Parie A ) Prouver que pour ou réel >, ln. ) En déduire que la foncion f :, e elle que f() =, es définie sur [;+ [. ln 3) a) Eudier la foncion f. En pariculier, f es-elle dérivable en zéro? Sa courbe représenaive, noée C, adme-elle une angene au poin d abscisse? b) Tracer C, ainsi que la angene à C au poin d abscisse. c) Dans cee quesion, es un réel fié,. Parie B On défini la suie (u n ) par : u n = + ln (ln )² (ln )n + + + ² n. Démonrer que (u n ) es convergene e préciser sa limie. Eude de la foncion F définie sur ] ;+ [ par : F() = - ln d. ) Jusifier l eisence de F. Que représene F pour la foncion f? Eudier le sens de variaion de F. (L éude des limies n es pas demandée.) ) Eudier selon les valeurs de, le signe de F(). 3) Eude de la limie de F en zéro a) Démonrer que pour ou dans ] ;], b) En déduire que pour ou dans ] ;], ln. ² - F(). c) En admean qu une foncion bornée sur ] ;] e monoone sur ] ;], a une limie en, jusifier l eisence d une limie réelle en de la foncion F, e l apparenance de cee limie à l inervalle [- ;]. 4) Eude de la limie de F en + Prouver que pour ou réel, f(). En déduire la limie de F en +.
5) Encadremen de F par deu foncions usuelles a) Calculer, pour ou réel >, l inégrale ( + ln )d. Prouver que pour ou réel, + ln. ln En déduire que pour ou réel, F() ln. b) Calculer, pour ou réel >, l inégrale : ln ( + )d Prouver que, pour ou réel, + (ln )² - F().
Parie A ) On pose g() = ln ( ) g () = - = Tableau de variaions de la foncion g : CORRECTION g'() g() + + On dédui du ableau de variaions que g() pour > Donc ln pour >. ) Pour ou >, ln >. Donc f() es bien définie sur [ ;+ [ (car ln ne s annule pas sur ] ;+ [. 3) a) f() = u() avec u() = e v() = ln v() u ()v() u()v () f () = v²() u () = e v () = ln ( ) f () = = ln ( ln )² ( ln )² Tableau de variaions de f : f' f() + e + Dérivabilié en : f() f() - = ln 3
lim = car lim - ln ln = - Donc f es dérivable en e f () =. C adme donc une angene horizonale en ( ;). b) équaion de la angene en : y = f ()( ) + f() f () = e f() = Équaion de la angene en : y = 4
c) u n = ( ln ) n+ ln e de raison ln ) (somme des n+ premiers ermes d une suie géomérique de premier erme ( ln n+ ) u n = ln ( ln n+ ) u n = f() - ln Pour : ln Donc ln Donc la suie u n es convergene car lim (ln n+ n + ) = lim u n = f() n + Parie B ) f es coninue sur ] ;+ [ donc f adme des primiives sur ] ;+ [ e F es la primiive de f s annulan en. F () = f() > Donc F es sricemen croissane sur ] ;+ [. ) F() < sur ] ;[ F() = F() > sur ] ;+ [ 3) a) Pour dans ] ;], ln d après A) ). D où : E ln (en muliplian pa posiif). ln b) Pour ou dans ] ;] e ou dans [ ;], on a : f() En inégran enre e, on obien : 5
f() d d = ² - Or F() = - f() d Donc : ² - F() c) Pour dans ];],- ² - F() [] Donc F es bornée sur ] ;] e croissane sur ] ;]. Donc F adme une limie L en. Par passage à la limie dans, on a : - L. 4) Pour ou, ln. Donc ln e ln D où : (en muliplian par posiif) ln Donc pour ou réel, f(). Donc F() en inégran enre e. Donc lim F() = + car lim (- ) = + + + 5) a) Une primiive de + ln es + ln = ln Donc ( + ln )d = ln On pose i() = ln i() es du signe de ln pour. Or ln d après A) ). Donc i() pour Soi : + ln pour. ln ( ln )( + ln ) ln ( ln ) ( + ln ) = = ln ln En inégran enre e, on obien direcemen F() ln. b) Une primiive de + ln es + (ln )² 6
Donc ln ( + )d = + (ln )² - f() = ln = ln + ln ln ln = + ln ln Pou, ln donc ln ln Donc f() + ln En inégran enre e, on obien finalemen : F() + (ln )² - pour. 7