CHAPITRE 1 CINÉTIQUE. 1.1 Masse et inertie. 1.1.1 Notions d inertie

TABLE DE MATIÈRE 1 Cinétique 1 1.1 Masse et inertie................................ 1 1.1.1 Notions d inertie........................... 1 1.1.2 Masse.................................. 2 1.1.3 Centre d inertie............................ 2 1.2 Moments d inertie.............................. 5 1.2.1 Moment d inertie par rapport à un point............. 5 1.2.2 Moment d inertie par rapport à une droite............ 6 1.2.3 Rayon de giration........................... 6 1.2.4 Moments d inertie dans un repère cartésien........... 6 1.2.5 Relations entre les moments d inertie............... 8 1.2.6 Théorème de Huygens........................ 8 1.2.7 Produits d inertie........................... 10 1.3 Opérateur d inertie.............................. 10 1.3.1 Opérateur d inertie en un point.................. 10 1.3.2 Propriétés et directions principales de la matrice d inertie... 15 1.4 Exercices.................................... 20 1.4.1 Corrigés................................ 23 1.5 Torseur cinétique............................... 24 1.5.1 Définition............................... 24 1.5.2 Cas du solide indéformable..................... 25 1.6 Torseur dynamique.............................. 26 1.6.1 Définition............................... 26 1.6.2 Changement de point de réduction................ 26 1.6.3 Relation entre la résultante cinétique et la résultante dynamique 27 1.6.4 Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique 27 i

ii TABLE DE MATIÈRE 1.6.5 Cas du solide indéformable..................... 28 1.7 Énergie cinétique............................... 29 1.7.1 Définition............................... 29 1.7.2 Cas du solide indéformable..................... 29 1.8 Caractéristiques cinétiques d un ensemble de solide.......... 31 1.8.1 Torseur cinétique d un ensemble de solides........... 31 1.8.2 Torseur dynamique d un ensemble de solides.......... 32 1.8.3 Énergie cinétique d un ensemble de solides........... 32 1.9 Exercices.................................... 33 1.9.1 Corrigés................................ 37

CHAPITRE 1 CINÉTIQUE En première année nous avons débuté l étude de la mécanique du solide par la cinématique du solide puis par la statique des solides. La cinématique est l étude et la caractérisation des mouvements d un solide, la statique correspond à l étude de l équilibre statique sans mouvement d un solide soumis à des actions mécaniques extérieures. Ces deux études se sont appuyées sur la modélisation du mécanisme liaisons. Nous allons compléter ce cours par la dynamique du solide, c est à dire l étude du mouvement des solides avec leur masse et inertie soumis a des actions mécaniques extérieures, en commençant par définir les notions de masse et d inertie et la cinétique. 1.1 Masse et inertie 1.1.1 Notions d inertie Nous savons, par expérience, qu il est plus «difficile»d accélérer un camion qu une moto comme il est plus «difficile»de le freiner. L inertie caractérise la résistance qu oppose un corps par sa nature propre à une variation de mouvement. Pour un mouvement de translation, la masse suffit pour définir cette quantité, par contre pour un mouvement de rotation, il est nécessaire de préciser la répartition de cette masse. La cinétique est l étude des caractéristiques d inertie d un solide. 1

2 1 Cinétique 1.1.2 Masse La masse caractérise la quantité de matière, c est une grandeur complétement additive. oit, Σ 1,Σ 2 deux systèmes matériels disjoints alors : avec Σ 1 Σ 2 φ. La masse m Σ de l ensemble Σ est définie par : m Σ 1 Σ 2 = m Σ 1 + m Σ 2 1.1 m Σ = dm = Σ ρp dv 1.2 Σ avec ρp masse volumique au point P et dv un élément de volume. Remarque : i le système matériel est assimilable à un volume, on parle de masse volumique ρp au point P : dm = ρpdv ; i le système matériel est assimilable à une surface on parle de masse surfacique σp au point P : dm = σpds ; i le système matériel est assimilable à une ligne, on parle de masse linéique λp au point P : dm = λpdl. a Conservation de la masse On admet en mécanique classique que la masse est une grandeur indépendante du temps, ainsi pour deux instants t 1 et t 2 quelconque : On en déduit une relation importante : d f P, t dm = dt P Σ m Σ, t 1 = m Σ, t 2. 1.3 R P Σ [ d dt ] f P, t dm. 1.4 R qui permet d inverser la dérivation par rapport au temps et l intégration par rapport à la masse. 1.1.3 Centre d inertie a Définition On appelle centre d inertie du système matériel Σ, le point G défini par : GP dm = 0. 1.5 P Σ

1.1 Masse et inertie 3 En faisant intervenir le point O, la relation devient GO + OP dm = 0 Σ GO dm + OP dm = 0 avec m Σ OG = Σ OP dm et finalement Σ OG = 1 Σ m Σ P Σ OP dm 1.6 Dans un repère cartésien, on note x G, y G, z G les coordonnées de OG et x, y, z les coordonnées de OP, on peut donc écrire : x G = 1 x dm, y G = 1 y dm, z G = 1 z dm. 1.7 m Σ Σ m Σ Σ m Σ Σ Remarques : i le système matériel est un solide indéformable, le centre d inertie est un point fixe du solide ; i le système matériel possède un élément de symétrie matérielle, plan ou axe de symétrie, aussi bien du point de vue géométrique que du point de vue de la répartition des masses, le centre d inertie appartient à cet élément de symétrie ; Le centre d inertie est confondu avec centre de gravité dans le cas d un champ de pesanteur uniforme. b Centre d inertie d un ensemble de corps Un ensemble matériel Σ est composé de n sous-ensembles matériels Σ i. À chaque sous-ensemble Σ i est associé sa masse m i et son centre d inertie G i, alors OG Σ = 1 m Σ n i=1 m i OG i. 1.8 Le centre d inertie d un ensemble de corps est le barycentre des centres d inertie. i les corps sont des solides indéformables immobiles les uns par rapport aux autres, le centre d inertie de l ensemble est fixe dans un repère lié à cet ensemble. G i Σ i G G 1 Σ 1 G n Σ n G 2 Σ Σ 2 FIGURE 1.1 Centre d inertie d un ensemble de corps

