Uiversité Paris XI PCS0 Probabilités 2011/2012 Probabilités Table des matières 1 Combiatoire 2 1.1 Choix............................................ 2 1.2 Les foctios cruciales du déombremet........................ 3 1.2.1 Ordoer u esemble à élémets....................... 3 1.2.2 Choisir p élémets parmi............................ 3 1.2.3 Choisir p élémets parmi, sas se préoccuper de l ordre........... 3 1.3 Quelques propriétés avacées de combiatoires..................... 4 1.3.1 Iterprétatio polyomiale............................ 4 1.3.2 Coefficiets multiomiaux............................. 5 1.3.3 Triagle de Pascal................................. 5 1.3.4 Ragemet de p élémets idisticts das cellules.............. 5 1.4 Exercices.......................................... 6 2 Fodatios axiomatiques des probabilités 8 2.1 Lagage de la théorie des esembles........................... 8 2.2 Espace des évéemets et probabilités.......................... 8 2.3 Trois exemples fodametaux............................... 9 2.3.1 La situatio fiie équiprobable.......................... 9 2.3.2 La situatio fiie podérée............................ 9 2.3.3 La situatio ifiie déombrable......................... 10 3 Probabilités coditioelles 10 3.1 Fodatios axiomatiques des probabilités coditioelles................ 10 3.1.1 Défiitio...................................... 10 3.1.2 Idépedace.................................... 11 3.2 Deux théorèmes fodametaux.............................. 12 3.2.1 Formule des probabilités totales.......................... 12 3.2.2 Formule de Bayes.................................. 12 3.3 Exemples.......................................... 13 4 Variable aléatoire 14 1
4.1 Défiitio.......................................... 14 4.2 Lois fodametales..................................... 15 4.2.1 Loi équirépartie................................... 15 4.2.2 Tirage de Beroulli................................. 16 4.2.3 Loi biomiale.................................... 16 4.2.4 Loi géométrique.................................. 16 4.2.5 Loi de Poisso................................... 16 4.2.6 Loi hypergéométrique............................... 16 4.3 Espérace, variace..................................... 17 4.3.1 Espérace...................................... 17 4.3.2 Covariace, variace................................ 18 4.3.3 Coefficiet de corrélatio............................. 18 4.4 Espérace et variace des lois fodametales...................... 19 4.4.1 Loi équirépartie................................... 19 4.4.2 Tirage de Beroulli................................. 19 4.4.3 Loi biomiale.................................... 19 4.4.4 Loi géométrique.................................. 20 4.4.5 Loi de Poisso................................... 20 4.4.6 Loi hypergéométrique............................... 22 4.5 Paradoxe du temps d attete............................... 22 4.5.1 Motivatio et formalisatio............................ 22 4.5.2 Deux exemples................................... 23 4.5.3 Cas gééral..................................... 23 4.5.4 Coclusio et applicatios............................. 24 4.6 Exercices.......................................... 24 4.6.1 Lois biomiales itérées............................... 24 4.6.2 Variace des lois biomiales podérées...................... 26 4.6.3 Loi d arrêt à pile ou face.............................. 27 1 Combiatoire 1.1 Choix Soit E {e 1, e 2,, e } u esemble fii de cardial. Alors il existe faços distictes de choisir u élémet e de E. Le comptage du ombre de choix d u élémet das u esemble reviet doc à la détermiatio du cardial de cet esemble. A cette fi, il est bo de se souveir que l esemble A B {(a, b) a A, b B} est de cardial A B. E particulier, si r est u etier, le cardial de E r est E r. Il existe doc p faços différetes de choisir p fois de suite u élémet das u esemble ayat élémets. 2
Exemples : Il existe 7 12 84 choix d u jour de la semaie et d u mois de l aée. Il existe 6 3 216 résultats possibles lorsque l o tire 3 fois de suite u dé usuel (à six faces). A l heure actuelle, il existe 14 cadidats déclarés à l électio présidetielle de 2012. Sauf e cas de victoire au premier tour, deux de ces cadidats s affroterot au secod tour. Il existe doc 14 2 28 possibilités distictes (théoriques) de vote e cas d ue électio à deux tours. 1.2 Les foctios cruciales du déombremet 1.2.1 Ordoer u esemble à élémets Soit E {e 1, e 2,, e } u esemble fii de cardial. U ordre sur E est le choix d ue éumératio des élémets de E. Par défiitio, il existe factoriel ordre sur E, ce que l o ote!. L etier! est égal à ( 1) ( 2) 3 2 1. Ceci se démotre par récurrece de la maière suivate. Pour ordoer u E, il suffit de choisir u élémet e que l o place e première place. Ceci peut se faire de faços distictes. Esuite, il reste à ordoer l esemble E {e}, qui est de cardial 1. Il existe doc ( 1)! faços de procéder. Il y a doc ( 1)! faços d ordoer E. Doc! ( 1) 2 1. 1.2.2 Choisir p élémets parmi Soit E {e 1, e 2,, e } u esemble fii de cardial et soit p u etier. U p-arragemet (e ij ) 1 j p de E est la doée de p élémets disticts de E das u ordre doé (doc (e 1, e 2 ) et (e 2, e 1 ) e sot pas le même 2-arragemet). O désige le ombre de p-arragemets disticts d élémets de E par A p. Pour costruire u p-arragemet, il faut choisir u élémet e de E, que l o désige comme le premier élémet de l arragemet, puis choisir u (p 1)-arragemet de E {e}. Réciproquemet, tous les p-arragemets sot costruits de cette maière. Les p-arragemets vérifiet doc la relatio A p A p 1 1. E répétat cette relatio, o obtiet : A p ( 1)A p 2 2 ( 1) ( p + 2)Ap p+1 p+1 ( 1) ( p + 2)( p + 1) Notos que, u peu par covetio et aussi u peu pour des raisos de cohérece itere, o cosidère qu il existe u uique 0-arragemet (et o pas 0) das u esemble à élémets lorsque > 0. Doc A 0 1. De maière alterative, et quasimet équivalete, o peut remarquer qu u p-arragemet se prologe e u ordre sur les élémets de E de ( p)! faços distictes et que tous les ordres sur E sot costruits de cette maière. Doc : A p! ( p)! 1.2.3 Choisir p élémets parmi, sas se préoccuper de l ordre Soit E {e 1, e 2,, e } u esemble fii de cardial et soit p u etier. U p-uplet (e ij ) 1 j p de E est la doée de p élémets disticts ( de E sas ordre prescrit (doc (e 1, e 2 ) et (e 2, e 1 ) sot le même 2-uplet). O désige par le ombre de faços distictes de choisir des p-uplet das p) E. Il est bo de remarquer qu il existe ue faço uique de choisir u 0-uplet das E, car la seule 3
