VARIABLES ALEATOIRES

VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES. Loi de probabilité.. Exemple... Calcul de probabilités sur u uivers Ω... Variable aléatoire à valeurs réelles...3. Probabilité image défiie par ue variable aléatoire..4. Loi de probabilité ou distributio d ue variable aléatoire 3..5. Foctio de répartitio 3.. Autres exemples 3... Exemple de variable aléatoire discrète 3... Exemple de variable aléatoire discrète, preat ue ifiité de valeurs 3..3. Exemple de variable aléatoire cotiue 3. Espérace mathématique, variace, écart-type 5.. Espérace mathématique 5... Cas d ue variable aléatoire discrète 5... Cas d ue variable aléatoire cotiue 6..3. Propriété de l espérace 6.. Variace, écart-type 6 3. Lois usuelles 7 3.. Loi de Berouilli 7 3.. Loi biomiale 7 3... Défiitio 7 3... Exemple 7 3..3. Exemple 7 3.3. Loi de Poisso 7 3.3.. Défiitio 7 3.3.. Exemple 8 3.3.3. Approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso 8 3.4. Loi ormale 8 3.4.. Défiitio 8 3.4.. Loi ormale cetrée réduite N (,). 9 3.4.3. Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale 4. Somme de deux variables aléatoires 4.. Idépedace de deux variables aléatoires 4.. Espérace mathématique d ue somme de variables aléatoires 4.3. Variace de la somme de deux variables aléatoires idépedates. 4.4. Somme de deux variables aléatoires suivat des lois ormales 4.4.. Lois ormales 4.4.. Lois de Poisso 5. Echatilloage 5.. Loi faible des grads ombres 5.. Théorème de la limite cetrée 5.3. Distributio d échatilloage asymptotique de la moyee 5.3.. Le problème de l échatilloage 5.3.. Distributio d échatilloage asymptotique de la moyee 5.3.3. Distributio d échatilloage asymptotique de la fréquece 6. Estimatio 3 6.. Estimatio poctuelle 3 6... Moyee 3 6... Fréquece 3 6..3. Variace, écart-type 3 6.. Estimatio par itervalle de cofiace 3 6... Moyee 3

VARIABLES ALEATOIRES 6... Fréquece 4 7. Correctio des exercices 6 7.. Correctio de l exercice 7 6 7.. Correctio de l exercice 8 7 7.3. Correctio de l exercice 9 7 7.4. Correctio de l exercice 7 7.5. Correctio de l exercice 7 7.6. Correctio de l exercice 7 7.7. Correctio de l exercice 3 7 7.8. Correctio de l exercice 4 8 7.9. Correctio de l exercice 5 8.. Exemple.. LOI DE PROBABILITÉ... Calcul de probabilités sur u uivers Ω. Tiros au hasard ue boule d ue ure coteat ue boule rouge R, ue boule verte V et ue boule bleue B. Remettos-la das l ure et effectuos u secod tirage d ue boule, chacue de ces trois boules ayat, das ce cas aussi, la même probabilité d être choisie. O choisit comme uivers Ω l esemble de tous les couples dot le premier élémet est la boule obteue lors du premier tirage, et comme deuxième élémet celle obteue lors du deuxième tirage. O a : Ω = {(R,R),(V,R),(B,R),(R,V ),(V,V ),(B,V ),(R,B),(V,B),(B,B)} Ces euf évèemets élémetaires sot équiprobables. La probabilité de l u d etre eux est doc égale à 9. Exercice. Détermier la probabilité de tirer au mois ue boule verte.... Variable aléatoire à valeurs réelles. O complète maiteat la situatio précédete par la règle du jeu suivate : Pour chaque boule rouge tirée, o gage 6 euros. Pour chaque boule verte tirée, o gage euro. Pour chaque boule bleue tirée, o perd 4 euros. Soit X l applicatio de Ω das R qui, à tout tirage de deux boules associe le gai aisi obteu. Ue perte est cosidérée comme u gai égatif. O a par exemple : X(R,R) = X(V,B) = X(B,V ) = 3 Défiitio. X est ue variable aléatoire à valeurs réelles. Elle est défiie sur Ω, à valeurs das R, et à tout tirage ω, elle associe X(w), égal au gai obteu avec ce tirage. X(Ω) = { 8, 3,,7,} est l image de Ω par X. O remarquera qu il est possible de défiir plusieurs variables aléatoires sur u même esemble Ω...3. Probabilité image défiie par ue variable aléatoire. U joueur préfère maiteat, avat de jouer, coaître la probabilité de gager euros plutôt que celle de tirer ue boule de telle couleur. O va doc costruire, à partir de la probabilité P défiie sur Ω, ue ouvelle probabilité P défiie sur X(Ω) = { 8, 3,,7,} Pour toute partie E de X(Ω), o veut défiir ue probabilité P (E) à l aide de P et de X. Par exemple, le sigleto {} de X(Ω) est l image par X de la partie {(B,R),(V,V ),(R,B)} de Ω. Comme P{(B,R),(V,V ),(R,B)} = 3 9 = 3 o est coduit à poser P ({}) = 3. De même, l évèemet G avoir u gai positif est l image par X de la partie {(R,R),(V,R),(R,V ),(B,R),(V,V ),(R,B)} et doc o a P (G) = 6 9 = 3. D ue maière géérale, soit P l applicatio qui, à toute partie A de X(Ω) associe le ombre P (A) = P({w Ω;X(ω) A}) O peut démotrer que P vérifie les axiomes d ue probabilité défiie sur X(Ω), c est à dire que P (X(Ω)) = Pour toutes parties A et B de X(Ω) disjoites, o a P (A B) = P (A) + P (B).

