Chapitre 9 Nombres etiers aturels, esembles fiis, déombremets ^ ^3 e_ 9 Pricipe de récurrece Exercice 9 Motrer par récurrece que : N, + + 6 Calculer le ombre de carrés que l o peut dessier sur u échiquier 8 8, les cotés sot parallèles aux bords de l échiquier et les sommets sot des sommets de cases de l échiquier Gééraliser avec u échiquier Exercice 9 Motrer par récurrece que : N, + 3 Exercice 93 Motrer par récurrece que pour tout N, + 5 est divisible par 6 Exercice 94 Motrer par récurrece que pour tout N, 7 divise 3 + + + Exercice 95 Motrer que : N π, cos + + + }{{} radicaux Exercice 96 exo_rec_double_ Soit u la suite doée par : u 0 u 3 N, Motrer que N, u + Exercice 97 Soit u la suite doée par : u 0 u, Prouver que : N, u Exercice 98 Motrer que u + 3u + u u u u N \ {0,}, + + + > 3 + Exercice 99 Soit ue foctio f : N Z Motrez qu il existe ue suite d etiers relatifs α telle que N, f 0α Exercice 90 Démotrer que N, il existe u etier multiple de qui e s écrit qu avec des "" et des ""
Exercice 9 Soit, x, x,, x [0;] Démotrer que x Exercice 9 Motrer que, x + + + + x x 3 x + x x 3 x + x x x!+! Motrer que tout etier N se décompose de faço uique sous la forme N x a!, 0 a, a 0 Exercice 93 Démotrer le premier lemme techique : Soit m, N Si il existe ue bijectio de,m das, alors m Exercice 94 O se propose de démotrer la propriété P : a, a,, a R a +, + a + + a a a a Il existe de ombreuses démostratios de cette iégalité arithmético-géométrique Celle-ci, due à Cauchy, utilise la récurrece de faço peu ordiaire démotrer P lorsque l u au mois des a est ul Par la suite o supposera que tous les a sot strictemet positifs Démotrer P Par récurrece, démotrer P lorsque est ue puissace de deux 4 Démotrer P e toute gééralité L idée de Cauchy est de compléter la suite a par des termes tous égaux à la moyee arithmétique des a, afi d avoir u ombre de termes égal à ue puissace de deux 9 Sommes Exercice 9 Simplifier, pour N, les sommes suivates : + l0 l 0 + 4 + + Idicatio 90 : Pour les deux deriers, o pourra utiliser les résultats des exercices 9 et 9 Exercice 9 Simplifier, pour N, les sommes suivates : + l + +! 4 0! Idicatio 90 : Pour les deux deriers, o pourra écrire le terme gééral de la somme comme ue différece Exercice 93 Soit O cosidère les deux sommes S S 3 3 + 3 3 + 5 3 + + 3 a Calculer S, S et S 3 + + 3 + 3 4 + + + b Démotrer par récurrece que :, S 4 a Détermier deux réels α et β tels que : p N, 93 Produit b E déduire ue expressio simple de S p p+ α p + β p+ c Retrouver ce résultat e effectuat u raisoemet par récurrece Exercice 9 Calculer pour tout N, les produits suivats : + 4 + Exercice 9 Le but de cet exercice est de calculer, pour tout x R et N, le produit Traiter le cas où x 0 [π] P x 0 cos x Pour x 0 [π] simplifier si x P x et calculer P x
Exercice 93 O veut calculer pour tout a R et N le produit P Calculer P quad a 0 + a Calculer ap quad a et e déduire la valeur de P Exercice 953 Pour N, calculer les sommes suivates : 0 3 0 4 + 4 0 5 + 3 0 94 Factorielles Exercice 94 Soit N Exprimer à l aide de factorielles : 4 3 le terme gééral de la suite u doée par la relatio de récurrece : u 0 et N, u + + + u Exercice 94 Résoudre l iéquatio 4! pour N Exercice 943 Motrer que +,! 95 Coefficiets biomiaux, calculs de somme Exercice 95 Soit p, N avec p 0, Motrer que : p p p E déduire que : p p0 p Motrer que : + p + p+ p+ Exercice 95 Calculer rapidemet les expressios suivates où N : où p+ où p N 4 99 3 5 00 3 exo_sommes_classiques_biomes 6 x 5 pù x R 7 a b 4 avec a,b C exo_pascal_geeralise 8 +i 0 Exercice 954 Calculer pour tout N : A 0 B 0 C 0 4 D 0 Exercice 955 Démotrer que : Exercice 956 N, + N 5 E 0 6 F 0 + 7 G 0 8 H + Motrer que pour tout x 0 et tout N, o a l iégalité de Beroulli : +x + x Re-démotrer cette iégalité e utilisat la formule du biôme de Newto Exercice 957 Résoudre x + x+ 0 p+ p p+ Exercice 958 Soit x R et N Développer de deux faços + x x Calculer le coefficiet de x et e déduire ue propriété des coefficiets biomiaux Exercice 959 Soiet,m N avec m 3