possibilité est( de) predre ( le p-uplet ) vide, tadis qu il existe aucue faço de choisir u p-uplet si p < 0. Aisi, 1 et 0 si p > 0. 0 p Pour costruire u p-uplet, il suffit de costruire u p-arragemet. Par défiitio de p!, il existe p! p-arragemets disticts qui produiset par cette costructio le même p-uplet. Doc : ( p) Ap p! ( 1) ( p + 2)( p + 1) p!! p!( p)! Remarquos que choisir u p-uplet b das E est( la même ( chose) que de choisir le ( p)-uplet des élémets que l o a pas choisi das b. Doc. Cela est égalemet maifeste à p) p partir de la derière expressio de l équatio précédete. 1.3 Quelques propriétés avacées de combiatoires 1.3.1 Iterprétatio polyomiale Cosidéros le polyôme (x + y) (x + y)(x + y) (x + y). Lorsque que l o développe ce polyôme, o doit pour chacue des parethèses choisir x ou y. Le terme de degré x k correspod doc ( au ombre de faços distictes de choisir k fois x parmi possibilités, et doc par défiitio à. Doc : k) ( (x + y) x k) k y k k0 Cette iterprétatio permet de démotrer certaies propriétés des et y par 1 motre que : (1 + 1) 2 k0 ( ) k Soit s u etier. L égalité (x + y) (x + y) s (x + y) s motre que : k0 ( ) x k y k k s i0 ( s i ) s x i y s i j0 ( k). Par exemple, remplacer x ( ) s x j y s j j E idetifiat le terme e x k y k de chaque côté de l équatio précédete, o obtiet : ( k) k ( ) ( ) s s i k i i0 Ou ecore : ( ) k i+jk ( s i ) ( s j ) 4
1.3.2 Coefficiets multiomiaux O peut gééraliser la otio de p-uplet e la otio de (p 1,, p s )-multiplet. État doé des etiers (p i ) 1 i s vérifiat p 1 + p 2 + + p s, u (p 1,, p s )-multiplet est la doée de p 1 élémets disticts, puis de p 2 élémets disticts parmi ceux qui restet, ( et aisi) de suite. Le ombre de (p 1,, p s )-multiplets est par défiitio le ombre multiomial. Les ombres multiomiaux vérifiet la relatio p 1,, p s : 1.3.3 Triagle de Pascal ( p 1,, p s )! p 1!p 2! p s! Pour costruire u p-uplet d élémets de E de cardial, il suffit de choisir tout d abord si ce p-uplet cotiedra ou o le derier élémet de E. Si oui, alors il reste à choisir u (p 1)-uplet de E {e } de cardial 1. Sio, alors otre p-uplet est u p-uplet de E ({e }. Réciproquemet, ( ) ( tout ) p- 1 uplet d élémets de E est costruit de la maière précédete. Doc +. Si p) p 1 p 1 l o dispose les coefficiets biomiaux e u triagle dot les liges correspodet à costat et les coloes à p costat, alors la somme de deux termes cosécutifs d u lige est égale au terme de la lige suivate e dessous du deuxième terme. Le dessi que l o obtiet est appelé le triagle de Pascal (même s il est apparaît déjà das les travaux de mathématicies idies du X siècle). 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1.3.4 Ragemet de p élémets idisticts das cellules Supposos que l o dispose de espaces et que l o souhaite y rager p élémets idetiques. Voici ue faço de procéder pour obteir le ombre possible de tels ragemets. O peut imagier que le ragemet se fasse de la maière suivate : o compte à partir de 1 le ombre d élémets que l o place das la première cellule ; à tout momet, o peut crier stop et o s arrête puis o recommece le comptage des élémets das la deuxième cellule, et l o cotiue jusqu à atteidre p. Afi que toutes les cellules soiet remplies (même de zéro élémet), il faut crier 1 fois stop. Pour que tous les élémets soiet placés, il faut compter de 1 à p. La persoe qui décrit le ragemet de cette maière prooce doc 1 + p mots. Le ragemet est défii par la positio des 1 stops. Doc le ombre de tels ragemets est ( 1 + p 1 ) ( + p 1 p ). 5
1.4 Exercices U dé usuel comporte 6 faces umérotées de 1 à 6. U jeu de cartes usuel cotiet 52 cartes divisées e 13 cartes umérotées de 1 à 13 de 4 couleurs. Exercice 1 De combie de faço différete peut-o obteir 7 e laçat deux dés? De combie de faços différetes peut-o tirer ue carte das u jeu de cartes? Deux cartes? Ciq cartes? Combie existe-t-il de tirages de ciq cartes où toutes les cartes sot de la même couleur? Combie existe-t-il de tirages de ciq cartes où deux cartes (au mois) parmi les ciq ot la même valeur? Correctio La valeur du premier dé peut être choisi parmi 6. Ue fois coue la valeur du premier dé, la valeur du secod dé est imposée. Il y a( doc ) 6 tirages possibles dot la( valeur ) est 7. Il existe 52 52 52 tirages d ue carte das u jeu. Il existe tirages de deux cartes et tirages de ciq 2 5 cartes. U tirage de ciq cartes de la même couleur correspod à u choix d ue ( des ) cartes couleurs 13 puis au choix de 5 cartes parmi les 13 cartes de cette couleur. Il existe doc 4 tirages possibles 5 de ciq cartes d ue même couleur. Pour déombrer les tirages coteat au mois ue paire, il est plus aisé de compter les tirages e comportat pas de paires. Das ce cas, il faut choisir 5 valeurs parmi les 13 possibles. Esuite, il faut ( choisir ) l ue des 4 couleurs pour chacue des 5 cartes. Doc 13 le ombre de tirages sas paire est 4 5. Doc le ombre de tirage dot deux cartes au mois 5 ( ) ( ) 52 13 ot la même valeur est 4 5 5. 5 Exercice 2 U wago de RER comporte 30 places assises. 18 voyageurs motet et s asseyet tous. Combie de répartitio différetes des places occupées existe-t-il? Si l o suppose que les voyageurs sot tous disticts, de combie de faços différetes peuvet-ils s asseoir? Correctio( Ue ) répartitio des places occupées est u choix de 18 places parmi les 30. Il e 30 existe doc. Si de plus o supposer que les voyageurs sot tous disticts, ue répartitio des 18 voyageurs est obteue ( ) e choisissat ue répartitio des places assises et u ordre sur les voyageurs. 30 Il y a doc 18! différetes répartitios. 18 Exercice 3 Combie d aagrammes du mot PROBABILITÉS peut o former? Combie d aagrammes peut-o former avec 11 des 12 lettres du mot PROBABILITÉS? Correctio Si l o se souviet des coefficiets multiomiaux, o remarque qu ue 1 aagramme de PROBABILITÉS correspod au choix de la positio des deux i parmi les 12 possibles, puis des ( deux b parmi les 10 restates, ) puis du p, du r, du o, du a, du l, du t, du e et du s. Il y a doc 12 aagrammes possibles. Alterativemet, o peut remarquer qu il existe 12! 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ordres possibles sur les lettres de PROBABILITÉS, mais que la permutatio des deux b et des deux i produit la même aagramme. Parmi ces 119750400 aagrammes, mo ordiateur m assure qu il 1 Ce est pas ue faute de frappe 6
