Appled Mathematcal Scences, Vol. 5, 2011, no. 48, 2373-2388 Méthode de Vogel Modfée pour la résoluton du problème de transport smple Salmata G. Dagne Département de Mathématques Unversté Chekh Anta Dop, Dakar, Sénégal Youssou Gnngue Depart. of Mathematcs and Computer Scences Laurentan Unv., Sudbury (ON) Canada Résumé. Dans cet artcle, nous présentons une méthode d approxmaton qu est une améloraton de la méthode de Vogel pour le probléme de transport. Elle applque celle c au problème équvalent ndut par les matrces de coûts réduts. La réducton de la matrce restante est fate après chaque assgnaton. Cette démarche permet d dentfer l optmalté slecoût total rédut est nul. Dans ces cas, elle évte l applcaton de l algorthme de transport. Dans le cas partculer de nullté des pénaltés, la méthode des mondres coûts est utlsée pour fournr la soluton optmale. Mots-clés. Problème de transport, algorthme de transport, heurstque, méthode ntale, méthode de Vogel, pénaltés, matrce de coûts réduts, problèmes d affectaton, méthode des mondres coûts. Abstract. In ths paper we present an approxmaton method whch s an mprovment of Vogel method for the transportaton problem. It apples the Vogel method to the reduced cost matrx whch s assocated to an equvalent transportaton problem. After each assgnment of a varable, the remanng matrx s reduced. Ths approach allows the dentfcaton of the optmal soluton whenever the reduced cost equals to zero. Consequently ths avods the use of the transportaton algorthm. In the case where all the penaltes were zeroed, the least cost method provdes the optmal soluton. Keywords. Transportaton problem, transportaton algorthm, heurs-
2374 S. G. Dagne and Y. Gnngue tcs, startng soluton method, Vogel approxmaton method, penaltes, reduced cost matrx, Assgnment problem, least cost method 1 Introducton Dans cet artcle, nous consdérons le problème de transport smple dont l obectf est de mnmser la foncton coût rattachée au transfert de dfférentes quanttés d une matère ou de partcules à partr de m orgnes vers n destnatons. En notant par l ndce =1,..., m les orgnes et par =1,..., n les destnatons, nous pouvons présenter les paramètres c := coût de transfert d une unté de l orgne vers la destnaton a := quantté de matère dsponble à l orgne b := quantté de matère dsponble à la destnaton et les varables X := quantté de matére transporte de l orgne vers la destnaton. En consdérant le problème de transport balancé ou m a = =1 b =1 alors la formulaton mathématque est m mn CT = C X =1 =1 X = a ; =1, m =1 PT m X = b ; = 1, n =1 X 0; =1, m ; =1, n Le problème de transport est ans un programme lnéare et peut donc être résolu par des méthodes du smplexe (vor Balansky (1986) ou Arsham (1989)). Cependant l exste une méthode plus adaptée connue sous le nom d algorthme de transport (Charnes and Cooper (1954) ou Dantzg (1963)). L algorthme de
Méthode de Vogel Modfée 2375 transport, comme toute applcaton de la méthode du smplexe àlarésoluton de ce type de problème, nécesste une soluton ntale de base. Sa détermnaton à partr de la forme standard n est pas approprée compte tenu de la structure des problèmes de transport. D autres technques plus smples et adaptées leurs sont applquées. Nous pouvons cter la méthode du Con Nord Ouest et celle des coûts mondres [vor Taha (2009)]. Dans cette même optque, l exste des approches plus raffnées qu sont des méthodes d approxmaton parm lesquelles nous pouvons cter la méthode de Russell (Russel, 1961) et la méthode de Vogel(Vogel et al. 1958). Cette dernère approche a été le suet d une modfcaton pour la résoluton