4 1 Cinétique c Théorèmes de Guldin Énoncé Centre d inertie d une courbe plane oient C une courbe du plan Π et une droite du plan ne coupant pas C. L aire de la surface engendrée par la rotation de la courbe C autour de la droite est égal au produit de la longueur de la courbe L par le périmètre décrit par son centre d inertie 2π r G. On associe à la courbe C une masse linéïque λ constante, dm = λ dl d où la masse totale de la courbe m c = λ L. La position du centre d inertie de la courbe est calculée par la relation générale : m c OG = OP dm ici cette relation devient : λ L OG = OP λ dl. Après simplification puis en ne prenant que la projection suivant r : L OG = OP dl L r G = r dl C C C C = 2π r G L 1.9 Π C dl P r r G r G O FIGURE 1.2 Théorème de Guldin -1 Calculons maintenant la surface engendrée par la rotation de la courbe En substituant cherché. = r dθ dl = 2π 0 dθ r dl = 2π C r dl C r dl = L r G dans cette égalité on retrouve bien le résultat C Énoncé Centre d inertie d une surface plane homogène oient une surface du plan Π et une droite du plan ne coupant pas. Le volume engendré par la rotation de la surface plane tournant autour de l axe est égal au produit de l aire de la surface par la longueur du périmètre décrit par son centre d inertie. V = 2π r G 1.10

1.2 Moments d inertie 5 On démontre cette égalité comme la précédente. On associe à une masse surfacique dm = σ ds constante et m = σ. Par définition : m OG = OP dm OG = OP ds soit en projection suivant r r G = r ds Le volume engendré par la rotation de la surface s écrit : V = d où la relation cherchée : v r dθ ds = 2π 0 dθ V = 2π r G. Π C r ds r G G r O FIGURE 1.3 Théorème de Guldin 2 r ds = 2π r ds Remarque : l utilisation des théorèmes de Guldin permet de simplifier le calcul de position du centre d inertie dans la mesure où l on connaît les caractéristiques du volume et de la surface balayée. 1.2 Moments d inertie La masse ne suffit pour caractériser l inertie que dans le cas d un mouvement de translation. Pour un mouvement de rotation ou un mouvement plus complexe, il faut prendre en compte la répartition de cette masse sur le solide. Les moments et produits d inertie caractérisent cette répartition. 1.2.1 Moment d inertie par rapport à un point On appelle moment d inertie du solide par rapport à un point A la quantité z y A δ P FIGURE 1.4 Moment d inertie par rapport à une droite H x

6 1 Cinétique positive : I A = AP 2 dm [ kgm 2 ] 1.11 1.2.2 Moment d inertie par rapport à une droite On appelle moment d inertie du solide par rapport à une droite la quantité positive δ 2 [ I = AP dm kgm 2 ] 1.12 En faisant intervenir le point H, projection de P sur la droite on déduit : I = HP 2 dm = d 2 P dm 1.13 avec d P distance du point P à la droite. Le moment d inertie par rapport à une droite est le même en tout point de la droite. 1.2.3 Rayon de giration Le moment d inertie étant homogène au produit d une masse par une distance au carré, il est toujours possible d écrire le moment d inertie autour d un axe d un solide quelconque sous la forme : I = M R 2 g avec M la masse du solide et R g le rayon de giration. Le rayon de giration précise la répartition des masses autour de l axe considéré ainsi les trois solides de la figure 1.5 ont le même moment d inertie par rapport à l axe de rotation alors que les masses sont dans un rapport dans un rapport de 1 à 7. 1.2.4 Moments d inertie dans un repère cartésien oit un repère R O, x, y, z, un point P de coordonnées x, y, z dans R. Moment d inertie du solide par rapport au point O I O = OP 2 dm soit = x 2 + y 2 + z 2 dm 1.14

1.2 Moments d inertie 7 H 1 = 2 R 1, R 2 = 2 R 1, H 2 = 1 8 R 1, R ext = 2 R 1, R int 1.68 R 1, m 1 m 2 0,25 m 1 H 3 = 1 4 R 1, m 3 0,15 m 1 FIGURE 1.5 Rayon de giration dans le repère O, x, y, z. Moment d inertie du solide par rapport à l axe O, x I O, x = I O, x = x 2 OP dm = x x x + y y + z 2 z dm y 2 + z 2 dm 1.15 Finalement on peut écrire : I O, x = y 2 + z 2 dm, moment d inertie du solide par rapport à O, x ; I O, y = I O, z = z 2 + x 2 dm, moment d inertie du solide par rapport à O, y ; x 2 + y 2 dm, moment d inertie du solide par rapport à O, z. Par extension on définit aussi : I O x y = I O y z = I O z x = z 2 dm, moment d inertie du solide par rapport au plan O, x, y ; x 2 dm, moment d inertie du solide par rapport au plan O, y, z ; y 2 dm, moment d inertie du solide par rapport au plan O, z, z.

8 1 Cinétique 1.2.5 Relations entre les moments d inertie I O = I O x y + I O y z + I O z x = 1 I O, x + I 2 O, y + I O, z I O, x = I O x y + I O z x I O, y = I O x y + I O y z I O, z = I O z x + I O y z 1.2.6 Théorème de Huygens oit un solide de centre d inertie G et de masse m figure 1.6. 1, une droite passant par A de vecteur unitaire δ ; 2, une droite parallèle passant par G ; d, la distance entre les deux droites. On note : I A, = δ I G, δ = δ 2 AP dm, le moment d inertie par rapport à 1 δ 2 GP dm, le moment d inertie par rapport à 2 H la projection du point P du solide sur 1 K la projection sur 2. y P 2 1 G A K δ d H x z FIGURE 1.6 Théorème de Huygens δ Nous savons que I A, 2 = AP dm = HP 2 dm δ En faisant intervenir le point K : I A, = HK + 2 KP dm soit δ I A, δ = HK 2 dm + 2 HK KP dm + KP 2 dm