VARIABLES ALEATOIRES 3 Défiitio. P est la probabilité image de la probabilité P par la variable aléatoire X. O coviedra d utiliser la otatio suivate : P ({}) = P({w Ω;X(ω) = }) = P(X = ) D ue maière géérale, pour tout ombre k de X(Ω), o ote P(X = k) le ombre P ({k}) = P({w Ω;X(ω) = k}) = P(X = k)..4. Loi de probabilité ou distributio d ue variable aléatoire. Défiitio 3. La loi de probabilité ou distributio de la variable aléatoire X est la foctio : X(Ω) [,] k P(X = k) Pour l exemple précédet, la loi de probabilité est doée par le tableau suivat : k P(X = k) -8 9-3 9 3 7 9 9..5. Foctio de répartitio. Pour tout ombre réel x, o ote P(X x) le ombre réel : Par exemple, pour l exemple précédet, o aurait P({w Ω;X(ω) x}) P(X ) = P({w Ω;X(ω) = 3 ou X(ω) = 8}) = P(X = 3) + P(X = 8) = 3 Défiitio 4. La foctio de répartitio de la variable aléatoire X est la foctio F de R das [,] défiie par : x F(x) = P(X x) La foctio F se représete par ue foctio e escalier, croissate sur R... Autres exemples.... Exemple de variable aléatoire discrète. Soit Y la variable aléatoire mesurat le ombre k de voitures euves vedues e u jour par u cocessioaire d ue certaie marque. Supposos que la loi de probabilité de Y soit la suivate : k 3 4 5 P(Y = k),,8,,3,4 Exercice. Détermier P(Y = 5), puis costruire la courbe représetat la foctio de répartio de cette variable aléatoire.... Exemple de variable aléatoire discrète, preat ue ifiité de valeurs. Soit X la variable aléatoire mesurat le ombre de lacers d ue pièce de moaie écessaires pour obteir face pour la première fois, e supposat qu à chaque lacer pile et face sot équiprobables. X peut predre pour valeur tout ombre etier k supérieur ou égal à. L évèemet X = k correspod à obteir pile à chacu des (k ) premiers lacers et face au k-ième lacer. Comme chaque lacer est idépedat, et que, à chaque lacer, pile et face ot la même probabilité d être obteus, o a doc pour tout k : P(X = k) = ( ) k..3. Exemple de variable aléatoire cotiue. O peut être ameé à étudier des variables aléatoires pouvat predre, au mois théoriquemet, importe quelle valeur das R ou u itervalle de R. Par exemple, cosidéros la variable aléatoire X mesurat la durée de bo foctioemet, e jours, d u équipemet particulier fabriqué e grade série, avec l itervalle [, + [. Pour ue telle variable, les évèemets itéressats sot par exemple X 4, ou 4 X. Das ce cas, la foctio de répartitio joue u rôle fodametal et permet de calculer des probabilités. O suppose que cette foctio de répartitio F est défiie par : { pour tout x < F(x) = pour tout x F(x) = x f (t)dt où pour tout t : f (t) =,e,t Aisi, pour tout x positif, F(x) est l aire de la portio de pla e grisé sur la figure ci-dessous :

VARIABLES ALEATOIRES 4.4.3. P(X<=x). 4 6 8 4 6 8 F(x) x. O e déduit que P(X 4) = F(4),55 E utilisat l évèemet cotraire de X >, ous obteos que P(X > ) = P(X ) F(),4 Pour calculer P(4 < X ) remarquos que F() = P(X ) = P(X 4 ou 4 < X ) = P(X 4) + P(4 < X ) car les deux évèemets X 4 et 4 < X sot icompatibles. O e déduit alors : P(4 < X ) = F() F(4),36.4.3.. P(4<X<=) 4 6 8 4 6 8. Nous admettros que P(X = 4) = et de maière géérale, que pour tout x, P(X = x) =. E coclusio, pour tout a et b tels que a b, b P(a X b) = F(b) F(a) = f (t)dt a

VARIABLES ALEATOIRES 5 Défiitio 5. La foctio f défiie pour tout t positif par est la desité de probabilité de la variable aléatoire X. doc f (t) =,e,t C est ue foctio telle que pour tout t positif, o ait f (t). D autre part, ous avos vu que pour tout x : O coviet d écrire ce résultat F(x) = Comme la foctio f est ulle sur ],], o écrit : x f (t)dt = e,x x lim F(x) = lim f (t)dt = x + x + + + Pour la même raiso, ous pouvos écrire que pour tout x réel F(x) = f (t)dt = f (t)dt = x Défiitio 6. La variable aléatoire X est dite cotiue s il existe ue foctio f positive et cotiue sur R, appelée desité de probabilité de X, telle que + f (t)dt = Propositio. O a alors les propriétés suivates : f (t)dt P(X a) = a f (t)dt P(a X b) = b a f (t)dt P(X = a) = Défiitio 7. O appelle foctio de répartitio de la variable aléatoire X la foctio F défiie sur R par F(x) = x O peut remarquer que cette foctio de répartitio est ue primitive de f, ce qui pemet d écrire la propositio sous la forme suivate : P(X a) = F(a) P(a X b) = F(b) F(a) P(X > a) = F(a) f (t)dt.. Espérace mathématique.... Cas d ue variable aléatoire discrète.. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE, VARIANCE, ÉCART-TYPE Défiitio 8. L espérace mathématique d ue variable aléatoire discrète preat valeurs x i avec les probabilités P(X = x i ) = p i, où i est E(X) = Par exemple, pour la variable aléatoire Y dot la loi est défiie par le tableau suivat so espérace mathématique est égale à : i= p i x i k 3 4 5 P(Y = k),,8,,3,4, E(Y ) =, +,8 +, + 3,3 + 4,4 + 5, = 3,8 Cette valeur représete la valeur moyee prise par la variable aléatoire Y lorsque le ombre d expérieces deviet très grad.

VARIABLES ALEATOIRES 6... Cas d ue variable aléatoire cotiue. Repreat la situatio et les otatios du paragraphe..3, o prologe la défiitio précédete avec : Défiitio 9. Das le cas d ue variable aléatoire cotiue, l espérace mathématique est défiie par : O obtiet alors pour cet exemple : + X = E(X) = Comme la foctio f est ulle sur ],], o écrit que : t f (t)dt = lim b + t f (t)dt + t f (t)dt = t f (t)dt + t f (t)dt b t f (t)dt = lim b = et efi : a a t f (t)dt = t (,te,t) a dt =, te,t dt O effectue esuite ue itégratio par parties e posat : ce qui permet d obteir : a Après simplicatio, o trouve : te,t dt = u(t) = t v (t) = e,t u (t) = v(t) = e,t, ] a [ t e,t a e,t +,, dt = a ] a [ t e,t, t f (t)dt = ae,a e,a, +, Il reste à calculer la limite quad a ted vers + : +..3. Propriété de l espérace. t f (t)dt = lim a + a [ e,t, t f (t)dt = lim a + ae,a e,a, +, = 5 Propositio. Si a et b sot des costates réelles et si X désige ue variable aléatoire d espérace mathématique E(X), alors ax + b est ue variable aléatoire d espérace E(aX + b) = ae(x) + b Défiitio. U jeu est équitable si l espérace mathématique de la variable aléatoire mesurat le gai est égale à la mise... Variace, écart-type. L espérace mathématique e suffit pas à décrire ue variable aléatoire. E effet, deux variables aléatoires distictes peuvet avoir la même espérace. O défiit doc u autre idicateur : Défiitio. La variace d ue variable aléatoire X, otée V (X), est, si elle existe, l espérace mathématique de la variable aléatoire (X E(X)) O peut motrer facilemet la propriété suivate : Théorème. V (X) = E(X ) [E(X)] qui a pour coséquece : Propositio 3. V (ax + b) = a V (X) Das le cas d ue variable aléatoire cotiue X, la variace est défiie par : V (X) = + Défiitio. L écart-type (X) est la racie carrée de la variace. f (t)(t X) dt Il mesure la dispersio des valeurs prises par la variable aléatoire autour de so espérace. ] a

