Journal de bord Vendredi novembre. Matin : Recherche d'une solution particulière dans le cas d'un second membre de la forme e αx. Puis dans le cas d'une excitation périodique. Théorème de synthèse. Exercices 17, 18 et 19. Oscillateur harmonique : équation des physiciens, description des trois régimes. Début du cours sur les systèmes linéaires. Équations linéaires. Équation ax + by = c. Lundi 9 novembre. Résolution de l'équation homogène y + ay + by = 0 avec a et b coecients complexes. Solutions à valeurs complexes. Résolution de l'équation homogène y +ay +by = 0 avec a et b coecients réels. Solutions à valeurs réelles. Idée de départ : une solution à valeurs réelles est a fortiori à valeurs complexes, donc on peut s'appuyer sur le résultat précédent. Samedi 7 novembre. DST3. Vendredi 6 novembre. Matin : Fin du cours sur les ED d'ordre 1 : Existence et unicité d'une solution à un problème de Cauchy Exercices 12 et 10 (utilisation du principe de superposition). AM : Exercice 7. Exercice 11 : circuit RC excité. Début du cours sur les ED d'ordre 2 à coecients constants. Mercredi 4 novembre. Résolution de l'équation homogène. Exercice 8. Principe de superposition. Méthode de variation de la constante. Exercice 6 (a). TD dédoublé : primitive de 1/ sin. Exercice 13 (groupe I), 14 (groupe II). Lundi 2 novembre. Deux remarques générales sur le DM2 : retour sur la dérivabilité d'une composée, encore mal rédigée, et sur l'établissement d'un tableau de variation. 1
Introduction aux équations diérentielles : trois exemples physiques. ED linéaires d'ordre 1. 1-Propriétés de l'ensemble des solutions. Résolution de y + ay = 0 où a est constante. Calcul de primitives (avec IPP) : Exercice 4. Vendredi 16 octobre. Exercices 2 et 3 feuille 5. Cours : Calcul intégral et primitives. Applications du théorème fondamental de l'analyse. Commentaires autour du DS2. Intégration par parties et changement de variable. Mercredi 14 octobre. Cours : Calcul de primitives. Primitives usuelles. Primitives et composée de fonctions. Exercice 1, feuille 5. Primitive d'une fonction de la forme t e αt cos(ωt) ou t e αt sin(ωt). Primitive de l'inverse d'un trinôme. Utilisation de ln dans le cas > 0, de arctan dans le cas < 0. Feuille 4, Exercices 16 (calcul des racines carrées de 1 i de deux façons). Exercice 18 (racines de trinômes). Lundi 12 octobre. Racines carrées d'un nombre complexe (en utilisant la forme x+iy). Trinômes à coecients complexes. Racines nèmes de l'unité. Exemples importants : les cas n {2, 3, 4, 5}. Exercice 20. Vendredi 9 octobre. Formule de Moivre avec application à la factorisation de sin(5t). Exponentielle d'un nombre complexe, arguments d'un nombre complexe, un peu de géométrie. Racines carrées d'un nombre complexe (en utilisant la forme exponentielle.) Exercices 5, 2 (problème additif : forme a + ib) et 7 (problème multiplicatif : forme re iθ ). Mercredi 7 octobre. Après-midi trigonométrique. Équations trigonométriques : exercices 5 et 6, feuille 3. Cours : nombres complexes de module 1. Dénition et propriété de e iθ. Formule d'euler, avec trois applications : 2
1. Factorisation par l'angle moitié. Calcul de cos a + cos b. 2. Linéarisation des puissances de cos et sin. Exemple avec cos 3 (θ). n 3. Calcul de cos(kθ). k=0 Exercices 4 (deux solutions) et 11, feuille 4. Lundi 5 octobre. Début du cours Nombres complexes. Rappels sur l'ensemble C. Partie réelle, partie imaginaire. Conjugué : dénition et compatibilité avec les opérations. Module d'un nombre complexe. Notion de distance sur C. Propriétés multiplicatives. Inégalité triangulaire. Vendredi 2 octobre. Fonctions circulaires réciproques : arcsin, arccos, arctan : dénition, graphes, dérivées. Exercices 11, 12, 13. Polynômes de Tchebyche : calculs de T 0, T 1, T 2, T 3 à l'aide