Kit de survie - Bc S. Inéglités - Étude du signe d une expression Opértions sur les inéglités Règles usuelles : Pour tout x < y x + < y + même sens Pour tout k > : x < y kx < ky même sens Pour tout k < : x < y kx > ky sens contrire Pour x et y de même signe : x < y x > y sens contrire Pour x > et y > : x < y x < y même sens Pour x > et y > : x < y x < y même sens Si f croissnte * : x < y f(x < f(y même sens Si f décroissnte * : x < y f(x > f(y sens contrire (* sur un intervlle contennt x et y Exemples : Schnt que 3 < x < 5, que peut-on en conclure pour 3 x? 3 < x < 5 5 < x < 3 < 3 x < 3 x < Comment montrer que pour tout x >, x < x? Pour tout x > : < x < x x < x x < x (cr x > x > x Rppels : On peut toujours jouter membre à membre deux inéglités. On peut multiplier membre à membre deux inéglités si tous les termes sont positifs. On ne peut ps soustrire ou diviser membre à membre deux inéglités. Encdrement de x y : On détermine d bord un encdrement de y, puis on effectue l somme membre à membre vec celui de x. { { < x < 3 Exemple : < y < < x < 3 < x y < 7. < y < Encdrement de x y : (les bornes de l encdrement de x étnt de même signe - idem pour y On détermine d bord un encdrement de, puis il fut s rrnger pour multiplier membre à membre deux y encdrements dont tous les termes sont positifs. Exemple : Exemple : { { 8 < x < 9 3 < y < < x < < y < 3 3 < x y < < x y < 3. 8 < x < 9 < y < 3 < x < 3 < y < < x y < 3. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /
Méthode importnte à connître : (vlble pour les fonctions et les suites Pour montrer que A < B, il est dns certins cs plus fcile de clculer A B, puis en étudint son signe de montrer que A B <. Exemple : Comment montrer que si x < lors x 8 x 9 <? Pour tout x <, x 8 x 9 = + { }} { { ( x x > < (cr (x 9 x 9 < 7 } {{ } b Inéglités clssiques Pour tout x : cos x et sin x. c Signe de x + b ( Ü Ü ½ Ò µ¼ Ò ½ On détermine l vleur de x qui nnule x + b, puis on pplique l règle : «signe de près le». d Signe de x + bx + c ( ܾ Ü Ü ½ Ò ½ On clcule l discriminnt = b c (suf cs évidents Si <, on pplique l règle : «toujours du signe de». ܾ Ü Ü Si =, on clcule l rcine double : x ½ Ò ¼ Ò Ü½ ½ = b. On pplique lors l règle : «toujours du signe de et s nnule pour x = x». ܾ Ü Ü ½ Ò ¼ Ò Si >, on clcule les deux rcines : x ܽ = b et x µ¼ Ò Ü¾ ½ = b +. On pplique lors l règle : «signe de à l extérieur des rcines». (on suppose que x < x TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /
e Utilistion des vritions d une fonction pour déterminer son signe Les cs les plus clssiques : + + + (minimum positif (mximum négtif + + (f croissnte (f décroissnte. Étude de fonction Prité - Périodicité f est pire si D f est symétrique pr rpport à et si f( x = f(x pour tout x D f. L courbe dns un repère orthogonl est symétrique pr rpport à l xe des ordonnées. f est impire si D f est symétrique pr rpport à et si f( x = f(x pour tout x D f. L courbe dns un repère orthogonl est symétrique pr rpport à l origine. une fonction f définie sur R est périodique de période T si f(x + T = f(x pour tout x. L courbe dns un repère orthogonl est invrinte pr l trnsltion de vecteur T i. b Axe et centre de symétrie C f dmet l droite d éqution x = comme xe de symétrie dns un repère orthogonl si pour tout h tel que ± h D f, f( + h = f( h. C f dmet le point Ω (,b comme centre de symétrie dns un repère orthogonl si pour tout h tel que f( + h + f( h ± h D f, = b. c Limites Limite d une somme : ( + ( }{{} }{{} l l l l + l ( }{{} + ( }{{} + + ( }{{} l ( + ( + ( + ( }{{} }{{} }{{} }{{} + + Limite d un produit : + ( }{{} ( ( l l ( ( + ( ( }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} }{{} l l l> + l< + ( ( }{{} }{{} l> ( ( + ( ( + }{{} }{{} }{{} }{{} l< + + ( ( + ( ( }{{} }{{} }{{} }{{} + Limite de l inverse : ( l }{{} l ( }{{} ± ( + }{{} + ( }{{} Limite d un quotient : Pour les quotients (utres que les fonctions rtionnelles en ±, on «sépre l frction» : ( ( = ( ( TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 3/
Formes indéterminées : Les deux cs de forme indéterminée sont : ( + ( }{{} }{{} + Polynômes et fonctions rtionnelles en ± : ; ( ( }{{} }{{} ± En ±, l limite d une fonction polynome est égle à l limite de son terme de plus hut degré. En ±, l limite d une fonction rtionnelle est égle à l limite du quotient des termes de plus hut degré du numérteur et du dénominteur (ne ps oublier de simplifier le quotient des termes de plus hut degré vnt de déterminer l limite. d Asymptotes Si lim f(x = ± lors l droite d éqution x = est une symptote verticle à C f. x Si lim f(x = b lors l droite d éqution y = b est une symptote horizontle à C f en ±. x ± Si lim f(x (x + b = lors l droite d éqution y = x + b est une symptote oblique à C f en ±. x ± Si f(x = x + b + g(x vec g(x = lors l droite d éqution y = x + b est une symptote oblique à C f en ±. De fçon générle, si lim x ± lim f(x g(x = lors les courbes C f et C g sont symptotes. x ± Pour déterminer l position reltive entre deux courbes C f et C g, on étudie le signe de f(x g(x (méthode ussi vlble pour les