1, y 2 sont indépendnts et bse de S 2 (I). = 0 : On vérifie que y 2 (x) = x e r x est solution de (E.H.) : y 2(x) = (r x + 1) e r x, y 2 (x) = (r 2 x+2r) e r2 x et donc y 2 (x)+b y 2(x)+c y 2 (x) = e r x [(r 2 +br + c)x + 2r + b] = 0 cr en effet r = b/2 (comme = 0). Le wronskien est égl à e r x x e r x r e r x (rx + 1), e r x = (rx + 1 rx)e2 r x 0, donc y 1, y 2 sont indépendnts et bse de S 2 (I). < 0 : On et donc y 1(x) = e α x (α cos βx β sin βx) y 1 (x) = e α x (α 2 cos βx 2αβ sin βx β 2 cos βx) y 1 (x) + b y 1(x) + c y 1 (x) = e α x [([α 2 β 2 ] + bα + c) cos β + ( 2αβ bβ) sin β] = 0 les coefficients étnt l prtie réelle et imginire de r 2 + br + c = 0. Le clcul est identique pour y 2. Le wronskien est égl à e α x cos βx e α x sin βx e α x (α cos βx β sin βx) e α x (α sin βx + β cos βx) = e 2 α x (β[cos 2 β + sin 2 β] + [α α] sin cos βx) 0 cr β 0, donc y 1, y 2 sont indépendnts et bse de S 2 (I). Ainsi, on S 2 (I) dns tous les cs possibles. 47

3 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3.5.3 Solution prticulière à (E) On distingue encore 2 cs prticuliers et une méthode générle : f(x) = e αx P (x) ou α C et P C[X] (un polynôme). On cherche l solution sous l forme y = e αx Q(x), ou Q est un polynôme. dont on peut préciser le degré : si α n est ps rcine de (EC), lors deg Q = deg P ; si α est l une des deux rcines de (EC), lors deg Q = deg P + 1 ; si α est rcine double de (EC), lors deg Q = deg P + 2. Remrques : i) Cette méthode s pplique notmment pour α = 0, c-à-d. f(x) = P (x). ii) On peut ussi chercher une solution sous l forme y(x) = z(x) e αx, où z est une fonction à déterminer ; en remplçnt ceci dns (E), on obtient une éqution différentielle pour z, de lquelle on tire z (qui doit être égl à Q, modulo les ctes d intégrtion qui corresondent à une solution homogène). Ce procédé est en fit équivlent à l méthode de l vrition de l constnte. f(x) = M cos ωx + N sin ωx où ω, M, N R. On distingue encore une fois deux cs : i) iω n est ps rcine de (EC) : Dns ce cs, les fonctions x cos ωx, x sin ωx ne sont ps solutions de (E.H.). Une solution prticulière de (E) ser de l forme y = A cos ωx + B sin ωx, où les constntes A, B R se déterminent pr identifiction. ii) iω est rcine de (EC), donc les fonctions x cos ωx, x sin ωx sont solutions de (E.H.). Une solution prticulière de (E) ser de l forme y = x(a cos ωx + B sin ωx), où les constntes A, B R se déterminent pr identifiction. principe de superposition : Si f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), une solution prticulière est donnée pr y = y 1 + y 2, où y i est une solution à y i + b y i + c y i = f i (x) (pour i = 1, 2). (Conséquence de l linérité de L : y y + b y + c y.) Exemple 3.5.5 Résoudre y + y = x + cos 3x sur I = R. ) éqution homogène : L éqution crctéristique est r 2 + 1 = 0. L solution générle de (E.H.) est donc y = A cos x + B sin x. b) solution prticulière à y + y = x : y = x convient. c) solution prticulière à y + y = cos 3x : En remplçnt y = A cos 3x + B sin 3x dns l éqution, on trouve (A 9A) cos 3x+(B 9B) sin 3x = cos 3x, donc A = 1 8 et B = 0. d) conclusion : l solution générle est y = x 1 8 cos 3x + A cos x + B sin x. méthode de vrition des constntes. Soient y 1 et y 2 deux solutions indépendntes de (E.H.). On cherche une solution prticulière de (E) sous l forme y = A y 1 + B y 2, où A et B sont des fonctions vérifint A y 1 + B y 2 = 0. Ainsi, y = A y 1 + B y 2, et (E) devient (A y 1 + B y 2 = f(x) (cr y i + b y i + c y i = 0 pour i = 1, 2). Donc, A, B sont solutions du système { A y 1 + B y 2 = 0 A y 1 + B y 2 = 1 f(x) Ce système se résoud isément, ce qui donne A, B, puis A, B pr intégrtion. 48 M. Hsler: Anlyse 2

