EAME FIAL DE STATISTIQUES DESCRIPTIVES L1 ECO - SESSIO 1 - Correcton - Exercce 1 : 1) Questons à Chox Multples (QCM). Cochez la bonne réponse Classer ces statstques selon leur nature (ndcateur de poston ou de dsperson) Mnmum Moyenne Ecart-type Mode Ecart nterquartle Médane Premer quartle Coecent de varaton Poston Dsperson Consdérons un groupe de TD pour lequel la moyenne des notes est égale à 10 et la varance est égale à 9. Tros nouveaux étudants ayant respectvement 7, 14 et 17 s'nscrvent dans ce groupe. Quelle sera, selon vous, l'évoluton des statstques suvantes (sans calcul) : Moyenne Ecart-type Médane Mode Etendue Ecart nterquartle Augmentaton Dmnuton dentque Les données de l'exercce ne permettent pas de conclure 2) Après avor rappelé le prncpe de la méthode des mondres carrés permettant de trouver la drote d'équaton y=ax+b, poser le programme d'optmsaton assocé et trouver la valeur de b. La méthode des mondres carrés vse à explquer un nuage de ponts par une drote qu le y à x, telle que la dstance entre le nuage de ponts et drote est mnmale. Cette dstance matéralse l'erreur c'est à dre la dérence entre le pont réellement observé et le pont prédt par la drote. S la drote passe au mleu des ponts, cette erreur sera alternatvement postve et négatve, la somme des erreurs étant par dénton nulle. Ans, la méthode des mondres carrés consste à chercher la valeur des paramètres a et b qu mnmse la somme des erreurs élevées au carré. Mn n (y ŷ ) 2 = =1 n (y âx b) 2 = f(a, b) Pour trouver les valeurs â et b au mnmum de la foncton, on résoud le système : = 0 =1 δâ = 0 1
= 0 (dérver par rapport à b : u 2 2uu ) = ( 1) 2 (y ax b) = 0 (y ax b) = 0 y a x nb = 0 y = a x + nb ( on dvse par n) y = ax + b De la même manère, l est possble de montrer que a = cov(x,y). Exercce 2 : Le poste " produts pétrolers " comprend dérents bens ssus de l'hydrocarbure de base appelée pétrole brut. ous recensons tros prncpaux produts : essence, gazole et oul lourd. Le tableau suvant désgne les prx moyens annuels (en dollars par barl) de ces produts ans que les quanttés consommées (en mllers de barls par jour : b/j) en 2000 et 2005 en France. 2000 2005 quanttés prx quanttés prx Essence 320 1.025 250 1.500 Gazole 923 0.50 1000 1.02 Foul 13 0.424 120 0.723 1) Calculer l'ndce élémentare des prx du gazole en 2005 base 100 l'année 2000. L'ndce élémentare des prx du gazole en 2005 base 100 l'année 2000 est : I 05/00 (p g ) = 100 V 05 1, 02 = 100 V 00 0, 50 = 13, 4 Ans, entre 2000 et 2005, les prx ont augmenté de 3,4%. 2) Calculer, pour le gazole, le taux de crossance annuel moyen des prx entre 2000 et 2005. Le taux de crossance annuel moyen (TCAM, noté g) est le taux qu, applqué chaque année durant cette pérode (5 années), condut à une aumgmentaton de 100% à l'ssue des 8 années. Le TCAM est donc égal à 9%. p 05 = (1 + g) 5 p 00 = 1, 34p 00 g = 1, 34 1/5 1 = 0, 103 3) Qu'est ce qu'un ndce synthétque de Paasche et de Laspeyres. Comment sont-ls construts pour les prx et pour les quanttés? Juster. Vor le cours pour la dénton et la constructon. 4) Calculer et nterpréter l'ndce de Laspeyres des prx des produts pétrolers en consdérant l'année 2000 comme référence. p 05 q 00 1, 5 320 + 1, 02 923 + 0, 723 13 L 05/00 (p) = 100 = 100 = 158, 13 p 00 q 00 1, 025 320 + 0, 50 923 + 0, 424 13 2
Ans, s les quanttés étaent restées dentques entre 2000 et 2005, la valeur globale (p*q) aurat augmenté de 58,13% : en d'autres termes, l'mpact des prx sur la valeur globale condut à une augmentaton de cette dernère de 58,13%. 5) Calculer l'ndce élémentare des valeurs globales en 2005 base 100 année 2000. A partr de ce résultat, que pouvez vous en dédure (sans calcul) à propos de la valeur de l'ndce de Laspeyres des quanttés (Année 2000 comme référence)? Juster votre réponse. p 05 q 05 1, 5 250 + 1, 02 1000 + 0, 723 120 V G 05/00 (p) = 100 = 100 p 00 q 00 1, 025 320 + 0, 50 923 + 0, 424 13 = 154, Ans, compte tenu des évolutons des prx et des quanttés entre 2000 et 2005, la valeur globale a augmenté de 54,%. L'évoluton assocée à la seule varaton des prx est supéreure à celle observée lorsque l'on consdère l'évoluton des prx et des quanttés, cela suppose donc qu'en consdérant seulement l'évoluton des quanttés nous aurons observé une dmnuton de la valeur globale. L'ndce de Laspeyres des quanttés est donc nféreur à 100. ) Les nstances Européennes décderaent le cas échéant de remplacer ce type de gazole par un bocarburant fablement consommé en France (2000 b/j en 2000 et 2500 b/j) commercalsé à des prx de 2.5en2000et2.55 en 2005. Quel sera l'mpact sur l'ndce? Pourquo? (cet organsme calcule son ndce