symptotes horizontles et obliques : - si f(x g(x pour tout x d un intervlle I, lors C f est située u dessus de C g sur I. - si f(x g(x pour tout x d un intervlle I, lors C f est située en dessous de C g sur I. e Dérivtion Dérivbilité : f(x f( f est dérivble en si lim existe et est égle à un réel. x x si l limite n existe que pour x >, f n est dérivble qu à droite. si l limite n existe que pour x <, f n est dérivble qu à guche. Dérivées des fonctions usuelles : f(x = f (x = f(x = x + b f (x = f(x = x f (x = f(x = x f (x = x f(x = x 3 f (x = 3x f(x = x f (x = x f(x = x f (x = x 3 f(x = x 3 f (x = 3 x f(x = x f (x = x Opértions sur les fonctions dérivbles : Fonction Fonction dérivée Fonction Fonction dérivée f + g f + g f f f k f (k réel k f f f g f g + f g f g f Tngente f f f g f g Si f est dérivble en lors une éqution de l tngente à C f u point d bscisse est : y = f(+f ((x (le coefficient directeur de l tngente est égle à l vleur de l dérivée Pour déterminer les bscisses des éventuels points de C f où l tngente est prllèle à une certine droite d éqution y = mx + p, il suffit de résoudre l éqution f (x = m. (les coefficients directeurs devnt être égux g TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /
g Continuité f est continue en un point d un intervlle I D f si f dmet une limite en et si lim x = f(. Si f est dérivble en lors f est continue en. h Théorème de l vleur intermédiire - Éqution f(x = k Si f est continue et strictement croissnte ou strictement décroissnte sur un intervlle I et si k est compris entre les vleurs de f ux bornes de I lors l éqution f(x = k dmet une unique solution x dns I. Exemple : l fonction f définie pr f(x = x 3 + x est continue et strictement croissnte sur I = [,] cr f est dérivble et f (x = 3x + > sur I. De plus 5 est compris entre f( = et f( =. On peut donc en conclure que l éqution f(x = 5 dmet une unique solution x dns [,]. Recherche une vleur pprochée de x à près : x,,,3,,5,6,7,8,9 f(x,3,93 3,5,,87 5,7 On rrêté les clculs près,6 cr f(,5 < 5 < f(,6. On peut donc en déduire que :,5 < x <,6. Une vleur pprochée de x pr défut à près est,5 et une vleur pprochée de x pr excès à près est,6. 3. Primitives F est une primitive de f sur un intervlle I si F est dérivble sur I et si pour tout x de I, F (x = f(x. Si F est une primitive de f sur intervlle I lors toutes les primitives de f sur I sont de l forme F (x = F (x + C où C est une constnte réelle. Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Primitives des fonctions usuelles : (F représente une primitive de f f(x = F (x = x f(x = x F (x = x3 3 f(x = x F (x = x f(x = F (x = x x f(x = x F (x = x f(x = x 3 F (x = x f(x = x 3 F (x = x f(x = sin x F (x = cos x Formules générles : f(x = cos x F (x = sin x forme de f une primitive de f exemples U U U U U U 3 U U 3 U U U (U(x U U 3 (U(x 3 U f(x = x ln x F (x = (ln x f(x = (x + F (x = (x + 3 3 f(x = x(x + 3 F (x = (x + f(x = 3x (x 3 F (x = + x 3 + 7 U f(x = (7x + 3 F (x = (7x + U (U(x > 3 U f(x = F (x = 3x + U 3x + U sin U cos U f(x = x sin(x + F (x = cos(x + U cos U sin U f(x = cos(x + 5 F (x = sin(x + 5 TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 5/
Recherche prtique d une primitive : Pour les fonctions usuelles, on utilise directement les formules. Pour utres fonctions, il fut d bord identifier l forme qui ressemble le plus à l fonction. Si on l forme excte, on utilise directement l formule correspondnte. Dns le cs contrire, on écrit l forme excte qu il fudrit pour l fonction f et on rectifie en multiplint pr le coefficient déqut. Exemple : Soit f définie sur ] ; + [ pr f(x = (3x + 6. On pense à l forme U (dont une primitive est U Une primitive de f sur ] ; + [ est donc F définie pr F (x = 3. Fonctions logrithme népérien et exponentielle Existence ln x n existe que si x >. e x existe pour tout réel x. U. On écrit que f(x = 3 3 (3x + 6 } {{. } forme excte (3x + 6. Exemple : L fonction f définie pr f(x = ln ( x n est définie que sur ] ; [ ] ; + [ cr il fut que x soit strictement positif. b Lien entre ln x et e x y = e x ln y = x ln (e x = x ; e ln x = x (pour x > c Vleurs prticulières ln = ; ln e = e = ; e = e ; e = e d Propriétés lgébriques Si > et b > : ln(b = ln + ln b ; ln ( ( = ln ; ln = ln ln b b Pour tout n Z, ln ( n = n ln ; ln = ln Pour tous réels et b : e e b = e +b ; Pour tout n Z, (e n = e n e = e ; e e b = e b Exemples (: Si x >, ln = ln(x = ln x x Pour tout x, (e x e 3x = e x e 3x = e x e Signe de ln x et de e x Signe de ln x : Si < x < lors ln x est strictement négtif ; Si x > lors ln x est strictement positif ; ln =. Signe de e x : pour tout réel x, e x est strictement positif. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 6/
