Cours Cours SAMP-1b TSI1 TSI2 Réponse emporelle X Période Idenificaion des sysèmes 1 2 3 4 5 Cycle 6 : Sysème asservi muli-physique Durée : 4 semaines X Dans le "cours SAMP1 Performances", on s'es inéressé à la quanificaion des performances : - précision par l'écar e s o appelé écar saique en réponse à une enrée en échelon, o appelé écar de rainage en réponse à une enrée en rampe. Figure 1 : Ecars - rapidié par le emps de réponse 5% pour une enrée en échelon qui es la durée mise par le signal de sorie pour enrer dans la bande des 5% (parfois par le emps de monée ), Figure 2 : emps réponse 5% e emps de monée m - sabilié par le dépassemen (enrée en échelon) : D1%. Figure 3 : Dépassemen L'ampliude de l'échelon d'enrée n'inervien que pour les écars. Les aures performances ne concernen que l'ampliude de la sorie : - 5% de la valeur finale de la sorie (seul l'insan de l'échelon inervien pour ce crière), - D1% : dépassemen de la valeur finale de la sorie divisée par la valeur finale de la sorie. Lycée Jules Ferry Page 1 sur 7 TSI2
MODELISER Idenifier les paramères caracérisiques d un modèle du premier ou du second ordre à parir de sa réponse indicielle (commenaires : abaques fournis pour le modèle du second ordre.) Définir les paramères du modèle RESOUDRE Proposer une démarche permean de prévoir les performances d un sysème asservi Prévoir les réponses emporelles des sysèmes linéaires du premier e second ordre Caracériser la sabilié d un sysème du premier e du second ordre 1 Sysèmes proporionnels La grande majorié des composans d'un sysème peuven êre modélisés par une relaion de proporionnalié direce enre l'enrée e la sorie : s() = K.e(). K : gain du sysème (unié [s]/[e]) On peu ainsi modéliser les composans suivans : ceux qui ransmeen l'énergie sans changer sa naure : les ransmeeurs (réduceur à roue e vis sans fin, à engrenages, sysème vis-écrou...), les composans qui disribuen l'énergie : préacionneurs, cerains capeurs (poeniomère, générarice achymérique...). Les composans de conversion d'énergie ne son généralemen pas proporionnels. 2 Sysème du 1 er ordre Figure 4 : Exemples de sysèmes proporionnels 2.1 Equaion différenielle d'un sysème du premier ordre Un sysème es di du 1 er ordre si l évoluion de la sorie s() es soluion d'une équaion différenielle du 1 er ordre de la forme suivane :. : consane de emps du sysème (unié seconde) K : gain du sysème (unié [s]/[e]) Exemples : freinage d'une masse M par un amorisseur visqueux f (F a = -f. ).. 0 charge e décharge d'un condensaeur sous une ension e()!". #$ % $ &. Soluion à l'équaion différenielle : '.( ).*, -. /.0 (réponse à un échelon) Lycée Jules Ferry Page 2 sur 7 TSI2
2.2 Caracérisiques de la réponse emporelle Asympoe s( ) = s( ) horizonale s() e e() s( ) Aucun dépassemen τ croissan Tangene à l'origine NON horizonale Consigne en ECHELON Eo Figure 5 : Allure d'une réponse indicielle du 1er ordre emps 2.3 Idenificaion de la consane de emps τ Lors de l'idenificaion d'une réponse indicielle expérimenale avec la réponse d'un premier ordre, plusieurs méhodes permeen de déerminer τ : précis : s() = 0,63.s( ) donne τ par projecion (emps de réponse 2% 3.), moins précis mais avec vérificaion du 1 er ordre: les angenes à chaque insan coupe l'asympoe s( ) à τ plus ard (pas facile à =0 : flucuaions dues au démarrage). K.a 0,95.K.a 0,63.K.a Tangene à l origine e() = a.u() s() Plus es grand plus le sysème es len. radui donc le foncionnemen ransioire. 0 Figure 6 : Idenificaion 1er ordre τ 3τ 2.4 Idenificaion de l'amplificaion K ' 4 54 Lycée Jules Ferry Page 3 sur 7 TSI2
