Espaces préhilberiens réels e espaces euclidiens 0 Rappels de première année 0. Produi scalaire réel, espace euclidien Définiion 0... Produi scalaire réel Ean donné un Respace vecoriel E, on appelle produi scalaire sur E oue applicaion B:E E R elle que : pour ou u E, les applicaions x B(x, u) e y B(u, y) son des formes linéaires sur E, l applicaion B es symérique : x, y E, B(y, x) = B(x, y); B es définie posiive : x E\{0}, B(x, x) > 0. Remarque.. La linéarié à droie e la symérie enraînen la linéarié à gauche. 2. B(λ x, λ x) = λ 2 B(x, x) enraîne B(0 E, 0 E ) = 0. Proposiion 0..2. [inégalié de CauchySchwarz 0.. ] On considère un produi scalaire.,. sur un Respace vecoriel E. i. Pour ous x, y E : x, y 2 x, x y, y. ii. Cee inégalié es une égalié si e seulemen si x e y son proporionnels. Démonsraion. Posons, pour ou x E, Q(x) = B(x, x). La foncion f : λ R Q(λ x y) = λ 2 Q(x) 2 λ x, y + Q(y) es à valeurs posiives.. Si Q(x) =/ 0, f es du second degré e = 4 ( x, y 2 Q(x) Q(y)) 0 ce qui es l inégalié cherchée. Si Q(x) = 0, f es affine, posiive donc consane, donc B(x, y) = 0. 2. L égalié es vraie si x, y son liés. Réciproquemen, B es définie posiive donc = 0 Q(λ x y) a une racine λ 0 donc y = λ 0 x. Définiion 0..3. espace préhilberien, espace euclidien On considère un Respace vecoriel E. On suppose défini un produi scalaire.,. sur E. Le couple (E,.,. ) es appelé espace préhilberien réel. Il es appelé espace euclidien si, de plus, E es de dimension finie. Proposiion 0..4. [norme associée à un produi scalaire] Si.,. es un produi scalaire sur un espace vecoriel réel E, on défini une norme sur E, die norme ou euclidienne associée, en posan : x = x, x. Démonsraion..,. définie posiive donc x = 0 x = 0 E e λ x = λ x, λ x = λ 2 x = λ x. Enfin, par CauchySchwarz, x + y 2 = x 2 + 2 x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. Remarque. la dernière ligne monre que x + y = x + y si e seulemen si x, y = x y, c esàdire lorsque x e y son colinéaires (CauchySchwarz) e de même sens ( x, y 0). 0... d Augusin Cauchy (789857) e Hermann Schwarz (84392). PC C2 23 janvier 209
2 Secion 0 Exemple.. R n muni du produi scalaire canonique (x, y) x, y = X Y = k= 2. (A, B) r( A B) = i,j a i,j b i,j défini un produi scalaire sur M n (R). n x k y k es un espace euclidien. 3. Soi l 2 (N) l ensemble des suies réelles u = (u n ) pour lesquelles la série u 2 n converge. Le réel u, v = + k=0 u n v n exise e défini un produi scalaire sur l 2 (N). On noera. 2 la norme associée à ce produi scalaire. b 4. Si a < b +, on a vu que (f, g) f g défini un produi scalaire sur le Re.v. des foncions coninues inégrables sur ]a, b[. a 5. Si a < b +, soi w coninue sricemen posiive sur ]a, b[ elle que, pour ou n N, n w() b soi inégrable sur ]a, b[. Alors (P, Q) P Q w es un produi scalaire sur R[X]. a Démonsraion. P Q w es inégrable sur ]a, b[ e la bilinéarié e la symérie son claires e P 2 w 0 e ne s annule que si P 2 w, soi si P, es ideniquemen nul. Exercice. [idenié de polarisaion] On considère un Re.v. E. Si B es un produi scalaire sur E e. es la norme euclidienne associée à B alors : Le produi scalaire B es donc parfaiemen déerminé par.. x, y E, B(x, y) = 4 ( x + y 2 x y 2 ) Démonsraion. Il suffi de développer le membre de droie de l égalié. Remarque. On a aussi B(x, y) = 2 ( x + y2 x 2 y 2 ). Proposiion 0..5. [égalié du parallélogramme] Si.,. es un produi scalaire sur un espace vecoriel réel E, la norme associée vérifie l égalié suivane, die égalié du parallélogramme ou de la médiane : x, y E, x + y 2 + x y 2 = 2 ( x 2 + y 2 ). Démonsraion. Il suffi de développer x + y 2 + x y 2. Inerpréaion géomérique. Dans un paralléllogramme, la somme des carré des diagonales es égale à la somme des carrés des quare côés. Exercice. (difficile) On considère une norme. sur E vérifian l égalié du parallélogramme e on se propose d éablir qu elle es associée à un produi scalaire. Pour cela, on pose : x, y