Insiu Tunis-Dauphine Inégrale de Lebesgue e Probabiliés Examen de janvier 212 Deux heures. Sans documen, ni calcularice, ni éléphone, ec. Chaque quesion numéroée vau le même nombre de poins. Il es demandé de raier deux des rois exercices suivans, en indiquan clairemen son choix. Seuls les deux premiers exercices raiés seron corrigés. Exercice 1 Parie finie de Hadamard Soien a < b Ê, f L 1 ([a,b]) e F : [a,b] Ê elle que F(x) = x a f()d. 1. Monrer que F es coninue sur [a,b] ; on pourra commencer par appliquer le héorème de convergence dominée de Lebesgue à des suies de foncions du ype (f()½ [a,xn]()), où x n x ]a,b[. 2. Monrer que, si f es coninue, F es dérivable sur [a,b] e a pour dérivée f (en revenan à la définiion d une dérivée). En déduire que, si f es coninue e si F es un primiive de f, on a b a f()d = F (b) F (a). Soi φ : [,1] Ê une foncion de classe C 1. 3. Déduire de la quesion précédene qu il exise une foncion θ coninue elle que φ(x) = φ() + xθ(x). 4. Dans quels cas la foncion x φ(x)/x es-elle inégrable sur [,1]? En déduire que, dans ous les cas, quand end vers, la limie, noée P.f. φ()/ d, de φ() d + φ() ln, exise (parie finie de Hadamard de φ()/ d). Exercice 2 Développemens décimaux Soi (X n ) n 1 une suie de variables aléaoires réelles indépendanes définies sur le même espace de probabilié (Ω, A,P), de même loi uniforme sur l ensemble d eniers {,1,2,,9}. 1. Calculer la loi e la foncion caracérisique communes des X n. Pour ou n 1, on défini Y n comme la somme parielle de rang n de la série k Y n = X 1 1 + X 2 1 2 + + X n 1 n. X k 1 k :
2. Monrer que la suie (Y n ) converge simplemen, vers une variable aléaoire que l on noera Y. Converge--elle en probabilié? En loi? 3. Monrer que la foncion caracérisique de Y n es ϕ Yn () = 1 1 n 1 exp(i) 1 exp(1 n i) ( Ê) ; on pourra commencer par supposer / 2π. 4. En déduire que la loi de Y es uniforme sur [,1] ; on pourra commencer par calculer la foncion caracérisique de Y. Exercice 3 Un exemple de veceur gaussien Soien X 1, X 2 e X 3 rois variables aléaoires réelles inhdépendanes de loi N 1 (,1). On noe X = (X 1,X 2,X 3 ). Soien Y, Z e W les veceurs aléaoires Y = AX, Z = BY e W = CY, où A = 1 ( ) 1 1, B = 1 ( ) 1 ( ) 1 1, e C = 1 1 2 1 1 2 2 1. Calculer la loi de Y ; possède--elle une densié? Les composanes de Y son-elles indépendanes? 2. Calculer la loi de Z e celle de W ; possèden--elles une densié? 3. Inerpréer géomériquemen la quesion précédene en foncion de Y. Noons X = (X 1,X 2 ). On rappelle que l espérance condiionnelle E(X 3 X) es la projecion orhogonale de X 3 sur l espace L 2 (σ( X)), où σ( X) es la plus peie ribu rendan le veceur aléaoire X borélien. 4. Monrer qu une variable aléaoire réelle W es σ( X)-mesurable si e seulemen si il exise une foncion h : Ê 2 Ê borélienne elle que W = h X. 5. Monrer que dans le cas où W = E(X 3 X 1,X 2 ), W es la projecion orhogonale V de X 3 sur le plan vecoriel réel engendré par X 1 e X 2 (e donc h es une forme linéaire) ; on pourra commencer par jusifier que X 3 V es indépendane de X e que donc E(X 3 V X) = E(X 3 V ) =.
