A propos de matrices Page sur 6 La tavere de l'irladais vous présete A propos des matrices U horizo racompté par Jérôme ONILLON, désagrégé par les mathématiques U mot d'itroductio Il y a peu, les matrices demeuraiet ue exclusivité de l'après BAC. Mais, par u curieux chemiemet, elles sot arrivées au lycée. No e sectio scietifique comme l'o aurait pu s'y attedre mais e filière écoomique et sociale. Certais verrot là l'itroductio d'u outil puissat au service de la résolutio de problèmes spécifiques à ces classes. D'autres mauvais esprits objecterot que tout cela est la coséquece des quelques greouillages qui agitet les marigots où se discutet les programmes de l'educatio Natioale. Mais toujours est-il que les matrices sot là! Aussi ous devios-ous de les maltraiter! Fodametalemet, les matrices sot des tableaux à deux dimesios sur lesquels o peut défiir toutes les opératios classiques : somme, produit et produit avec u réel. Ce sot ces lois de compositio iteres qui doet aux matrices tout leur itérêt. Avat que le mode e s'effodre ue derière fois, c'est des matrices, de leurs opératios et de leurs spécificités dot ous allos vous parler. Notre propos aurait pu seulemet s'adresser aux chaceux de l'optio Math e première ES, mais il sera plus ambitieux. Alors, veez découvrir avec ous ce si étrage pays des matrices aux propriétés isoupçoées... Note : le préset cours 'a rie d'officiel. Il 'egage que so auteur. Il e peut être distribué qu'à titre gratuit. So auteur e reoce à aucu de ses droits. Il est exclusivemet mis e lige par la tavere de l'irladais (http://www.taopah.com). Le préset documet PDF a été gééré avec GhostWord 2.0. Au sommaire : Le temps des matrices... 2 Somme de deux matrices et produit par u réel... 3 L'additio matricielle... 3 Les propriétés de la somme... 4 Produit d'ue matrice par u réel... 4 L'impossible résolutio d'ue équatio matricielle liéaire... 6 Le produit matriciel... 6 Tous les produits e sot pas possibles!... 8 La multiplicatio matricielle 'est pas commutative!... 9 Par cotre, elle est associative... 9 Priorité opératoire et distributivité... U produit ul de facteur o uls... Le mode merveilleux des matrices carrées d'ordre...2 La questio de l'iverse (à gauche ou à droite)...2 L'iverse d'ue matrice carrée d'ordre 2...3 L'iverse pour les ordres supérieurs...5 L'iverse das la résolutio d'u système...5 Editio du mardi 2 octobre 2004 Si proche et pourtat si loitaie Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 2 sur 6 Le temps des matrices Les matrices sot ue ouvelle espèce de ombres. Cepedat, elles e costituet pas pour autat ue ouveauté. Car pratiquemet, ue matrice 'est rie autre qu'u tableau bidimesioel. Défiitio : et p sot deux etiers aturels o uls. Ue matrice de dimesio p est tableau à deux dimesios de ombres réels (ou autres) comportat liges et p coloes. Si o appelle a i,j le coefficiet (c'est-à-dire le ombre réel) de la matrice A se trouvat à la i-ième lige et j-ième coloe alors ous avos : a, a,2 a,p a2, a2,2 a2,p A = = ( ai,j) a, a,2 a,p liges et p coloes Il existe divers formats de matrices. E voici quelques spécimes! Les vecteurs coloes de dimesio sot des matrices de dimesio. C'est-àdire qu'elles comportet liges et ue coloe. Elles sot doc de la forme A =. a a2 a Souvet, c'est par ue matrice coloe que l'o représete les coordoées d'u vecteur das le pla, das l'espace et même ailleurs. Les vecteurs liges de dimesio sot des matrices de dimesio. Elles A = a a a. comportet doc ue lige et coloes. Elles sot de la forme ( ) 2 Là ecore, c'et souvet par ue matrice lige que l'o représete les coordoées d'u poit ou d'u vecteur das le pla ou l'espace. 4 2 La matrice A = est de dimesio 2 3 c'est-à-dire qu'elle comporte deux 7 0 liges et trois coloes. So coefficiet a 2, c'est-à-dire celui se trouvat à la deuxième lige et à la première coloe est 7. So coefficiet a 3, 'existe pas! E effet, elle 'a que deux liges! 4 7 8 La matrice B= 2/3 6 3 est de dimesio 3 3. Elle a autat de liges que de 2 5 coloes. Plus courammet, o la qualifie de matrice carrée d'ordre 3. Parmi les matrices carrées d'ordre 3, il e est deux que je voudrais vous préseter. 0 0 0 La première est la matrice ulle. Tous ses coefficiets sot uls. Il s'agit de 0 0 0. 