Mathématiques Seconde : Géométrie élémentaire Thèmes ExB1 : Longueurs dans un triangle rectangle ExB2 : Angles dans un triangle rectangle ExB3 : Aires et volumes usuels (voir aussi 11 Problèmes ExB4) ExA1 : Longueurs dans un triangle rectangle ExA2 : Médiatrices et hauteurs dans un triangle ExA3 : Aire d un triangle (formule de Héron) Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) : Énoncés ExB1 1 Choisir trois entiers tels que et a) Soit un triangle rectangle tel que et Justifier que le triangle n est pas rectangle en Calculer dans le cas où est rectangle en puis dans le cas où est rectangle en b) Soit un triangle tel que, et Démontrer que le triangle est rectangle ExB2 1 Choisir trois entiers tels que et a) Soit un triangle rectangle en tel que et Calculer la valeur arrondie au degré de l angle puis celle de l angle b) Soit un triangle rectangle en tel que et Calculer la valeur arrondie au degré de l angle puis celle de l angle c) Soit un triangle rectangle en tel que et (en degrés) Calculer et et donner leur valeur arrondie au centième ExB3 1 Choisir trois entiers tels que et a) Soit un triangle rectangle en tel que et On note le symétrique de par rapport à et le projeté orthogonal de sur Calculer l aire du triangle et la longueur b) Soit un parallélogramme tel que et On note le projeté orthogonal de sur et on suppose que Calculer l aire du parallélogramme et, de deux façons, l aire du trapèze c) Calculer le périmètre et l aire d un disque de rayon Donner leur valeur arrondie au centième
d) Calculer le rayon d un disque dont le périmètre est et le rayon d un disque dont l aire est Donner leur valeur arrondie au centième 2 Choisir trois entiers tels que et a) Soit un parallélépipède rectangle (pavé droit) tel que et Calculer le volume du tétraèdre, le volume de la pyramide et le volume du prisme b) Calculer le volume et l aire d une sphère de rayon Donner leur valeur arrondie au millième c) Calculer le rayon d une sphère dont le volume est Donner sa valeur arrondie au dixième ExA1 1 Soit un triangle rectangle en et le projeté orthogonal de sur a) Démontrer que b) En déduire que et puis que c) Démontrer que et que d) En déduire que e) Retrouver cette égalité en calculant l aire du triangle de deux façons ExA2 (cet exercice utilise les vecteurs) 1 Soit un triangle On note le point tel que est un parallélogramme et et les symétriques respectifs de par rapport à et On note aussi les médiatrices respectives des segments a) Démontrer que et sont sécantes en un point ; démontrer que et en déduire qu il existe un cercle passant par et (cercle circonscrit au triangle ) b) Démontrer que les hauteurs du triangle sont les médiatrices du triangle En déduire qu elles sont concourantes en un point ExA3 1 On admet que dans tout triangle il existe au moins une hauteur qui coupe le segment opposé au sommet par lequel elle passe On nomme les sommets de sorte que si est le projeté orthogonal de sur alors conformément aux figures ci-dessous : Si le triangle a un angle obtus, on note le sommet de cet angle On pose et on note l aire du triangle a) Démontrer que b) En remarquant que, démontrer que c) En déduire en fonction de et puis démontrer que d) Démontrer finalement la formule de Héron d Alexandrie (1 er siècle après JC) : e) Vérifier que si alors f) Calculer l aire du triangle si et
Méthodes et indications ExB1 1 Utiliser le théorème de Pythagore : est rectangle en si, et seulement si, De plus, dans un triangle rectangle, le sommet de l angle droit est le sommet opposé à l hypoténuse c est-à-dire au côté qui a la plus grande longueur ExB2 1 Dans un triangle rectangle en, on a : et On retient, et Si on connaît ou, on trouve à l aide de la calculatrice (mode degrés) avec, ou Remarque En mathématiques, on note ExB3 1 a) Si on note les projetés orthogonaux respectifs de sur les côtés opposés dans le triangle et l aire de, on a b) L aire d un parallélogramme est où est la longueur d un des côtés et la hauteur associée ; c est l aire du rectangle obtenu suivant la construction ci-dessous (à gauche) : La construction de droite permet de retrouver l aire d un triangle à partir de celle d un parallélogramme : L aire d un trapèze est où est la grande base, la petite base (les deux côtés parallèles) et la hauteur Elle se déduit de l aire d un parallélogramme suivant la construction ci-dessous : c) Le périmètre d un disque de rayon est et l aire est 2 Les volumes à connaître sont : - Type cylindre : Ils sont délimités par des segments parallèles qui s appuient sur une courbe plane ; ils sont compris entre deux plans parallèles La base est l aire délimité par la courbe plane et la hauteur est la distance entre les deux plans c est-à-dire la longueur de tout segment perpendiculaire aux deux plans ayant ses extrémités sur ces plans Selon la courbe plane, on obtient les cas particuliers suivants : - les prismes (la courbe est un polygone) avec en particulier les parallélépipèdes (la courbe est un parallélogramme) - les cylindres de révolution (la courbe est un cercle et les segments sont perpendiculaires au plan du cercle)