Soluion de l exercice 1 1. Soien c ]a,b[ e (x n ) une suie de [a,b] qui end vers c. Presque parou, la suie (f ½ [a,xn]) converge simplemen vers la foncion f ½ [a,c]. (Le presque parou es imporan, puisqu on ne sai pas ce qui se passe au poin c lui-même. En effe, si (x n ) converge par valeurs inférieures, la limie de f(c) ½ [a,xn](c) es f(c); si elle converge par valeurs sricemen supérieures, sa limie es ; e en général, si f(c), f(c) ½ [a,xn](c) possède deux valeurs d adhérences disinces e f(c), donc n a pas de limie.) D aure par, f ½ [a,xn] es dominée par la foncion f, qui es inégrable. Donc, d après le héorème de convergence dominée, on a xn lim F(x n) = lim f()d = f()d = f()d = F(c). n + n + a Donc F es coninue sur ]a,b[. De même, en prenan une suie (x n ) convergean à droie vers a ou à gauche vers b, on voi que F es coninue à droie en a e à gauche en b, e donc, finalemen, coninue sur [a,b]. 2. Soien c [a,b] e h Ê els que c + h [a,b]. Le aux d accroissemen de F enre c e c + h vau τ c (h) = F(c + h) F(c) h [a,c[ = 1 h c+h c [a,c] f()d. Comme f es coninue en c, pour ou > il exise η > el que pour ou el que c < η on ai f() f(c) <. Alors, si h < η, par croissance de l inégrale on a τ c (h) f(c). Comme ceci es vrai pour ou, F es dérivable en c e F (c) = f(c). C es dire que f possède une primiive e que F es la primiive de f elle que F(a) =. Si F es une primiive quelconque de f, comme (F F ) = il exise un réel c el que F = F + c; comme F(a) =, on a c = F (a), donc b 3. D après la quesion précédene, a f()d = F(b) = F (b) F (a). φ(x) φ() = x φ ()d. D après la formule du changemen de variable ( = ux), φ(x) φ() = xθ(x), avec θ(x) = φ (x)dx. Pour ou [,1], la foncion x φ(x) es coninue. Comme φ es coninue, pour ou x [,1] la foncion φ(x) es inégrable e dominée par une une consane qui ne dépend pas de x. Donc la foncion θ es coninue sur [,1]. 4. D après la quesion précédene, on a φ(x) x = φ() x + θ(x),
où θ es coninue donc inégrable. Donc x φ(x)/x es inégrable si e seulemen si x φ()/x es inégrable, c es-à-dire si e seulemen si φ() =. Nous venons d uiliser le fai que 1/x n es pas inégrable. Redémonrons ce fai classique, pour l exemple. Noons f : [,1] Ê +, x 1/x si x, e, par exemple, f() =. Soi A ], 1]. La foncion logarihme es une primiive de f sur [A,1] e la resricion de f à l inervalle [A,1] es de classe C, donc coninue. D après la quesion précédene, on a donc A d = lna, e, en pariculier, f es inégrable sur [A, 1]. De plus, la suie croissane des foncions posiives f ½ [1/n,1], n 1, converge simplemen vers f sur ],1], donc presque parou sur [,1]. D après le héorème de convergence monoone, on a donc d = lim ln 1 n n = +. [,1] Donc 1/x n es pas inégrable sur [,1]. Mainenan, comme φ() = φ() + θ(), on a φ() 1 ( ) φ() d + φ() ln = + θ() d + φ() ln = θ()d ; comme θ es coninue sur [, 1], d après le héorème de convergence dominée cee quanié a bien une limie quand end vers. Soluion de l exercice 2 1. La loi des X n es la mesure uniforme U sur {,,9} : U = 1 1 k 9 La foncion caracérisique de X n es la foncion (indépendane de n) ϕ Xn () = e ix du(x) = 1 e ik ( Ê), Ê 1 soi δ k. k 9 { 1 1 exp(1i) ϕ Xn () = 1 1 exp(i) si e i 1 1 sinon. 2. Pour ou k, le erme général de la série k X k 1 k 9 1 k, X k 1 k vérifie donc la série converge simplemen vers une variable aléaoire Y : Ω Ê +, avec Y 9 k 1 1 1 k = 1. Cee convergence simple parou implique la convergence presque sûre, donc la convergence en probabilié e la convergence en loi.