E, B(x, y) = 4 ( x + y 2 x y 2 ). a) En remarquan que B(x, y) = ( y 4 x + 2 + y 2 2 + x + y 2 y 2 2 x + y 2 y 2 2 x y 2 y 2 2), éablir, pour x, y E, la relaion B(x, y) = 2 B(x, y/2). En déduire par une méhode analogue, pour x, x 2, y E, la relaion B(x + x 2, y) = B(x, y) + B(x 2, y). b) Éablir, pour x, y E, la relaion B(λ x, y) = λ B(x, y) pour λ N puis pour λ Q e λ R. Éablir enfin que B es un produi scalaire sur E don. es la norme associée. Démonsraion. a) B(x, y) = ( y 4 x + 2 + y 2 2 + x + y 2 y 2 2 x + y 2 y 2 2 x y 2 y 2 2) donc B(x, y) = ( 4 2 x + y 2 2 + y 2 2 x y 2 2 y 2 2) = 2 ( x + y 4 2 2 x y 2 2) = 2 B(x, y 2 ) de même, B(x + x 2, y) = ( x 4 + y 2 + x 2 + y 2 2 + x + y 2 x 2 y 2 2 x + y 2 x 2 y 2 2 x y 2 + x 2 y 2 2) = ( 4 2 x + y 2 2 + x 2 + y 2 2 x y 2 2 x 2 y 2 2) = 2 ( x 4 + y 2 2 x y 2 2 + x 2 + y 2 2 x 2 y 2 2) = 2 B(x, y 2 ) + 2 B(x 2, y 2 ) = B(x, y) + B(x 2, y)
Rappels de première année 3 b) Par récurrence, p Z, p B(x, y) = B(p x, y) d où q B( q x, y) = B(x, y) ce qui donne B( p q x, y) = p B( q x, y) = p B(x, y). q Par coninuié de λ B(λ x, y) λ B(x, y), on a l égalié cherchée pour ou λ R. Il rese à prouver que B es symérique définie posiive. 0.2 Orhogonalié 0.2. Veceurs orhogonaux Définiion 0.2.. veceurs orhogonaux On considère un espace préhilberien réel (E,.,. ). On di que deux veceurs x e y de E son orhogonaux e l on noe x y si x, y = 0. On di qu une famille de veceurs (v i ) i I es orhogonale si : i, j I, i =/ j v i, v j = 0. Une elle famille orhogonale es die orhonormale si on a de plus : i I, v i =. Remarque. On di enfin que deux paries A e B de E son orhogonales si : x A, y B, x y.. x y y x 2. (v i ) i I es orhonormale lorsque i, j I, v i, v j = δ ij. Une caracérisaion praique : Si V es un s.e.v. de E e si x E, alors : x es orhogonal à V si e seulemen s il exise une base B de V don ou élémen es orhogonal à x. Il es inuile de vérifier que x v pour ou veceur v V. Proposiion 0.2.2. [héorème de Pyhagore] On considère un espace préhilberien réel (E,.,. ). Pour oue famille orhogonale (v,..., v n ) de veceurs de E, on a : n i= n v i 2 = i= v i 2. Démonsraion. n i= v i 2 = i,j n v i, v j = n i= v i, v i = n i= v i 2. Proposiion 0.2.3. [indépendance des familles orhogonales de veceurs non nuls] On considère un espace préhilberien réel (E,.,. ). Toue famille orhogonale de veceurs non nuls de E es libre. En pariculier, oue famille orhonormale es libre. Démonsraion. Si (λ i ) i I es une famille de réels, i λ i v i = 0 E v j, i λ i v i = 0 λ j v j 2 = 0. Proposiion 0.2.4. [exisence de bases orhonormales en dimension finie] Tou espace euclidien non rédui au veceur nul adme des bases orhonormales. Démonsraion. Récurrence sur n = dim E : soi e n veceur uniaire de E, H = Ker (x e n, x ) es un sousespace de E de dimension n, par le héorème du rang, que l on muni de la srucure d espace euclidien induie par E. Hypohèse de récurrence : (e,..., e n ) base orhonormale de H donc (e,..., e n ) base orhonormale de E. Exercice. Polynômes de Hermie (82290) a) Jusifier l exisence de l inégrale suivane pour P, Q R N [X], puis démonrer que l applicaion (P, Q) P, Q défini un produi scalaire sur R N [X] : P, Q = P () Q() e 2 d. R b) Noons u: e 2. On pose H n () = e 2 dn u d n () pour ou enier naurel n. Monrer que H n es polynômiale de degré n. Monrer que chaque H n es orhogonal à R n [X]. En déduire que la famille (H n ) n N es orhogonale pour ce produi scalaire. PC C2