existe que deux mots apparteat à la lague fraçaise : probabilités et probabiliste. Pour former ue aagramme avec 11 des douze lettres, il faut commecer par choisir la lettre parmi les 10 que l o va supprimer. Il y a doc 10 choix possibles. Si l o choisit l ue des 8 lettres uiques, il reste alors 11! 4 aagrammes. Sio, o a choisi ue des deux lettres doubles. Il reste alors 11! 2 aagrammes. Il existe doc e tout 3 11! aagrammes. Parmi ces 119750400 aagrammes (autat doc que d aagrammes complètes, mais c est ue coïcidece), mo ordiateur m assure qu il existe que deux mots apparteat à la lague fraçaise : probabilité et bipolarités. Exercice 4 Parmi persoes, o décide de former des groupes de travail. U tel groupe est formé d u certai ombre de persoes et d u représetat du groupe (u groupe est doc pas vide). Combie de groupes différets peut-o former. E déduire la formule suivate : ( s 2 s) 1 s0 Correctio Pour former u groupe, o peut commecer par choisir le représetat. Il y a alors choix. Esuite, pour les 1 persoes restates, o a le choix etre les mettre das le groupe ou o. Il y a doc u choix etre deux possibilités pour chaque persoe, doc 2 1 possibilités. Il y a doc 2 1 groupes. Alterativemet, pour costruire u groupe, ( ) o peut commecer par choisir u ombre s de membres et les s membres du groupes. Il y a groupes à s membres. Il ( s ) faut esuite ecore choisir u représetat du groupe. Il y a doc s groupes de s membres. Il s y a doc ( s 2 s) 1 groupes. s0 Exercice 5 Motrer : s0 ( ) 2, s ( ) ( 1) s 0 s s0 Correctio La première somme est le ombre total d esemble d élémets que l o peut former avec élémets. Pour former u tel esemble, il faut choisir pour chacu des élémets s il appartiet ou o à l esemble. Il y a doc u choix parmi deux possibilités pour chacu des élémets, soit 2 choix. La secode somme compare le ombre de s-uplets de cardial pair avec le ombre de p-uplets de cardial impair. Si est impair, le choix d u p-uplet pair reviet au choix d u ( p)-uplet impair. Il y a doc autat de p-uplet pair que de p-uplet impair. Si est pair, il y a d après ce que l o viet de voir autat de p-uplet pairs e coteat pas que de p-uplets impairs e coteat pas. U p-uplet pair coteat est la même chose qu u p-uplet impair e coteat pas. Il y e a doc autat que de p-uplets pairs e coteat pas ; ce qui est aussi le ombre de p-uplets impairs coteat. Alterativemet, o peut remarquer que la deuxième somme est le développemet de (1 1). 7
2 Fodatios axiomatiques des probabilités 2.1 Lagage de la théorie des esembles O rappelle que si X est u esemble, o peut effectuer les opératios d itersectio, uio et passage au complémetaire sur les parties de X. O dit qu u esemble est déombrable s il est fii ou s il peut s écrire sous la forme X {x 1, x 2, x 3 }. 2.2 Espace des évéemets et probabilités O cosidère u esemble Ω, que l o appelle l uivers aisi qu u sous-esemble T des parties de Ω vérifiat les propriétés suivates : 1. T est o-vide. 2. Si A T (doc A Ω) alors le complémetaire Ā de A das Ω est aussi das T. 3. Si A {A 1, A 2 } est u esemble déombrable d élémets de T, alors l uio de tous les A i est égalemet das T. Das le cas, fréquet das ce cours, où l esemble Ω est u esemble fii, o peut remplacer la troisième coditio par la coditio suivate : si A et B sot das T, alors A B est das T. U sous-esemble T vérifiat les propriétés ci-dessus est appelé ue tribu sur les parties de Ω. Les élémets de T sot appelés les élémets de l espace des évéemets. Notos que d après la première propriété de T, il existe u élémet A T. D après la deuxième, le complémetaire Ā de A est das T. D après la troisième, l uio A Ā Ω est das T. L esemble Ω tout etier est doc toujours das T. So complémetaire, l esemble vide, est doc égalemet toujours das T. Ue probabilité sur (Ω, T ) est ue foctio qui associe à u évéemet (doc à u élémet A T ) u ombre réel et qui vérifie les propriétés suivates : 1. Pour tout A T, 0 p(a) 1. 2. p(ω) 1. 3. Si A {A 1, A 2 } est u esemble déombrable d élémets de T deux à deux disjoits, alors : p(a 1 A 2 ) p(a i ) Das le cas, fréquet das ce cours, où l esemble Ω est u esemble fii, o peut remplacer la troisième coditio par la coditio suivate : si A et B sot das T et A B, alors p(a B) p(a) + p(b). O appelle espace probabilisé la doée de (Ω, T, p). Ces propriétés impliquet que p( ) 0, que p(ā) 1 p(a) et que p(a B) p(a) + p(b) p(a B). 8
2.3 Trois exemples fodametaux 2.3.1 La situatio fiie équiprobable Cosidéros la situatio où Ω est l esemble fii des évetualités possibles d ue expériece combiatoire. Preos pour T l esemble des parties de Ω. Défiissos p par la formule p(a) A / Ω. Alors (Ω, T, p) vérifiet toutes les propriétés des fodatios axiomatiques des probabilités. Exemples : 1. Pour modéliser le lacer d u dé équilibré, o peut predre Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La probabilité de tirer u 6 est alors p({6}) 1/6. La probabilité de tirer u 3 ou u 4 est p({3, 4}) 2/6 1/3. La probabilité de tirer u ombre pair est p({2, 4, 6}) 3/6 1/2. 2. Pour modéliser le lacer de deux pièces équilibrées, o peut predre Ω {P P, P F, F P, F F }. 3. Pour modéliser le choix d u groupe de trois persoes (sas ordre) das u groupe de 20 (dot 14 hommes et 6 femmes), o peut predre Ω {groupes de 3 persoes ( parmi ) ( 20}. ) 19 20 Alors la probabilité que ce groupe cotiee ue persoe x doée est p(a) /. ( ) 2 ( ) 3 14 20 La probabilité qu u groupe e cotiee que des hommes est p(b) /. La 3 3 probabilité qu u groupe e cotiee que des hommes ( ) ( et ue ) persoe x doée est p(a 13 20 B) 0 si x est pas u homme et p(a B) / si x est u homme. 2 3 2.3.2 La situatio fiie podérée C est la même situatio que das la situatio fiie équiprobable, mais o e suppose plus que p est défiie par p(a) A / Ω. Exemples : 1. Deux joueurs de pig-pog ot remarqué que lorsqu ils jouet l u cotre l autre, A gage 2 fois sur 3 cotre B. Ils décidet de jouer trois parties cosécutives et de déclarer vaiqueur celui qui aura remporté deux parties. O peut predre pour Ω l esemble suivat : {Mots de trois lettres formés des lettres A et B} Mais alors, la probabilité de p(aaa) est (2/3) 3 tadis que la probabilité de BBB est (1/3) 3. La probabilité que A l emporte est p(aaa) + 3p(AAB). 2. Certaies particules élémetaires s appellet des bosos (par exemple les photos, le oyau de l atome de Carboe, le oyau de l atome d Hélium) tadis que d autres s appellet des fermios (par exemple les électios et les protos). Si l o cosidère p bosos pouvat occuper états physiques ( discerables, ) la probabilité que le système physique etier soit das u état + p 1 doée est 1/. Si l o cosidère p fermios pouvat occuper états physiques p ( discerables, la probabilité que le système physique etier soit das u état doée est 1/. p) Si l o compare à la situatio combiatoire, ceci motre d ue part que les bosos et les 9
fermios sot par ature idiscerables et d autre part que deux bosos ou plus peuvet occuper le même état alors que deux fermios sot toujours das des états disticts. 2.3.3 La situatio ifiie déombrable Das cette situatio Ω est ifiie mais déombrable. Les élémets de Ω peuvet doc être idetifiés si o le souhaite avec N. O pred pour T l esemble des parties de A. La probabilité p doit vérifier l équatio : p() p(0) + p(1) + p(2) + p(3) + 1 0 E particulier, pour tout ε > 0, l esemble des ω tel que p(ω) ε est fii. E effet, das le cas cotraire, l iégalité N p() ε {0 ω N p(ω) ε} 0 motre que la somme des p(ω) de 0 à N est plus grade que 1 pour N assez grad. Exemples : 1. p() e 1 1! 2. Cosidéros la situatio où u joueur lace ue pièce jusqu à tomber sur pile et compte le ombre de lacers qu il doit faire. A priori, o e peut exclure le fait que la pile e tomber jamais sur pile, et doc que le ombre de lacers sera ifii. O peut modéliser cette situatio e preat p() 1/2 et vérifier que la somme des probabilités est bie 1. 3. Plus gééralemet, o peut associer ue probabilité aux élémets de N à partir de toutes séries (absolumet) covergetes e ormalisat la somme de la série. Par exemple, la foctio p défiie par est ue probabilité. p : N [0, 1] { 0 si 0 6 π 2 si > 0 2 3 Probabilités coditioelles 3.1 Fodatios axiomatiques des probabilités coditioelles 3.1.1 Défiitio O cosidère Ω u esemble, T ue tribu sur les parties de Ω et p ue probabilité sur T. Soit B u évéemet. L esemble T B des parties de Ω défii par {A B A T } est alors ue tribu sur les parties de B. Si de plus p(b) 0, alors p( B) défiie par p( B) : T B R A p(a B) p(b) 10