VARIABLES ALEATOIRES 7 3.. Loi de Berouilli. 3. LOIS USUELLES Défiitio 3. Ue variable aléatoire X défiie sur u uivers probabilisé U est ue variable de Berouilli si elle e pred que les deux valeurs et, avec les probabilités respectives p et q = p. Das ce cas, o a X = p et (X) = pq. 3.. Loi biomiale. Il s agit de la loi de probabilité X du ombre de succès das ue épreuve de Berouilli répétée fois, à coditio que ces épreuves aléatoires élémetaires soiet idépedates. Das ce cas, X suit la loi biomiale de paramètres et p, otée B(, p). 3... Défiitio. Défiitio 4. Ue variable aléatoire X suit ue loi biomiale B(, p) de paramètres et p, où est u ombre etier aturel et p u ombre réel compris etre et, lorsque sa loi de probabilité est telle que pour tout ombre etier aturel k compris etre et : ( P(X = k) = C k p k ( p) k = k ) p k ( p) k Propositio 4. Pour ue variable aléatoire X suivat ue loi biomiale de paramètres et p, o a : E(X) = p V (X) = pq (X) = pq 3... Exemple. O lace ue pièce de moaie bie équilibrée. Quelle est la probabilité d obteir piles e 5 lacers? O appelle X le ombre de piles obteus e 5 lacers. X suit ue loi biomiale, car l expériece cosiste e la réalisatio de 5 épreuves élémetaires ayat que deux issues possibles, chaque épreuve état idépedate. Le paramètre de cette loi vaut 5, tadis que p est égal à la probabilité d obteir pile lors d u lacer, c est à dire. X suit doc la loi biomiale B(5, ), et la probabilité d obteir piles e 5 lacers est égale à ( ( p(x = ) = C5 ) 5,9 ) O a de maière évidete X = 7,5 et (X) = 5 ( ),94 3..3. Exemple. Ue ure cotiet boules blaches et 3 oires. O tire au hasard ue boule que l o remet das l ure, après avoir oté sa couleur. Soit B l évèemet obteir ue blache et N obteir ue oire. O effectue 8 tirages das les mêmes coditios. Quelle est la probabilié d obteir exactemet trois boules blaches? Soit X la variable aléatoire égale au ombre de boules blaches obteues après les 8 tirages. Xsuit la loi biomiale de paramètres 8 et p = p(b) = 5, doc ( 3 ( p(x = 3) = C8 5) 3,8 5) O a de maière évidete X = 6 5 et (X) = 8 5 ( 5 ),38 3.3. Loi de Poisso. La loi de Poisso iterviet das la modélisatio de phéomèes aléatoires où le futur est idépedat du passé. Par exemple, elle peut iterveir das des problèmes cocerat : les paes de machies les appels téléphoiques das u stadard les files d attete... 3.3.. Défiitio. Défiitio 5. Ue variable aléatoire X suit la loi de Poisso P (λ) de paramètre λ positif lorsque sa loi de probabilité est défiie pour tout ombre etier aturel k par λ λk P(X = k) = e k! Propositio 5. Si la variable aléatoire X suit la loi de Poisso P (λ), alors E(X) = λ V (X) = λ (X) = λ

VARIABLES ALEATOIRES 8 3.3.. Exemple. La variable aléatoire X mesurat le ombre de cliets se présetat au guichet uméro de la préfecture par itervalle de temps de durée miutes, etre heures et midi, suit la loi de Poisso de paramètres λ = 5. Quelle est la probabilité qu il se présete au mois 8 persoes à ce guichet etre heures et midi? O applique les formules de cours, ou bie o utilise le formulaire, ce qui fourit : E utilisat l évèemet cotraire : p(x = ),7 p(x = ),34 p(x = ),84... p(x 8) = p(x < 8) = (p(x = ) + p(x = ) + + p(x = 7)),33 3.3.3. Approximatio d ue loi biomiale par ue loi de Poisso. Théorème. O admet que si est grad, p voisi de et p pas trop grad, alors la loi B(, p) est très proche de la loi P (λ), où λ=p. Das ue etreprise, o cosidère que la probabilité d obteir u article défectueux à la sortie d ue chaie de fabricatio est p =,5. Lors d u cotrôle de qualité, o evisage de prélever u échatillo de articles. Bie que ce prélèvemet soit exhaustif, ous cosidéros que la productio est suffisammet importate pour qu o puisse assimiler ce prélèvemet à tirages avec remise, doc idépedats, d u article défectueux ou o. La variable aléatoire X mesurat le ombre d articles défectueux d u tel échatillo suit la loi biomiale B (;,5), et l espérace mathématique de X est,5 = 6. Comparos la loi de X avec celle d ue variable aléatoire Y suivat la loi de Poisso P (6). k Loi de X Loi de Y,,,3,5,4,45 3,87,89 4,34,34 5,63,6 6,65,6 7,4,38 8,5,3 9,69,69 O observe que la loi de la variable Y est suffisammet proche de celle de X pour qu o puisse utiliser la loi de Poisso pour calculer, par exemple, la probabilité qu u échatillo de articles cotiee au mois u article défectueux, puis la probabilité que cet échatillo cotiee au plus trois articles défectueux. Remarque. O admet e gééral d utiliser cette approximatio lorsque 3, p, et p < 5, ou lorsque p, et p. Exemple. Das ue fabricatio e série, 8% des articles présetet des défauts. Calculer la probabilité que sur cotrôles, il y ait 6 articles défectueux. O a =, p =,8. Nous sommes das le cas où ous pouvos approximer la loi biomiale par la loi de Poisso de paramètre λ = p =,8 = 8. O e déduit doc : p = e 8 86 6!, 3.4. Loi ormale. Ue loi ormale iterviet das la modélisatio de phéomèes aléatoires possédat de ombreuses causes idépedates dot les effets s ajoutet, sas que l u d etre eux soit domiat. Elle s applique aussi lorsque la variable aléatoire utilisée pour mesurer ue quatité e varie que das u itervalle de R, et o pas das R e etier. 3.4.. Défiitio. Défiitio 6. Ue variable aléatoire X suit la loi ormale N (m,) de paramètres m et lorsque sa desité de probabilité est la foctio f défiie sur R par : f (t) = π e ( t m ) Exercice 3. Trouver la desité de probabilité de la loi ormale N (,). Soit f la foctio défiie sur R par f (t) = e t π Exercice 4. Trouver la loi ormale dot f est la desité de probabilité.

