Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai. Ces températures ( à l istat t ) sot respectivemet otées α(t) et β(t). Le temps t est exprimé e secodes et le températures e C. Partie A : 5,5 pt Les températures α(t) et β(t) vérifiet les coditios suivates : (1) : α (t) = -0,011 ( α(t) - β(t) ) (2) : β (t) = 0,021 ( α(t) - β(t) ) avec α(0) = 40 β(0) = 10 ❶ O pose f(t) = α(t) - β(t) ; 1 pt ❶ a ) Vérifier que f est ue solutio de l équatio différetielle : y + 0,032 y = 0 ; 1 pt ❶ b ) Résoudre l équatio précédete ; 1 pt ❶ c ) Calculer f(0) et motrer que f(t) = 30 e -0,032t ; ; ❷ Soit F la primitive de f qui vérifie F(0) = 0 ;. 1 pt ❷ a ) Exprimer F(t) e foctio de t ; 0,5 pt ❷ b ) A l aide de la coditio (2), justifier que β(t) = K + 0,021F(t) où K est ue costate 1 pt ❷ c ) Détermier K et doer ue expressio de β(t) e foctio de t ; Partie B : 6,5 pt Pour tout t das [ 0 ; + [ o pose : α(t) = 5 95 + 33e -4t 125 β(t) = 5 95-63e -4t 125 1,5 pt ❶ Détermier la limite de α aisi que celle de β e + ; que peut-o e déduire pour les courbes représetatives de ces foctios ; 2 pts ❷ Calculer la dérivée et doer les variatios de chacue des foctios α et β ; 1,5 pt ❸ Costruire les courbes représetatives des foctios α et β das u repère orthogoal ( sur papier millimétré ; uités graphiques : 1 cm pour 5 secodes e abscisse et 2 cm pour 5 C e ordoée ; o fera varier t etre 0 et 120 secodes ) ; 1,5 pt ❹ A partir de quel istat la différece de température etre le solide et le bai estelle iférieure à 1 C? ELSA Productios NANTES Septembre 2002 Page 1 http://i.scool.free.fr ; http://perso.waadoo.fr/elsaprod
EXERCICE II : (8 POINTS) U médium préted qu il peut souvet devier à distace la couleur d ue carte tirée au hasard d u jeu de cartes bie battu et comportat des cartes de deux couleurs différetes e ombre égal. O appelle p la probabilité que le médium doe ue répose juste ( succès ) lors d u tirage. Si le médium est u imposteur o a p = 1 / 2 ; sio p > 1 / 2. O appellera échatillo de taille toute réalisatio de tirages successifs d ue carte das le jeu, avec remise. Partie A : 5 pt O suppose p = 1 / 2 et o ote Y la variable aléatoire qui, à tout échatillo de taille, associe le ombre de succès du médium. ( o arrodira les probabilités au dix millième le plus proche ). ❶ Das cette questio o pred = 20 ; 1 pt ❶ a ) Quelle est la loi suivie par Y? Doer ses paramètres ; 1,5 pt ❶ b ) Calculer la probabilité P( Y = 15 ) ; ❷ Das cette questio o pred = 100. O admet que la variable Y peut-être approchée par ue variable aléatoire Z suivat ue loi ormale ; 1,25 pt ❷ a ) Préciser les paramètres de cette loi ormale ; 1,25 pt ❷ b ) Utiliser cette approximatio pour calculer P( Y > 60 ) ; Partie B : 3 pt O appelle F la variable aléatoire qui, à tout échatillo de taille, associe la fréquece des succès obteus par le médium au cours des tirages d ue carte. p( 1-p) O admet que F suit la loi ormale de moyee icoue p et d'écart-type O costruit u test uilatéral permettat de détecter pour u échatillo de taille = 100, au risque 5%, si le médium est u imposteur. O choisit comme hypothèse ulle H 0 : p = 1/2 ; et comme hypothèse alterative H 1 : p > 1/2 1,5 pt ❶ Calculer, sous l hypothèse H 0, le réel positif h tel que P( F 1/2 + h ) = 0,95 ; 1 pt ❷ Eocer la règle de décisio du test ; 0,5 pt ❸ Sur u échatillo de taille = 100, le médium a obteu 64 succès. Peut-o cosidérer, au risque 5%, que le médium est u imposteur? ELSA Productios NANTES Septembre 2002 Page 2 http://i.scool.free.fr ; http://perso.waadoo.fr/elsaprod