est ue probabilité sur T B. O appelle la probabilité p( B)la probabilité coditioelle à B. Ituitivemet, elle mesure la probabilité qu u évéemet A se produise sachat que l évéemet B s est produit. Exemples : 1. Quatre objets discerables sot placés das quatre ures discerables. Sachat que B les deux premiers objets sot das des ures distictes, calculos la probabilité que A trois objets soiet das la même ure (o suppose que tous les arragemets sot équiprobables). Trois objets sot das la même ure si et seulemet si les deux objets restats sot placés das l ure du premier objet ou das l ure du deuxième objet. Deux ragemets covieet doc sur les 4 2 16 ragemets possibles. La probabilité p(a B) que trois objets soiet das la même ure est doc 1/8. Par ailleurs, p(b) est bie 3/4 et la probabilité de A B est bie 3/32. 2. Soit ue famille ayat deux efats. Sachat que B cette famille a u garço, quelle est la probabilité que A les deux efats soiet des garços (o suppose que tous les arragemets familiaux possibles sot équiprobables)? Ituitivemet, o a evie de répodre que cette probabilité est 1/2, car le sexe de l u des efats a pas a priori d icidece sur le sexe de l autre efat. Nous allos voir que otre ituitio est pas boe. E effet, p(b) 3/4 et p(a B) p(a) 1/4. Doc p(a B) 1/3. Notre erreur proviet du fait que les trois répartitios possibles des sexes de deux efats (à savoir fille/fille, fille/garço et garço/garço) e sot pas équiprobables. La formule p(a B) p(a B)p(B) permet de déduire la probabilité d ue itersectio de la probabilité coditioelle. Il est istructif de la gééraliser au cas d ue itersectio multiple. p(a B C) p(a (B C)) p(a B C)p(B C) p(a B C)p(B C)p(C) Imagios que C C D das les équatios précédetes. O obtiet alors : Et plus gééralemet : p(a B C D) p(a (B C D)) p(a B C D)p(B C D) p(a B C D)p(B C D)p(C D) p(a B C D)p(B C D)p(C D)p(D) ( ) i 1 p A i p(a 1 ) p A i i2 j1 A j (1) 3.1.2 Idépedace Lorsque p(a B) p(a), o dit que les évéemets A et B sot idépedats. Si p(a) 0 et si A et B sot idépedats, alors p(a B) p(a B) p(b) p(a) doc p(b) p(a B) p(a) p(b A) doc B et A sot idépedats. Lorsque deux évéemets sot idépedats : p(a B) p(a)p(b) Plus gééralemet, si A 1,, A sot des évéemets mutuellemet idépedats, la formule (1) doe : ( ) p A i 11 A i
Ces relatios e demeuret bie évidemmet pas vraies si A et B e sot pas idépedats. 3.2 Deux théorèmes fodametaux 3.2.1 Formule des probabilités totales Théorème 1. Soit A u évéemet et (B i ) 1 i ue famille d évéemets disjoits telle que p( B i ) 1. Alors : p(a) p(a B i )p(b i ) Démostratio. Si i j, alors B i B j. Doc, (A B i ) (A B j ) Doc : p((a B i ) (A B j )) p(a B i ) + p(a B j ) p(a B i )p(b i ) + p(a B j )p(b j ) Soit C le complémetaire de l uio des B i. Alors p(c) 0. Doc : p(a) p((a C) (A B i )) p(a C) + p(a B i ) p(a B i ) p(a B i )p(b i ) U cas fréquet d applicatio de ce théorème est celui où l o pred (B i ) (B, B). 3.2.2 Formule de Bayes Théorème 2. Soit A et B deux évéemets tels que p(a)p(b) 0. Alors : p(a B)p(B) p(b A)p(A) Démostratio. E effet, les deux membres de l équatio sot égaux à p(a B). Exemple : Chaque jour, la probabilité que le RER arrive e retard est de 1/4. Lorsque le RER arrive e retard, u étudiat arrive e retard à so cours avec ue probabilité de 9/10. Lorsque le RER arrive à l heure, cet étudiat arrive à e retard à so cours avec ue probabilité de 1/5. Aujourd hui, l étudiat est arrivé à l heure. Quelle est la probabilité que le RER soit arrivé e retard? Soit A l évéemet l étudiat arrive à l heure et B l évéemet le RER arrive e retard. D après l éocé, p(a B) 1/10, p(a B) 4/5 et p(b) 1/4. Doc : D après la formule de Bayes : p(a) p(a B)p(B) + p(a B)p( B) 1 1 10 4 + 4 3 5 4 5 8 p(b A) p(a B) p(b) p(a) 1 1 8 10 4 5 1 25 12
3.3 Exemples Prévalece d ue allèle récessive das ue populatio hétérozygote Das ue populatio, eviro 5% des hommes sot daltoies. Supposos que le daltoisme soit lié à la présece d ue certaie allèle récessive sur le chromosome X. Nous allos détermier la prévalece de cette allèle parmi les chromosomes X de la populatio, e déduire la proportio des femmes touchées par le daltoisme, puis la proportio des persoes touchées, et efi la probabilité qu ue persoe daltoiee soit u homme. Notos H l évéemet être u homme, F l évéemet être ue femme, D l évéemet être daltoie, X 1 l évéemet porter l allèle sur le premier chromosome X et X 2 l évéemet porter l allèle sur le secod chromosome X. Alors p(d H) p(x 1 H) 1/20. Il est raisoable de cosidérer que les évéemets X 1 et H sot idépedats, que les évéemets X 1 et F sot idépedats, que les évéemets X 1 F et X 2 F sot idépedats et efi que la probabilité p(x 2 F ) est égale à p(x 1 ). Das ces coditios, p(x 1 ) 1/20 et De plus : p(d F ) p(x 1 X 2 F ) p(x 1 F X 2 F ) p(f ) p(x 1 F )p(x 2 F ) p(f ) p(x 1) 2 p(f ) p(f ) p(x 1 ) 2 1 400 p(x 1 F )p(x 1 ) p(f ) p(d) p(d M)p(M) + p(d F )p(f ) doc p(d) 20 800 + 1 800 21/800 et p(m D) p(d M)p(M) p(d) doc p(m D) 5 800 200 21 20/21. Cotrôle de qualité das ue chaîe de motage Ue chaîe de motage est formée de trois machies A, B et C. Elles produiset respectivemet 25%, 35% et 40% de la productio totale de l usie. De plus, 5%, 4% et 2% de leur productios respectives présetet u défaut. U objet est choisi au hasard et l o costate qu il est défectueux. Quelle est la probabilité qu il proviee de la machie A? D après la formule des probabilités totales : Doc : p(d) p(d A)p(A) + p(d B)p(B) + p(d C)p(C) 1 1 20 4 + 1 25 p(a D) p(d A) p(a) p(d) 1 20 2000 25/69 36% 69 4 7 20 + 1 2 50 5 69/2000 Boite de chocolats Ue boite de chocolat divisée e 6 compartimets cotiet u ombre icou, mais compris etre 0 et 5, de chocolats. O suppose que toutes les valeurs possibles du ombre de chocolat sot équiprobables et que toutes les répartitios sot équiprobables. Vous vous approchez du paquet pour predre u chocolat das le compartimet 1. Quelle est votre probabilité d attraper effectivemet u chocolat? Juste avat de tedre la mai, quelqu u vous passe devat et pred u chocolat das le compartimet 1. Quelle est maiteat votre probabilité d attraper u chocolat das le compartimet 2? O ote i l évéemet Il y a u chocolat das le compartimet i et l évéemet Il y a chocolats das la boite. Notos que par symétrie (ou par le calcul), la probabilité p(i) e déped 13