VARIABLES ALEATOIRES 9 Propositio 6. Soit X ue variable aléatoire suivat la loi ormale N (m,) : 3.4.. Loi ormale cetrée réduite N (,). E(X) = m V (X) = (X) = Défiitio 7. La loi ormale N (,) s appelle la loi ormale cetrée réduite. Théorème 3. Si ue variable aléatoire X suit la loi ormale, alors la variable aléatoire suit la loi ormale cetrée réduite N (,). T = X m Ce résultat est très importat, car il permet de limiter l étude des lois ormales à celle de la seule loi ormale cetrée réduite, dot la desité de probabilité a pour représetatio graphique la courbe suivate : -3 - - t - Le formulaire officiel de mathématiques des classes de bts e doe des iformatios que sur la loi ormale cetrée réduite. La foctio de répartitio y est otée Π. L aire hachurée sur la courbe ci-dessus est doc égale à Π(t). Pour calculer la probabilité d u évèemet cocerat ue variable aléatoire T suivat la loi ormale cetrée réduite, o utilise la table du formulaire et les deux propriétés suivates de cette courbe : Cette courbe est symétrique par rapport à l axe des ordoées. L aire totale comprise etre la courbe et l axe des abscisses est égale à. Exemple. Le formulaire doe directemet P(T,67) = Π(,67),955 Comme de plus T est ue variable aléatoire cotiue, o a P(T =,67) =, et doc o peut dire que De même, O a aussi : P(T,67) = P(T =,67) + P(T <,67) = P(T <,67) P(T,5) = P(T <,5) = Π(,5),56 P(T,67) = Π(,67) = P(T,67) = Π(,67),475 e utilisat la symétrie de la courbe par rapport à l axe des ordoées. E utilisat les mêmes argumets, o démotre aisi : Théorème 4. Pour tout t et t, o a : P(t T t ) = Π(t ) Π(t ) P( t T t) = Π(t) Π( t) = Π(t) Exercice 5. Calculer P( T ) pour la loi ormale cetrée réduite. Si X est ue variable aléatoire suivat la loi ormale N (m,), o a vu que la variable aléatoire T = X m suit la loi ormale cetrée réduite, et doc o a e particulier les relatios pour tout t > : P( t T t) = P( t X m t) = P(m t X m +t)

VARIABLES ALEATOIRES 3.4.3. Approximatio d ue loi biomiale par ue loi ormale. Théorème 5. O admet que si est grad, et p i trop voisi de, i trop voisi de, alors la loi B(, p) est très proche de la loi N (m,), où m = p = p( p) L itérêt de cette approximatio est de simplifier le calculs umériques. O coviet e gééral d utiliser cette approximatio lorsque p et ( p) sot supérieurs à 5, ou lorsque p et ( p) sot supérieurs à. Exercice 6. Laços ciquate fois ue pièce de moaie équilibrée. Soit X la variable aléatoire mesurat le ombre de face obteu. Détermier la probabilité d obteir 5 fois face, e utilisat la loi biomiale, puis e approximat cette loi par ue loi ormale. D autres exercice dot la correctio est à la fi du polycopié : Exercice 7. Sachat que la variable aléatoire X suit la loi ormale N (;,4), calculer les probabilités suivates : () p = p(x,). () p = p(x >,) (3) p 3 = p(99,6 X,4) Exercice 8. Sachat que la variable aléatoire Y suit la loi de Poisso de paramètre,8, calculer les probabilités suivates : () p 4 = p(y = 4). () p 5 = p(y 4) (3) p 6 = p( < Y < 5) Exercice 9. Das ue salle d iformatique se trouvet huit ordiateurs. La probabilité que l u d eux tombe e pae das l aée est de,5. () Quelle est la probabilité p 7 que deux appareils exactemet tombet e pae das l aée? () Quelle est la probabilité p 8 qu au mois u appareil tombe e pae das l aée? Exercice. Das u laboratoire de fabricatio de résistaces ue étude a motré que la probabilité pour qu ue résistace tirée au hasard soit défectueuse est,. Ue etreprise achète u lot de résistaces. O ote X la variable aléatoire doat le ombre de résistaces défectueuses du lot () Quelle est la loi de probabilité suivie e toute rigueur par X? Préciser ses paramètres. () O admet que la loi de probabilité X du lot peut être approchée par ue loi de Poisso de paramètre p. Déduire de la questio précédete le paramètre λ de la loi de Poisso qui lui est substituée. (3) E déduire, e utilisat ue table de la loi de Poisso, la probabilité de l évéemet (X ). Exercice. Ue machie usie des pièces dot la logueur X exprimée e mm suit ue loi ormale de moyee m = 54 et d écart-type =,. Ue pièce est cosidérée comme boe si 53,6 X 54,3. () Calculer la probabilité qu ue pièce soit boe. () Calculer le pourcetage de pièces défectueuses. (3) Pour préveir u déréglage de la machie o détermie des cotes d alerte 54 h et 54 + h défiies par : p(54 h X 54 + h) =,95 Détermier la valeur de h et e déduire ces cotes d alerte. O doera des valeurs approchées à millimètre près. Exercice. Ue variable aléatoire X suit ue loi ormale de moyee 8 et d écart-type icou. Sachat que p(x 8,5) =,933, calculer l écart-type. 4.. Idépedace de deux variables aléatoires. 4. SOMME DE DEUX VARIABLES ALÉATOIRES Défiitio 8. Soit X ue variable aléatoire discrète preat u ombre fii de valeurs k, k,...,k. Soit Y ue variable aléatoire discrète preat u ombre fii de valeurs q, q,...,q p. Les deux variables X et Y sot idépedates si pour tout i compris etre et, et pour tout j compris etre et p, o a : P(X = k i et Y = q j ) = P(X = k i ) P(Y = q j ) 4.. Espérace mathématique d ue somme de variables aléatoires. Théorème 6. E(X +Y ) = E(X) + E(Y )