de prx à l'ade de l'ndce de Laspeyres) L'ndce de Laspeyres prx va basser s on tent compte du remplacement du gazole par le bocarburant. En eet, l'ndce de Laspeyeres mesure l'mpact de la varaton de prx, au regard des prx du bocarburant l apparaît que ceux c ont très peu évolué entre 2000 et 2005. S on calcule l'ndce de Laspeyres en tenant compte du remplacement du gazole par le bocarburant : p 05 q 00 1, 5 320 + 2, 55 2000 + 0, 723 13 L 05/00 (p) = 100 = 100 = 105, 43 p 00 q 00 1, 025 320 + 2, 5 2000 + 0, 424 13 Exercce 3 : Un potentel acheteur d'un véhcule automoble se questonne quant au chox du carburant qu'l va prvléger pour sa voture. Il sat que le cours du pétrole brut nue drectement sur les prx à la pompe dans les statons servces. Il décde alors de comparer l'mpact du cours du prx du pétrole sur le prx de l'essence ans que sur celu du desel. Pour cela l eectue un relevé des prx de chaque produt sur les sx premers mos de l'année 2008. Prx du Brut Prx de l'essence HT Prx du desel HT (en dollar par barl) (en centmes d'euros par ltre) (en centmes d'euros par ltre) Janver 85 130 115 Févrer 95 140 125 Mars 105 130 130 Avrl 115 140 135 Ma 125 150 145 Jun 135 155 155 1) En consdérant d'une part la relaton entre le prx du pétrole brut et le prx de l'essence et d'autre part la relaton entre le prx du pétrole brut et le prx du desel, 3
et en supposant que le prx du pétrole brut a un mpact sur les prx à la pompe des statons servces : Tracer sur deux graphques dérents les nuages de ponts correspondants. Pour représenter correctement les nuages de ponts : le prx du pétrôle brut devat être placé en abcsses pour chacun des graphques et le prx de l'essence (ou du gazole) en ordonnées. 2) Après avor calculé pour chacune des varables (prx du pétrole brut, prx de l'essence et prx du desel) la moyenne et la varance, détermner les deux drotes de régresson. otons x le prx du pétrole brut, y le prx de l'essence et z le prx du desel. x = 1 ȳ = 1 z = 1 = 1 V (y) = 1 V (z) = 1 n x = 1 (85 +... + 135) = 110 n y = 1 (130 +... + 155) = 140, 83 n z = 1 (115 +... + 155) = 134, 17 n x 2 x 2 = 852 +... + 135 2 n y 2 ȳ 2 = 1302 +... + 155 2 n z 2 z 2 = 1152 +... + 155 2 110 2 = 291, 7 140, 83 2 = 87, 74 134, 17 2 = 19, 24 Les drotes de régresson ont pour équatons : y = ax + b avec a = cov(x,y) et b = ȳ a x et z = a x + b avec a = cov(x,z) et b = z a x. Il faut donc au préalable calculer les covarances : cov(x, y) = 1 x y j xȳ = cov(x, z) = 1 x z j x z = j j 85 130 +... + 135 155 85 115 +... + 135 155 110 140, 83 = 137, 8 110 134, 17 = 220, 4 Après calcul, les drotes de régresson ont pour équatons : y = 0, 47x + 89, 13 et z = 0, 7x + 50, 57 a. Comparer les deux coecents drecteurs des drotes de régresson. Que pouvezvous en conclure quant à l'évoluton des prx respectfs de l'essence et du desel selon l'évoluton future du prx du pétrole? a = 0, 47 < a = 0, 7 : le coecent drecteur assocé au gazole est plus élevé que celu assocé à l'essence. Ans, s le prx du pétrole brut (x) augmente de 1, le prx de l'essence augmente de 0,47 et celu du gazole de 0,7. Le prx du gazole est donc davantage sensble aux uctuatons du prx du pétrole. b. Calculer et nterpréter pour chacune des deux drotes le coecent de détermnaton. Le coecent de détermnaton fournt une ndcaton de la qualté de l'ajustement. Il est, par dénton, toujours comprs entre 0 et 1. R 2 (x, y) = cov(x, y)2 V (y) = 137, 8 2 = 0, 74 291, 7 87, 74 4
Le modèle explque 74% de la réalté : le fat que le prx de l'essence dére selon les mos peut être explqué à 74% par le fat que le prx du pétrole brut dère. R 2 (x, z) = cov(x, z)2 V (z) = 220, 4 2 = 0, 98 291, 7 19, 24 Le modèle explque 98% de la réalté : le fat que le prx du gazole dére selon les mos peut être explqué à 98% par le fat que le prx du pétrole brut dère. 3) La crossance des cours du pétrole amène l'acheteur à se demander quels seront les prx des deux carburants à la pompe des statons servces s le barl du brut attegnat un jour 200 dollars. Calculer ces prx. S le prx du pétrole brut (x) est égal à 200, calculons y et z : y = 0, 47 200 + 89, 13 = 183, 13 et z = 0, 7 200 + 50, 57 = 202, 57. 4) En plene réexon, l'acheteur se dt qu'l sera plus avantageux pour lu de prendre les transports en commun lorsque le prx au ltre dépassera les deux euros. Pour quels cours du pétrole brut, devra-t-l s'apprêter à vendre sa voture selon qu'l at opté pour une voture essence ou desel? Pour quels prx du pétrole brut, le prx de l'essence (y) et le prx du gazole (z) dépssent-ls les 2 euros, c'est à dre 200 centmes : 200 = 0, 47x + 89, 13 x = 235, 9 et 200 = 0, 7x + 50, 57 x = 19,. 5