( pas de i. ) Das ( ue répartitio coteat chocolat, la probabilité que le compartimet a soit plei 5 6 / 1 ) 2. Doc la probabilité p(1) de trouver u chocolat das le compartimet 1 est : p(1) 5 p(1 )p() 0 ( ) 5 5 1 ( ) 6 6 0 5/12 0, 41 Calculos maiteat p(2 1). Das ue répartitio coteat ( ) chocolats, ( la probabilité que les 4 6 deux compartimets 1 et 2 soiet pleis est p(1 2 ) /. Doc : 2 ) p(1 2) p(2 1) p(1) ( ) 4 5 12 2 ( ) 0 6 30 8/15 0, 53 De faço peut être cotre-ituitive, voir quelqu u mager u chocolat de la boite juste avat ous augmete doc otre probabilité de mager u chocolat. 4 Variable aléatoire 4.1 Défiitio Ue variable aléatoire est ue foctio défiie sur u espace probabilisé. Si X est ue variable aléatoire à valeurs das u esemble E déombrable, alors la foctio p(x ) : E [0, 1] x E p(x x) est ue foctio sur E à valeurs das [0, 1] que l o appelle la distributio de X. Si f est la distributio d ue variable aléatoire X à valeurs das u esemble E déombrable, alors : f(x) 1 x E Si X est ue variable aléatoire sur (Ω, T, p) et si B T est de probabilité o-ulle alors X défiit par restrictio à (B, T B, p( B)) ue variable aléatoire X B sur (B, T B, p( B)). La distributio de X B est p(x B). 2 O rappelle que le coefficiet biomial est ul si p est strictemet égatif. p«14
Soit X et Y deux variables aléatoires sur (Ω, T, p) à valeurs das E et F déombrables. La distributio joite de X et de Y est la foctio p(x, Y ) : E F [0, 1] (x, y) E F p(x x Y y) La formule p(x x) y Fp(X x Y y) motre que la distributio joite de X et Y détermie la distributio de X, et par symétrie celle de Y. E revache, la coaissace de la distributio de X et de celle de Y e doe e gééral aucue iformatio sur la distributio joite de X et Y. Soit F le sous-esemble {f F p(y f) > 0}. La distributio coditioelle de X coaissat Y est la foctio p(x Y ) : E F [0, 1] (x, y) E F p(x x Y y) Lorsque p(x Y ) est égal à la foctio p(x )p(y ), o dit que les variables aléatoires X et Y sot idépedates. Exemples : 1. O lace 3 dés à six faces. Soit Ω {1,, 6} 3. Les valeurs D 1, D 2 et D 3 obteues sur chaque dé sot des variables aléatoires sur l espace probabilisé (Ω, P(Ω), p) à valeurs das {1,, 6}. Les trois distributios de ces variables vérifiet f(i) 1/6 et sot doc égales. La variable aléatoire S D 1 + D 2 + D 3 est à valeur das {3,, 18}. La variable aléatoire Q D 1 /D 2 est à valeur das [0, 6] (par exemple) mais sa distributio g vérifie g(x) 0 si x / {a/b (a, b) {1,, 6}}. La variable aléatoire N égale au ombre de 6 obteus est à valeurs das {0, 1, 2, 3}. Les variables aléatoires D 1 et D 2 sot idépedates tadis que les variables aléatoires S et N e le sot pas : p(s 18 N 3) 1 alors que p(s 18)p(N 3) 1/6 9. 2. U étudiat estime avoir euf chaces sur dix d obteir la moyee à chacu de ces 5 exames. Le ombre d exame où il aura effectivemet obteu la moyee est ue variable aléatoire X sur (Ω {0, 1} 5, P(Ω), p) à valeurs das {0,, 5}. Elle vérifie p(x 0) 1/10 5 et p(x 3) 99%. 3. Chaque aée, u coducteur à ue probabilité x d avoir u accidet. La foctio X doat le ombre d aées avat so prochai accidet est ue variable aléatoire sur (N, P(N), p). Ici, o e précisera pas ce qu est la probabilité p ; ce serait possible mais assez délicat. L évéemet X k sigifie que le coducteur a pas eu d accidets pedat k 1 aée puis qu il a eu u accidet l aée k. Doc p(x k) (1 x) k 1 x. 4.2 Lois fodametales 4.2.1 Loi équirépartie O dit qu ue variable X suit la loi équirépartie si X est à valeur das u esemble fii de cardial et si p(x x) 1/. 15
4.2.2 Tirage de Beroulli O dit qu ue variable X suit la loi B(p) de tirage de Beroulli de paramètre p si X est à valeur das {0, 1} et si p(x 1) p. 4.2.3 Loi biomiale O dit qu ue variable X suit la loi biomiale B(, p) de paramètres et p si X est à valeur das {0, } et si : ( p(x s) p s) s (1 p) s O remarque que la loi B(p) est la loi B(1, p) et que X suit la loi B(, p) lorsque X compte le ombre de succès (idetifié avec la valeur 1) das ue répétitio de tirages de Beroulli. 4.2.4 Loi géométrique O dit qu ue variable X suit la loi géométrique G(p) de paramètre p si X est à valeur das N et si p(x ) (1 p) 1 p. O remarque que X suit la loi géométrique lorsque X compte le ombre d essais avat le premier succès das ue répétitio de tirages de Beroulli. 4.2.5 Loi de Poisso O dit qu ue variable X suit la loi de Poisso P (λ) de paramètre λ si X est à valeur das N et si : 4.2.6 Loi hypergéométrique λ λ p(x ) e! O dit qu ue variable X suit la loi hypergéométrique H(N,, p) de paramètres N, et p si X est à valeur das {0, } et si : ( ) ( ) N s p(x s) Np s ) ( N Np Cosidéros u tirage (sas remise) de boules d ue ure coteat( N ) boules, N r Np état N rouges et N N(1 p) état oires. Le ombre de tels tirages est. Soit P le ombre de tels tirages coteat exactemet s boules rouges. U tel tirage cotiet exactemet s boules oires choisies parmi N(1 p) et s boules rouges choisies parmi Np. Doc ( ) ( ) Np N(1 p) P s s 16
et la probabilité qu u tirage comporte exactemet s boules rouges est : ( ) ( ) Np N(1 p) s s p ( N ) N r!n!!(n )! s!(n r s)!( s)!(n + s)!n!! s!( s)! (N )! (N r s)!(n N r + s)! ( ) ( ) N s Np s ( N Np ) N r! N!(N r s)! O remarque doc que X suit la loi H(N,, p) lorsque X compte le ombre de boules rouges tirées das u tirage (sas remise) de boules d ue ure coteat N boules, Np état rouges. 4.3 Espérace, variace 4.3.1 Espérace Soit X ue variable aléatoire à valeurs das R. L espérace de X est défiie par E(X) x Rxp(X x) (2) lorsque la somme précédete est covergete. L espérace est e particulier bie défiie lorsque la variable aléatoire X est à valeurs das u esemble fii avec probabilité 1. E effet, la somme (2) deviet das ce cas ue somme fiie. La défiitio motre égalemet qu ue variable aléatoire costate est égale à so espérace et réciproquemet qu ue variable aléatoire est égale à so espérace si elle est costate avec probabilité 1. Il est usuel d iterpréter l espérace de X comme la valeur moyee de X mais il est pas si facile de doer u ses précis à cette assertio. Théorème 3. Soit X, Y deux variables dot les espéraces sot défiies. Alors E(X +Y ) est défiie et E(X + Y ) E(X) + E(Y ). Démostratio. E(X + Y ) (x + y)p (X x Y y) (x,y) R 2 xp (X x Y y) + yp (X x Y y) (x,y) R 2 (x,y) R 2 x P (X x Y y) + x R y R y R y x RP (X x Y y) Or : Doc : (X x Y y) P (X x), y RP P (X x Y y) P (Y y) x R E(X + Y ) E(X) + E(Y ) 17