de formules de trigonométrie. Mercredi 30 septembre. Fonctions cosinus et sinus. Formulaire de trigonométrie. Étude de la fonction tangente. Exercices 17 (x x x ), 4, et 16 (tangente hyperbolique). Lundi 28 septembre. Interrogation de cours : preuve du binôme de Newton. Retour du DM1. Fonctions puissances. On donne un sens à l'écriture x a, avec x R + et a réel quelconque. Les propriétés connues pour a entier sont retrouvées. Croissances comparées. Application : exercice 1, feuille 3. Technique importante : factorisation du terme dominant. Vendredi 25 septembre. Matin. Propriété de morphisme de l'exponentielle. Notation e x. Tableau de variations de la fonction exponentielle. Le logarithme népérien est la réciproque de la fonction exponentielle. Dénition, propriété de morphisme. AM. Logarithme en base a. Dénition et brève étude des fonctions cosinus et sinus hyperboliques. Exercices 9 et 10 (feuille 2). 3
Mercredi 23 septembre. Formules sur les coecients binomiaux. Formule de Pascal. Triangle de Pascal. Intégrité des coecients binomiaux. Binôme de Newton. Applications classiques : exercice 11. Exercices 5 et 7. Élection des délégués de classe. Début du cours Fonctions usuelles. Théorème admis sur l'existence de la fonction exponentielle. Mardi 22 septembre. Exercice 4 : à l'aide du télescopage, on retrouve n k=1 k = n(n+1) et on montre 2 n k=1 k2 = n(n+1)(2n+1) par télescopage. Exercice 6 (sommes doubles). 6 Cours : factorielles d'un entier. Dénition d'un coecient binomial, exemples. Lundi 21 septembre. Sommes doubles sommes triangulaires. Développement, factorisation. Changement d'indice. Retour du DST1. Vendredi 17 septembre. TD : Exercices 2, 1(a),3. Mercredi 15 septembre. Calculs algébriques. Notations somme et produit, exemples, propriétés élémentaires. Suites arithmétiques : exemple de raisonnement par récurrence. Suites géométriques : exemple de télescopage. Distribution du poly Raisonner/Rédiger. TD (demi-groupe) : dérivation de fonctions composées. Lundi 14 septembre. Exercices 13 (injectivité/surjectivité d'une fonction dénie par morceaux), 14 (bijectivité, calcul de réciproque). Ex. 15 : dérivation d'une composée de fonctions. Fin du cours sur les fonctions : dérivée d'une réciproque. 4
Samedi 12 septembre. DST1 (deux heures) puis cours : Dérivation et applications. Distribution du DM1, à rendre le Lundi 21 septembre. Vendredi 11 septembre. Matin. Paragraphe : Bijectivité et fonction réciproque. Lecture graphique de l'injectivité et de la surjectivité. Traduction à l'aide de quanticateur. Première rencontre avec la notion de contraposée. AM. Composée de fonctions bijectives, réciproque d'une composée. Exercices 12 puis 11. Mercredi 9 septembre. Fonctions T -périodiques, fonctions monotones, fonctions bornées. Sommes et produits de fonctions. Composée de deux fonctions. La composée g f peut être dénie lorsque f : D D et g : D K. Exemple. Exercices 9 et 10. Lundi 7 septembre. Exercices 3, 5 et 8. L'exercice 5 est traité à l'aide d'équivalences. Dans l'exercice 8, preuve en deux temps : on montre que les solutions du problème sont dans un certain intervalle, puis, réciproquement que tous les éléments de l'intervalle sont solution du problème. Début du cours sur les fonctions. Graphes de fonctions. Vendredi 4 septembre. Valeur absolue et distance. Résolution d'inégalités du type x a b. Inégalité triangulaire. Majorant, minorant d'une partie de R. Maximum, minimum d'une partie de R. Preuve d'une équivalence. Un premier raisonnement par l'absurde. Exercice 2, feuille 1. Mercredi 2 septembre. Début du cours : Inégalités dans R. Dénition de la relation d'ordre et propriétés associées. Première discussion autour de la preuve d'un "pour tout", d'une implication. Intervalles. Valeur absolue. Exercice 1, feuille 1. 5