EXERCICE II : (8 POINTS) U médium préted qu il peut souvet devier à distace la couleur d ue carte tirée au hasard d u jeu de cartes bie battu et comportat des cartes de deux couleurs différetes e ombre égal.o appelle p la probabilité que le médium doe ue répose juste ( succès ) lors d u tirage. Si le médium est u imposteur o a p = 1 / 2 ; sio p > 1 / 2. O appellera échatillo de taille toute réalisatio de tirages successifs d ue carte das le jeu, avec remise. Partie A : O suppose p = 1 / 2 et o ote Y la variable aléatoire qui, à tout échatillo de taille, associe le ombre de succès du médium. ( o arrodira les probabilités au dix millième le plus proche ). O appellera échatillo de taille toute réalisatio de tirages successifs d ue carte das le jeu, avec remise. ❶ Das cette questio o pred = 20 ; ❶ a ) Quelle est la loi suivie par Y? Doer ses paramètres ;. 1 pt L expériece aléatoire qui cosiste, après chaque tirage, à cosidérer la répose du médiu, coduit à deux issues cotradictoires: S : répose juste ou succès avec la probabilité p = 0,5 ; S(barre) : répose fausse avec la probabilité q = 1 - p = 0,5 ; O peut cosidérer que les réposes doées par le médium sot idépedates les ues des autres sachat que la compositio des cartes est pas modifiée d u tirage sur l autre puisque les tirages ayat lieu avec remise e perturbe pas le rapport iitial de cartes rouges et oires. Aisi Y la variable aléatoire qui, aux 20 tirages de cartes, associe le ombre de réposes positives ( succès ) suit la loi biomiale B (, p ) c est à dire B ( 20, 0,5 ) De plus E(Y) = p = 20.0,5 = 10 et V(X) = p(1-p) = 20 0,5.0,5 = 5. ❶ b ) Calculer la probabilité P( Y = 15 ) ; 1,5 pt ( 0,5 ; 0,5 ; - 0,25 ) P(Y=15)= 20C15. 0,5 15. 0,5 15 = 20C15. 0,5 20. = 0,014785 0,014 8. ❷ Das cette questio o pred = 100. O admet que la variable Y peut-être approchée par ue variable aléatoire Z suivat ue loi ormale ; ❷ a ) Préciser les paramètres de cette loi ormale ; 1,25 pt Aisi Y la variable aléatoire qui, aux 100 tirages de cartes, associe le ombre de réposes positives ( succès ) suit la loi biomiale B (, p ) c est à dire B ( 100, 0,5 ). De plus E(Y) = p = 100.0,5 = 50 et V(X) = p(1-p) = 100 0,5.0,5 = 25. Coditios d approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale : >30 et pq 10 Puisque = 100 et V(X) = pq = 25 doc les coditios d approximatio de Y par ue loi ormale Z défiie par N ( 50 ; 5 ), avec E(Y) = E(Z) = 50 et σ(y) = σ(z) = 5. ❷ b ) Utiliser cette approximatio pour calculer P( Y > 60 ) ; 1,25 pt Soit T la variable aléatoire défiie par T = Z - 50 5 Z suit la loi ormale N 50, 5 équivalet à T suit la loi ormale N 0,1 Calcul de p( Y > 60 ) : Z > 60 équivalet à Z - 50 > 60-50 5 5 Z 60 équivalet à Z - 50 > 2 équivalet à T > 2 5 Aisi : p( Y > 60 ) = p( T > 2 ) = 1 - p( T 2 ) = 1 - (2) 1-0,977 2 = 0,222 8 Partie B : O appelle F la variable aléatoire qui, à tout échatillo de taille, associe la fréquece des succès obteus par le médium au cours des tirages d ue carte. O costruit u test uilatéral permettat de détecter pour u échatillo de de taille = 100, au risque 5%, si le médium est u imposteur. O choisit comme hypothèse ulle H 0 : p = 1/2 ; et comme hypothèse alterative H 1 : p > 1/2 Cosidéros la populatio P costituée par les tirages d ue carte das u jeu coteat autat de cartes rouges que de cartes oires. K la variable aléatoire qui à u tirage de carte associe la répose du médium ; la probabilité de répodre avec succès est otée p 0 covetioellemet. O estime que si p 0 > 0,5 le médium est pas u imposteur. ❶ Calculer, sous l hypothèse H 0, le réel positif h tel que P( F 1/2 + h ) = 0,95 ; CONSTRUCTION DU TEST UNILATÉRAL: ➀ LOI D ÉCHANTILLONNAGE : La variable aléatoire F qui, à tout échatillo de taille = 100, associe la fréquece des succès obteus par le medium au cours des = 100 tirages d ue carte, suit la loi ormale N p ; p( 1 - p) où p admet pour estimateur p ELSA Productios NANTES Septembre 2002 Page 3 http://i.scool.free.fr ; http://perso.waadoo.fr/elsaprod
2 HYPOTHESE À TESTER : ( hypothèse ulle ) la valeur stadard p 0 = 0,5 (H 0 ) hypothèse ulle : «p = p 0»et évetuellemet «p < p 0» ; de part les hypothèses du problème «le médium est u imposteur» 3 HYPOTHESE ALTERNATIVE - NATURE DU TEST : (H 1 ) : «p > p 0» c est à dire «le médium est pas u imposteur» et le test est uilatéral. 4 CONDITIONS DE REJET (H 0 ) AU RISQUE 5% : Remarque : il s agit de vérifier que la probabilité p de succès à savoir ici 64% appartiet ou o à u itervalle d acceptatio du type ] - 0,5 + h [, dot l amplitude déped du seuil de cofiace. Pour réaliser ce calcul ous disposos d u outil : c est la loi ormale qui, e foctio de ses caractéristiques p et σ(f) permettra de calculer cette amplitude. Sous l hypothèse (H 0) : p =p 0 doc F suit la loi ormale N ( 0,02, σ(f) ) ; σ(f) = 0,05 ; ❷ Eocer la règle de décisio du test ; Remarque : à partir de là deux méthodes sot précoisées : Première méthode : la coditio de rejet sera formulée sur la foctio F,sur u itervalle de valeurs prises par F ;. Secode méthode : la coditio de rejet sera formulée e utilisat la variable T = Y / σ(y) T variable suivat la loi ormale cetrée réduite. Première méthode 1,5 pt O recherche u itervalle du type ] - ; 0,5 + h [ tel que l o ait 95% de chaces d avoir p apparteat à cet itervalle, c est à dire p(f < 0,5 + h ) = 0,95 ; 1 pt E coclusio : Si p appartiet ] - ; 0,59 [: o accepte (H 0 ) au risque 5 % ; Si p appartiet pas à ] - ; 0,59 [ : o refuse (H 0 ) au risque 5 % ; Secode méthode : 1,5 pt p F suit la loi ormale N p 0, 0 ( 1 - p 0 ) équivalet à T= F - p 0 suit la loi ormale N 0,1 σ(y) Aisi : p( F 0,5 + h ) = 0,95 équivalet à p( T tα) = 0,95 ( tα) = 0,95 Par lecture das la table t α = 1,645 1 pt E coclusio : Si T 1,645 : o accepte (H 0 ) au risque 5 % ; Si T 1,645 : o