f Équtions et inéqutions Si > et b > : ln = ln b = b ; ln < ln b < b ; ln ln b b e = e b = b ; e < e b < b ; e e b b ln x = x = e ; ln x < < x < e ; ln x > x > e Si > : e x = x = ln ; e x < x < ln ; e x > x > ln Remrque : Pour les équtions et inéqutions vec logrithme, ne ps oublier de commencer pr définir les conditions d existence (les expressions contenues dns un logrithme doivent être strictement positives. Exemples d équtions et d inéqutions : ln x + ln = 5. Condition d existence : x >. Avec cette condition : { } ln x + ln = 5 ln (x = 5 x = e 5 x = e5 e 5. S = ln (x +. Condition d existence : x + > x >. Avec cette condition : ln (x + x + e x e. S = ] ; e ] e x e x 3 = X X 3 = vec X = e x. = 6 ; X = ou X = 3. D où, e x = (impossible ou e x = 3 x = ln 3. S = {ln 3} e x < 5e x e x < 5 e x ex < 5 (cr e x > x < ln 5 x < ln 5. S = g Limites Sitution en + : lim ln x = + x + ln x Pour tout entier n >, lim x + (on dit que x n est plus fort que ln x en + x n = ; lim x + x n ln x = + ] ; ln 5 [. lim x + ex = + e x Pour tout entier n >, lim x + x n = + ; lim x n x + e x = (on dit que e x est plus fort que x n en + : on en déduit que e x est ussi plus fort que ln x en + Méthode générle en cs de FI en + : Mettre le plus fort en fcteur en hut et en bs. Exemples : ( ln x lim ln x x = lim x x + x + x ln x = cr lim = et lim x + x x = + x + lim x + 3ex x = lim (3 x + ex x x e x = + cr lim x + e x = et lim x + ex = + e x + ln x lim = lim x + x + x + e ( x + ln x x ( + x = + cr lim x + e x Sitution en : x lim ln x = x> Pour tout entier n >, x lim x n ln x = x> e x x = + et lim ln x x + e x = (le plus fort est en bs TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 7/
Méthode générle en cs de FI en vec un logrithme : on essie de fire pprître x n ln x. Exemple : lim + ln x = lim ( + x ln x = + cr lim = + et lim x ln x = x x x x x x x x> x> x> x> Sitution en : lim x ex = lim x xn e x = Méthode générle en cs de FI en vec un exponentiel : on essie de fire pprître x n e x. Exemple : lim ( x ex x + = lim x x e x + e x = cr lim x x e x = et lim x ex = ln( + x e x Autres limites : lim = et lim = x x x x h Dérivées et primitives (ln x = ; (ln u = u x u (e x = e x ; (e u = u e u (u > Exemples : [ ln(x + ] = x x + ; [e x ] = e x Si U >, une primitive de U Une primitive de u e U est e U. U est ln U ; Si U <, une primitive de U U est ln( U. Exemples : Soit f définie sur ] ; + [ pr f(x = x 8. On écrit que f(x =. x 8 } {{ } forme excte Une primitive de f sur ] ; + [ est donc F définie pr F (x = ln(x 8 cr x 8 reste strictement positif sur ] ; + [. Si f(x = e x = ( e x lors une primitive de f est définie pr F (x = e x. Si f(x = e x+5 = ( e x+5 lors une primitive de f est définie pr F (x = ex+5. 5. Intégrtion Soit f une fonction continue sur un intervlle I : Pour tous et b de I, b Pour tout de I, l fonction F définie pr F (x = x =. f(x dx = [F (x] b = F (b F ( où F est une primitive de f sur I. x f(t dt est l primitive de f sur I qui s nnule pour Exemple : e ln x x dx = [ (ln x ] e = (ln e (ln =. Propriétés de l intégrle : Pour f et g continues sur un intervlle I et pour, b et c de I : b f(x dx = f(x dx. b b c c f(x dx + f(x dx = f(x dx (Reltion de Chsles b TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 8/
b (f + g(x dx = Pour tout réel k, b b f(x dx + b (kf(x dx = k b Si b et si f(x sur [,b] lors Si b et si f(x sur [,b] lors g(x dx (linérité de l intégrle b b Si b et si f(x g(x sur [,b] lors f(x dx (linérité de l intégrle f(x dx f(x dx b f(x dx Si b et si m f(x M sur [,b] lors m(b b b g(x dx f(x dx M(b (inéglité de l moyenne Vleur moyenne d une fonction sur un intervlle Si f est continue sur [,b], l vleur moyenne de f sur [,b] est égle à b b f(x dx Clculs d ires f et g sont deux fonctions continues sur [,b]. Si pour tout x [,b], f(x g(x lors l ire de l prtie du pln comprise entre les courbes de f et g et les droites d éqution x = et x = b est égle à b g(x f(x dx en unités d ire. («intégrle de l plus grnde moins l plus petite» Si pour tout x [,b], f(x lors l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe de f, l xe des bscisses et les droites d éqution x = et x = b est égle à b f(x dx en unités d ire. Si pour tout x [,b], f(x lors l ire de l prtie du pln comprise entre l courbe de f, l xe des bscisses et les droites d éqution x = et x = b est égle à b f(x dx en unités d ire. Remrques : Pour voir l ire en cm, il fut multiplier le résultt en unités d ire pr l vleur en cm d une unité sur l xe des bscisses et pr l vleur en cm d une unité sur l xe des ordonnées. Pour déterminer l ire entre une courbe et l xe des bscisses, il fut d bord étudier le signe de l fonction sur l intervlle en question. Pour déterminer l ire entre deux courbes, il fut d bord étudier leur position reltive sur l intervlle en question. 6. Suites numériques Risonnement pr récurrence Principe générl : Pour montrer qu une propriété dépendnt d un entier n est vrie pour tout n n : on vérifie que l propriété est vrie u rng n. on suppose l propriété vrie u rng p (en trduisnt ce que cel signifie et on montre qu lors l propriété est vrie u rng p +. on conclut en disnt que l propriété est donc vrie pour tout n n. Exemple : Montrons pr récurrence que l suite (U n définie pr U = et U n+ = + U n est positive et mjorée pr : U. L propriété est vrie u rng. On suppose l propriété vrie u rng p, c est à dire que U p. On lors : + U p + U p U p+. L propriété est lors vrie u rng p +, elle est donc vrie pour tout n. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 9/