L espérace est doc liéaire, ce qui sigifie que E(aX + by ) ae(x) + be(y ) pour tous réels a, b et toutes variables aléatoires X, Y. 4.3.2 Covariace, variace Soit X et Y deux variables aléatoires telles que X 2 et Y 2 aiet ue espérace. La covariace de X et de Y est alors l espérace de (X E(X))(Y E(Y )). Soit : Cov(X, Y ) E ((X E(X)(Y E(Y )))) Par additivité de l espérace, la covariace de X et Y est aussi E(XY ) E(X)E(Y ). E particulier, si X et Y sot idépedates alors Cov(X, Y ) 0. La réciproque est pas vraie e gééral : il existe des variables aléatoires de covariace ulle et qui e sot pas idépedates. La covariace de X avec elle-même s appelle la variace et est otée Var(X). Par additivité de l espérace, Var(X) est égale à E(X 2 ) E(X) 2. Par défiitio, la variace est l espérace d ue variable aléatoire positive ou ulle doc est positive ou ulle. Ceci motre que E(X 2 ) E(X) 2. E cas d égalité, la variable aléatoire (X E(X)) 2 est ulle doc X est égale à so espérace avec probabilité 1, ou de maière équivalete, X est costate avec probabilité 1. Théorème 4. Soit X 1,, X des variables aléatoires dot les variaces sot défiies. Soit S la somme des X s. Alors : Var(S ) Cov(X s, X t ) Var(X s ) + 2 s1 s<t E particulier, si les X s sot mutuellemet idépedates, alors : Démostratio. E effet : E(S ) Var(S ) E(Xs 2 ) s1 ( E(X s ), (S E(S )) 2 (X s E(X s )) s1 Doc : (S E(S )) 2 s E(X s )) s1(x 2 + 2 (X s E(X s ))(X t E(X t )) s<t E preat les espéraces des deux côtés de l équatio précédete, o obtiet la première assertio. La secode s e déduit car la covariace de deux variables aléatoires idépedates est ulle. La variace est pas liéaire. Le théorème précédet motre que Var(aX + b) a 2 Var(X). s1 ) 2 4.3.3 Coefficiet de corrélatio La formule Cov(aX, ay ) a 2 Cov(X, Y ) motre que la variace d ue variable aléatoire correspodat à ue gradeur physique ayat ue uité déped du choix de l uité. Pour éviter, cet effet fâcheux, il est commode d itroduire le coefficiet de corrélatio Cor(X, Y ) défii par : Cor(X, Y ) Cov(X, Y ) Var(X) Var(Y ) 18
Alors Cor(aX + b, cy + d) Cor(X, Y ). Si X et Y sot des variables aléatoires idépedates, alors Cor(X, Y ) 0. Notos que la réciproque est pas vraie : si Cor(X, Y ) 0, tout ce que l o peut coclure est que l ue des variables est pas ue foctio liéaire de l autre. D u poit de vue scietifique, il est égalemet importat de distiguer corrélatio et explicatio : par exemple, la cosommatio mesuelle de glaces est fortemet corrélée à la fréquece des accidets d avios liés aux oiseaux das les aéroports fraçais sas pour autat que l o puisse supposer que ce sot les glaces qui provoquet des accidets d avios ou réciproquemet que les accidets d avios fot acheter des glaces. La raiso est tout simplemet que les ges maget plus de glaces l été et qu il y a plus d oiseaux e Frace l été que l hiver. 4.4 Espérace et variace des lois fodametales 4.4.1 Loi équirépartie Soit X suivat la loi équirépartie à valeurs das {1,, }. Alors : E(X) s p(x s) 1 s + 1 2 s1 Ceci motre que si les correcteurs otaiet au hasard etre 0 et 20, alors les cadidats pourraiet espérer obteir la moyee à leurs exames (l espérace de la variable aléatoire N qui représete la ote état alors e effet égale à 10). La variace de X est défiie par : 4.4.2 Tirage de Beroulli Var(X) E(X 2 ) E(X 2 ) 1 s1 ( ) 2 + 1 s 2 2 s1 ( + 1)( 1) 12 La défiitio motre directemet que l espérace d u tirage de Beroulli est p et que la variace d u tirage de Beroulli est p(1 p). 4.4.3 Loi biomiale Soit X suivat la loi biomiale. Par défiitio : ( E(X) s p s) s (1 p) s s0 O peut calculer l espérace de X e évaluat cette somme (par exemple e recoaissat la somme d ue dérivée et d ue série biomiale). Il est éamois beaucoup plus aisé de remarquer que X est la somme de tirages de Beroulli. Doc E(X) p d après le théorème 3. De même : Var(X) ( ) s 2 p s (1 p) s 2 p 2 s s0 A ouveau, o peut évaluer cette somme (par exemple e recoaissat ue combiaiso liéaire d ue dérivée secode, d ue dérivée première et d ue série biomiale). Il est éamois beaucoup 19
plus aisé d appliquer le théorème 4. Les tirages de Beroulli état idépedats, o obtiet aisi : 4.4.4 Loi géométrique Var(X) Var(X s ) p(1 p) s0 Soit X suivat la loi géométrique G(p) de paramètre p. Calculos l espérace (e la cosidérat implicitemet comme ue foctio de p) : E(X) ( ) s(1 p) s 1 p p (1 p) s s1 p ( ) 1 1 p p Le calcul de la variace est similaire mais u peu plus complexe : E(X 2 ) s1 s 2 (1 p) s 1 p p s(s 1)(1 p) s 1 + p (1 p) s 1 s1 p(1 p) s1 ( ) 1 + 1 p p 2 p p 2 s1 Doc : Var(X) 1 p p 2 4.4.5 Loi de Poisso Soit X ue variable suivat la loi de Poisso P(λ). Alors : E(X) p(x ) e 0 λe λ 0 λ 1! λe λ d dλ (eλ ) λ 0 λ λ λe λ d dλ! ( Ce résultat ous permets de décrire beaucoup de variables aléatoires suivat la loi de Poisso. Soit M u phéomèe aléatoire qui a les caractéristiques suivates : 1. Ue occurrece de M peut iterveir à tout momet. 2. Toutes les occurreces de M sot idépedates. 3. L espérace du ombre d occurreces de M pedat u itervalle de temps de logueur t est égale à λt. 0 λ! ) 20
Soit X la variable aléatoire qui compte le ombre d occurreces de M pedat u itervalle doé de logueur 1. Nous allos motré que X suit la loi de Poisso P(λ). Cosidéros e effet u autre variable aléatoire Y comptat le ombre d occurreces d u processus N vérifiat les mêmes propriétés que M. Soit u itervalle de temps de logueur 1. Supposos que le ombre totale d occurreces de M et N soit égal ( à) pedat cet itervalle. Il existe alors 2 distributios distictes des occurreces de M et N et distributios distictes ayat exactemet s occurreces de M. s Doc : p(x s X + Y ) 1 ( ) 2 s Or : p(x s X + Y ) p(x s Y s X + y ) Les variables X et Y sot idépedates doc : Doc : p(x s X + Y ) p(x s)p(y s) Appliquos l équatio précédete à s 0 et s 1. Alors : Doc : Soit ecore : p(x 0)p(Y ) p(x s)p(y s) p(x + y ) p(x + Y ) 2 p(x s Y s) p(x + Y ) ( s) p(x + Y ) p(x + Y ) 2, p(x 1)p(Y 1) 2 p(x 0)p(Y ) p(x 1)p(Y 1) 1 p(y ) 1 Notos µ p(x 1)/p(X 0). Alors : p(y ) µ La somme des probabilités doit être égales à 1 doc : 0 p(x 1) p(y 1) p(x 0) µ p(y 1) p(y 0)! µ p(y ) p(y 0)! p(y 0)eµ 1 0 Soit ecore : p(y 0) e µ µ µ, p(y ) e! La variable aléatoire Y suit doc la loi de Poisso P(µ). De plus, elle est d espérace λ par hypothèse. Doc µ λ. Par symétrie, la variable aléatoire suit égalemet P(λ). Le calcul ci-dessus motre égalemet que si X 1 et X 2 suivet toutes les deux des lois de Poisso de paramètres respectifs λ 1 et λ 2 et si X 1 et X 2 sot idépedates, alors X 1 + X 2 suit la loi de Poisso de paramètre P(λ 1 + λ 2 ). 21
Calculos maiteat E(X 2 ). λ 2 + λ Doc Var(X) λ. E(X 2 ) e λ s 2 λs s! λ s e λ s (s 1)! s0 s1 e λ λ s (s 1) (s 1)! + λ s e λ (s 1)! s1 s1 λ 2 e λ λ s 2 (s 2)! + λ s 1 λe λ (s 1)! s2 s1 4.4.6 Loi hypergéométrique Soit X ue variable suivat la loi hypergéométrique H(N,, p). O peut iterpréter X comme le ombre de boules rouges tirées das u tirage de boules rouges ou blaches (sas remplacemet). Doc X est la somme des variables aléatoires X s telles que X s 0 si la boule s est pas rouge et X s 1 si la boule s est rouge. Les boules jouat toutes le même rôle, les variables X s suivet toutes la même loi. Fixer s 1 motre que cette loi est u tirages de Beroulli. Doc : E(X s ) r r + b p, Var(X rb s) p(1 p) (r + b) 2 Doc E(X) p. La variable aléatoire X s X t est u tirage de Beroulli de probabilité de succès r(r 1)/(r + b)(r + b 1). Doc : Et : Cov(X s, X t ) rb (r + b) 2 (r + b 1) ( Var(X) p(1 p) 1 1 ) N 1 O remarque doc qu u tirage sas remplacemet à la même espérace et ue variace plus faible qu u tirage avec remplacemet. 4.5 Paradoxe du temps d attete 4.5.1 Motivatio et formalisatio U RER arrive e moyee toutes les 6 miutes. Si l o arrive au hasard sur le quai du RER, combie de temps va-t-o attedre e moyee? La répose à cette questio est cotre-ituitive et u peu déprimate : au miimum 3 miutes, et parfois bie plus. Nous verros que das certai cas, tout se passe comme si arriver au hasard sur le quai du RER reveait à arriver juste après le derier passage. Formalisos le problème de la maière suivate. L arrivée du i-ème RER est u évéemet aléatoire X i et o ote L i la variable aléatoire X i+1 X i. O suppose que toutes les variables L i suivet la même loi L et o suppose que Var(L) existe. L assertio comme quoi u RER passe e moyee toutes les miutes est l assertio que E(L). O ote A s, l évéemet arriver sur 22