4 Secion 0 Démonsraion. P () Q() e 2 coninue inégrable car o( 2 ) en ± donc l inégrale es bien définie. L applicaion.,. es bien bilinéaire symérique définie posiive. 2 d(u Hn) Récurrence : H 0 es un polynôme de degré 0 e si c es vrai pour n, H n+ () = e () = 2 H d n () + H n (). Si k < n, H n, X k IPP = [u (n) () k ] + k R u(n ) () k d = [e 2 H n () k ] + k R u(n ) () k d où le croche es nul. En réiéran, on obien H n, X k = ( ) k k! R u(n k ) () d = ( ) k k! [e 2 H n k () ] + = 0 donc H n es orhogonal à R n [X] e donc aux H k pour k < n. 0.2.2 Sousespaces orhogonaux Définiion 0.2.5. orhogonal d une parie On considère un espace préhilberien réel (E,.,. ). On appelle orhogonal d une parie A non vide de E l ensemble, noé A, des veceurs orhogonaux à ou veceur de A, c esàdire : A = {x E / a A, a, x = 0}. Proposiion 0.2.6. [srucure de l orhogonal d une parie] On considère un espace préhilberien réel (E,.,. ). L orhogonal d une parie non vide A de E es un sousespace vecoriel de E e on a l inclusion : A (A ) (mais pas nécessairemen l inclusion réciproque). Lorsque F es un sousespace vecoriel de E, alors la somme F F es direce (non nécessairemen égale à E). Démonsraion. A es non vide, sable par combinaisons linéaires e a A, x A, x, a = a, x = 0 donc a (A ). Enfin, si x A A, alors x 2 = x, x = 0 donc x = 0. Aenion! Dans ous les cas, F e F son en somme direce. Mais F F = E peu êre faux si dim F = +. Exemple. Si E = l 2 (N) e F = Vec (e n ) ) n N es l ensemble des suies presque nulles (c esàdire à suppor fini) alors F = {0 E } mais F =/ E (car / F ). ( n + n 0 Proposiion 0.2.7. [des sousespaces orhogonaux son en somme direce] Si (F i ) i I es une famille finie de sousespaces vecoriels de E deux à deux orhogonaux, alors la somme i I F i es direce. Démonsraion. Si x = i I x i es élémen de cee somme écri dans cee décomposiion, x = 0 implique, par Pyhagore, que 0 = x 2 = x i 2 e donc que, pour ou i I, x i = 0. Définiion 0.2.8. supplémenaires orhogonaux On considère un espace préhilberien réel (E,.,. ). On di que les sousespaces F e G son supplémenaires orhogonaux si : ils son supplémenaires dans E, soi E = F G, ils son orhogonaux, soi : u F, v G, u, v = 0. On appelle alors projeceurs orhogonaux associés à ces supplémenaires orhogonaux les projeceurs sur F parallèlemen à G e sur G parallèlemen à F. Proposiion 0.2.9. orhogonalié de deux sousespaces supplémenaires On considère deux sousespaces vecoriels F e G d un espace préhilberien réel (E,.,. ). Alors, si F e G son supplémenaires, les asserions suivanes son équivalenes : i. F e G son orhogonaux ii. F = G iii. G = F Démonsraion. ii. i e iii. i. son clairs. i. ii. Sachan E = F G e F G, si x G, écrivons x = f + g F G.
Rappels de première année 5 Alors 0 = x, g = f, g + g, g = g, g donc g = 0 E e x = f F. (i. iii. es prouvé par symérie.) Remarque. On a supposé a priori que F e G son supplémenaires, ce qui n es pas nécessairemen le cas de F e de F en dimension quelconque (cf l exemple précéden). En revanche, on va voir que c es oujours le cas si F es de dimension finie. 0.3 Projecion orhogonale Proposiion 0.3.. [F e F son supplémenaires lorsque dim F < + ] On considère un espace préhilberien réel (E,.,. ). Pour ou sousespace F de dimension finie, F e F son supplémenaires orhogonaux e, si (e,..., e n ) es une base orhonormale de F, alors le projeé orhogonal d un veceur x sur F es : n p F (x) = k= e k, x e k. Démonsraion. F, muni de la srucure préhilberienne induie de E, es de dimension finie donc possède une base orhonormale (e,..., e n ). Analyse : soi x = y + z F + F, y = i y i e i e donc z = x i y i e i. z F k, e k, z = 0 soi e k, x = y k. La décomposiion es unique (donc la somme es direce) e s écri : x = ( i n e i, x e i ) + (x i e i, x e i ). Synhèse : Pour ou x E, la décomposiion cidessus es bien suivan F F (on a e k, x i e i, x e i = 0) donc E = F F e p F es de la forme annoncée. A reenir : pour ou x E, p F (x) es défini par : p F (x) F Si B = (e i ) i n es une base de F, on vérifiera donc : ET x p F (x) F. p F (x) Vec(B) donc s écri sous la forme n i= α i e i 2. x p F (x) es orhogonal à chaque veceur de B, soi i, x n i= α i e i, e i = 0 résoluion d un sysème linéaire de n équaions à n inconnues α i. Si B es orhonormale, on peu uiliser la formule p(x) = x, e i e i direcemen. Remarque. Ne pas oublier que Id = p F + p F e que p F peu se révéler plus simple à déerminer... Proposiion 0.3.2. [projecion