3.5 Equtions différentielles linéires du 2 e ordre à coefficients constnts Exemple 3.5.6 Résolvons y + y = 1 sin 3 x. L solution de (E.H.) est y h = A cos x + B sin x, A, B R (cf. exemple précédent) Cherchons une solution prticulière. Les solutions y 1 = sin x, y 2 = cos x sont indépendntes, en effet leur wronskien vut w(x) = 1. Cherchons une solution sous l forme y p = A(x) cos x + B(x) sin x, vec A y 1 + B y 2 = 0. A, B sont solutions à { A sin x + B cos x = 0 A cos x B sin x = 1 sin 3 x donc A = 1 w(x) B = 1 w(x) 0 cos x 1 sin x = cos x sin 3 x sin 3 x, sin x 0 1 cos x = 1 sin 2 x. sin 3 x vec les primitives A = 1 2 sin 2 x, B = cos x sin x. On donc l solution prticulière y p = 1 2 sin x + cos2 x cos 2x = sin x 2 sin x, et l solution générle en joutnt y h = A cos x + B sin x. 49

4 FONCTIONS À VALEUR DANS R 2 : COURBES PARAMÉTRÉES 4 Fonctions à vleur dns R 2 : courbes prmétrées Définition 4.0.7 (et interpréttion géométrique) Soit D un sous-ensemble de R 2. Une fonction f : D R 2 et ppelée ppliction vectorielle à vleurs dns R 2. Les deux fonctions x : D R et y : D R telles que t D : f(t) = (x(t), y(t)) sont ppelées les pplictions composntes de (ou : ssociées à) f. Le pln étnt rpporté à un repère (O, ı, j), on note M(t) le point dont les coordonnées sont f(t) = (x(t), y(t)). Lorsque le prmètre t prcourt D, le point M(t) décrit un sous-ensemble du pln, ppelé l courbe C de (ou : ssociée à) f. Le système d équtions { x = x(t) t D y = y(t) est ppelé une représenttion prmétrique de C. On dit lors que C est une courbe prmétrée. 4.1 Pln d étude d une courbe prmetrée On procède en 6 étpes, précisées ci-dessous : 1 ) Préciser le domine de définition D c est-à-dire l ensemble des points en lesquel les deux pplictions composntes x et y sont définis. 2 ) Recherche de périodes et symétries 1. Si T > 0 : t D, x(t) = x(t + T ) et y(t + T ) = y(t), l fonction est t périodique : on peut lors restreindre l étude à l intersection de D vec un intervlle de longueur T, et on obtient insi toute l courbe. 2. Si D est symétrique et on une des symétries suivntes : (i) t D : x( t) = x(t) et y( t) = y(t) (x et y fcts pires de t), (ii) t D : x( t) = x(t) et y( t) = y(t) (x impire et y pire), (iii) t D : x( t) = x(t) et y( t) = y(t) (x pire et y impire), (iv) t D : x( t) = x(t) et y( t) = y(t) (x et y impires), lors on restreint l étude à t D R +, et on obtient toute l courbe (i) qui est prcourue 2 fois (ii) en complétnt l rc pr une symétrie pr rpport à l xe y (iii) en complétnt l rc pr une symétrie pr rpport à l xe x (iv) en complétnt l rc pr une symétrie pr rpport à l origine O. 3 ) Rechercher les eventuelles brnches infinies : voir chpitre 4.2 4 ) Fire un tbleu de vritions pour x et y, en étudint les signes de x et y. 5 ) Etudier les points prticuliers tels que points sttionnires (= singuliers), points doubles : voir chpitre 4.3 50 M. Hsler: Anlyse 2