- Type cône : Ils sont délimités par des segments ayant pour extrémité un point (sommet) et qui s appuient sur une courbe plane La base est l aire délimité par la courbe plane et la hauteur est la distance entre le plan de la courbe et le sommet c est-à-dire la longueur du segment d extrémité qui est perpendiculaire au plan Selon la courbe plane, on obtient les cas particuliers suivants : - les pyramides (la courbe est un polygone) avec en particulier les tétraèdres (la courbe est un triangle) - les cônes de révolution (la courbe est un cercle et les segments sont perpendiculaires au plan du cercle) b) Le volume d une sphère de rayon est et son aire est ExA1 1 a) Utiliser trois fois le théorème de Pythagore c) Remarquer que ExA2 1 a) Utiliser le fait qu un point appartient à la médiatrice d un segment si, et seulement si, Cela signifie que si appartient à la médiatrice de alors et que, réciproquement, si alors appartient à la médiatrice de b) Utiliser les deux résultats suivants : est un parallélogramme si, et seulement si, ou encore si, et seulement si est le milieu de si, et seulement si, ExA3 1 a) Utiliser deux fois le théorème de Pythagore b) Utiliser le fait que si et alors d) Utiliser plusieurs fois l identité remarquable Corrigés ExB1 1 a) On a et Si est rectangle en alors son hypoténuse est ce qui impossible puisque Si est rectangle en alors, d après le théorème de Pythagore, on a Si est rectangle en alors on a de même ou encore b) On a, et On a Remarque Le calcul littéral donne le triangle est rectangle en
ExB2 1 a) et On a Comme avec, on a Remarque On peut retrouver ce résultat avec b) et On a Comme avec, on a Remarque On peut retrouver ce résultat avec c) et On a De même, ExB3 1 a) et Comme, on a Comme, on a aussi Or, comme le triangle est rectangle en on a, d après le théorème de Pythagore, Finalement b), et et, comme est rectangle en, Ainsi et Alors Et on peut aussi écrire c) Le périmètre du disque de rayon est Son aire est d) On a et Ainsi et et 2 a) et On a De même Enfin
b) Le volume d une sphère de rayon est Son aire est c) on a Ainsi ExA1 1 ExA2 1 a) a) Dans le triangle, on a De même, dans le triangle, on a En additionnant ces deux égalités membre à membre, on a et, comme est rectangle en, on a Finalement b) On a ou encore De même On en déduit que est à l intérieur du cercle de centre passant par et à l intérieur du disque de centre passant par Comme est sur la droite, on a c) D après a), on a De plus, d après le théorème de Pythagore, on a d) On a et, de même,, en multipliant ces deux égalités membre à membre, on obtient On en déduit que e) Comme, on a et comme, on a aussi On a bien Si et étaient parallèles alors et le seraient aussi (car et ) les points seraient alignés Comme c est faux, et sont sécantes en un point Comme, on a et comme on a On en déduit que Autrement dit les trois médiatrices sont concourantes en Alors on a le cercle de centre passant par passe aussi par et b) Comme est un parallélogramme, on a et, comme est le milieu de, on a Ainsi est un parallélogramme En particulier De même, on a est un parallélogramme et Finalement, est le milieu de La hauteur issue de dans le triangle est la droite passant par et perpendiculaire à On a vu que elle est perpendiculaire à et, comme est le milieu de, c est la médiatrice de On raisonne de même avec la hauteur issue de et avec la hauteur issue de Comme les médiatrices du triangle sont concourantes, les hauteurs du triangle le sont aussi Leur point d intersection est l orthocentre du triangle (c est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle )
ExA3 1 a) D après le théorème de Pythagore dans les triangles et, on a et En soustrayant ces deux égalités membre à membre, on obtient b) Comme, on a Alors c) D après a), on a Comme, on a d) On a e) Si alors on a et, de même, et Donc f) Si et alors et En utilisant la formule de d), on a