0 0 0 Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 3 sur 6 La secode est la matrice idetité d'ordre 3 aussi otée Id 3. Tous ses coefficiets sot 0 0 uls sauf ceux de sa diagoale qui sot égaux à. Bref Id3 = 0 0. 0 0 Ces deux matrices particulières existet pour tous les ordres possibles. Mêmes les plus absurdes! Maiteat que ous avos ue idée de ce que sot les matrices, ous allos pouvoir les opérer. Sortez les bistouris, ous arrivos! Somme de deux matrices et produit par u réel Il e va des matrices comme des vecteurs : o peut les additioer etre elles ou les multiplier par u réel. D'ailleurs 'écrit-o pas les coordoées de ceux-ci sous la forme de vecteurs liges ou coloes. L'additio matricielle O additioe deux matrices e additioat leurs coefficiets respectifs. Pour que l'opératio soit possible, les deux termes matriciels doivet avoir les mêmes dimesios. Défiitio : A = ( a i,j ) et B ( b i,j ) = sot deux matrices de dimesio p. La somme des matrices A et B est la matrice de même dimesio otée A+ B et défiie par : a, a,2 a,p b, b,2 b,p a, + b, a,2 + b,2 a,p + b,p a2, a2,2 a2,p b2, b2,2 b2,p a2, + b2, a2,2 + b2,2 a2,p + b2,p + = a, a,2 a,p b, b,2 b,p a, + b, a,2 + b,2 a,p + b,p Matrice A Matrice B Matrice A+B Ue fort belle et bie lourde défiitio dot o e retiedra que le pricipe gééral : o additioe leurs coefficiets respectifs. A ce propos, mettos-là e applicatio sur quelques exemples. Commeços par additioer deux vecteurs liges! 4 2 + 3 7 = 4 + ( ) + ( 3) 2+ 7 = 3 4 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Tout cela 'est pas sas rappeler les calculs sur les coordoées de vecteurs! A préset, procédos à la somme de deux matrices 3 2! 4 3 3 4+ 3 3+ 7 2 5 8 + 2 7 = 5+ 2 8+ 7 = 3 5 7 9 9 7 + ( ) 9 + ( 9) 6 0 5 7 6 8 5+ 6 + 8 7 +??? + = = Mais il maque ue coloe! 2 3 4 9 2+ 9 3+ 4 +??? Tout cela car ces deux matrices 'ot pas les mêmes dimesios! L'opératio s'avère doc impossible! Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 4 sur 6 Efi, achevos ce tour d'horizo e additioat deux matrices 2 3! 5 7 0 0 0 5+ 0 7+ 0 + 0 5 7 + = = 3 3 3 0 0 0 3+ 0 3+ 0 3+ 0 3 3 3 Cet exemple illustre le fait que l'additio matricielle admet u "zéro" e la persoe de la matrice ulle (celle qui a des 0 partout). O dit qu'elle est l'élémet eutre de l'additio. N'importe quelle matrice ajoutée à la matrice ulle reste elle-même! Les propriétés de la somme A l'istar de ses aîées réelle ou vectorielle, l'additio matricielle est commutative. Compreez par là que la somme A+ B est égale à la somme B+ A. Les deux termes peuvet être commutés. E effet, ous avos : a, + b, a,p + b,p b, + a, b,p + a,p A+ B= + = B+ A a, + b, a,p + b,p b, + a, b,p + a,p Matrice A+B A la lige i et à la coloe j, o commute les deux termes réels a i, j et bi, j Car l'additio réelle est commutative! E fait, l'additio matricielle hérite sa commutativité de sa cosoeur réelle. Cette propriété peut s'avérer fort utile dés lors qu'il s'agit d'echaîer ue série de sommes matricielles. C'est par exemple le cas avec ce qui suit! 4 3 7 4 3 4 3 4 3 7 2 + 8 5 + 2 = 2 + 2 + 8 5 2 5 2 8 2 5 2 5 2 5 2 8 Commutos ces deux matrices Additioos ces deux matrices 0 0 7 7 = 0 0 + 8 5 = 8 5 0 0 2 8 2 8 Matrice ulle Das l'exemple précédet, les première et troisième matrices sot les opposées l'ue de l'autre. Compreez que leurs somme est la matrice ulle qui est l'élémet eutre de l'additio matricielle. La otio d'opposé d'ue matrice se défiit comme celles des ombres ou des vecteurs. Défiitio : dire que A est l'opposé de B sigifie que A+ B= 0 Pratiquemet, l'opposé de la matrice A est ue matrice de même dimesio et dot les coefficiets sot les opposés de ceux de A. Produit d'ue matrice par u réel Cette opératio est l'extesio de celle existat pour les vecteurs de l'espace ou du pla. x E effet, si o appelle y les coordoées d'u vecteur u de l'espace das u quelcoque z repère ( O; i, j,k) alors le vecteur k.u k.x y a pour coordoées k.y..z k C'est là le produit d'u vecteur coloe par u réel! O éted cette opératio a toutes les autres matrices e multipliat chacu de ses coefficiets par le ombre réel k. Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 5 sur 6 Défiitio : A = ( a i,j ) est ue matrice de dimesio p et k est u réel. Le produit du réel k par la matrice A est la matrice de même dimesio otée k.a et défiie par : a, a,2 a,p k.a, k.a,2 k.a,p a2, a2,2 a 2,p k.a 2, k.a 2,2 k.a2,p k. = a, a,2 a,p.a,.a,2.a k k k,p Matrice A Matrice k.a A l'istar de ce qui se passe pour les vecteurs, cette multiplicatio matricielle/réelle est prioritaire par rapport à l'additio vectorielle. C'est u choix comme la priorité de la multiplicatio réelle par rapport à l'additio réelle. Aisi, par exemple : 2 7 8 4 3 2 8+ 3 4 ( 2) 5 25 4. 3. = = = 7 3 0 3 28 2 0 9 28+ 0 2 9 28 3 Prioritaire... Prioritaire... Il e reste plus qu'à faire la somme... différece = somme avec l'opposé Les aficioados de calcul vectoriel e serot pas trop dépaysés! Ue des coséqueces de cette priorité de la multiplicatio sur l'additio est que cette première deviet distributive par rapport à cette secode. E effet, si A = ( a i,j ) et B= ( b i,j ) sot deux matrices de dimesio p et k est u réel alors : a, + b, a,p + b,p k.a, + k.b, k.a,p + k.b,p k. [ A+ B ] = k. = a + b a + b k.a + k.b k.a + k.b,,,p,p,,,p,p Matrice A+B La matrice A+B a été multipliée par k k.a, k.a,p k.b, k.b,p = + = k.a + k.b k.a k.a k.b k.b,,p,,p Matrice k.a Matrice k.a Das le même esprit, ous pourrios dire que la multiplicatio réel/matrice est distributive par rapport à l'additio des ombres. E effet, si k et l sot deux réels et A = ( a i,j ) ue matrice de dimesio p alors : ( k+ l).a, ( k+ l).a,p k.a, k.a,p l.a, l.a,p ( k+ l).a = = + ( k+ l).a ( k+ l).a k.a k.a l.a l.a,,p,,p,,p Matrice ( k+ l).a......qui est aussi la somme de deux autres matrices = k.a + l.a Cette derière propriété s'emploie gééralemet de la droite vers la gauche, à savoir das le ses de la réductio des sommes : 2.A+ 6.A = 8.A. C'est comme avec les x et les vecteurs! Les esprits chagris et les vieilles filles me ferot remarquer que les deux propriétés précédetes étaiet assez évidetes et doc qu'il était iutile de retrer das les détails et aisi de les établir. L'iterrogatio qui me viet est alors de savoir ce qu'ils dirot de l'exercice suivat. Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 6 sur 6 L'impossible résolutio d'ue équatio matricielle liéaire Pour coclure ce paragraphe, ous allos ous lacer das la résolutio de l'équatio suivate d'icoue matricielle X : 4 2 0 0 4 6 3 3. X + = 5.X+ 7 3 5 7 0 2 2 0 Ce gere d'équatio 'est pas sas rappeler les traditioelles équatios du premier degré à coefficiets réels. Nous ispirat de ces derières, ous allos pour la résoudre mettre les X d'u côté et les "sas X" de l'autre. Petite différece tout de même : ous allos travailler avec des matrices 2 3 4 2 0 0 4 6 3 3. X + = 5.X+ 7 3 5 7 0 2 2 0 O commece par distribuer 3 3 2 6 0 0 4 6 3 3.X + = 5.X+ 2 9 5 7 0 2 2 0 4 6 3 3 2 6 0 0 3.X 5.X = + 2 0 Les X d'u côté... 2 9 5 7 0 2 Les "sas X" de l'autre! 9 9 2.X= 3 3 O divise par -2 9 9 0,5 9,5 4,5 X =. = 2 3 3 6,5 5,5 6,5 0,5 9,5 4,5 Coclusio : l'uique solutio de l'équatio est la matrice 2 3 X= 6,5 5,5 6,5. Les préceptes itroduits e quatrième restet valables même avec les matrices. Aisi : O e chage pas ue égalité si o ajoute ou retrache la même chose aux deux membres. O e chage pas ue égalité si o multiplie ou divise ses deux membres par le même ombre réel o ul! Ils sot valables pour les réels, les vecteurs et les matrices! E fait, ils sot valables partout où ue additio et ue multiplicatio par u réel existe! Le produit matriciel Si o peut cosidérer que la somme matricielle et le produit d'ue matrice par u réel sot les extesios de leurs cofrères vectoriels, il e peut e aller de même pour le produit de deux matrices. Car le produit de deux vecteurs 'existe pas! Ou plutôt si, il existe! Mais so résultat est u ombre réel! C'est à partir de ce produit que l'o dit scalaire que ous allos défiir le produit de deux matrices. Pour bie compredre la chose, plaços das l'espace que ous supposos mui d'u repère u ; 2;3 v 7;4; est doé par orthoormé ( O; i, j,k). Le produit scalaire des vecteurs ( ) et ( ) 7 u.v = ( 2 3 ). 4 = 7 + ( 2) 4+ 3 ( ) = 4 Somme des produits das chaque coordoée Déjà le produit matriciel poit... Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 7 sur 6 S'ispirat du produit scalaire u.v, ous diros que le produit de la matrice lige ( 2 3 ) 7 par la matrice coloe 4 est égal à la matrice de dimesio Prologeos cette expériece sur d'autres exemples : qu'est ( 4) 2 7 3 MatriceLige avec coloe MatriceLige avec coloe 2 E quelque sorte, ous avos cosidéré que la secode matrice était u double vecteur coloe. Nous avos doc procédé à deux produits scalaires. Le résultat de la multiplicatio d'ue matrice 3 et d'ue matrice 3 2 est doc ue matrice 2. ( 3 5) 0 4 = + ( 3) 0+ 5 7 2 + ( 3) 4+ 5 ( 3) = ( 36 25) 7 7+ 2 2+ 3 2 3 Lige avec la coloe 4 2 = = 4 5 ( 4) 7+ 5 2+ 7 Lige 2 avec la coloe Va doer ses liges... Va doer sa coloe.... Grossièremet, ous avos les produits scalaires de chacue des liges de la première matrice avec cette matrice coloe. Le produit d'ue matrice 2 3 et d'ue matrice 3 est doc ue matrice de dimesio 2. 2 ( 3) 2 2 Lige et Coloe Lige et Coloe 2 6 2 = = 7 7 ( 3) 7 2 Refile tes coloes! 7 Doe tes liges! Lige 2 et Coloe Lige 2 et Coloe 2 Là ecore, ous avos procéder au produit scalaire de chaque lige avec chaque coloe. Et même si cela étoera certais, le produit d'ue matrice 2 et d'ue matrice 2 doe ue matrice carrée d'ordre 2. Comme quoi, le produit matriciel e réduit pas écessairemet les dimesios. ( 3 ) Ces trois exemples motret commet multiplier deux matrices : o fait le produit scalaire de chaque lige de la première matrice avec chaque coloe de la secode. Le produit matriciel se défiit doc de la maière suivate : Défiitio : A = ( a i,j ) est ue matrice de dimesio m et B ( b i,j ) = ue matrice de dimesio m p. La produit des matrices A et B est la matrice de dimesio p otée A B et défiie par : lige i coloe j coloe j b,j ai, ai,m = ai, b,j +... + ai,m bm,j b,m Matrice A Matrice B Matrice A B lige i Le coefficiet de matrice produit se trouvat à la i-ème lige et à la j-ème coloe est doc la somme des produits des m coefficiets de la i-ème lige de la matrice A et de la j-ème lige de la matrice B. Bref, c'est très simple! Etre deux siestes sur les bacs de l'école primaire, o a dû vous appredre à poser vos multiplicatios lorsque celles-ci coceraiet de grads ombres. Ue astuce similaire existe pour les produits matriciels. Elle structure les calculs et évite aisi de s'emmêler les piceaux. Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 8 sur 6 0 2 3 2 Par exemple, multiplios les matrices et 3 4 2 0 4. 6 0 O écrit ces deux matrices das u tableau : le premier facteur sur la gauche et le secod sur le haut. Puis, o calcule chaque coefficiet de la matrice produit e "emboîtat" la lige correspodate du premier facteur et la coloe correspodate de la secode matrice facteur. Secode matrice facteur 0-2 3-3 4 Premier facteur 6-0 -2 0 + ( 2) + 6 = 4 ( 2) + ( 2) ( 3) + ( ) = 3 3 + ( 2) 4+ 0 = 5 2 0-4 2 0+ 0 + ( 4) 6 = 24 2 ( 2) + 0 ( 3) + ( 4) ( ) = 0 2 3+ 0 4 + ( 4) 0 = 6 Matrice produit Cette présetatio a le gros avatage de structurer les calculs : elle limite le risque de predre la mauvaise lige ou la mauvaise coloe. Reste alors à éviter l'écueil des erreurs de calculs. Ayat posé et effectué la multiplicatio, ous pouvos coclure que : Tous les produits e sot pas possibles! 0 2 3 2 4 3 5 3 4 3 0 4 = 24 0 6 6 0 Tous les produits de matrices e sot pas possibles. Elles doivet avoir des dimesios compatibles. Plus exactemet, le premier facteur doit avoir autat de coloes que le secod a de liges. Cela afi que les liges de la première matrice s'emboîtet bie avec les coloes de 2 3 5 3 la secode. Il est par exemple impossible de faire le produit suivat 0 7 6 4 Trois coloes Deux liges Secode matrice facteur 5 3 Première matrice 6 4 2 3 5+ 2 6+ 3??? 3+ 2 4+ 3??? - 0 7 ( ) 5+ 0 6+ 7??? ( ) 3+ 0 4+ 7??? Matrice produit Il maque ue lige à la secode matrice. Par cotre, le produit das l'autre ses est possible! Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 9 sur 6 La multiplicatio matricielle 'est pas commutative! La multiplicatio réelle est commutative. E effet, les calculs 2 3 et 3 2 aboutisset au même résultat. Les facteurs 2 et 3 peuvet être commutés. Pour la multiplicatio matricielle, les choses sot différetes : elle 'est pas commutative. C'est-à-dire que preat deux matrices A et B, il 'est pas sûr que le produit A B soit égal au produit B A. S'il e est aisi, c'est déjà parce que ces deux multiplicatios peuvet aboutir à deux matrices 'ayat pas les mêmes dimesios. Par exemple, si l'o effectue les deux produits avec les matrices A = ( 2) et B= alors : 5 A B= ( 2) B A = ( 2) 5 5 = ( ( ) + 2 5) = ( 9) 2 2 = = Matrice 5 5 2 5 0 Matrice 2 2 Et puis, même lorsque l'o travaille avec des matrices sympas comme des matrices carrées d'ordre 2, la plupart du temps, les choses se passet mal : ça e commute pas! 2 Par exemple, voyos ce qu'il e est avec les matrices carrées A = 6 et 2 3 B= 7. 