Chapire 5 Séries de Fourier e réponse fréquenielle 5. Rappel héorique Définiions des séries de Fourier Un signal coninu x() L 2 [,T) (signal de période T ou à suppor compac inférieur à T ) peu êre exprimé par une somme de signaux harmoniques de fréquences muliples de /T : x() = T + k= ˆx k e jk 2π T. Cee représenaion de x es appelée sa série de Fourier. Les coefficiens de Fourier ˆx k peuven êre calculés par la formule T ˆx k = x() e jk 2π T d, k Z. Les caracérisaions de x par ses valeurs emporelles x(), [,T), ou par ses coefficiens de Fourier ˆx k, k Z, son équivalenes. Similairemen, un signal discre x[n] l 2 [,N ] (signal de période N ou à suppor compac inférieur ou égal à N) peu êre exprimé par une somme de signaux harmoniques de fréquences muliples de /N. Les signaux discres ne peuven pas varier arbirairemen vie ; c es pourquoi la série de Fourier conien un nombre fini de signaux harmoniques : x[n] = N N k= ˆx k e jk 2π N n. Les coefficiens de Fourier ˆx k peuven êre calculés par la formule ˆx k = N k= x[n] e jk 2π N n, k =N. Les caracérisaions de x par ses N valeurs emporelles x[n], n =N, ou par ses N coefficiens de Fourier ˆx k, k =N, son équivalenes. 42
CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER ET RÉPONSE FRÉQUENTIELLE 43 Propriéés des séries de Fourier La démonsraion des propriéés suivanes des séries de Fourier es un exercice ou à fai accessible. En emps-coninu, on considère les signaux a() e b() L 2 [,T) e leurs coefficiens de Fourier respecifs â k e ˆb k, k Z. Propriéé Signal emporel Coefficiens de Fourier Linéarié αa()+βb() αâ k + βˆb k Décalage emporel a( ) e j 2π T k â k Inversion emporelle a( ) â k Complexe conjugué (a()) (â k ) Dérivée emporelle Inégraion emporelle d d a() a(τ) dτ ( ( 2πj T k) â k T 2πj ) k â k! définie e périodique uniquemen si a() à moyenne nulle â = Signal réel pair a() =a( ) R â k =â k R Signal imaginaire pair a() =a( ) jr â k =â k jr Signal réel impair a() = a( ) R â k = â k jr! Signal imaginaire impair a() = a( ) jr â k = â k R! On a les propriéés sricemen similaires en emps discre (excepé la dérivée qui n a plus de sens). Réponse d un sysème LTI Réponse impulsionnelle h() L 2 [,T) coefficiens de Fourier ĥk, k Z Signal d enrée u() L 2 [,T) coefficiens de Fourier û k, k Z Sorie du sysème LTI associé à h() pour l enrée u() : y() =u() h() = T h(( τ)modt ) u(τ) dτ L 2 [,T) coefficiens de Fourier ŷ k = ĥk û k, k Z. Réponse impulsionnelle h[n] l 2 [,N ] coefficiens de Fourier ĥk, k =N Signal d enrée u[n] l 2 [,N ] coefficiens de Fourier û k, k =N Sorie du sysème LTI associé à h[n] pour l enrée u[n] : y[n] =u[n] h[n] = N k= h[(n k)modn ] u[k] l 2 [,N ] coefficiens de Fourier ŷ k = ĥk û k, k =N.
CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER ET RÉPONSE FRÉQUENTIELLE 44 5.2 Exercices 67-8. Exercice 67 - A parir de l expression générale du développemen en série de Fourier d un signal x() de période T = 2π ω, x() = + k= c k e jkω, éablir l expression rigonomérique (coefficiens des sinusoïdes e cosinusoïdes) de ce développemen. Exercice 68 - Eablir les développemens en série de Fourier des signaux coninus suivans. a) x () = cos(ω ) b) x 2 () = sin(ω ) c) x 3 () = cos(2 + π/4) d) x 4 () = cos(4) + sin(6) e) x 5 () = sin 2 () Exercice 69 - Eablir le développemen en série de Fourier du signal x() représené ci-dessous. x() A T T 2 T 2 T 2T - (+Ex 8) - Eablir le développemen en série de Fourier du signal x[n] représené ci- Exercice 7 dessous. x[n] 2 3 4 5 6 7 8 9 n Exercice 7 - Sepembre 999 (+Ex 47) - Calculer la série de Fourier du signal périodique x p () représené ci-dessous. x p() T/2 T/2 T T
CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER ET RÉPONSE FRÉQUENTIELLE 45 Exercice 72 - Signal & Sysems, Oppenheim and Willsky - Evaluer les coefficiens de la série de Fourier du signal périodique x[n] = {4δ[n 4m]+8δ[n 4m]} m= Exercice 73 - Signal & Sysems, Oppenheim and Willsky - Soi x () un signal périodique en empsconinu avec une fréquence fondamenale ω e des coefficiens de Fourier a k. Sachan que x 2 () =x ( )+x ( ) commen es la fréquence fondamenale ω 2 de x 2 () par rappor à ω? Trouver égalemen une relaion enre les coefficiens de Fourier b k de x 2 () e les coefficiens a k. Exercice 74 - Signal & Sysems, Oppenheim and Willsky - Déerminer la représenaion en série de Fourier du signal périodique de période 2 don la valeur enre e es x() =e. Exercice 75 - Signal & Sysems, Oppenheim and Willsky - Déerminer la représenaion en série de Fourier du signal suivan x() Exercice 76 - Signal & Sysems, Oppenheim and Willsky - Déerminer la représenaion en série de Fourier du signal suivan (uiliser une propriéé des séries de Fourier) x() Exercice 77 - Soi un filre passe-bas idéal de pulsaion de coupure ω c =4πauquel on applique le signal d enrée u() représené ci-dessous. u() -2-2 3 4 5
CHAPITRE 5. SÉRIES DE FOURIER ET RÉPONSE FRÉQUENTIELLE 46 Déerminer la sorie y() produie par le filre. Exercice 78 - Signal & Sysems, Oppenheim and Willsky - On fai passer un signal u[n] par un filre passe-bas idéal de fréquence de coupure π/8. Monrer que, si u[n] a une période N =3, alors la sorie y[n] a seulemen un coefficien de Fourier non nul. Exercice 79 - Une anenne es siuée à proximié d une monagne. Des ess son effecués afin de connaîre l impac du relief sur la ransmission des signaux. Pour ce faire, l anenne envoie un signal carré d ampliude a en direcion d un récepeur comporan un filre passe-bas parfai de fréquence de coupure de rad/s. En augmenan progressivemen la fréquence du signal, paran de valeurs rès faibles, on s aperçoi que le récepeur, à la sorie du filre, récole un signal harmonique pur pour une fréquence de 2244 rad/s. Sachan que le récepeur reçoi la superposiion de l onde direcemen émise par l anenne e de celle qui se réfléchi (sans aénuaion) sur la monagne, on demande d évaluer : a) la disance supplémenaire parcourue par l onde réfléchie sur la monagne par rappor au chemin direc vers le récepeur (viesse de l onde : 3. 8 m/s) ; b) l ampliude de l onde sinusoïdale reçue. Exercice 8 - (+Ex 7) - Un filre FIR es défini par l équaion y[n] = 7 3 u[n i]. (5.) i= 3 a) Calculer la réponse impulsionnelle du filre ; b) Donner sa décomposiion en série de Fourier dans l 2 [,N s ] avec N s 7. Noer que la sorie du filre pour une enrée de période N u peu se calculer par convoluion cyclique en prenan N s = N u ; cee condiion assure que les opéraions peuven s effecuer correcemen dans le domaine emporel e en passan par les coefficiens de Fourier. Pour effecuer la convoluion non-cyclique, avec une enrée non-périodique, il faudrai considérer N s + ; cee opéraion sera formalisée par les ransformées de Fourier au chapire. c) Evaluer les coefficiens de Fourier de la sorie du filre si l enrée es le signal défini dans l exercice 7. Exercice 8 - Quelle es la réponse fréquenielle (réponse impulsionnelle exprimée dans la base harmonique de l 2 [,N s ]) du filre FIR de l exercice 8 généralisé sous la forme avec N impair? y[n] = N (N )/2 i= (N )/2 u[n i] (5.2) 5.3 Applicaion MATLAB c Applicaion Représener les coefficiens de Fourier de la réponse impulsionnelle du flire de l exercice 8 comme un signal discre. Qu observe--on lorsque N s >> N?