4.2 Etude des brnches infinies 6 ) Trcer l courbe en s idnt des résultts précédnts, notmment en reportnt ussi les points singuliers, tngentes et symptotes. 4.2 Etude des brnches infinies Définition 4.2.1 L courbe C présente une brnche infinie (ou : un rc infini), si u moins une des coordonnées tend vers l infini, pour t t 0, vec t 0 R {± }. Les cs suivnts sont possibles : 1. lim x(t) = l R et lim y(t) = ± : C dmet l droite d éqution x = l t t0 t t0 comme symptote verticle 2. lim x(t) = ± et lim y(t) = l R : C dmet l droite d éqution y = l t t0 t t0 comme symptote horizontle 3. lim t t0 x(t) = ± et lim t t0 y(t) = ± : On étudie lim t t0 y(t)/x(t) : y(t) () Si lim t t0 x(t) = ±, lors C dmet une brnche prbolique dns l direction 0y y(t) (b) Si lim t t0 x(t) = 0, lors C dmet une brnche prbolique dns l direction 0x y(t) (c) Si lim t t0 x(t) = 0, on étudie l fonction y x : Si lim (y(t) x(t)) = b R lors C dmet l droite d éqution t t0 y = x + b comme symptote, et l position de C/ dépend du signe de y x b. (On peut utiliser un DL(t 0 ) pour le trouver.) Si lim (y(t) x(t)) = ± lors C dmet une brnche prbolique t t0 dns l direction de l droite d éqution y = x. Si y x n dmet ps de limite, on ne sit ps conclure. y(t) (d) Si lim t t0 x(t) n dmet ps de limite, on ne peut conclure sur l nture de l rc infini. 51

4 FONCTIONS À VALEUR DANS R 2 : COURBES PARAMÉTRÉES 4.3 Etude de points prticuliers Définition 4.3.1 On suppose que x : t x(t) et y : t y(t) sont dérivbles en t 0. Le vecteur V (t 0 ) = (x (t 0 ), y (t)) est ppelé le vecteur dérivée de f en t 0. On note ussi V (t 0 ) pr d dtom(t 0 ). Si V (t 0 ) o, c est-à-dire (x (t 0 ), y (t 0 )) (0, 0), le point M(t 0 ) est dit point ordinire. L droite (T ) de vecteur directeur V (t 0 ) et pssnt pr M(t 0 ) est ppelée tngente à C en M(t 0 ). Une représenttion prmétrique de T est donc donnée pr { x = x(t 0 ) + x (t 0 ) (t t 0 ) T : y = y(t 0 ) + y t D. (t 0 ) (t t 0 ) et on peut en déduire fcilement une éqution de l forme y = m x + b (ou x = x(t 0 ) si x (t 0 ) = 0) en exprimnt (t t 0 ) dns l deuxième éqution en terme de x à l ide de l première éqution : y = y(t 0 ) + y (t 0 ) x (t 0 ) (x x(t 0)). Si V (t 0 ) = o, c est-à-dire x (t 0 ) = y (t 0 ) = 0, lors le point M(t 0 ) est dit sttionnire ou singulier. 4.3.1 Tngente en un point sttionnire M(t 0 ). En un point sttionnire, le vecteur dérivée s nnule ; l direction de l tngente est lors donnée pr les dérivées supérieures. On suppose dns l suite les fonctions x et y suffismment dérivbles pour que toutes les dérivées considérées existent. (Dns le cs contrire, on ne peut ps utiliser le risonnement présenté ici.) 1. Si x (t 0 ) = y (t 0 ) = 0 et (x (t 0 ), y (t 0 )) (0, 0) : Dns ce cs, l tngente (T ) à C en M(t 0 ) c est l droite qui psse pr M(t 0 ) de vecteur directeur le vecteur V (t 0 ) = d2 dt 2 M(t 0 ) de composntes (x (t 0 ), y (t 0 )). 2. Si V (t 0 ) = V (t 0 ) =... = o, V (p) (t 0 ) o : On générlise le cs précédent. L tngente T à C en M(t 0 ) est l droite qui psse pr M(t 0 ) et qui comme vecteur directeur V (p) (t 0 ) = (x (p) (t 0 ), y (p) (t 0 )). 4.3.2 Position de C/T et nture d un point M(t 0 ) L étude suivnte de l nture d un point, en fonction de l position de l courbe C pr rpport à l tngente T, s pplique ux points sttionnires, mis ussi à tout utre point ordinire. Nottions : On designe pr p le premier entier 0 tel que (x (p) (t 0 ), y (p) (t 0 )) (0, 0) : { p = min p N V } (p) o 52 M. Hsler: Anlyse 2