orhogonale sur F e disance à F] Si F es un sousespace de dimension finie d un espace préhilberien réel E e si x es un veceur de E, la foncion v d(x, v) adme un minimum global sric sur F. Il es aein en p F (x). On a donc : d(x, F ) = min v F x v = x p F(x) Démonsraion. Par Pyhagore, si v F, x v 2 = x p F (x) + p F (x) v 2 = x p F (x) 2 + p F (x) v 2, car x p F (x) F e p F (x) v F donc x v x p F (x) avec égalié ssi v = p F (x). Exercice. Aures formules pour la disance d(x, F ) :. d 2 (x, F ) = x p F (x) 2 = x 2 p F (x) 2 car x 2 = (x p F (x)) + p F (x) 2 = x p F (x) 2 + p F (x) 2. 2. d 2 (x, F ) = x p F (x), x p F (x) = x p F (x), x Proposiion 0.3.3. [orhonormalisaion de GramSchmid (876959)] On considère un espace préhilberien réel ou complexe (E,.,. ). Pour oue suie libre (v 0,..., v n,...) de E, il exise une e une seule suie (e 0,..., e n,...) die orhonormalisée de Schmid, elle que : la famille (e 0,..., e n,...) es orhonormale, PC C2
6 Secion 0 k 0, Vec (e 0,..., e k ) = Vec (v 0,..., v k ), k 0, e k, v k > 0. Démonsraion. Consrucion de e n par récurrence sur n : e 0 = v 0 / v 0. Supposons (e 0,..., e n ) consruis. On veu e n uniaire dirigean la droie de Vec (v 0,..., v n ) orhogonale à Vec (e 0,..., e n ) = Vec (v 0,..., v n ). Un veceur direceur en es v n p n (v n ) où p n es le projeceur orhogonal sur Vec (e 0,..., e n ), soi p n (v n ) = j n e j, v n e j. Un veceur direceur e n es alors uniaire ssi e n = µ (v n p n (v n )) avec µ = v n p n (v n ) (=/ 0). Soi v n = µ e n + p n (v n ) e donc e n, v n = µ > 0 µ = v n p n (v n ). D où l exisence e l unicié. e n = v n j n e j, v n e j v n j n e j, v n e j voir illusraion en ligne : hp://mah.pcsl.fr/cours/c2a.gramschmid.pdf Remarque. démonsraion algorihmique qui perme le calcul effecif de (e n ). Exercice 0.3.. Soi E = R 2 [X] e P, Q = P ()Q() + P (0)Q(0) + P ( )Q( ). Vérifier qu il s agi bien d un produi scalaire e rouver (P 0, P, P 2 ) une base de E orhonormale elle que deg P i = i. Soluion. GramSchmid donne : Q 0 =, Q = X, Q 2 = 6 /2(X 2 2/3). Exercice 0.3.2. Quelques résulas sur les polynômes orhogonaux. On considère une foncion coninue sricemen posiive ω : I R e on suppose, pour ou polynôme P R[X], que la foncion P 2 ω es inégrable sur l inervalle I. a) Monrer que l inégrale P, Q = P () Q() ω() d exise e défini un produi scalaire sur R[X]. I On désigne alors par (P n ) l orhonormalisée de Schmid de la base canonique (X n ). b) Éablir, pour ou enier n, qu il exise rois nombres réels a n, b n e c n els que : Éablir de plus, pour n, que c n = a n. X P n (X) = a n P n+ (X) + b n P n (X) + c n P n (X) c) Soien x,..., x p les racines disinces d ordre de muliplicié impair de P n apparenan à I. Éablir, si p < n, que P n (X), (X x ) (X x 2 )... (X x p ) es à la fois nul e non nul. En déduire que P n a n racines simples réelles, qui son siuées dans I. Démonsraion. a) P Q ω es coninue e 2 P Q ω P 2 ω + Q 2 ω donc l inégrale exise. Produi scalaire simple à éablir car P 2 ω 0. b) Vec(P 0,..., P n ) = R n [X] donc, par récurrence, d P n = n. Dans la b.o.n. (P 0,..., P n+ ) de R n+ [X], X P n = k n+ P k, X P n P k e, si k n 2, P k, X P n = X P k, P n = 0 d où l égalié en posan a n = P n+, X P n, b n = P n, X P n e c n = P n, X P n. Enfin, c n = P n, X P n = X P n, P n = a n. c) si p < n, d (X x ) (X x 2 )... (X x p ) = p < n donc P n lui es orhogonal. Mais (X x ) (X x 2 )... (X x p ) P n es de signe consan car oues ses racines son d ordre pair. Or, l inégrale de (X x ) (X x 2 )... (X x p ) P n ω es nulle donc P n = 0 ce qui conredi d P n = n. Donc p n donc p = n e ces racines son simples. 0.4 Inégalié de Bessel Proposiion 0.4.. [inégalié de Bessel] Si E es un espace préhilberien réel, si (e,..., e n ) es une famille orhonormale e x un veceur de E, alors : n e i, x 2 x 2 i= Démonsraion. Le membre de gauche es p F (x) 2 où F = Vec(e,..., e n ). On a p F (x) 2 x 2 car x 2 = p F (x) 2 + x p F (x) 2.