VARIABLES ALEATOIRES 4.3. Variace de la somme de deux variables aléatoires idépedates. Théorème 7. X et Y état deux variables aléatoires idépedates, o a : V (X +Y ) = V (X) +V (Y ) Exemple 3. Soit X et Y les variables aléatoires dot les lois sot doées ci-dessous : O motre que x i y i -5 5 p(x = x i ) 4 4 p(y = y i ) 5 4 9 E(X) 7,5 (X) 8,9 E(Y ),5 (Y ) 8,3 Soit Z la variable aléatoire défiie par Z = X +Y. Cette variable aléatoire pred la valeur 5 avec ue probabilité de p(z = 5) = p(x = ) p(y = 5) = Elle pred la valeur 5 avec la probabilité : p(z = 5) = p(x = ) p(y = 5) + p(x = ) p(y = 5) = 4 La loi de probabilité de Z est doée par : z i -5 5 5 5 3 35 4 9 9 7 9 p(z = z i ) 8 4 8 8 8 8 4 O retrouve bie sur cet exemple les propriétés éocées, car E(Z) 7,75 (Z) 34,85 4.4. Somme de deux variables aléatoires suivat des lois ormales. 4.4.. Lois ormales. Théorème 8. Soit X et X deux variables aléatoires idépedates suivat les lois ormales respectives N (m, ) et N (m, ), alors X + X suit la loi ormale de moyee m + m, et d écart-type +. O remarquera qu avec les mêmes hypothèses, X X suit la loi ormale de moyee m m, et d écart-type +. Exercice 3. Les deux variables aléatoires X et Y sot idépedates et suivet respectivemet les lois ormales N (; 4) et N (8;3). Soit Z la variable aléatoire égale à X +Y. () Calculer l espérace mathématique et l écart-type de Z. () Détermier p(34 Z 48). (3) Détermier le ombre réel positif α tel quel la probabilité de l évèemet soit égale à,95. 4.4.. Lois de Poisso. 4 α Z 4 + α Théorème 9. Soit X et X deux variables aléatoires idépedates suivat les lois de Poisso de paramètres respectifs λ et λ. Alors leur somme X + X suit la loi de Poisso de paramètre λ + λ. 5. ECHANTILLONNAGE 5.. Loi faible des grads ombres. O cosidère u évèemet A de probabilité p. O effectue expérieces idépedates. Pour la i-ème expériece, o ote X i la variable aléatoire qui, si l évèemet A apparaît, pred la valeur, sio la valeur. La variable aléatoire S = X + X + + X permet de compter le ombre d apparitio de l évèemet A au cours des expérieces. La variable aléatoire S suit la loi biomiale de paramètres et p. La variable aléatoire S pred pour valeur la fréquece d apparitio de l évèemet A au cours des expérieces. Nous admettros le théorème suivat : Théorème. Pour tout ombre etier > et pour tout ombre réel t >, o a ) S P( p p( p) > t t

VARIABLES ALEATOIRES Ce théorème idique que, pour importe quel ombre réel t > et ombre etier >, la variable S, mesurat la fréquece d apparitio d u évèemet A de probabilité p au cours de expérieces idépedates, pred ue valeur extérieure à l itervalle [ ] p( p) p( p) p t, p +t avec ue probabilité iférieure ou égale à. t ( ) Théorème. Avec ue probabilité choisie aussi grade que l o veut, S t pred ue valeur aussi proche que l o veut de p lorsque est suffisammet grad. C est la loi faible des grads ombres. La loi faible des grads ombres justifie le fait que la probabilité d u évèemet est très proche de la valeur autour de laquelle se stabilise la fréquece d apparitio de cet évèemet lorsque le ombre d expérieces deviet très grad. 5.. Théorème de la limite cetrée. Théorème. Soiet X, X,..., X variables aléatoires idépedates, suivat toutes la même loi, admettat ue moyee µ et ue variace ( ). Pour suffisammet grad, la variable aléatoire ) suit approximativemet la loi ormale N (µ,. E particulier, pour suffisammet grad, suit approximativemet la loi ormale cetrée réduite. O a : X = X + X + + X X µ = X µ E(X ) = µ V(X ) = (X ) = 5.3. Distributio d échatilloage asymptotique de la moyee. 5.3.. Le problème de l échatilloage. La théorie de l échatilloage cosiste, coaissat des propriétés d ue populatio, à détermier des propriétés d échatillos prélevés das la populatio. O e cosidère que des échatillos aléatoires, c est à dire pris au hasard das la populatio. Le tirage des élémets d u échatillo peut être avec remise. Das ce cas, les tirages sot idépedats. Lorsque le tirage se fait sas remise, alors les tirages e sot pas idépedats. Cepedat, lorsque la populatio est importate, o assimile u tirage sas remise à u tirage avec remise. 5.3.. Distributio d échatilloage asymptotique de la moyee. Cosidéros ue populatio d effectif N, de moyee m et d écart-type. Prélevos, das cette populatio, u échatillo de taille. O ote x la moyee de cet échatillo et so écart-type. Cosidéros les variables aléatoires X, X,..., X où chaque variable aléatoire X i associe au i-ième tirage le ombre correspodat à l élémet choisi. Si ous supposos que le tirage des élémets de l échatillo a été effectué avec remise, alors la variables aléatoires X i sot idépedates. Elles suivet toutes la même loi, ot toutes la même moyee m et le même écart-type. La variable aléatoire X = X + X + + X associe alors à cet échatillo sa moyee x. Plus gééralemet, X associe à tout échatillo de taille la moyee de cet échatillo. X pred pour valeurs les moyees x, x,...,x de tous les échatillos de même effectif, prélevés avec remise das la populatio. D après le théorème de la limite cetrée, pour suffisammet grad, X suit approximativemet la loi ormale N ( m, ). O simplifiera les otatios e écrivat X à la place de X, car il y a pas de risque de cofusio. Théorème 3. O cosidère ue populatio de moyee m et d écart-type. Soit X la variable aléatoire qui, à tout échatillo aléatoire prélevé avec remise et d effectif fixé, associe la moyee de cet échatillo. Pour suffisammet grad, X suit approximativemet la loi ormale N ( m, ). Das la plupart des cas, o cosidère que est suffisammet grad lorsque 3. 5.3.3. Distributio d échatilloage asymptotique de la fréquece. Théorème 4. O cosidère ue populatio dot les élémets possèdet ue certaie propriété avec ue fréquece p. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échatillo aléatoire prélevé avec remise et d effectif fixé, associe la fréquece avec laquelle les élémets de cet échatillo possèdet cette propriété. Pour suffisammet grad, F suit approximativemet la loi ormale N ( p, p( p) ).