4.3 Etude de points prticuliers et pr q le premier entier strictement supérieur à p tel que les vecteurs V (p) et V (q) ne soient ps colinéires. (On peut écrire { q = min q N V (q) λ V } (p) λ R cr pour q p l dernière reltion n est ps stisfite non plus. Ecrivons l formule de Tylor-Young à l ordre q, c est-à-dire le DL q (t 0 ) : (S) { x(t) = x(t0 ) + (t t0)p p! x (p) (t 0 ) +... + (t t0)q q! x (q) (t 0 ) + (t t 0 ) q ε 1 (t) y(t) = y(t 0 ) + (t t0)p p! y (p) (t 0 ) +... + (t t0)q q! y (q) (t 0 ) + (t t 0 ) q ε 2 (t) vec lim ε 1 (t) = 0 et lim ε 2 (t) = 0. t t0 t t0 En écrivnt (S) sous forme vectorielle, il vient : f(t) = f(t 0 ) + (t t 0) p p! V (p) (t 0 ) +... + (t t 0) q q! V (q) (t 0 ) + (t t 0 ) q ε(t) Or, V (p+1) (t 0 ),..., V (q 1) (t 0 ) sont colinéires à V (p) (t 0 ), donc f(t) =f(t 0 ) + (t t 0 ) p [ 1 p! + λ p+1 + (t t 0) q q! V (q) (t 0 ) + (t t 0 ) q ε(t) t t 0 (p + 1)! +... + λ q 1 (t t 0 ) q p 1 (q 1)! ] V (p) (t 0 ) Etudions le vecteur M(t 0 ) M(t) dns le repère (M(t 0 ), V (p) (t 0 ), V (q) (t 0 )). Si x 1 (t) et y 1 (t) designent ses composntes dns cette bse, on les équivlences (u voisinge de t 0 ) (t t 0 ) p x 1 (t) (t0) p! (t t 0 ) q et y 1 (t) (t0) q! Selon l prité de p et de q, on les résultts suivnts : 1. p pir et q impir : u voisinge de t 0, x 1 (t) 0 et y 1 (t) le signe de (t t 0 ) : C trverse l tngente T en M(t 0 ), qui est un point de rebroussement de 1 e espèce. 2. p pir et q pir : u voisinge de t 0, x 1 (t) 0 et y 1 (t) 0, indépendmment du signe de (t t 0 ) : C ne trverse ps l tngente T ; M(t 0 ) est un point de rebroussement de 2 e espèce. 3. p impir et q pir : u voisinge de t 0, x 1 (t) chnge de signe et y 1 (t) 0 : C touche l tngente T ; M(t 0 ) est ppele méplt. 4. p impir et q impir : u voisinge de t 0, x 1 (t) et y 1 (t) chngent de signe : C trverse l tngente T en M(t 0 ), qui est ppelé point d inflexion. Sur l suivnte figure 2 sont représentés ces qutres cs possibles. 4.3.3 Points doubles (ou multiples) Définition 4.3.2 S il existe t t tels que M(t ) = M(t), on dit que M(t) est un point double (ou multiple). 53

4 FONCTIONS À VALEUR DANS R 2 : COURBES PARAMÉTRÉES ; GFH 4 < " :9 J9 ;" 768 GIH 6B (*8 )!$#&%' '$)(*)+,C-"ED 0 )'$21 )3) (* 5(>= )?@A, :9 :9 <S 768 54 768!"$#&%' '$)(*)+,.- /&0 )'$21 )3) ; K(*L 5(*BM#&+,B-ON + PRQ"#&+ FIG. 2 Exemples type des qutre ntures de points (singuliers) possibles Pour trouver les points doubles, il fut donc résoudre le système { x(t ) = x(t) y(t ) = y(t) vec t t. (C est en générl un clcul ssez lourd...!) Notons que l étude des symétries éventuelles (périodicité ou symétrie) peut être fort utile dns l recherche des points doubles. Pr exemple, si x et y sont pires, tout point M(t), t 0 est point double. 4.4 Etude d un exemple Etudions l courbe C définie pr { x = t 2 + 2 t y = t 2 + 1 t 2. 1. Domine de définition : x et y sont définis sur D = R \ {0} 2. Recherche de symétries : il n y ps de symétries évidentes. (y est pire mis x n ps de prité définie.) 3. Etude de brnches infinies. () t ± : On x + et y +, il fut donc étudier y x t 2 ± t = 1, 2 et y(t) 1 x(t) = 1 t 2 2 t = 0 : L droite d éqution : y = x est symptote à l courbe pour les deux rc infinis t ±. 54 M. Hsler: Anlyse 2