1.2 Moments d inertie 9 Le premier terme s écrit : HK 2 dm = m d 2 On reconnaît le troisième : KP 2 dm = I G, δ Il ne reste plus qu à déterminer le dernier : 2 HK KP dm = 2 HK KP dm en faisant intervenir le centre d inertie G 2 HK KP dm = 2 HK KG + GP dm = 2 HK KG dm + 2 HK GP dm par construction : HK KG 2 HK KG dm = 0 par définition du centre d inertie : GP dm = 0 Finalement, on déduit la relation : I A, = I δ G, + m d 2. δ Énoncé Théorème de Huygens Le moment d inertie d un solide par rapport à un axe A, δ est égal au moment d inertie par rapport à l axe G, δ, parallèle et passant par le centre d inertie du solide, augmenté du produit de la masse du solide par le carré de la distance séparant les deux axes. I A, = I δ G, + m d 2 1.16 δ Énoncé Corollaire De tous les axes parallèles à une direction donnée, celui par rapport auquel le moment d inertie est minimum est l axe passant par G. a Relation entre les moments d inertie par rapport à deux droites parallèles On se propose de déterminer une relation entre les moments d inertie par rapport à deux droites parallèles quelconques I A, et I δ B, d un solide figure δ 1.7. I A, = I δ G, + m d 2 δ A I B, = I δ G, + m d 2 δ B D où la relation entre les moments d inertie I A, I δ B, = m d 2 δ A m d 2 B 1.17 avec d A et d B respectivement distance entre les droites A, B et G.

10 1 Cinétique y P L B G B z A G A d B K δ d A H x FIGURE 1.7 Relation entre les moments d inertie 1.2.7 Produits d inertie Les produits d inertie caractérisent l absence de symétrie dans la répartition des masses. La détermination des produits d inertie sera déduite du calcul de l opérateur d inertie dans le chapitre suivant. 1.3 Opérateur d inertie 1.3.1 Opérateur d inertie en un point L opérateur d inertie synthétise l ensemble des caractéristiques d inertie du solide. Cet opérateur est une fonction linéaire et peut être représenté par une matrice. a Définition On appelle opérateur d inertie I O au point O d un solide l opérateur qui à tout vecteur u de l espace associe le vecteur I O u = OP u OP dm. 1.18 b Matrice d inertie soit O, x, y, z, un repère, et x, y, z une base ; P, un point du solide, avec OP = x x + y y + z z ; u = α x + β y + γ z, un vecteur.

1.3 Opérateur d inertie 11 Déterminons OP u OP OP u OP = x x + y y + z z α x + β y + γ z x x + y y + z z = + α y 2 + z 2 β x y γ x z x γ y z + α x y + β z 2 + x 2 y + α x z β y z + γ x 2 + y 2 z En intégrant sur le solide : OP u OP dm = + α y 2 + z 2 dm β x y dm γ x z dm x + α x y dm + β z 2 + x 2 dm γ y z dm y + α x z dm β y z dm + γ x 2 + y 2 dm z u On peut mettre ce résultat sous la forme du produit d une matrice et du vecteur + I O u = y 2 + z 2 dm x y dm x z dm α x y dm + z 2 + x 2 dm y z dm β x z dm y z dm + x 2 + y 2 dm γ 1.19 Cette matrice est caractéristique de la répartition de la matière d un solide autour d un point ici O et dans une base donnée x, y, z. On peut pour chaque solide définir une matrice d inertie. Par convention, on pose A F E I O, x P x y P xz I O = F B D E D C O x, y, z On reconnaît sur la diagonale de la matrice ou I O = P x y I O, y P yz P xz P yz I O, z O x, y, z

12 1 Cinétique A = I O, x = B = I O, y = y 2 + z 2 dm, le moment d inertie du solide autour de l axe O, x ; z 2 + x 2 dm, le moment d inertie du solide autour de l axe O, y ; C = I O, z = x 2 + y 2 dm, le moment d inertie du solide autour de l axe O, z. Par convention on pose F = P x y = x y dm, le produit d inertie par rapport plan O, x, y ; E = P xz = D = P yz = x z dm, le produit d inertie par rapport plan O, x, z ; y z dm, le produit d inertie par rapport plan O, y, z. Remarques : Une matrice d inertie dépend de la base et du point de calcul, il est donc important de préciser ces données ; La matrice d inertie est une matrice symétrique ; On nomme aussi cette matrice tenseur d inertie. c Détermination du moment d inertie par rapport à un axe quelconque Par définition le moment d inertie autour de l axe = O, δ s écrit I = δ OP 2 dm. Décomposons le calcul du moment d inertie δ 2 I = OP dm = δ OP δ OP dm. Le terme sous l intégrale peut être considéré comme le produit mixte des vecteurs u, v et w u v w = u, v, w avec u = δ, v = OP et w δ = OP. En permutant les termes du produit mixte on ne change pas le résultat : u, v, w = v, w, u = w, u, v

1.3 Opérateur d inertie 13 soit ici δ OP δ OP = OP δ OP δ Le moment d inertie s écrit donc : I = δ OP δ OP dm On reconnaît, sous l intégrale, l opérateur d inertie au point O du solide. Pour déterminer le moment d inertie du solide autour de l axe, il suffit d effectuer le produit scalaire du vecteur unitaire δ avec I O δ δ. A F E i on pose I O = F B D E D C I = δ I O δ δ O B I = α,β,γ A F E F B D E D C et δ = α,β,γ dans la base B alors O B 1.20 α β 1.21 γ d Changement de point, théorème de Huygens généralisé oit B la base x, y, z. On recherche la relation entre la matrice d inertie en A du solide et la matrice d inertie en G le centre d inertie du solide. Par définition, l opérateur d inertie du solide au point A dans la base B s écrit : I A u = AP u AP dm De même l opérateur d inertie du solide au point G dans la base B s écrit : I G u = GP u GP dm En décomposant le premier : I A u = AG + GP u AG + GP dm puis en développant I A u = + AG u AG dm + GP u AG dm + AG u GP dm GP u GP dm