des problèmes de transport non balancés [Goyal (1984) ou Ramakrshnam (1988)]. Dans cet artcle, nous présentons une nouvelle méthode d approxmaton qu est une améloraton de la méthode de Vogel. Certes, l n est pas nécessare de consacrer énormément d efforts dans la recherche d une soluton ntale, cependant les modfcatons, proposées dans cette étude, sont très peu coûteuses. De plus, nous observons que la méthode modfée fournt drectement la soluton optmale dans un nombre assez mpressonnant de problèmes. Afn de meux ntrodure cette améloraton, nous présentons les dfférentes étapes de la méthode dans la prochane secton. Ces dfférentes étapes y sont par la sute résumées et présentées sous forme algorthmque. Fnalement, nous montrons la reconnassance de l optmalté dans certanes stuatons et son caractère amélorant par rapport àlaméthode de Vogel. Un exemple d llustraton de la méthode de Vogel modfée est par la sute présenté avant de procéder à des remarques concluantes. 2 Méthode de Vogel modfée Elle comprend prncpalement pluseurs étapes. La premère consste à rédure la la matrce des coûts untares de transport (C ); =1,,m ; = 1,,n. Cette démarche ndut un problème équvalent au problème ntal de transport PT. Cette procédure, assez ben connue, est souvent utlsée pour résoudre le problème d affectaton par la méthode hongrose (Kuhn, 1955). Cette procédure de réducton est présentée dans la prochane sous secton. 2.1 Réducton de la matrce des coûts La réducton de la matrce des coûts untares de transport (C ) s effectue par le bas de la procédure c-dessous.
2376 S. G. Dagne and Y. Gnngue Pour chaque lgne, détermner Procédure 2.1 de réducton u = mn {C } et poser C = C u ; =1,,n Pour chaque colonne, détermner v = mn {C } et poser R = C v ; =1,,m La matrce R résultante de la réducton content au mons un zéro au nveau de chaque rangée (lgne ou colonne). Cette approche est ustfée par la proposton c dessous. Proposton 2.1. Le problème de transport PT assocé à la matrce de coûts réduts est équvalent au problème orgnal PT. Preuve. Les contrantes du problème de transport restent nchangées durant toute la procédure. La réducton de la matrce n affecte que la foncton obectf. En consdérant les valeurs u et v retranchées respectvement aux lgnes et colonne, alors les coeffcents de la matrce de coûts réduts devennent C = C u v. Ans la foncton obectf vérfe CT = m C X = m C X m u X m v X Cec mplque CT = CT m u n X v m X = CT m u a v b Comme le derner terme CT 0 = m u a + v b est constant, mnmser CT revent à mnmser CT. Le résultat annoncé se trouve ans établ. L étape suvante consste à assocer comme dans la méthode de Vogel une pénalté à chaque rangée. Ensute la rangée de plus grande pénalté est chose pour détermner la varable à assgner. La procédure est présentée dans la sous
Méthode de Vogel Modfée 2377 secton c dessous. 2.2 Pénaltés des rangées Dans cette sous secton, nous fournssons une procédure de détermnaton de la plus grande pénalté de chaque lgne et colonne. Cette procédure est présentée c-dessous. Procédure 2.2 de la plus grande pénalté 1. Détermnaton des pénaltés Détermner pour chaque lgne u = mn {C } et p = mn {C u } Détermner pour chaque colonne v = mn {C } et q = mn {C v } 2. Rangée de plus grande pénalté Détermner la plus grande pénalté max{p,q }. S max{p,q } = p k alors détermner mn{c k } = C kr Snon (max{p,q } = q r ) alors détermner mn{c r } = C kr La varable à allouer esr X kr Proposton 2.2. S une matrce rédute assocée à un problème de transport est telle que la plus grande pénalté est nulle, alors l assgnaton par les mondres coûts au nveau de la matrce ntale fournt la soluton optmale. Preuve. Comme la plus grande pénalté est nulle alors toutes les pénaltés