Vérifier que + m m+ 0 Iterpréter cette formule das le triagle de Pascal Exercice 950 Calculer pour p, q N : S Exercice 95 E utilisat la foctio défiie par calculer la somme Exercice 95 Pour tout N, établir que : Motrer que pour tout N : p p+ q p+ q 0 p f x+ x + x S p p p0 + + + + 4 + + + + 4 Déduire grâce à u raisoemet par récurrece que : 4 4 De la même faço, motrer que pour tout N : 4 3 5 O cosidère la suite u de terme gééral : u détermier sa limite 4 Motrer que u coverge et 96 Déombremet Exercice 96 Avec les chiffres 0,,, 3, 4, combie peut-o écrire d aées au-delà de 000 e utilisat ue seule fois le même chiffre? Exercice 96 Das ue course de 0 voitures, détermier le ombre de classemets possibles das les cas suivats : Toutes les voitures sot arrivées et il y a pas d ex-aequo Toutes les voitures sot arrivées et il y a exactemet deux ex-aequo Toutes les voitures sot arrivées et il y a deux ex-aequo à la première place pas d exaequo par ailleurs 4 Trois voitures e sot pas arrivées et il y a pas d ex-aequo 5 Trois voitures e sot pas arrivées et il y a exactemet deux ex-aequo Exercice 963 Au bridge, les mais comptet 3 cartes prises das u jeu de 5 cartes Combie de mais comportet : U seul roi Aucu roi Au mois u roi 4 Les 4 rois 5 Que des piques Exercice 964 Au poer, o distribue des mais de 5 cartes proveat d u jeu de 3 cartesdétermier le ombre de mais qui comporte exactemet : Ue paire c est-à-dire deux cartes de même hauteur Deux paires mais pas u carré i u brela U brela c est-à-dire trois cartes de même hauteur mais pas u full Exercice 965 Soit u esemble fii E de cardial > 0 Calculer la somme X P E Exercice 966 Soit O cosidère u polygoe covexe à côtés X 4 U full c est-à-dire u brela et ue paire 5 U carré c est-à-dire quatre cartes de même hauteur 6 Ue couleur c est-à-dire quatre cartes de la même couleur 4
Détermier le ombre de diagoales joigat les sommets Détermier le ombre d itersectios etre les diagoales si l o suppose que diagoales e sot jamais parallèles et que 3 diagoales e sot jamais cocourates Exercice 967 Soiet E u esemble fii de cardial et A ue partie de E qui cotiet p élémets p Quel est le ombre de parties à élémets de E coteat u et u seul élémet de A? Quel est le ombre de parties à élémets de E coteat au mois u élémet de A? Exercice 968 Motrer que pour tout p, q, N p q p+ q 0 Exercice 969 Soiet, p, N tels que p Déombrez les parties à p+ élémets de l itervalle etier [,,+ ] dot le plus grad élémet est + E déduire la valeur de la somme : p p Voir l exercice 959 pour ue preuve de cette formule par récurrece Exercice 960 Motrer que 0, j, N tels que 0 j +, j j + j O doera ue démostratio par le calcul et ue démostratio combiatoire Exercice 96 Soit N Détermiez le ombre de surjectios de l itervalle d etiers,+ vers l itervalle d etiers, Exercice 96 Pour tout N, o ote a le ombre d etiers, divisibles à la fois par 3 et par 4 Calculer a et trouver u équivalet de a lorsque + Exercice 963 Soit E u esemble fii de cardial N Déombrer les couples X,Y P E vérifiat X Y Exercice 964 Soit E u esemble fii de cardial N Déombrer les couples X,Y P E vérifiat Exercice 965 Soit E u esemble fii de cardial N Motrer qu il y a autat de parties X P E de cardial pair que de parties de E de cardial impair Exercice 966 Soit E u esemble fii de cardial 3 et a,b E Soit p Déombrer les parties de E à p élémets coteat a et b, coteat a uiquemet, b uiquemet, i a i b E déduire ue relatio sur les coefficiets biomiaux Re-démotrer cette relatio par le calcul : + + p p p p Exercice 967 Motrer que pour < p <, A p pa p + Ap Retrouver ce résultat de faço combiatoire Exercice 968 Soiet p, N tels que p Détermiez le ombre d applicatios de, vers, p telles que f et i,, f i f i + f i + Exercice 969 Soit E u esemble fii de cardial N Calculer X,Y P E X Y Exercice 960 Soiet, p, N O cosidère u quadrillage à coordoées etières et A 0,, B p, deux poits de ce quadrillage Détermier le ombre de trajets de A vers B avec réflexio sur l axe Ox, c est-à-dire que : pour aller de A vers l axe 0x, o peut avacer d u cra vers la droite ou d u cra vers le bas Pour aller de l axe 0x vers B, o peut avacer d u cra vers le haut ou d u cra vers la droite Exercice 96 O cosidère u échiquier de 8 8 cases De combie de faços peut-o disposer 8 tours sur l échiquier sas qu elles soiet e prise? Si l o a placé les 8 tours aisi, motrer qu il y a u ombre pair de tours placées sur des cases blaches X Y 5