CORRECTION BAC BLANC TS 00 (Ensegnement oblgatore) Exercce : Queston : a Faux Contre-exemple : z = Alors z 0 et donc z b Vra Cette égalté exprme que le pont M d affxe z est à égale dstance des ponts O (0) et A () ; ce qu sgnfe que M est sur la médatrce du segment OA d équaton x =, et donc que Re( z ) = Autre méthode : Sot M d affxe z x y avec x et y réels Alors l égalté z z z z, ce qu est auss équvalent à : x y x y x 0 x est équvalente à Re z Queston : a Faux En écrvant a et b sous forme exponentelle, on obtent : a e et b e D où le produt : ab e b Faux Le pont A d affxe a n est pas l mage du pont B d affxe b par une rotaton de centre O car les complexes a et b n ont pas le même module Queston : a Vra Z e e b Vra Pour tout 0;, Z e e Z c Vra Pour tout 0; d Vra Z e e e e e cos, L ensemble des ponts M d affxe Z e et donc Z est le cercle de centre A d affxe et de rayon est un réel En effet, M d affxe Z appartent au cercle de centre A d affxe et de rayon équvaut à AM, c est-à-dre à : 0, tel que : Z e ou tel que : Z e Z, ce qu sgnfe qu l exste un réel dans Queston : a Vra zm zn N symétrque de M par rapport à A sgnfe que za, c est-à-dre que zn za zm z m m m D où : N
b Vra Les affxes de NK et de JM sont égales à : m Exercce : Parte A : Resttuton organsée des connassances : Queston de cours : une démonstraton est donnée dans le lvre p 8 Parte B : On transforme l'équaton de S : x + y + z x + y z + = 0, en utlsant les formes canonques On obtent : x + y + z x + y z + = (x y + ) z Donc l'équaton de S est auss (x + (y + ) + (z = Ce qu ndque que S est une sphère de centre ( ; Les coordonnées de I vérfent l'équaton de S pusque : ( + + ( = Cela sgnfe que I est sur S Par contre, les coordonnées de A ne vérfent pas l'équaton de S pusque (5 ) + ( + ) + ( = 5 On en dédut que A n'appartent pas à S On a I( - ; ; -) Ce vecteur étant normal à P, une équaton de P est du type : x y + z + d = 0 Comme I est sur P, les coordonnées de I dovent vérfer cette équaton, autrement dt + d = 0 sot d = Une équaton de P est : x y + z Un rayon de S est perpendculare au plan P en un pont I de S : P est donc le plan tangent à S en I a Pusque Q est parallèle à P, une équaton de Q est du type x y + z + d = 0 Comme B Q, on obtent + + d = 0 sot d = Une équaton de Q est donc x y + z b La dstance de au plan Q est, d'après la Parte A, égale à : + + + + = = < La dstance de à S étant strctement nféreur au rayon de S, le plan Q est sécant à S c On sat que l'ntersecton du plan Q et de la sphère S est un cercle de centre J projecton orthogonale de sur Q On cherche donc JN où N est un pont quelconque du cercle d ntersecton Le trangle JN est alors rectangle en J Or N étant un pont quelconque de ce cercle, alors N = rayon de la sphère = De plus J = dstance de au plan Q = Le trangle NJ est rectangle en J Le théorème de Pythagore permet donc d'écrre que : N = J + JN Par conséquent JN = = 5 Le cercle secton de la sphère S par le plan Q a donc pour rayon 5 a Un vecteur normal de R est n ' ( ; ; ) 5 = 5 P et R ont donc des vecteurs normaux I ( ; n' qu ne sont pas colnéares car les coordonnées ne sont pas proportonnelles P et R ne sont donc pas parallèles : ls sont donc sécants suvant une drote (d ) b Un pont stué sur (d) a des coordonnées (x ; y ; z) vérfant les équatons de P et R, autrement dt vérfant le x y + z x = z système, ce qu donne en exprmant x et y en foncton de z : x + y + z = 5 y = En posant z = t, t paramètre réel, on obtent un système d'équatons paramétrques de (d) sous la forme : x = t y = t z = t Remarque: cette drote est stuée dans le plan d'équaton y =, plan parallèle au plan de base (x O z)
6 a Un vecteur drecteur de (d) est par exemple u ( Un vecteur normal de Q est n ( ; On remarque que u n = les vecteurs u et n sont donc orthogonaux : on en dédut que le drote (d) et le plan Q sont parallèles et ne sont donc pas sécants b M étant un pont quelconque de (d), ses coordonnées sont de la forme ( t ; ; t ) et la dstance de M à Q t t est donc = = Pour tout M de (d), la dstance de M à Q est ndépendante de M et vaut Exercce : A H P B M N O a S a 0, la tangente TM à C en M est confondue avec Oy Dans ce cas, l are de BNP est nulle Par la sute, on consdèrera a 0 Equatons des tangentes et ordonnées des ponts B et N : En utlsant la formule permettant de détermner l équaton d une tangente à une courbe, on obtent : Une équaton de la tangente que l on a : N 0; a D où en consdérant que T à M C au pont M d abscsse a 0 est : a, on obtent une équaton de la tangente y x, ce qu mplque que l on a : 0; B T à a y x, ce qu mplque a C au pont A d abscsse qu est