2 2 3 6 A B= = 6 7 5 9 2 3 2 6 7 B A = = 7 6 3 3 Les deux multiplicatios aboutisset à des résultats différets. Doc A et B e commutet pas. Alors bie sûr, il peut arriver que deux matrices commutet. Mais c'est l'exceptio! C'est loi d'être ue gééralité. Nous devos le dire : La multiplicatio matricielle 'est pas commutative! Ue précisio : même s'il 'y avait qu'u seul couple de matrices A et B pour lequel le produit A B serait différet du produit B A, cela ferait quad même de la multiplicatio matricielle ue opératio o commutative. Par cotre, elle est associative L'associativité est la propriété qui permet de faire les produits de trois facteurs ou plus das l'ordre où l'o veut. La multiplicatio réelle état associative, le produit 2 3 5 de plusieurs faços suivat l'associatio reteue c'est-à-dire la première multiplicatio choisie. 2 3 5= 6 5= 30 2 3 5 = 2 5= 30 O peut commecer par ce produit O peut commecer par ce produit Das l'exemple précédet, à aucu momet la commutativité de la multiplicatio réelle 'est iterveue. Sio il y aurait ue troisième voie e commeçat par la multiplicatio de 2 et 5. La multiplicatio 'est pas commutative. Cepedat elle est associative. Démotros cela pour les matrices carrées. Nous cosidéros trois matrices carrées d'ordre otées A = ( a i,j ), B= ( b i,j ) et C ( c i,j ) =. Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 0 sur 6 Pour prouver que le produit matriciel est associatif, Nous devos prouver que les calculs ( A B) C et A ( B C) coduiset au même résultat. Quelque soit la multiplicatio par Preum's Preum's laquelle o commece, o arrive à la même matrice. Pour y parveir, ous allos ous cocetrer sur le coefficiet d'idices i,j de la matrice A B C. La démostratio qui suit, est assez difficile à suivre et exige de l'attetio et quelques précisios. Le symbole Σ (proocer "sigma") dot ous allos faire usage, est là pour idiquer ue somme. Aisi par exemple a = a + a + + a + + a k 2 k k= Somme des a k avec k allat de à Le coefficiet de la matrice ( A B) C se trouvat à la lige i et à la coloe j est doé par : ( A B) C = [ A B ].c i,j i,k k,j = a i,l.b l,k.ck,j = a i,l.b l,k.ck,j k= Coefficiet d'idice i,k k= l= k= l= Coefficiet d'idice i, j de la matrice (A B) C de la matrice A B La lige de i de A Globalemet, ue somme avec de somme La lige i de A B la coloe j de B avec la coloe j de C Le coefficiet de la matrice A ( B C) se trouvat à la lige i et à la coloe j est doé par : A ( B C) = ai,l [ B C] = a i,j l,j i,l. b l,k.ck, j = a i,l.b l,k.ck,j l= Coefficiet d'idice i, j Coefficiet d'idice l, j l= k= l= k= de la matrice A ( B C) de la matrice B C La lige de l de B Globalemet, ue somme avec de somme La lige i de A la coloe j de C avec la coloe j de B C Les deux siges sommes (l'u e variable k et l'autre e l) e dépedat pas l'u de l'autre, ils sot doc permutables. Par suite, pour tous etiers i et j compris etre et, avos-ous : ( A B) C = a.b.c = A ( B X) i,j i,l l,k k,j i,j k= l= Leurs coefficiets respectifs état égaux, il e va doc de même pour les matrices carrée A B C A B C. d'ordre que sot ( ) et ( ) La propriété que ous veos d'établir pour les matrices carrées, s'éted à toutes les autres matrices pour peu qu'elles aiet des dimesios compatibles. Aisi avos-ous : Défiitio : la multiplicatio matricielle est associative. Pour toutes matrices A, B et C aux dimesios compatibles : A B C= ( A B) C= A ( B C) O commece par la multiplicatio que l'o veut! Cette propriété de la multiplicatio matricielle permet de simplifier certais calculs. Par exemple : 2 2 7 6 7 2 26 0 52+ 0 0 3 52 3 = = = 4 3 2 2 4 0 3 04+ 0 0+ 3 04 3 Commeços par Ce derier produit se fait cette multiplicatio assez facilemet! Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page sur 6 Classiquemet, ous aurios pu commecer os calculs e multipliat les deux premières matrices. Mais il est probable que les calculs auraiet été u petit peu plus compliqués... Priorité opératoire et distributivité A l'istar de leurs cosoeurs réelles, la multiplicatio matricielle est prioritaire par rapport à l'additio. S'il e est aisi, c'est parce que l'o a décrété. Les priorités opératoires restet doc les mêmes que pour les ombres réels. Par exemple, effectuos le calcul suivat : 3 3 3 2 5 9 6 + ( 4 5) = + = 0 7 2 0 7 8 0 8 7 Multiplicatio prioritaire Il e reste plus qu'à additioer Même e additioat ou multipliat des matrices de dimesios différetes, u calcul peut avoir u ses. Cela dit, au cours de celui-ci, il faut toujours s'assurer que l'opératio que l'o va faire est possible. Cela évite de faire des bêtises! La coséquece de cette priorité de la multiplicatio sur l'additio est que cette première deviet distributive par rapport à cette secode. Mais attetio car la multiplicatio 'est pas commutative. Cela sigifie doc que le ses das lequel se fait la distributio a so importace. Elle peut se faire par : Distributio à gauche ( ) A B+ C = A B+ A C O distribue de la gauche O multiplie à gauche par A Distributio à droite ( ) B+ C A = B A+ C A O distribue de la droite O multiplie à droite par A Ue telle propriété se démotre assez facilemet : tout repose sur le fait que la coloe j (ou lige i) de la matrice B+ C est la somme des liges coloes j (ou des liges i) des matrices B et C. U produit ul de facteur o uls Depuis toujours, o vous a demadé de cosidérer comme u acquis qu'u produit était ul si et seulemet si au mois l'u de ses facteurs l'était. Cette réalité permet e outre de résoudre des équatios du secod degré, voire mieux. Mais il s'agit là d'ue vérité réelle voire complexe. Car la réalité matricielle est tout autre : u produit peut être ul sas pour autat que l'u de ses facteurs le soit. C'est par exemple le cas des produits suivats : 4 3 ( 6 3 2 ). 6 = ( 6 4 + ( 3) 6+ 2 ( 3) ) = ( 0) Matrice ulle! 2 0 8 0 + ( 2) 5 8 + ( 2) 4 0 0 = = 3 6 5 4 ( 3) 0+ 6 5 ( 3) 8+ 6 4 0 0 2 Matrice ulle 2 2 + ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 0 = = = + ( ) ( ) + ( ) ( ) 0 0 Le carré est u produit par soi-même O dit que les matrices précédetes sot des élémets irréguliers : u produit dot elles sot facteurs peut doer ue matrice ulle. A leur sujet, o parle égalemet de diviseurs de 0. C'est à cause d'elle que le mode des matrices 'est pas itègre. Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 2 sur 6 Le mode merveilleux des matrices carrées d'ordre Ue matrice carrée d'ordre est u matrice de dimesio, c'est-à-dire qu'elle a autat de liges que de coloes. C'est d'ailleurs pour cela qu'elle est carrée. M R. Le symbole R est là pour idiquer L'esemble des matrices carrées d'ordre se ote ( ) que ces matrices sot à coefficiets réels. M R est u mode merveilleux pour les raisos que voici : L'esemble ( ) D'abord la somme de deux matrices carrées d'ordre est ue autre matrice carrée d'ordre. A cela, rie d'extraordiaire car il e va aisi de toutes les sommes de matrices : les dimesios sot coservées. 0 0 La matrice ulle est l'élémet eutre de cette additio das M ( R ). 0 0 liges et coloes Cette matrice ulle est à ( R ) M ce qu'est 0 à l'esemble des réels. La somme de toute matrice carrée A et de cette matrice ulle doe la matrice A. M R u opposé, c'est-à-dire ue Efi, toute matrice carrée A d'ordre admet das ( ) matrice B telle que A+ B= Matrice ulle. Les coefficiets de cette matrice B sot les opposés de ceux de A. M R mui de l'additio matricielle u groupe. Tout cela fait de l'esemble ( ) Avec le produit par u réel, l'esemble ( R ) M deviet u espace vectoriel. Et puis, il y a le produit de deux matrices carrées d'ordre dot le résultat est ue autre matrice carrée d'ordre. Et là, c'est ue spécificité des matrices carrées! 