Groupe orhogonal 7 Remarque. (Pas ou à fai au programme) Par majoraion des sommes parielles de la série à ermes posiifs, si (e n ) n N es une famille (infinie) orhonormale de E, e n,x 2 converge e l on a encore e n,x 2 x 2. n=0 Dans oue la suie du chapire, E désigne un espace euclidien de dimension n. + Groupe orhogonal. Endomorphismes orhogonaux Théorème... [e définiion] endomorphisme orhogonal Soi u L(E). Les asserions suivanes son équivalenes : i. (x, y) E 2, u(x), u(y) = x, y ii. x E, u(x) = x iii. pour oue base orhonormale B de E, u(b) es orhonormale iv. il exise une base B de E orhonormale elle que u(b) soi orhonormale. Lorsqu elles son vérifiées, on di que u es une isomérie vecorielle ou un endomorphisme orhogonal. Démonsraion. i. ii. es claire. ii. iii. Par l idenié de polarisaion, x, y E, u(x), u(y) = 2 ( u(x) + u(y) 2 u(x) 2 v(x) 2 ) = 2 ( x + y 2 x 2 y 2 ) = x, y iii. iv. es évidene. iv. i. provien de l écriure du produi scalaire en base orhonormale. Définiion..2. Groupe orhogonal O(E) L ensemble des endomorphismes orhogonaux de E appelé le groupe orhogonal de E e on le noe O(E). Il es sable pour la composiion e le passage à l inverse. Démonsraion. Id O(E). Soien u,v O(E). Alors v GL(E) e, si x E, u (x) = x e u v(x) = x donc u, u v O(E). Définiion..3. Symérie orhogonale Une symérie orhogonale de E es une symérie (vecorielle) s don la base e la direcion son orhogonales enre elles : E = E (s) E (s) Proposiion..4. [caracérisaion des syméries orhogonales] Soi s L(E). Alors s es une symérie orhogonale de E si e seulemen si s O(E) e s 2 = Id E. Définiion..5. Réflexion Une réflexion de E es une symérie orhogonale don l ensemble des poins fixes es un hyperplan de E. Exercice. Soi s une réflexion. On noe F = Ker (s Id E ) e G = F = Ker(s + Id E ). i. Calculer r s e de s. ii. Soi u G de norme. Calculer l image s(x) de ou x E à l aide de la projecion orhogonale q sur G puis à l aide de u. En déduire une expression maricielle de s. iii. Si f O(E) vérifie f 2 = Id E e r f = n 2, monrer que u es une réflexion. PC C2
8 Secion Proposiion..6. [orhogonal d un sousespace sable par une isomérie vecorielle] Soi u un endomorphisme orhogonal de E. Si F es un s.e.v. de E sable par u, alors F es sable par u e les endomorphismes induis par u sur F e F son orhogonaux. Démonsraion. F éan sable e Ker (u F ) = {0 E }, l endomorphisme indui par u sur F es injecif donc bijecif. Si x F e y F, posan z = u (x) F, x, u(y) = u(z), u(y) = z, y = 0 donc u(y) x. Soi u(f ) F. Le rese es clair..2 Marices orhogonales Proposiion.2.. [e définiion] Marices orhogonales Soi A M n (R). Les asserions suivanes son équivalenes : i. il exise une base orhonormale B d un espace euclidien E e u O(E) els que A = Ma(u, B). ii. A A = I n iii. A A = I n iv. A es une marice de changemen de base enre deux bases orhonormales v. la famille des colonnes de A es une base orhonormale de M n, (R) pour le produi scalaire canonique vi. la famille des lignes de A es une base orhonormale de M,n (R) pour le produi scalaire canonique. Lorsqu elles son vérifiées, on di que A es une marice orhogonale. Démonsraion. Les propriéés i. e iv. son équivalenes par les propriéés des endomorphismes orhogonaux. De plus, le coefficien (i, j) de A A es ( A A) i,j = k a k,i a k,j = C i (A), C j (A) M,n (R) donc iii. v. Donc, par ransposiion, ii. vi. ii. iii. es éviden. Si i. es vérifié, pour ous X, Y R n, X A A Y = (A X) (A Y ) = X Y e donc A A = I n. Réciproquemen, si A A = I n alors, pour ous X, Y R n, (A X) (A Y ) = X A A Y = X Y. Donc i. iii. Définiion.2.2. Groupe orhogonal O(n) L ensemble, noé O(n) ou O n (R), des marices orhogonales de M n (R) es sable pour la muliplicaion e le passage à l inverse. On l appelle groupe orhogonal d ordre n. Proposiion.2.3. [déerminan d un endomorphisme orhogonal] Si u O(E), de u {, }. Démonsraion. Si A = Ma(u, B), (de u) 2 = de A de A =. Définiion.2.4. Groupe orhogonal O + (n) L ensemble, noé O + (n), SO(n) ou SO n (R), des marices orhogonales de déerminan de M n (R) es sable par produi e passage à l inverse. Il es appelé groupe spécial orhogonal d ordre n. Ses élémens son appelés les roaions ou les marices de roaion. Proposiion.2.5. [changemen de base orhonormale] Soien B e B deux bases orhonormales d un espace euclidien E e P la marice de changemen de base de B à B. Si u L(E) alors Ma(u, B ) = P Ma(u, B) P. Démonsraion. En effe, P es orhogonale e donc P = P. Définiion.2.6. Orienaion d un espace euclidien On di que deux bases B e B orhonormales d un espace euclidien E définissen la même orienaion lorsque la marice de passage de B à B es une roaion. La relaion «définir la même orienaion» es une relaion d équivalence sur l ensemble des bases orhonormales de E.