b Comment étudier le sens de vrition d une suite? Méthode : on étudie le signe de U n+ U n. Si pour tout n, U n+ U n reste toujours positif lors l suite est croissnte. Si pour tout n, U n+ U n reste toujours négtif lors l suite est décroissnte. Exemple : Soit (U n l suite définie pr U = et U n+ = U n + n. Pour tout n, U n+ U n = n. (U n est donc croissnte. Méthode (uniquement pour les suites dont tous les termes sont strictement positifs : on compre U n+ U n à. Si pour tout n, U n > et U n+ reste supérieur à lors l suite est croissnte. U n Si pour tout n, U n > et U n+ reste inférieur à lors l suite est décroissnte. U n Exemple : Soit (U n l suite définie pr U n = 3 n. Pour tout n, U n > et U n+ U n = 3. (U n est donc croissnte. Méthode 3 (pour les suites explicites définies pr U n = f(n : on utilise les vritions de l fonction f sur [ ; + [. Si f est croissnte sur [; + [ lors l suite est croissnte. Si f est décroissnte sur [; + [ lors l suite est décroissnte. Exemple : Soit (U n l suite définie pr U n = e n+. On U n = f(n vec f définie sur [; + [ pr f(x = e x+. Pour tout x, f (x = (x+ e x+ <. f est décroissnte sur [; + [, donc (Un est décroissnte. Méthode : à l ide d un risonnement pr récurrence Si on montre pr récurrence que pour tout n, U n+ U n lors l suite est croissnte. Si on montre pr récurrence que pour tout n, U n+ U n lors l suite est décroissnte. Exemple : Soit (U n l suite définie pr U = e et U n+ = ln (U n. Montrons pr récurrence que (U n est décroissnte, c est à dire que pour tout n, U n+ U n : Au rng n = : U =. On bien U U. On suppose l propriété vrie u rng p, c est à dire que U p+ U p. L fonction ln étnt croissnte sur ] ; + [, on lors ln (U p+ ln (U p. On en déduit que U p+ U p+. L propriété est lors vrie u rng p +, donc elle est vrie pour tout n. c Mjornt et minornt d une suite Une suite (U n est mjorée pr un réel M si, pour tout n, U n reste inférieur ou égl à M. Méthodes possibles pour montrer que M est un mjornt : On peut étudier le signe de U n M et montrer que U n M est toujours négtif ou nul. On peut utiliser un risonnement pr récurrence pour démontrer que U n reste toujours inférieur ou égl à M. (voir exemple du prgrphe «Risonnement pr récurrence» Pour les suites explicites définies pr U n = f(n, on peut étudier les vritions de l fonction f. Si, pour tout x, f(x M lors (U n ser mjorée pr M. Une suite (U n est minorée pr un réel m si, pour tout n, U n reste supérieur ou égl à m. Méthodes possibles pour montrer que m est un minornt : On peut étudier le signe de U n m et montrer que U n m est toujours positif ou nul. On peut utiliser un risonnement pr récurrence pour démontrer que U n reste toujours supérieur ou égl à m. (voir exemple du prgrphe «Risonnement pr récurrence» où l on montre que l suite est minorée pr Pour les suites explicites définies pr U n = f(n, on peut étudier les vritions de l fonction f. Si, pour tout x, f(x m lors (U n ser minorée pr m. d Limites de suite Une suite (U n est dite convergente s il existe un réel l tel que lim U n = l. n + L suite est dite divergente si elle n dmet ps de limite ou si lim U n = ± n + Les théorèmes sur les opértions vec les limites de fonction restent vlbles pour les suites. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /
Pour les suites définies pr U n = f(n : si f dmet une limite en + lors lim U n = lim f(x. (dns l n + x + prtique, on peut continuer à utiliser n comme vrible Exemple : ( lim n ln n = lim n ln n ln n = +, cr lim n + n + n n + n = Limite de q n : si < q < lors lim n + qn =. si q > lors lim n + qn = +. si q lors l suite de terme générl q n n dmet ps de limite. Exemples ( : n lim 3 = + cr 3 >. n + lim 3 ( ( n + n ( = 3 cr < <, donc lim n n + = et lim ( n n + =. Théorèmes de comprison : si pour tout n n, U n V n et si lim V n = + lors lim U n = +. n + n + si pour tout n n, U n W n et si lim W n = lors lim U n =. n + n + si pour tout n n, V n U n W n et si lim V n = n + Exemple : Pour tout n, n cos n n n cos n Donc, lim n + n =. lim W n = l (l réel lors n + et lim n + n = lim n + n =. e Convergence des suites croissntes ou décroissntes toute suite croissnte et mjorée pr M converge vers un réel l vec l M. toute suite décroissnte et minorée pr m converge vers un réel l vec l m. lim U n = l. n + Détermintion de l dns le cs des suites définies pr U n+ = f (U n : Si pour tout x [ ; b], f(x [ ; b] ; si f est continue sur [ ; b] et si, pour tout n, U n [ ; b] lors : lim U n = l lim f (U n = f(l lim U n+ = f(l l = f(l n + n + n + f Suites rithmétiques On psse d un terme u terme suivnt en joutnt toujours le même nombre r ppelé rison de l suite. Pour tout n : U n+ = U n + r ; U n = U + nr ; U n = U p + (n pr Si pour tout n, U n+ U n = constnte lors (U n est une suite rithmétique de rison égle à l constnte. Up + Un U p + U p+ + + U n = (n p + = (nb de termes Si l rison r est positive, l suite est croissnte. Si l rison r est négtive, l suite est décroissnte. er terme + dernier Exemple : Soit (U n l suite rithmétique de er terme U = et de rison r = 3. U = U + r = + 3 = 3 ; U 33 = U + 33r = + 33 3 = Pour tout n, U n = U + nr = + 3n. U + U + + U = + 3 = 87. L suite est strictement croissnte cr >. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /
g Suites géométriques On psse d un terme u terme suivnt en multiplint toujours pr le même nombre q ppelé rison de l suite. Pour tout n : U n+ = q U n ; U n = q n U ; U n = q n p U p Si pour tout n, Un+ U n = constnte lors (U n est une suite géométrique de rison égle à l constnte. U p + U p+ + + U n = U p qn p+ de termes qnb = er terme (pour q q q Pour étudier le sens de vrition, on clcule U n+ U n et on fctorise. (remrque : si q < l suite est ni croissnte, ni décroissnte Exemple : Soit (U n l suite géométrique de er terme U = 5 et de rison q =. U = q U = 5 = 8 ; U = q U = 5 = 5 Pour tout n, U n = q n U = 5 n. U + U + + U 8 = 5 9 = 555. U n+ U n = 5 n+ 5 n = 5 n ( = 5 n >. L suite est croissnte. h Exemple de suite récurrente définie pr U n+ = f (U n Soit (U n, l suite définie pr U = et U n+ = U n + 3. Représenter grphiquement les premiers termes de l suite : y=x U U ( (3 y= x +3 ( U U U On trce d bord l représenttion grphique de l fonction f définissnt l reltion de récurrence (ici on f(x = x +3 et l droite d éqution y = x. On prt de U en bscisse : l ordonnée du point de l courbe correspondnt à cette bscisse nous donne U [( sur le grphique]. Pour déterminer U = f (U, il nous fut rbttre U sur l xe des bscisses [( sur le grphique] en utilisnt l droite d éqution y = x. Dès lors, U est l ordonnée du point de l courbe d bscisse U [(3 sur le grphique]. Pour poursuivre l construction, on répète le procédé en rbttnt U sur l xe des bscisses... b Montrer pr récurrence que, pour tout n, U n : u rng : U. on suppose l propriété vrie u rng p, c est à dire que U p. On lors : Up 3 Up + 3 Up+. L propriété est lors vrie u rng p +. Elle est donc vrie pour tout n. c Montrer que l suite est croissnte et conclure sur s convergence : Pour tout n, U n+ U n = Un + 3 Un = 3 ( Un cr Un. L suite est donc croissnte et comme elle est mjorée, elle converge. d Déterminer l limite de l suite : L suite converge vers un réel l et l fonction f définie pr f(x = x + 3 est continue sur [ ; ], donc : lim n + Un = l On en déduit que lim f (Un = f(l lim n + lim n + Un =. n + Un+ = f(l l = f(l l = l + 3 l =. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /
7. Complexes Forme lgébrique - Clculs dns C Tout complexe s écrit de fçon unique sous l forme lgébrique z = + ib ( et b réels vec i =. { est l prtie réelle (nottion { : Re(z et b est l prtie imginire (nottion : Im(z. + ib = + ib =, b,,b réels b = b Le conjugué de z est z = ib. Pour écrire un quotient de complexes sous forme lgébrique, on multiplie en hut et en bs pr le conjugué du dénominteur (s il n est ps réel. ( z z + z = z + z ; z z = z z ; z = z (z. z Exemples : + i ( + i(3 i 6 i + 3i i = = 3 + i (3 + i(3 i 3 + = 8 i 3 Résolution de l éqution + iz = + 3i : z Pour z, on obtient : + iz = ( + 3iz = ( + iz z = Résolution de l éqution ( + iz = z + 3i : En posnt z = x + iy (x et y réels, on : + i ( + i(x + iy = x iy + 3i (x y + i(x + y = (x + i( y + 3 D où, z = + i. = i + { x y = x x + y = y + 3 i =. 5 { x = y = Résolution de z + bz + c = (, b et c réels : = b c Si >, deux solutions réelles : z = b Si =, une solution réelle double : z = b. Si <, solutions complexes : z = b i et z = b +. et z = b + i. Exemple : z + z + = = 3 = ( 3i. Deux solutions : z = i 3 et z = + i 3. Remrque : On fctorise les polynômes dns C comme dns R. b Forme trigonométrique - Module et rguments Pour z = + ib ( et b réels : Le module de z est : z = + b = zz. cos θ = z Si z, tout réel θ tel que sin θ = b est un rgument de z. On note rg z = θ + kπ (k Z z Pour tout θ, on pose e iθ = cos θ + i sin θ. e iθ = ; (e iθ = e iθ ; e i(θ+kπ = e iθ e iθ e iθ = e i(θ+θ ; e iθ = e iθ e iθ ; = e i(θ θ ; ( e iθ n = e inθ e iθ Si un complexe non nul dmet r comme module et θ comme rgument lors z = r e iθ (forme trigonométrique ou forme exponentielle Si z = r e iθ vec r > lors z = r et rg z = θ + kπ. r e iθ = r e iθ (vec r > et r > r = r et θ = θ + kπ. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 3/
Exemple de pssge de l forme lgébrique à l forme trigonométrique : 3 Soit z = 3 + i. z = ( cos θ = 3 + =. sin θ = θ = π 6. D où z = ei π 6. Exemple de pssge de l forme trigonométrique à l forme lgébrique : ( ( π ( π ( z = e i π = cos + i sin = + i = + i. Autres exemples clssiques d utilistion de l forme trigonométrique : Clcul de ( i. Il est hors de question de fire le clcul sous forme lgébrique. On détermine d bord l forme trigonométrique de z = i : z = + = cos θ = =. sin θ = θ = π. D où z = e i π. = Ainsi, ( i = z = ( e i π = 6 e i3π = 6 (cos ( 3π + i sin ( 3π = 6 Soit z = + i et z = 3 + i. Clculer l forme trigonométrique de z, z et z ( π ( π. En déduire l vleur de cos et sin. z Réponse : En clculnt le module et un rgument de z et z, on montre que z = e i π et que z = e i π 6. On en déduit que z = ei π z e i = e i( π π π 6 = e