VARIABLES ALEATOIRES 3 6. ESTIMATION O cherche des iformatios sur ue populatio d effectif relativemet importat à partir de l étude d u échatillo de quelques dizaies d uités. 6.. Estimatio poctuelle. 6... Moyee. Propositio 7. O choisit la moyee x d u échatillo prélevé au hasard das ue populatio comme estimatio poctuelle de la moyee icoue de la populatio. Exemple 4. Ue société s approvisioe e pièces brutes qui, coformémet aux coditios fixées par le fourisseur, doivet avoir ue masse moyee de 78 grammes. Au momet où 5 pièces sot réceptioées, o e prélève au hasard u échatillo de 36 pièces dot o mesure la masse. La moyee de ces 36 pièces est de 774,7 grammes. E l absece d iformatios supplémetaires, o pred comme estimatio de la moyee icoue m des 5 masses cette valeur de 774,7 grammes. 6... Fréquece. Propositio 8. O choisit la fréquece f des élémets possédat ue certaie propriété das u échatillo prélevé au hasard das ue populatio comme estimatio poctuelle de la fréquece icoue p des élémets de cette populatio ayat cette même propriété. 6..3. Variace, écart-type. Propositio 9. O choisit le ombre, où est l effectif de l échatillo et la variace d u échatillo prélevé au hasard das ue populatio, comme estimatio poctuelle de la variace icoue de cette populatio. De même : Propositio. O choisit le ombre, où est l effectif de l échatillo et l écart-type d u échatillo prélevé au hasard das ue populatio, comme estimatio poctuelle de l écart-type icou de cette populatio. Exemple 5. O se place das la situatio de l exemple 4 précédet, et l o suppose que l écart-type de l échatillo des 36 pièces est égal à,36. Ue estimatio poctuelle de l écart-type des 5 pièces est doc égale à 5 =,36,5 5 6.. Estimatio par itervalle de cofiace. Das la situatio de l exemple 4, e choisissat u ouvel échatillo de 36 pièces, o obtiedrait ue ouvelle moyee pour les masses de ces 36 pièces. E coséquece, les estimatios poctuelles dépedet très directemet de l échatillo prélevé au hasard. O est doc ameé à chercher u ouveau type d estimatio de la moyee d ue populatio, e utilisat le calcul des probabilités, qui permet de cotrôler l ifluece d u échatillo particulier. 6... Moyee. Das la situatio de l exemple 4, plutôt que d estimer à 774,7 grammes la moyee icoue m des masses des 5 pièces, ous allos mettre e oeuvre ue méthode permettat d obteir des itervalles qui, das u grad pourcetage de cas choisi à l avace, par exemple 95% ou 99%, cotieet la moyee icoue m de la populatio. Imagios, que das la populatio des 5 pièces, o prélève au hasard et avec remise ue successio d échatillos de même effectif = 36 dot o calcule les moyees respectives x pour le premier échatillo, x pour le deuxième échatillo, et aisi de suite. De plus, o suppose que l écart-type de cette populatio est cou et égal à,5 grammes. Soit X la variable aléatoire qui, à chacu de ces échatillos de taille 36 associe la moyee de cet échatillo. X pred successivemet les valeurs x, x,... O suppose que les coditios sot réuies pour pouvoir utiliser ue coséquece du théorème de la limité cetrée et faire l approximatio que la variable aléatoire X suit la loi ormale N ( ) m,. Das ce cas, la variable aléatoire X m = suit la loi ormale cetrée réduite. Das ce cas, o a pour tout t : ( ) X m P( t T t) = Π(t) Par exemple, Π(t) =,95 Π(t) =,975 t,96. O e déduit doc ; ( ) ( ) P,96 X m,96 =,95 P (m,96 X m +,96 ) =,95

VARIABLES ALEATOIRES 4 Cette égalité sigifie que, avat de prélever u échatillo de taille das la populatio, il y a 95 chaces sur pour que la variable aléatoire X pree ue valeur comprise das l itervalle [m,96 ;m +,96 ] Comme le ombre m est icou, o utilise les résultats précédets pour ecadrer m : ( ) ( ) P,96 X m,96 =,95 P (X,96 m X +,96 ) =,95 Das cette égalité, m est ue costate icoue et la probabilité,95 cocere la variable aléatoire X qui permet de défiir les variables aléatoires X,96 et X +,96. Aisi, avat de prélever u échatillo, de taille das la populatio, il y a 95 chaces sur pour que, d ue part la variable aléatoire X,96 pree ue valeur iférieure à m, et d autre part, que la variable aléatoire X +,96 pree ue valeur supérieure à m. E revache, après le prélèvemet d u échatillo, il y a plus de probabilités à evisager. Il est vrai ou faux de dire que la moyee m de la populatio est située das l itervalle fixe [x,96 ;x +,96 ] Das le cas de l exemple 4, o a = 36, x 774,7 et,5 doc [x,96 ;x +,96 ] = [77,6;778,79] Défiitio 9. Cet itervalle est appelé itervalle de cofiace de la moyee de la populatio avec le coefficiet de cofiace 95 % ( ou avec le risque de 5 % ). Remarquos que cet itervalle de cofiace de la moyee m de la populatio a pour cetre la moyee x de l échatillo qui sert à le défiir. Avec d autres échatillos, o obtiedrait de ouveaux itervalles de cofiace. Si o prélevait u très grad ombre de tels échatillos, eviro 95 pour d etre eux cotiedraiet la moyee icoue m de la populatio. E fait, o e prélève qu u seul, et o e peut pas savoir si celui-ci cotiet ou o le ombre m, mais la méthode mise e oeuvre permet d obteir u itervalle coteat m das 95 cas sur. De maière géérale, o peut doc éocer : Défiitio. L itervalle [x t ;x +t ] est l itervalle de cofiace de la moyee m de la populatio avec le coefficiet de cofiace (Π(t) ), ayat pour cetre la moyee x de l échatillo cosidéré. Lorsque l effectif de l échatillo est suffisammet grad, o peut predre pour valeur de, si o e le coait pas, so estimatio poctuelle. Das le cas où est pas petit par rapport à l effectif N de la populatio et où le tirage des élémets d u échatillo se fait sas remise, l écart-type de X est N N O e peut pas savoir si la moyee m de la populatio appartiet ou o à l itervalle de cofiace associé au seul échatillo prélevé. D autre part, si m appartiet à cet itervalle, m a pas plus de raiso d être près du cetre x de l itervalle que près d ue de ses extrémités ou e tout autre edroit de l itervalle. 6... Fréquece. Soit p la fréquece icoue des élémets de la populatio qui vérifiet ue certaie propriété. Soit F la variable aléatoire qui, à chacu des échatillos prélevés associe la fréquece des élémets de cet échatillo vérifiat ue certaie propriété. F pred successivemet les valeurs f, f, etc... La variable aléatoire F peut être cosidérée comme suivat la loi ormale ( ) p( p) N p, E effectuat des calculs aalogues à ceux du paragraphe précédet, o obtiet : ( ) p( p) p( p) P F,96 p F +,96 =,95 p( p) Or, la costate icoue p figure aussi das, écart-type de F, qui iterviet das l ecadremet de p. Pour sufffisammet grad, o peut remplacer das l expressio p( p) l icoue p par so estimatio poctuelle f. D autre part, puisque