Coordonnées du pont P, ntersecton des tangentes : a x x La résoluton du système a nous donne comme unque soluton a; y x a Donc on obtent P a; Are du trangle BNP H étant le projeté orthogonal de P sur BN ou sur Oy, l are est donnée par la formule : a HP x P = a BN y y B N = BN HP S, HP étant la hauteur relatve à la basebn dans BNP a car comme a, on a : a 0 On en dédut que : a a a a S Etude des varatons de la foncton f défne sur [0 ;] par f ( x) f n est pas dérvable en 0 et est dérvable sur ]0 ;] Pour tout réel 0; x, on a : f '( x) x x 8 Pour tout réel x 0;, on a : 8 x 0 Donc le sgne de '( ) f '( x) 0 x x et 0; crossante sur D où le tableau des varatons de f suvant : x x x f x est celu de x f '( x) 0 x x car la foncton carré est strctement x 0 f '( x ) + 0 - f ( x ) 0 6 0 Concluson : L are du trangle BNP est maxmale pour a et cette are est égale à (en untés d are) 6
Exercce : a f(x) = x e x ; donc pour tout x de [0 ; + [, on a f ' (x) = x e x x x ( x) e x = x e + x x x e = x e x (+ x ) = x ( x e x qu est ben l'expresson donnée dans l'énoncé Le sens de varaton de f sur [0 ; + [ est donné par le sgne de sa dérvée Or pour tout x de [0 ; + x 0, e x 0 Par conséquent f ' (x) est du sgne de x à dre négatve sur [0 ; ] et postve sur [ ; + [ On peut donc conclure que f est strctement décrossante sur [0 ; ] ( pusque sa dérvée ne s'annule qu'en des valeurs solées 0 et sur cet ntervalle) et strctement décrossante sur [ ; + [ b Pour tout x réel donc pour tout x postf, on a : e x = e e x et par conséquent f (x) = x e e x = e x e x Comme lm x + x = +, en posant X = x, on a lm Mas on sat ( résultats de cours ) que x e X lm X + X x + x e x = = + donc lm lm X + X + X X e X e X = 0 Par conséquent lm = 0 d'où lm x + e e x = 0 et enfn lm f (x) = x x + e x x + On peut dresser un tableau de varatons résumant les résultats des questons précédentes et tenant compte de f(0) = et f() = 0 x 0 + Sgne de f '(x) 0 Varatons de f 0 a Sur l'ntervalle [0 ; ], la foncton f est contnue comme somme, produt et composée de fonctons contnues ( fonctons polynômes et exponentelle): elle est donc elle-même contnue De plus d'après l'étude précédente, elle est strctement décrossante On peut donc lu applquer le théorème des valeurs ntermédares à savor : Quel que sot le nombre réel k dans f( [0 ; ]), l'équaton f(x) = k a une unque soluton dans [0 ; ] Or c f ([0 ; ]) = [0 ; ] et pour n, appartent à [0 ; ] donc à f ([0 ; ]) n Autrement dt l'équaton f(x) = n a une unque soluton qu'on appellera u n dans [0 ; ] et même dans ]0 ; [ pusque n 0 ( donc f ( u n ) 0 sot u n ), et n (qu donnera u n 0) En rasonnant de la même façon sur [ ; + [ ntervalle sur lequel f est contnue et strctement crossante : pusque f ([ ; + [ ) = [0 ; [ alors, comme n [ 0 ; [, l'équaton f (x) = a également une unque soluton n appelée v n appartenant à [ ; + [ et même à ] ; + [ En résumé sur [ 0 ; + [, pour n, l'équaton f(x) = a deux solutons dstnctes ( pusque dans des ntervalles n dsjonts), l'une u n appartenant à ] 0 ; [ ( donc à [0 ; ]) et l'autre v n appartenant à ] ; + [ (donc à [ ; + [ )
b C-dessous la représentaton graphque demandée : c Pour détermner le sens de varaton de la sute (u n ), nous allons comparer, pour tout n, u n et u n + Par défnton de la sute (u n ), on a u n et u n + dans l'ntervalle [0 ; ], avec f (u n ) = n et f (u n + ) = n + c Pour détermner le sens de varaton de la sute (u n ), nous allons comparer, pour tout n, u n et u n + Par défnton de la sute (u n ), on a u n et u n + dans l'ntervalle [0 ; ], avec f (u n ) = n et f (u n + ) = n + c Pour détermner le sens de varaton de la sute (u n ), nous allons comparer, pour tout n, u n et u n + Par défnton de la sute (u n ), on a u n et u n + dans l'ntervalle [0 ; ], avec f (u n ) = n et f (u n + ) = n + Or n > n + donc f (u n) > f (u n + ) Mas sur [0 ; ], f est strctement décrossante donc nombres et leurs mages sont classés en ordre contrare Pour tout n, l'négalté f (u n ) > f (u n + ) mplque donc u n < u n + ce qu sgnfe que la sute (u n ), n, est une sute crossante En rasonnant de la même façon pusque v n et v n + sont dans [ ; + [, ntervalle où f est strctement crossante et pusque f (v n ) = n et f(v n + ) = n +, l'négalté f (v n) > f (v n + ) va donner v n > v n +, ce qu ndque que la sute (v n ), n, est une sute décrossante C'est ben ce que lassat conjecturer la représentaton graphque précédente d La sute (u n ) est une sute crossante, et comme pour tout n, u n [ 0 ; ], on a u n ce qu prouve que la sute (u n ) est majorée Or on sat que toute sute crossante et majorée est une sute convergente La sute (u n ) est donc ben convergente Sot sa lmte Pusque pour tout n, u n [0 ; ], on a donc [0 ; ] De plus, on a f( u n ) = n Or lm n + n = 0 Et lm u n = donc lm f (u n) = f ( ) car f est contnue sur [0 ; ] donc en qu est dans [0 ; ] n + n + On a donc f ( ) = 0 et donc est soluton sur [0 ; ] de l'équaton f(x) = 0 Or l'étude de f fate à la queston montre que, dans cet ntervalle, cette équaton a une unque soluton qu est Donc = et par conséquent, la sute (u n ) converge vers