0 La matrice idetité Id = est l'élémet eutre de cette 0 Des sur la diagoale, des 0 partout ailleurs multiplicatio matricielle : pour toute matrice A ( R) M, A Id = Id A = A. Rappelez- vous de ce qui se passe das R : il y a la multiplicatio, so élémet eutre, puis viet la questio iverse. Dire qu'u ombre b est l'iverse d'u ombre a sigifie que a b =. Depuis la quatrième, ous savos que tout ombre réel a u iverse. Pour les matrices, les choses sot différetes. Toute matrice carrée A 'a pas écessairemet d'iverse. Il 'existe pas forcémet de matrice B telle que A B= Id. Aisi, ( R ) ( R ) M mui de la multiplicatio matricielle 'est pas u groupe. Par cotre, M avec ses additio et multiplicatio matricielles est u aeau qui 'est pas itègre. La questio de l'iverse (à gauche ou à droite) Le produit réel a ceci d'avatageux sur so petit frère matriciel qu'il est commutatif. La défiitio de l'iverse d'u ombre réel s'e trouve doc simplifiée. Dire qu'u ombre b est l'iverse d'u ombre a sigifie que a b =. Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 3 sur 6 Pour les matrices, les choses sot différetes car les produits A B et B A e sot pas toujours égaux. Si l'o veut défiir cette otio d'iverse pour les matrices, où doit-o multiplier : à gauche ou à droite? Pour solutioer le problème, il est possible de défiir deux types d'iverse : l'u à gauche, l'autre à droite. Défiitio : A, B et C sot trois matrices carrées d'ordre. La matrice B est l'iverse à gauche de la matrice A B A = Id La matrice C est l'iverse à droite de la matrice A Produit à gauche A C = Id Produit à droite Et là, les choses se compliquet car ue matrice A pourrait très bie avoir u iverse à gauche B sas pour autat avoir u iverse à droite C. L'existece de l'u 'implique pas écessairemet l'existece de l'autre. Par cotre, si o sait qu'ue matrice A admet u iverse à gauche B et u iverse à droite C alors ces deux iverses sot égaux. Pour le prouver, o utilise l'associativité du produit matriciel sur le produit B A C. B A C= Id C= C O commece par ce produit B est l'iverse à gauche de A B A C = B Id = B O commece par ce produit C est l'iverse à droite de A d'où C= B A C= B Mais ecore faut-il que les existeces d'u iverse à gauche B et d'u autre à droite C aiet été établies! O pourrait croire que cette situatio des iverses de matrices est iextricable, balacée qu'elle est etre la gauche et la droite. La réalité est e fait mois idécise car, e recourat à l'algèbre liéaire, o motre que si que si ue matrice est iversible à gauche (ou à droite) alors elle est de l'autre côté et doc quelle l'est tout court. L'iverse d'ue matrice lorsqu'il existe, est ue chose uique qui e déped pas du ses das lequel le produit est fait. Aisi pouvos-ous le défiir e disat : Défiitio : A et B sot deux matrices carrées d'ordre. Dire que la matrice B est l'iverse de la matrice A sigifie que A B= B A = Id U seul produit suffit à défiir... Autremet dit, le produit des deux est égal à l'élémet eutre de la multiplicatio matricielle. La questio qui se pose à préset est de savoir à quelle coditio ue matrice est iversible et alors de détermier so iverse. C'est l'objet de ce qui arrive... L'iverse d'ue matrice carrée d'ordre 2 Ayat ue matrice carrée A d'ordre, existe-t-il ue matrice B de même dimesio telle que le produit de deux doe la matrice idetité Id? Et si oui, commet la trouver? Loi de ous lacer das de grades chevauchées aux résultats icertais, regardos ce qui se passe pour les matrices carrées d'ordre 2. Cela ous doera peut-être ue idée de ce qui est pour les autres. Soit A a b = ue matrice carrée d'ordre 2 dot les coefficiets a; b; c et d sot des c d ombres réels fixés. x y Existe-t-il ue matrice B= z t qui serait so iverse, c'est-à-dire telle que A B= Id? Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 4 sur 6 Bie sûr, x, y, z et t sot quatre réels qu'il faut détermier. De leurs existeces déped celle de l'iverse de A. a b x y a B est l'iverse de A Id.x + b.z a.y + b.t 0 = = c d z t c.x + d.z c.y + d.t 0 Matrice A Matrice B Or deux matrices sot égales si et seulemet si leurs coefficiets respectifs le sot. Cela ous coduit à u système liéaire 4 4 qui est e fait u double système 2 2 : a.x + b.z= a.y + b.t = 0 (S) (S') c.x + d.z= 0.y +.t= c d Egalité des premières coloes Les icoues sot x et z Egalité des secodes coloes Les icoues sot y et t Ces deux systèmes ot les mêmes coefficiets du poit de vue de leurs icoues. Et ces deux systèmes admettrot deux solutios uiques si leur détermiat a. d b. c (au sigulier car c'est le même) est o ul. Cela ous permet de dire à quelle coditio ue matrice carrée d'ordre 2 admet u iverse. Ue matrice A a b = est iversible So détermiat a. d - b. c est o ul c d