14 1 Cinétique Les deuxièmes et troisièmes termes de cette somme sont nuls par définition du centre d inertie GP dm = 0 : AG u GP dm = AG u GP dm = 0 GP u AG dm = GP dm u AG = 0. L égalité devient : I A u = AG u AG dm + GP u GP dm On reconnaît dans le second terme l opérateur d inertie en G : I G u = GM u GM dm. Il reste à déterminer le premier terme : Les termes sous l intégrale ne dépendent pas de la masse variable d intégration AG u AG dm = m AG D où le théorème de Huygens généralisé u AG I A u = I G u + m AG u AG 1.22 Déterminons AG u AG en fonction des coordonnées des deux vecteurs u = α,β,γ et AG = a,b,c. Un calcul analogue a déjà été réalisé lors de la détermination de la matrice d inertie page 11, d où dans la base x, y, z : AG u AG = b 2 + c 2 a b a c a b a 2 + c 2 b c a c b c a 2 + b 2 b 2 + c 2 a b a c I A u = I G u + m a b a 2 + c 2 b c a c b c a 2 + b 2 On pose pour les matrices d inertie en A et G : α β γ α β γ 1.23

1.3 Opérateur d inertie 15 A A F A E A I A = F A B A D A E A D A C A A x, y, z A G F G E G et I G = F G B G D G E G D G C G On déduit, dans la base x, y, z, la relation entre ces matrices : A A F A E A A G F G E G b 2 + c 2 a b a c F A B A D A = F G B G D G + m a b a 2 + c 2 b c E A D A C A A E G D G C G G a c b c a 2 + b 2 avec A A = A G + m b 2 + c 2 B A = B G + m a 2 + c 2 C A = C G + m a 2 + b 2 D A = D G + m b c E A = E G + m a c F A = F G + m a b G x, y, z 1.24 On retrouve sur la diagonale le théorème de Huygens pour chacun des axes du repère. e Changement de base Connaissant la matrice d inertie du solide en un point A dans la base B 1, on se propose de déterminer cette matrice en ce même point dans la base B 2. Remarque : nous rappelons ici uniquement les principes, pour le reste reportezvous à un cours de mathématiques. Matrice de Passage : On appelle P B1,B 2, la matrice de passage de la base B 1 à la base B 2 cette matrice est constituée en colonnes des coordonnées des vecteurs de la nouvelle base B 2 écrits dans la base d origine B 1. On l appelle aussi matrice de changement de base, cette matrice est une matrice inversible. Changements de base : oit I A B1 et I A B2 les matrices d inertie d un solide respectivement dans la base B 1 et la base B 2, et P B1,B 2 la matrice de passage de la base B 1 à la base B 2, on a alors : I A B2 = P 1 B 1,B 2 I A B1 P B1,B 2 Avec P 1 B 1,B 2 la matrice inverse de P B1,B 2. 1.3.2 Propriétés et directions principales de la matrice d inertie La matrice d inertie est une matrice symétrique, une simple étude mathématique de la matrice d inertie nous permet de dire que : Les valeurs propres de la matrice sont réelles ; Il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice est diagonale.

16 1 Cinétique a Axes principaux d inertie, base principale d inertie Il existe pour tout point A une base orthogonale de vecteurs propres B = x, y, z. Dans cette base la matrice d inertie du solide au point A est une matrice diagonale : A, y et A 0 0 I A = 0 B 0 0 0 C A,B. A, x, Cette base est appelée base principale d inertie au point A. Les axes A, z sont les axes principaux d inertie et A, B et C les moments principaux d inertie. Remarques : Pour tous les solides présentant des symétries dans la répartition des masses, il est facile de déterminer les axes principaux en s appuyant sur ces symétries. i le point d écriture est le centre d inertie, on parle alors de base centrale et de moments centraux d inertie ; Les moments centraux d inertie sont minima. Nous allons vérifier que les particularités géométriques dans la répartition des masses symétrie, axe de révolution se retrouvent dans la forme de la matrice d inertie. olide avec un plan de symétrie Lorsque le solide possède un plan de symétrie, les produits d inertie comportant la normale au plan de symétrie sont nuls. Le solide de la figure 1.8 possède un plan de symétrie O, x, y, l axe O, z est normal à ce plan. Il semble judicieux ici de déterminer la matrice d inertie de ce solide en un point du plan de symétrie. Déterminons les produits d inertie, P xz et P yz dans le repère O, x, y, z. E = P xz = x z dm et D = P yz = y z dm En décomposant l intégration sur les deux demi solides symétriques 1 et 2 : E = P xz = 1 x z dm + 2 x z dm Le plan O, x, y est plan de symétrie. On effectue le changement de variable z z pour calculer la deuxième intégrale. Compte tenu du plan de symétrie, les

1.3 Opérateur d inertie 17 z y x P 1 z x y P 2 FIGURE 1.8 olide avec 1 plan de symétrie bornes d intégration changent P 2 P 1 d où : 2 x z dm = 1 x z dm E = P xz = 0 On constate donc que E = 0 et on démontre de même D = 0. La matrice d inertie du solide au point O dans la base B = x, y, z avec z la normale au plan de symétrie,devient : I Ox P x y 0 I O = P x y I Oy 0 0 0 I Oz O,B 1.25 i le solide possède un plan de symétrie, alors la matrice d inertie, écrite en un point de ce plan et dans une base dont un vecteur est la normale au plan, comporte deux produits d inertie nuls. Les deux produits d inertie nuls sont ceux contenant la normale au plan. olide avec deux plans de symétrie i un solide possède deux plans de symétrie, en choisissant d écrire la matrice d inertie en un point O de la droite d intersection des deux plans et dans une base B respectant cette symétrie, alors les trois produits d inerties sont nuls. I Ox 0 0 I O = 0 I Oy 0 0 0 I Oz O,B 1.26

18 1 Cinétique z y x P 1 z x y P 2 FIGURE 1.9 olide avec 2 plans de symétrie olide avec une symétrie de révolution i l axe O, z est un axe de révolution matérielle, le solide possède alors une infinité de plan de symétrie orthogonaux. Les produits d inertie sont donc tous nuls et la matrice est diagonale dans toute base contenant l axe de révolution et en tout point de cet axe. z y x FIGURE 1.10 olide de révolution Compte tenu de la symétrie de révolution les moments d inertie par rapport aux O, x et O, y sont égaux. A = y 2 + z 2 dm = B = x 2 + z 2 dm C = x 2 + y 2 dm = 2 A 2 z 2 dm