2378 S. G. Dagne and Y. Gnngue sont donc nulles. Ans, chaque rangée content plus d un zéro. La soluton fourne par la méthode des mondres coûts sera assocée à des zéros de la matrce de coûts réduts et en conséquence à un coût total rédut nul. Ce qu mplque l optmalté. L étape suvante consste à effectuer une assgnaton de la varable par la méthode de Vogel et à la mse à our de la matrce des coûts. 2.3 Assgnaton par la méthode de Vogel Dans cette sous secton, nous fournssons une brève présentaton de la méthode de Vogel. Pour chaque lgne ou colonne, elle évalue une pénalté qu représente la perte untare résultante du transport d une unté de produt au second mondre coût plutôt qu au mondre coût de cette rangée. En d autres termes, elle représente le manque à gagner s on rate le mondre coût de cette rangée pour se contenter du second mondre coût. La méthode de Vogel donne la prorté d assgnaton aux rangées de plus grande pénalté. Les dfférentes étapes de la méthode sont présentées c-dessous. Procédure 2.3 d assgnaton par Vogel 1. Détermnaton de la plus grande pénalté Applquer la procédure 2.2 de la plus grande pénalté 2. Allocaton de la varable Allouer la varable X kr en effectuant X kr = mn{a k,b r } poser a k := a k X kr et b r := b r X kr 3. Rayure d une rangée L assgnaton de la varable X kr mplque a k =0 ou b r =0
Méthode de Vogel Modfée 2379 donc la saturaton d au mons une rangée qu est rayée du tableau. 4. Embarras de chox S les deux rangées de la varable assgnée sont sauturées en même temps ou a k =0 et b r =0 alors l faut rayer celle de plus grande pénalté. S l embarras persste, alors le lever de manère arbtrare. 2.4 Réducton successve La matrce restante n est plus nécessarement rédute. Il faut effectuer la réducton par le bas de la procédure c dessous. Pour la présenter, nous consdérons que la dernère varable assgnée est X kr. Elle est assocée aux pénaltés p k et q r respectvement assocées à sa lgne et à sa colonne. La plus grande pénalté est forcément p k ou q r pour que X kr pusse être la varable à assgner. Procédure 2.4 de réducton successve 1. Test de non réducton S la lgne k est rayée telle que p k 0 et q r = 0 alors la matrce restante est encore rédute. S la colonne r est rayée telle que p k =0 et q r 0 alors la matrce restante est encore rédute. 2. Test de réducton S la lgne rayée est telle que p k = 0 alors aller àlétape 2 S la colonne rayée est telle que q r = 0 alors aller àlétape 3
2380 S. G. Dagne and Y. Gnngue 2. Réductons des colonnes Rédure les colonnes telles que q 0 et C r, =0 3. Réductons des lgnes Rédure les lgnes telles que p 0 et C,k =0 Remarque 2.2 La démarche de cette procédure est ustfée par le fat que la rayure d une rangée lasse la réducton des rangées parallèles nchangée. Seules les rangées complémentares peuvent être affectées. Les rangées affectées sont celles assocées à des pénaltés non nulles et ayant leurs seuls zéros au nveau de la rangée rayée. Comme précédemment, une assgnaton utlsant la méthode de Vogel est séquentellement effectuée sur la matrce restante usqu à ce qu elle sot constuée d une rangée (lgne ou colonne). Elle est alors complétée pour fournr une soluton réalsable. Cette démarche est résumée dans l algorthme présenté c-dessous. 2.5 Algorthme Méthode de Vogel Modfée Étape 1. Matrce des coûts réduts Rédure la matrce de coûts par la procédure de réducton Étape 2. Plus grande pénalté Applquer la procédure 2.3 de la plus grande pénalté sot pgp. S pgp = 0 alors applquer la méthode des mondres coûts Snon contnuer Étape 3. Détermnaton de la varable à assgner