le quai das la subdivisio [s, s + 1] d u itervalle de logueur sachat que l o sait que cet itervalle est de logueur. L hypothèse d arrivée au hasard sur le quai sigifie que la probabilité de A s, e déped pas de s. Soit T le temps d attete. O suppose pour simplifier que T A s, est s 1/2 (alterativemet, o pourrait cosidérer les évéemets A x, arriver e x [0, ] et poser T A x, x ; les deux modélisatios doet le même résultat). O cherche à calculer E(T ). 4.5.2 Deux exemples Supposos tout d abord que la variable aléatoire L soit costate. Sa valeur est alors égale à. La variable aléatoire T suit alors la loi équirépartie sur {1/2, 3/2, 1 1/2, 1/2} doc so espérace est /2. Supposos maiteat que la variable aléatoire L suive la loi géométrique G(p) ; ce qui serait le cas si au lieu d attedre le RER, o attedait le premier face das ue série de pile ou face e arrivat au hasard au milieu d ue série de lacers. Alors, au facteur 1/2 de ormalisatio près, T suit égalemet la loi géométrie G(p) doc E(T ) 1/p 1/2 E(L) 1/2. Das ce cas, o voit qu e arrivat au hasard, tout se passe comme si o veait de rater le derier RER. 4.5.3 Cas gééral Voici commet procéder e gééral. Soit I la variable aléatoire défiie par la logueur de l itervalle etre la derière et la prochaie occurrece de X observée par l observateur. La clé du problème est de compredre que I e suit pas la même loi que L. E effet, si p(l l 1 ) p(l l 2 ) avec l 1 < l 2, alors p(i l 1 ) p(i l 2 ) car u observateur arrivat au hasard a plus de chace d arriver das u itervalle plus log que das u itervalle plus court. Formellemet, I est ue variable aléatoire doc est ue foctio : Doc : I : (Ω, τ, p) (N, P(N), p ) p(i ) p ({}) 1 E(L) e I(e) x I 1 () p(x) p(l ) E(L) L observateur arrivat au hasard doc le temps d attete sachat que l itervalle observée est de logueur est équirépartie. Doc, pour 0 s 1 et t s + 1/2 p(t t I ) 1 Doc : Et doc : E(T ) t t0 t 1 E(L) 1 p(t t) t p(l ) E(L) p(l ) E(L) 1 1 (s + 1 )p(l ) E(L) 2 1s0 2 2 p(l ) E(L2 ) 2E(L) 23
Comme Var(L) E(L 2 ) E(L) 2 : 4.5.4 Coclusio et applicatios E(T ) E(L) 2 ( 1 + Var(L) ) E(L) 2 Le temps d attete observée est toujours supérieur à E(L)/2 et l égalité est réalisée si et seulemet si L est de variace ulle, doc costate. A espérace égale, mieux vaut toujours avoir ue variace faible si l o veut éviter d attedre. Lorsque L suit la loi géométrique, o retrouve bie que l espérace du temps d attete est égale à l espérace de la logueur de l itervalle etre deux RER mois 1/2. Lorsque L suit la loi de Poisso, l espérace du temps d attete est même égal à l espérace de la logueur de l itervalle etre deux RER. Das ce cas, arriver au hasard reviet doc systématiquemet à voir les portes se fermer juste devat soi. Le fait que le temps d attete soit toujours supérieur à l espérace du temps etre deux occurreces a des coséqueces importates e pratique. Tout d abord, cela explique pourquoi ous avos du mal à croire la RATP quad elle affirme qu il y a u RER toutes les 10 miutes aux heures de poite. E effet, ous avos tedace à croire que cela sigifie que ous attedros alors e moyee ciq miutes et ous veos de voir qu il e est rie. Esuite, si au lieu d imagier quelqu u e trai d attedre so RER, o imagie quelqu u qui mesure la fiabilité d ue istallatio. Attedre le prochai icidet et multiplier par deux surestimera la fiabilité du réseau ; ce qui est bie évidemmet dommageable pour la sécurité de l istallatio. Par exemple, si au momet de souscrire votre police d assurace, vous attedez votre prochai accidet puis vous multiplier le temps d attete par deux pour estimer combie d accidets vous aurez e moyee par a, vous souscrirez ue assurace qui e vous protégera pas assez. Das la mesure où beaucoup d accidets suivet la loi de Poisso, vous risquez même de predre ue police d assurace 2 fois trop laxiste. 4.6 Exercices 4.6.1 Lois biomiales itérées Éocé Supposos doée ue expériece dot le ombre de succès suit la loi biomiale B(, p). L objectif de cet exercice est de détermier la loi suivie par le ombre de succès si l o répète l expériece pour les istaces d échecs de la première expériece. U groupe de cadidats passet u exame. Pour chacu d etre eux, la probabilité de réussir est p 1/2 et celle d échouer est q 1 p. Soit X 1 la variable aléatoire qui compte le ombre de cadidats reçus. 1. Quelle est la loi de X 1 et quelle est so espérace? Les cadidats ayat échoués peuvet passer ue sessio de rattrapage. O ote X 2 le ombre de succès das la sessio de rattrapage. 2. (a) Motrer que si 0 r s, o a : p(x 2 r X 1 s) ( ) s p r q s r r (b) Motrer l égalité : ( )( s r s) ( ) ( r s r) (3) 24
(c) Motrer que : r p(x 2 r) p(x 2 r X 1 s)p(x 1 s) s0 (d) Déduire de la questio précédete et de l équatio (3) que X 2 suit la loi biomiale B(, pq). 3. E déduire la loi suivie par le ombre de succès das 3 itératios de ce procédé, puis par s itératios. Correctio 1. La variable aléatoire X 1 suit la loi biomiale B(, p). Doc E(X 1 ) p. 2. (a) Le ombre de succès obteus lorsque l o réalise s tirages de Beroulli idépedats suit ( la loi ) biomiale de paramètres B( s, p). La probabilité d obteir r succès est doc s p r r q s r. (b) Le terme de gauche de l équatio est le ombre de couples (a, b) où a est u choix de s élémets parmi et b u choix de r élémets parmi les s restats. Le terme de droite de l équatio est le ombre de couples (b, a) où b est u choix de r élémets parmi et a u choix de s élémets parmi les r restats. L applicatio (a, b) (b, a) est ue bijectio etre ces deux esembles doc ces deux ombres sot égaux. Alterativemet, o peut utiliser la défiitio : ( ) ( s r s) ( s)!! r!( s r)! s!( s)!! s!r!( r s)! ( ) ( ( r)!! r s!( r s)! r!( r)! s r) (c) Si X 2 r, alors {X 1 s} s0,1,..., r est u système complet d évéemets. O applique alors le théorème des probabilités totales pour obteir l égalité demadée. (d) O a : r p(x 2 r) p(x 2 r X 1 s)p(x 1 s) s0 r ( ) ( s p r q s r r s s0 r ( )( r s r s0 ( r ( r )(pq) r r s s0 ( ) (pq) r (p + q 2 ) r r ) p s q s ) p r+s q 2 2s r ) p s (q 2 ) ( r) s 25