1.3 Opérateur d inertie 19 La matrice d un solide de révolution exprimée en un point O de son axe de révolution et dans une base respectant cette symétrie s écrit : A 0 0 I O = 0 A 0 0 0 C O,B olide plan d épaisseur négligeable On se place sur un point O du plan avec O, z la normale au plan. L intégration suivant la direction de la normale au plan est nulle les bornes d intégration sont nulles d où : y z x O FIGURE 1.11 olide d épaisseur négligeable A = C = D = y 2 + z 2 dm = x 2 + y 2 dm = A + B y 2 dm B = y z dm = 0 E = x 2 + z 2 dm = x z dm = 0 x 2 dm Finalement la matrice s écrit en un point O du plan et dans une base B contenant la normale à celui-ci : A F 0 I O = F B 0 0 0 A + B O,B Disque plan d épaisseur négligeable Pour un disque plan, en O centre du disque et dans une base B telle que z est la normale au plan A 0 0 I O = 0 A 0 0 0 2 A O,B

20 1 Cinétique 1.4 Exercices Exercice 1- Quart de disque Adapté du Concours National DEUG - CCP oit une plaque P en forme d un quart de disque de rayon a et d épaisseur négligeable devant le rayon a. On note µ la masse surfacique du matériau constituant la plaque P. Le référentiel terrestre R 0 est considéré comme galiléen ; il est rapporté au repère O, x0, y 0, z 0. Q1. Déterminer la masse M de la plaque P en fonction de µ et a. Q2. Déterminer l opérateur d inertie I O P de la plaque P au point O dans O, x 0, y 0, z 0 en fonction de M et a. O y 0 Corrigé page?? x 0 FIGURE 1.12 Quart de disque Q3. Déterminer les axes principaux d inertie de la plaque P, préciser les vecteurs de la base principale. Q4. En déduire les moments d inertie principaux J 1, J 2 et J 3 de la plaque P au point O en fonction de M et a. Exercice 2- Hélice tripale Corrigé page?? oit l hélice tripale définie sur la figure 1.13. Q1. Montrez que la matrice d inertie de trois masses ponctuelles régulièrement réparties sur un cercle de rayon R est diagonale. a 1 = R cosθ a 2 = R cos θ + 2π 3 P 1 = b 1 = R sinθ, P 2 = b 2 = R sin a θ + 2π 3 = R cos θ 2π 3 3 et P 3 = b 3 = R sin θ 2π 3. c 1 = z c 2 = z c 3 = z Q2. En déduire que la matrice d inertie d une hélice tripale est diagonale en tout point de l axe. Exercice 3- Volant d inertie Corrigé page?? Un volant d inertie en acier 7800kg m 3 est constitué : d une couronne circulaire à base carrée coté 2c et de rayon extérieur R e = 10 c, d un moyeu central de rayon R m = c de hauteur 2c, de trois bras à 120 de section carrée coté c.

1.4 Exercices 21 y y P1 O O z x P3 O 1 z x P2 a Hélice b Masses ponctuelles réparties FIGURE 1.13 Hélice tripale Q1. Déterminer la masse du volant d inertie en fonction de c. Q2. Déterminer le moment d inertie du volant autour de l axe de rotation en fonction de c. Nota : les bras seront modélisés par des parallélépipèdes tangents à la couronne et au moyeu. Q3. A.N. c = 5cm. Q4. Déterminer la masse du disque d épaisseur 2c ayant le même moment d inertie. Conclure. FIGURE 1.14 Volant d inertie Exercice 4- phéricone Corrigé page?? On obtient un sphéricône figure 1.15 à partir d un double - cône de 90 d angle au sommet coupé en deux par un plan passant par l axe puis recollé après une rotation de 90. On se propose de déterminer les caractéristiques cinétiques du sphéricône et

22 1 Cinétique a double cône b découpe et rotation de 90 c sphéricône FIGURE 1.15 Du double cône au sphéricône de les comparer à celle du double-cône. Le sphéricône peut se décomposer en 4 demi - cônes de rayon R et de demi - angle au sommet 45. Q1. Déterminer par des considérations géométriques la position du centre d inertie G et la forme de la matrice d inertie du sphéricône en G préciser la base. Q2. Précisez la forme de la matrice d inertie d un demi - cône en O dans la base. Q3. En déduire celle du sphéricône. Q4. Déterminez la matrice d inertie du demi cône en ne calculant que les termes utiles pour la matrice du sphéricône puis celle du celle du sphéricône. Écrire cette matrice en fonction de M c, la masse du double cône. z y G r θ x y z P x FIGURE 1.16 Paramétrage du sphéricône

1.4 Exercices 23 1.4.1 Corrigés

24 1 Cinétique 1.5 Torseur cinétique 1.5.1 Définition Le torseur cinétique est le torseur des quantités de mouvement d un système matériel E dans son mouvement par rapport au repère R. { } p E/R = V P/R dm CE/R = σ A,E/R = AP V 1.27 P/R dm A V P/R : Vitesse du point P du système matériel E dans son mouvement par rapport au repère R ; p E/R = V P/R dm : Résultante cinétique ou quantité de mouvement de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à R ; σ A,E/R = AP V P/R dm : Moment cinétique au point A de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à R. a Résultante cinétique oit O un point lié au référentiel R et G le centre d inertie de l ensemble matériel E, par définition du centre d inertie : m E OG = OP dm. [ ] [ ] d d En dérivant par rapport au temps dans R : m E OG = OP dm. dt R dt R Compte tenu du principe de conservation de la masse, on peut permuter la dérivation par rapport au temps et l intégration sur la masse : [ ] [ ] d d m E OG = OP dm. dt R dt R On reconnaît la vitesse du point G et celle du point P par rapport au repère R. La quantité de mouvement se calcule donc finalement comme : p E/R = V P/R dm = m E V G/R 1.28 b ou Changement de point Le champ des moments cinétiques σ A,E/R est équiprojectif, on peut donc écrire : σ B,E/R = σ A,E/R + BA p E/R 1.29 σ B,E/R = σ A,E/R + BA m E V G/R. 1.30