Endomorphismes auoadjoins d un espace euclidien 9 Lorsqu on a choisi une base orhonormale, on di qu on a oriené E. Toue base de même orienaion es alors die direce, oue aure es die indirece ou rérograde..3 Groupe O(2) Définiion.3.. Groupe spécial orhogonal, roaion L ensemble SO(2) ou O + (2)={A O(2), dea >0} es un sousgroupe de O(2) appelé groupe spécial orhogonal. On appelle ses élémens les roaions. L ensemble O(2) \ SO(2) es noé O (2). Théorème.3.2. [mesure d une roaion du plan] ( ) cos θ sin θ L applicaion ϕ: (R, +) (SO(2), ) où R θ = es un morphisme surjecif de groupes de sin θ cos θ θ R θ noyau 2 π Z. L unique réel θ modulo 2 π es appelé mesure de la roaion R θ. Démonsraion. Les formules de rigonomérie monren que ϕ es un morphisme de noyau 2 π Z. Surjecivié : soi A = ( ) a b une roaion. Comme a 2 + b 2 =, il exise θ R el que a = cos θ e c = sin θ. De c d même, b = sin α e d = cos α où α R. De plus, = de A = cos (θ + α) soi α θ [2 π]. Proposiion.3.3. [écriure complexe d une roaion du plan] Si u e u son deux veceurs du plan d affixes respecives z e z e si θ R, alors : u = R θ u z = e iθ z On di que z e iθ z es l expression complexe de la roaion d angle θ. Théorème.3.4. [les élémens de O (2) son les réflexions] Soi A M 2 (R). Alors A O (2) si e seulemen s il exise θ [0, 2 π[ el que A = Les élémens de O (2) son les réflexions. ( ) cos θ sin θ. sin θ cos θ Démonsraion. Soi S = ( ) 0 O(2) O(2) 0, alors S O(2) e l applicaion es une involuion qui M M S indui une bijecion enre O + (2) e O (2). Toue marice A de O (2) s écri donc de façon unique sous la forme R θ S, ce qui es la forme cherchée. ( ) cos θ sin θ Toue réflexion es de déerminan. Réciproquemen, si A =, alors A sin θ cos θ 2 = I 2 e r A = 0. En résumé : auomorphismes orhogonaux en dimension 2 Sp u sous espaces propres naure de u de u aucun roaion d angle θ =/ 0 [π] {} E (u) = E Id E (roaion d angle 0 [2 π] { } E (u) = E Id E (roaion d angle π [2 π]) {, } droies E (u) E (u) réflexion par rappor à E (u) 2 Endomorphismes auoadjoins d un espace euclidien 2. Endomorphismes e marices symériques Définiion 2... Endomorphisme auoadjoin Un endomorphisme u de E es di symérique ou auoadjoin lorsque : x, y E, u(x), y = x, u(y). PC C2
0 Secion 2 Proposiion 2..2. [marice d un endomorphisme auoadjoin] Soien B une base orhonormée de E e u L(E), u es symérique ssi Ma (u, B) = Ma (u, B). Démonsraion. Soi M = Mah(u, B). Si u es symérique, X, Y R n, X M Y = (M X) Y = X (M Y ) = X M Y ce qui prouve que M = M en appliquan la relaion à chaque couple (X, Y ) = (e i, e j ) où (e i ) es la base canonique de R n. Réciproquemen, si M = M, X, Y R n, (M X) Y = X M Y = X M Y = X (M Y ). Noaion 2..3. On noera S(E) l ensemble des endomorphismes symériques de E. C es un s.e.v. de L(E) de dimension. n (n + ) 2 Proposiion 2..4. [orhogonal d un sousespace sable par un endomorphisme symérique] Soi u un endomorphisme auoadjoin de E. i. Si F es un s.e.v. de E sable par u, alors F es sable par u e les endomorphismes induis par u sur F e F son auoadjoins ii. Si λ e µ son des valeurs propres disinces de u, alors leurs sousespaces propres son orhogonaux. Démonsraion. i. Si x F e y F, u(y) F donc u(x), y = x, u(y) = 0 donc u(x) y. Donc u(x) F. De plus, pour ous x, y F, u(x), y = x, u(y) e de même pour x, y F. ii. Si x E λ (u) e y E µ (u) alors λ x, y = u(x), y = x, u(y) = µ x, y avec λ =/ µ donc x, y = 0. 