L'objectif suivat est l'obtetio de la matrice iverse B. Nous supposos doc que le détermiat de la matrice A est o ul. a.x + b.z= () Résolvos le premier système (S) par combiaisos liéaires. c.x + d.z= 0 (2) Pour détermier x, ous élimios z Pour détermier z, ous élimios x. () (2) d a. d.x + b. d.z= d b c. b.x + b. d.z= 0 ( a d b c)...x= d d d x= = a. d b. c det(a) () (2) c a. c.x + b. c.z= c a a. c.x + a. d.z= 0 ( ) b. c a. d.z= c c c z= = a. d b. c det(a) Pour obteir la secode coloe de B, o résout le secod système a.y + b.t= 0 (S') c.y + d.t= () (2). Pour détermier y, ous élimios t () (2) d a. d.y + b. d.t= 0 b c. b.y + b. d.t= b ( a d b c)...y = b b b y = = a. d b. c det(a) Pour détermier t, ous élimios y. () (2) c a. c.y + b. c.t= 0 a a. c.y + a. d.t= a ( ) b. c a. d.t= a a a t= = a. d b. c det(a) Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 5 sur 6 Coclusio : la matrice carrée A a b = d'ordre 2 est iversible si et seulemet si so c d détermiat det(a) = a. d b. c est o ul. d b det(a) det(a) Das u tel cas, so iverse est la matrice carrée. c a det(a) det(a) 3 7 Mettos ces formules e applicatio sur la matrice carrée d'ordre 2 qu'est A = 2 5. 3 7 Commeços par calculer so détermiat : det( A) = = 3 5 2 7=. 2 5 5 7 Comme il est o ul la matrice A est iversible et so iverse est la matrice B=. 2 3 Pour vérifier le résultat, calculos le produit de la matrice A et de so iverse supposé : 3 7 5 7 3 5+ 7 ( 2) 3 ( 7) + 7 3 0 A B= = = = Id2 2 5 2 3 2 5+ 5 ( 2) 2 ( 7) + 5 3 0 Doc la matrice B est bie l'iverse de la matrice A et réciproquemet. L'iverse pour les ordres supérieurs A l'istar de ce que ous veos de voir avec des matrices carrées d'ordre, seules les matrices carrées dot le détermiat est o ul, sot iversibles. La formule du détermiat d'ue matrice carrée d'ordre quelcoque faisat appel à des otios assez complexes comme celles des permutatios et de leurs sigatures, ous e ous avetureros pas sur ce terrai. Pour détermier l'iverse d'ue matrice carrée d'ordre 2, ous avos été ameé à résoudre u faux système 4 4 qui était e fait u double système 2 2. Si ous cherchios l'iverse d'ue matrice carrée d'ordre 3, ous ous lacerios das la résolutio d'u triple système 3 3. Pour l'iverse d'ue matrice carrée d'ordre 4, ce serait u quadruple système 4 4. Bref, que des choses sympathiquemet de plus e plus compliquées. Alors bie sûr, il existe des formules permettat de calculer l'iverse d'ue matrice. Elles s'appuiet sur les comatrices et sot utilisées par vos calculatrices. Mais elles se situet bie au-delà de otre modeste horizo. L'iverse das la résolutio d'u système La questio que certais 'aurot déjà pas maqué de se poser est de savoir à quoi l'iverse d'ue matrice peut-il bie servir? Ue des utilisatios possibles de l'iverse est la résolutio d'u système liéaire. Preos x+ 4.y+ z= 49 l'exemple du système 3 3 qu'est (S) x + 3.y + 3.z = 60. x + 4.y + 2.z = 58 Sous forme matricielle, ce système peut s'écrire : x+ 4.y+ z= 49 x+ 4.y+ z 49 4 x 49 x+ 3.y+ 3.z= 60 x+ 3.y+ 3.z = 60 3 3. y = 60 x+ 4.y+ 2.z= 58 x+ 4.y+ 2.z 58 4 2 z 58 Cette matrice peut être vue comme état le produit d'ue matrice 3 3 et d'ue 3 Appelos cette matrice A Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)
A propos de matrices Page 6 sur 6 4 6 4 9 Or la matrice A = 3 3 est iversible et so iverse est la matrice A ' = 2. 4 2 0 Pourquoi e est-il aisi? Pour le prouver, procédos au produit de ces deux matrices : 4 6 4 9 6 4 4 4+ 0 9+ 8+ 0 0 A A ' = 3 3 2 = 6 3 3 4 3+ 0 9+ 6+ 3 = 0 0 = Id3 4 2 0 6 4 2 4 4+ 0 9+ 8+ 2 0 0 M, la matrice A' Leur produit état égal à l'élémet eutre pour la multiplicatio das ( ) 3 R est bie l'iverse de la matrice A! Reveos à votre derière égalité. Elle s'écrivait : x 49 x 49 x 6 4 9 49 2 A. y = 60 A ' A. y = A ' 60 y = 2 60 = 7 z 59 = Id z 59 z 0 59 9 3 car A' est l'iverse de A O multiplie à gauche les deux membres de l'égalité par A' Matrice A' Coclusio : l'uique solutio du système (S) est ( 2;7;9 ). C'est e s'appuyat sur des raisoemets de ce type que calculatrices et logiciels peuvet résoudre les systèmes liéaires. Sachat iverser ue matrice, ils e déduiset la solutio dudit système. Ce documet a été réalisé par Jérôme ONILLON à la fi avril 2004 pour la tavere de l'irladais (www.taopah.com)