p( p) obtiet est u écart-type, o doit multiplier par f ( f ). E coséquece, o peut éocer la propositio suivate : Propositio. L itervalle VARIABLES ALEATOIRES 5 l estimatio poctuelle f ( f ) d après le cours précédet, et doc o [ ] f ( f ) f ( f ) f t ; f +t est l itervalle de cofiace d ue fréquece p de la populatio avec le coefficiet de cofiace Π(t), ayat pour cetre la fréquece aalogue f de l échatillo cosidéré. Il existe deux cas particuliers usuels : pour le coefficiet de cofiace 95%, t vaut,96 pour le coefficiet de cofiace 99%, t vaut,58. Das le cas où est pas petit par rapport à l effectif N de la populatio et où le tirage des élémets d u échatillo est sas remise, alors l écart-type de F est : p( p) N N Exercice 4. Ue etreprise de matériel pour l idustrie produit des modules costitués de deux types de pièces : P et P. () Ue pièce P est cosidérée comme boe si sa logueur, e cetimètres, est comprise etre 93,5 et 36,5. O ote L la variable aléatoire qui, à chaque pièce P choisie au hasard das la productio d ue jourée, associe sa logueur. O suppose que L suit ue loi ormale de moyee 3 et d écart type 3. Détermier, à près, la probabilité qu ue pièce P soit boe. () O ote A l évéemet : ue pièce P choisie au hasard das la productio des pièces P est défectueuse O ote de même B l évéemet : ue pièce P choisie au hasard das la productio des pièces P est défectueuse. O admet que les probabilités des deux évéemets A et B sot p(a) =,3 et p(b) =,7 et o suppose que ces deux évéemets sot idépedats. U module état choisi au hasard das la productio, calculer, à 4 près, la probabilité de chacu des évéemets suivats : (a) E : les deux pièces du module sot défectueuses. (b) E : au mois ue des deux pièces du module est défectueuse. (c) E 3 : aucue des deux pièces costituat le module est défectueuse. (3) Das u importat stock de ces modules, o prélève au hasard modules pour vérificatio. Le stock est assez importat pour qu o puisse assimiler ce prélèvemet à u tirage avec remise de modules. O cosidère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvemet de modules associe le ombre de modules réalisat l évéemet E 3 défii au. O suppose que la probabilité de l évéemet E 3 est,9. (a) Expliquer pourquoi X suit ue loi biômiale ; détermier les paramètres de cette loi. (b) Calculer, à 3 près, la probabilité que, das u tel prélèvemet, 9 modules au mois réaliset l évéemet E 3. (4) Das cette questio o s itéresse au diamètre des pièces P. Soit X la variable aléatoire qui, à tout échatillo de 6 pièces P prélevées au hasard et avec remise das la productio de la jourée cosidérée, associe la moyee des diamètres des pièces de cet échatillo. O suppose que X suit la loi ormale de moyee icoue µ et d écart-type 6 avec =,84. O mesure le diamètre, exprimé e cetimètres, de chacue des 6 pièces P d u échatillo choisi au hasard et avec remise das la productio d ue jourée. O costate que la valeur approchée arrodie à 3 près de la moyee x de cet échatillo est x = 4,. (5) À partir des iformatios portat sur cet échatillo, doer ue estimatio poctuelle, à 3 près, de la moyee µ des diamètres des pièces P produites pedat cette jourée. (6) Détermier u itervalle de cofiace cetré e x de la moyee µ des diamètres des pièces P produites pedat la jourée cosidérée, avec le coefficiet de cofiace de 95%. (7) O cosidère l affirmatio suivate : " la moyee µ est obligatoiremet etre 3,99 et 4,33 ". Peut-o déduire de ce qui précède qu elle est vraie? Exercice 5. Exercice du bts mai sessio

VARIABLES ALEATOIRES 6 Les quatre questios de cet exercice sot idépedates. Das u groupe d assuraces, o s itéresse aux siistres susceptibles de surveir, ue aée doée, aux véhicules de la flotte d ue importate etreprise de maiteace de chauffage collectif. Das cet exercice, sauf metio cotraire, les résultats approchés sot à arrodir à 3. () Etude du ombre de siistres par véhicule Soit X la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard das u des parcs de la flotte, associe le ombre de siistres surveat pedat l aée cosidérée. O admet que X suit la loi de Poisso de paramètre,8. (a) Calculer la probabilité de l évèemet A : u véhicule tiré au hasard das le parc a aucu siistre pedat l aée cosidérée (b) Calculer la probabilité de l évèemet B : u véhicule tiré au hasard das le parc a, au plus, deux siistres pedat l aée cosidérée () Etude du ombre de siistres das ue équipe de 5 coducteurs. O ote E l évèemet : u coducteur tiré au hasard das l esemble des coducteurs de l etreprise a pas de siistre pedat l aée cosidérée. O suppose que la probabilité de l évèemet E est,6. O tire au hasard 5 coducteurs das l effectif des coducteurs de l etreprise. Cet effectif est assez importat pour que l o puisse assimiler ce prélèvemet à u tirage avec remise de 5 coducteurs. O cosidère la variable aléatoire Y qui, à tout prélèvemet de 5 coducteurs, associe le ombre de coducteurs ayat pas de siistre pedat l aée cosidérée. (a) Justifier que la variable aléatoire Y suite ue loi biomiale et détermier ses paramètres. (b) Caculer la probabilité que, das u tel prélèvemet, coducteurs aiet pas de siistre pedat l aée cosidérée. (3) Etude du coût des siistres Das ce qui suit, o s itéresse au coût d ue certaie catégorie de siistres surveus das l etreprise pedat l aée cosidérée. O cosidère la variable aléatoire C qui, à chaque siistre tiré au hasard parmi les siistres de cette catégorie, associe so coût e euros. O suppose que C suit la loi ormale de moyee et d écart type. Calculer la probabilité qu u siistre tiré au hasard parmi les siistres de ce type coûte etre euros et 5 euros. (4) O cosidère u échatillo de véhicules prélevés au hasard das le parc de véhicules mis e service depuis 6 mois. Ce parc cotiet suffisammet de véhicules pour qu o puisse assimiler ce tirage à u tirage avec remise. O costate que 9 véhicules de cet échatillo ot pas eu de siistre. (a) Doer ue estimatio poctuelle du pourcetage p de véhicules de ce parc qui ot pas eu de siistre 6 mois après leur mise e service. (b) Soit F la variable aléatoire qui à tout échatillo de véhicules prélevés au hasard et avec remise das ce parc, associe le pourcetage de véhicules qui ot pas eu de siistre 6 mois après leur mise e service. O suppose que F suit la loi ormale ( ) p( p) N p, où p est le pourcetage icou de véhicules du parc qui ot pas eu de siistre 6 mois après leur mise e service. Détermier u itervalle de cofiace du pourcetage p avec le coefficiet de cofiace 95%. (c) O cosidère l affirmatio suivate : le pourcetage p est obligatoiremet das l itervalle de cofiace obteu à la questio b) Est-elle vraie? O e demade pas de justificatio. 7.. Correctio de l exercice 7. O pose 7. CORRECTION DES EXERCICES T = X,4 T suit la loi ormale cetrée réduite, et o a la relatio X = +,4T, ce qui permet d obteir : () p = p(x,) = p(t 3),99865 par lecture du formulaire. () p = p(x >,) = p,35 (3) p 3 = p(99,6 X,4) = p( T ) = Π() Π( ) = Π() ( Π()) = Π() doc p 3,686