i π. 6 Ainsi π est un rgument de z. Or, z = z z ( π Donc, cos = Re ( z z z z = 6 + + i 3 + i = et ( π sin = ( + i ( 3 i Im ( z z z z = = 6 ( 6 + + i ( 6 Résolution de l éqution z 3 = : En posnt z = r e iθ, on doit voir r 3 e i3θ = e i r 3 = et 3θ = kπ r = et θ = kπ 3. Les trois solutions sont donc : e i = ; e i π 3 = + i 3 et ei π 3 = i 3 c Complexes et géométrie Le pln complexe est muni d un repère orthonormé direct (O, u, v. (en prennt k =, k = et k =.. ( x L ffixe du point M y est z M = x + iy. L ffixe du milieu I de [AB] est z I = z A + z B. L ffixe de G le brycentre de (A, (B,b (C,c est : z G = z A + b z B + c z C ( + b + c. + b + c L ffixe du vecteur ( x V est z y V = x + iy. z AB = z B z A ; z U + V = z U + z V ; z k U = k z U TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /
( Si M est d ffixe z lors z = OM et rg z = u, OM (z. Si V est d ffixe z lors z = ( V et rg z = u, V (z. v O z u M rg z v O u z V rg z ( AB = z B z A ; u, AB = rg (z B z A (vec A B ( ( z AB, CD = rg CD (vec A B et C D z AB (AB//(CD rg (A B et C D (AB (CD rg (A B et C D ( z CD z AB = + kπ ou π + kπ z CD z AB ( z CD = π z AB + kπ ou π réel + kπ z CD z AB imginire pur A, B, C lignés rg ( z AC z AB = + kπ ou π + kπ z AC z AB réel (A B et A C L ensemble des points M d ffixe z tels que z z A = r (r > est le cercle de centre A et de ryon r. L ensemble des points M d ffixe z tels que z z A = z z B (z A z B est l méditrice du segment [AB]. L ensemble des points M d ffixe z tels que rg (z z A = θ + kπ est l demi-droite prtnt de A (mis ne contennt ps A dirigée pr le vecteur ( V tel que u, V = θ d Crctéristion d un réel et d un imginire pur z est réel Im(z = z = z z = ou rg z = + kπ ou rg z = π + kπ. z est imginire pur Re(z = z = z z = ou rg z = π + kπ ou rg z = π + kπ. Exemples : Détermintion de l ensemble E des points M d ffixe z tels que ( + iz + 3 i soit imginire pur. On pose z = x + iy (x et y réels. iz + 3 i imginire pur ( + i(x + iy + 3 i imginire pur (x y + 3 + i(x + y imginire pur x y + 3 =. E est donc l droite d éqution y = x + 3. Détermintion de l ensemble E des points M d ffixe z tels que z i soit réel. z Soit A d ffixe i et B d ffixe (. ( z i z i z i réel z = i ou rg = + kπ ou rg = π + kπ (vec z. z z ( z Ce qui équivut à M = A ou MB, MA = + kπ ou π + kπ (vec M B. E est donc l droite (AB privée du point B. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 5/
8. Probbilités Générlités Lors d une expérience létoire : L univers Ω est l ensemble des résultts possibles. Un événement A est une prtie de l univers. Un événement élémentire est un événement ne comportnt qu un seul élément. L événement contrire de l événement A est l événement noté A formé de tous les éléments de Ω n pprtennt ps à A. L événement A B (noté ussi «A et B» est l événement formé des éléments de Ω pprtennt à A et à B. L événement A B (noté ussi «A ou B» est l événement formé des éléments de Ω pprtennt u moins à l un des événements A ou B. Deux événements A et B sont dits incomptibles si A B =. Si Ω = {e,e,,e n } et si à chque résultt possible e i on ssocie un nombre p(e i tel que p(e i et p(e + p(e + + p(e n =, on dit que l on défini une loi de probbilité sur Ω. L probbilité d un événement est l somme des probbilités des événements élémentires qui le constituent. Pour tous événements A et B : p ( = ; p (Ω = p(a ; p ( A = p(a ; p(a B = p(a + p(b p(a B (si A et B sont incomptibles, p(a B = p(a + p(b Dns le cs de l équiprobbilité, p(a = nb d éléments de A nb de cs fvorbles nb d = éléments de Ω nb de cs possibles Exemple : Tirge u hsrd d une crte dns un jeu de 3 crtes vec les événements : p(l crte tirée est un roi = 3 = p(l crte tirée est un coeur = 8 8 3 = p(l crte tirée est un roi et un cœur = p(l crte tirée est un roi ou un cœur = 3 8 + 3 = 3 b Probbilités conditionnelles Définition Etnt donné deux événements A et B (B d un univers Ω : On ppelle probbilité de B schnt A, le réel noté p A (B tel que p A (B = p(a B p(a Propriété Pour tous événements non ( vides A et B : p A (B ; p A B = pa (B nb de cs fvorbles pour A B Dns le cs de l équiprobbilité, p A (B = nb de cs fvorbles pour A p(a B = p(a p A (B = p(b p B (A Propriété Formule des probbilités totles Si A, A,, A n sont des événements non vides deux à deux incomptibles et dont l union est égle à Ω (on dit lors qu ils forment une prtition de l univers lors pour tout événement B : p(b = p (A B + + p (A n B = p(a p A (B + + p(a n p An (B TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 6/