1.5 Torseur cinétique 25 1.5.2 Cas du solide indéformable oit, un solide indéformable de masse m s. L hypothèse de solide indéformable, permet d associer les propriétés du champ des vecteurs vitesses d un solide aux propriétés du torseur cinétique. Ainsi, pour P et A deux points liés au solide, la relation de composition des vitesses permet d écrire : V /R = V A /R + Ω /R AP 1.31 avec Ω /R : le vecteur rotation du solide par rapport au repère R. Pour un solide le torseur cinétique s écrit : { } p /R = C/R = σ A,/R = et la résultante cinétique : p /R = V /R dm AP V /R dm A 1.32 V P/R dm = m s V G /R. 1.33 En faisant intervenir le point A dans la détermination du moment cinétique d un solide indéformable, on obtient : σ A,/R = = = = AP V /R dm AP V A /R + Ω /R AP dm AP V A /R dm + AP Ω /R AP dm AP dm V A /R + AP Ω /R AP dm On reconnaît : dans le premier terme la définition du centre d inertie G : AP dm = m s AG ; dans le deuxième terme l opérateur d inertie du solide au point A appliqué au vecteur : AP Ω /R AP dm = I A Ω /R Finalement, le moment cinétique d un solide indéformable dans son mouvement par rapport à un repère R devient σ A,/R = m s AG V A /R + I A Ω /R. 1.34

26 1 Cinétique Cette relation est importante mais on s attachera à l utiliser dans les cas particuliers suivants qui facilitent les calculs. Le point A est confondu avec le centre d inertie G A est un point fixe dans le repère σ G,/R = I G Ω /R 1.35 σ A,/R = I A Ω /R 1.36 Le mouvement du solide par rapport au repère est une translation σ A,/R = m s AG V A /R 1.37 Il est souvent préférable de calculer le moment cinétique soit au centre d inertie, soit en un point A du solide fixe dans le repère R puis d utiliser la relation de changement de point si nécessaire. 1.6 Torseur dynamique 1.6.1 Définition Le torseur dynamique est le torseur des quantités d accélération d un système matériel E dans son mouvement par rapport au repère R : A E/R = Γ P/R dm { DE/R } = δ A,E/R = AP Γ P/R dm A 1.38 Γ P/R : accélération du point P de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à R ; A E/R = Γ P/R dm : résultante dynamique de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à R, on montre aussi que δ A,E/R = A E/R = m E Γ G/R ; 1.39 AP Γ P/R dm : moment dynamique en A de l ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à R. 1.6.2 Changement de point de réduction Le champ des moments dynamiques est un champ de torseur. Pour changer de point de réduction on utilise donc la relation générale des torseurs : δ B,E/R = δ A,E/R + BA m E Γ G/. 1.40

1.6 Torseur dynamique 27 1.6.3 Relation entre la résultante cinétique et la résultante dynamique On montre facilement que : [ ] [ ] d A E/R = p d /R = m E V G/R dt R dt R = m E Γ G/R. 1.6.4 Relation entre le moment cinétique et le moment dynamique Par définition le moment cinétique s écrit : σ A,E/R = AP V P/R dm [ ] d σ A,E/R = d AP V P/R dm dt R dt R [ d = AP ] V P/R dm dt R [ ] d = AP V P/R dm + dt R [ d = OP ] OA V P/R dm + dt R [ ] d σ A,E/R dt R = = V P/R V A/R AP Γ P/R dm [ ] d AP V P/R dm dt R AP Γ P/R dm V P/R dm + AP Γ P/R dm V A/R V P/R dm le premier terme représente le moment dynamique en A AP Γ P/R dm = δ A,E/R ; le second devient V A/R V P/R dm = V A/R V P/R dm = m E V A/R V G/R. D où la relation cherchée entre le moment dynamique et le moment cinétique : [ ] d δ A,E/R = σ A,E/R + m E V A/R V G/R 1.41 dt A un point géométrique quelconque et G le centre d inertie de cet ensemble matériel. R

28 1 Cinétique a b Cas particuliers A est confondu avec G, alors : δ [ d G,E/R = A est un point fixe de R, alors : δ A,E/R = Détermination du moment dynamique ] σ G,E/R ; [ dt ] R d σ A,E/R. dt R Il est en général plus facile de déterminer le moment cinétique que le moment dynamique le champ des vitesses est en général connu. Pour calculer le moment dynamique, on choisit de calculer en un point caractéristique le centre d inertie G ou un point fixe du repère le moment cinétique puis de le dériver. Pour obtenir le moment dynamique en un autre point on utilise la relation liant les moments d un torseur. 1.6.5 Cas du solide indéformable Pour un solide, nous avons la relation de composition des vitesses des points du solide : V /R = V Q /R + Ω /R QP. La résultante dynamique s écrit : et le moment dynamique en A : [ ] d δ A,/R = σ A,/R dt A /R = m Γ G /R R + m V A/R V G /R avec A point géométrique. Cette dernière relation est à manipuler avec précaution, en effet V A/R n est pas toujours facile à évaluer pour un point quelconque, on se limitera donc à calculer le moment dynamique uniquement en des points avec des propriétés particulières : A est confondu avec G, alors : [ ] d δ G,/R = σ G,/R ; 1.42 dt A est un point fixe de R, alors : [ ] d δ A,/R = σ A,/R dt. 1.43 Puis on utilisera la relation de changement de point des torseurs. R R

1.7 Énergie cinétique 29 1.7 Énergie cinétique 1.7.1 Définition L énergie cinétique élémentaire d un point P affecté de la masse dm dans son mouvement par rapport à un repère R est donnée par : dt P/R = 1 V 2 P/R dm 1.44 2 L énergie cinétique d un ensemble matériel E en mouvement par rapport à un repère R est alors : T E/R = 1 V 2 P/R dm 1.45 2 L unité de l énergie cinétique est le Joule. 1.7.2 Cas du solide indéformable oit un solide de masse m, de centre d inertie G, en mouvement par rapport à un repère R, A un point lié au solide. Pour un solide, l énergie cinétique du solide dans son mouvement par rapport au repère R s écrit : T /R = 1 2 V /R dm. 1.46 2 On a V /R = V A /R + Ω /R AP, d où T /R = 1 V A /R + Ω /R 2 AP dm 2 = 1 V 2 A /R dm + 2 V A /R Ω /R AP dm + Ω /R 2 AP dm 2 V A /R et Ω /R indépendant de la variable d intégration dm T /R = 1 2 m V 2 A /R + V A /R Ω /R AP dm + 1 Ω /R AP 2 Ω /R AP On reconnaît le produit mixte u v w invariant par permutation circulaire dans le troisième terme avec u = Ω /R, v = AP et w = Ω /R AP soit alors : T /R = 1 2 m V 2 A /R + m Ω /R AG V A /R + 1 AP Ω /R AP 2 On reconnaît l opérateur d inertie du solide en A AP Ω /R AP dm = I A Ω /R. dm Ω /R dm