4.4 Etude d un exemple (b) t 0 : On y 1 t + et x 2 2 t ± (selon l signe de t). On t t 0± étudie donc y x 0 2t = 1 2 2t ±, on donc deux brnches prbolique de direction (Oy) en t = 0 4. étude du signe de x et y : {x (t) = 2 t 2 t 2 = 2 t 2 ( t 3 1 ) = 2 t 2 (t 1) ( t 2 + t + 1 ) y (t) = 2 t 2 t 3 = 2 t 3 ( t 4 1 ) = 2 t 3 ( t 2 + 1 ) (t 1) (t + 1) donc x le signe de t 1 et y le signe de t(t 2 1) : t 1 0 1 + x (t) 0 + x(t) + 1 + 3 + y(t) + 2 + + 2 + y (t) 0 + 0 + 5. étude en t = 1 x (1) = y (1) = 0 = M(1) : (3, 2) est un point sttionnire. Clculons les derivées successives de x et y en t = 1 pour connître le vecteur directeur de l tngente et l nture du point : { x (t) = 2 + 4 t 3 y (t) = 2 + 6 t 4 = { x (1) = 6 y (1) = 8 Donc V (1) = (6, 8) 0 = C dmet une tngente en M(1) : (3, 2) de vecteur directeur V (1) = (6, 8). (Son éqution est donc T : y = 8 6 (x 3) + 2 = 4 3 x 2.) Nture du point : { { x (t) = 12 t x (1) = 12 4 y (t) = 24 = t y (1) = 24 5 V (1) = ( 12, 24) est non colinéire à V (1) = (6, 8), on est donc dns le cs p = 2, q = 3, c est-à-dire le point M(1) : (3, 2) est un pt de rebroussement de 1 e espèce. 6. recherche de points doubles : cherchons t t tel que M(t ) = M(t), c est-à-dire { { x(t ) = x(t) t 2 + 2 y(t t = t 2 + 2 t ) = y(t) t 2 + 2 = t 2 + 2 t 2 t 2 cr t t. Donc { t 2 t 2 = 2 t 2 t = 2 t t t t t 2 t 2 = 2 t 2 = 2 t 2 t 2 2 t 2 t 2 t 2 { t t = ±1 t + t = ±2 { t + t = 2 t t 1 = 1 t 2 t 2 { t = ± 1 t t 2 2t ± 1 = 0 55

4 FONCTIONS À VALEUR DANS R 2 : COURBES PARAMÉTRÉES Le premier choix de signes est à exclure cr il correspond à (t 1) 2 = 0, soit t = 1 = t. Donc t, t sont les solutions à t 2 + 2t 1 = 0, soit t = 1 + 2 et t = 1 2. Le point double est donc M(t) = M(t ) = (5, 6). 7. Trcé de l courbe : (cf. figure ci-dessous) on reporte les symptotes, le pt. sttionnire vec s tngente. En prtnt de, u dessus de l symptote, on rejoint le pt. ( 1, 2) vec une tngente horizontle, puis on reprt pour t 0 vers x =, y = + (brche prbolique de direction Oy) (pour x = 10, y 25). Pour t u voisinge de +, on vient de en-dessous de l symptote y = x, et on rejoint le pt. singulier (3, 2) vec l tngente de vecteur directeur (6, 8), puis on reprt de l utre coté de cette tngente, en pssnt pr le pt. double (5,6), pour l brnche prbolique de direction Oy, qund t 0+ (pour x = 10, y 25). t->0- y t->0+ t->-oo t->+oo V =(6,8) 6 2 x -1 3 5 A: y=x FIG. 3 Grphe de l courbe étudiée, vec l symptote y = x et le vecteur directeur de l tngente en le point de rebroussement. 56 M. Hsler: Anlyse 2

RÉFÉRENCES Références [1] J.-M. MONIER : Anlyse 1, Anlyse 2, Algèbre 1 (série «j intègre» / Monier, 3 e édition), Dunod, 1999. ( Anlyse 1 pour intégrle de Riemnn, Algèbre 1 pour décomposition en éléments simples Très bonne présenttion pédgogique, vec nombreux exercices corrigés.) [2] X. OUDOT : Anlyse première nnée (série Hprép), Belin, 1998. [3] E. LEHMAN : Mthémtiques pour l étudint de première nnée (coll. DIA, Université), Belin. [4] F. LIRET, M. ZISMAN : Mths (5 tômes), Dunod Université. [5] D. GUININ, F. AUBONNET, B. JOPPIN : Clsses péprtoires et premier cycle universitire : précis de mthémtiques (tômes 3 à 5), Brél. [6] X. MERLIN : Méthodix Anlyse, Ellipses. [7] P. VIGOUREUX : Cours et exercices de Mthémtiques (tôme 2 et 3), Ellipses. [8] E. RAMIS, C. DESCHAMPS, J. ODOUX : Cours de mthémtiques spéciles (tôme I : Algèbre, III : Topologie et éléments d nlyse, IV : Séries et équtions différentielles), 2 e édition, Msson, 1988 1993. (D un niveu un peu supérieur u DEUG, cette collection constitue un excellent ouvrge de référence.) 57