3 Sysème du 2 nd ordre 3.1 Equaion différenielle du second ordre Un sysème es di du second ordre si l évoluion de la sorie s() es soluion d'une équaion différenielle du 2 nd ordre de la forme suivane : avec : 6 ) ² 8 9 8 9 9:. 8 '., 6 ) 8 ω o : pulsaion propre du sysème (en rad.s -1 ) z : coefficien d'amorissemen (sans unié). On emploie aussi les noaions m ou. K : gain du sysème (unié [s]/[e]) Exemple : circui RLC série e() s() Loi des mailles :,;.< =8< 8 Condensaeur : < >8 8, =>8² 8² ;>8 8 donne :?, A ) B CD,E F 9. BD C 3.2 Caracérisiques de la réponse emporelle La résoluion de cee équaion différenielle donne des réponses emporelles qui diffèren selon la valeur du coefficien d amorissemen. On disinguera rois cas : z > 1 apériodique (sysème rès amori) z = 1 apériodique criique (la plus rapide des réponses sans dépassemen) z < 1 pseudo périodique Un crière commun d'idenificaion du second ordre es la angene à l origine horizonale mais elle n'es pas oujours rès visible. Tangene horizonale à l origine Lycée Jules Ferry Page 4 sur 7 TSI2
3.2.1 z > 1 (for amorissemen) : '( ). G. 9.H..*, G. /.9.*, G.9 /I s() e e() Figure 7 : Réponse indicielle en régime apériodique z 1 Le comporemen du sysème es non oscillan. Il end vers la valeur finale KE 0 sans jamais la dépasser. On di que le REGIME es APERIODIQUE. Plus le coefficien d amorissemen z es grand, plus le emps de réponse es imporan. 3.2.2 z = 1 (amorissemen opimal) : '( ).**. /.,G. / La réponse es non oscillane, e pour un K donné e ω 0 donné, c es le régime apériodique le plus rapide (voir la courbe précédene). Ce régime es appelé REGIME APERIODIQUE CRITIQUE. 3.2.3 Cas où z < 1 : '( ).J T p KG:².,G:6 ).L<M*6 ).K:².N/OP La réponse indicielle présene la forme d une sinusoïde amorie de pseudo-période Q R 9S 6 ).KG:² D'où la pseudo-pulsaion: T U T V.K1X² Figure 8 : Réponse indicielle en régime oscillaoire amori La réponse indicielle présene des oscillaions. On di que le régime es OSCILLATOIRE AMORTI. Le premier dépassemen à lieu à 1 : Y Z[ 0 Le résula nous donne : S 6 ).KG:² de façon plus générale : \ \] ^_.K[G`² où m es le numéro du dépassemen (posiif ou négaif). Lycée Jules Ferry Page 5 sur 7 TSI2
La valeur du dépassemen es : a %, G :S K-:² de façon plus générale : b % Xc K1X² On peu racer la courbe lian T d.5% X, cela perme de voir l'influence de z sur la rapidié. ω o. 5% 5% ω o. 5% disconinuié 9 9 Figure 9 : Courbe lian les 3 paramères 5%, ω0 e z Figure 10 : Courbe Dm% en foncion de z Pour : > 9, le emps 5% augmene avec z; 9 Pour : < 9, le emps 5% diminue lorsque z augmene. 9 Lorsque l asservissemen d un sysème olère les dépassemens, on choisi un sysème rapide. Le plus rapide des seconds ordres s'obien lorsque X h h 0,707 Figure 12 : Evoluions des réponses indicielles en foncion de z Lycée Jules Ferry Page 6 sur 7 TSI2
3.3 Idenificaion d'une réponse indicielle expérimenale du second ordre : Seules les réponses indicielles expérimenales pseudo-oscillanes permeen une idenificaion avec un second ordre à parir de la réponse emporelle. Méhode d'idenificaion d'un second ordre à parir du 1 er dépassemen e de la pseudo-pulsaion : la mesure du 1 er dépassemen sur la réponse indicielle perme d'obenir l'amorissemen par la courbe de la Figure 10 (ou oue aure abaque donnan D1%(z)). la mesure de la pseudo période nous perme d'obenir T d h] j k.k[g`² sans oublier le gain ' 4 54 Méhode d'idenificaion d'un second ordre à parir du 1 er dépassemen e du emps de réponse à 5% : la mesure du 1 er dépassemen sur la réponse indicielle perme d'obenir l'amorissemen par la courbe de la Figure 100 (ou oue aure abaque donnan D1%(z)). le graphique de la Figure 11 perme d'obenir 6 ).l% à parir de z, la mesure de 5% sur la réponse emporelle perme enfin d obenir 6 ) 6 ).l% l%. sans oublier le gain ' 4,4. Pour vérifier vos résulas vous pouvez noer que pour des valeurs faibles de l'amorissemen z : 6 ) e proche de 6 R, z peu êre évalué par la formule approchée : Mmnop, 8, Rép<m8,,M<èp, s<<o,. Bibliographie: [1] hp://www.upsi.fr [2] hp://sciences-indus-cpge.papanicola.info/img/pdf/sa1-systemes_asservis_-_notions.pdf [3] hp://www.lyc-richelieu-rueil.ac-versailles.fr/websi/sirueilcours.hml (Sébasien Gérgadier) [4] Sciences Indusrielles pour l'ingénieur de P.Beyne chez Ellipses [5] hp://eavr.u-srasbg.fr/~laroche/suden/fip/auomfip1.pdf [6] hp://floresan.mahurin.free.fr/ [7] Sciences indusrielles pour l'ingénieur de G.Colombari chez Foucher [9] Génie élecrique de C.François chez Ellipses Lycée Jules Ferry Page 7 sur 7 TSI2