30 1 Cinétique Finalement la relation permettant de déterminer l énergie cinétique d un solide : T /R = 1 2 m V 2 A /R + m Ω /R AG V A /R + 1 Ω /R I A Ω /R 1.47 2 Cette relation est assez difficile à utiliser, montrons que dans le cas d un solide, l énergie cinétique peut aussi se calculer en réalisant le comoment des torseurs cinématique et cinétique. T /R = 1 2 { V/R } { C/R } 1.48 On note torseur cinématique en A du solide dans son mouvement par rapport au repère R { V/R } = { Ω /R V A /R torseur cinétique du solide dans son mouvement par rapport au repère R } { { } m } V C/R = G /R σ A,/R T /R = 1 { } { } V/R C/R 2 = 1 { } { Ω /R m } V G /R 2 V A /R σ A A,/R A = 1 Ω /R σ A,/R + 1 2 2 m V A /R V G /R = 1 Ω /R m s AG V A /R + I A Ω /R 2 T /R = 1 2 m V 2 A /R + m Ω /R AG V A /R A A + 1 2 m V A /R V G /R + 1 Ω /R I A Ω /R 2 On retrouve bien le même résultat. Cette relation est souvent plus facile à mettre en œuvre que la relation générale. L énergie cinétique ne dépend donc pas du point de calcul propriété du comoment, il est donc préférable d appliquer cette relation en des points particuliers : En G, centre d inertie du solide T /R = 1 2 m V 2 G /R + 1 Ω /R I G Ω /R 1.49 2 avec I G la matrice d inertie du solide en G ;

1.8 Caractéristiques cinétiques d un ensemble de solide 31 Pour un mouvement de rotation de centre C point fixe dans le mouvement de rotation rotule ou gyroscope par rapport au repère R T /R = 1 Ω /R I C Ω /R 1.50 2 avec I C la matrice d inertie du solide en C ; Pour un mouvement de rotation autour d un axe fixe C, u, en C point fixe de l axe de rotation du solide par rapport au repère R. I u F E On pose I C = F I v D la matrice d inertie du solide en E D I w C u, v, w C dans la base B = u, v, w et Ω /R = ω u u. T /R = 1 Ω /R I C Ω /R 2 = 1 I u F E 2 ω u,0,0 F I v D E D I w C u, v, w ω u 0 0 d où T /R = 1 2 I u ω 2 u 1.51 Pour un mouvement de translation, T /R = 1 2 m V 2 A /R = 1 2 m V G /R 2 1.52 1.8 Caractéristiques cinétiques d un ensemble de solide oit E un ensemble de n solides i, en mouvement par rapport au repère R 1.8.1 Torseur cinétique d un ensemble de solides Le torseur cinétique d un ensemble de solide, est la somme en un même point des torseurs cinétiques de chaque solide. { CE/R } = n i=1 { } C i /R 1.53

32 1 Cinétique La résultante cinétique d un ensemble de solides est la somme des résultantes cinétiques et le moment cinétique en un point A d un ensemble de solides est la somme des moments cinétiques de chaque solide en ce même point. p n E/R = p i /R i=1 σ n A,E/R = σ A,i /R 1.54 i=1 1.8.2 Torseur dynamique d un ensemble de solides Le torseur dynamique d un ensemble de solide, est la somme en un même point des torseurs dynamique de chaque solide. { DE/R } = n i=1 { } D i /R 1.55 La résultante dynamique d un ensemble de solides est la somme des résultantes dynamiques et le moment dynamique en un point A d un ensemble de solide est la somme des moments dynamiques de chaque solide en ce même point. n A E/R = A i /R i=1 n δ A,E/R = δ A,i /R 1.56 i=1 1.8.3 Énergie cinétique d un ensemble de solides L énergie cinétique d un ensemble de solide est la somme des énergies cinétiques. n T E/R = T i /R 1.57 En décomposant sur chaque solide : T E/R = 1 2 T E/R = 1 2 n i=1 n i=1 i=1 { } { } V i /R C i /R { } Ω i /R V Ai i /R A i { } mi V Gi i /R σ 1.58 Ai, i /R A i Remarque : l énergie cinétique ne dépendant pas du point de calcul du comoment, chaque comoment peut-être calculé en un point particulier caractéristique du mouvement considéré.

1.9 Exercices 33 1.9 Exercices Exercice 5- Éolienne d après École de l air 1997 Corrigé page?? On se propose d étudier une éolienne. Une schématisation simplifiée peut-être donnée par l ensemble constitué : d un mat 0 ; d un bloc oscillant solide 1 en liaison pivot d axe A, z 0 avec le bâti 0 ; d une hélice associée au rotor de la génératrice solide 2 en liaison pivot d axe A, x 1 avec le solide 1. Paramétrage : à chaque solide i est associé un repère de base orthonormée directe xi, y i, z i avec z 0 = z 1 et x0, x 1 = y0, y 1 = α x 1 = x 2 et z1, z 2 = y1, y 1 = β olide 1 Homogène de masse m 1, de centre d inertie A, admettant le plan A, x 1, z 1 comme plan de symétrie matérielle. A z 0 y 0 x 0 FIGURE 1.17 Modéle d éolienne olide 2 Homogène de masse m 2, et de centre d inertie G 2, AG 2 = l x 1, ce solide est constitué. d un cylindre plein 2 a de hauteur H et de rayon R, d axe A, x 2, de masse m 2a, de centre d inertie G 2a avec G 2 G 2a = λ x 2 d une plaque rectangulaire 2 b, d épaisseur négligeable, de coté a suivant y 2 et b suivant z 2, de masse m 2b, de centre d inertie G 2b avec G 2b avec G 2 G 2b = µ x 2 Q1. On note, A 1, B 1, C 1, D 1, E 1 et F 1 les coefficients de l opérateur d inertie du solide 1 dans la base B 1, préciser la forme de la matrice d inertie du solide 1 en A 1. Q2. Déterminer Q2a. la relation entre λ, µ et les masses. Q2b. l opérateur d inertie I G2a 2a en G 2a du solide 2 a dans la base x2, y 2, z 2 en fonction de m 2a et des dimensions H et R. z 2 x 1