VARIABLES ALEATOIRES 7 7.. Correctio de l exercice 8. () p 4 = p(y = 4) = e,8,8 4 4!,557. () p 5 = p(y 4) = p(y = ) + p(y = ) + p(y = ) + p(y = 3) + p(y = 4) doc p 5 = e.8.8! + e.8.8! + e.8.8! + e.8.8 3 3! + e.8.8 4 4!.8477 (3) p 6 = p( < Y < 5) = p(y = 3) + p(y = 4).378 7.3. Correctio de l exercice 9. Si o appelle Z la variable aléatoire égale au ombre d ordiateurs e pae das l aée, o peut dire que Z suit ue loi biomiale de paramètres = 8 et p =.5. O a alors facilemet : () p 7 = C 8 (.5) (.95) 6 5.456 () O utilise l évèemet cotraire qui est qu aucu appareil e tombe e pae das l aée, doc p 8 = C 8 (.5) (.95) 8.3366. 7.4. Correctio de l exercice. () X suit ue loi biomiale de paramètres = et p =.. () λ = p =. =. (3) p(x ) = p(x = ) + p(x = ) + p(x = ).35 +.7 +.7.677 7.5. Correctio de l exercice. O pose T = X 54,. T suit N (,) et X = 54 +.T. () p(53,6 X 54,3) = p( T.5) = Π(.5) Π( ) = Π(.5) ( Π()) qui est doc la probabilité qu ue pièce soit boe. () La probabilité qu ue pièce soit défectueuse est doc de.94.896, c est à dire qu il y a 8,9 % de pièces défectueuses. (3) p(54 h X 54 + h) =,95 p ( h. T. h ) ( =,95 Π h ) ( ) (. Π h. =,95. Ceci équivaut à Π h ). ( ( Π h )) (. =,95, d où Π h ). =.975. Par lecture iverse de la table de la loi ormale cetrée réduite, o obtiet.96, d où h.39. Les côtes d alerte sot doc égales à 53,6 et 54,4 millimètres. h. 7.6. Correctio de l exercice. ( O pose T = X 8, soit X = 8 + T. T suit la loi ormale cetrée réduite, et doc o a p(x 8,5) = p ( ) Π,5 =,933. Par lecture iverse de la table du formulaire, o trouve,5,5, soit = 5. T,5 ) = 7.7. Correctio de l exercice 3. () E(Z) = 4 et = 5. () O pose T = Z 4 5 Comme T suit la loi ormale cetrée réduite, o e déduit que (3) Motrer d abord que p(34 Z 48) = p(, T,6),83 4 α Z 4 + α α 5 T α 5 puis que ( p α 5 T α ) ( α ) =,95 Π =,975 5 5 ce qui permet de détermier que α 9,8.

VARIABLES ALEATOIRES 8 7.8. Correctio de l exercice 4. () La variable L suit la loi ormale N (3,3), doc la variable T défiie par T = L 3 3 suit la loi ormale cetrée réduite N (,). Il viet alors ( 93,5 3 p(93,5 L 36,5) = p L 3 ) 36,5 3 3 3 3 = p(,6 T,6) = Π(,6) =,969 (a) p(e ) = p(a B) = p(a) p(b) puisque A et B sot idépedats. D où p(e ) =,3,7, soit p(e ) =,. (b) p(e ) = p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) =,3 +,7,, soit p(e ) =,979. (c) p(e 3 ) = p ( A B ) = p(a B) =,979, soit p(e 3 ) =,9. (d) O a tirages idépedats, pour seulemet issues possibles (E 3 ou E 3 ), o est bie das le cadre d ue loi biômiale. Doc X suit la loi biomiale B (;,9). (e) Das ce cas, o a p(x 9) = p(x = 9) + p(x = ) = C 9 (,9)9 (,98) +C (,9) (,98) =,744 () La variable X suit la loi ormale N (µ;,84/ 6), et la moyee sur u échatillo doé est x = 4,. (a) L estimatio poctuelle est µ = 4,. (3) O veut trouver le réel positif a tel que p(x a µ x + a) =, 95. Itroduisos la variable T défiie par T = X µ,84 6, alors T suit la loi ormale cetrée réduite N (,) et l o sait que pour tout réel positif t o a p( t T t) = Π(t). U coup d œil sur le formulaire ous motre qu il faut choisir t =,96 pour obteir ue probabilité de,95. Autremet dit, o sait que l o a ( ) 6 ( ) p,96 X µ,96 =,95,84 ( p,96,84 X µ,96,84 ) =,95 6 6 p (, X µ, + X ) =,95 p (, X µ, + X ) =,95 D où ici l itervalle de cofiace à 95% cherché I = [3,99;4,33]. (4) Bie sûr, l affirmatio proposée est fausse : avec u itervalle de cofiace à 95% o est ecore très loi d ue certitude. 7.9. Correctio de l exercice 5. () O a :,8 (,8) p(a) = p(x = ) = e,756! (a) L évèemet B est l uio des évèemets deux à deux icompatibles u véhicule tiré au hasard das la parc a eu exactemet siistre pedat l aée cosidérée, u véhicule tiré au hasard das la parc a eu exactemet siistre pedat l aée cosidérée et u véhicule tiré au hasard das la parc a eu exactemet siistres pedat l aée cosidérée. Doc p(b) = p(x = ) + p(x = ) + p(x = ) = e,8 (,8)! + e,8 (,8)! + e,8 (,8)!,997 (b) Nous avos ue suite de 5 épreuves de Berouilli idépedates. Chaque épreuve a que deux issues possibles : soit l évèemet E est réalisé avec ue probabilité de,6, soit il est pas réalisé avec ue probabilité de,4. Ceci prouve que la variable aléatoire Y suit ue loi biomiale de paramètres 5 et,6.

VARIABLES ALEATOIRES 9 (c) O veut calculer la probabilité de l évèemet : p(y = ) = C 5 (,6) (,4) 5,86 () Puisque C suit la loi ormale de moyee et d écart type, la variable aléatoire D défiie par D = C suit la loi ormale cetrée réduite. O trouve alors ce qui permet facilemet d e déduire : C = + D C 5 D 3 Il viet alors, e utilisat le formulaire : p( C 5) = p ( D 3 ) = Π ( ) ( 3 Π( ) = Π 3 ) ( Π()) = Π ( ) 3 + Π(),775 (a) L estimatio poctuelle est doée par le pourcetage obteu sur l échatillo prélevé : f = 9 =,9 (b) O pose : T = F p p( p) T suit la loi ormale cetrée réduite. L itervalle de cofiace pour T à 95% est défii par : p( t T t) =,95 Π(t) =,95 Π(t) =,975 t,96 e utilisat le formulaire. O e déduit : p(,96 T,96) =,95 p,96 F p p( p),96 =,95 Afi de pouvoir obteir u itervalle de cofiace, il ous faut das ce cas approximer l écart-type par, qui d après le cours vaut f ( f ) f ( f ).9 (.9) = = =.876 O e déduit esuite : ( p,96 F p ),96 =,95 p ( p,96 F p +,96 ) =,95 O utilise l estimatio poctuelle de p, à savoir que p,9 pour trouver que p,96 =.9.96.876.85363 p +,96 =.9 +.96.876.96637 E coclusio, l itervalle de cofiace cherché est : (c) Cette affirmatio est fausse d après le cours. [,853;,967] p( p) de F