Représenttion à l ide d un rbre pondéré p(a x p (B A p (B B A = p(a B p(a p(a A A p (B A p (B A p (B A B B B U p(a B + p(a B + p(a3 B = p(b U U U p(a3 A3 p (B A3 B p (B A3 B somme égle à Règles de construction et d utilistion des rbres pondérés : Sur les premières brnches, on inscrit les p (A i. Sur les brnches du type A i B, on inscrit p Ai (B. Le produit des probbilités inscrites sur chque brnche d un chemin donne l probbilité de l intersection des événements plcés sur ce chemin. L somme des probbilités inscrites sur les brnches issues d un même nœud est égle à (loi des nœuds. L probbilité d un événement E est l somme des probbilités des chemins qui boutissent à E. Exemple : Un sc contient des jetons de trois couleurs, l moitié de blncs, le tiers de verts et le sixième de junes. 5% des jetons blncs, 3% des jetons verts et % des jetons junes sont ronds. Tous les utres jetons sont crrés. On tire u hsrd un jeton. Construction de l rbre : 6 3 B V J,5,5,3,7,,6 rond crré rond crré rond crré b Schnt que le jeton tiré est blnc, quelle est l probbilité pour qu il soit crré? L lecture directe de l rbre nous donne que p B (C =,5. c Quelle est l probbilité pour que le jeton tiré soit rond? p(r =,5 + 3,3 + 6, = 5. d Schnt qu il est rond, quelle est l probbilité pour qu il soit blnc? p(b R p R (B = =,5 p(r 5 = 3 5. c Indépendnce en probbilité Définition Deux événements A et B sont dits indépendnts si p(a B = p(a p(b. Ce qui revient à dire que p A (B = p(b ou p B (A = p(a TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 7/
d Loi numérique ssociée à une expérience létoire On considère une expérience létoire où à chque résultt possible on peut ssocier un réel X. On note x i les vleurs possibles de X et p i l probbilité que X prenne l vleur x i. Définir l loi de probbilité de X, c est donner (sous forme d un tbleu l probbilité de chcun des événements X = x i. Espérnce mthémtique de X : E(X = n p i x i = p x + + p n x n ( i= n Vrince de X : V (X = p i (x i (E(x = p (x + + p n (x n (E(x i= Écrt-type de X : σ(x = V (x Exemple : On lnce un dé. Le joueur ggne 6 euros s il obtient un ou un «6» et il perd euros dns le cs contrire. Soit X le gin du joueur. Loi de probbilité de X : X ne peut prendre que les vleurs - et 6. On p(x = = 6 = 3 et p(x = 6 = 6 = 3 x i - 6 p i (l somme doit être égle à E(X = 3 ( + 3 6 = 3 ; V (X = 3 ( + 3 (6 e Loi binomile 3 3 ( = 8 3 9 8 et σ(x = 9 = 8 3 Définition On ppelle épreuve de Bernoulli toute expérience létoire ne présentnt que deux issues possibles (contrires l une de l utre. On ppelle schém de Bernoulli toute répétition d épreuves de Bernoulli identiques et indépendntes. Exemple : Lncer un dé vec pour issues contrires «obtenir un 6» et «ne ps obtenir un 6» est une épreuve de Bernoulli. Lncer le dé fois est un schém de Bernoulli (on répète l épreuve de Bernoulli. Pr contre, si on s intéresse ensemble ux six événements «obtenir le chiffre n«( n 6, ce n est plus une épreuve de Bernoulli. Remrques : Les deux issues contrires d une épreuve de Bernoulli se note en générl S (pour «succès«et S. L probbilité que S soit rélisé est noté en générl p (l probbilité de S est lors ( p. Pour s ssurer que l on bien ffire à un schém de Bernoulli, il fut vérifier que chque expérience prise isolément n dmet que deux issues possibles (contrires l une de l utre, que le «succès«toujours l même probbilité d pprître et qu il y bien indépendnce entre chcune des épreuves de Bernoulli successives. Propriété p p n S S épreuves p p p p S S S S Étnt donné une épreuve de Bernoulli où l probbilité d obtenir un succès S est p et le schém de Bernoulli consistnt à répéter n fois de mnière indépendnte cette épreuve. Si note X l vrible létoire qui à chque issue possible du schém de Bernoulli ssocie le nombre de fois où est ppru un succès S, l loi de probbilité de X est ppelée loi binomile de prmètres n et p et est notée B(n,p. Probbilité d obtenir k succès : p(x = k = ( n k pk ( p n k (k entier tel que : k n Espérnce de X : E(X = np Vrince de X : V (X = np( p Écrt-type de X : σ(x = np( p Exemple : Si on lnce 7 fois de suite un dé et si on note X le nombre de 6 obtenus, on répète 7 fois l épreuve de Bernoulli : «obtenir un 6 (probbilité : - ne ps obtenir un 6». 6 X suit donc l loi binomile de prmètres n = 7 et p = 6. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 8/
L probbilité d obtenir exctement trois fois un «6» est égle à : ( 7 3 ( 6 3 ( 5 6. L probbilité de n obtenir que des «6» est égle à : ( 7 6 7 L probbilité de n obtenir ucun «6» est égle à : ( 5 6 L espérnce de X (nombre moyen de «6» que l on peut espérer obtenir en répétnt un grnd nombre de fois l expérience létoire est égle à np = 7 6. f Loi uniforme Définition On dit qu une vrible létoire X suit l loi uniforme sur [ ; b] lorsque pour tout intervlle I, inclus dns [ ; b], l probbilité de l événement «X pprtient à I» est égle à l ire du rectngle de bse I et de huteur b. b On peut considérer que p (X I = x I I dx. («ire sous l courbe» b Propriété Si une vrible létoire X suit l loi uniforme sur [ ; b] lors pour tous réels α et β inclus dns [ ; b], on : b p (α X β = β α b b α β b p (X α = p ( X α = α b b α b p (X β = p (β X b = b β b b β b p (X = α = b (on les mêmes résultts vec des inéglités strictes Si une vrible létoire X suit l loi uniforme sur [ ; b] lors l espérnce de X est égle à + b. g Loi exponentielle Définition On dit qu une vrible létoire X suit l loi exponentielle de prmètre λ sur [ ; + [ lorsque pour tout intervlle I, inclus dns [ ; + [, l probbilité de l événement «X pprtient à I» est égle à l ire sous l courbe sur I de l fonction f définie pr f(x = λ e λx α b f(x = λ e λx I On donc p (X I = λ e λx dx. x I TS P.Brchet - http://www.xmmth.net 9/