34 1 Cinétique Q2c. l opérateur d inertie I G2b 2b en G 2b du solide 2 b dans la base x2, y 2, z 2, en fonction de la masse m 2b et des dimensions a et b. Q2d. l opérateur d inertie I G2a 2a en G 2 du solide 2 dans la base x2, y 2, z 2. On notera A 2, B 2, C 2,..., les termes de l opérateur I G2 2 dans la suite du problème. Q3. Déterminer σ A,1 /R 0 le moment cinétique au point A du solide 1 dans son mouvement par rapport au repère galiléen, puis le torseur cinétique du solide 1 dans son mouvement par rapport à R 0. Q4. Déterminer δ A,1 /R 0 z 0 le moment dynamique du solide 1 dans son mouvement par rapport au galiléen au point A en projection sur z 0. Q5. Déterminer σ G2, 2 /R 0 le moment cinétique du solide 2 dans son mouvement par rapport au galiléen au point G 2 puis le torseur cinétique du solide 1 dans son mouvement par rapport à R 0. Q6. Déterminer l énergie cinétique de l ensemble { 1, 2 } dans son mouvement par rapport au repère galiléen R 0. Exercice 6- Pompe à palettes - cinétique Corrigé page?? oit, une pompe à palette simplifiée définie sur la figure 1.18. Le rotor 2 est en liaison pivot par rapport au corps 1 en O 2, les palettes 3 coulissent librement dans le rotor et sont plaquées par effet centrifuge sur le corps. La variation de volume obtenue pendant la rotation permet d aspirer de l air les orifices d entrées/sorties ne sont pas représenté. On pose : corps 1 : R 1 = O 1, x 1, y 1, z 1 le repère associé au corps supposé galiléen, R le rayon intérieur du corps ; rotor 2 : R 2 = O 2, x 2, y 2, z 2, le repère associé au rotor, avec α = x1, x 2 et O 1 O 2 = e x 1 ; palette 3 : de masse m 3, avec O 2 D = d y 2, EG = l 2 x 2 et DE = λ x 2, G le centre d inertie et E le point de contact avec le corps supposé dans le plan de symétrie de la palette. Q1. Déterminer les torseurs cinématiques { } V 2/1 en O2 et { } V 3/1 en E et G en fonction de λ et α et de leurs dérivées. Q2. Poser les calculs permettant de déterminer λ en fonction de α et des paramètres géométriques. A 2 0 0 On pose pour la matrice d inertie du rotor I O2 2 = 0 B 2 0 0 0 C 2 O 2 B 2 et on modélise la palette par un solide plan d épaisseur négligeable, de hauteur h suivant z 2 et de longueur l suivant x2. Q3. Déterminer le torseur cinétique puis le torseur dynamique du rotor en O 2.

1.9 Exercices 35 y2 2 D y 1 y3 3 O 2 O 1 x1 E x2 x3 1 FIGURE 1.18 Pompe à palettes Q4. Donner la matrice d inertie de la palette préciser le point et la base. Q5. Déterminer le torseur cinétique { C 3/1 } de la palette 3 dans son mouvement par rapport au corps 1 en G. On suppose, pour la suite, la vitesse de rotation du rotor constante α = ω. Q6. Déterminer le torseur dynamique { D 3/1 } de la palette 3 dans son mouvement par rapport au corps 1. Exercice 7- Pont élévateur de garage d après ENEA BT 2003 Il est constitué de deux colonnes verticales fixées au sol. Le véhicule à soulever est mis en position entre les deux colonnes, et maintenu par deux paires de bras, fixées sur deux chariots. Chaque chariot est guidé en translation verticale sur le carter d une colonne. Le moteur électrique est fixé en haut de la colonne motrice. La chaîne qui relie les vis des deux colonnes passe au ras du sol, sous le véhicule soulevé et développe un couple moteur noté C m. La figure 1.20 présente le schéma cinématique du pont élévateur. Corrigé page?? FIGURE 1.19 Pont élévateur Caractéristiques cinématiques En haut de la colonne, la poulie motrice a un diamètre de φ m = 100mm et la poulie réceptrice a un diamètre de φ v = 200 m m. Le moteur tourne à

36 1 Cinétique une vitesse de 1200 tr/min ; En bas de la colonne, les pignon des vis ont Z v = 30 dents ; Les vis ont un diamètre d = 25mm et une longueur L = 2,5m, sont en acier trempé, a un seul filet et un pas de p = 3mm ; Les écrous sont en bronze et on néglige le frottement au contact entre la vis et l écrou ; La course du chariot est de 2 m. Caractéristiques cinétiques La masse maximale du véhicule soulevé est de 2000 kg ; La masse de chaque paire de bras est de 200 kg ; Le moment d inertie du moteur autour de son axe de rotation est noté J m ; Le moment d inertie de la vis motrice autour de son axe de rotation est noté J v ; Les masses et inerties de la chaîne, des poulies, de la courroie sont négligeables. Toutes les liaisons sont parfaites hormis les deux liaisons hélicoïdales, dont le rendement est de 80 %. Le repère associé au châssis est supposé galiléen. On note z g, le vecteur unitaire vertical orienté vers le haut. Bras 3 Bras 4 Vis 1 Vis 2 Chassis 0 FIGURE 1.20 chéma cinématique du pont élévateur Q1. Préciser le torseur cinématique de chacune des liaisons. Q2. Déterminer l énergie cinétique T Σ/Rg galiléenne du mécanisme complet. Q3. Mettre l énergie cinétique sous la forme T Σ/Rg = 1 2 J eq ω 2 m. Déterminer le moment d inertie équivalent J eq ramené sur l arbre moteur. Q4a. Déterminer la puissance des efforts extérieurs Q4b. Déterminer la puissance des efforts intérieurs Q5. En déduire l équation différentielle du mouvement donnant C m en fonction des paramètres cinétiques et de mouvement.

1.9 Exercices 37 1.9.1 Corrigés