2.2 Théorème specral Lemme 2.2.. Toue marice réelle symérique possède au moins une valeur propre (réelle) e oues ses valeurs propres son réelles. Il en va donc de même des endomorphismes auoadjoins. Démonsraion. Soi A S(n) alors χ A es scindé dans C e il exise λ C e X M n, (C) \ {0} els que A X = λ X. Alors X A X = X (A X) = X (λ X) = λ ( X X). Or A es réelle symérique donc A = Ā e Ā = A = A. Donc X A X = X Ā X = (A X ) X = (λ X ) X = λ ( X X). Or X =/ 0 donc X X =/ 0 e λ = λ. Donc λ R. En pariculier, χ A es scindé sur R. Théorème 2.2.2. [héorème specral] Tou endomorphisme auoadjoin d un espace euclidien E es diagonalisable dans une base orhonormale de E. En d aures ermes, si A S n (R), alors A es orhogonalemen semblable à une marice diagonale, c es à dire qu il exise P O(n) e D diagonale elles que A = P D P = P D P. Démonsraion. Les deux asserions son équivalenes. Soi donc u un endomorphisme auoadjoin. Les sousespaces propres de u son deux à deux orhogonaux, il suffi donc de monrer que u es diagonalisable. Par récurrence fore sur n : C es vrai si n =. Soi donc n 2 el que la propriéé soi vraie pour ou k n. Soi E de dimension n e u S(E). D après le lemme, u possède au moins une valeur propre réelle λ. Si E λ (u) = E alors u = λ Id E e le résula es immédia. Sinon, c es un sousespace sable F de dimension k n e u indui sur F e F des endomorphismes symériques sur lesquels on applique l hypohèse de récurrence. Il rese à réunir les bases de F e de F pour obenir le résula voulu.
Exercices sur les espaces euclidiens Exercice. On considère l ensemble E des foncions coninues de ]0, ] dans R de carré inégrable sur ]0, ].. Monrer que E, muni des lois usuelles sur les applicaions, es un espace vecoriel. 2. Pour ou (f, g) E 2 on pose f, g = scalaire sur E. 3. Soi (m, n) N 2. Aon m ln n () E? Calculer l inégrale I m,n = 4. Monrer que f(x, y, z) = 0 0 f g. Jusifier la convergence e monrer que.,. défini un produi 0 m ln n () d. (ln() x y z 2 ) 2 d réalise un minimum en un unique (x, y, z) que l on déerminera, ainsi que la valeur du minimum (calcularice auorisée). Indicaion : 3. On pourra rouver une relaion enre I m,n e I m,n. Exercice 2. Dans E = R[X], on pose P, Q = 0 P ()Q() d pour ous P, Q E. Soi A un polynôme non consan e f A l applicaion qui associe à P E le rese de la division euclidienne de P par A.. Monrer que l applicaion (P, Q) P, Q es un produi scalaire. 2. Monrer que f A es un endomorphisme puis monrer que f A es un projeceur. 3. Déerminer noyau e image de f A. 4. On suppose qu il exise α [0, ] el que A(α) = 0. Soi alors B el que A = (X α) B. Monrer que B e (X α) A ne son pas orhogonaux. Monrer que f A n es pas un projeceur orhogonal. 5. On suppose mainenan que α [0, ], A(α) =/ 0. Monrer que f A n es pas un projeceur orhogonal. ( /2 Exercice 3. On veu monrer que Φ: P P (0) P () + P 2) défini une norme sur R[X]. 0. Soi P R[X]. Monrer que P 2 (P () P (0)) 2. 0 2. Éudier le signe de a 2 + b 2 a b où a e b son deux réels. 3. Prouver le résula annoncé. Indicaion : On pourra monrer qu elle es la norme euclidienne associée à un cerain produi scalaire. Uiliser l idenié de polarisaion pour le rerouver. Exercice 4.. Monrer que, pour ou produi scalaire défini sur R n [X], il exise une base orhonormale (P i ) i 0,n elle que, pour ou i 0, n, deg P i = i. E2 23 janvier 209
2. Soi E = R 2 [X] e l applicaion définie sur E 2 par : P, Q = P ()Q() + P (0)Q(0) + P ( )Q( ). Vérifier qu il s agi d un produi scalaire e rouver (P 0, P, P 2 ) une base de E orhonormale asssociée elle que deg P i = i. Exercice 5. Soi u un endomorphisme orhogonal d un espace euclidien E.. Monrer que Ker (Id E u) = Im (Id E u). 2. Soi x E. On noe, pour ou n N, x n = n + n u k (x) a. Monrer qu il exise y Ker (Id E u) e z E els que x = y + (z u(z)) b. Exprimer x n en foncion de y e z. k=0 c. En déduire que, pour ou x E, la suie de erme général orhogonal de x sur Ker (Id E u). n + n k=0 u k (x) converge vers le projeé Exercice 6. Soi E = R n [X] muni du produi scalaire : où P = 0 k n a kx k e Q = 0 k n b kx k. P, Q = 0 k n a k b k On noe ϕ L(E) la forme linéaire définie par P E, ϕ(p ) = P () e F = Ker ϕ.. Monrer que la famille (P k ) k n où P k = X k es une base de F. 2. On veu explicier la projecion orhogonale p() du polynôme consan sur F sans essayer d orhonormaliser la base (P k ) de F car les calculs ne son pas simples. a. Ecrire p() sous la forme n i= λ i P i e monrer que les λ i vérifien l équaion : A λ = 2... avec A = λ n... 2 (On pourra écrire que p() es orhogonal à chacun des P i.) b. Déerminer l inverse de la marice A puis donner l expression de p(). 3. Rerouver le résula de 2. beaucoup plus rapidemen. Indicaion : Aenion à ne pas uiliser la formule donnan la projecion en base orhonormale avec une base non orhonormale. Pour rouver A, on pourra, à parir de l équaion v = A e, ener d exprimer e,..., e n en foncion de v n e n v,..., v n. 2