3. Comme les X n son indépendanes, ϕ Yn () = 1 k n ϕ Xk /1 k() = 1 k n ( ) ϕ Xk 1 k. Si / 2π, cerainemen / 2π pour ou k 1, donc, d après la quesion 1 k précédene, soi, après simplificaion, ϕ Yn () = 1 1 n 1 k n 1 exp(1 (k 1) i) 1 exp(1 k, i) ϕ Yn () = 1 1 n 1 exp(i) 1 exp(1 n i). Comme la foncion caracérisique d une variable aléaoire inégrable es coninue, cee expression es valable pour ou / 1 n 2π. Si 1 n 2π, on voi soi par un calcul direc soi en prenan la limie de l expression précédene, que ϕ Yn () = 1. 4. Quand n end vers l infini, ϕ Yn () = 1 ( ) 1 exp(i) 1 n 1 n i + O(1 2n ) e ϕ Yn () 1 1. exp(i) 1 i si, D après le héorème de convergence dominée, puisque (Y n ) converge simplemen vers Y e es dominée par la foncion inégrable consane 1, (ϕ Yn ) converge simplemen vers ϕ Y presque parou. D après le calcul précéden, on a donc { exp(i) 1 ϕ Y () = i si 1 si = presque parou, e, par coninuié, parou. On reconnaî la foncion caracérisique de la loi uniforme sur [, 1]. Donc, par injecivié de la ransformaion de Fourier, la loi de X es la loi uniforme sur [,1]. Soluion de l exercice 3 1. La foncion caracérisique de X es ϕ X () = e 1 2 2 ( Ê 3 ), donc celle de Y = AX vau ϕ Y () = ϕ X (A ) = e 1 2 (AA ) ( Ê 2 ), donc, par injecivié ( de la ) ransformaion de Fourier, la loi de Y es N 2 (,D Y ), 1 1 avec D Y = AA = 1 2. 1 1 Comme la marice de dispersion D de Y n es pas diagonale, les composanes de Y ne son pas indépendanes (en fai, Y 1 = Y 2 ). Comme de D =, D n es pas inversible e Y = (Y 1,Y 2 ) n a pas de densié.
2. De même, la loi de Z es N 1 (,D Z ), avec D Z = BD Y B = 1 2, donc P Z adme pour densié 1 π exp( z 2 ). La loi de W es N 1 (,D W ), avec D W = CD Y C =, donc P W n adme pas de densié. 3. La droie vecorielle D = KerC d équaion y 1 = y 2 concenre la mesure P Y (puisque Y 1 = Y 2 ), au sens où la mesure d un ensemble disjoin de D es auomaiquemen de mesure nulle. B es la projecion orhogonale sur D, andis que C es la projecion orhogonale sur la droie orhogonale à D. 4. Voir le héorème 5.7 du cours polycopié. 5. Noons V = λ 1 X 1 + λ 2 X 2 la projecion orhogonale de X 3 sur le plan vecoriel engendré par X 1 e X 2. Remarquons que cov (X 3 V,X i ) = E[(X V )X i ] =, i = 1,2, (par définiion de la projecion orhogonale), donc X V es indépendan de X, donc E(X 3 V X) = E(X 3 V ). (Cee dernière égalié vien du fai que, si T es σ( X)-mesurable, T es indépendane de X 3 V, donc E((X 3 V )T) = E(X 3 V )E(T) = E(E(X 3 V )T).) Donc E(X 3 V X) = E(X 3 ) E(V ) = =. L espérance condiionnelle cherchée es W = E(X 3 X) = E(X 3 V X) + E(V X) = E(V X). Comme de plus V es σ( X)-mesurable, E(V X) = V. Donc W = V.