Propriété Si une vrible létoire X suit l loi exponentielle de prmètre λ sur [ ; + [ lors pour tous réels α et β inclus dns [ ; + [, on : f(x = λ e λx p (α X β = β α λ e λx dx = [ e λx] β α α β f(x = λ e λx p (X α = p ( X α = α λ e λx dx = [ e λx] α α f(x = λ e λx p (X β = p ( X β = β λ e λx dx = [ e λx] β β (on les mêmes résultts vec des inéglités strictes Si une vrible létoire X suit l loi exponentielle de prmètre λ sur [ ; + [ lors l espérnce de X est égle à λ. Exemple : L durée de vie X (en heures d un composnt électronique suit l loi exponentielle de prmètre λ =,6 sur [, + [. L probbilité qu un de ces composnts pris u hsrd it une durée de vie inférieure à heures est donnée pr : p(x < =,6e,6x dx = [ e,6x] = e,6. L probbilité qu un de ces composnts pris u hsrd it une durée de vie supérieure à 5 heures est donnée pr : p(x > 5 = h Loi normle 5,6e,6x dx = [ e,6x] 5 = e,3. Définition On dit qu une vrible létoire X suit l loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ lorsque pour tout intervlle I l probbilité de l événement «X pprtient à I» est égle à l ire sous l courbe sur I de l fonction f définie pr f(x = σ π e,5 f(x ( x µ σ I TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /
Remrque : L ire totle sous l courbe est égle à (on dit que f est une densité de probbilité et l courbe est symétrique pr rpport à l espérnce µ. On donc l sitution suivnte : Aire=,5 µ p (X µ =,5 p (X µ =,5 Propriété Si une vrible létoire X suit l loi normle d espérnce µ et d écrt-type σ lors pour tous réels α et β, on : p (α X β = TI : DISTR (nd+vars ; normlcdf (α,β,µ,σ CASIO : Menu STAT ; DIST ; NORM ; NCD vec Lower : α ; Upper : β ; σ : σ ; µ : µ p (X α = TI : normlcdf ( 99,α,µ,σ CASIO : NCD vec Lower : 99 ; Upper : α ; σ : σ ; µ : µ α β p (X β = TI : normlcdf (β, 99,µ,σ CASIO : NCD vec Lower : β ; Upper : 99 ; σ : σ ; µ : µ clcultrice α Vleurs remrqubles : p (µ σ < X < µ + σ =,68 ; p (µ σ < X < µ + σ =,95 ; p (µ 3σ < X < µ + 3σ =,997 Exemple : (pour tester s clcultrice Si X suit l loi normle d espérnce µ = 58 et d écrt-type σ = 6, on doit voir : p (5 X 6,68689 ; p (X 55,38538 ; p (X 6,593 Exemple : Le dimètre X des brres métlliques sortnt d un telier suit l loi normle d espérnce mm (le dimètre ttendu et d écrt-type,8 mm. Un client refuse d cheter des tubes dont le dimètre ne serit ps compris entre,9 mm et, mm. On cherche à déterminer le pourcentge de tubes cceptés pr le client. p (,9 X,,888, donc 88,8% des tubes sont cceptés pr le client. Exemple 3: Une vrible létoire suivnt une loi normle est telle que p (X < =,67 et p (X < 3 =,59. On peut en déduire que p (X > = p (X =,933 et p ( < X < 3 = p (X < 3 p (X < =,9. 9. Échntillonnge Intervlle de fluctution à 95% Propriété Étnt donné une popultion dns lquelle l proportion connue d un certin crctère est p. Si on prélève, vec remise, un échntillon de tille n dns cette popultion lors il y 95% de chnce (dns certines conditions que l proportion f du crctère u sein de cet échntillon pprtienne à l intervlle : [ ] p( p p( p p,96 ; p +,96 n n Cet intervlle est ppelé intervlle de fluctution à 95% de l échntillon ssocié à l proportion p. β TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /
b Prise de décision à prtir d un intervlle de fluctution Propriété Étnt donné une popultion dns lquelle on suppose que l proportion d un certin crctère est p. Si on prélève, vec remise, un échntillon de tille n dns cette popultion et si l fréquence réelle observée f du crctère dns cet échntillon est comprise dns l intervlle de fluctution lors on dit qu on ccepte u seuil de 95% l hypothèse que l proportion réelle du crctère dns l popultion est bien p (dns le cs contrire, on dit qu on rejette l hypothèse. Exemple : Un cndidt pense que 5% des électeurs lui sont fvorbles. On prélève vec remise un échntillon de 5 électeurs : 7% des électeurs interrogés de cet échntillon se déclrent fvorble u cndidt en question. L intervlle de fluctution de l échntillon ssocié à l proportion de 5% est [,76 ;,56] cr,5,8,5,8,5,96,76 et,5 +,96,56. 5 5,7 étnt en dehors de l intervlle de fluctution, on peut rejeter u seuil de 95% l hypothèse du cndidt selon lquelle 5% des électeurs lui sont fvorbles. c Estimtion pr un intervlle de confince Propriété On cherche à connitre une estimtion de l proportion p inconnue d un certin crctère u sein d une popultion. Pour cel, on prélève vec remise un échntillon de tille n u sein de l popultion et on note f l proportion observée du crctère u sein de l échntillon. Il y lors 95% de chnce (dns certines conditions que l proportion p du crctère u sein de l popultion totle soit comprise dns l intervlle : [ f ; f + ] n n Cet intervlle est ppelé intervlle de confince à 95% ssocié à l proportion f. Exemple : Un sondge rélisé sur un échntillon de personnes ttribue à un cndidt un score de 8%. L intervlle de confince à 95% ssocié à cette proportion observée de 8% dns l échntillon est [,8% ;,%] cr,8,8 et,8 +,. TS P.Brchet - http://www.xmmth.net /