Méthode de Vogel Modfée 2381 Applquer la procédure 2.4 d assgnaton par la méthode de Vogel. Étape 4. Test d arrêt S l reste une colonne ou une lgne non rayée dans le tableau, la remplr et fn. Étape 5. Réducton de la matrce de coûts réduts Applquer la procédure de réducton 2.4. Règles supplémentares Notons que dans les étapes 2 et 3, nous applquons la méthode de Vogel avec quelques règles supplémentares présentées c-dessous. Elles permettent de lever les stuatons d embarras de chox. Règle 1. Comparason de pénaltés de rangées complémentares S la plus grande pénalté est attente pluseurs fos, alors un embarras de chox entre dverses rangées (lgnes, colonnes) se pose. Elles ont été selectonnées car ayant le mondre coût dans une rangée de plus grande pénalté. Il faut consdérer les pénaltés de leurs rangées complémentares et selectonner celles de plus grande pénalté. Règle 2. Mondre coût non rédut S l embarras du chox persste, alors consdérer toutes les varables canddates. À chacune de ces rangées correspond au mons une varable assocée au mondre coût. L embarras du chox est donc reporté sur ces varables. La règle 2 prvlége la varable X de mondre coût orgnal C pour lever cette ndécson. S l embarras du chox persste, alors l faut la lever arbtrare- Règle 3. ment. 3 Résultats d optmalté Proposton 3.1. S le problème de transport PT assocé à la matrce ntale de coûts réduts fournt une soluton réalsable telle que toute varable
2382 S. G. Dagne and Y. Gnngue non nulle sot assocée à un coût rédut nul, alors cette soluton est optmale pour le problème PT. Preuve. Comme la matrce des coûts réduts CT est postve, alors, nous avons d après la proposton 2.1 CT = CT CT 0 0 Ans, s CT = 0 alors CT a attent sa valeur mnmale. En conséquence, le coût de transport CT attent sa valeur mnmale CT 0 et devent optmale. Proposton 3.2. À chaque assgnaton de varable durant l étape 3 de la méthode modfée, s le problème de transport assocé à la matrce rédute courante possède une soluton réalsable de coût CT R, alors cette soluton complétée par les varables déà assgnées consttue une soluton réalsable du problème rédut PT de même coût CT = CT R. Preuve. Pour démontrer l asserton, nous allons consdérer la pemère assgnaton avec réducton de la matrce ntale rédute. Ans la matrce restante de CT subt une réducton pour retourner une nouvelle matrce de CT R. Supposons également connue une soluton réalsable de CT R, alors nous avons deux dfférentes possbltés présentées c dessous. Cas 1. La rangée rayée r est assocée à une pénalté non nulle pen(r) 0. Comme pen(r) 0, alors la rangée rayée r ne content qu un seul zéro. La seule rangée pouvant être affectée est la rangée c complémentare de r par rapport à la case de coût rédut nul. En conséquence, la nécssté deréducton de la matrce mplque un seul zéro au nveau de la rangée commplémentare. Pour rédure la rangée c, l sufft de soustrare son mondre coût m c à tous les éléments de la rangée. Toute cette opératon est équvalente à consdérer la matrce ntale rédute CT et à aouter m c à la rangée rayée r et à soustrare cette même valeur des éléments de la rangée c. La nouvelle matrce CT n ans obtenue est équvalente aux deux matrces CT et CT. Cec établt lénoncé. Cas 2. Nous supposons que la rangée rayée r est assocée à une pénalté nulle. En conséquence, la rangée complémentare c de la case assgnée est celle de plus grande pénalté pgp. Comme pen(r) = 0, alors la rangée rayée r content plus d un zéro. Par contre sa rangée complémentare c ne content qu un seul zéro.