refuse (H 0 ) au risque 5 % ; ❸ Sur u échatillo de taille = 100, le médium a obteu 64 succès. Peut-o cosidérer, au risque 5%, que le médium est u imposteur? ; 1 pt 5 MISE EN OEUVRE DU TEST : Première méthode : Calcul de ] - ; 0,5 + 1,645 0,05 [ = ] - ; 0,59 [ e hypothèse p= 0,64 puisque p > 0,59 ; o refuse (H 0 ) au risque 5 % Secode méthode : σ(f) = p 0 ( 1 - p 0 ) = 0,5 ( 1-0,5 ) 100 p F suit la loi ormale N p 0, 0 ( 1 - p 0 ) équivalet à T= F - p 0 suit la loi ormale N 0,1 σ(y) Aisi : p( F 0,5 + h ) = 0,95 équivalet à p( T tα) = 0,95 ( tα) = 0,95 Par lecture das la table t α = 1,645 Aisi : T 1,645 équivalet à F - 0,5 1,645 équivalet à : F - 0,5 1,645. 0,05 0,05 ou ecore : F 0,5 + 1,645. 0,05 ; F 0,5 + 0,083 Aisi l'itervalle d'acceptatio de l'hypothèse (H0) est : ] - ; 0,5 + h ] et h 0,09 calcul de t = p - p 0 p 0 ( 1 - p 0 ) = 0,64-0,5 0,5 ( 1-0,5 ) 100 = 2,8 ; = 0,05 puisque t > 1,645 o refuse (H 0 ) au risque 5 % 6 DÉCISION : Au risque 5 % o affirme que le médium est pas u imposteur. ELSA Productios NANTES Septembre 2002 Page 4 http://i.scool.free.fr ; http://perso.waadoo.fr/elsaprod
Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai. Ces températures ( à l istat t ) sot respectivemet otées α(t) et β(t). Le temps t est exprimé e secodes et le températures e C. Partie A : Les températures α(t) et β(t) vérifiet les coditios suivates : ❶ O pose f(t) = α(t) - β(t) ; ❶ a ) Vérifier que f est ue solutio de l équatio différetielle : y + 0,032 y = 0 ; Cosidéros le système (E) : α (t) = -0,011 (α(t) - β(t) ) ; β (t) = 0,021 (α(t) - β(t) ) ; f(t) = α(t) - β(t) ; α(0) = 40 ; β(0) = 10. Calcul de f (t) : f (t) = α (t) - β (t) = -0,011 f(t) - 0,021 f(t) = -0,032 f(t) ; doc f (t) = -0,032 f(t) ; doc f vérifie l équatio différetielle y + 0,032 y = 0 ; 1 pt ( 0,25 ; 0,75 ) ❶ b ) Résoudre l équatio précédete ; 1 pt La solutio géérale de (E) est l esemble des foctios f défiies sur [ 0, + [ par f(t) = C e -0,032t avec C costate réelle positive ❶ c ) Calculer f(0) et motrer que f(t) = 30 e -0,032t ; f(0) = C e -0,032 0 = C = α(0) - β(0) = 40-10 = 30 La solutio particulière de (E) est la foctio f défiie sur [ 0, + [ par f(t) = 30 e -0,032t. 1 pt ( 0,25 ; 0,25 ; 0,5 ) ❷ Soit F la primitive de f qui vérifie F(0) = 0 ;. ❷ a ) Exprimer F(t) e foctio de t ; Ue primitive de f(t) = 30 e -0,032t est F(t) = - 30 / 0,032 e -0,032t + k ; F(0) = 0 = - 30 / 0,032 e -0,032 0 + k = - 30 / 0,032 + k = 0. Doc k = 30 / 0,032. La primitive qui s aule pour t=0 est F(t) = 30 / 0,032 ( 1 - e -0,032t ) 1,5 pt ( 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ) ❷ b ) A l aide de la coditio (2), justifier que β(t) = K + 0,021F(t) où K est ue costate ; Puisque : β (t) = 0,021 f(t) doc par itégratio : β(t) = 0,021 F(t) + K 1 pt ❷ c ) Détermier K et doer ue expressio de β(t) e foctio de t ; Puisque β(t) = 0,021 F(t) + K doc : β(t) = 0,021 30 / 0,032 ( 1 - e -0,032t ) + K = 315/ ( 1 - e -0,032t ) + K Puisque β(0) = 315/ ( 1 - e -0,032 0 ) + K = K = 10 = 0 / Doc :β(t) = 315/ ( 1 - e -0,032t ) + 0 / = 315/ + 0 / - 315/ e -0,032t = 475/ - 315/ e -0,032t 1 pt ( 0,5 ; 0,5 ) Partie C : Pour tout t das [ 0 ; + [ o pose : ❶ Détermier la limite de α aisi que celle de β e + e déduire pour les courbes représetatives de ces foctios ; Etude de la limite de α et β quad t ted vers + : puisque lim e -0,032 t = 0 t + doc lim α(t) = 475 t + ; que peut-o Doc la courbe représetative de α et β admet pour assymptote la droite d équatio y = 475/ quad t ted vers + : 1,5 pt ( 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ) ❷ Calculer la dérivée et doer les variatios de chacue des foctios α et β ; 05 ptcalcul de la dérivée de α : par défiitio, α (x) = -0,011 (α(t) - β(t) ) = -0,011f(t) =-0,011 30 e -0,032 x ; 0,5 ptcalcul de la dérivée de β : par défiitio, β (x) = 0,021 (α(t) - β(t) ) = 0,021 f(t) = 0,021 30 e -0,032 x ; 0,5pt puisque e -0,032t > 0 pour t réel positif, doc α (t) < 0 pour t réel positif, doc la foctio α est strictemet décroissate pour t réel positif ; 0,5ptpuisque e -0,032t > 0 pour t réel positif, doc β (t) > 0 pour t réel positif, doc la foctio β est strictemet croissate pour t réel positif. ELSA Productios NANTES Septembre 2002 Page 5 http://i.scool.free.fr ; http://perso.waadoo.fr/elsaprod et α(t) = 5 95 + 33e β(t) = 5 doc lim β(t) = 475 t + -4t 125-4t 125 95-63e
2 pts ( 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ) Tableau de variatios : x 0 + x 0 + α (x) égatif β (x) positif α(x) 40 β(x) 475/ ❸ Costruire les courbes représetatives des foctios α et β das u repère orthogoal ( sur papier millimétré ; uités graphiques : 1 cm pour 5 secodes e abscisse et 2 cm pour 5 C e ordoée ; o fera varier t etre 0 et 120 secodes ) ; 1,5 pt ( 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ) ❹ A partir de quel istat la différece de température etre le solide et le bai est-elle iférieure à 1 C? 1,5 ❹ Résoudre f(t) l équatio 1 équivalet f(t) 1 das à 30 l itervalle ē 0,032t 1[ 0, + [ ; f(t) 1 équivalet à ē 0,032t 1 30 f(t) 1 équivalet à l ( ē 0,032t ) l ( 1 30 ) f(t) 1 équivalet à -0,032t l ( 1 30 ) f(t) 1 équivalet à t - 1 0,032 l ( 1 30 ) f(t) 1 équivalet à t 107 C ; - 1 0,032 l ( 1 30 ) 106,2 C 0,5 A partir de 107 s la différece de température etre la solide et le bai est iférieure à 1 C. 1,5 pt ( 1 ; 0,5 ) ELSA Productios NANTES Septembre 2002 Page 6 http://i.scool.free.fr ; http://perso.waadoo.fr/elsaprod
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0,2 0,19 0,18 0,17 0, 0,15 0,14 0,13 0,12 0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 Tirage de cartes au hasard Loi Biomiale B (, p ) ; =20 ; p= 0,5 p( X=k ) = f( x ) = 20! 0,5 x 0,5 20-x ( 20-x )! x! BTS Biochimie & Aalyses Biologiques 2001 N ( 10 ; 5 ) f( x ) = 20! ( 20-k )! k! ( 0,5) k ( 0,5) 20-k 1 5 2 exp - 1 2 x-10 5 2-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1-0,01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29-0,02 BTS Biochimie & Aalyses Biologiques 2001 N ( 50 ; 5 ) f( x ) = 1 5 2 exp - 1 2 x-50 5 2 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 ELSA Productios NANTES Septembre 2002 Page 8 http://i.scool.free.fr ; http://perso.waadoo.fr/elsaprod
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