Exercice 7.. Monrer que l applicaion T : (A, B) r ( B A), de M n (R) 2 dans R, es un produi scalaire sur M n (R). On noera. la norme euclidienne associée. 2. Soi l une forme linéaire non nulle sur M n (R) ( c es à dire une applicaion linéaire de M n (R) dans R). a. Donner la dimension de Ker l e celle de (Ker l). b. Monrer qu il exise U (Ker l) el que U =. Calculer alors T (M, U) pour M Ker l puis pour M (Ker l). c. Monrer qu il exise une unique marice L M n (R) elle que, pour ou M M n (R), l(m) = T (M, L). Indicaion : Une applicaion linéaire es parfaiemen définie par ses valeurs sur deux sousespaces supplémenaires. Exercice 8. Soi e = (e i ) i 4 la base canonique de R 4 muni de son produi scalaire canonique. Posons F = {(x, y, z, ) R 4 / x + y + z + = 0 e x y + z = 0}. Donnez la marice dans la base e de la projecion orhogonale sur F. Disance d un veceur à F? Indicaion : c es du cours. Exercice 9. Soien E un espace euclidien e f une applicaion de E dans E vérifian la propriéé suivane :. Monrer que f conserve la norme. 2. En déduire que f conserve le produi scalaire. 3. Monrer alors que f es linéaire. Conclusion? f(0) = 0 e (x, y) E 2 f(x) f(y) = x y Indicaion : on pourra uiliser une base orhonormée pour prouver la linéarié de f. Exercice 0. Monrer qu une symérie es une symérie orhogonale si e seulemen si elle es un endomorphisme symérique de deux manières différenes :. en uilisan la définiion de S(E) 2. en uilisan le héorème specral. Exercice. Naure e élémens caracérisiques de l endomorphisme canoniquemen associé à la marice suivane : M = 7 2 6 3 6 3 2 3 2 6 Exercice 2. Déerminer oues les bases orhogonales de R 2 pour le produi scalaire canonique e donner leur orienaion. E2
Exercice 3. Soi E = R n [X], muni du produi scalaire défini par P, Q = P () Q() d. 0 On fixe un polynôme R E e, si P E, on défini une applicaion u(p ) de R dans R par x R, u(p )(x) = R(x + ) P () d. 0. Monrer que, pour ou P, u(p ) es polynomiale e que deg(u(p )) n. 2. Monrer que u es un endomorphisme de E. On suppose mainenan que R(X) = X n. 3. Monrer que u es un isomorphisme de E. 4. Monrer que l endomorphisme u es symérique. 5. Monrer que r u= 2n n +. 6. On suppose que n =. Trouver les valeurs propres e veceurs propres de u. Indicaion :. Le vérifier pour P = X i. Pourquoi esce suffisan? 3. Monrer que si P Ker u, alors P (X + a) n pour ou réel a e que la famille des (X + a) engendre E. Exercice 4. CCP Trouver oues les marices A M n (R) elles que A = A e A 2 = 0. Indicaion : A es diagonalisable... Exercice 5. On considère la marice M = 4 3 6 3 6. 6 6 2. Quelle es la naure de l endomorphisme u canoniquemen associé à la marice M? 2. Déerminer ses sousespaces propres e en pariculier F = E (M). 3. Monrer que u réalise un endomorphisme de F que l on déerminera. Indicaion : l endomorphisme indui par u sur F es aussi orhogonal. Exercice 6. (*) Soi f une roaion de l espace R 3.. Déerminer la dimension du sousespace D des veceurs invarians par f. 2. Si D =/ R 3, monrer que f indui sur D une roaion. 3. Si u, v son deux veceurs du plan, le produi vecoriel u v es un veceur direcemen orhogonal au couple (u, v ) don la norme es u v sin(u, v ). Monrer qu il exise un veceur n R 3 e un réel θ R els que u R 3, f(u ) = cos θ u + ( cos θ) (u n ) n + sin θ (n u ) 4