Méthode de Vogel Modfée 2383 La matrce n est plus rédute. Il faut rédure la rangée complémentare c en enlevant son deuxème mondre coût égal à pgp à tous les éléments de la rangée c. Il faut également rédure les autres rangées complémentares de r par rapport aux zéros et assocées à des pénaltés non nulles. Toute cette opératon est équvalente à consdérer la matrce ntale rédute CT et à aouter ppg à la rangée rayée r et à soustrare cette même valeur de c. La nouvelle matrce ans obtenue est équvalente aux deux matrces CT et CT. Ensute l faut soustrare les coûts mondres de chacune des rangées complémentares non rédutes. En procédant avec la matrce CT n, la prochane assgnaton est obtenue sans réducton et le résultat annoncé établ. Théorèm 3.1 S toutes les varables non nulles assgnées au nveau des dfférentes tératons de la méthode modfée sont assocées à des coûts réduts nuls, alors la soluton réalsable obtenue est optmale. Preuve. De manère tératve, d après la proposton 3.2, la soluton réalsable obtenue est une soluton réalsable du problème ntal PT. Comme la matrce des coûts est postve CT, alors, nous avons d après la proposton 2.1 CT = CT CT 0 0 Ans, s CT = 0 alors le coût de transport CT attent sa valeur mnmale CT 0 et devent en conséquence optmale. Cette démarche fournt ans un crtère permettant dans le cas de l obtenton d une soluton nulle de PT de conclure à l optmalté du problème PT. Elle permet ans de détecter certanes stuatons d optmalté et dévter le test d optmalté et en conséquence le recours à l algorthme de transport. D autre part notons que la méthode de Vogel modfée est une approxmaton. Cec résulte du fat qu elle amélore la méthode de Vogel qu est consdérée comme une approxmaton. D alleurs, la comparason de la méthode de Vogel et de la méthode modfée a été effectuée en consdérant dfférentes stuatons (vor Gnngue et al. (1998)). Elle révèle que les pénaltés fournes par la méthode de Vogel ne mesurent pas, contrarement à la méthode modfée, les pertes untares au nveau des rangées consdérées. Pour cette rason, le chox dcté par la méthode de Vogel quant à la lgne et colonne à assgner n est pas nécessarement le plus pertnent. La méthode de Vogel effectue une analyse
2384 S. G. Dagne and Y. Gnngue locale au nveau de chaque rangée tands que la méthode modfée effectue une analyse plus globale. Toute la dfférence résde dans le fat que la valeur zéro est le mondre coût de chaque lgne et colonne de la matrce. La méthode de vogel modfée, contrarement à celle de Vogel, se rappoche plus de la méthode du smplexe par la réducton des coûts avant l assgnaton de varables. Par cette démarche, elle assure mplctement la nullté des coûts réduts assocés aux varables de base, ce qu est une condton nécessare de démarrage de l algorthme du smplexe. 4 Exemple d llustraton Dans cette secton, nous proposons un exemple pour llustrer la méthode de Vogel modfée. La matrce des coûts de transport est fourne par le tableau 1 3 8 7 6 15 12 14 11 13 10 25 2 11 6 8 9 10 5 9 6 8 7 16 10 15 12 14 15 La dernère colonne représente les offres des orgnes tands que la dernère lgne fournt les demandes des destnatons. La matrce rédute est fourne par
Méthode de Vogel Modfée 2385 0 0 6 3 5 15 p 1 =0 2 2 0 0 0 25 p 2 =0 0 7 3 3 7 10 p 3 = 3 0 2 0 0 2 16 p 4 =0 10 15 12 14 15 q 1 =0 q 2 =2 q 3 =0 q 4 =0 q 5 =2 En applquant la méthode de Vogel modfée, nous obtenons les dfférentes étapes d assgnaton présentées c-dessous. Assgnaton 1. La plus grande pénalté est p 3 = 3. La lgne 3 est donc chose. La varable de mondre coût dans cette lgne est X 31 = mn{a 3,b 1 } = 10 et b 2 = a 1 =10 10 = 0 Ensute la lgne 3 et colonne 1 devennent saturées en même temps. La lgne 3 de plus grande pénalté est rayée du tableau. La matrce résultante reste rédute. Assgnaton 2. Les pénaltés assocées aux lgnes et colonnes restent nchangées. La plus grande pénalté est q 2 =2 et q 5 = 2. Les pénaltés des rangées complémentares sont toutes nulles. L embarras du chox persste au nveau des varables X 12 et X 25 La varable X 12 de mondre coût ntal C 12 = 3 est sélectonée par le bas de la règle 2. Cec mplque X 12 = 15 et la rayure de la colonne 2 qu représente la rangée de plus grande pénalté. La matrce restante est encore rédute. Assgnaton 3. Seule la pénalté de la lgne 1 change et devent p 1 =3. La lgne 1 est celle de plus grande pénalté, la varable X 11 rentre dans la base avec X 11 = 0. Cec est due au fat que la lgne 1 est saturée. La lgne 1 est ans rayée du tableau. La matrce restante est encore rédute.