Or pq + p + q 2 (p + q)q + p p + q 1. Si p 2 pq, o a doc bie : ( ) p(x 2 r) p r r 2(1 p 2 ) r Aisi, la variable aléatoire X 2 suit la loi biomiale B(, pq). Alterativemet, o peut remarquer que X 2 compte le ombre de succès das tirages de Beroulli idépedats pour lesquels le succès est défii par la combiaiso échec/réussite das deux passages d exames successifs, et doc dot la probabilité de succès est pq. 3. La variable aléatoire X 3 compte le ombre de succès das tirages de Beroulli idépedats pour lesquels le succès est défii par la combiaiso échec/échec/réussite et sui doc la loi biomiale B(, p(1 p) 2 ). Par le même raisoemet, la variable aléatoire X s suit la loi biomiale B(, p(1 ) s 1 ). 4.6.2 Variace des lois biomiales podérées Éocé L objectif de cet exercice est de démotrer que parmi les variables aléatoires comptat le ombre de succès das tirages de Beroulli idépedats et d espérace p, c est la loi biomiale (correspodat doc au cas où les tirages ot tous la même probabilité de succès) qui a la plus grade variace. Soit X 1, X 2,, X des tirages de Beroulli idépedats tels que la probabilité de succès de X i soit p i. Soit S la variable aléatoire égale à la somme des X i. 1. Calculer l espérace de S. 2. Calculer la variace de S. 3. Soit 0 p 1. Parmi toutes les distributios de p i telles que p i p quelle est celle telle que la variace de S soit maximale? Correctio 1. L espérace de X i est égale à p i doc : E(S) E(X i ) 2. Les variables aléatoires X i sot idépedates doc : Var(S) Var(X i ) p i p i (1 p i ) p i 3. D après la questio précédete, la distributio des p i maximisat la variace de S est celle qui miimise la somme des p 2 i sous la coditio que : p i p 26 p 2 i
Posos d i p i p. Alors : Miimiser d i 0 p 2 i sigifie miimiser miimiser (d i + p) 2 et ceci est équivalet à miimiser (d i + p) 2 p 2 car p 2 est costat. Or : (d i + p) 2 p 2 ( (di + p) 2 p 2) d 2 i ( ) d 2 i + 2pd i Cette derière somme état ue somme de termes positifs, elle est miimale si et seulemet tous les d i sot uls. La variace de S est doc maximale lorsque tous les p i sot égaux à p et doc quad S suit la loi biomiale de paramètres B(, p). Combié avec les résultats du paradoxe du temps d attete, cet exercice suggère que l Uivers fait tout pour que ous arrivios le plus e retard possible (e effet, le retard d u RER, et doc la variace de l itervalle etre deux RER peut être modélisé de maière réaliste par ue série de tirages de Beroulli représetat chacu la possibilité d u icidet etraîat u retard ; ue équipe de maiteace va aturellemet se cocetrer sur les icidets les plus fréquets et etraîat les retards les plus importats, ce qui aura pour tedatiellemet l effet d égaliser les espéraces des tirages de Beroulli, doc de maximiser la variace et doc de maximiser l espérace du temps d attete). 4.6.3 Loi d arrêt à pile ou face Éocé L objectif de cet exercice est de démotrer que si l o réalise ue série de lacers à pile ou face, le fait de s arrêter aléatoiremet ou de s arrêter dès que l o a obteu u face e chage i l espérace du ombre de piles, i l espérace du ombre de faces, i l espérace du ombre de lacers. E revache, cela chage radicalemet l espérace de la proportio du ombre de piles parmi tous les lacers. U joueur lace ue pièce équilibrée. Après chaque lacer, il décide aléatoiremet de relacer la pièce avec ue probabilité p 1/2 ou de s arrêter avec la même probabilité. O appelle u tirage la doée d ue suite de piles et de faces obteue par le laceur jusqu à ce qu il s arrête. La logueur d u tirage est le ombre de lacers effectués. O cosidère l espace probabilisé (Ω, P(Ω), p) où Ω est l esemble des tirages possibles. O admettra que sous ces coditios, la probabilité d obteir u certai tirage e déped que de la logueur de ce tirage et que la probabilité d obteir u tirage de logueur 1 est égale à 2 2. O ote P la variable aléatoire égale au ombre de piles qu il a obteus, F la variable aléatoire égale au ombre de faces obteues, N P + F la variable aléatoire égale au ombre de lacers effectués. 1. Vérifier que p est bie ue probabilité. 2. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N? Quelle est so espérace? 3. Soit 1 u etier. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire P (N )? Que vaut E(P N )? 27
4. Soit s 0 u etier. Motrer que : p(p s) 0p(P s N )p(n ) 5. Calculer E(P ) (ou pourra ou bie utiliser la formule des probabilités totales pour relier p(p x) à E(P N ) ou bie calculer d abord E(P + F )). 6. Motrer que : ( ) P E N 1s0 s p ( P N s ) N p(n ) p(n ) 1 E(P N ) 1 7. E déduire que : ( ) P E 1 N 2 O suppose maiteat que le joueur jette le dé jusqu à obteir u face, après quoi il s arrête. O ote P, F et N le ombre de piles, le ombre de faces et le ombre total de lacers. 8. Quel est la loi suivie par F? Quelle est l espérace de F? 9. Quel est la loi suivie par N? Quelle est l espérace de N? 10. E déduire l espérace de P. ( ) P 11. Motrer que l espérace E N vaut eviro 30, 6%. 12. Deux joueurs lacet leurs pièces côte à côte. Le premier suit la première règle, le secod la deuxième. a) Si le vaiqueur est celui qui obtiet le plus de piles, qui a le plus de chace de l emporter? b) Si le vaiqueur est celui qui obtiet le plus de faces, qui a le plus de chace de l emporter? c) Si le vaiqueur est celui qui obtiet la plus grade proportio de piles, qui a le plus de chace de l emporter? Correctio 1. Il suffit de vérifier que : T tirages possibles p(t ) 1 p(t de logueur ) 1 2. La variable aléatoire N compte le ombre d essais avat d obteir u succès das ue répétitio de tirages de Beroulli. Elle suit doc la loi géométrique G(p). So espérace est doc 1/p, soit 2. 3. La variable aléatoire P (N ) compte le ombre de pile das répétitio d u tirage de Beroulli. Elle suit doc la loi biomiale B(, p) et so espérace est p soit /2. 28
4. Soit s 0 u etier. La formule des probabilités totales appliquée à la partitio de Ω doée par les sous-esembles vérifiat N doe : p(p s) 0p(P s N )p(n ) 5. Nous doos deux solutios. Les variables aléatoires P et F jouet le même rôle das l éocé doc E(N) E(P + F ) E(P ) + E(F ) 2E(P ). Doc E(P ) 1. Alterativemet : E(P ) xp(p x) xp(p x N )p(n ) x0 1 x0 x01 p(n ) xp(p x N ) p(n )E(P N ) 1 p(n ) 2 0 2 +1 0 1 6. ( ) P E N s/ R s p ( P N s ) 1s0 p(n ) 1 E(P N ) 1 s p ( P N s ) N p(n ) 7. D après la questio précédete : ( ) P E p(n ) 1 N E(P N ) p(n ) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 8. La variable aléatoire F est costate égale à 1. So espérace est doc 1. 9. La variable aléatoire N compte le ombre d essais avat u succès das ue répétitio de tirages de Beroulli. Elle suit doc la loi géométrique G(1/2). So espérace est doc 2. 10. L espérace est additive doc E(N ) E(P + F ) E(P ) + E(F ) 1 + E(P ). Doc E(P ) 1. 11. Das u lacer du joueur 2, N est égale à P + 1. Doc : ( ) P ( P E N + 1 p N ) + 1 + 1 p(n + 1) 0 0 2 +1 1 log(2) 30, 6% ( + 1) 0 12. a) L espérace de P est égale à l espérace de P. Les deux joueurs ot doc autat de chace de l emporter l u que l autre. 1 1 29
b) L espérace de F est égale à l espérace de F. Les deux joueurs ot doc autat de chace de l emporter l u que l autre. c) E revache, E ( ) ( ) P N 1/2 tadis que E P N 0, 36. Il est doc très ettemet avatageux de parier sur le premier joueur. 30