2386 S. G. Dagne and Y. Gnngue Assgnaton 4. La matrce est encore rédute. Seule la pénalté dela colonne 1 change pour devenr q 1 = 2. La plus grande pénalté est fourne par q 1 = q 5 = 2. L embarras de chox se stuent entre les varables X 41 et X 25. La varable X 41 de mondre coût est assgnée de la valeur nulle donc X 41 = 0. La colonne 1 est ans saturée et rayée du tableau. Assgnaton 5. La matrce est encore rédute. Les pénaltés restent nchangées. La plus grande pénalté est fourne par q 5 = 2. La varable X 25 est assgnée et devent X 25 = 15. La colonne 5 est ans saturée et rayée du tableau. Assgnaton 6. La matrce restante est nulle. L assgnaton peut être fnalsée par utlsaton de la règle des mondres coûts ntaux. Cec mplque l assgnaton X 43 = 12 qu sature la colonne 3 dont la rayure transforme la matrce en une seule rangée. Elle est complétée par X 24 =6 et X 24 =10 pour fournr la soluton X 11 =0; X 12 =15; X 24 =10; X 25 =15 X 31 =10; X 43 =12; X 44 =4 Elle est optmale car le coût rédut optmal est nul et le coût total assocé est CT = 425. Nous n avons donc pas eu beson d effectuer d tératons de l algorthme de transport de Dantzg. La méthode de Vogel aurat nécessté au mons deux tératons supplémentares pour obtenr la soluton optmale. 5 Concluson Nous avons présenté une améloraton de la méthode de Vogel. Contrarement à cette dernère, les pénaltés évaluées représentent réellement les pertes résultantes du transport d une unté de produt au second mondre coût plutôt qu au mondre coût. La méthode modfée fournt la soluton optmale, lorsque les coûts réduts assocés aux varables assgnées sont nuls. De plus, dans beaucoup d exemples choss de manère aléatore, elle fournt la soluton optmale. La méthode de vogel se revèle être une approxmaton avec un taux de réusste de l ordre de 96 % (Gnngue et al. 1998). Les problèmes de tests y sont cependant de très fables dmensons, l faudrat donc tester la méthode sur des problèmes de plus grandes dmensons. Cec ouvre une voe de recherche pour l amélorer en une méthode de résoluton de problèmes de transport, ne serat ce que dans certans cas.
Méthode de Vogel Modfée 2387 Notons également que, l applcaton de la méthode modfée aux problèmes d assgnaton pourrat fournr les prémsses d une nouvelle méthode de résoluton de tels problèmes. Il serat également ntéressant d effectuer un rapprochement avec la verson de la méthode modfée où l annulaton des coûts commence par ceux assocés aux colonnes. C est d alleurs le rapprochement de ces deux dfférentes matrces de coûts réduts qu a perms d établr une méthode ntale proposée dans Papllon (1992). Bblographe Arsham, H and A. B. Kahn. A smplex-type algorthm for general transportaton problems: An alternatve to Steppng-Stone. Journal of Operatonal Research Socety, 40(6), pp 581-590, 1989. Balnsky, M. L., A Compettve Dual Smplex Method for the Assgnment Problem, Mathematcal Programmng, 34, 125-141, 1986. Charnes, A and WW Cooper. The Steppng-Stone method for explanng lnear programmng calculatons n transportaton problems. Management Scence, 1(1), pp 49-69, 1954. Dantzg, G.B., Lnear Programmng and Extensons, Prnceton Unversty Press, 1963. Gnngue Y., Dagne S. G. et Camara I. La méthode de Vogel modfée pour la résoluton des problèmes de transport, ASAC, 1998. Goyal, S. K. Improvng VAM for unbalanced transportaton problems. Journal of Operatonal Research Socety, 35(12), pp. 1113-1114, 1984. Kuhn, H. W. The Hungaran method for the assgnment Problem, Naval Research Logstcs Quaterly, 2, 83-97, 1955. Paparrzos, K., An Infeasble (Exteror Pont) Smplex Algorthm for Assgnment Problems, Mathematcal Programmng, 51, 45-54, 1988. Papllon, Jean-Claude, Eléments de Recherche Opératonnelle, Dallos-Srey, 1992.
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